高等数学(上册)教案15 函数的极值与最值
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 理解函数最大值和最小值的概念。
2. 学会使用导数和图像来求解函数的最大值和最小值。
3. 能够应用函数最大值和最小值解决实际问题。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的定义。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 利用图像求函数最大值和最小值的方法。
4. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，求解方法及实际应用。
2. 教学难点：利用导数和图像求解函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。
2. 使用案例分析法分析实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法讲解利用图像求解函数最大值和最小值的方法。
五、教学准备1. 教学课件：包含函数最大值和最小值的概念、求解方法及实际应用。
2. 案例分析：选取几个实际问题进行分析。
3. 数形结合：准备函数图像，用于讲解求解方法。
六、教学过程1. 引入新课：通过复习导数的概念和性质，引导学生思考如何利用导数求解函数的最值。
2. 讲解函数最大值和最小值的定义，解释其在数学和实际应用中的重要性。
3. 分步讲解利用导数求解函数最值的方法，包括：a. 确定函数的单调区间b. 找到导数为零的点c. 判断极值点是最大值还是最小值4. 通过案例分析，让学生练习利用导数求解函数最值，并讨论解题过程中的关键步骤。
七、案例分析1. 分析案例一：给定函数f(x) = x^2 4x + 5，引导学生利用导数求解最值。
2. 分析案例二：给定函数g(x) = (x 1)^2 + 3，引导学生利用导数求解最值。
3. 学生分组讨论，分享解题过程和结果，教师点评并总结。
八、图像分析1. 利用计算机软件或板书，绘制函数f(x) = x^2 4x + 5和g(x) = (x 1)^2 + 3的图像。
2. 引导学生观察图像，找出函数的局部最大值和最小值。
3. 解释图像分析与导数求解之间的关系，强调数形结合的重要性。
高中数学教案认识函数的极值和最值
高中数学教案认识函数的极值和最值高中数学教案：认识函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们在解决实际问题和推导数学定理中起着重要的作用。
本教案将引导学生深入理解函数的极值和最值，并通过具体例子和实际应用展示相关概念的应用。
一、引入在学习函数的极值和最值之前，我们需要先了解函数的基本定义。
函数是一种建立变量之间关系的规则，它可以用来描述实际问题中的变化规律。
函数的极值和最值描述了函数在某一区间内的最大值和最小值。
二、函数的极值1. 局部极值函数在某一区间内的取值达到了局部的最大或最小值，我们称之为局部极值。
局部极大值和极小值统称为局部极值。
例如，函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]内有一个局部极小值0。
2. 极值点在某一函数中，函数取得极值的点称为极值点。
极值点可以通过求导数或观察图像得到。
例如，函数f(x) = x^3的导函数f'(x) = 3x^2。
当f'(x) = 0时，即3x^2 = 0，解得x = 0。
所以函数f(x) = x^3在x = 0处取得极小值。
3. 极值的判断要确定一个函数的极值，我们可以通过求导数和求导数的零点进行判断。
当函数的导数变号时，极值点就出现了。
例如，函数f(x) = x^2在x < 0和x > 0时，导数f'(x) = 2x的符号分别为负和正。
所以在x < 0时，函数f(x) = x^2取得极大值；在x > 0时，函数f(x) = x^2取得极小值。
三、函数的最值1. 最值定义函数在定义域内能够取得的最大值和最小值，称为函数的最大值和最小值。
最大值和最小值统称为最值。
例如，函数f(x) = x^2在整个实数域内没有最大值，但在闭区间[0,+∞)内取得最小值0。
2. 最值点函数取得最值的点称为最值点。
例如，函数f(x) = -x^2 + 4x - 3在x = 2处取得最大值。
3. 最值的判断要确定一个函数的最值，我们可以通过求导数和求导数的零点进行判断。
高中数学教案函数的极值和最值
高中数学教案函数的极值和最值高中数学教案：函数的极值和最值一、引言在高中数学中，函数的极值和最值是一个重要的概念和应用。
本教案将以清晰的例子和详细的解释来介绍函数的极值和最值的概念、求解方法和相关练习题。
二、函数的极值和最值的概念1. 极值的定义函数在某个定义域内有极值，是指在该定义域内存在一个或多个函数值最大或最小的点。
2. 最值的定义函数在某个定义域内有最值，是指在该定义域内函数的取值范围的最大值或最小值。
三、求解函数的极值和最值的方法1. 寻找极值点和最值点通过对函数取导数，并找到导数等于零或不存在的点，可以确定函数的极值点和最值点。
2. 判断极值和最值通过二阶导数的正负来判断极值点和最值点的类型。
四、例题讲解1. 求解函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值通过求解函数的导数 f'(x) 和二阶导数 f''(x)，找到函数的极值点和最值点，并通过判断二阶导数的正负确定其类型。
五、练习题1. 练习题一：求解函数 f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 7 的极值和最值。
2. 练习题二：求解函数 f(x) = e^x - 2x + 3 的极值和最值。
六、总结函数的极值和最值是数学中的重要概念，可以通过求解函数的导数和二阶导数来确定函数的极值点和最值点，并通过判断二阶导数的正负来确定其类型。
通过学习和练习，我们可以掌握函数的极值和最值的求解方法和技巧。
七、延伸阅读1. 函数的极值和最值在实际生活中的应用。
2. 更复杂的函数极值和最值问题的解法探究。
以上是本教案关于高中数学中函数的极值和最值的简要介绍和讲解，希望能够对学生们理解和掌握相关概念有所帮助。
希望同学们能够通过大量的练习和实践，深入理解函数的极值和最值的概念，提高解决问题的能力。
高中数学备课教案函数的极值与最值
高中数学备课教案函数的极值与最值高中数学备课教案：函数的极值与最值一、引言函数是数学中的重要概念之一，而函数的极值与最值是函数的重要特性之一。
本备课教案将介绍函数的极值与最值的概念及求解方法，以帮助高中数学教师有效备课和教学。
二、函数的极值1. 极值的定义在数学中，函数在某一点上取得的最大值或最小值称为函数的极值。
极值分为最大值和最小值两种。
2. 极值的求解方法（1）求导法：对于函数y=f(x)，首先求出其导函数f'(x)，然后令f'(x)=0，求出使f'(x)=0的所有x的值，将这些值带入原函数f(x)中，求出相应的y值，即为函数的极值点。
（2）二次函数法：对于二次函数y=ax^2+bx+c，若a>0，则函数的最小值为顶点的纵坐标；若a<0，则函数的最大值为顶点的纵坐标。
（3）边界法：若函数的定义域为闭区间[a,b]，则只需计算在端点处的函数值，最大值为这些函数值中的最大值，最小值为这些函数值中的最小值。
三、函数的最值1. 最大值与最小值的定义函数的最大值指的是函数在定义域内取得的最大的函数值；最小值则是函数在定义域内取得的最小的函数值。
2. 最值的求解方法（1）求导法：对于函数y=f(x)，求出其导函数f'(x)，然后找出导函数的零点，这些点即为函数的驻点。
并将定义域内的驻点与端点的函数值进行比较，即可得到函数的最大值和最小值。
（2）闭区间法：若函数的定义域为闭区间[a,b]，则只需计算在端点处的函数值，最大值为这些函数值中的最大值，最小值为这些函数值中的最小值。
四、综合例题考虑一道综合例题来练习函数的极值和最值的求解：已知函数y=2x^3-3x^2-12x+2，请求其极值与最值。
解：首先求导得到导函数y'=6x^2-6x-12，令y'=0，解得x=2和x=-1。
将x=2和x=-1代入原函数y=2x^3-3x^2-12x+2中，得到y=2和y=-16，因此函数的极小值为（2，-16），极大值为（-1，2）。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 让学生理解函数最大值和最小值的概念。
2. 让学生掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的概念。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，利用导数求函数最大值和最小值的方法。
2. 教学难点：利用导数求函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解函数最大值和最小值的概念。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际案例掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 采用练习法，巩固学生对函数最大值和最小值的求解能力。
五、教学准备1. 教学课件。
2. 相关案例题。
3. 粉笔、黑板。
教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入函数最大值和最小值的概念。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数最大值和最小值的概念。
2. 讲解利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 通过案例分析，让学生理解并掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成相关案例题，巩固所学知识。
四、课堂小结（5分钟）1. 总结本节课所学内容，强调函数最大值和最小值的概念及求解方法。
五、作业布置（5分钟）1. 布置相关作业，巩固学生对函数最大值和最小值的求解能力。
六、教学拓展（10分钟）1. 讲解函数在区间上的最大值和最小值的存在性定理。
2. 介绍利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理证明函数最大值和最小值的存在性。
七、实际应用（10分钟）1. 介绍函数最大值和最小值在实际问题中的应用，如最优化问题、经济管理问题等。
2. 让学生举例说明函数最大值和最小值在实际问题中的应用。
八、课堂互动（10分钟）1. 学生分组讨论：如何求解多元函数的最大值和最小值。
2. 各组汇报讨论成果，教师点评并总结。
九、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结函数最大值和最小值的求解方法。
高等数学(上册)教案15函数的极值与最值
第3章导数的应用函数的极值与最值【教学目的】：1•理解函数的极值的概念；2.掌握求函数的极值的方法；3.了解最大值和最小值的定义；4.掌握求函数的最值的方法；5.会求简单实际问题中的最值。
【教学重点】：1.函数极值的第一充分条件，第二充分条件；2.导数不存在情况下极值的判定；3.函数最值的求解方法；4.函数的最值的应用。
【教学难点】：1.导数不器在情况下极值的判定；2.区分函数的驻点、拐点、极值点以及最值点；3.区分极值点与极值，最值点与最值；4.函数的最值的应用。
【教学时数】：2学时【教学过程】：3. 3.1函数的极值从图3-7可以看出，函数y =/(x)在点勺、心处的函数值儿、儿比它们近旁各点的函数值都大；在点河、些、入处的函数值儿、儿、儿比它们近旁各点的函数值都小，因此，给出函数极值的如下定义：一般地，设函数y = /(x) 在旺的某邻域内有定义，若对于©邻域内不同于厲的所有x，均有/(x) < /(“),则称/(儿)是函数y = f(x)的一个极大值，心称为极大值点；若对于耳邻域内不同于％的所有x,均有f(x) > /(x0),则称/g)是函数y = /(x)的一个极小值，©称为极小值点.函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点. 注意可导函数的极值点必是它的驻点，但反过来是不成立的，即可导函数的驻点不一定是它的极值点.极值的第一充分矗件设函数y = /(x)在点心的邻域内可导且广凤)=0,则(1)如果当x取兀左侧邻近的值时，广(心)>0；当x取心右侧邻近的值时, /V0）＜0，则;为函数y = /（x）的极大值点，/（%）为极大值；（2）如果当x取心左侧邻近的值时，广（心）＜0；当x取心右侧邻近的值时, 厂（心）＞0,则心为函数/⑴的极小值点，/（兀）为极小值；（3）如果当兀取％左右两侧侧邻近的值时，广（X。
）不改变符号，则函数f （x）在丸处没有极值.根据上述定理，求可导函数的极值点和极值的步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求函数的导数广（力，并求出函数/（X）的全部驻点以及不可导点；（3）列表考察每个驻点（及不可导点）左右邻近广W的符号情况以及不可导点的情况，根据定理2. 12判定极值点和极值.3 -例2求函数f（x） = x--x3的极值・乙解（1）函数的定义域为（-O0,+O0）；（2）广（x） = l-丁了；（3）令广（A-） = 0 ,得驻点x = l.当x = 0时，导数不存在;（4）列表讨论如下：由上表知，函数的极大值为/（0） = 0 ,极小值为/（l） = -i.2极值的笫二充分条件设函数y = /（x）在点耳的邻域内具有二阶导数且/V o） = o,厂（“）工0,则（1）当厂（x0）＜0时，函数/（X）在儿处取得极大值；（2）当厂（x0）＞0时，函数/（x）在心处取得极小值.注意当厂（儿）=0,且/Tv） = 0时，则上述方法失效，此时仍用第一充分条件来判定.3. 3.2函数的最大值与最小值求函数/（X）在闭区间S，饲上的最值的步骤如下：（1）求出函数/（x）的导数，并求出所有的驻点及不可导点；（2）计算函数/（切在这些点和端点处的函数值；（3）将这些值加以比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.注意（1）在求函数的最大值或最小值时，如果已知该函数在某个区间内只有一个极值点，那么在包含该极值点的此区间内，极大值就是最大值，极小值就是最小值.（2）在求函数的最大值或最小值时，如果已知该函数在某个区间内完全单调，则两个端点即为最值点，两端点处的函数值较大的为最大值，较小的为最小值。
高中数学教案学习函数的极值与最值
高中数学教案学习函数的极值与最值高中数学教案：学习函数的极值与最值前言：函数是数学中非常重要的概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
学习函数的极值与最值是高中数学中的重要内容。
通过本教案的学习，学生将会掌握如何求函数的极值与最值，培养分析和解决实际问题的能力。
一、极值的概念在学习函数的极值之前，我们先来了解什么是极值。
极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
它分为两种类型：极大值和极小值。
1.1 极大值函数在某个区间内的函数值，如果在其邻近的点上有较小的函数值，则该函数值被称为极大值。
换句话说，如果函数在某点左右两侧的函数值都比该点的函数值小，则该点处的函数值是极大值。
1.2 极小值函数在某个区间内的函数值，如果在其邻近的点上有较大的函数值，则该函数值被称为极小值。
换句话说，如果函数在某点左右两侧的函数值都比该点的函数值大，则该点处的函数值是极小值。
二、求极值的方法接下来，我们学习如何求函数的极值。
常用的方法有以下几种：2.1 导数法通过求函数的导数，可以得到函数的增减性和极值点的位置。
对于凸函数，导数大于0的区间为函数增加的区间，导数小于0的区间为函数减少的区间。
而对于凹函数，导数大于0的区间为函数减少的区间，导数小于0的区间为函数增加的区间。
2.2 零点法当我们求出函数的导数为零的解时，我们可以通过进一步的分析判断该点是否为极值点。
如果导数为零的点处于增减性变化的位置，那么该点就是函数的极值点。
2.3 边界法在求解函数的极值时，我们还需要考虑到函数定义域的边界。
如果函数的定义域是一个有限区间，那么我们需要判断区间端点处的函数值是否为极值。
三、最值的概念在了解了极值的求解方法之后，我们来学习最值的概念。
最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
3.1 最大值最大值是函数在定义域内取得的最大函数值。
在图像上来看，最大值对应着函数图像的最高点。
3.2 最小值最小值是函数在定义域内取得的最小函数值。
函数的最大值和最小值(教案与课后反思
函数的最大值和最小值一、教学目标：1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念。
2. 让学生掌握求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 函数的最大值和最小值的定义。
2. 求函数最大值和最小值的方法。
3. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的最大值和最小值的定义，求最大值和最小值的方法。
2. 教学难点：如何运用方法求解实际问题中的最大值和最小值。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。
2. 利用案例分析，让学生理解最大值和最小值在实际问题中的应用。
3. 开展小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 引入新课：通过生活中的例子，如购物时如何选择最划算的商品，引出函数的最大值和最小值的概念。
2. 讲解概念：详细讲解函数的最大值和最小值的定义，让学生明确最大值和最小值的意义。
3. 方法讲解：讲解求函数最大值和最小值的方法，并通过示例进行演示。
4. 案例分析：分析实际问题中的最大值和最小值，让学生了解最大值和最小值在生活中的应用。
5. 小组讨论：让学生分组讨论，运用所学方法解决实际问题。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调最大值和最小值的概念及求解方法。
7. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
课后反思：本节课通过生活中的例子引入最大值和最小值的概念，让学生容易理解。
在讲解方法时，结合示例进行演示，有助于学生掌握。
在案例分析和小组讨论环节，学生能够积极参与，运用所学知识解决实际问题。
但部分学生在理解最大值和最小值的应用时仍有一定难度，需要在今后的教学中加强引导和练习。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课后访谈等方式，了解学生对函数最大值和最小值概念的理解程度。
2. 评估学生在实际问题中运用最大值和最小值方法的能力。
3. 根据学生的表现，调整教学策略，以提高教学质量。
七、教学拓展：1. 引导学生关注其他类型的函数（如二次函数、指数函数等）的最大值和最小值问题。
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第3章 导数的应用
函数的极值与最值
【教学目的】：
1. 理解函数的极值的概念；
2. 掌握求函数的极值的方法；
3. 了解最大值和最小值的定义；
4. 掌握求函数的最值的方法；
5. 会求简单实际问题中的最值。
【教学重点】：
1. 函数极值的第一充分条件，第二充分条件；
2. 导数不存在情况下极值的判定；
3. 函数最值的求解方法；
4. 函数的最值的应用。
【教学难点】：
1. 导数不存在情况下极值的判定；
2. 区分函数的驻点、拐点、极值点以及最值点；
3. 区分极值点与极值，最值点与最值；
4. 函数的最值的应用。
【教学时数】：2学时
【教学过程】：
3.3.1函数的极值
从图3-7可以看出，函数)(x f y =在点2x 、5x 处的函数
值2y 、5y 比它们近旁各点的函
数值都大；在点1x 、4x 、6x 处
的函数值1y 、4y 、6y 比它们近
旁各点的函数值都小，因此，给出函数极值的如下定义： 一般地， 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若对
于0x 邻域内不同于0x 的所有x ，均有)()(0x f x f <，则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极大值，0x 称为极大值点；若对于0x 邻域内不同于0x 的所有x ，均有)()(0x f x f >，则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极小值，0x 称为极小值点. 函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点. 注意 可导函数的极值点必是它的驻点，但反过来是不成立的，即可导函数的驻点不一定是它的极值点.
极值的第一充分条件 设函数)(x f y =在点0x 的邻域内可导且0)(0='x f ，则
（1）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，0)(0>'x f ；当x 取0x 右侧邻近的值时，
0)(0<'x f ，则0x 为函数)(x f y =的极大值点，)(0x f 为极大值；
（2）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，0)(0<'x f ；当x 取0x 右侧邻近的值时，0)(0>'x f ，则0x 为函数)(x f 的极小值点，)(0x f 为极小值；
（3）如果当x 取0x 左右两侧侧邻近的值时，)(0x f '不改变符号，则函数)(x f 在0x 处没有极值.
根据上述定理，求可导函数的极值点和极值的步骤如下：
（1）确定函数的定义域；
（2）求函数的导数)(x f '，并求出函数)(x f 的全部驻点以及不可导点；
（3）列表考察每个驻点（及不可导点）左右邻近)(x f '的符号情况以及不可导点的情况，根据定理2.12判定极值点和极值.
例2 求函数322
3)(x x x f -=的极值. 解（1）函数的定义域为),(+∞-∞；
（2）311)(--='x x f ；
（3）令0)(='x f ，得驻点1=x .当0=x 时，导数不存在；
由上表知，函数的极大值为0)0(=f ，极小值为2
1)1(-=f . 极值的第二充分条件 设函数)(x f y =在点0x 的邻域内具有二阶导数且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则
（1）当0)(0<''x f 时，函数)(x f 在0x 处取得极大值；
（2）当0)(0>''x f 时，函数)(x f 在0x 处取得极小值.
注意 当0)(0='x f ，且0)(=''x f 时，则上述方法失效，此时仍用第一充分条件来判定.
3.3.2 函数的最大值与最小值
求函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最值的步骤如下：
（1）求出函数)(x f 的导数，并求出所有的驻点及不可导点；
（2）计算函数)(x f 在这些点和端点处的函数值；
（3）将这些值加以比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.
注意
（1）在求函数的最大值或最小值时，如果已知该函数在某个区间内只有一个极值点，那么在包含该极值点的此区间内，极大值就是最大值，极小值就是最小值．
（2）在求函数的最大值或最小值时，如果已知该函数在某个区间内完全单
调，则两个端点即为最值点，两端点处的函数值较大的为最大值，较小的为最小值。
例6 用一块边长为cm 24的正方形铁皮，在其四角各截去一块面积相等的小正方形，做成无盖的铁盒.问截去的小正方形边长为多少时，做出的铁盒容积最大？
解 设截去的小正方形的边长为cm x ，铁盒的容积为3cm V .根据题意，得 2)224(x x V -= )120(<<x ，
于是，问题归结为：求x 为何值时，函数V 在区间)12,0(内取得最大值.
)2)(224(2)224(2--•+-='x x x V
)4)(12(12)624)(224(x x x x --=--=，
令0='V ，解得121=x ，42=x .
因此，在区间)12,0(内函数只有一个驻点4=x ，又由问题的实际意义知，函数V 的最大值在)12,0(内取得.所以，当4=x 时，函数V 取得最大值.即当所截去的正方形边长为cm 4时，铁盒的容积为最大.
【教学小节】：
通过本节的学习，学会应用导数求解函数的极值与最值，并能够解决实际生活中遇到的简单最值问题。
【课后作业】：
无。