一阶二阶系统的动态响应
一阶二阶系统的动态响应
常见控制系统输入信号
§3.1.2 时域法常用的典型输入信号
线性系统时域性能指标
稳：( 基本要求 ) 系统受脉冲扰动后能回到原来的平衡位置 准: ( 稳态要求 ）稳态输出与理想输出间的误差(稳态误差)要小 快: ( 动态要求 ) 过渡过程要平稳，迅速 延迟时间 t d — 阶跃响应第一次达到终值的5％所需的时间
自动控制原理作业二
2 F (s) 2 s 3s 2 c+3c+2=2r s 2 c ( s ) s c ( 0 ) c ( 0 ) 3 s c ( s ) c ( 0 ) 2 c ( s ) 2 r ( s ) 2 s c ( 0 ) c ( 0 ) 3 c ( 0 ) c(s) 2 r(s) s 3s 2 s2 3s 2 2 1 s 3 2 2 s 3s 2 s s 3s 2 2 1 1 2 1 s1 s 2 s s1 s 2 4 2 1 s1 s 2 s c ( t ) 1 4 e t 2 e 2t u ( t )
特征根S=－1/T，T越小，惯性越小，动特性越好
一阶系统的时间响应及动态性能
例1 系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时间减小 到原来的0.1倍，且保证原放大倍数不变，试确定参数 Ko 和 KH 的取值
M
m
ia
E
b
M
e
m
G s ) e( 2 M C Ks J s s R Ls e m b m f m a a R a 2 RJ s K C s a m m b f m
m
Ls R a a
电枢控制式直流电动机
例题2-6Mm来自iaEb
系统阶跃响应实验报告
一、实验目的1. 了解系统阶跃响应的基本概念和特性。
2. 掌握系统阶跃响应的测试方法。
3. 分析系统阶跃响应的动态性能指标。
4. 通过实验验证理论知识，加深对系统动态特性的理解。
二、实验原理阶跃响应是指系统在单位阶跃输入信号作用下的输出响应。
对于线性时不变系统，其阶跃响应具有以下特点：1. 稳态值：系统达到稳定状态后的输出值。
2. 超调量：系统输出在稳定前达到的最大值与稳态值之差与稳态值之比。
3. 调节时间：系统输出达到并保持在稳态值的±2%范围内的持续时间。
4. 过渡过程时间：系统输出从0%达到并保持在100%稳态值范围内的持续时间。
三、实验仪器与设备1. 自动控制系统实验箱2. 计算机及实验软件3. 阶跃信号发生器4. 数据采集卡四、实验内容1. 构建实验系统，包括一阶系统和二阶系统。
2. 分别对一阶系统和二阶系统进行阶跃响应实验。
3. 测试并记录系统的稳态值、超调量、调节时间和过渡过程时间等动态性能指标。
4. 分析实验结果，验证理论公式。
五、实验步骤1. 构建一阶系统实验电路，包括惯性环节和比例环节。
2. 将阶跃信号发生器输出接入系统输入端，通过数据采集卡采集系统输出信号。
3. 测试一阶系统的阶跃响应，记录稳态值、超调量、调节时间和过渡过程时间等动态性能指标。
4. 构建二阶系统实验电路，包括惯性环节、比例环节和积分环节。
5. 同样地，测试二阶系统的阶跃响应，记录稳态值、超调量、调节时间和过渡过程时间等动态性能指标。
6. 对比一阶系统和二阶系统的阶跃响应特性，分析实验结果。
六、实验结果与分析1. 一阶系统阶跃响应实验结果：- 稳态值：1.0- 超调量：0%- 调节时间：0.5s- 过渡过程时间：0.5s2. 二阶系统阶跃响应实验结果：- 稳态值：1.0- 超调量：10%- 调节时间：1.5s- 过渡过程时间：1.5s从实验结果可以看出，二阶系统的阶跃响应超调量较大，调节时间和过渡过程时间较长，说明二阶系统的动态性能相对较差。
二阶系统的阶跃响应
瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频
率的为衰减速d，度称取为决阻于尼指振数荡函频数率的，幂瞬，态称分量为
衰减系数。
二阶系统的阶跃响应
经过实验知， 过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应速度最
快； 欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升
时间越小，通常取阻尼比在0.4-0.8之间，此时超调量 合适，调节时间短； 若系统有相同的阻尼比，而振荡频率不同，则振荡特 性相同，但响应速度不同，振荡频率大的，响应速度 快.
一、二阶系统的阶跃响应 0 1
当 R(s) 1/ s 时，由传递函数性质有
C(s) R(s)G(s)
n2
1
s2 2ns n2 s
1 s
s 2 n
2 2 s
s n
2 n
1 s
(s
s )2 d2
(s
一、二阶系统的阶跃响应
当 1系统有两个正实根
单位阶跃响应为
h(t) 1
e( 2 1)nt
e( 2 1)nt
2 2 1( 2 1) 2 2 1( 2 1)
式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动 态过程为发散的形式
c(t) 1
et /T1
et /T2
T2 / T1 1 T1 / T2 1
对应于s平面两个不相等的实极点，相应的阶跃响应非周
期地趋于稳定状态，但响应速度要比临界阻尼慢。此
时系统为 过阻尼 情况。
一、二阶系统的阶跃响应
上式中
T1
n (
1
2
1)
由此可见
1
自动控制理论_08一、二阶系统的与计算.详解
n t
(cosd t +
1 2
sin d t ) +
[d e
n t
( sin d t +
1 2
cosd t )]
h(t ) = ne n t cosd t +
2 n
1 2
e n t sin d t
+ n 1 2 e n t sin d t
d tr + = n (n = 0,1,2,)
由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所需 时间，所以应取n=1。
所以：
tr = d
②峰值时间 t p ：
h(t ) = 1
h(t ) = 1 e
e nt 1
2
sin( d t + )
(1)
nt
1
振荡角频率为： d = n 1 2
结论：ξ越大，ωd越小，幅值也越小，响应的振荡倾向 nt 1 越弱，超调越小，平稳性越好。反之， ξ 越小， ωd 越大， h(t ) = 1 e sin(d t + ) 2 1 振荡越严重，平稳性越差。
从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零， 当 ξ ＝ 0 时，为零阻尼响应，具有频率为 ω 的不衰减 n 而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的 （等幅）振荡。 单位阶跃响应稳态误差为零。
演示
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
①上升时间 t r ：令 h(tr ) = 1 ，则
1
1 1
e
2
e
nt
sin(d t + ) = 1
n t r 2
1
2.1中 一阶与二阶系统举例
kz 0
0 0
（1）
令 k m , h ( c m )(1 2 ) , 和h 分别称为系统的固有共振频率和阻尼比.
则有： d
x
2
z
2
dt
2h 0
dz dt
0 z
2
d X dt
2
2
ax
（2）
式中, a 为被测加速度。 由式(2)可写出被测加速度与相对位移z之间的 传递函数为 z(s) 1 G (s) a (s) s 2h s （3） 由式（3）易得 z ( j ) 1 G ( j ) a ( j ) 2 h j （4）
（3）
式中 τ=mc/kA——为时间常数，它是表征一阶动态系统的重要指标， 正是由于τ的存在，一阶系统的输出跟不上阶跃输入的快速变化，从 而产生测量误差。
二阶系统举例: 许多传感器具有二阶系统的特征，典型的例 子是惯性测振仪，该仪器可用于测量振动加 速度，即基座位移X(t)的二次导数。 惯性测振仪的原理图。
0
一个传感器可能具有一阶、二阶或更高阶 的动态特性。 由于传感器动态特性的非理想性，所以在 测量动态信号时会产生动态误差。 理想特性：传感器传递函数的幅值谱为水 平直线
kA ( T F T ) d [ mc ( T T 0 )] dt
(1)
式中：k——液体和传感器间的总传热系数; A——有效传热面积; m——传感器质量; C——传感器材料比热。 令 T F T F T0 , T T T0 , 由式（1）有
mc .d T kA .dt
2 x 0 2 0
2 x 0 2 0
G ( j )
1 ( 0 ) ( 2 h 0 )
一阶系统和二阶系统区分方法
一阶系统和二阶系统是控制系统中常见的两种类型，它们可以通过以下几个方面进行区分： 1. 数学模型形式：一阶系统的数学模型通常由一个一阶微分方程描述，例如 RC 电路。而二 阶系统的数学模型则由一个二阶微分方程描述，例如振动系统或者 RLC 电路。
2. 阶数：一阶系统的阶数为1，即系统的最高导数为一阶导数。而二阶系统的阶数为2，即 系统的最高导数为二阶导数。
3. 动态响应：一阶系统的动态响应相对简单，通常具有指数衰减的特点。例如，一阶惯性 系统的响应可以用指数函数来描述。而二阶系统的动态响应则更加复杂，通常具有振荡、超调 和稳定性等特点。
一阶系统和二阶系统区分方法
4. 频率响应：一阶系统的频率响应通常是单调递减的，即随着频率的增加，系统的增益逐 渐减小。而二阶系统的频率响应则可能具有共振现象，即在某个特定频率处，系统的增益达 到最大值。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5. 控制器设计：由于其较简单的动态特性，一阶系统的控制器设计相对简单。而二阶系统 的控制器设计则需要考虑更多的因素，例如稳定性、超调和振荡等。
通过对以上方面的观察和分析，可以较为准确地区分一阶系统和二阶系统。但需要注意的 是，实际系统可能具有更复杂的特性，可能不严格符合一阶或二阶系统的定义，因此在实际 应用中需要综合考虑多种因素。
《自动控制》一二阶典型环节阶跃响应实验分析报告
《自动控制》一二阶典型环节阶跃响应实验分析报告一、实验目的本实验旨在通过实际的一二阶典型环节阶跃响应实验，掌握自动控制理论中的基本概念和方法，并能够分析系统的动态响应特性。
二、实验原理1.一阶惯性环节：一阶惯性环节是工程实际中常见的系统模型，其传递函数为G(s)=K/(Ts+1)，其中K为传递函数的增益，T为时间常数。
2.二阶惯性环节：二阶惯性环节是另一类常见的系统模型，其传递函数为G(s)=K/((Ts+1)(αTs+1))，其中K为传递函数的增益，T为时间常数，α为阻尼系数。
3.阶跃响应：阶跃响应是指给定一个单位阶跃输入，观察系统的输出过程。
根据系统的阶数不同，其响应形式也不同。
实验仪器：电动力控制实验台，控制箱，计算机等。
三、实验步骤1.将实验台上的一阶惯性环节模型接入控制箱和计算机，并调整增益和时间常数的初始值。
2.发送一个单位阶跃信号给控制器，观察实验台上的输出响应，并记录时间和输出值。
3.根据记录的数据，绘制一阶惯性环节的阶跃响应图像。
4.类似地，将实验台上的二阶惯性环节模型接入控制箱和计算机，并调整增益、时间常数和阻尼系数的初始值。
5.发送一个单位阶跃信号给控制器，观察实验台上的输出响应，并记录时间和输出值。
6.根据记录的数据，绘制二阶惯性环节的阶跃响应图像。
四、实验结果与分析1.一阶惯性环节的阶跃响应图像如下：（在此插入阶跃响应图像）根据图像可以看出，随着时间的增加，输出逐渐趋于稳定。
根据实验数据，可以计算出一阶惯性环节的增益K和时间常数T的估计值。
2.二阶惯性环节的阶跃响应图像如下：（在此插入阶跃响应图像）根据图像可以看出，相较于一阶惯性环节，二阶惯性环节的响应特性更加复杂。
根据实验数据，可以计算出二阶惯性环节的增益K、时间常数T和阻尼系数α的估计值。
五、实验结论通过本实验，我们成功地进行了一二阶典型环节阶跃响应实验，并获得了实际的响应数据。
通过对实验数据的分析，我们得到了一阶惯性环节和二阶惯性环节的估计参数值。
Ch04 一阶过程和二阶过程的动态特性
峰值时间 最大超调nput Signals
Ramp function
xi
a
a=1 称为单位斜坡函数
0
1
t
Sinusoidal function
§4-1 Typical Input Signals
究竟采用哪种典型信号？
取决于系统在正常工况下最常见的输入信号形式 斜坡信号 阶跃信号 脉冲信号 正弦信号 随时间逐渐变化的输入 突然的扰动量、突变的输入 冲击输入 随时间往复变化的输入
1 0
5
wnt
10
15
阻尼系数、特征根与二阶系统单位阶跃响应
阻尼系数 特征根
[s]
二阶系统单位阶跃响应
[s]
[s]
阻尼系数、特征根与二阶系统单位阶跃响应
阻尼系数 特征根
[s]
二阶系统单位阶跃响应
[s]
[s]
§5-4 Time-domain Performance Specifications
时域分析性能指标是以系统对单位阶跃输入的瞬态响应 形式给出的。
§4-3 Transient Response of Second-order Systems
二阶系统：
能够用二阶微分方程描述的系统。 它的典型形式是二阶振荡环节。
形式一：
形式二：
二阶系统的单位阶跃响应
单位阶跃输入
则：
根据二阶系统的 极点分布特点， 分五种情况进行 讨论。
欠阻尼 临界阻尼 过阻尼 零阻尼 负阻尼
t
瞬态响应
稳态响应
——动态性能描述
——稳态性能描述
标准过程输入 一阶系统的瞬态响应 二阶系统的瞬态响应
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(s)
K s
K T 1 K
1 T
1
1 K s K s 1 Ts1
s
T
C(s) (s) R(s) 1 1 1 1 Ts 1 s s s 1 T
h(t )
L1 C ( s )
1
t
eT
1
1 T
一阶系统的时间响应及动态性能
1t
h(t ) 1 e T
h(t )
1
1t
eT
T
h(0) 0
自动控制原理作业二
F(s) 2s2 5s 1 e-2s s(s2 1 )
1 s
15 22 s j
j
15 22 s j
j
e-2s
1 s
1 2
5 2
j
e
jt
1 2
5 2
j
e
jt
e-2s
1
e jt e jt
e jt e jt 5
e-2s
s
2
2 j
f (t) 1(t 2) cos t 2 5sin t 2 u(t 2)
快
时间;有振荡时，可定义为从 0 到第一次达到终值
所需的时间
峰值时间 t p — 阶跃响应越过终值达到第一个峰值所需的时间
调节时间 t s — 阶跃响应到达并保持在终值 5％误差带内所需的
最短时间
超 调 量 δ％ — 峰值超出终值的百分比
准
稳态误差e( )
动态性能指标图示
系统性能指标图示
一阶系统的时间响应及动态性能
0
0.48ui 0 R
ui r
i
自动控制原理
§3 线性系统的时域分析与校正
§3.1 概述 §3.2 一阶系统的时间响应及动态性能 §3.3 二阶系统的时间响应及动态性能
§3.3.1 欠阻尼二阶系统动态性能 §3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能
§3.4 §3.5 §3.6 §3.7
高阶系统的阶跃响应及动态性能 线性系统的稳态误差 线性系统的稳定性分析 线性系统时域校正
一阶系统的时间响应及动态性能
例2 已知单位反馈系统的单位阶跃响应 h(t ) 1 eat
试求 s , k(s) , G(s) 。
解． k(t ) h(t ) [1 eat ] aeat
(s) L[ k(t) ] a
(s) KOG(S) 0.2s 1
10KO
1 K HG(s) 1 10K H 0.2s 1 10K H
0.2s 1
0.2
1 10K H 10KO
T* 0.02 K* 10
1 10K H
KH KO
0.9 10
10KO 1 10K H
0.2 s 1 1 10K H
自动控制原理作业二
F(s)
s2
2 3s
2
&c&+3c&+2=2r
s2c(s) sc(0) c(0) 3 sc(s) c(0) 2c(s) 2r(s)
2
sc(0) c(0) 3c(0)
c(s) s2 3s 2 r(s)
s2 3s 2
s2
2 3s
2
1 s
s 3 s2 3s
s
4
1
f (t) 2 u(t ) 1 e3t 3 et 1 tet 3 12 4 2
或者
f
(
t
)
(s
s2 3 )(s
1
)2
e st
|s
0
s s(s
2 1 )2
e
st
|s3
d
s2 s(s 3)
1!ds
e st
|s1
2 u(t ) 1 e3t 3 et 1 tet 3 12 4 2
时域分析法在经典控制理论中的地位和作用
时域法的作用和特点 时域法是最基本的分析方法,学习复域法、频域法的基础 (1) 直接在时间域中对系统进行分析校正，直观，准确； (2) 可以提供系统时间响应的全部信息； (3) 基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。
常见控制系统输入信号
§3.1.2 时域法常用的典型输入信号
Me
m
Me
Mm
Cm
1
La s Ra
1 fm
Jm fm s 1
Kbs
Ua (s)
1 s m (s)
题A-2-10
热平衡方程
Cd0 qi q0 dt
外散发热量方程
q0
0
i
R
整理得
RC
d0
dt
0
Rqi
i
引入电阻发热关系得
RC
d0
dt
0
0.24R
ui r
i
线性化处理
RC
d0
dt
线性系统时域性能指标
稳：( 基本要求 ) 系统受脉冲扰动后能回到原来的平衡位置
准: ( 稳态要求 ）稳态输出与理想输出间的误差(稳态误差)要小
快: ( 动态要求 ) 过渡过程要平稳，迅速
延迟时间 t d — 阶跃响应第一次达到终值的5％所需的时间
上升时间 t r — 阶跃响应从终值的10％上升到终值的90％所需的
2
2 1 1 2 1 s1 s2 s s1 s2
4 2 1 s1 s2 s
c(t ) 1 4et 2e2t u(t )
例题2-6
电枢控制式直流电动机
Mm Jm s2 fm s m Me
Cmia Jm s2 fm s m Me
Cm
Eb La s Ra
1）T 暂态分量 响应时间 极点距离虚轴 2）T 暂态分量 响应时间 极点距离虚轴
特征根S=－1/T，T越小，惯性越小，动特性越好
一阶系统的时间响应及动态性能
例1 系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时间减小 到原来的0.1倍，且保证原放大倍数不变，试确定参数 Ko 和 KH 的取值
10KO
或者
F(s)
2s2 5s 1 s(s2 1 )
e-2s
1 s
s2
s
1
5 s2
1
e-2s
f (t) 1(t 2) cos t 2 5sin t 2 u(t 2)
自动控制原理作业二
s2 F(s) s(s 3 )(s 1 )2
21
1
3
3 s
12 s3
2
s 12
Jms2 fms m Me
Cm
Kb sm
La s Ra
Jms2 fms m Me
Mm ia Eb
Me
m
Ge (s)
m
Me
CmKbs
La s Ra Jms2 fms
La s Ra
RaJm s2
Ra Cm Kb fm
s
例题2-6
电枢控制式直流电动机
Mm ia Eb
h() 1
h(0) 1 T
ts
h(ts ) 1 e T 0.95
ts
e T 1 0.95 0.05
ts T ln 0.0系统的时间常数 (1)可以用系统时间常数去度量系统的输出量的数值 (2)导数随时间的变化
时间常数对系统性能的影响