研究生高等代数复习题

1.设 是数域P 上线性空间V 的线性变换且=,证明:（1） 的特征值为1或0；（2）{}1(0)()A V ααα-=-∈;（3） (0)()V V =⊕.2.已知 是n 维欧氏空间的正交变换，证明： 的不变子空间W 的正交补W ⊥也是 的不变子空间．3.已知复系数矩阵=A 123401230012001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， （1） 求矩阵A的行列式因子、不变因子和初等因子；（2）若当标准形.（15分） 4.已知二次型22212312323(,,)2332f x x x x x x ax x =+++，(0)a >通过某个正交变换可化为标准形22212325f y y y =++，（1）写出二次型对应的矩阵A 及A 的特征多项式，并确定a 的值； （2）求出作用的正交变换.6.设A为n阶方阵，{}|0W x RAx =∈=，{}|()0W x RA E x =∈-=证明A为幂等矩阵，则R W W =⊕.7.若设W={}()(1)0,()[]f x f f x R x =∈,证明：W 是[]R x 的子空间，并求出W 的一组基及维数.8.设V 是一个n 维欧氏空间，,,,ααα为V 中的正交向量组，令{}(,)0,,1,2,,W V i m αααα==∈=（1）证明：W 是V 的一个子空间；（2）证明：(),,,WL ααα=.9.试求矩阵3100110030534131A -=---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的特征多项式、最小多项式. 10.在线性空间nP中定义变换σ：(,,,)(0,,,)x x x x x σ=（1）证明：σ是P的线性变换.（2）求值域()Pσ及核(0)σ的基和维数. 11.证明二次型22111(,,)()2nnn i i i i f x x n x x n ===-≥∑∑ ()是半正定的.12.求λ的值，使222123412321223134(,,,)()222f x x x x x x x x x x x x x x λ=+++-++是正定二次型. （12分）13.设 111333222A -=----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1）求A 的不变因子.（2）求A 的若当标准形. 14.设4R的线性变换 在标准基下的矩阵为2111121111211112A ----=----⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， （1）求 的特征值和特征向量， （2）求4R 的一组标准正交基，使 在此基下的矩阵为对角矩阵.15.设,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，线性变换 在这组基下的矩阵为1021121312552212A -=--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）求线性变换 的秩，（2）求线性变换 核与值域.16.求正交变换使二次型244x x x x x x -+-化为标准形，并判定该二次型是否正定. 17.设,,,e e e 是5维的欧几里得空间5R 的一组标准正交基，(,,)V L ααα=，其中,,45e e e e e e e eααα=+=-++=-+，求V 的一组标准正交基.18. 设()A a =是n n ⨯矩阵，其中{,1,a i j a iji j≠== （1）求det A 的值；（2）设}{0W X AX ==，求W 的维数及W 的一组基.19.设 是线性空间3R 上的线性变换，满足(,,),()(,,)x y z R x y y z z x αα'∀=∈=+++，求 在基{}(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)'''下的矩阵.20.设 是n 维线性空间V上的线性变换，,,,εεε是V 的一组基.如果 是单射，则,,,εεε也是一组基.21.二次型(,,)222f x x x x x x x x x =+-，1）写出二次型f 的矩阵A ；2）求出A 的特征值与特征向量；3）求一正交变换，将f化为标准形.22.求方阵31113122A -=-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的不变因子、初等因子和若当标准形. 23.设V 是n 维欧氏空间，n≥3, 给定非零向量V α∈，令(,)::2(,)V V βαϕββααα→-证明：（1）αφ是正交变换；（2）如果,,,,αααα是正交基，则存在不全为零实数,,k k k 使得k k k φφφ+++是V 上的恒等变换.24.12,V V 是120n x x x +++=和10,1,2,,1i i x x i n --==-的解空间,则P V V =⊕.25.设σ和τ是线性空间[]P x 中依据如下方式定义的两个线性变换： (())()f x f x σ'=，(())()f x xf x τ=，求σττσ-.26.设欧氏空间中有12,,,,nβααα，0β≠．112(,,,)n W L ααα=，212(,,,,)n W L βααα=，证明：如果(,)0βα=，那么12dim dim W W ≠．27.求实二次型 (,,,)2242f x x x x x x x x x x x x =+++的规范形及符号差.（15分）28.设A 是一个8阶方阵，它的8个不变因子为1，1，1，1，1，1λ+，1λ+，23(1)(2)(3)λλλ+-+，求A 的所有的初等因子及A 的若当标准形.29.设V 为数域P上的n 维线性空间，且12(,,,)n VL ααα=(1）证明：11212{,,,}n αααααα++++是V的一组基；(2) 若V α∈在基12{,,,}n ααα下的坐标为(,1,,21)n n -，求α在基11212{,,,}n αααααα++++下的坐标. （14分）30.在三维空间3P中，已知线性变换T在基123(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)ηηη=-=-=下的矩阵是101110121-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求T 在基(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)ee e ===下的矩阵.31.在线性空间nR中，定义(,)x y xAy '=，21212(,),(,)x x x y y y R ∀==∈，其中2336A -=-⎛⎫ ⎪⎝⎭。

（1）证明：(,)x y 是2R 的内积，因而2R按此内积构成一个欧氏空间，（2）求2R的一组标准正交基，（3）求矩阵P，使得A P P '=.32.设4R 的两个子空间为：(){}112341234,,,0V x x x x x x x x =-+-=,{}212341234(,,,)0V x x x x x x x x =+++=.求12V V +与12V V 的基与维数.33.设V是3维线性空间，123,,ααα为它的一个基.线性变换:V Vτ→，求（1）τ在基123,,ααα下的矩阵； （2）求核ker τ和值域Im τ.34.设V 是实数域上所有n 阶对称阵所构成的线性空间，对任意,A B V ∈，定义(,)A B trAB =，其中trAB 表示AB的迹.（1）证明：V 构成一欧氏空间；（2）求使0trA =的子空间S 的维数；（3）求S 的正交补S⊥的维数.35.试找出全体实2级矩阵2()M R 所构成的线性空间到4R的一个线性同构.36.求由向量(1,2,1,0),(1,1,1,1)αα==-生成的子空间1V 与由向量(2,1,0,1),(1,1,3,7)ββ=-=-生成的子空间2V 的交的基和维数.37.设122336224A -=--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求(1)A 的不变因子、行列式因子、初等因子.(2)A 的Jordan 标准形.38.设n n P ⨯是数域P 上n n ⨯矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，定义变换()A A σ'=，A V ∀∈.（1）证明：σ是n nP⨯上的对合线性变换，即σ是满足2I σ=（恒等变换）的线性变换；（2）求σ的特征值和特征向量.39.已知实二次型(,,)444444f x x x x x x x x x x tx x =-----+（1）假设(,,)f x x x 是负定二次型，求t的值；（2）当1t=-时，试用非退化线性变换化此二次型为标准形并写出所用的线性变换的矩阵.40.设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组基，这组基的度量矩阵为112121216----⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1）令γαα=+，证明γ是个单位向量；（2）若k βααα=++与γ正交，求k .41.已知|,00ab W a b R =∈⎧⎛⎫⎫⎨⎬ ⎪⎩⎝⎭⎭,0|,0a W a cR c=∈⎧⎛⎫⎫⎨⎬⎪⎩⎝⎭⎭是22R⨯的两个子空间，求1212,WW W W ⋂+的一个基和维数.42. V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令 证明：W 1、W 2皆为V 的子空间，且12VW W =⊕.43.由三个函数1,cos ,sin t t 生成的实线性空间记为V , 求线性变换T:VV,()()3f t f t π+的迹，行列式和特征多项式.44.求λ-矩阵11λλλλλλλλλ--+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的初等因子和不变因子. 45.设β为n 维欧氏空间V 中一个单位向量，定义V 的线性变换 如下：2(,),.V ααβαβα=-∀∈证明： 为第二类的正交变换47.在线性空间P 2×2中，(1)求1212(,)(,)L A A L B B 的维数与一组基； (2)求1212(,)(,)L A A L BB +的维数与一组基.47’.设为n 维线性空间V 的一个线性变换，且2=(恒等变换)，证明:(1)的特征值只能是1或 -1；(2)11-⊕=V V V .48.已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化为标准形22212325f y y y =++，求a 的值及所作的正交变换．49.3P 中，线性变换σ关于基)1,1,1(1-=α，)1,0,1(2-=α，)1,1,0(3=α的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121011101A （1）求σ关于标准基321,,εεε的矩阵； （2）设3216αααα-+=,321εεεβ+-=,求)(),(βσασ关于基},,{321ααα的坐标. 50.设σ是3R 的线性变换,（1）求值域)Im(σ的一个基和维数；（2）求核)(σKer 的一个基和维数．51.（1）实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为几类；（2）某四元二次型有标准形24232221432y y y y ++-，求其规范形.52.设300014113A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（1）求A 的最小多项式；（2）求A 的初等因子；（3）求A 的若当标准形. 53.设123(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)ααα=--=--=--，在4R 中求与123,,ααα同时正交的单位向量（内积按通常的定义）.54.已知n nP ⨯的两个子空间1n n V A A A P ⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭'==∈，2n n V A A A P ⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭'==-∈， 证明：12n nPV V ⨯=⊕．55.求下面矩阵A 的列空间在4R 中的正交补的一个标准正交基.（15分）56.设A 为n 阶方阵，{}1|0nW x R Ax =∈=，{}2|()0nW x RA E x =∈-=证明：A 为幂等矩阵当且仅当12nR W W =⊕.57.设是数域P 上线性空间V 的线性变换，1λ,2λ是A 的特征值，且12λλ≠，1V λ,2V λ分别是对应于1λ,2λ的特征子空间，试证：1V λ+2V λ是直和.58.设,,,1234εεεε是4维空间V的一组基，已知线性变换在这组基下的矩阵为1021121312552212⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪--⎝⎭，求的核和值域.59.已知向量()()()()TTTT7,2,1,1,9,2,1,2,6,6,1,1,3,4,2,14321-=---=--==αααα,()Ta ,4,2,4=β，（1）求线性子空间),,,(4321ααααL W=的维数与一个基； （2）求a 的值，使得β∈W ，并求β在（1）所选基下的坐标.。