最小生成树和拓扑排序
graph
割顶： 连通图中的一个点，如果删去这个点和相关的边， 那么整个图就不再连通了。 （这里只讨论无向图中的桥和割顶） B A F E C D
在左图中，DE之间的边即为这张图中唯 一的一个桥。
而D,E则分别为这张图中的两个割顶。
G
桥和割顶
A B
A
F E C D G C D
B
E F
在dfs树中，我们不难发现，对于一个桥，必 然没有一条返祖边跨越这条边，反之，则必然 存在一条返祖边跨越这条边。
}
例2、phoneline (USACO)
有N(1<=n<=1000)个点，M(1<=m<=10000)条边， 寻找一条从结点1到结点N的路径，使得其中各 边长度的最大值最小。并且给定一个整数 K(0<=k<=300)，可以使路径中的K条边长度变为 零。求最小的那个最大值。 乍看和最短路没有关系，因为要求最大值最小。
时间复杂度同最短路径
Sec.3 最小生成树
最小生成树的定义：对于一个连通的带权图，选取一些边，使 得整个图连通，并且所选边的权值和最小。这些边与点所构成 的集合就是最小生成树。
3
4 4
3
数据结构 图 练习题
数据结构图练习题数据结构图练习题在计算机科学领域中，数据结构是一种用来组织和存储数据的方式。
而图是一种常见的数据结构，它由一组节点和连接这些节点的边组成。
图可以用来表示各种各样的关系，比如社交网络中的用户关系、城市之间的道路网络等等。
在本文中，我们将探讨一些与图相关的练习题，帮助读者更好地理解和应用图的概念。
1. 最短路径问题最短路径问题是图论中的经典问题之一。
给定一个带权重的有向图，我们需要找到从一个起始节点到目标节点的最短路径。
这里的权重可以表示为距离、时间或者其他度量。
解决这个问题的算法有很多，其中最著名的是Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
读者可以尝试使用这些算法来解决一些具体的实例，比如计算两个城市之间的最短路径。
2. 拓扑排序拓扑排序是对有向无环图(Directed Acyclic Graph，简称DAG)进行排序的一种算法。
在一个DAG中，节点之间存在一种偏序关系，即某些节点必须在其他节点之前进行处理。
拓扑排序可以帮助我们确定这种偏序关系，从而找到一种合理的处理顺序。
比如，在编译器中，拓扑排序可以用来确定源代码中各个函数的调用顺序。
读者可以尝试编写一个拓扑排序算法，并应用到一些具体的场景中。
3. 最小生成树最小生成树是一个无向连通图中一棵权值最小的生成树。
在一个连通图中，最小生成树可以帮助我们找到一种最优的连接方式，以满足一些约束条件。
最常用的算法是Prim算法和Kruskal算法。
读者可以尝试使用这些算法来解决一些具体的实例，比如在一个城市之间建设光纤网络，以最小的成本实现全覆盖。
4. 图的遍历图的遍历是指按照某种方式访问图中的所有节点。
常见的遍历算法有深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)。
DFS通过递归地访问每个节点的邻居节点，直到所有节点都被访问完。
BFS则通过队列来实现，先访问起始节点的邻居节点，然后依次访问它们的邻居节点，直到所有节点都被访问完。
图论常考知识点总结
图论常考知识点总结1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合构成的。
顶点之间的连接称为边，边可以有方向也可以没有方向。
若图的边没有方向，则称图为无向图；若图的边有方向，则称图为有向图。
图的表示方式：邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适合存储稠密图，邻接表适合存储稀疏图。
2. 图的连通性连通图：如果图中任意两点之间都存在路径，则称该图是连通图。
强连通图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相同的路径，称为强连通图。
弱连通图：有向图中，去掉每条边的方向之后，所得到的无向图是连通图，称为弱连通图。
3. 图的遍历深度优先搜索（DFS）：从起始顶点出发，沿着一条路往前走，走到不能走为止，然后退回到上一个分支点，再走下一条路，直到走遍图中所有的顶点。
广度优先搜索（BFS）：从起始顶点出发，先访问它的所有邻居顶点，再按这些邻居顶点的顺序依次访问它们的邻居顶点，依次类推。
4. 最短路径狄克斯特拉算法：用于计算图中一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
弗洛伊德算法：用于计算图中所有顶点之间的最短路径。
5. 最小生成树普里姆算法：用于计算无向图的最小生成树。
克鲁斯卡尔算法：用于计算无向图的最小生成树。
6. 拓扑排序拓扑排序用于有向无环图中对顶点进行排序，使得对每一条有向边(u,v)，满足排序后的顶点u在顶点v之前。
以上就是图论中一些常考的知识点，希望对大家的学习有所帮助。
当然，图论还有很多其他的知识点，比如欧拉图、哈密顿图、网络流等，这些内容都值得我们深入学习和探讨。
图论在实际应用中有着广泛的应用，掌握好图论知识对于提升计算机科学和工程学的技能水平有着重要的意义。
计算机中图的名词解释
计算机中图的名词解释在计算机领域中，图（Graph）是一种常见的数据结构，用于描述对象之间的关系和相互作用。
图的概念最早由数学家欧拉提出，并且在计算机科学中得到广泛运用。
本文将从图的基本概念和操作开始，逐步介绍计算机中图的相关术语和应用。
1. 图的基本概念图由节点（Node）和边（Edge）组成。
节点表示对象或实体，边表示节点之间的连接关系。
图可以分为有向图（Directed Graph）和无向图（Undirected Graph）。
在有向图中，边具有方向性，表示从一个节点流向另一个节点；而在无向图中，边没有方向性，表示两个节点之间的相互关系。
2. 图的存储方式为了在计算机中表示和处理图，常见的存储方式有邻接矩阵（Adjacency Matrix）和邻接表（Adjacency List）。
邻接矩阵是一个二维数组，其中行和列表示节点，矩阵的值表示节点之间是否有边相连。
邻接表则使用链表的形式来表示节点之间的连接关系，每个节点对应一个链表，链表中存储了与该节点相连的其他节点。
3. 图的遍历图的遍历是指沿着图中的路径，依次访问所有节点的过程。
常见的图遍历算法有深度优先搜索（Depth-First Search）和广度优先搜索（Breadth-First Search）。
深度优先搜索先选择一个起始节点，沿着路径一直深入直到无法继续，然后回溯到其他未访问的节点，继续深入；而广度优先搜索则是从起始节点开始，并逐层扩展，逐层访问。
4. 最短路径算法最短路径算法用于计算两个节点之间的最短路径，即路径上边的权值之和最小。
其中，最常用的最短路径算法是狄克斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）。
该算法通过逐步更新节点到其他节点的距离，找到起始节点到目标节点的最短路径。
5. 拓扑排序拓扑排序（Topological Sorting）是一种对有向无环图进行排序的算法。
在有向图中，如果节点 A 的边指向节点 B，那么 B 必须在 A 之后才能出现在排序结果中。
act科学知识点总结
acm竞赛相关知识点总结一、算法设计算法设计是 ACM 竞赛中最为重要的一个环节。
合适的算法可以大大提高解题效率，而不合适的算法可能导致题目无法在规定时间内完成。
常见的算法设计包括贪心算法、分治算法、动态规划、搜索算法等。
在实际比赛中，常用的算法有：1. 贪心算法贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下的最优解，从而希望全局得到最优解的算法。
贪心算法的特点是简单、高效，但不能保证获得全局最优解。
2. 分治算法分治算法是将问题分解成若干个小规模的子问题，解决子问题后再将结果合并起来，得到原问题的解。
常见的分治算法包括归并排序、快速排序等。
3. 动态规划动态规划是一种将问题分解成若干个重叠子问题，通过存储中间结果避免重复计算，从而提高解题效率的算法。
动态规划常用于解决最优化问题，如最长递增子序列、最大子数组和等。
4. 搜索算法搜索算法分为深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
DFS 是一种将问题转化成树状结构进行搜索的算法，BFS 则是一种层次遍历的方法。
搜索算法通常用于解决图论问题、路径搜索等。
二、数据结构数据结构在 ACM 竞赛中也扮演着非常重要的角色。
合适的数据结构可以大大简化问题的解决过程，提高解题效率。
常见的数据结构包括数组、链表、栈、队列、树、图等。
在ACM 竞赛中，常用的数据结构有：1. 数组数组是存储相同类型数据的集合，可以通过下标快速访问元素。
在 ACM 竞赛中，数组常用于存储数据、处理统计信息等。
2. 栈栈是一种先进后出的数据结构，在 ACM 竞赛中常用于表达式求值、括号匹配等。
3. 队列队列是一种先进先出的数据结构，常用于 BFS 搜索、模拟等。
4. 树树是一种重要的数据结构，在 ACM 竞赛中常用于表示层次结构、存储排序信息等。
常见的树结构包括二叉树、堆、并查集等。
5. 图图是一种用于表示网络结构的数据结构，常用于解决最短路径、最小生成树等问题。
三、图论图论是 ACM 竞赛中的一个重要领域，涉及了大量的算法和数据结构。
noi常用算法
noi常用算法NOI（National Olympiad in Informatics）是指全国青少年信息学奥林匹克竞赛，是我国高中阶段最高水平的信息学竞赛。
在NOI 竞赛中，常用的算法是指在解决问题时经常使用的算法，下面将介绍一些常用的NOI算法。
一、深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
它从一个顶点开始，沿着路径直到无法继续，然后返回到前一个节点，继续搜索其他路径。
DFS通常使用递归或栈来实现。
它常用于解决迷宫问题、连通性问题等。
二、广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
它从一个顶点开始，先访问其所有相邻节点，然后访问这些相邻节点的相邻节点，以此类推。
BFS通常使用队列来实现。
它常用于解决最短路径问题、连通性问题等。
三、动态规划（Dynamic Programming）动态规划是一种解决多阶段决策问题的算法。
它将问题划分为若干个子问题，并分别求解这些子问题的最优解，然后利用子问题的最优解来推导出原问题的最优解。
动态规划常用于解决最优路径问题、背包问题等。
四、贪心算法（Greedy Algorithm）贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最优的选择，从而希望最终能得到全局最优解的算法。
贪心算法不一定能得到最优解，但在某些问题上表现出良好的效果。
贪心算法常用于解决最小生成树问题、哈夫曼编码问题等。
五、最短路径算法最短路径算法用于求解两个节点之间的最短路径。
常用的最短路径算法有Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法和Bellman-Ford算法等。
这些算法可以求解有向图或无向图中的最短路径问题，用于解决网络路由问题、导航问题等。
六、最大流算法最大流算法用于求解网络中从源节点到汇节点的最大流量。
常用的最大流算法有Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法和Dinic算法等。
最大流算法可以用于解决网络优化问题、流量分配问题等。
acm竞赛知识点
ACM竞赛知识点简介ACM竞赛是指由国际大学生程序设计竞赛（ACM-ICPC）组织的一系列编程比赛。
ACM竞赛旨在培养学生的计算机科学和编程能力，提高解决实际问题的能力和团队合作精神。
本文将介绍ACM竞赛的基本知识点和技巧，帮助读者更好地了解和参与这一竞赛。
知识点1. 数据结构在ACM竞赛中，数据结构是解决问题的关键。
以下是一些常用的数据结构：•数组：用于存储一组相同类型的数据。
•链表：用于存储和操作具有相同数据类型的元素。
•栈：一种后进先出（LIFO）的数据结构。
•队列：一种先进先出（FIFO）的数据结构。
•树：一种非线性的数据结构，由节点和边组成。
•图：一种由节点和边组成的数据结构，用于表示各种关系。
2. 算法ACM竞赛中常用的算法包括：•排序算法：如快速排序、归并排序、堆排序等，用于将数据按照一定的规则进行排序。
•查找算法：如二分查找、哈希表等，用于在数据中查找指定的元素。
•图算法：如深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）、最短路径算法等，用于解决图相关的问题。
•动态规划：一种将复杂问题分解为简单子问题的方法，用于解决多阶段决策问题。
•贪心算法：一种每一步都选择当前最优解的方法，用于解决优化问题。
3. 数学数学在ACM竞赛中扮演着重要的角色。
以下是一些常用的数学知识点：•组合数学：包括排列组合、二项式定理、卡特兰数等，用于计算对象的排列和组合方式。
•数论：包括素数、最大公约数、最小公倍数等，用于解决与整数相关的问题。
•概率与统计：包括概率分布、统计推断等，用于分析和预测事件发生的概率。
•矩阵与线性代数：用于解决与矩阵和线性方程组相关的问题。
4. 字符串处理在ACM竞赛中，字符串处理是常见的问题之一。
以下是一些常用的字符串处理技巧：•字符串匹配：如KMP算法、Boyer-Moore算法等，用于在一个字符串中查找另一个字符串。
•字符串排序：如字典序排序、后缀数组等，用于对字符串进行排序。
计算机领域常用算法列表
计算机领域常用算法列表计算机科学领域是一个不断进步、不断开拓新领域的学科，其中算法是计算机科学中最基本、最核心的学科之一，而在算法学科中，常用算法有很多种，如排序算法、搜索算法、图论算法、数值计算算法等。
在本文中，我们将根据算法的性质和使用范围，介绍一些计算机领域中常用的算法，并说明它们的应用场景和实现原理。
一、排序算法排序算法是计算机科学中非常基本的算法之一。
排序算法可以将待排序的元素按照一定的顺序排列。
目前，常见的排序算法有冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、堆排序、归并排序等。
它们各自有不同的优点和缺点，应根据实际情况灵活选择。
1. 冒泡排序冒泡排序是一种简单的排序算法，它的基本思想是通过重复遍历要排序的元素，比较相邻元素的大小，如果前面的元素比后面的大，就交换它们的位置。
2. 选择排序选择排序是一种简单的排序算法，它的基本思想是选择最小的元素，并将其放到未排序的开头。
然后从未排序的元素中再选择最小的元素，并将其放到已排序的末尾。
重复此过程，直到所有的元素都被排序。
3. 插入排序插入排序是一种简单的排序算法，它的基本思想是将一个元素插入到已排序序列中的合适位置，从而使序列保持有序。
4. 快速排序快速排序是一种高效的排序算法，它的基本思想是通过一趟排序将待排序的元素分割成独立的两部分，其中一部分元素的值都比另一部分元素的值小，然后将划分出来的两个较小子序列分别递归地进行排序，重复此过程直到整个序列有序。
5. 堆排序堆排序是一种高效的排序算法，它的基本思想是构造大根堆或小根堆，并将待排序的元素依次插入堆中，然后依次取出堆顶元素，保证每次取出的都是当前堆中最大或最小元素，依次放到有序序列的末尾，重复此过程，直到所有元素都被排序。
6. 归并排序归并排序是一种分治算法，它的基本思想是将待排序的序列分成若干个子序列，分别进行递归排序，然后将排好序的子序列合并成一个有序序列。
归并排序也是一种稳定的排序算法。
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2 4 7 4
2 1 3
2 6 5
min[2]=w[1][2]=2; min[3]=w[1][3]=4; min[4]=w[1][4]=7;
1
第二次循环是找到min[2]最小的蓝点2。将2变为白点，接着枚举与2相连的所有蓝 点3、5，修改 1
2 6
5
算法描述： 以1为起点生成最小生成树，min[v]表示蓝点v与白点 相连的最小边权。 MST表示最小生成树的权值之和。 a）初始化：min[v]= ∞(v≠1); min[1]=0;MST=0; b）for (i = 1; i<= n; i++) 1.寻找min[u]最小的蓝点u。 2.将u标记为白点 3.MST+=min[u] 4.for 与白点u相连的所有蓝点v if (w[u][v]<min[v]) min[v]=w[u][v]; c）算法结束： MST即为最小生成树的权值之和
1
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2
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Prim算法
算法分析&思想讲解： Prim算法采用“蓝白点”思想： 白点代表已经进入最小生成树的点， 蓝点代表未进入最小生成树的点。 Prim算法每次循环都将一个蓝点 u变为白点，并且此蓝点u与白点相连 的最小边权min[u]还是当前所有蓝点 中最小的。这样相当于向生成树中添 加了n-1次最小的边，最后得到的一 定是最小生成树。 我们通过对右图最小生成树的求 解模拟来理解上面的思想。蓝点和虚 线代表未进入最小生成树的点、边； 白点和实线代表已进入最小生成树的 点、边。
Kruskal算法的时间复杂度为O(E*logE)，E为边数。
算法描述: 1.初始化并查集。father[x]=x。 2.tot=0 3.将所有边用快排从小到大排序。 4.计数器 k=0; 5.for (i=1; i<=M; i++) //循环所有已从小到大排序的边 if 这是一条u,v不属于同一集合的边(u,v)(因为已经排序，所以必为最小) begin ①合并u,v所在的集合，相当于把边(u,v)加入最小生成树。 ②tot=tot+W(u,v) ③k++ ④如果k=n-1,说明最小生成树已经生成，则break; end; 6. 结束，tot即为最小生成树的总权值之和。
【参考程序】 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; int g[101][101]; int minn[101]; bool u[101];
//邻接矩阵 //minn[i]存放蓝点i与白点相连的最小边权 //u[i]=True，表示顶点i还未加入到生成树中 //u[i]=False，表示顶点i已加入到生成树中
1 10
2 12 6 5 7 8 3
2 9 4
3个集合{ {1，2}，{3}，{4，5} } 生成树中有2条边{ <1,2> ，<4,5>}
3
第三次选择的是<3,5>这条边，将这条边加入到生成树中，并且将它的两个顶点3、 5所在的两个集合合并成一个集合
1 10
2 12 6 8
2 9 4 3
5
7
2个集合{ {1，2}，{3，4，5} } 生成树中有3条边{ <1,2> ，<4,5>，<3，5>}
最小生成树和拓扑排序
7月18日
最小生成树
一、什么是图的最小生成树（MST）？
不知道大家还记不记得树的一个定理：N个点用N-1条边连接成一 个连通块，形成的图形只可能是树，没有别的可能。
一个有N个点的图，边一定是大于等于N-1条的。图的最小生成树， 就是在这些边中选择N-1条出来，连接所有的N个点。这N-1条边的边权之 和是所有方案中最小的。
【引例】 有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连 通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发 现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。现在的问题是， 要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总 造价最少？
1 10
2
12
2 8 9
6 3
第一次选择的是<1,2>这条边，将这条边加入到生成树中，并且将它的两个顶点1、 2合并成一个集合。
1 10
2 12 6 5 3
2
8
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4个集合{ {1，2}，{3}，{4}，{5} } 生成树中有一条边{ <1,2> }
3
7
4
第二次选择的是<4,5>这条边，将这条边加入到生成树中，并且将它的两个顶点4、 5合并成一个集合。
【输出格式】 只有一个输出，其中包含连接到每个农场的光纤的最小长度。 【输入样例】agrinet.in 4 0 4 9 21 4 0 8 17 9 8 0 16 21 17 16 0 【输出样例】agrinet.out 28
【参考程序】 #include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> //sort()需要用到<algorithm>库 using namespace std; struct point { int x; int y; int v; }; //定义结构类型，表示边 point a[9901]; //存边 int fat[101]; int n,i,j,x,m,tot,k; int father(int x) { if (fat[x] != x) fat[x] = father(fat[x]); return fat[x]; } void unionn(int x,int y) { int fa = father(x); int fb = father(y); if (fa != fb) fat[fa] = fb; }
min[3]=w[2][3]=1; min[5]=w[2][5]=2;
4
第三次循环是找到min[3]最小的蓝点3。将3变为白点，接着枚举与3相连的所有 蓝点4、5，修改它们与白点相连的最小边权。
1
2 4
7 4
2 1 3 1
2 6
5
min[4]=w[3][4]=1; 由于min[5]=2 < w[3][5]=6;所 以不修改min[5]的值。
5
3 7 4
Kruskal算法
Kruskal（克鲁斯卡尔）算法是一种巧妙利用并查集来求最小生成树的算法。
1 10
2 12 6 5 3 8
2 9
3
7 4
Kruskal算法将一个连通块当做一个集合。Kruskal首先将所有的边按从小到大 顺序排序（一般使用快排），并认为每一个点都是孤立的，分属于n个独立的集合。 然后按顺序枚举每一条边。如果这条边连接着两个不同的集合，那么就把这条边加 入最小生成树，这两个不同的集合就合并成了一个集合；如果这条边连接的两个点 属于同一集合，就跳过。直到选取了n-1条边为止。
通过上面的模拟能够看到，Kruskal算法每次都选择一条最小的，且能 合并两个不同集合的边，一张n个点的图总共选取n-1次边。因为每次我们 选的都是最小的边，所以最后的生成树一定是最小生成树。每次我们选的 边都能够合并两个集合，最后n个点一定会合并成一个集合。通过这样的贪 心策略，Kruskal算法就能得到一棵有n-1条边，连接着n个点的最小生成树。
int n,i,j; int main() { cin >> n; for (i = 1; i <= n; i++) for (j = 1; j <= n; j++) cin >> g[i][j]; memset(minn,0x7f,sizeof(minn)); minn[1] = 0; memset(u,1,sizeof(u));
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7
2 1 3
1 4
2 6 5
初始时所有点都是蓝点，min[1]=0,min[2、3、4、5]=∞。权值之和MST=0。
1
2 4
7
2 1 3
1 4
2 6 5
第一次循环自然是找到min[1]=0最小的蓝点1。将1变为白点，接着枚举与1相连的 所有蓝点2、3、4，修改它们与白点相连的最小边权。
1
【例2】、最短网络Agri-Net /problem/show?pid=1546 【问题描述】 农民约翰被选为他们镇的镇长！他其中一个竞选承诺就是在镇上建立起互联网， 并连接到所有的农场。当然，他需要你的帮助。约翰已经给他的农场安排了一条高 速的网络线路，他想把这条线路共享给其他农场。为了用最小的消费，他想铺设最 短的光纤去连接所有的农场。你将得到一份各农场之间连接费用的列表，你必须找 出能连接所有农场并所用光纤最短的方案。每两个农场间的距离不会超过100000。 【输入格式】 第一行： 第二行..结 尾 农场的个数，N（3<=N<=100）。 后来的行包含了一个N*N的矩阵,表示每个农场之间的距离。理论 上，他们是N行，每行由N个用空格分隔的数组成，实际上，他们 限制在80个字符，因此，某些行会紧接着另一些行。当然，对角 线将会是0，因为不会有线路从第i个农场到它本身。
3
第四次选择的是<2,5>这条边，将这条边加入到生成树中，并且将它的两 个顶点2、5所在的两个集合合并成一个集合。 2 1 2 12 8 1个集合{ {1，2，3，4，5} } 10 9 5 生成树中有4条边{ <1,2> ，<4,5>，<3，5>，<2,5>} 6 3
3
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