牛顿的牛吃草问题
牛吃草问题
“牛吃草”问题知识要点：1、“牛吃草”问题一些牛仔吃一片未割的青草，一方面牛在吃草，另一方面草地上的青草还要长出来。
假定每天或每周等单位时间里长出的草量相同，那又怎样来求吃完全部草（包括吃的过程中新长出的草）所用的时间呢？这类问题叫“牛吃草”问题。
由于17世纪英国科学家牛顿在《普遍算术》一书中，曾提出了类似问题，所以这类问题又叫做“牛顿问题”。
2、牛吃草问题的特点：随着时间的增长，草的总数量在等量增加。
3、牛吃草问题的难点：草的总数量不确定。
4、草的总数量包括：①原有的草量②新增的草量5、解题的关键：设法求出原有的草量和单位时间内新增的草量。
6、相关公式：⑴⑵⑶⑷典型例题：例题1.牧场上有一片匀速生长的青草，可供20头牛吃9周，或者供25头牛吃6周，那么这片青草可供15头牛吃几周？例题2.一艘旧船在海上航行，因生锈漏水。
当船长发现船漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。
船长立即安排人员淘水，如果10人淘水，则3小时淘完；如果5人淘水，则8小时淘完，如果要求2小时淘完，那么需要安排多少人淘水？例题3.有一牧场的青草匀速生长，这些草可供19头牛吃24天，或者可供17头牛吃30天，现有一些牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛又吃了两天便将草吃完，问原来有牛多少头？例题4.一片匀速生长的草地，可供80只羊吃12天，或者可供16头牛吃20天，如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？例题5.甲、乙、丙三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑自行车的人，这三辆车分别用3小时，5小时，6小时追上骑自行车的人，现知道甲车每小时行24千米，乙车每小时行20千米，你能知道丙车每小时行多少千米吗？例题6.一根入水管不断地往一个水池里放水，平均每分钟放入水量相等。
这个水池安装有排水量相等的排水管若干，现在如果开放3根排水管45分钟可把池中水排完，如果开放5根排水管25分钟可把池中水排完。
牛吃草问题
地址：杨浦区控江路1555号1909室1“牛吃草”问题专题简析：牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。
“一堆草可供10头牛吃3天，供6头牛吃几天？”这题很简单，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。
因为草每天走在生长，草的数量在不断变化。
这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。
解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。
牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。
正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。
例1：一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？总差÷单差=份数总差：两种情况下总草量之差单差：天数差份数：长草的速度（新长的草够多少头牛吃）牛吃草问题三步法解决：① 求单位时间内长草的速度长草的速度=两种情况下草的总量的差÷天数差② 求原来的草的总量一种情况下的总草量-它对应的新长的草的总量③ 求天数要将牛分成两群一群去吃新长的草一群去吃原来的草天数=原来的草的总量÷吃原草的牛的头数（设一头牛一周吃的草为1份）长草型：可以类比追及问题追及距离（路程差）=原来的总草量速度差=牛头数－长草的速度时间=路程差÷速度差=原来的总草量÷（牛头数－长草的速度）减草型：可以类比相遇问题路程和=原来的总草量速度和=牛头数+减草的速度时间=路程和÷速度和=原来的总草量÷（牛头数+减草的速度）这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量——即原来的草的数量。
因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。
新长出的草虽然在变，但应注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。
地址：杨浦区控江路1555号1909室2假设1头牛一周吃的草的数量为1份，那么27头牛6周需要吃27×6=162（份），此时新草与原有的草均被吃完；23头牛9周需吃23×9=207（份），此时新草与原有的草也均被吃完。
数学运算--牛吃草问题
牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随 吃的天数不断地变化。
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰(1)草的生长速度=(相应的牛头数×吃草速度)×吃的较多天数-(相应的牛头数×吃草速度)×吃的较少天数÷(吃的较多天数-吃的较少天数);(2)原有草量=(相应的牛头数×吃草速度)×吃的天数草的生长速度×吃的天数;`(3)吃的天数=原有草量÷(相应的牛头数×吃草速度-草的生长速度);(4)牛头数=(原有草量÷吃的天数+草的生长速度)÷吃草速度。
这四个公式是解决消长问题的基础。
由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。
牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。
正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。
牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。
由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。
解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
这类问题的数量关系(基本变形)是：1.(相应的牛头数×吃草速度×吃草较多的天数-相应的牛头数×吃草速度×吃草较少的天数)÷(吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。
2.相应的牛头数×吃草速度×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。
牛吃草问题及应用
牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（理解记忆）（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
（理解记忆）这四个公式是解决消长问题的基础。
由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。
牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。
正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。
牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。
由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。
解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
这类问题的基本数量关系是：1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。
2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。
简析【例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？A.3B.4C.5D.6【答案】C【例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？A.20B.25C.30D.35【答案】C【演变题目例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？A.50B.46C.38D.35【答案】D【注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。
奥数-20牛吃草问题+答案
牛吃草问题牛吃草问题是经典的奥数题型之一，牛吃草问题又称为消长问题。
牛吃草问题是科学家牛顿提出来的，所以也称牛顿牧场。
典型的牛吃草问题的条件是假设不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。
想办法从变化中找到不变的量，草的生长速度固定不变，牧场上原有的草量也是不变的。
为了便于计算，先设定一头牛一天吃草量为“1”。
解决牛吃草问题常用的四个基本公式︰1.草每天的生长量＝草量差÷时间差；2.原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；3.吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；4.牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
这四个公式是解决牛吃草问题的基础。
解决牛吃草问题关键是正确计算草地上原有的草量及每天新长出的草量。
我们假设让一部分牛吃新长草，其余的牛（牛头数－草的生长速度）吃原有的草，从而求出原有的草够这部分牛吃几天。
【例 1】牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。
问：这片牧草可供25头牛吃多少天？解析：假设1头牛1天吃的草的数量是1份。
草每天的生长量：（10×20－15×10）÷（20－10）＝5（份）原有草量：（10－5）×20＝100（份）或原有草量：（15－5）×10＝100（份）100÷（25－5）＝5（天）练习一1.一块牧场长满了草，草每天均匀生长。
这块牧场的草可供10头牛吃40天，供15头牛吃20天。
可供45头牛吃几天？2.牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？3.一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长。
已知27头牛6天把草吃尽，同样一片牧场，23头牛9天把草吃尽。
牛吃草问题
第八讲牛吃草问题（一）【知识精讲】牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。
“一堆草可供10头牛吃3天，供6头牛吃几天？”这题很简单，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。
因为草每天走在生长，草的数量在不断变化。
这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。
解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。
牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。
正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。
基本思路：①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。
②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。
③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。
基本公式：解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶(1)草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数－吃的较少天数)；(2)原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；(3)吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度)；(4)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度例1（求头数）“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。
如果12天能把牧场上的草吃尽，那么养牛多少头呢？例2（求天数）一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？例3（求头数）由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。
已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。
照此计算，可供多少头牛吃10天？例4（求天数）由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。
牛吃草问题
第二讲牛吃草问题一．牛吃草问题是个有趣的话题，早在17世纪英国科学家牛顿的《普遍算术》一书中，曾提出了类似问题，所以也叫牛顿问题。
是说一些牛在吃一片未割的青草，牛一边吃草一边长。
假定单位时间里长出的草量相同，怎样求吃完全部草（包括吃的过程中新长出的草）所用的时间呢？二．三变与三不变三变：时间变、牛的头数变、牛吃的草也随这变三不变：原有的草、每天长的新草、每头牛每天吃的草三. 一个规定：规定1头1天（或1周）的吃草量为1份。
四. 基本关系式:原有总草量=吃的总草量－相应时间新生的总草量吃的总草量=牛的头数×吃的时间新生总草量=新草长速×草长时间五. 特殊的牛吃草问题：牛喝水（水管问题）、牛吃人（进站检票问题）牛走路（行程问题）、牛吃楼梯（自动扶梯问题）例1．一块牧场的青草每天都在匀速生长，可供15头牛吃10天；或供10头牛吃20天。
这块牧场的青草供25头牛吃多少天？例2．一水手发现船舱里已经进了一些水，水还在匀速的涌入船舱。
如果6人16分钟可以把水淘完；如果3人40分钟可以把水淘完。
那么5人多少分钟可以把水淘完？例3．一水池的进水管在匀速的进水。
若打开3根排水管45分钟可把池中水排完；若打开5根排水管25分钟可把池中水排完。
要15分钟把池中水排完，需同时打开多少根排水管？例4．一片草地，可供80只羊吃12天；或供16头牛吃20天。
一头牛相当于4只羊的吃草量。
60只羊和10头牛一起多少天可吃完这片草？例5．一牧场的青草，可供19头牛吃24天，或供17头牛吃30天。
现有一些牛吃6天以后，又卖掉4头牛，余下的牛又吃2天将草吃完。
那么原来共有多少头牛？例６．一水池每天不断地向外渗水，每天渗水量相等。
若９头牛饮用，５天饮完，若６头牛饮完则要７天。
那么，只有２头牛来饮，多少天池中没有水？例７．一片草场，可供２０头牛吃９天或供２５头牛吃６天，要使牛永远有草吃，最多养多少头牛？例8．“秦始皇兵马俑博物馆”开门前已有100名游客在排队等待，开始检票后每分钟新来人数是相等的。
牛吃草问题
【答案】B 【解析】设每分钟流入的水量相当于X台 抽水机的排水量，共需Y台抽水机 有】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子 可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光， 问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？ （假定野果生长的速度不变）【浙江2007】 A.2周 B.3周 C.4周 D.5周 【答案】C 【解析】设每天新生长的野果足够X只猴子吃， 33只猴子共需Y周吃完 有恒等式： 解 ，得 ，代入恒等式
【答案】C 【解析】设该牧场每天长草量恰可供X头 牛吃一天，这片草场可供25头牛吃Y天 根据核心公式 代入 (200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-5)=5(天）
【例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天， 15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4 天？ A.20 B.25 C.30 D.35
• 由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的， 所以解决消长问题的重点是要想办法从变 化中找到不变量。牧场上原有的草是不变 的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速 生长，所以每天新长出的草量应该是不变 的。正是由于这个不变量，才能够导出上 面的四个基本公式。
• 这类问题的基本数量关系是： • 1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头 数×吃较少的天数)÷（吃的较多的天数吃的较草少的天数)=草地每天新长草的 量。 • 2.牛的头数×吃草天数-每天新长量 ×吃草天数=草地原有的草量。
【答案】C 【解析】设该牧场每天长草量恰可供X 头牛吃一天， 根据核心公式代入 (20×10-15×10)=5 10×20-5×20=100 100÷4+5=30(头）
下面我们来看一下上述“牛吃草问 题”解题方法，在真题中的应用。
【例4】有一个灌溉用的中转水池，一直开 着进水管往里灌水，一段时间后，用2台 抽水机排水，则用40分钟能排完；如果 用4台同样的抽水机排水，则用16分钟 排完。问如果计划用10分钟将水排完， 需要多少台抽水机？【广东2006上】 A.5台 B.6台 C.7台 D.8台
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浅谈牛吃草问题
牛吃草问题是伟大的科学家牛顿在他所著的《普通算术》一书中提出来的。
【牛吃草问题】：牧场上有一片青草，每天都在匀速地生长，这片青草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。
如果有25头牛来吃，那么可以吃多少天？这种题目的难点在于草料总量未定，它随时间的增长而不断增长。
不过，因牧草是“匀速生长”的，可知每天生长的草料是一定的，而牧场原有的草量也是一定的，这样，我们通过分析就可以找到解决的方法了。
一、常规解法：
假定每头牛每天的吃草量为“1”，那么：
（1）10头牛20天的吃草量是：10×20=200
（2）15头牛10天的吃草量是：15×10=150
比较（1）和（2）的吃草量200-150=50，这是（1）中的草多长了10天的缘故，所以：每天长出的新草是50÷10=5 （3）牧场原有草是200-5×20=100，
（4）25头牛中有5头去吃新长的草，20头去吃原有的草，可以吃的时间是：100÷20=5天。
所以，25头牛可以吃5天。
二、工程问题：
我们知道原有的草量不变，我们设为“1”，每天新长的草也是不变的，这样每天吃新长出来的草的牛的头数是相同的。
可以这样分析：
（1）10头牛中吃原有草的牛，20天吃完1，每天吃1/20;
（2）15头牛中吃原有草的牛，10天吃完1，每天吃1/10;
由于每天吃新长出来的草的牛不变，（2）中比（1）中就多5头牛吃原有的草，也就是5头牛一天吃草量是
1/10-1/20=1/20,每头牛每天吃草量是1/20÷5=1/100.
（3）25头牛中吃原来草的牛比（2）中多10头，每天就多吃1/100×10=1/10,每天吃的草量就是：1/10+1/10=1/5, 所以，吃完原来的草的时间是：1÷1/5=5（天）
三、比例解法：
题中原有草的总量不变，那么吃原有草的牛的头数与所吃的时间应该成反比例：
（1）10头牛中吃原有草的牛，共吃20天，
（2）15头牛中吃原有草的牛，共吃10天，
（1）与（2）中的时间比是2：1，则吃原有草的牛的头数比是1：2，它们的差是5头，所以（1）中有5头牛吃原有的草，（2）中有10头牛吃原有的草，吃新长草的牛就是5头。
（3）25头牛中有20头牛吃原来的草，（2）与（3）吃原来草的牛的头数比是1：2，时间比是2：1，因此25头牛吃10÷2=5（天）
四、方程解法：
设：草地原有草为“1”，每天长出的草是x（x为分数），10头牛20天的吃草量是1+20x，每头牛每天的吃草量是
（1+20x）/(20*10)，同样，15头牛10天的吃草量是1+10x，每头牛每天的吃草量是（1+10x）/（15*10）, 由于每头牛每天吃草量是相等的，可以依此列方程：（1+20x）/(20*10) =（1+10x）/（15*10）,解得，x=1/20，每头牛每天吃草1/100.
设25头牛吃y天，则有：(1+1/20*y)/25y=1/100，解得：y=5
所以，25头牛可以吃5天。
这里我们用了四种方法解决牛吃草的问题，希望能对各位同仁有所启发。