专题03 与三角形有关的角(知识点串讲)(解析版)

专题03 与三角形有关的角知识网络重难突破知识点一 三角形的内角内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

【备注】在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

等角的补角相等，等角的余角相等。

三角形的内角构成：典例1 （2019春 仓山区期末）如图，BC AE ⊥，垂足为C ，过C 作CD ∥AB .若43ECD ∠=︒，则B 的度数是（ ）A．43°B．45°C．47°D．57°【答案】C【详解】∵CD∥AB，∠ECD=43°，∴∠A=∠ECD=43°，∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=90°-43°=47°．故选C.典例2 （2017春西湖区期中）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB 于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①【答案】A【解析】解：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．故选A．典例3 （2017秋越秀区期中）已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定【答案】B【详解】解：∵三角形的内角和为180°,且三个内角的度数之比为1∶2∶3,∴三个内角分别为30°、60°、90°,∴这个三角形是直角三角形.故选B.知识点二三角形的外角概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

三角形的外角与内角的关系：1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

典例1 （2018春正南区期中）已知：直线l1//l2，一块含30∘角的直角三角板如图所示放置，∠1=25∘，则∠2等于()A.30∘B.35∘C.40∘D.45∘【答案】B【详解】∵∠3是△ADG 的外角，∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，∵l 1∥l 2，∴∠3=∠4=55°，∵∠4+∠EFC=90°，∴∠EFC=90°−55°=35°，∴∠2=35°.故选B.典例2 （2019春 泰兴市期中）如图，直线//AE DF ，若120ABC ∠=︒，95DCB ∠=︒，则12∠+∠的度数为（ ）A ．45︒B ．55︒C ．35︒D ．a 不能确定 【答案】C【详解】//AE DF ，34180∴∠+∠=︒，13120ABC ∠=∠+∠=︒，2495DCB ∠=∠+∠=︒，132412095∴∠+∠+∠+∠=︒+︒，1221518035∴∠+∠=︒-︒=︒．故选C ．典例3 （2019春 金牛区期末）如图，,1,2A ∠∠∠的大小关系为（）A ．12A ∠>∠>∠B ．21A ∠>∠>∠C ．21A ∠>∠>∠D ．21A ∠>∠>∠【答案】C【详解】∵∠1是△AEC 的外角，∴∠1>∠A；∵∠2是△CED 的外角，∴∠2>∠1，∴∠2>∠1>∠A.故选：C.巩固训练一、单选题（共10小题）1．（2019春商丘区期末）如图，ΔABC中，∠ABC=∠ACB，∠BPC=113°，P是ΔABC内一点，且∠1=∠2，则∠A等于（）A.113°B.67°C.23°D.46°【答案】D【详解】∵∠BPC=113°∴∠PCB=180°-∠BPC-∠2=67°-∠2∵∠1=∠2∴∠ACB=∠1+∠PCB=∠1+67°-∠2=67°∴∠ABC=∠ACB=67°∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2×67°=46°故选D．【名师点睛】本题考查了三角形内角和定理，由已知的角确定每一步在哪个三角形中用内角和定理是解题易错点．2．（2018春新城区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E点在AB上，AC=AD，BE=BC，则∠DCE的大小是（）A.60°B.45°C.30°D.随∠A的大小而变化【答案】B【详解】∵AC=AD，BE=BC∴∠ACD=∠ADC，∠BEC=∠BCE∵∠ADC=∠B+∠BCD，∠ACD=∠ACE+∠DCE，∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE∴∠B+∠BCD=∠ACE+∠DCE①，∠A+∠ACE=∠BCD+∠DCE②，∴①+②得，∠B+∠A=2∠DCE，∵∠ACB=90∘∴∠DCE=45∘.故选B.【名师点睛】本题考查三角形的外角性质及等腰三角形的性质，证明出∠B，∠A与∠DCE之间的关系是解题关键.3．（2019春肥东县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列说法不正确的是（）A.与∠1互余的角只有∠2B.∠A与∠B互余C.∠1＝∠BD.若∠A＝2∠1，则∠B＝30°【答案】A【详解】解：A、∵∠ACB＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵CD⊥AB，∴∠1+∠A＝90°，∴与∠1互余的角有∠2与∠A两个角，故本选项错误；B、∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠A与∠B互余，故本选项正确；C、∠1+∠2＝90°，∠2+∠B＝90°，∴∠1＝∠B，故本选项正确；D、∵∠A＝2∠1＝2∠B，∴∠A+∠B＝3∠B＝90°，解得∠B＝30°，故本选项正确．故选：A．【名师点睛】此题考查三角形内角和定理，余角和补角，解题关键在于掌握各性质定理.4．（2019春高密市期末）乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题:如图，已知AB//CD,∠BAE=92°，∠DCE=115°,则∠E的度数是（）A.20°B.23°C.25°D.28°【答案】B【详解】如图，延长DC交AE于F，∵AB∥CD，∠BAE=92°，∴∠CFE=92°，又∵∠DCE=115°，∴∠E=∠DCE-∠CFE=115°-92°=23°，故选B．【名师点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．5．（2017春中山市期中）若一个三角形三个内角度数的比为2：7：1，那么这个三角形是（）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形【答案】A【详解】∵三角形三个内角度数的比为2：7：1，∴设三个内角分别为2x，7x，x，∴2x+7x+x=180°，解得x=18°，∴7x=7×18=126°．∴此三角形是钝角三角形．故选A．【名师点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180°是解答此题的关键．6．（2019春宝塔区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC，且∠AOC=80°，则∠BOE的度数为（）A.40°B.100°C.120°D.140°【答案】D【详解】解：∵∠AOC=80°，∴∠BOC=180°-∠AOC=100°，∵∠AOC=80°，OE平分∠AOC，∠AOC=40°，∴∠EOC=12∴∠BOE=∠BOC+∠EOC=100°+40°=140°，故选：D．【名师点睛】本题考查了邻补角、角平分线的定义等知识点，能求出∠BOC和∠EOC的度数是解题的关键．7．（2019春新华区期中）如图，已知AB//DE，∠ABC=70∘，∠CDE=140∘，则∠BCD的度数为( )A.70∘B.45∘C.40D.30∘【答案】D【详解】如图，延长ED，交BC于F，∵∠CDE=140°，∴∠CDF=180°-140°=40°，∵AB//DE，∠B=70°，∴∠BFD=∠B=70°，∵∠BFD=∠C+∠CDF，∴∠C=∠BFD-∠CDF=30°，故选D.【名师点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；熟练掌握三角形的外角性质并正确作出辅助线是解题关键.8．（2019春商丘市期末）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝（）A.30°B.25°C.20°D.15°【答案】D【详解】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠FDE＝45°，又∵∠C＝30°．∴∠1＝∠FDE﹣∠C＝45°﹣30°＝15°，故选：D．【名师点睛】此题考查平行线的性质，三角形内角与外角性质，解题关键在于求得∠A＝∠FDE＝45°. 9．（2018春蜀山区期末）如图，已知O是直线AB上一点，∠1=40∘，OD平分∠BOC，∠2的度数是（）A.20∘B.25∘C.40∘D.70∘【答案】D【详解】解：∵∠1=40°，∴∠COB=180°-∠1=140°，∵OD 平分∠COB，∴∠2=12∠COB=12×140°=70°， 故选：D ．【名师点睛】本题考查了邻补角和角平分线定义的应用，解此题的关键是能求出∠COB 的度数和得出∠2=12∠COB，注意：从角的顶点出发的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫角的平分线． 10．（2019春 内江市期末）如图，在△ABC 中，∠ABC =40∘，∠ACD =76∘，BE 平分∠ABC ，CE 平分△ABC 的外角∠ACD ，则∠E =（ ）A.38∘B.36∘C.20∘D.18∘【答案】D 【详解】∵∠ABC =40∘，∠ACD =76∘，BE 平分∠ABC ，CE 平分△ABC 的外角∠ACD ，∴∠EBD=20°，∠ECD=38°，∵∠ECD=∠EBD+∠E，∴∠E=18°，故选D.【名师点睛】本题考查角平分线的定义及三角形外角的性质，三角形的一个外角，等于和它不相邻的两个内角的和；熟练掌握相关定义和性质是解题关键.二、填空题（共5小题）11．（2019春 辽阳市期末）如图，已知在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 等于______.【答案】18°.【详解】∵∠C=∠ABC=2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，∴∠A=36°.则∠C=∠ABC=2∠A=72°.又BD是AC边上的高，则∠DBC=90°−∠C=18°.故答案为：18°.【名师点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理的使用.12．（2018春习水县期末）如图所示，∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为___________.【答案】230°【详解】如图所示，∵∠1＝∠BMC＝65°，∴∠B＋∠C＝180°−65°＝115°，∠MGH＋∠MHG＝115°，又∵∠MGH是△DFG的外角，∠MHG是△AEH的外角，∴∠MGH＝∠F＋∠D，∠MHG＝∠A＋∠E，∴∠F＋∠D＋∠A＋∠E＝∠MGH＋∠MHG＝115°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝115°＋115°＝230°，故答案为：230°．【名师点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是利用三角形外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．13．（2019春 萧山区期末）如图，把ABC ∆纸片沿DE 折叠，使点A 落在图中的'A 处，若29A ∠=︒，'90BDA ∠=︒，则'A EC ∠的大小为______.【答案】32°【详解】由折叠的性质可知，'29A A ∠==︒∠又'90BDA ∠=︒∴'90ADA ∠=︒，'=45ADE A DE ∠=∠︒根据三角形内角和可得：'=106AED A ED ∠=∠︒∠CDE =180°-∠ADE =74°∴''=32A EC A DE CDE ∠=∠-∠︒故答案为：32°.14．（2018春 浦东新区期中）如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠A ：∠ABD =5：2，则∠ABD =______度．【答案】40【详解】解：∵AD ∥BC ，∴∠A +∠ABC =180°∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠DBC，设∠ABD=∠DBC =2x，则∠A=5x，∴2x+2x+5x=180°，∴x=20°，∴∠ABD=2x=40°故答案为40．【名师点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．15．（2017春松江区期末）如图：已知AD=DB=BC，∠C=25º，那么∠ADE=_______度；【答案】75【详解】∵DB=BC，∠C=25°，∴∠BDC=∠C=25°，∴∠ABD=∠BDC+∠C=50°，∵AD=DB，∴∠A=∠ABD=50°，∴∠ADE=∠A+∠C=50°+25°=75°．故答案是：75．【名师点睛】考查了等腰三角形的性质，及三角形外角的性质；通过三角形内角和结合外角的性质求解角度是比较重要的方法，注意掌握．三、解答题（共2小题）16．（2018春朝阳区期末）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．（1）求∠BAE的度数；（2）求∠DAE的度数．【答案】(1) ∠BAE=30 °；(2) ∠EAD=20°.【解析】分析：（1）由三角形内角和为180°结合已知条件易得∠BAC=60°，再结合AE平分∠BAC即可得到∠BAE=30°；（2）由AD是△ABC的高可得∠ADB=90°，结合∠ABC=40°可得∠BAD=50°，再结合∠BAE=30°即可解得∠DAE=20°.详解：（1）∵在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，∴∠BAC=180°-40°-80°=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=30°；（2）∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°-90°-40°=50°，∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-30°=20°.【点睛】这是一道有关三角形角度的几何计算题，熟悉“三角形内角和为180°，三角形高的定义和三角形角平分线的定义”是解答本题的关键.17．（2018春余干县期末）如图，在ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．计算：（1）若∠A =60°，求∠BOC的度数；（2）若∠A =100°, 则∠BOC的度数是多少？（3）若∠A =120°, 则∠BOC的度数又是多少？（4）由（1）、（2）、（3），你发现了什么规律？请用一个等式将这个规律表示出来.【答案】（1）∠BOC =120°；（2）∠BOC =140°；（3）∠BOC=150°；（4）∠BOC=90°+12∠A 【详解】（1）∵BO，CO 分别平分ABC ∠和ACB ∠，∴12CBO ABC ∠=∠，12BCO ACB ∠=∠，∵60A ∠=︒. ∴()()111()1801806060222CBO BCO ABC ACB A ∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴180()18060120BOC CBO BCO ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒.（2）由（1）可知，若100A ∠=︒，则()111801809014022BOC A A ∠=︒-︒-∠=︒+∠=︒. （3）由（1）可知，若120A ∠=︒，则()111801809015022BOC A A ∠=︒-︒-∠=︒+∠=︒. （4）由（1）（2）（3），发现：()111801809022BOC A A ∠=︒-︒-∠=︒+∠. 【名师点睛】考查了三角形内角和定理．第一，第二问是解决第三问发现规律的基础，因而总结前两问中的基本解题思路是解题的关键．。