直线与圆(较难题组)含答案

直线y = ax + 3与圆x 2 + y 2 + 2 x − 8 = 0相交
2 ） 圆方程为（x + 1 + y2 = 9
= ∴d
<3 a2 +1 ∴ 8a 2 + 6a > 0 3 ∴ a < − 或a > 0 4 PA = PB 1 ∴ P在AB的中垂线y=- (x+1)上 a P在y = 2 x上
【解析】考查圆与圆的位置关系，点到直线的距离。
1 ，∴圆 C 的圆心为 (4, 0) ，半径为 1。 ∵圆 C 的方程可化为： ( x − 4 ) + y 2 =
2
∵由题意，直线 = y kx − 2 上至少存在一点 A( x0 , kx0 − 2) ，以该点为圆心，1 为半径 的圆与圆 C 有公共点； ∴存在 x0 ∈ R ，使得 AC ≤ 1 + 1 成立，即 ACmin ≤ 2 。 ∵ ACmin 即 为 点 C 到 直线 = y kx − 2 的距离
设M ( x, y ) → M ' ( x ' , y ' ), ∴ = x x' , = y' 2 y y= − x + 4(−2 ≤ x ≤ 6) 当 − 2 ≤ x ≤ 4时，y ≥ 0 1 ∴ y' = − x' + 4 2 （4， → M ' 从（ − 2，12） 0）
2 ∴ M ' 所经过的路程为（4 + 2） + 122 = 6 5
(第 3 题图)
0 相交 4． （南通市 2013 届高三第一次调研测试 13）已知直线 y=ax+3 与圆 x 2 + y 2 + 2 x − 8 =
于 A，B 两点，点 P( x0 , y0 ) 在直线 y=2x 上，且 PA=PB,则 x0 的取值范围为 ▲ ．
5． （苏州市 2012－2013 学年度第一学期高三期末考试 13）在平面直角坐标系 xOy 中，已 知直线 3 x + y − 6 = 2 交于 A ， B 两点，则直线 OA 与直线 0 与圆 ( x − 3) 2 + ( y − 1) 2 =
4k − 2 k 2 +1
，∴
4k − 2 k 2 +1
≤ 2 ，解得
0≤k ≤
4 。 3
∴ k 的最大值是
4 。 3
【答案】
4 。 3
【解析】考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，线性规划。 当 m ≤ 0 时，集合 A 是以（2，0）为圆心，以 m 为半径的圆，集合 B 是在两条平行线之间，

9.直线和圆的方程较难题及难题组）
1． （2012 年江苏高考 12）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x 2 + y 2 − 8 x + 15 = 0 ，若直 线= y kx − 2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是 ▲ ．
（2011 江苏高考 14）设集合 A = {( x, y ) | 2、
π
6【解析】考查直线与圆的位置关系 ∵四边形 PACB 的周长=2PA+2r=2PA+2 ∴ 当 PA 最小时四边形 PACB 的周长最小
= PA

PC 2 − 1 15 = 3 5
PC最小值为 = d= ∴ PA最小值为2 2
∴四边形 PACB 的周长最小值为 4 2 + 2 【答案】 4 2 + 2 7【解析】考查直线的方程和轨迹方程的应用。
（无锡市 2013 届高三上学期期末考试 13）定义一个对应法则 f：P（rn，n）→ p′ （m， 7． 2|n|） ．现有直角坐标平面内的点 A（-2，6）与点 B（6，-2） ，点 M 是线段 AB 上的动 点，按定义的对应法则 f：M→M'．当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 时， 点 M 的对应点 M'经过的路线的长度为 。
3 2 9 x = y=− x 2 3 得 ， ……………………………………………………8 分 由 2 2 y2 = 3 x + y =1 2 3 9
所以 OG =
3 10 3 15 ．……………………………10 分 , OH = 6 ，所以 S ∆GOH = 5 5
OB 的倾斜角之和为
．
0 上一点 P 6. （镇江市 2012－2013 学年度第一学期高三期末考试 12）从直线 3x + 4 y + 8 =
向圆 C : x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 1 = 0 引切线 PA, PB , A, B 为切点 , 则四边形 PACB 的周长最小 值为 ．
3−a
1 ∴ - (x0 +1)= 2 x0 a −1 3 = ∴ x0 (a < − 或a > 0) 2a + 1 4 ∴ x0 ∈ (−1, 0) (0, 2)
【答案】 (−1, 0) (0, 2) 5【解析】考查直线与圆的位置关系和直线的倾斜角和斜率。

{
3x + y − 6 = 0 ( x − 3 )2 + ( y −1)2 = 2
10. （南通市 2013 届高三第二次模拟考试 19） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2＋y2＝r2 和直线 l：x＝a(其中 r 和 a 均为常数， 且 0＜r＜a)，M 为 l 上一动点，A1，A2 为圆 C 与 x 轴的两个交点，直线 MA1，MA2 与圆 C 的另一个交点分别为 P、Q. (1) 若 r＝2，M 点的坐标为(4，2)，求直线 PQ 的方程； (2) 求证：直线 PQ 过定点，并求定点的坐标．
2
9 解： （1）因为 解得 a = 3, b = 所以椭圆方程为
6 a2 3 6 c ， ， a 2 = b 2 + c 2 ，……………………………2 分 = = c 2 3 a
3，
x2 y2 = 1 ． ………………………………………………………4 分 + 9 3
2 9 y = 3x x = 2 10 （2）①由 x ，解得 ，…………………………………………6 分 y2 =1 y 2 = 27 + 3 9 10
2 2 x ＋y ＝4， 直线 MA2 的方程：x－y－2＝0，解 得 Q(0，－2)．(4 分) x－y－2＝0， 由两点式，得直线 PQ 方程为：2x－y－2＝0.(6 分) (2) 证法一：由题设得 A1(－r，0)，A2(r，0)．设 M(a，t)， 1 1 (x＋r)，直线 MA1 的方程是：y＝ (x－r)．(8 分) 直线 MA1 的方程是：y＝ a＋ r a－ r x2＋y2＝r2， 2 2 r（a＋r） －rt ， 2tr（a＋r） .(10 分) 解 得 P t 2 2 （a＋r） ＋t （a＋r）2＋t2 y＝ （x＋r）， a ＋ r x2＋y2＝r2， 2 2 rt －r（a－r） ，－ 2rt（a－r） .(12 分) 解 得 Q t 2 2 （a－r）2＋t2 （a－r） ＋t y＝ （x－r）， a － r 2at 于是直线 PQ 的斜率 kPQ＝ 2 2 2， a －t －r 2tr（a＋r） 2at r（a＋r）2－rt2 直线 PQ 的方程为 y－ x－ （a＋r）2＋t2 .(14 分) 2 2＝ 2 （a＋r） ＋t a －t2－r2 2 r2 r 上式中令 y＝0，得 x＝ a ，是一个与 t 无关的常数，故直线 PQ 过定点 a ，0(16 分) 证法二：由题设得 A1(－r，0)，A2(r，0)．设 M(a，t)， t (x＋r)，与圆 C 的交点 P 设为 P(x1，y1)． 直线 MA1 的方程是：y＝ a＋ r t (x－r)；与圆 C 的交点 Q 设为 Q(x2，y2)． 直线 MA2 的方程是：y＝ a－ r 则点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)在曲线[(a＋r)y－t(x＋r)][(a－r)y－t(x－r)]＝0 上，(10 分) 化简得(a2－r2)y2－2ty(ax－r2)＋t2(x2－r2)＝0.① 又有 P(x1，y1)，Q(x2，y2)在圆 C 上，圆 C：x2＋y2－r2＝0.②
1 1 1 + = 2， 2 2 OG OH R
②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为 R ，则 OG ⋅ OH = R ⋅ GH 因为 OG 2 + OH 2 = GH 2 ，故
当 OG 与 OH 的斜率均存在时，不妨设直线 OG 方程为： y = kx ，
10 解： (1) 当 r＝2，M(4，2)，则 A1(－2，0)，A2(2，0)． x2＋y2＝4， 8 6 ，5 .(2 分) 直线 MA1 的方程：x－3y＋2＝0，解 得 P 5 x－3y＋2＝0，
3 3 +1 3 − 3 3 3 −1 3 + 3 , ), B ( , ) 2 2 2 2 3 − 3 10 3 − 12 ∴k = = OA 26 3 3 +1 ∴ A( kOB = 3 + 3 10 3 + 12 = 26 3 3 −1
3 ∴ tan(α + β ) = ∴α + β = 3
【答案】60°
当4 ≤ x ≤ 6时，y ≤ 0 ∴− 1 ' y = − x ' + 4(4 ≤ x ' ≤ 6) 2 （6，4） → M ' 从（4，0）
'
2 ∴ M ' 所经过的路程为（4 − 6） + 42 = 2 5
'∴ M 所经过的路程共为8 5 【答案】8 5 8 解析】考查圆与圆的位置关系和存在性命题成立的条件。