课题绝对值三角不等式

课题：绝对值三角不等式
红岭中学 隗双和
教学目标：
知识与技能：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会
进行简单的应用。

过程与方法：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合
的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。

情感、态度与价值观：体验不等式的美感，提高推理能力，增强学习兴趣。

能运用所学的知
识，正确地解决的实际问题.
教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。

教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。

授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体辅助。

教学过程：
一、复习引入：
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。

本节课探讨不等式证明这类问题。

1．请同学们回忆一下绝对值的意义。

⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=
>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。

几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。

即
2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1）a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立，.a a -≥当且仅当0≤a 时等号成立。

（2）2
a a =， （3）
b a b a ⋅=⋅， （4）
)0(≠=
b b
a
b
a 那么?
b a b a +=+?b a b a +=-
二、讲解新课：
结论：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.）
已知,a b 是实数，试证明：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.）
探究: ,,a b a b +, 之间的什么关系?
b a -
a
r b
r a b
+r r 方法一：证明:10 .当ab ≥0时, 20
. 当ab <0时,
综合10,20知定理成立.
方法二：分析法，两边平方（略）
定理1 如果,a b 是实数，则a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.）
（1）若把,a b 换为向量,a b r r
情形又怎样呢？
（2）若把,a b 换为复数12,z z ，结论：1212z z z z ++≤成立吗？
根据定理1，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。

所以，b a b a -≥+。

定理（绝对值三角形不等式）
如果,a b 是实数，则a b a b a b -±+≤≤ 注：当a b 、为复数或向量时结论也成立. 推论1
1212n n a a a a a a ++++++L L ≤
推论2：如果a b c 、、是实数,那么a c a b b c --+-≤,当且仅当()()0a b b c --≥时,等号成立.
思考：如何利用数轴给出推论2的几何解释？
（设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。

这就是上面的例3。

特别的，取c ＝0（即C 为原点），就得到例2的后半部分。

） 三、典型例题：
a r b
r ||,
||||||=+=====+ab ab a b a
b ||,||||||
=-+===<==+ab ab a b a b a b
+r r
例1、已知 2
,2c
b y
c a x <-<
-，求证 .)()(c b a y x <+-+ 证明 )()()()(b y a x b a y x -+-=+-+ b y a x -+-≤ （1）
2
,2c b y c a x <-<
-Θ， ∴c c
c b y a x =+<-+-2
2 （2）
由（1），（2）得：c b a y x <+-+)()(
例2、已知.6,4a
y a x <<
求证：a y x <-32。

证明 6,4a y a x <<Θ，∴2
3,22a
y a x <<，
由例1及上式，a a
a y x y x =+<+≤-2
23232。

注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。

但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

例3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?
解：如果生活区建于公路路碑的第 x km 处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km 那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
四、课堂练习：
1.(课本20P 习题1.2第1题)求证:
⑴2a b a b a ++-≥;⑵2a b a b b +--≤ 2. (课本20P 习题1.2第3题)求证:
⑴x a x b a b -+--≥;⑵x a x b a b ----≤ 3．（1）、已知.2,2c
b B
c a A <-<
-求证：c b a B A <---)()(。

（2）、已知.6
,4c
b y
c a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。

五、课堂小结：
1．实数a 的绝对值的意义:
·10
x
··20
⑴(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
;（定义）
⑵a 的几何意义:
2．定理（绝对值三角形不等式）
如果,a b 是实数，则a b a b a b -±+≤≤注意取等的条件。

六、课外作业：1。

必做：课本19第2，4，5。

2．选作：（1）．求证
.111b
b a
a b
a b a ++
+≤
+++
（2）．已知 .1,1<<b a 求证：
.11<++ab
b
a
七．教学反思：
绝对值三角不等式结构优美，构思巧妙，他的发现、证明、应用能够培养学生的探索、发现、推理能力，有着良好的培养学生能力的机会，因此本节课之前应该给学生安排课外预习、自学绝对值三角不等式的含义、意义、证明等重要内容，以让学生对绝对值三角不等式有初步的了解，本节课上可以放手让学生探索绝对值三角不等式的发现、意义和特点、证明的方法、 应用的结构特点等问题，使课堂内容更加丰富，学生思维活动更加主动、激烈，另外在探究过程中，学生个体的差异比较明显，对于部分反应较慢的学生，要加强及时课堂的个别指导，从而更加体现新课程的要求，全面锻炼学生的能力。