17.3一元二次方程根的判别式
2.在一元二次方程 2
ax bx c 0(a 0)中 若a与c异号, 则方程
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根
b 4ac 0
2
( A)
b 4ac
2
D.根的情况无法
3.设关于x的方程, x 2mx 2m 代数式配成 40 证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实 完全平方的 数根 证明 : b 2 4ac 4m 2 4 2m步骤; 4 2 4m 8m 16 1.常数项放 2 (4m 8m) 16 括号外 配成完全平方 2 4(m 2m) 16
4 m 1
2
12 0
题2
1 当 k 4 0, 即k 时，方程有实数根。 16 4 4k 16k 4 这时根是 x 2
即x1 2k 4k 1, x2 2k 4k 1
3
方程有两个相等的实数根 =0.
即 (k-2)(k-10)=0
0
4 0 例题1.设关于x的方程, x 2mx 2m代数式配成 证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实 完全平方的 数根 证明 : b 2 4ac 4m 2 4 2m步骤; 4 2 4m 8m 16 1.常数项放 2 (4m 8m) 16 括号外 配成完全平方 2 4(m 2m) 16
整理得:m²- 2m
=0 ∴m = 0或2
m = 0不符合题意,舍去, ∴ m = 2,方程为2x²- 5x + 3 =0 ∴ 方程的根为x 1=
3 ,x 2= 2
1
2、如果关于x的一元二次方程
kx2-4x+2=0有两个不相等的 实数根，那么k的取值范围
是
K＜2且k≠0
；
一元二次方程的一般形式：
ax bx c 0(a 0)
2
二次项系数 a，一次项系数b ，常数项c .
解一元二次方程的方法：
开平方法 因式分解法 配方法 公式法
对于一元二次方程
ax bx c 0(a 0) 一定有解吗？
2
b 2 b2 4ac 用配方法得到：( x ) 2a 4a 2
2
4m 1 4 16 3.在括号里 2 2 m 1 0 4m 1 0 加一个减一
2
2.提出二次 4(m 2m 1 1) 16 项系数
2 2
个一次项系 数一半的平 即 0 方 所以,不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根
2
2.提出二次 4(m 2m 1 1) 16 项系数
2 2
4m 1 4 16
2
2
2
3.在括号里
2
m 1 0
4 m 1
个一次项系 数一半的平 即 0 方 所以,不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根
12 0
4m 1 0 加一个减一
(1).当8k+9 >0 ，即
(2).当8k+9 =0 ，即 (3).当8k+9 <0 ，即
9 k 8
k
方程有两个不相等的实根。
9 方程有两个相等的实根。 8
k
9 8
方程有没有实数根。
归纳小结
对于一元二次方程 ax² ＋bx＋c＝0(a0) 根的判别式：Δ= b² －4ac
Δ> 0
解得k1 2, k2 10
当k1 2, k2 10时, 方程有两个相等的实数 根
12 3 这时原方程的根是x1 x2 2 4 2
１、(2010，上海）若关于x的一元二次方 程mx² -(３m－１)x+２m－１=0 的根的判 别式的值是１，求m的值及方程的根。 解:由Δ=(3m -1)² -4m(2m-1)=1
×）
0
，反过来也成立
例题1不解方程,判别下列方程根的情况：
（1） （2） （3）
4 x 5x 3 0
2
2x 4x 3 0
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2x 3 2 6x
2
2
解：(1)因为 =（-5）-4 4 -3） 0, （ =73 所以此方程有两个不相等的实数根.
例题2 2 关于 的方程 x (m 1) x m 0 （其中 m 是实数）一定有实数根吗? 为什么？
2 x 4k 1x 2k 1 0
2 2
（1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根； （3）方程无实根； 2 2 解：△= 4k 1 4 22k 1 总结：解此类题目时，先把方程化为一般形式，算出△ ，再由题目给出的根的情况确定△的情况。从而求出待 16 k 2 8k 1 16 k 2 8 定系数的取值范围 9 8k
b2 4ac 0 。
1、判断题（对的在括号内填“√”，错的填“×”）
2 （1）一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的根的判 别式是 b2 4ac （
b 4ac
2
×）
（2）若一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 有两个 实数根，则 0 （
当 当 当
b 4ac 0
2
b b 2 4ac b b 2 4ac 时， x1 , x2 . 2a 2a
b 4ac 0
2
时，
b x1 x2 . 2a
b 4ac 0
2
时， 方程没有实数根。
我们把
的根的判别式，用符号“ ”表示，即
b 4ac
2
叫做一元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0
b 4ac
2
对于一元二次方程 ax
2
bx c 0(a 0)
b 2 b2 4ac 用配方法得到：( x ) 2a 4a 2
当方程有两个不相等的实数根，那么 b2 4ac 0 ； 当方程有两个相等的实数根，那么 b2 4ac 0 当方程没有实数根，那么 ；
x
解： (m 1) 2 4 1 ( m)
m 2m 1 (m 1)
2
2
因为m是实数，所以（m 1)2 0,即 0. 所以此方程一定有实数根.
判断判别式的正负，通常通过配方将其变为 “一个完全平方式+数”的形式。
例题3：当k取什么值时，关于x的方程：
Δ= 0
方程有两个不相等的实数根.
方程有两个相等的实数根.
Δ< 0
方程没有实数根.
1.关于x的方程 x² +(2k+1)x+k-1=０的根的情况是(A ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根
D. 根的情况无法确定
分析:Δ=(2k+1)2 - 4（k-1） = 4k2 + 5 > 0
17.3一元二次方程根的判别式
清点收获
通过一节课的探究学习，你有什么收获？
分层作业、共同提高
基础题：P35：第1题。 敢挑战吗？ 2 已知：关于x的一元二次方程 (b c) x (c a) x (a b) 0 有两个相等的实数根。求证： 2b a c 课外遐想： 对于一元二次方程根的讨论，难道你只满足于实 数范围内？难道你从未想过实数范围之外的景象吗？ 实数范围之外，对于一元二次方程，当△<0时，真 的就没有根吗？带着问题走出课堂，走进网络，那里 才是真正“知识的超市”。
考考你的同桌
给你的同桌出3个一元二次方程，让其在不 解方程的情况下判断根的情况，看谁做的快而准？
挑战新的高度
1.关于 x 的方程 x 3x k 0 ,问 k 取何值时， 方程： （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？
2
自主探究、合作交流
2.关于 x 的一元二次方程 (m 1) x 2mx m 0 有实数根，求 m的取值范围。
合作探究、形成结论
对于一元二次方程 ax bx c 0(a 0)根的讨论： 当△>0时，有两个不相等的实数根； 当△=0时，有两个相等的实数根； 当△<0时，没有实数根。 反过来呢？
2
当有两个不相等的实数根时， △>0 ； 当有两个相等的实数根时， △=0 ； 当没有实数根时， △<0 。
小试身手、总结经验
例 不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)5 x 2 3x 2 0 2 (2)25 y 4 20 y
2
（3） 2 x 3x 1 0
解（1）因为△=(-3)²-4×5×(-2)=49>0 所以原方程有两个不相等的实数根。 你能介绍一下做第2题的经验吗？ 1、先转化成一般形式，确定 a、b、c 的值； 2、计算△的值； 3、判断根的情况。
一元二次方程根的判别式
17.3一元二次方程根的判别式【知识梳理】1.一元二次方程根的判别式我们把24b ac -叫做20(ax bx c a ++=≠0)的根的判别式，用符号∆来表示。
对于一元二次方程20(ax bx c a ++=≠0)，其根的情况与判别式的关系是：当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.特别的：当240b ac ∆=-≥时，方程有两个实数根.上述判断反过来说，也是正确的。
即当方程有两个实数根时，240b ac ∆=->；当方程有两个相等的实数根时，240b ac ∆=-=；当方程没有实数根时，240b ac ∆=-<；2.一元二次方程的根的判别式的应用①不解方程判别方程根的情况，即先把方程化为一般形式，然后求出判别式24b ac ∆=-的值，最后根据∆的符号来确定根的情况；②根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围，即先把方程化成一般形式并求出它的判别式，然后根据根的情况列出判别式的方程或不等式，最后解这个不等式或方程，但要去掉使方程二次项系数为零的字母的值。
若问题中没有这个限制条件，就要对二次项系数（含字母）是否为零进行讨论；③证明一元二次方程根的情况,可先把原方程化为一般形式,求出根的判别式,然后用配方法或因式分解法确定判别式的符号,并由此得出结论.3.利用根的判别式解题时的几点注意：①运用“∆”时必须把方程化为一般式;②不解方程判定方程的根的情况要由“∆”的符号判定；③运用判别式解题时，方程二次项系数一定不能为零；【典型例题】例1：不解方程，判别下列方程的根的情况（1）221150x x +-=（2）232x +=（3）(1)(2)8x x --=-【思路分析：一元二次方程根的情况是由根的判别式的符号决定的，所以在判别方程的根的情况时，要先把方程化为一般式，写出方程的a b c 、、，计算出∆的值，判断∆的符号】【答案：（1）221150x x +-=2,11,5a b c ===- 2241142(5)121401610b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=+=>即∆>0∴方程有两个不相等的实数根.（2）232x +=将方程整理为一般式：2320x -+=3,2a b c ==-=224(4320b ac ∆=-=--⨯⨯=即0∆=∴方程有两个相等的实数根.（3）(1)(2)8x x --=-将方程化为一般式：23280x x -++=1,3,10a b c ==-=224(3)4110940310b ac ∆=-=--⨯⨯=-=-<即0∆<∴方程没有实数根】【小结：运用根的判别式判断方程的根的情况时，必须把方程化为一般式，然后正确地确定各项系数，再代入判别式进行计算，得出判别式的符号】课堂练习1：如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A .k ＞14-B .k ＞14-且0k ≠C .k ＜14-D .14k ≥-且0k ≠课堂练习2：如果关于x 的方程：2320x x k -+=有实数根，那么k 的取值范围是_____.例2：求证方程2(1)310(0)m x mx m m -+++=≠必有两个不相等的实数根.【思路分析：欲证明此方程必有两个不相等的实数根，只需要证明不论m 取任何实数，都有0∆>即可】【答案：1m ≠ 10m ∴-≠∴此方程是关于x 的一元二次方程2222(3)4(1)(1)94454m m m m m m ∆=--+=-+=+ 不论m 取任何不为1的值时都有25m ≥024m ∴5+>0即2540m ∆=+>∴方程必有两个不相等的实根】【小结：证明时应先说明二次项系数不为零，也即保证方程是一元二次方程的前提下判别式的符号才有意义】课堂练习3：关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（）A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .无实数根D .不能确定例3：当m 为何值时，关于x 的方程222(41)210x m m -++-=（1）有两个不相等的实根？（2）有两个相等的实根？（3）无实数根？【思路分析：根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围，是一元二次方程的根本判别式的另一类典型运用。
17.3一元二次方程根的判别式(第1课时)(教学课件)-2024-2025学年八年级数学上册同步精品
4ac ＜ 0时，方程没有实数根.
b
2a
我们把 b 2 4ac叫做一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0)的根的判别式，
通常用符号“ ”来表示，记作 b 2 4ac，
一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0)
当 b 2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
2 8 3＜0
所以，原方程无实数根。
2 关于x的方程mx 2 (m 1) x 1 0(其中m 0）一定有实数根吗？为什么？
a m, b m 1, c 1
解：因为m 0，所以此方程为一元二次方程。
(m 1) 2 4m
m2 2m 1 4m
课堂小结
1、什么是一元二次方程 ax 2 bx c 0(其中a 0）根的判别式？
为什么？
2、如何利用 b 2 4ac来判别根的情况？
当 b 2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
当 b 2 4ac 0时，方程有两个相等的实数根
当 b 2 4ac 0时， 方程没有实数根
a 2, b 4, c 3
解：因为 42 4 2 3
16 24
8 0
所以此方程没有实数根
例题1 不解方程，判别下列方程的根的情况：
不解方程，
判别一元二次方程根的情况
（3）
2x2 3 2 6x
方程先化
为一般式
解：把原方程变形为
2x2 2 6x 3 0
25 4 64 4
1049 0
所以此方程有两个不相等的实数根
解：原方程化为：x 2 12 x 36 0
17.3 一元二次方程根的判别式
第十七章 第3讲 一元二次方程根的判别式知识概要1.根的判别式在推导一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式时，我们得到 22244)2(a ac b a b x -=+. 我们发现，一元二次方程是否有实数根或者实数根的情况具体如何，关键在于ac b 42-.因此，我们把ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，用符号“∆”表示，读作“/'/'∂delt ”(1)当042>-=∆ac b 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，a ac b b x 2421-+-=， aac b b x 2422---=； (2)当042=-=∆ac b 时，一元二次方程有两个相等的实数根，ab x x 221-==； (3)当042<-=∆ac b 时，一元二次方程没有实数根. 显然，上述结论，反过来亦成立.2.根的判别式的应用判别式是判别一元二次方程有无实数根的主要方法.从判别式与零的大小关系上，有两个相等与不相等的实数根，还有无实数根三种情况，合理地运用这种关系，能够巧妙地解决某些方程问题、不等式问题、最值问题以及字母参数的取值范围问题等.经典题型精析(一)根的判别式例1.不解方程，判断下列关于x (或y )的方程的根的情况：(1)03452=--x x ； (2)01232=++x x ； (3)01442=++x x ；(4)0)1(422=-+-m my y ； (5)0)52(2422=+-++n n mx x ； (6)02=+c ax .试一试：不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)03542=--x x ； (2)03422=++x x ； (3)x x 62322=+.例2.在关于x 的一元二次方程1)2(42=++-k x k x 中，k 为何值时，方程有两个相等的实数根?并求出这两个实数根.试一试：当m 取何值时，关于x 的方程041)2(22=+-+m x m x (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (2)没有实数根?例3.当m 为何值时，关于x 的方程m x mx mx -=-+2122有实数根?试一试：关于x 的方程01)1(2=+++x m mx (其中0≠m )一定有实数根吗?为什么?例4.当k 为何值时，关于x 的方程0)12(422=-+-k kx x 有实数根?并求出这时方程的根(用含k 的代数式表示).例5.若关于x 的一元二次方程0122=+-+k x x 无实数根.求证：一元二次方程1122=++k kx x 一定有两个不相等的实数根.例6.若c b a 、、为实数，关于x 的一元二次方程0)()()(22222=-+-+-+c b b a x c a x 有两个相等的实数根，求证：b c a 2=+.试一试：求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。
17.3一元二次方程根的判别式--
17.3一元二次方程的解法 根的判别式
想一想
用配方法解一元二次方程
ax bx c 0(a 0)
2
2 b b 4ac (a 0) x 2 2a 4a
2
a 0, 4a 2 0
b 4ac和0是什么关系？
2
Δ = b2－4ac ＜ 0 4、当一元二次方程有两个实数根时 Δ = b2－4ac≥0
3、当方程没有实数根时
试一试：
关于x的一元二次方程x2－3x + k = 0， 问k取值时 （1）方程有两个不相等的实数根? （2）方程有两个相等的实数根? （3）方程没有实数根?
（2）解：∵方程有两个相等的实数根 ∴Δ= 0
3x 1 0
原方程有两个相等的实数根。
2
2 解： （ 3） 4 2 1 5＜0 原方程没有实数根。
例：不解方程，判别关于 x 的方程
2 的根的情况 x 2 2kx k 0 . 2
解： 2 2k 4 1 k
2
2
系数含有字 母的方程
8k 4k
当 b 2 4ac ＞0 时， 方程的右边是一个正数， 方程有两个不
b b2 4ac b b2 4ac 相等的实数根： x1 ; x2 ; 2a 2a
当 b 2 4ac =0 时，方程的右边是 0，方程有两个相等的
b 实数根： x1 x2 ; 2a 2
2
ax bx c 0(a 0)中
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根 2 b 4ac C.没有实数根 2 b 4acБайду номын сангаас 0 D.根的情况无法
八年级数学下册 17.3 一元二次方程的根的判别式教案 (新版)沪科版-(新版)沪科版初中八年级下册
讨论补充记录
板书
设计
教 学 反 思
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
一元二次方程的根的判别式
教学
目标
知识与能力：1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生过程。
2、会运用根的判别式，求一元二次方程中字母系数的取值X围。
过程与方法：培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。
情感态度价值观：向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；培养学生的协作精神。
重、难点
重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和应用。
一二次方程 根的情况由 来定
我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“ ”
来表示。即 =
2.一般地，方程
=
3、例1、4、补例
巩固练习（10分钟左右）
1.不解方程，判别下列方程的根的情况
(2).在一元二次方程
A、有两个不相D、根的情况无法确定。
(3)方程有等根时,实数a的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2
(4)关于 x 的一元二次方程
有两个实数根，则m的取值X围为_________.
小结 ：本节课你有哪收获？（2分钟左右）
17.3(2)一元二次方程根的判别式
利用根的判别式“△= ”，根据题意，确定方程中字母系数的值。
梳理知识,使知识系统化.
课内练习一
课内练习二
一元二次方程的根的判别式的应用训练.
注意先把方程化为一般式.
一元二次方程的根的判别式的应用训练.
注意先把方程化为一般式
课内练习三
课内练习四
说说你是怎么想的？
进一步巩固的根的判别式的应用
注意先利用一元二次方程的定义，使二次项系数不为零.
培养学生数学发散思维能力.
可利用平方的结果是非负数解题.
教材
分析
教学重点
能利用根的判别式，确定方程中字母系数的值.
教学难点
一元二次方程根的判别式的综合应用.
相关链接
课件内容
教学过程（师生活动及预测和对策）
教后记
课前练习一
1、一元二次方程的一般形式是___________，它的求根公式是_____________，根的判别式是_____________。
当△=______时，方程有两个不相等的实数根；
初中数学电子教案
执教：___________________
年级
课题
日期
七年级（下）
17.3（2）一元二次方程根的判别式
教学
目标
知识与技能
掌握利用根的判别式，确定方程中字母系数的值.
过程与方法
经历观察、推理、交流等数学活动过程，学会运用根的判别式解决综合问题.
情感态度
与价值观
通过对问题的分析及实际问题的解决，进一步提高学生思维的能力，逐步培养应用数学的意识.
当△=______时，方程有两个相等的实数根；
当△=______时，方程没有实数根，培养学生学习习惯.
17.3一元二次方程根的判别式(沪科版)
①本节课你学到了什么知识？ 掌握了什么方法？ ②本节课你有什么收获？还有 什么疑问?
归纳与总结：
一元二次方程根的判别式：
一元二次方程
ax 2 bx c 0 (a 0) 根的判别式（ b2 4ac
有实数根
）：
0 方程有两个不相等的实数根； 2 b 4ac 0 方程有两个相等的实数根； 0 方程没有实数根；
4
4m 8 0，即m 2 时，方程有两个不 （1）当 相等的实数根. （2）当4m 8 0 ，即m 2 时，方程有两个相 等的实数根. （3）当4m 8 0 ，即 m 2时，方程没有实数根
例1、如果关于x的一元二次方程 (k-2)x2+k=(2k-1)x 有实数根，那么k的取值范围是什么？
注意：应用判别式求字母的取值范围时，二次项系数中含
有字母参数时，要特别注意一元二次方程的前提条件，即 二次项系数不为0.
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式. 2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为“方程 是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
典例分析
例2.求证：无论a取何实数，关于x的方程 2 ax (1 3a) x 2a 1 0 总有实数根.
练习: 2.证明:m为任何实数时, 方程 2 x ( m 1) x m 4 0都有两
2
(2) x 8x 16 0
2
(3) y 2 y 5 0
2
b b 4ac 2 x b 4ac 0 2a
2
一元二次方程根的判别式：
b 4ac
2
想一想：
对于一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解? 有什么样的解? 什么情况下一元二次方根的情况，求字母的取值范围
《17.3一元二次方程根的判别式》作业设计方案-初中数学沪科版12八年级下册
《一元二次方程根的判别式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在帮助学生巩固一元二次方程根的判别式的基本概念，理解判别式与方程根的关系，并能灵活运用判别式解决实际问题。
通过本课时的作业练习，期望学生能够熟练掌握一元二次方程根的判别式的计算方法，为后续学习一元二次方程的解法及应用打下坚实的基础。
二、作业内容作业内容主要包括以下方面：1. 理解一元二次方程的形式及判别式的定义，并能够根据给定的一元二次方程写出其判别式。
2. 掌握判别式与方程根的关系，理解当判别式大于零、等于零和小于零时，一元二次方程的根的情况。
3. 通过实例练习，学会运用判别式解决实际问题，如根据判别式的值判断方程的根的个数、类型等。
4. 完成一定量的习题练习，包括选择题、填空题和解答题，以检验学生对判别式知识的掌握情况。
三、作业要求1. 学生需认真阅读教材，理解一元二次方程根的判别式的概念及计算方法。
2. 独立完成作业，不得抄袭他人作业或网上答案。
3. 作业中的每个问题都要有明确的解题思路和步骤，字迹工整，答案准确。
4. 对于不懂的问题，学生应积极向老师或同学请教，直至理解掌握。
5. 按时提交作业，不迟到、不早退。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生完成作业的正确率、解题思路的清晰程度、字迹工整度等方面进行评价。
2. 评价方式：教师批改作业时，需对每个问题进行详细的评分，并给出针对性的改进意见。
同时，可采取小组互评的方式，让学生互相学习、互相促进。
3. 反馈形式：教师将批改后的作业发还给学生，并对其进行详细的讲解，指出学生在解题过程中的优点和不足。
同时，教师可通过课堂讲解、课后辅导等方式，为学生提供进一步的指导和帮助。
五、作业反馈1. 对于学生在作业中普遍出现的问题，教师需在课堂上进行重点讲解，帮助学生理解掌握。
2. 对于表现优秀的学生，教师应给予表扬和鼓励，激发其学习积极性。
3. 教师需定期与学生进行沟通，了解学生的学习情况及对作业设计的意见和建议，以便及时调整教学策略，提高教学质量。