江苏省扬州市安宜高中高二数学上学期期末考试
2023-2024学年江苏省扬州市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A．π4B．π3C．3π4D．2π32．在等比数列{a n}中，a1＝2，a3＝8，则a5＝（）A．14B．16C．28D．323．某质点沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为S（t）＝t2+3，则当t＝5s时该质点的瞬时速度为（）A．10m/s B．11m/s C．13m/s D．28m/s4．已知双曲线C：x 24−y2m=1的一条渐近线方程为y=34x，则m＝（）A．3B．6C．32D．945．已知k为实数，则直线l：kx﹣y+k﹣1＝0与圆x2+y2＝4的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．无法确定6．已知M是椭圆x23+y2=1上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（）A．2B．92C．3√22D．√3−√27．已知定义在R上的可导函数f（x），其导函数为f′（x），若2f（x）+f′（x）＞0，且f（1）＝e，则不等式e2x f（x）﹣e3＞0的解集为（）A．（1，+∞）B．（e，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，e）8．在△ABC中，已知D为边BC上一点，CD＝λDB，∠BAD=π4．若tan∠ACB的最大值为2，则常数λ的值为（）A．√10−34B．√10+34C．√10+14D．√10−14二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要9．已知l1，l2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（）A．若l1，l2斜率相等，则l1，l2平行B．若l1，l2平行，则l1，l2的斜率相等C．若l1，l2的斜率乘积等于﹣1，则l1，l2垂直D ．若l 1，l 2垂直，则l 1，l 2的斜率乘积等于﹣1 10．椭圆C 1：y 225+x 29=1与双曲线C 2：x 29+k −y 27−k=1（﹣9＜k ＜7）（ ）A ．有相同的焦点B ．有相等的焦距C ．有相同的对称中心D ．可能存在相同的顶点11．已知函数f(x)=lnxx，下列说法中正确的有（ ） A ．函数f （x ）的极大值为1eB ．函数f （x ）在点（1，0）处的切线方程为y ＝x ﹣1C ．20232024＜20242023D ．若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝x α无交点，则α的取值范围是(1e−1，+∞)12．已知无穷数列{a n }，a 1＝1．性质s ：∀m ，n ∈N *，a m +n ＞a m +a n ；性质t ：∀m ，n ∈N *，2≤m ＜n ，a m ﹣1+a n +1＞a m +a n ，下列说法中正确的有（ ） A ．若a n ＝3﹣2n ，则{a n }具有性质s B ．若a n ＝n 2，则{a n }具有性质t C ．若{a n }具有性质s ，则a n ≥nD ．若等比数列{a n }既满足性质s 又满足性质t ，则其公比的取值范围为（2，+∞） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．写出过点（1，2）的被圆C ：x 2+y 2＝4所截的弦长为2√3的直线方程 .（写出一条直线即可） 14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f （x ）＝2cos （x ﹣1），则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 ．15．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数列．在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第6项为 ． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作斜率为√a 2−b 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过F 1，则椭圆C 的离心率为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1，b 2＝2，b 3＝4，a 8＝b 4．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝a n﹣b n，求数列{c n}的前n项和．18．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b在x＝2处取得极小值5．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的最小值．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，且S n+1＝2S n+n+1（n∈N*）．设b n＝a n+1．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）设c n=14(log2b n)2−1，数列{c n}的前n项和为T n，证明：13≤T n＜12．20．（12分）已知点A（4，0），P是圆C：x2+y2＝4上的一动点，点Q（x，y）是线段AP的中点．（1）求点Q的轨迹方程；（2）已知M，N是直线l：x﹣y+2＝0上两个动点，且MN＝6．若∠MQN恒为锐角，求线段MN中点G的横坐标取值范围．21．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点A（1，﹣2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线P A交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣alnx﹣be．（e＝2.71828…是自然对数的底数）（1）若a＝﹣1，b＝1，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＝b＝0，证明：对任意x∈（0，+∞），f（x）＞12x2+x+1成立；（3）若b＝1，试讨论函数f（x）的零点个数，并说明理由．2023-2024学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（）A．π4B．π3C．3π4D．2π3解：直线x+y﹣1＝0的斜率为﹣1，则直线的倾斜角为3π4．故选：C．2．在等比数列{a n}中，a1＝2，a3＝8，则a5＝（）A．14B．16C．28D．32解：设等比数列{a n}的公比为q，a1＝2，a3＝8，则q2=a3a1=82=4，故a5=a3q2=8×4=32．故选：D．3．某质点沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为S（t）＝t2+3，则当t＝5s时该质点的瞬时速度为（）A．10m/s B．11m/s C．13m/s D．28m/s解：位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为S（t）＝t2+3，则S'（t）＝2t，当t＝5时，S'（5）＝2×5＝10m/s．故选：A．4．已知双曲线C：x 24−y2m=1的一条渐近线方程为y=34x，则m＝（）A．3B．6C．32D．94解：由已知可得m＞0，且双曲线的焦点在x轴上，a＝2，b=√m，又双曲线的渐近线为y＝±ba=±√m2x，双曲线C：x24−y2m=1的一条渐近线方程为y=34x，即√m2=34，m=94，故选：D．5．已知k为实数，则直线l：kx﹣y+k﹣1＝0与圆x2+y2＝4的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．无法确定解：由kx﹣y+k﹣1＝0，得k（x+1）﹣（y+1）＝0，因为k 为实数，所以{x +1=0y +1=0，解得{x =−1y =−1，所以直线l 恒过定点（﹣1，﹣1），因为（﹣1）2+（﹣1）2＝2＜4，所以定点在圆内，所以直线与圆相交． 故选：A ． 6．已知M 是椭圆x 23+y 2=1上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（ ）A ．2B ．92C ．3√22D ．√3−√2解：设M （√3cos θ，sin θ），θ∈[0，2π），设A 为椭圆的上顶点，则A （0，1）， 所以|MA |=√(√3cosθ)2+(sinθ−1)2=√4−2(sinθ+12)2+2×14，当sin θ=−12时，|MA |max =3√22．故选：C ．7．已知定义在R 上的可导函数f （x ），其导函数为f ′（x ），若2f （x ）+f ′（x ）＞0，且f （1）＝e ，则不等式e 2x f （x ）﹣e 3＞0的解集为（ ） A ．（1，+∞）B ．（e ，+∞）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，e ）解：构造函数g （x ）＝e 2x f （x ），该函数的定义域为R ， 则g '（x ）＝2e 2x f （x ）+e 2x f '（x ）＝e 2x [2f （x ）+f '（x ）]＞0， 所以函数g （x ）在R 上为增函数，且g （1）＝e 2f （1）＝e 3，由e 2x f （x ）﹣e 3＞0，可得e 2x f （x ）＞e 3，即g （x ）＞g （1），解得x ＞1， 所以不等式e 2x f （x ）﹣e 3＞0的解集为（1，+∞）． 故选：A ．8．在△ABC 中，已知D 为边BC 上一点，CD ＝λDB ，∠BAD =π4．若tan ∠ACB 的最大值为2，则常数λ的值为（ ） A ．√10−34B ．√10+34C ．√10+14D ．√10−14解：令BD ＝2，则CD ＝λDB ＝2λ且0≤λ≤1， 则△ABD 外接圆半径为r =BD2sin∠BAD =√2，若B （﹣1，0），D （1，0），△ABD 的外接圆方程为（x ﹣m ）2+（y ﹣n ）2＝2，所以{(m +1)2+n 2=2(m −1)2+n 2=2⇒⇒{m =0n =±1，令圆心（m ，n ）为（0，1）， 即点A 在圆x 2+（y ﹣1）2＝2被BD 分割的优弧上运动，如图，要使tan ∠ACB 最大，只需AC 与圆相切，易知C （1+2λ，0）， 则|AC|=√(1+2λ)2+1−2=2√λ(λ+1)， 而|BC |＝2（λ+1），由圆的性质有∠DAC ＝∠B ， 在△ABC 中，|AC|sin∠B=|BC|sin(∠B+π4)，∠ACB =π−(2∠B +π4)=3π4−2∠B ，显然 ∠B ＜3π8，由tan ∠ACB =tan(3π4−2∠B)=2，则1+tan2∠B tan2∠B−1=2⇒tan2∠B =3， 所以2tan∠B 1−tan 2∠B=3⇒3tan 2∠B +2tan∠B −3=0，可得tan ∠B =√10−13（负值舍），故sin ∠B =10−1√20−2√10cos∠B =3√20−2√10，而√λsin∠B =√λ+1sin(∠B+π4)，所以√λsin∠B=√2(λ+1)sin∠B+cos∠B ⇒λsin 2∠B =2(λ+1)1+2sin∠Bcos∠B，整理得11−2√10=7+2√10，则λ=104(√10−1)=√10−14．故选：D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 9．已知l 1，l 2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ） A ．若l 1，l 2斜率相等，则l 1，l 2平行 B ．若l 1，l 2平行，则l 1，l 2的斜率相等C ．若l 1，l 2的斜率乘积等于﹣1，则l 1，l 2垂直D ．若l 1，l 2垂直，则l 1，l 2的斜率乘积等于﹣1 解：l 1，l 2斜率相等，则l 1，l 2平行，故A 正确； l 1，l 2平行，该两条直线斜率可能不存在，故B 错误；l1，l2的斜率乘积等于﹣1，则l1，l2垂直，故C正确；l1，l2垂直，则l1，l2的斜率可能不存在，故D错误．故选：AC．10．椭圆C1：y225+x29=1与双曲线C2：x29+k−y27−k=1（﹣9＜k＜7）（）A．有相同的焦点B．有相等的焦距C．有相同的对称中心D．可能存在相同的顶点解：椭圆C1：y225+x29=1的焦点为（0，±4），焦距为8，对称中心为坐标原点，左右顶点为（±3，0），上下顶点为（0，±5），双曲线C2：x29+k −y27−k=1（﹣9＜k＜7）的焦点在x轴上，焦距为8，对称中心为坐标原点，当k＝0时，双曲线C2的顶点为（±3，0），综上，椭圆C1与双曲线C2的焦点不同，焦距相同，对称中心相同，顶点可能相同．故选：BCD．11．已知函数f(x)=lnxx，下列说法中正确的有（）A．函数f（x）的极大值为1 eB．函数f（x）在点（1，0）处的切线方程为y＝x﹣1C．20232024＜20242023D．若曲线y＝f（x）与曲线y＝xα无交点，则α的取值范围是(1e−1，+∞)解：易知函数f(x)=lnxx的定义域为（0，+∞），则f′(x)=1−lnxx2，令f′（x）＝0可得x＝e，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，可得f（x）在（0，e）上单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，可得f（x）在（e，+∞）上单调递减，对于A，由单调性可得f（x）在x＝处取得极大值f(e)=1e，即A正确；对于B，易知切线斜率为k=f′(1)=1−ln112=1，所以切线方程为y＝x﹣1，即B正确；对于C，利用f(x)=lnxx的单调性可得f（2023）＞f（2024），即ln20232023＞ln20242024，也即2024ln2023＞2023ln2024，可得ln20232024＞ln20242023，所以20232024＞20242023，即C错误；对于D，若曲线y＝f（x）与曲线y＝xα无交点，即方程lnxx=xα没有实数根，也即xα+1﹣lnx＝0无解，令g（x）＝xα+1﹣lnx，则g′(x)=(α+1)xα−1x=(α+1)xα+1−1x，若α+1≤0，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即g（x）在（0，+∞）上单调递减，不妨取α＝﹣2，则g（x）＝x﹣1﹣lnx，易知g（1）＝1﹣ln1＞0，g（e2）＝e﹣2﹣lne2＝e﹣2﹣2＜0，此时g（x）在（1，e2）上有解，不合题意，若α+1＞0，令g′（x）＝0，解得x=(1α+1)1α+1，所以当0＜x＜(1α+1)1α+1时，g′（x）＜0，此时g（x）在0＜x＜(1α+1)1α+1时单调递减，当x＞(1α+1)1α+1时，g′（x）＞0，此时g（x）在x＞(1α+1)1α+1时单调递增，此时g（x）在x=(1α+1)1α+1处取得极小值，也是最小值，即g(x)min=g((1α+1)1α+1)=1α+1−1α+1ln(1α+1)=1α+1(1−ln(1α+1))=1α+1(1+ln(α+1))，依题意可得g(x)min=1α+1(1+ln(α+1))＞0，所以1+ln（α+1）＞0即可，解得α＞1e−1，即α的取值范围是(1e−1，+∞)，所以D正确．故选：ABD．12．已知无穷数列{a n}，a1＝1．性质s：∀m，n∈N*，a m+n＞a m+a n；性质t：∀m，n∈N*，2≤m＜n，a m﹣1+a n+1＞a m+a n，下列说法中正确的有（）A．若a n＝3﹣2n，则{a n}具有性质sB．若a n＝n2，则{a n}具有性质tC．若{a n}具有性质s，则a n≥nD．若等比数列{a n}既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为（2，+∞）解：由a n＝3﹣2n，可得a m+n﹣a m﹣a n＝3﹣2（m+n）﹣3+2m﹣3+2n＝﹣3＜0，即有a m+n＜a m+a n，故A错误；由a n＝n2，可得∀m，n∈N*，2≤m＜n，a m﹣1+a n+1﹣a m﹣a n＝（m﹣1）2+（n+1）2﹣m2﹣n2＝2n﹣2m+2＞0，即a m﹣1+a n+1＞a m+a n，故B正确；若{a n}具有性质s，可得a1+n＞a1+a n＝1+a n，则a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（a n﹣a n﹣1）≥1+1+...+1＝n，故C正确；若等比数列{a n}既满足性质s又满足性质t，设公比为q，则q m+n﹣1＞q m﹣1+q n﹣1，令m＝n＝1，可得q＞2， 又1q m+1qn＜12m+12n≤12+12=1恒成立，又q ＞2时，∀m ，n ∈N *，2≤m ＜n ，可得q m ﹣2+q n ﹣q m ﹣1﹣q n ﹣1＝（q ﹣1）（q n ﹣1﹣q m ﹣2）＞0恒成立， 即有a m ﹣1+a n +1＞a m +a n ，故其公比的取值范围是（2，+∞），故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．写出过点（1，2）的被圆C ：x 2+y 2＝4所截的弦长为2√3的直线方程 x ＝1（或3x ﹣4y +5＝0） .（写出一条直线即可）解：设圆心到直线的距离为d ，由圆的弦长公式得：2√4−d 2=2√3，所以d ＝1，当直线的斜率不存在时，直线方程为：x ＝1，此时圆心到直线的距离为1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：y ﹣2＝k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k +2＝0， 则d =|−k+2|√k +1=1，解得k =34，所以直线l 的方程为：34x −y −34+2=0，即3x ﹣4y +5＝0，所以直线l 的方程为x ＝1或3x ﹣4y +5＝0． 故答案为：x ＝1（或3x ﹣4y +5＝0）．14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f （x ）＝2cos （x ﹣1），则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 2 ． 解：f （x ）＝2cos （x ﹣1），则f '（x ）＝﹣2sin （x ﹣1），f ''（x ）＝﹣2cos （x ﹣1）， 故f '（1）＝﹣2sin0＝0，f ''（1）＝﹣2， 故K =|f″(1)|[1+(f′(1))2]32=2．故答案为：2．15．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数列．在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第6项为 56 ．解：设该数列的第6项为x ，对前6项作差可得，3，6，10，15，x ﹣35，对该算式继续作差可得，3，4，5，x ﹣50， 则x ﹣50＝6，解得x ＝56． 故答案为：56． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作斜率为√a 2−b 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过F 1，则椭圆C 的离心率为 √55． 解：由椭圆的方程可得F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 因为√a 2−b 2=bc ，由题意可设直线AB 过椭圆的下顶点A （0，﹣b ）， 由题意可设直线AB 的方程为y =bc（x ﹣c ），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =bc (x −c)x 2a 2+y 2b2=1，整理可得（a 2+c 2）x 2﹣2a 2cx ＝0，解得x B =2a 2c a 2+c 2，y B =b 3a 2+c 2，即B （2a 2c a 2+c 2，b 3a 2+c2），因为以AB 为直径的圆过F 1，所以F 1A →•F 1B →=0， 即（c ，﹣b ）•（2a 2c a 2+c 2+c ，b 3a 2+c 2）＝0，整理可得2a 2c 2a 2+c2+c 2=b4a 2+c 2，而b 2＝a 2﹣c 2，所以2a 2c 2+a 2c 2+c 4＝a 4﹣2a 2c 2+c 4，即a 2＝5c 2， 所以椭圆的离心率e =c a =1√5=√55． 故答案为：√55． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1，b 2＝2，b 3＝4，a 8＝b 4． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n ＝a n ﹣b n ，求数列{c n }的前n 项和． 解：（1）设等比数列{b n }的公比为q ， 由b 2＝2，b 3＝4 可得q =b 3b 2=2，b n =b 2q n−2=2⋅2n−2=2n−1， 设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 1＝b 1＝1，a 8＝b 4＝8．所以d =a 8−a 18−1=8−18−1=1，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×1＝n，所以a n＝n，b n=2n−1．（2）c n=a n−b n=n−2n−1，所以数列{c n} 的前n项和为：c1+c2+…+c n＝（1﹣1）+（2﹣2）+…+（n﹣2n）＝（1+2+3+…+n）﹣（1+2+22+…+2n）=n(n+1)2−1−2n1−2=n2+n2−2n+1．18．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b在x＝2处取得极小值5．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的最小值．解：（1）由f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b，得f'（x）＝6x2﹣2ax+12，因为f（x）在x＝2处取极小值5，所以f（2）＝24﹣4a+12＝0，解得a＝9，此时f'（x）＝6x2﹣18x+12x＝6（x﹣1）（x﹣2），所以f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，所以f（x）在x＝2时取极小值，符合题意，所以a＝9，f（x）＝2x3﹣9x2+12x+b．又f（2）＝4+b＝5，所以b＝1，所以a＝9，b＝1．（2）f（x）＝2x3﹣9x2+12x+1，所以f'（x）＝6（x﹣1）（x﹣2），f（x）和f'（x）随着x的变化情况如下表所示．所以x∈[0，3]时，f（x）min＝f（0）＝1．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，且S n+1＝2S n+n+1（n∈N*）．设b n＝a n+1．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）设c n=14(log2b n)2−1，数列{c n}的前n项和为T n，证明：13≤T n＜12．解：（1）∵S n+1=2S n+n+1(n∈N∗)①，∴S n＝2S n﹣1+n（n≥2）②，由①﹣②得：a n+1＝2a n+1（n≥2），∴a n +1+1＝2（a n +1）（n ≥2），即b n +1＝2b n （n ≥2）， 在①中令n ＝1，得S 2＝2S 1+2，即a 1+a 2＝2a 1+2， 而a 1＝1，故a 2＝3，则a 2+1＝2（a 1+1），即b 2＝2b 1， 又∵b 1＝2≠0，∴b n+1b n=2(n ∈N ∗)，∴数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =2n ；（2）证明：∵b n =2n ， ∴c n =14(log 2b n )2−1=14n 2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， ∴T n =12[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)＜12，又∵c n =14n 2−1＞0，∴T n ≥c 1=13，∴13≤T n ＜12． 20．（12分）已知点A （4，0），P 是圆C ：x 2+y 2＝4上的一动点，点Q （x ，y ）是线段AP 的中点． （1）求点Q 的轨迹方程；（2）已知M ，N 是直线l ：x ﹣y +2＝0上两个动点，且MN ＝6．若∠MQN 恒为锐角，求线段MN 中点G 的横坐标取值范围． 解：（1）设P （x ′，y ′），则由题意得{x =x′+42y =y′2，即{x ′=2x −4y′=2y ， 因为点P 在圆C ：x 2+y 2＝4上，所以x ′2+y ′2＝4，即（2x ﹣4）2+（2y ）2＝4， 所以点Q 的轨迹方程为（x ﹣2）2+y 2＝1． （2）设G （a ，b ），则b ＝a +2，当P 在圆C 上运动时，∠MQN 恒为锐角，等价于以MN 中点G 为圆心，3为半径的圆与圆：（x ﹣2）2+y 2＝1外离． 所以√(a −2)2+b 2＞3+1，解得a ＜﹣2或a ＞2，所以线段MN 中点G 的横坐标取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．21．（12分）已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点A （1，﹣2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线P A交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点．（1）解：设抛物线C的标准方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝﹣2py（p＞0），将A坐标代入y2＝2px，得p＝2，所以y2＝4x；将A坐标代入x2＝﹣2py，得p=14，所以x2=−12y，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或x2=−12 y．（2）证明：由抛物线C开口向右得标准方程为y2＝4x，准线l：x＝﹣1，设P（﹣1，m），Q（﹣1，﹣m），（m≠±2），则l AP：y+2=m+2−2(x−1)，即x=−2m+2y+m−2m+2，由{y+2=m+2−2(x−1)y2=4x，得y2+8m+2y−4(m−2)m+2=0，所以y M⋅y A=−4(m−2)m+2，所以y M=2(m−2)m+2，x M=−2m+2y M+m−2m+2=(m−2m+2)2，所以M(m−2m+2)2，2(m−2)m+2)，用﹣m代m，得N(m+2m−2)2，2(m+2)m−2)，则k MN=m2−4 m2+4，所以l MN：y−2(m−2)m+2=m2−4m2+4[x−(m−2m+2)2]，化简得l MN：y=m2−4m2+4(x+1)，所以直线MN过定点（﹣1，0）．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣alnx﹣be．（e＝2.71828…是自然对数的底数）（1）若a＝﹣1，b＝1，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＝b＝0，证明：对任意x∈（0，+∞），f（x）＞12x2+x+1成立；（3）若b＝1，试讨论函数f（x）的零点个数，并说明理由．解：（1）当a＝﹣1，b＝1时，f（x）＝e x+lnx﹣e（x＞0），则f′(x)=e x+1x＞0对x＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）＝0，∴f（x）＞0的解集为（1，+∞）．（2）证明：当a＝b＝0时，令m(x)=f(x)−12x2−x−1=e x−12x2−x−1(x＞0)，则m'（x）＝e x﹣x﹣1，令n（x）＝m（x），则n'（x）＝e x﹣1＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，∴n（x）在（0，+∞）上单调递增，又n（0）＝0，∴n（x）＞n（0）＝0，即m'（x）＞0，∴m（x）在（0，+∞）上单调递增，又m（0）＝0，∴m（x）＞m（0）＝0，∴对任意x∈（0，+∞），f(x)＞12x2+x+1成立．（3）当b＝1时，f（x）＝e x﹣alnx﹣e（x＞0），则f′(x)=e x−ax=xe x−ax，①当a≤0时，f（x）＞0对x＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）＝0，∴f（x）仅有1个零点；②当a＞0时，令g（x）＝f（x），g′(x)=e x+ax2＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，令h（x）＝xe x﹣a，（x＞0），则h（0）＝﹣a＜0，h（a）＝a（e a﹣1）＞0，又∵h（x）＝xe x﹣a在（0，+∞）上单调递增，∴存在唯一x0∈（0，a），使得h（x0）＝0，即f'（x0）＝0，当x∈（0，x0）时，f'（x0）＜0，∴f（x）在（0，x0）上单调递减；当x∈（x0，+∞）时，f'（x0）＞0，∴f（x）在（x0，+∞）上单调递增，∴f（x）极小值＝f（x0），若x0＝1，则f（x）极小值＝f（1）＝0，∴f（x）仅有1个零点，此时a=x0e x0=e，若0＜x0＜1，则f（x）在（x0，+∞）上递增且f（1）＝0，∴f（x）在（x0，+∞）上仅有1个零点，且f（x0）＜f（1）＝0．当x∈（0，x0）时，f（x）＝e x﹣alnx﹣e＞﹣alnx﹣e，∴f(e−ea)＞0，∵a＞0，∴0＜e−ea＜1，又x∈[x0，1）时，f（x）＜0，e−ea∈(0，x0)，∴f（x）在（0，x0）上仅有一个零点，∴f（x）在（0，+∞）上共有两个零点，此时a=x0e x0∈(0，e)，若x0＞1，则f（x）在（0，x0）上递减且f（1）＝0，∴f（x）在（0，x0）上仅有1个零点，且f（x0）＜f（1）＝0，当x∈（x0，+∞）时，由（2）可知，e x＞12x2+x+1＞x，两边取对数得x＞lnx，又e x＞12x2+x+1＞12x2，∴f(x)=e x−alnx−e＞12x2−ax−e，不妨取x1=max{2x0，a+√a2+2e}，则x1∈（x0，+∞）且f（x1）＞0，又∵f（x0）＜0，∴f（x）在（x0，+∞）上仅有1个零点．∴f（x）在（0，+∞）上共有两个零点，此时a=x0e x0∈(e，+∞)．综上，当a≤0或a＝e时，函数f（x）有1个零点；当a＞0且a≠e时，函数f（x）有2个零点．。
2019学年江苏省扬州市高二上学期期末数学试卷【含答案及解析】
2019学年江苏省扬州市高二上学期期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 命题“ ” 的否定是 ________2. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比为2 ∶ 3 ∶ 5，现用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，样本中A 型号产品有 15件，那么样本容量n 为．3. 在区间上任取一个实数，则的概率是．4. 根据如图所示的伪代码，如果输入的值为0，则输出结果y为．5. 若，则6. 在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．7. 如图，该程序运行后输出的 y值为．8. 一个圆锥筒的底面半径为，其母线长为，则这个圆锥筒的体积为____________________ .9. 若双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上一点，，则．10. 设，是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若∥ ，，则②若∥ ，，，则∥③若，，则∥④若∥ ，，则其中真命题的序号有______________ ． ( 写出所有正确命题的序号 )二、解答题11. 已知抛物线的准线恰好是双曲线的左准线，则双曲线的渐近线方程为．三、填空题12. 已知可导函数的导函数满足，则不等式的解集是．13. 若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为，则该椭圆被直线截得的弦长为14. 若，且函数在处取得极值，则的最大值等于____四、解答题15. 某班名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．（学生成绩都在之间）（1）求频率分布直方图中的值；（2）估算该班级的平均分；（3 ）若规定成绩达到80分及以上为优秀等级，从该班级40名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率．16. 如图，在四面体中，，．，，分别为棱，，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．17. 已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题（1）若“ 且”是真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．18. 已知函数 .（ 1 ）当时，求在处的切线方程；（ 2 ）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．19. 椭圆经过点，且离心率为，过点的动直线与椭圆相交于两点．(1) 求椭圆的方程；(2)若椭圆的右焦点是，其右准线与轴交于点 ,直线的斜率为，直线的斜率为 ,求证：；(3) 设点是椭圆的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．20. 已知函数，（1）求函数的单调递减区间；（2）若关于的方程在区间上有两个不等的根，求实数的取值范围；（3）若存在，当时，恒有，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
江苏扬州21-22高二上年末试卷--数学
江苏扬州21-22高二上年末试卷--数学数 学参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差s 2=n121)(x xni i-∑=，其中x =n1∑=ni ix1一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题：2,10x R x x ∃∈++≤的否定是 ． 2．抛物线212y x=的焦点坐标为 ． 3．依照右图的算法，输出的结果是 ． 4．已知函数()sin f x x x =-，则()f x '= ． 5．若双曲线221y x m-=的离心率为2，则m 的值为 ． 6．已知直线1l ：310x y ++=，2l ：2(1)10x a y +++=，若1l ∥2l ，则实数a 的值是 ．7．将一枚骰子（形状为正方体，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的玩具）先后抛掷两次，骰子向上的点数依次为,x y ．则x y ≠的概率为 ．8．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n （n=1,2,…,6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：则这6位同学成绩的方差是 ．For from 1 to 10 End for Print EndS I S S I S ←←+（第3题图）9．以下对形如“b ky x +=（,k b R ∈）”的直线描述正确的序号是 ▲ ． ①能垂直于y 轴；②不能垂直于y 轴；③能垂直于x 轴；④不能垂直于x 轴．10．若“2230x x -->”是 “x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值 为 ．11．已知函数)0()232()(23>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图像如图所示，且0)1(='f ．则c d +的值是 ．12．已知实数[0,8]x ∈，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于55的概率为 ．13．已知可导函数)(x f )(R x ∈的导函数)(x f '满足)(x f '＞)(x f ，则不等式()(1)x ef x f e >的解集是 ．14．已知椭圆E ：2214x y +=，椭圆E 的内接平行四边形的一组对边分别通过它的两个焦点（如图），则那个平行四边形面积的最大值是 ．二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解承诺写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）命题p ：2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<使得，命题q ：2,10x R ax x ∀∈++>恒成立。
2022-2023学年江苏省扬州市高二上册期末数学质量检测试卷(含解析)
2022-2023学年江苏省扬州市高二上册期末数学质量检测试卷一、单选题1．在等差数列{an }中，a 1＋a 33＝34，则a 8＝（）A ．5B ．6C ．8D ．92．函数3()31f x x x =-+的单调递减区间是()A ．(1,2)B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．,1(),)1(-∞-⋃+∞3．已知1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，则()f x 的极小值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．24．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差．设{}n a 是由正数组成的等方差数列，且方公差为4，5a =12nn a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前24项和为（）A ．322B ．3C．D ．65．试在抛物线24y x =-上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()2,1A -的距离之和最小，则最小值为（）A ．3B ．4C ．1D．6．已知F 是椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是（）A．1)B ．(0)2，C ．1(0)2，D ．1(1)2，7．函数()2cos sin 1f x x x x x =--+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对于任意实数x 都有()e (21)()x f x x f x =-+'，(0)1f =-，则不等式()5e x f x >的解集为（）A ．(32)-，B ．(23)-，C ．(3)(2)x --⋃+∞，，D ．(2)(3)-∞-⋃+∞，，二、多选题9．下列是递增数列的是（）A ．{}13n +B ．{}232n n +-C ．{}2nn -D ．(){}3n-10．已知集合3(,)|22y A x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，集合{}(,)|20B x y ax y =--=，且A B ⋂=∅，则=a （）A ．2B ．2-C ．52-D ．5211．（多选）给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是凸函数的是（）A ．()sin cos f x x x=-B ．()ln 2f x x x=-C ．()321f x x x =-+-D ．()xf x xe=12．已知F 为椭圆C ：22142x y +=的左焦点，直线l ：()0y kx k =≠与椭圆C 交于A ，B 两点，AE x⊥轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（）A ．14AF BF+的最小值为3B ．ABE C ．直线BE 的斜率为12kD ．∠PAB 为锐角三、填空题13．在数列{}n a 中，1112,1n na a a +=-=-，则2018a 的值为__________.14．双曲线2233x y -=的顶点为___________.15．设数列{}n a 的前n 项和为()*n S n ∈N ，则下列能判断数列{}n a 是等差数列的是______．①n S n =；②2n S n n =+；③2n n S =；④21n S n n =++．16．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与圆2C ：22245b x y +=，若在椭圆1C 上存在4个点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是________.四、解答题17．已知2213x y k k -=---1，当k 为何值时：(1)方程表示双曲线；(2)表示焦点在x 轴上的椭圆；(3)表示等轴双曲线．18．设函数32()2f x x x x =+--．(1)求()f x 在2x =-处的切线方程；(2)求()f x -8x 3的极值点和极值．19．若数列{}n a 满足221n n n a a a ++=，13a =，23243a a =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若3log n n b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．20．已知圆C 经过)11,5(52B A ），，（两点，且圆心G 在直线1:2l y x =-上．(1)求圆G 的方程；(2)已知过点()0,2P 的直线2l 与圆G 相交，被圆C 截得的弦长为2，求直线2l 的方程．21．已知)1F ，()2F ，()0,1P ，动点M 满足1212MF MF PF PF +=+.（1）求动点M 的轨迹方程；（2）设直线l 不经过点P 且与动点M 的轨迹相交于A ，B 两点.若直线PA 与直线PB 的斜率和为1-.证明：直线l 过定点.22．已知函数32sin )(++=a x ax a x f ，其中a ∈R .(1)当2a =时，讨论()f x 在()0,2π上的单调性；(2)若对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都有xex f ≥)(，求实数a 的取值范围.答案：1．A【分析】直接利用等差数列的性质求解即可【详解】因为a 5是a 1和a 9的等差中项，所以2a 5＝a 1＋a 9，即2a 5＝10，a 5＝5.故选：A 2．B【分析】由导数与单调性的关系求解，【详解】3()31f x x x =-+，则2()33f x x '=-，由2330x -<得11x -<<，故()f x 的单调递减区间是(1,1)-，故选：B 3．A【分析】对()f x 求导，根据1x =是()f x 的极小值点，得到()10f '=，求出a 的值，进一步得到()f x 的极小值．【详解】解：由32()3f x ax x =-，得2()36f x ax x '=-，1x = 是()f x 的极小值点，()10f '∴=，360a ∴-=，2a ∴=，经检验2a =时，符合题意，2a ∴=，32()23f x x x ∴=-，所以()2()6661f x x x x x '=-=-，则当0x <或1x >时()0f x '>，当01x <<时()0f x '<，即()f x 在(),0∞-和()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，所以当0x =时函数取得极大值，1x =时函数取得极小值，()()11f x f ∴==-极小值．故选：A ．4．C【分析】根据等方差数列的定义，结合等差数列的通项公式，运用裂项相消法进行求解即可.【详解】因为{}n a 是方公差为4的等方差数列，所以2214n n a a +-=，2518a =，∴225(5)41842042n a a n n n =+-⋅=+-=-，∴n a =，∴()()122142422n n a a n n +===++--24111222S =++⋅⋅⋅+(1122===故选：C ．5．A【分析】求出抛物线焦点坐标和准线方程，将||PF 转为点P 到抛物线准线的距离||PM ，由抛物线的定义，可得||||PF PM =，转化为求||||AP PM +的最小值，结合图形，即可求解.【详解】解：由题意得抛物线的焦点为()1,0F -，准线方程为:1l x =.过点P 作PM l ⊥于点M ，由抛物线的定义可得||||PF PM =，所以||||||||PA PF PA PM +=+，由图形可得，当P ，A ，M 三点共线时，||||PA PM +最小，最小值为点A 到准线:1l x =的距离213--=.故选：A.6．A【分析】将,A B 与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.【详解】如图设1，F F 分别为椭圆的左、右焦点，设直线y kx =与椭圆相交于,A B ，连接11,,,AF AF BF BF .根据椭圆的对称性可得：四边形1AF BF 为平行四边形.由椭圆的定义有：12,AF AF a +=12,FF c =1120F AF ∠=︒由余弦定理有：2221112cos120FF AF AF AF AF =+-⋅︒即()()222121114AF AF c AF AF AF AF AF AF ⎛⎫+=+-⋅≥+- ⎪⎝⎭所以()221222214432AF AF c AF AF a a a⎛⎫+≥+-=-= ⎪⎝⎭当且仅当1AF AF =时取等号，又y kx =的斜率存在，故A B ，不可能在y 轴上.所以等号不能成立,即即2234c a >，所以312e >>故选：A7．A【分析】结合导函数研究函数()f x 的单调性，通过单调性排除不满足的图像，选出答案.【详解】因为2()cos sin 1f x x x x x =--+，所以'()(2cos )f x x x =-，因为1cos 1x -≤≤，所以2cos 0x -＞，当x ＞0时，'()0f x ＞，()f x 在0（，）+∞上单调递增；当0x ＜时，'()0f x ＜，()f x 在∞（-，0）上单调递减，由此可排除选项B,C,D ，故选：A.8．A【分析】本题解题关键在于根据已知构造出合适的函数，()21e x f x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再通过逆用求导公式得到()2exf x x x m =-+，根据已知条件求得m 的值，从而将抽象不等式转化为一元二次不等式，进而得解．【详解】因为()e (21)()xf x x f x =-+'，所以()21e x f x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()2e x f x x x m =-+，亦即()()2e x f x x x m =-+，又()01f =-，所以1m =-，即有()()2e 1x f x x x =--．原不等式()5e x f x >可等价于215x x -->，即260x x -->，解得x 的取值范围是(2)(3)-∞-⋃+∞，，．故选：A ．9．AC【分析】根据递增数列的定义判断．【详解】A ．令13n a n =+，则()()11311330n n a a n n +-=++-+=>，是递增数列，正确；B ．令232nn n a +=-，则15a =-，27a =-，不合题意，错；C ．令2nn a n =-，则11221210n n n n n a a ++-=--=->，符合题意．正确；D ．令()3nn a =-，则13a =-，327a =-，不合题意．错．故选：AC ．10．AD【分析】根据直线平行和两线交于点()23，时，交集为空集，可得结果．【详解】解：因为集合3(,)|22y A x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，集合{}(,)|20B x y ax y =--=，且A B ⋂=∅，所以直线32(2)(2)y x x -=-≠与直线20ax y --=平行或交于点()23，，当两线平行时，2a =；当两线交于点()23，时，2320a --=，解得52a =．综上得a 等于52或2．故选：AD ．11．AD求出每个选项中函数()f x 的二阶导函数()f x ''，并验证()0f x ''<是否对任意的0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，由此可得出合适的选项.【详解】对于A ，()cos sin f x x x '=+，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-+=- ⎪⎝'⎭'，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，044x ππ-<-<，()0f x ''>，故()sin cos f x x x =-不是凸函数；对于B ，()12f x x '=-，()210f x x''=-<，故()ln 2f x x x =-是凸函数；对于C ，()232f x x '=-+，对任意的0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()60f x x ''=-<，故()321f x x x =-+-是凸函数；对于D ，()()1x f x x e '=+，对任意的0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()02x f x x e =+''>，故()xf x xe =不是凸函数．故选：AD ．12．BC【分析】A 项，先由椭圆与过原点直线的对称性知，4AF BF +=，再利用1的代换利用基本不等式可得最小值94，A 项错误；B 项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k 的函数关系式，再求函数最值；C 项，由对称性，可设()00,A x y ，则()00,B x y --，()0,0E x ，则可得直线BE 的斜率与k 的关系；D 项，先由A 、B 对称且与点P 均在椭圆上，可得2212PA PB b k k a ⋅=-=-，又由C 项可知12PB BE k k k ==，得1PA AB k k ⋅=-，即90PAB ∠=︒，排除D 项.【详解】对于A ，设椭圆C 的右焦点为F '，连接AF '，BF '，则四边形AF BF '为平行四边形，AF BF ∴+24AF AF a '=+==，()414114195444BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2BF AF =时等号成立，A 错误；对于B ，由22142x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩得x =A B y y ∴-=ABE ∴的面积241412122A A B k S x y y k k k=-==≤++当且仅当2k =时等号成立，B 正确；对于C ，设()00,A x y ，则()00,B x y --，()0,0E x ，故直线BE 的斜率000012BE y k x x +==⋅+0012yk x =，C 正确；对于D ，设(),P m n ，直线PA 的斜率额为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，则PA PBk k ⋅=2200022000n y n y n y m x m x m x -+-⋅=-+-，又点P 和点A 在椭圆C 上，22142m n ∴+=①，2200142x y +=②，①-②得22022012n y m x -=--，易知12PB BE k k k ==，则1122PA k k ⋅=-，得1PA k k =-，11PA AB k k k k ⎛⎫∴⋅=-⋅=- ⎪⎝⎭，90PAB ∴∠=︒，D 错误.故选：BC.13．32【分析】判断出数列{}n a 的周期性，由此求得2018a .【详解】依题意，1112,1n na a a +=-=-，所以213122a =-=-，3111332a =-=，4111213a a =-=-=，所以数列{}n a 是周期为3的数列，所以201820162232a a a +===.故3214．(1,0)±【分析】根据双曲线的标准方程，直接计算得到该双曲线的定点.【详解】由2233x y -=得，2213y x -=，所以，该双曲线的顶点为(1,0)±.故(1,0)±15．①②【分析】根据()12n n n S S a n --=≥可以求出n a ，再结合n a 可以判断是否是等差数列.【详解】①当2n ≥时，()111n n n a S S n n -=-=--=；当1n =也符合1n a =，所以1n a =，数列}{n a 为等差数列；②当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=；当1n =时，112a S ==，符合2n a n =，所以2n a n =，数列}{n a 为等差数列；③当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=；当1n =时，112a S ==，不符合12n n a -=，所以12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，数列}{n a 不是等差数列；④当2n ≥时，()()22111112n n n a S S n n n n n -=-=++-----=；当1n =时，113a S ==，不符合2n a n =，所以3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩，数列}{n a 不是等差数列.故①②.16．0,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】设过点P 的两条直线与圆2C 分别切于点,M N ，由两条切线相互垂直，可知=5OP b ，由题知OP a >，解得b a >，又e =.【详解】设过P 的两条直线与圆2C 分别切于点,M N ，由两条切线相互垂直，知：55OP b b =，又在椭圆C 1上不存在点P ，使得由P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，所以OP a >，即得5b a >，所以4b a >，所以椭圆C 1的离心率c e a ==，又0e >，所以04e <<.故答案为.4⎛ ⎝⎭17．(1)k ＜－3或1＜k ＜3；(2)1＜k ＜3；(3)k ＜－3.【分析】利用双曲线标准方程中的分母的正负，即可得出结论．【详解】（1）∵2213x y k k -=---1，即22113x y k k +=--，方程表示双曲线，∴(k －1)(|k |－3)＜0，可得k ＜－3或1＜k ＜3；（2）∵2213x y k k -=---1，即22113x y k k +=--，焦点在x 轴上的双曲线，则1030k k -⎧⎨-⎩＞＞，∴1＜k ＜3；（3）∵2213x y k k -=---1，即22113x y k k +=--，焦点在y 轴上的双曲线，则3010k k ⎧-⎨-⎩＞＞，∴k ＜－3．18．(1)7100x y -+=(2)极大值点=1x -，极小值点13x =，极大值是1-，极小值是5927-【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，（2）令()0f x '=，求得113x =，21x =-，然后通过判断函数的单调性可求出()f x 的极值点和极值(1)函数32()2f x x x x =+--，函数的导数为2()321f x x x '=+-．(2)12417f '-=--=，(2)84224f -=-++-=-，()f x 在2x =-处的切线方程：47(2)y x +=+，即7100x y -+=．(2)令()0f x '=，23210x x +-=，解得113x =，21x =-．当113x -<<时，可得()0f x '<，即()f x 的单调递减区间11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，1x <-或13x >，可得()0f x '>，∴函数单调递增区间(,1)-∞-，1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．∴()f x 的极大值点=1x -，极小值点13x =，∵32(1)(1)(1)(1)21f -=-+----=-，32111159()()()2333327f =+--=-∴极大值是1-，极小值是5927-．19．(1)3nn a =(2)()132134n n S n ++-=【分析】（1）利用等比中项法判断出{}n a 为等比数列，设其公比为q （0q ≠），由23243a a =，求出3q =，得到{}n a 的通项公式；（2）先得到3n nn a b n =⋅，利用错位相减法求和.（1）因为数列{}n a 满足221n n n a a a ++=，13a =，23243a a =，所以0n a ≠.所以数列{}n a 为等比数列，设其公比为q （0q ≠）.所以22323113243a a a q a q q =⨯=⨯=，解得.3q =所以113n nn a a q -==.即{}n a 的通项公式为3nn a =.（2）由（1）可知：33l 3log og n n n b a n ===，所以3n nn a b n =⋅，所以1122n n n S a b a b a b =+++ 1213233n n =⋅+⋅++⋅ ①3⨯①得：231313233n n n S +=⋅+⋅++⋅ ②①-②得：()123111313131333n nnS n +-⋅ ()1133331133n n n n S +-⋅=-⋅--所以()132134n n S n ++-=20．(1)()()22122x y -+=+(2)0x =或158160x y +-=【分析】（1）求得线段AB 的中点坐标和斜率，可得AB 的垂直平分线的方程，与直线2y x =联立，可得圆C 的圆心，求得AC ，可得圆的半径，进而得到圆的方程；（2）讨论直线2l 的斜率不存在和存在，结合弦长公式和点到直线的距离公式，可得所求直线方程．【详解】（1）线段AB 的中点为()1,2-，直线AB 的斜率为1312-+=，所以线段AB 的垂直平分线为()21y x +=--，即=1y x --，由21y x y x =-⎧⎨=--⎩解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以圆心为()1,2C -，半径为=AC 所以圆C 的方程为()()22122x y -+=+；（2）当直线2l 的斜率不存在时，由()()220122x x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，得1y =-，或=3y -，即直线0x =与圆C 相交所得弦长为()132---=，符合题意；当直线2l 的斜率存在时，设直线2l 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=，由于圆C 到2l 1= 1=，解得158k =-，所以1528y x =-+．即158160x y +-=，综上所述，直线l 2的方程为0x =或158160x y +-=．21．（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得动点M 的轨迹为椭圆，焦点在x 轴上，可得24,2a c ==b ，进而可得动点M 的轨迹方程；（2）设直线PA 与直线PB 的斜率为12k k ，，经分析直线l 的斜率存在，设直线(1)l y kx m m =+≠：，设1122()()A x y B x y ，，，，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，再结合121k k +=-可得222448(21)(1)04141m kmk m k k --++-=++，从而可求得k 与m 的关系，进而可证得结论【详解】（1）解：由题意得1212||||||||4MF MF PF PF +=+=，则动点M 的轨迹为椭圆，焦点在x 轴上，可设为22221x y a b+=．2a c =，，1b =，故动点M 的轨迹方程为2214x y +=．（2）证明：设直线PA 与直线PB 的斜率为12k k ，．如果直线l 与x 轴垂直，设l x t =：，由题设可得0t ≠，且||2t <，可得A B ，的坐标分别为t ⎛ ⎝⎭，t ⎛ ⎝⎭，．则121k k +==-，得2t =，不符合题设．从而可设直线(1)l y kx m m =+≠：，将(1)y kx m m =+≠代入2214xy +=，得222(41)8440k x kmx m +++-=，由题意可得2216(41)0k m ∆=-+>，设1122()()A x y B x y ，，，，则21212228444141km m x x x x k k -+=-=++，，而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=，由题意得121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=，即222448(21)(1)04141m kmk m k k --++-=++，解得12m k +=-．当且仅当1m >-时，0∆>，12m l y x m +=-+：，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点(21)-，．22．(1)()f x 在()0,π上单调递减，在(),2ππ上单调递增(2){}|5a a ≤【分析】（1）根据题意求导，解导数方程，讨论导数的正负，即可得函数的单调性；（2）根据题意，构造函数()32sin cos g x x x ax x =+-和()()h x g x '=，对a 进行分类讨论，结合单调性即可求解a 的取值范围.（1）当2a =时，()2cos 2sin f x x x x =-，则()2sin f x x x '=-，令()0f x '=，当()0,2x π∈时，解得x π=，故当()0,x π∈时，()0f x '<；当(),2x ∈ππ时，()0f x ¢>.所以，()f x 在()0,π上单调递减，在(),2ππ上单调递增.（2）令()32sin cos g x x x ax x =+-，则()()32cos sin g x a x ax x =+'+-.当0a时，cos 0ax x ，所以()()00g x g >=.当05a <时，()33cos sin 0g x x ax x +'-> ，故()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.又()00g =，故()()00g x g >=.当5a >时，令()()()32cos sin h x g x a x ax x =+-+'=，则()()22sin cos 0h x a x ax x +'=->，故()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.()050,30.22a h a h ππ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭故存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00h x =，且当()00,x x ∈时()0h x <，即()g x 在()00,x 上单调递减，所以当()00,x x ∈时，()()00g x g <=，故不符合.综上所述，a 的取值范围为{}|5a a ≤。
江苏省扬州市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是．2．某工厂生产A、B、C 三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本，若样本中A种型号的产品有15件，则样本容量n=．3．在区间[0，4]上任取一个实数x，则x＞2的概率是．4．根据如图所示的伪代码，如果输入x的值为0，则输出结果y为．5．若f（x）=5sinx，则=．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．7．如图，该程序运行后输出的y值为．8．一个圆锥筒的底面半径为3cm，其母线长为5cm，则这个圆锥筒的体积为cm3．9．若双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，PF1=3，则PF2=．10．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个：①若α∥β，l⊥α，则l⊥β；②若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；③若m⊥α，l⊥m，则l∥α；④若l∥α，l⊥β，则α⊥β．其中真的序号有．（写出所有正确的序号）11．已知抛物线y2=4x的准线恰好是双曲线=1的左准线，则双曲线的渐近线方程为．12．已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f（x）＜f′（x），则不等式f（x）≥f（2016）e x﹣2016的解集是．13．若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为x=﹣4，则该椭圆被直线y=x+1截得的弦长为．14．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=ae x+（b2﹣3）x在x=0处取得极值，则ab的最大值等于．二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．某班40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．（学生成绩都在[50，100]之间）（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估算该班级的平均分；（3）若规定成绩达到80分及以上为优秀等级，从该班级40名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率．16．如图，在四面体ABCD中，AB⊥CD，AB⊥AD．M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点．（1）求证：CD∥平面MNQ；（2）求证：平面MNQ⊥平面ACD．17．已知p：“存在x∈R，x2﹣2x+m≤0”，q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，r：t＜m＜t+1（1）若“p且q”是真，求m的取值范围；（2）若q是r的必要不充分条件，求t的取值范围．18．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（1）当a=﹣2时，求f（x）在x=2处的切线方程；（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为22，求它在该区间上的最小值．19．椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率为，过点P的动直线l与椭圆相交于A，B两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1+k2=0；（3）设点P（t，0）是椭圆E的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点P不同的定点Q，使得=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=x﹣1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的方程f（x）﹣g（x）+a=0在区间（，e）上有两个不等的根，求实数a的取值范围；（3）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞kg（x），求实数k的取值范围．2015-2016学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是∃x∈R，x2+x+1≤0．【考点】的否定．【分析】欲写出的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：∃x∈R，x2+x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2+x+1≤0．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称的否定是全称，“存在”对应“任意”．2．某工厂生产A、B、C 三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本，若样本中A种型号的产品有15件，则样本容量n=75．【考点】分层抽样方法．【分析】设出样本容量，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等得到比例式，解出方程中的变量n，即为要求的样本容量【解答】解：设出样本容量为n，∵由题意知产品的数量之比依次为2：3：5，∴=，∴n=75，故答案为：75【点评】抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．3．在区间[0，4]上任取一个实数x，则x＞2的概率是．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型计算公式，用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，可得答案．【解答】解：数集（2，4]的长度为2，数集[0，4]的长度为4，∴在区间[0，4]上任取一个实数x，则x＞2的概率为=，故答案为：．【点评】本题考查了几何概型的概率计算，思路是先求得试验的全部构成的长度和构成事件的区域长度，再求比值．4．根据如图所示的伪代码，如果输入x的值为0，则输出结果y为5．【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，当x=0，满足条件x≥0，即可求得y的值．【解答】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，当x=0，满足条件x≥0，y=5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了伪代码和算法的应用，模拟执行程序，得程序的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．5．若f（x）=5sinx，则=0．【考点】导数的运算．【分析】利用导数计算公式得出解：f′（x）=5cosx，代入计算即可．【解答】解：∵f（x）=5sinx，∴f′（x）=5cosx，∴则′=0．故答案为；0【点评】本题考查了导数的概念，运算，属于计算题，难度不大，准确计算即可．6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】利用列举法求出甲、乙两人各抽取1张的基本事件的个数和两人都中奖包含的基本事件的个数，由此能求出两人都中奖的概率．【解答】解：设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA共2个，故所求的概率P=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．7．如图，该程序运行后输出的y值为32．【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟该程序的运行过程，得出程序运行后输出的y值．【解答】解：模拟该程序的运行过程，如下；n=1，n≤3，n=1+2=3，y=23=8；n≤3，n=3+2=5，y=25=32；n＞3，终止循环，输出y=32．故答案为：32．【点评】本题考查了程序语言的应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题目．8．一个圆锥筒的底面半径为3cm，其母线长为5cm，则这个圆锥筒的体积为12πcm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】求出圆锥的高，代入圆锥的体积公式即可求出．【解答】解：圆锥的高h==4，∴圆锥的体积V=×π×32×4=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，体积计算，属于基础题．9．若双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，PF1=3，则PF2=7．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的a=2，运用双曲线的定义，可得||PF1|﹣|PF2||=2a，解方程即可得到所求距离．【解答】解：双曲线的a=2，由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2a=4，即有|3﹣|PF2||=4，解得|PF2|=7（﹣1舍去）．故答案为：7．【点评】本题考查双曲线的定义和方程，注意定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．10．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个：①若α∥β，l⊥α，则l⊥β；②若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；③若m⊥α，l⊥m，则l∥α；④若l∥α，l⊥β，则α⊥β．其中真的序号有①④．（写出所有正确的序号）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，由直线与平面垂直的判定定理得l⊥β；在②中，α与β相交或平行；在③中，l∥α或l⊂α；在④中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，知：在①中，若α∥β，l⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得l⊥β，故①正确；在②中，若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α与β相交或平行，故②错误；在③中，若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α，故③错误；在④中，若l∥α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．11．已知抛物线y2=4x的准线恰好是双曲线=1的左准线，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的左准线方程，由题意可得a的方程，解方程可得a，即可得到所求渐近线方程．【解答】解：抛物线y2=4x的准线为x=﹣，双曲线=1的左准线为x=﹣，由题意可得=﹣=﹣，解得a=±2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=4，即有渐近线的方程为y=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用抛物线的准线方程，考查运算能力，属于基础题．12．已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f（x）＜f′（x），则不等式f（x）≥f（2016）e x﹣2016的解集是[2016，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=，求出g′（x），得到g（x）在R递增，从而求出不等式的解集．【解答】解：由f（x）≥f（2016）e x﹣2016，得：≥，令g（x）=，g′（x）=，∵f（x）＜f′（x），∴g′（x）＞0，∴g（x）在R递增，∴x≥2016，故答案为：[2016，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）=是解题的关键，本题是一道中档题．13．若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为x=﹣4，则该椭圆被直线y=x+1截得的弦长．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意，利用椭圆性质求出椭圆的方程为=1，由此能求出该椭圆被直线y=x+1截得的弦长．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意，椭圆的焦点在x轴上，且2a=4，=4，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的方程为=1，联立，得7x2+8x﹣8=0，设直线y=x+1与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴该椭圆被直线y=x+1截得的弦长为：|AB|==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质和椭圆弦长公式的合理运用．14．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=ae x+（b2﹣3）x在x=0处取得极值，则ab的最大值等于2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导数f′（x），据题意便有f′（0）=a+b2﹣3=0，从而得出a=3﹣b2，从而ab=﹣b3+3b，并且根据a＞0，b＞0，可求出，并设g（b）=﹣b3+3b，求导数，根据导数符号便可判断出g（b）在b=1时取得最大值，这样即可求出ab的最大值．【解答】解：f′（x）=ae x+b2﹣3；∵f（x）在x=0处取得极值；∴f′（0）=a+b2﹣3=0；∴a=3﹣b2；∴ab=（3﹣b2）b=﹣b3+3b；∵a＞0，b＞0；∴3﹣b2＞0；∴；设g（b）=﹣b3+3b，g′（b）=﹣3b2+3=3（1﹣b2）；∴b∈（0，1）时，g′（b）＞0，b时，g′（b）＜0；∴b=1时，g（b）取最大值2；即ab的最大值为2．故答案为：2．【点评】考查函数极值的概念，以及根据导数符号判断函数极值和最值的方法及过程，清楚函数在极值点处的导数为0，注意正确求导．二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．某班40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．（学生成绩都在[50，100]之间）（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估算该班级的平均分；（3）若规定成绩达到80分及以上为优秀等级，从该班级40名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）根据频率和为1，列出方程，求出a的值；（2）利用组中值，即可估算该班级的平均分；（3）根据成绩为优秀等级有16人，即可求出从该班级40名学生中任选一人，此人成绩为优秀等级的概率．【解答】解：（1）由题（2a+2a+3a+6a+7a）×10=1，∴20a×10=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴a=0.005，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）该班级的平均分为=76.5；（3）成绩为优秀等级有16人，∴从该班级40名学生中任选一人，此人成绩为优秀等级的概率为=0.4【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了概率的计算，是基础题目．16．如图，在四面体ABCD中，AB⊥CD，AB⊥AD．M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点．（1）求证：CD∥平面MNQ；（2）求证：平面MNQ⊥平面ACD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用M，Q分别为棱AD，AC的中点，证明MQ∥CD，即可证明CD∥平面MNQ；（2）证明MN⊥平面ACD，即可证明平面MNQ⊥平面ACD．【解答】证明：（1）因为M，Q分别为棱AD，AC的中点，所以MQ∥CD，…（3分）又CD⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，故CD∥平面MNQ．…（7分）（2）因为M，N分别为棱AD，BD的中点，所以MN∥AB，又AB⊥CD，AB⊥AD，故MN⊥AD，MN⊥CD．…（9分）因为AD∩CD=D，AD，CD⊂平面ACD，所以MN⊥平面ACD又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ⊥平面ACD．…（14分）【点评】本题考查线面平行，平面与平面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．已知p：“存在x∈R，x2﹣2x+m≤0”，q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，r：t＜m＜t+1（1）若“p且q”是真，求m的取值范围；（2）若q是r的必要不充分条件，求t的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合的真假．【分析】（1）若p为真：△≥0；若q为真：则，若“p且q”是真，求其交集即可得出；（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t，t+1）⊊（﹣1，2），解出即可得出．【解答】解：（1）若p为真：△=4﹣4m≥0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）解得m≤1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）若q为真：则﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）解得﹣1＜m＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）若“p且q”是真，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）解得﹣1＜m≤1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t，t+1）⊊（﹣1，2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）即（等号不同时成立）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）解得﹣1≤t≤1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次不等式的解集与判别式的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（1）当a=﹣2时，求f（x）在x=2处的切线方程；（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为22，求它在该区间上的最小值．【考点】函数的最值及其几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）求得导数，求得极值点，求出单调区间，可得f（x）的最值，解方程可得a=0，进而得到最小值．【解答】解：（1）f（x）的导数为f′（x）=﹣3x2+6x+9，可得切线的斜率为f′（2）=9，切点为（2，20），所以f（x）在x=2处的切线方程为y﹣20=9（x﹣2），即9x﹣y+2=0．（2）令f′（x）=﹣3x2+6x+9=0，得x=3（舍）或x=﹣1，当x∈（﹣2，﹣1）时，f'（x）＜0，所以f（x）在x∈（﹣2，﹣1）时单调递减，当x∈（﹣1，2）时f'（x）＞0，所以f（x）在x∈（﹣1，2）时单调递增，又f（﹣2）=2+a，f（2）=22+a，所以f（2）＞f（﹣2）．因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=22，解得a=0．故f（x）=﹣x3+3x2+9x，因此f（﹣1）=﹣5，即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣5．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题．19．椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率为，过点P的动直线l与椭圆相交于A，B两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，求证：k1+k2=0；（3）设点P（t，0）是椭圆E的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点P不同的定点Q，使得=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率为，利用椭圆简单性质列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由此利用点差法能证明k1+k2=0．（3）当直线l与y轴平行时，Q点的坐标为（x0，0）；当直线l与y轴垂直时，Q点坐标只可能为，再证明对任意直线l，均有即可．【解答】解：（1）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率为，∴，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为．（4分）证明：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则．由题意P（1，0），Q（2，0），∵．∴，若y1=y2，则k1=k2=0，结论成立．（此处不交代扣1分）若y1≠y2，则x1y2+x2y1=2（y1+y2），∴．（10分）备注：本题用相似三角形有关知识证明同样给分，用韦达定理解决也相应给分．解：（3）当直线l与y轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点，如果存在定点Q满足条件，则有，即QC=QD，∴Q在x轴上，可设Q点的坐标为（x0，0）．当直线l与y轴垂直时，设直线与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为，由，有，解得．∴若存在不同于点P不同的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为．（12分）下面证明：对任意直线l，均有．记直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则．由题意，∵．∴若y1=y2，则k1=k2=0．∴．点B于x轴对称的点B'的坐标为（﹣x2，y2）．∴k Q A=k QB′，∴Q，A，B'三点共线．∴．∴对任意直线l，均有．（16分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查k1+k2=0的证明，考查是否存在与点P不同的定点Q，使得=恒成立的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、椭圆与直线位置关系的合理运用．20．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=x﹣1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的方程f（x）﹣g（x）+a=0在区间（，e）上有两个不等的根，求实数a的取值范围；（3）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞kg（x），求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数，由导数小于0，可得减区间，注意定义域；（2）由题意可得﹣a=lnx﹣﹣（x﹣1）在（，e）上有两个实根，令h（x）=lnx﹣﹣（x﹣1），求出导数，求得单调区间、极值和最值，可得a的范围；（3）由题意可得当x∈（1，x0）时，f（x）的图象恒在直线y=k（x﹣1）的上方，求出f（x）的单调区间，画出它们的图象，由直线和曲线相切，求得k，再由直线旋转可得k的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣的导数为f′（x）=﹣（x﹣1）=，（x＞0），由f′（x）＜0，可得x＞，即有f（x）的单调减区间为（，+∞）；（2）由题意可得﹣a=lnx﹣﹣（x﹣1）在（，e）上有两个实根，令h（x）=lnx﹣﹣（x﹣1），h′（x）=﹣（x﹣1）﹣1=，即有h（x）在（，1）递增，（1，e）递减，且h（1）=0，h（）=﹣（1﹣）2﹣＞h（e）=2﹣e﹣（e﹣1）2，由题意可得﹣（1﹣）2﹣＜﹣a＜0，解得0＜a＜（1﹣）2+；（3）由题意可得当x∈（1，x0）时，f（x）的图象恒在直线y=k（x﹣1）的上方，由f′（x）=﹣（x﹣1）=，（x＞0），可得f（x）的增区间为（1，）减区间为（，+∞）；直线y=k（x﹣1）为过定点（1，0）的直线．画出它们的图象，当直线与曲线y=f（x）相切时，切点为（1，0），可得k=f′（1）=1﹣（1﹣1）=1，通过直线绕着定点（1，0）旋转，可得k的取值范围是k≤1．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数方程的转化思想，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．。
江苏省扬州市高二上学期期末数学试卷(理科)
江苏省扬州市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列4条叙述：①点P关于x轴的对称点的坐标是（x，－y，z）②点P关于yOz平面的对称点的坐标是（x，－y，－z）③点P关于y轴的对称点的坐标是（x，－y，z）④点P关于原点的对称点的坐标是（－x，－y，－z）其中正确的个数是A . 3B . 2C . 1D . 02. （2分） (2018高二上·东至期末) 已知直线与直线垂直，则的值为（）A . 0B .C . 1D .3. （2分）以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的标准方程是（）A .B .C .D .4. （2分） (2015高三上·平邑期末) 设p：（）x＞1，q：﹣2＜x＜﹣1，则p是q成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1 ， CC1的中点，则在空间中与直线A1D1 ， EF，CD都相交的直线（）．A . 有无数条B . 有且只有两条C . 有且只有三条D . 不存在6. （2分） (2016高二上·佛山期中) 一条光线沿直线2x﹣y+2=0入射到直线x+y﹣5=0后反射，则反射光线所在的直线方程为（）A . 2x+y﹣6=0B . x+2y﹣9=0C . x﹣y+3=0D . x﹣2y+7=07. （2分）已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长AB=2BB1 ，则异面直线AB1与BC所成的角的余弦值是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二下·宁波期中) 记为两个离散型随机变量，则下列结论不正确的是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·陕西期中) 把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先上，则不同的排法有（）A . 48B . 2410. （2分） (2018高二上·阜城月考) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A . 96B .C .D .11. （2分） (2017高三上·河北月考) 给出下列命题:①已知,“ 且”是“ ”的充分条件;②已知平面向量 , 是“ ”的必要不充分条件;③已知,“ ”是“ ”的充分不必要条件;④命题“ ,使且”的否定为“ ,都有且”.其中正确命题的个数是（）A . 0B . 112. （2分）(2017·上高模拟) 设抛物线x2=4y的焦点为F，过点F作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点M，若|MF|=4，则直线l的方程为（）A .B . y= x+1C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·安徽模拟) 在的展开式中，的系数是________ ．14. （1分） (2018高二上·宾阳月考) 将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax－by=0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为________．15. （1分）(2013·福建理) 椭圆Γ： =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2 ，焦距为2c，若直线y= 与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1 ，则该椭圆的离心率等于________．16. （1分） (2020高一下·深圳月考) 在四面体中，， .球O是四面体的外接球，过点A作球O的截面，若最大的截面面积为，则四面体的体积是________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2017高一下·郑州期末) 已知对任意平面向量 =（x，y），把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到的向量 =（xcosθ﹣ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ得到点P．（1）已知平面内点A（2，3），点B（2+2 ，1）．把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P，求点P（2）设平面内曲线C上的每一点绕坐标原点沿顺时针方向旋转后得到的点的轨迹方程是曲线y= ，求原来曲线C的方程．18. （10分）(2017·扬州模拟) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：（1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1 ．19. （10分） (2019高二下·上饶期中) 玉山一中篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”和“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才能参加“三步上篮”测试.为了节约时间，每项测试只需且必须投中一次即为合格.小华同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为 .假设小华不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中相互独立.（1）求小华同学两项测试均合格的概率；（2）设测试过程中小华投篮次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.20. （5分）从某学校对高二学生做的一项调查中发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生42人中有32人在考前心情紧张，性格外向的学生58人中有28人在考试前心情紧张．根据以上数据建立一个2×2列联表，做出等高条形图，并利用K2检验的方法，判断能在犯错误的概率不超过多少的前提下认为考前心情紧张与性格类型有关．P（K2＞k0）0.500.100.050.010.001 k00.455 2.706 3.841 6.63510.82821. （10分）(2016·深圳模拟) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若PA=PB，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．22. （10分） (2016高三上·思南期中) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0 ， y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
江苏省扬州市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(PDF含答案)
江苏省扬州市2019-2020学年高二上学期期末考试试题高二数学2020．1（全卷满分150分，考试时间120分钟）参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．抛物线28y x =的准线方程是（）A ．2x =-B ．4x =-C ．2y =-D ．4y =-2．如果0,0a b <>，则下列不等式中正确的是（）A ．22a b<B ．22ab a b<C ．a b -<D ．||||a b >3．已知命题:p 双曲线C 的方程为2214y x -=，命题:q 双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知23a =+，23b =-，则a b ,的等比中项为（）A ．2B ．1C ．1-D ．1±5．不等式102xx -≤+的解集为（）A ．(]2,1-B ．[]2,1-C ．()[).21,-∞-⋃+∞D ．(][),21,-∞-⋃+∞6．已知等差数列}{n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则1a 等于()A ．－4B ．－6C ．－8D ．－107．空间向量(1,0,1)AB =- ，平面α的一个法向量(0,1,1)n =，则直线AB 与平面α所成角为（）A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π8．如果关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,2)-,则关于x 的不等式20bx ax c -->的解集为（）A ．(1,2)-B ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞C.(,2)(1,)-∞-⋃+∞D ．(2,1)-9．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若3744a a =-=，，则（）A ．46S S >B ．45S S =C ．65S S <D ．65S S =10．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是坐标原点,若32=AF ，则AOB ∆的面积为（）A ．22B ．2C ．322D ．2211．已知0x >，0y >，228++=x y xy ，则2+x y 的最小值是（）A ．3B ．2C ．322D ．412．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以12F F 为直径的圆与一条渐近线交于点P （P 在第一象限），1PF 交双曲线左支于Q ，若12QF PQ =，则双曲线的离心率为（）A ．1012+B ．10C ．512+D ．5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“x R ∃∈，2>x ”的否定是．14．已知数列{}n a 满足*+1111()n nn N a a -=∈,1=1a ,记+1n n n b a a =，则数列{}n b 的前10项和为．15．已知P 点是椭圆2214x y +=上的动点，Q 点是圆22(2)1x y +-=上的动点，则线段PQ 长度的最大值为．16．若关于x 的不等式2(2)(410)4120a x a x a -+-+->的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知命题p ：对任意(0,)x ∈+∞，不等式1a x x ≤+都成立，命题q ：方程2212x ya m a m +=---表示焦点在x 轴上的双曲线.（1）若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*1+1=1,21()n n a a S n N =+∈，等差数列{}n b 满足39b =，15272b b +=．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，且n n n c a b =⋅，求n T ．19．（本小题满分12分）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -中，11AB A B O = ，1112,AA AB A B AB BC ===⊥．（1）求直线1BB 与平面1A BC 所成的角；（2）若12,1A C BC ==，求三棱锥11C A BC -的体积．20．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CA AA ====，点O 为AB 中点，点D 为1AA 中点．（1）求平面ABC 与平面1B CD 所成锐二面角的大小；（2）已知点E 满足(01)AE AC λλ=≤≤ ，当异面直线DE 与1CB 所成角最小时，求实数λ的值．21．（本小题满分12分）已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，直线1:l y kx m =+与抛物线C 相切于点(6,6)．（1）求p 、k 、m 的值；（2）已知动直线21⊥l l ，且2l 与抛物线C 交于两个不同点,A B ，问抛物线上是否存在定点P （异于,A B ），使得直线,PA PB 的倾斜角互补，若存在，求出P 点坐标，若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，两条准线之间的距离为833，过(1,0)M 的直线l 交椭圆于,A B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若OA OB ⊥，且直线l 与x 轴不垂直，求直线l 的斜率；（3）设N 为直线4x =上任意一点，记直线,,AN MN BN 的斜率分别为123,,k k k ，判断123,,k k k 是否成等差数列，并给出理由．2019—2020学年度第一学期期末检测试题高二数学 参考答案 2020．11、A2、B3、A4、D5、C6、C7、A8、C9、B 10、C 11、B 12、A 13、x R ∀∈, 14、1011 15、+1316. 41]3（， 17、解：⑴因为对任意(0,)x ∈+∞，不等式1a x x ≤+成立，所以min 1a x x ⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦………………2分 因为(0,)x ∈+∞，所以12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号， …………………4分 所以2a ≤； …………………5分⑵因为方程2212x y a m a m +=---表示焦点在x 轴上的双曲线，所以020a m a m ->⎧⎨--<⎩，即2m a m <<+， …………………7分因为p 是q 的必要不充分条件，所以(](2)2m m +⊆-∞,，且(](2)2m m +≠-∞,， …………………9分 所以22m +≤，即0m ≤。
江苏省扬州市学年上学期高二(上)期末数学试卷(解析版)
２0１5-2016学年江苏省扬州市高二(上）期末数学试卷一、填空题（本大题共１4小题,每小题5分,共7０分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）１.命题“∀x∈R，x２＋x+1＞0”的否定是.2.某工厂生产Ａ、B、C 三种不同型号的产品，产量之比为2:3:5.现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本,若样本中A种型号的产品有１5件,则样本容量n= .３.在区间[0，4]上任取一个实数ｘ,则x>2的概率是．4．根据如图所示的伪代码,如果输入x的值为0，则输出结果y为．5.若f(x)＝5sｉnx，则=.６.在三张奖券中有一、二等奖各一张,另一张无奖,甲乙两人各抽取一张(不放回），两人都中奖的概率为．7.如图,该程序运行后输出的ｙ值为．8．一个圆锥筒的底面半径为３cｍ,其母线长为5ｃm，则这个圆锥筒的体积为ｃｍ３．9.若双曲线的左右焦点分别为F1，Ｆ2,Ｐ为双曲线上一点,ＰF1=3,则PF2＝．１0．设l,m是两条不同的直线,α，β是两个不重合的平面,给出下列四个命题:①若α∥β,l⊥α,则ｌ⊥β;②若l∥ｍ,ｌ⊂α，m⊂β，则α∥β;③若m⊥α,l⊥m,则ｌ∥α；④若ｌ∥α,l⊥β,则α⊥β．其中真命题的序号有．（写出所有正确命题的序号）11.已知抛物线y2＝4ｘ的准线恰好是双曲线=1的左准线，则双曲线的渐近线方程为．1２.已知可导函数ｆ（x）（x∈R）的导函数ｆ′(x)满足f（x）＜f′(x）,则不等式f（x）≥ｆ(20１6)eｘ﹣20１6的解集是.１３．若椭圆的中心为坐标原点,长轴长为4，一条准线方程为ｘ=﹣4,则该椭圆被直线ｙ=x+1截得的弦长为.1４．若ａ＞0，b＞0,且函数ｆ(ｘ）=ae x+（ｂ2﹣3)ｘ在x=0处取得极值，则ａｂ的最大值等于.二、解答题:(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．某班４0名学生某次数学考试成绩（单位：分)的频率分布直方图如图所示.(学生成绩都在[５０,10０]之间)(1)求频率分布直方图中ａ的值；（2)估算该班级的平均分;（3）若规定成绩达到80分及以上为优秀等级,从该班级４0名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率．16．如图,在四面体ＡBCD中,ＡB⊥CＤ,AＢ⊥AD.Ｍ，N,Q分别为棱ＡD，BD，ＡＣ的中点.(1)求证:ＣD∥平面MＮQ;（2)求证:平面MNQ⊥平面ACD．1７．已知命题ｐ:“存在x∈R，x2﹣2x+m≤0”,命题ｑ:“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题r：t＜ｍ<t＋１（1)若“p且ｑ”是真命题，求m的取值范围;(2）若q是r的必要不充分条件，求t的取值范围．18.已知函数ｆ（ｘ)=﹣x3+3x2＋9x+a.(1）当a=﹣2时,求f（x）在x=2处的切线方程；（2)若f(x)在区间[﹣2，２]上的最大值为22,求它在该区间上的最小值．19.椭圆E:+=１(a＞ｂ＞0)经过点（1，），且离心率为,过点P的动直线l与椭圆相交于A,B两点．（1)求椭圆E的方程；(２)若椭圆E的右焦点是P，其右准线与ｘ轴交于点Q，直线AQ的斜率为k1,+k2=0;直线BQ的斜率为ｋ2，求证:k１(３)设点P(t，０)是椭圆E的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点),是否存在与点P不同的定点Ｑ,使得＝恒成立？若存在,求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f(x)＝ｌｎx﹣，g(ｘ）=ｘ﹣1．（1)求函数f(ｘ)的单调递减区间;（2)若关于x的方程f(x）﹣g(x)+a=0在区间(，ｅ)上有两个不等的根，求实数a的取值范围;（3)若存在x0＞1,当x∈（１，x0)时,恒有f(x）＞kｇ（x），求实数ｋ的取值范围.ﻬ２015－2016学年江苏省扬州市高二（上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共１4小题，每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.命题“∀x∈R,x2+x+１＞０”的否定是∃x∈Ｒ,ｘ2+x+1≤０．【考点】命题的否定.【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可,据此分析选项可得答案．【解答】解:命题“∀ｘ∈R，x2+x+1>0“的否定是:∃x∈R，x2+ｘ+１≤0．故答案为:∃x∈R，x２+x＋1≤0．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词,或者对于“＞”的否定用“<”了.这里就有注意量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”.２.某工厂生产A、B、C 三种不同型号的产品，产量之比为２：３：5.现用分层抽样的方法抽取1个容量为n的样本,若样本中A种型号的产品有１５件,则样本容量n=75 ．【考点】分层抽样方法．【分析】设出样本容量,根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等得到比例式,解出方程中的变量ｎ,即为要求的样本容量【解答】解:设出样本容量为n,∵由题意知产品的数量之比依次为２:3：５,∴=，∴n＝75，故答案为：7５【点评】抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定,若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样,若总体的个体差异较大,可采用分层抽样.3.在区间［０,4]上任取一个实数x,则x>2的概率是.【考点】几何概型.【分析】根据几何概型计算公式，用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度,可得答案.【解答】解：数集（2,４]的长度为2，数集[0,4]的长度为４,∴在区间[0,4]上任取一个实数x,则x＞2的概率为＝,故答案为:.【点评】本题考查了几何概型的概率计算，思路是先求得试验的全部构成的长度和构成事件的区域长度,再求比值．４．根据如图所示的伪代码,如果输入x的值为0,则输出结果y为５．【考点】伪代码.【分析】模拟执行程序,可得程序的功能是计算并输出y=的值,当x=0,满足条件ｘ≥0,即可求得ｙ的值．【解答】解:模拟执行程序,可得程序的功能是计算并输出y＝的值，当x＝0，满足条件ｘ≥0，ｙ=5．故答案为:5．【点评】本题主要考查了伪代码和算法的应用，模拟执行程序，得程序的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．５．若f（ｘ)=5sｉnｘ,则= 0 .【考点】导数的运算.【分析】利用导数计算公式得出解：f′(x)＝5coｓx，代入计算即可．【解答】解:∵f(x）＝5ｓinx,∴f′（ｘ)=5cosｘ,∴则′=0.故答案为;0【点评】本题考查了导数的概念,运算，属于计算题,难度不大，准确计算即可. 6．在三张奖券中有一、二等奖各一张,另一张无奖,甲乙两人各抽取一张(不放回）,两人都中奖的概率为．【考点】互斥事件的概率加法公式.【分析】利用列举法求出甲、乙两人各抽取1张的基本事件的个数和两人都中奖包含的基本事件的个数，由此能求出两人都中奖的概率.【解答】解:设一、二等奖各用A,B表示，另1张无奖用Ｃ表示,甲、乙两人各抽取１张的基本事件有ＡＢ,AＣ，BA，BC，CA，CB共6个, 其中两人都中奖的有ＡＢ,BＡ共２个，故所求的概率P=．故答案为:.【点评】本题考查概率的求法,是中档题，解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.7.如图,该程序运行后输出的y值为32 ．【考点】程序框图.【分析】根据题意，模拟该程序的运行过程,得出程序运行后输出的ｙ值. 【解答】解:模拟该程序的运行过程,如下;ｎ=1，n≤3,n=1+2=３，y=23＝8;n≤3，n=3+2＝5，y=２5＝32；n＞3，终止循环，输出y=３2．故答案为:３2．【点评】本题考查了程序语言的应用问题,解题时应模拟程序的运行过程,是基础题目.8．一个圆锥筒的底面半径为３ｃm,其母线长为５cm,则这个圆锥筒的体积为12π cm３．【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台）．【分析】求出圆锥的高，代入圆锥的体积公式即可求出．【解答】解:圆锥的高h＝=4，∴圆锥的体积V=×π×3２×4=1２π.故答案为：12π．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，体积计算,属于基础题．9.若双曲线的左右焦点分别为F１，F２，P为双曲线上一点，ＰF1=3,则ＰF2=7 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的a=2，运用双曲线的定义，可得|｜PＦ1｜﹣|ＰＦ2|｜=２a，解方程即可得到所求距离．【解答】解:双曲线的a=2,由双曲线的定义可得｜|PF1|﹣|PF2｜｜=２ａ=4,|｜=4，即有|3﹣|PＦ２解得|PＦ2|=7(﹣1舍去).故答案为:7.【点评】本题考查双曲线的定义和方程，注意定义法的运用,考查运算能力，属于基础题.１0．设l,m是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，ｌ⊥α，则l⊥β;②若l∥m，l⊂α,ｍ⊂β,则α∥β；③若m⊥α,l⊥m，则l∥α;④若l∥α，l⊥β，则α⊥β.其中真命题的序号有①④.(写出所有正确命题的序号）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，由直线与平面垂直的判定定理得l⊥β；在②中，α与β相交或平行;在③中,l∥α或l⊂α;在④中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解:由l，ｍ是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,知：在①中，若α∥β，l⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得l⊥β，故①正确; 在②中,若l∥ｍ，l⊂α,m⊂β，则α与β相交或平行，故②错误;在③中，若m⊥α，ｌ⊥ｍ，则l∥α或l⊂α，故③错误;在④中,若l∥α,l⊥β,则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确．故答案为:①④.【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．１1．已知抛物线ｙ2=4x的准线恰好是双曲线=1的左准线，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的左准线方程，由题意可得ａ的方程，解方程可得a，即可得到所求渐近线方程．【解答】解：抛物线y2=4x的准线为x=﹣,双曲线＝１的左准线为x=﹣，由题意可得=﹣=﹣,解得a＝±2，可得双曲线的方程为x２﹣y2＝4,即有渐近线的方程为y=±x.故答案为:ｙ=±x．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法,注意运用抛物线的准线方程，考查运算能力,属于基础题．12.已知可导函数f（x)(x∈Ｒ）的导函数f′(x)满足f（x）<f′（x)，则不等式f （ｘ）≥f(２016)e x﹣2０16的解集是[２016，＋∞)．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g(x)=,求出g′(x)，得到g（x）在Ｒ递增,从而求出不等式的解集.【解答】解：由f(x)≥ｆ(2０16)e x﹣20１6,得：≥,令g（x）＝,g′(x）＝,∵f（x）<ｆ′（x),∴g′(x)＞０,∴ｇ（x)在Ｒ递增，∴ｘ≥2０16，故答案为:[２０１6，+∞)．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用,构造函数ｇ(ｘ)=是解题的关键,本题是一道中档题．１３．若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4,一条准线方程为x＝﹣4,则该椭圆被直线ｙ＝x＋1截得的弦长为.【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的方程为＋=1（a＞b>0）,由题意，利用椭圆性质求出椭圆的方程为＝1，由此能求出该椭圆被直线y＝ｘ＋1截得的弦长．【解答】解：设椭圆的方程为+=1(ａ>ｂ>0）,由题意,椭圆的焦点在ｘ轴上，且2a＝4,=4，解得a=2,c=1，∴b2＝a2﹣c2=3,∴椭圆的方程为=1，联立，得7x2+8ｘ﹣8=０,设直线y=x+1与椭圆交于A(x1，y1),B（x2，y2)，=﹣，则ｘ1+x2=﹣，x1x２∴该椭圆被直线ｙ=ｘ+１截得的弦长为:｜AB｜＝＝.故答案为:．【点评】本题考查椭圆弦长的求法，是中档题,解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质和椭圆弦长公式的合理运用.１4.若a＞0，b>0，且函数f(ｘ)＝ａe x+（b2﹣3）x在x=0处取得极值,则ab 的最大值等于2.【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导数f′(x）,据题意便有f′(0）=a＋b2﹣3=０,从而得出a＝3﹣b２，从而ab=﹣b3+3ｂ，并且根据a>0，ｂ＞0,可求出，并设g(b）＝﹣b3＋3b,求导数,根据导数符号便可判断出ｇ(b)在b=1时取得最大值,这样即可求出aｂ的最大值.【解答】解:f′(x）=ａe x＋ｂ２﹣3；∵f（x)在x=0处取得极值;∴ｆ′(0)=a+b2﹣３=0；∴a＝3﹣b2;∴ａｂ=（３﹣b2)b=﹣b3＋3b；∵a＞０,b＞0；∴３﹣ｂ２>0；∴；设g(b)=﹣b3+３b，g′(b）＝﹣３ｂ2+3=3(1﹣b2);∴ｂ∈(0，1）时,g′（b）>0,ｂ时，ｇ′(ｂ)<０；∴b=１时，ｇ（b)取最大值2；即ａb的最大值为２．故答案为:2．【点评】考查函数极值的概念,以及根据导数符号判断函数极值和最值的方法及过程,清楚函数在极值点处的导数为0,注意正确求导.二、解答题:（本大题共６小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．某班40名学生某次数学考试成绩(单位:分）的频率分布直方图如图所示.(学生成绩都在[５0,100]之间）（1)求频率分布直方图中ａ的值;（2)估算该班级的平均分；（3)若规定成绩达到8０分及以上为优秀等级，从该班级４0名学生中任选一人，求此人成绩为优秀等级的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.【分析】（1）根据频率和为1，列出方程,求出a的值；(2)利用组中值，即可估算该班级的平均分;（3)根据成绩为优秀等级有1６人,即可求出从该班级４0名学生中任选一人,此人成绩为优秀等级的概率.【解答】解:（１)由题(2a＋2a+3a+6a+7a)×１0=1,∴２0a×10=1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分）∴ａ=0．005，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分)（2)该班级的平均分为=76．5; （3）成绩为优秀等级有16人,∴从该班级40名学生中任选一人，此人成绩为优秀等级的概率为=0．4【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了概率的计算，是基础题目.16．如图，在四面体ABCD中，ＡB⊥ＣD，AB⊥ＡD.M,N，Ｑ分别为棱AD，BＤ,AC的中点．(1）求证:CD∥平面ＭNQ；（2）求证:平面MNQ⊥平面ACD．【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定．【分析】(1)利用M,Q分别为棱AD，AC的中点，证明MQ∥CD,即可证明ＣD∥平面MＮQ；(２）证明MN⊥平面ACD，即可证明平面MNQ⊥平面AＣD.【解答】证明:(１)因为M,Ｑ分别为棱ＡＤ，AC的中点,所以MQ∥CD，…（３分）又CD⊄平面MNＱ,MQ⊂平面MNQ，故CD∥平面MNQ．…(7分）（２)因为M,N分别为棱AD，ＢD的中点，所以MN∥AB，又AＢ⊥CD，AB⊥AD，故MN⊥AＤ，ＭN⊥CD．…(9分)因为AD∩CD=Ｄ,AD，CD⊂平面AＣD，所以MＮ⊥平面ＡCD又ＭN⊂平面MNQ，所以平面MNQ⊥平面ACＤ．…（14分)【点评】本题考查线面平行，平面与平面垂直,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.17．已知命题p：“存在ｘ∈Ｒ,x2﹣2x+m≤0”，命题q:“曲线表示焦点在ｘ轴上的椭圆”，命题r：t<m＜ｔ+1（１)若“p且q”是真命题,求m的取值范围；(2)若q是r的必要不充分条件,求t的取值范围.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】(1)若p为真：△≥0；若q为真:则,若“p且q”是真命题，求其交集即可得出;（2）由q是r的必要不充分条件，则可得（t,ｔ+1)⊊(﹣１,2）,解出即可得出. 【解答】解：(1）若ｐ为真：△＝４﹣4m≥０﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分）解得ｍ≤1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（２分）若ｑ为真：则﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）解得﹣１＜m<２﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）若“p且q”是真命题,则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分）解得﹣1＜ｍ≤1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（７分）(２)由ｑ是ｒ的必要不充分条件,则可得（ｔ，t＋１)⊊(﹣1，2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分)即（等号不同时成立）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(１３分）解得﹣１≤t≤１﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1５分）【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次不等式的解集与判别式的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．1８.已知函数f（x)=﹣ｘ３+3x2+９x+a．(1）当a=﹣2时,求f(x)在x=2处的切线方程;（２)若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为2２，求它在该区间上的最小值．【考点】函数的最值及其几何意义;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】（1)求出f（x)的导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程可得切线的方程；（2)求得导数，求得极值点，求出单调区间，可得ｆ(x）的最值，解方程可得ａ=0,进而得到最小值．【解答】解：(１）f(ｘ)的导数为f′（x)=﹣3x２＋6ｘ+9,可得切线的斜率为f′（２)=９，切点为(2，２0）,所以f(x)在x=２处的切线方程为ｙ﹣20=9（x﹣2），即９x﹣y+2＝0．（2）令f′(ｘ)=﹣3x２+6x+9=0,得x=3(舍）或x=﹣1,当x∈（﹣2,﹣1）时,f＇(x)<0，所以f(x)在x∈(﹣2,﹣1)时单调递减,当x∈(﹣1,2)时f＇(x)>0,所以ｆ（ｘ）在x∈（﹣1,２)时单调递增,又ｆ(﹣２)=2+a,f(２)=22+ａ，所以f（2)>ｆ(﹣2）．因此f(2)和ｆ（﹣1)分别是f（ｘ）在区间［﹣２,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a=2２，解得a=0．故f(x)=﹣x3＋３x2+9x,因此f(﹣1）＝﹣5，即函数f（x）在区间[﹣2,2］上的最小值为﹣5.【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值,考查运算能力，属于中档题．１９.椭圆Ｅ：＋=1（a＞b＞０)经过点(1,),且离心率为，过点P的动直线l与椭圆相交于Ａ，B两点.(1)求椭圆E的方程；（2)若椭圆E的右焦点是P,其右准线与x轴交于点Ｑ，直线AQ的斜率为k1，，求证：k1＋k2=0;直线ＢQ的斜率为k２（３）设点P(ｔ,0)是椭圆E的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点)，是否存在与点Ｐ不同的定点Q,使得＝恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在，说明理由.【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆E：+＝1(a＞ｂ＞0)经过点（1，），且离心率为，利用椭圆简单性质列出方程组,求出a，ｂ，由此能求出椭圆E的方程.(２)设Ａ（ｘ1,y1）,B(ｘ2，y2)，则,由此利用点差法能证明k１+k２=0.（3）当直线l与y轴平行时，Ｑ点的坐标为（x0，0);当直线ｌ与ｙ轴垂直时,Q 点坐标只可能为,再证明对任意直线l,均有即可．【解答】解:(１)∵椭圆Ｅ:＋＝1（a＞b>0)经过点（１,)，且离心率为,∴，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为．(4分）证明:(2)设A（x１,ｙ１），Ｂ（ｘ2，ｙ２),则.由题意P(１，０），Q(2，0），∵.∴,若y1=y2，则k１=k２＝0,结论成立．(此处不交代扣1分）若y1≠y２，则x1y2+x2ｙ1＝2(y１+y2)，∴.(10分)备注：本题用相似三角形有关知识证明同样给分，用韦达定理解决也相应给分．解:（3)当直线l与y轴平行时，设直线l与椭圆相交于C,D两点，如果存在定点Q满足条件,则有，即QC=QD,∴Q在ｘ轴上,可设Q点的坐标为（x0，0).当直线ｌ与y轴垂直时，设直线与椭圆相交于M，N两点，则M,Ｎ的坐标分别为，由，有,解得.∴若存在不同于点Ｐ不同的定点Q满足条件,则Q点坐标只可能为.（12分）下面证明:对任意直线l，均有.记直线AQ的斜率为k1,直线BQ的斜率为k2,设A(ｘ1,y1),B(x２，ｙ２）,则．由题意，∵.∴若y1＝y2，则ｋ1=k2＝０.∴．点B于ｘ轴对称的点B'的坐标为(﹣x2，y２）.∴k Q A=ｋQB′，∴Ｑ,A，B'三点共线.∴.∴对任意直线ｌ,均有．(1６分)【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查ｋ１＋k2=0的证明,考查是否存在与点P不同的定点Q，使得=恒成立的判断与证明，是中档题,解题时要认真审题，注意椭圆性质、椭圆与直线位置关系的合理运用.20．已知函数f(x）＝lnx﹣,g(ｘ)=x﹣1.(1）求函数f（ｘ）的单调递减区间；（2）若关于x的方程f(x)﹣g(ｘ）+a=０在区间（，e)上有两个不等的根,求实数a的取值范围；(３）若存在x0＞１，当x∈(１,ｘ0）时，恒有f(x）>kg(x）,求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数,由导数小于０，可得减区间，注意定义域;（2)由题意可得﹣a＝ｌｎx﹣﹣（ｘ﹣1）在（，e)上有两个实根，令h(ｘ)＝lｎx﹣﹣（x﹣1）,求出导数，求得单调区间、极值和最值,可得ａ的范围；(3）由题意可得当x∈（1，x)时,ｆ（x）的图象恒在直线ｙ＝k(x﹣１)的上方，０求出f(x）的单调区间，画出它们的图象,由直线和曲线相切，求得k，再由直线旋转可得ｋ的范围.【解答】解：（1)函数f(x)＝lnｘ﹣的导数为f′（x）=﹣(x﹣1)＝，(x>0)，由f′(x)<0,可得ｘ>，即有f(ｘ）的单调减区间为(,+∞)；（２）由题意可得﹣a=ｌnｘ﹣﹣(ｘ﹣１)在（，e)上有两个实根, 令ｈ（x)＝lｎｘ﹣﹣(x﹣１)，h′(x）=﹣（x﹣1）﹣1=，即有ｈ(x）在（，1）递增，（1,e）递减，且h(１）＝0，h()=﹣（1﹣）２﹣＞h(e)＝２﹣e﹣(e﹣1)2，由题意可得﹣（1﹣)２﹣＜﹣a＜0,解得0＜a＜（1﹣)2+；(3)由题意可得当x∈（1，x)时,f（x)的图象恒在直线y=k（ｘ﹣1)的上方，０由f′(ｘ)=﹣(x﹣1）＝,（x>0）,可得f(x）的增区间为(1，）减区间为(，+∞)；直线y＝ｋ（x﹣1)为过定点（1,0）的直线．画出它们的图象，当直线与曲线y=f（x)相切时,切点为(1,0）,可得ｋ=f′(1）=1﹣(1﹣1)=1，通过直线绕着定点(1，0)旋转,可得ｋ的取值范围是k≤1．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值,考查函数方程的转化思想,以及不等式恒成立问题的解法,属于中档题.。
精品解析：江苏省扬州市2021-2021学年高二上学期期末数学试题(解析版) (1)
度第一学期期末检测试题高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求).1. 命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】全称命题的否定为特称命题：，并否定原结论即可.【详解】命题“，”的否定为“，”，故选：B2. 双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（）A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】【分析】首先求顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，直接求解，【详解】根据双曲线的对称性可设顶点，其中一条渐近线方程是，那么顶点到渐近线的距离.故选：A3. 若平面，的法向量分别为，，并且，则x的值为（）A. 10B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据两个法向量共线可得的值.【详解】因为，共线，故，故，故选：C.4. 《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺【答案】B【解析】【分析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数.【详解】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，且，故公差，故，故选：B.5. 不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据分式不等式的解法转化为，解不等式.【详解】，即，即，解得：，所以不等式的解集为.故选：A6. 已知正方体的棱长为2，则点A到平面的距离为（）A B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】由垂直关系可知平面，根据边长关系直接求点到平面的距离.【详解】连结，与交于点，，且平面，且，平面，点到平面的距离为.故选：B7. 在数列中，如果对任意，都有(k为常数)，则称数列为比等差数列，k称为比公差.则下列说法正确的是（）A. 等比数列一定是比等差数列，且比公差B. 等差数列一定不是比等差数列C. 若数列是等差数列，是等比数列，则数列一定是比等差数列D. 若数列满足，，则该数列不是比等差数列【答案】D【解析】【分析】根据数列新定义，由比等差数列的性质有，判断各项描述是否正确即可. 【详解】A：若为等比数列,公比，，，所以，A错误. B：若为等差数列,故有，为比等差数列，B错误.C：令，则，此时无意义，C错误.D：由题设知：，故，不是比等差数列，正确.故选：D8. 已知a，b均为正数，且，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用条件化简，巧用“1”的代换证明，再证明，即得到的取值范围，根据等号条件成立得到最值.【详解】依题意，，可知，则，，当且仅当时，即时等号成立.，当且仅当时，等号成立，则左右同时加上得，则，即，当且仅当时等号成立，故，当且仅当时，即时等号成立，故当且仅当时，即时等号成立.即的最大值为.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于利用基本不等式证明的常用方法证明和，进而突破难点，取最值时要保证取等号条件成立.二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分.有选错的得0分，部分选对的得3分)9. （多选题）已知，，为实数，且，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据所给条件，结合不等式的性质，判断选项.【详解】A.在上单调递减，所以当时，，故A正确；B.当时，不成立，故B不正确；C.当时，，两边同时除以得，，故C不正确；D. 当时，两边同时乘以得，，或两边同时乘以得，，所以，故D正确.故选：AD10. 下列命题正确的是（）A. 已知，是两个不共线的向量.若，，则，，共面B. 若向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底C. 若，，则与向量共线的单位向最为D. 在三棱锥中，若侧棱OA，OB，OC两两垂直，则底面是锐角三角形【答案】ABCD【解析】【分析】根据空间向量的共面定理可判断A；由构成空间向量的基底不能共面可判断B；根据单位向量的计算公式可判断C；利用空间向量的数量积可判断D.【详解】对于A，，是两个不共线的向量，不妨假设，，共面则，即，可得，存在一对实数，使得，即假设成立，故A正确；对于B，向量，则，与任何向量都共面，所以，与任何向量都不能构成空间一个基底，故B正确；对于C，，所以，故C正确；对于D，OA，OB，OC两两垂直，，所以与的夹角为锐角，即为锐角，同理，为锐角，是锐角三角形，故D正确.故选：ABCD11. 已知数列的前n项和为，，.则下列选项正确的为（）A.B. 数列是以2为公比的等比数列C. 对于任意的，D. 的最小正整数n的值为15【答案】ABD【解析】【分析】根据题设的递推关系可得，从而可得，由此可得的通项和的通项，从而可逐项判断正误.【详解】由题设可得，因为，，故，所以，所以，所以，因为，故，所以，所以等比数列，所以即，故，故A对，C错.又，故，所以，即是以2为公比的等比数列，故B正确.，，故的最小正整数n的值为15，故D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D是否成立时注意先考虑的值.12. 在平面直角坐标系xOy中，为曲线上一点，则（）A. 曲线C关于原点对称B.C. 曲线C围成的区域面积小于18D. P到点的最近距离为【答案】ACD【解析】【分析】当，时，曲线为，根据点，，都在曲线上，可得曲线图象关于轴，轴和原点对称，作出其图象，即可判断四个选项的正确性，即可得正确答案. 【详解】当，时，曲线即，将中心平移到位于第一象限的部分；因为点，，都在曲线上，所以曲线图象关于轴，轴和原点对称，作出图象如图所示：对于选项A：由图知曲线C关于原点对称，故选项A正确；对于选项B：令中可得，向右平移一个单位可得横坐标为，根据对称性可知，故选项B不正确；对于选项C：令中可得，向上平移个可得纵坐标最大值为，曲线C第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为，所以曲线C围成的区域面积小于，故选项C正确；对于选项D：令中，可得，所以到点的最近距离为，故选项D正确，故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是去绝对值得出曲线在第一象限的图象，根据对称性可得曲线C 的图象，数形结合、由图象研究曲线的性质.三､填空题(本大题共4小题.每小题5分，共20分)13. 若存在实数x，使得不等式成立，则实数a的取值范围为______________.【答案】【解析】【分析】结合一元二次不等式对应的二次函数图象性质直接判断，计算即得结果.【详解】二次函数是开口向上的抛物线，故要使有解，则需，即，解得或.故实数a的取值范围为.故答案为：.14. 已知数列是等比数列，，，则___________.【答案】【解析】【分析】利用等比数列的性质：若，则，即可求解.【详解】由数列是等比数列，，，则，所以.故答案为：15. 设椭圆左焦点为､右准线为，若上存在点，使得线段的中点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率的最小值为_____________.【答案】【解析】【分析】利用根据椭圆的准线方程，设点，得中点坐标，代入椭圆方程，整理得，又，解不等式即可得离心率的最小值.【详解】由，得，，设点，故中点为，又中点在椭圆上，故代入椭圆方程得，整理得，故，又，整理得，，即，，故答案为：.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．16. 已知函数，则该函数的图象恒过定点________；若满足的所有整数解的和为，则实数的取值范围是________.【答案】(1). (2).【解析】【分析】将函数的解析式变形为，即可求得函数的图象所过定点的坐标；【详解】，当时，令，得；当时，令，得或.综上所述，函数的图象必过点.分以下三种情况讨论：①当时，即当时，由，可得，不合乎题意；②当时，即时，，则，解不等式，可得，由于不等式所有的整数解的和为，则不等式的所有整数解有、、，所以，，解得；③当时，即时，，可得.解不等式，可得或，不等式的解中有无数个整数，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：；.【点睛】方法点睛：解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据：（1）二次项中若含有参数应讨论是小于，等于，还是大于，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；（2）当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与的关系；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．四､解答题(本大题共6小题.计70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤) 17. 命题p：实数m满足不等式；命题q：实数m满足方程表示双曲线.（1）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若Р是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，即可求解.（2）若是的充分不必要条件，则是的真子集，根据集合的包含关系求出实数的取值范围即可.【详解】（1）若实数满足方程表示双曲线，则，解得，（2）实数m满足不等式，解得，若是的充分不必要条件，则是的真子集，所以，解得，所以若是的充分不必要条件，求实数的取值范围是.【点睛】易错点睛：若是的充分不必要条件则是的真子集，一般情况下需要考虑的情况，此情况容易被忽略，但题目中已经给出，很明显.18. 如图，在三棱锥中，M为的中点，，.（1）求二面角的大小；（2）求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）连接，则可证得就是二面角的平面角，根据勾股定理和余弦定理求解；（2）取中点，连接，则就是异面直线与所成的角，根据余弦定理求解即可.【详解】解：（1）连接，因为M为的中点，，所以，所以就是二面角的平面角.在直角中，，则,同理可得，在中，由余弦定理得，所以，即二面角的大小为（2）取中点，连接，则，故或其补角就是异面直线与所成的角，因为等边中，中点为，所以又所以在中，因为异面直线所成角的范围为，所以直线与所成的角的余弦值为.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.19. 设等差数列的前n项和为，数列为正项等比数列，其满足，，.（1）求数列和的通项公式；（2）若_______，求数列的前n项和.在①，②，③这三个条件中任一个补充在第（2）问中；并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1），；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由题设条件可得公差和公比的方程组，解方程组后可得两个数列的通项.（2）根据所选数列分别选分组求和、错位相减法、裂项相消法可求.【详解】（1）设等差数列的公差为，公比为，则，解得或（舍），故，.（2）若选①，，故，若选②，则，故，所以，所以即.若选③，则，故.【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.20. 如图，在直三棱柱中，，，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上.（1）若P是线段的中点，求直线MP与平面所成角的大小；（2）若N是的中点，平面PMN与平面CMN所成锐二面角的余弦值为，求线段BP的长度. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）过M作于H，连接PH，由已知条件知且，即PM与面所成角为，即可求其大小.（2）构建空间直角坐标系，由已知线段长度标识的坐标，令，由向量坐标表示，，，，进而求得面PMN与面CMN的法向量，由二面角余弦值即可求参数a，即可求BP的长度.【详解】（1）过M作于H，连接PH，又，∴，M是棱BC的中点，所以H是AB的中点，而P是线段的中点，∴且，PM与面所成角为，设则，，∴，（2）构建以A为原点，分别为x、y、z轴正方向，则，由等腰，可令，∴，，，，若为面PMN的一个法向量，则，令，有，若为面CMN的一个法向量，则，令，有，∴由题意，知：，整理得，解得或，而P在线段A1B上，有则，∴.【点睛】关键点点睛：（1）根据线面角的几何定义，找到直线MP与平面所成角的平面角，进而求角.（2）构建空间直角坐标系，设，求二面角的两个半面的法向量，根据二面角的余弦值求参数a，进而求线段长.21. 设抛物线的焦点为，其准线与轴交于，抛物线上一点的纵坐标为4，且该点到焦点的距离为5.（1）求抛物线的方程；（2）自引直线交抛物线于两个不同的点，设.若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线定义：抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离，得化简即可；（2）设，联立直线与抛物线方程设，用弦长公式表示，由及韦达定理将用表示出来，此时用表示，结合解不等式.【详解】解：（1）根据题意作图如下：因为抛物线上一点的纵坐标为4，且该点到焦点F的距离为5，又抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离，所以，故抛物线的方程为.（2）由题意直线斜率存在，设，由，，设，则，①所以，因为，所以代入①化简得令，则因为，所以，即，所以即所以实数的取值范围.【点睛】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.22. 已知直线与椭圆交于A，B两个不同的点，点M为AB中点，点O为坐标原点.且椭圆C的离心率为，长轴长为4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若OA，OB的斜率分别为，，，求证：为定值；（3）已知点，当的面积S最大时，求的最大值.【答案】（1）；（2）见解析；（3）2.【解析】【分析】（1）求出后可得椭圆的方程.（2）设，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理化简可得所求的定值.（3）联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式和点到直线的距离可求面积，结合基本不等式可求何时取最大值，再用表示，利用基本不等式可求的最大值，从而得到的最大值.【详解】（1）因为长轴长为4，故，又离心率为，故，所以，故椭圆方程为：.（2）直线，，由可得，整理得，故即.又，而，，故即为定值.（3）设，由得，又，故，又，故，因为，故，当且仅当时等号成立，此时成立. 而，故，所以，又，因为，故，故即当且仅当时等号成立.所以的最大值为2，故的最大值为2，当且仅当，时取最大值.【点睛】方法点睛：直线与椭圆位置关系中的最值、定值问题，一般需联立直线方程和椭圆方程，消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。
2020-2021学年扬州市高二上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年扬州市高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知A(2,3)，F 为抛物线y 2=6x 焦点，P 为抛物线上动点，则|PF|+|PA|的最小值为( )A. 5B. 4.5C. 3.5D. 不能确定2.不等式1≤|x −2|≤7的解集为( )A. {x|x ≤1或x ≥3}B. {x|1≤x ≤3}C. {x|−5≤x ≤1或3≤x ≤9}D. {x|−5≤x ≤9}3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1+a 3<2a 2”是“S 2n−1<0”的( )A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要4.已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ,a n 使得√a m a n =4a 1，则1m +4n 的最小值为( )A. 9B. 43C. 53D. 325.已知函数f(x)(x ∈R)满足f(1)=1，且f′(x)<12，则f(x)<x2+12的解集为( )A. {x|−1<x <1}B. {x|x >−1}C. {x|x <−1或x >1}D. {x|x >1}6.已知数列{a n }是从第二项起各项均为正数的等差数列，其前13项和S 13=132，则1a 5+4a 9的最小值为 ( )A. 8B. 9C. 12D. 167.已知两平面的法向量分别为m⃗⃗⃗ =(0,1,0)，n ⃗ =(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( ) A. 45°B. 135°C. 45°或135°D. 90°8.一元二次不等式x 2−x −2>0的解集是( )A.B. C. D. (−2,1)9.等差数列{a n }中，a 1=1，a n+1−a n =2，则a 50的值为( )A. 99B. 100C. 101D. 10210. (理)抛物线x 2=16y 的准线与双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)一条渐近线交点的横坐标为−8，双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为( ) A. √2B. √3C. 2D. √511. 当−π2≤x ≤π2时，函数f(x)=sin(2π+x)+√3cos(2π−x)−sin(2013π+π6)的最大值和最小值分别是( )A. 52，−12B. 52，32C. 32，−12D. 32，−3212. 已知双曲线x 2−y 2b 2=1的两条渐近线的夹角为60°，且焦点到一条渐近线的距离大于√22√1+b ，则b =( )A. 3B. 13C. √3D. √33二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在平面直角坐标系中，动点P(x,y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y =x 对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；④曲线W 上的点到原点距离的最小值为其中，所有正确结论的序号是________．14. 各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n . 对任意n ∈N ∗，m n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a n+1−a n , 2a n+1)都是直线y =kx 的法向量．若n →∞limS n 存在，则实数k 的取值范围是______．15. 已知抛物线C ：x 2=8y 的焦点为F ，过点P(0,−1)斜率为k(k >0)的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，AB 的中点Q 到x 轴的距离为3，若M 是直线l 上的一个动点，E(3,0)，则||MF|−|ME||的最大值为______．16. 已知一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解集为(1,2)，则不等式bx 2−cx +a ≥0的解集为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知a 、b 、c 都是正数，(1)求证：bca +cab+abc≥a+b+c，(2)若a+b+c=1，求证：1−aa +1−bb+1−cc≥6．18.已知在等差数列{a n}中，a2=4，a5+a6=15．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2a n−2+n，求b1+b2+⋯+b10．19.已知等腰梯形ABCD中(如图1)，AB=4，BC=CD=DA=2，F为线段CD的中点，E，M为线段AB上的点，AE=EM=1，现将四边形AEFD沿EF折起(如图2)．(Ⅰ)求证：AM||平面BCD；(Ⅱ)在图2中，若BD=√6，求直线CD与平面BCFE所成角的正弦值．20.如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，侧棱与底面所成的角为(O°<<90°)，点B1在底面上的射影D落在BC上(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；(2)若AB1⊥BC1，且点D为BC中点，求角；(3)若cos=，且当AC=BC=AA1时，求二面角C1−AB−C的大小。
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第7题图安宜高级中学2010-2011学年度第一学期高二数学期末考试试题注意事项：1、本试卷分两大部分，第一部分填空题（1-14题），共70分；第二部分解答题（15-20题），共90分，全卷满分160分．考试时间120分钟．2、答卷前，请考生务必将自己的姓名、考试号等信息填写在答题卷规定的地方．3、试题答案均写在答题卷指定区域的位置，答在其它地方无效．4、本场考试不得使用计算器．考试结束后，只交答题卷．5、本卷使用公式：212)(1∑=-=ni i x x n s一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）. 1、抛物线y x 22-=的焦点坐标是 ▲ .2、五个数1,2,3,4,a 的平均数是3，这五个数的方差是 ▲ .3、某校有教师200人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n 的值为 ▲ .4、若方程141022=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ▲ . 5、8ln 2)(2++-=x x x f 6、已知命题;2|2:|≥-x p 命题Z x q ∈:”“”“q q p ⌝与且x 的集合为 ▲ ．7、定义某种运算⊗，S a b =⊗下图：则式子5324⊗+⊗= ▲ ． 8、已知双曲线221916x y -=，12,F F 左、右焦点，P 为双曲线上一点，设 则2PF 的值为 ▲ .9、P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，12,F F 是椭圆的左、右焦点，若使△F 1PF 2为等边三角形，则椭圆离心率为 ▲ .10、若函数2)()(c x x x f -=在2x =处有极值，则常数c 的值为 ▲ .11、已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且圆与直线3 4 4 0x y ++=相切，则该圆的标准方程是 ▲ .12、有下列四个命题：① “若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题；② “,x R ∃∈使得213x x +>”的否定是“,x R ∀∈都有213x x +≤”； ③ “若m ≤1，则022=+-m x x 有实根”的逆否命题；④ “2m =-”是“直线(2)10m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的必要不充分条件.其中是真．命题的是 ▲ （填上你认为正确命题的序号）. 13、已知(,)P x y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，(1,2)A -，则PA 的取值范围是 ▲ .14、225(,)|(1)(2)4A x y x y ⎧⎫=-+-≤⎨⎬⎩⎭，{}(,)|122B x y x y a =-+-≤，若A B ⊆,则a 的取值范围是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.15、（本题14分）高二年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生（1）根据上面图表，①②③处的数值分别为 ▲ 、 ▲ 、 ▲ ； （2）在所给的坐标系中画出[85，155]的频率分布直方图； （3）根据题中信息估计总体落在［125，155］中的概率.16、（本题14分）（1）将一颗骰子（正方体形状）先后抛掷2次，得到的点数分别记为,x y ，求2x y += 及4x y +<的概率；（2）从区间(1,1)-中随机取两个数,x y ，求221x y +<的概率．17、（本题15分）如图，直角三角形ABC 的顶点坐标(20)A -，，直角顶点(0,B -，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．（1）求BC 边所在直线方程；（2）M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程； （3）直线l 过点P 且倾斜角为3π，求该直线被圆M18、（本题15分）已知直线l 的方程为2x =-，且直线l 与x 轴交于点M ，圆22:1O x y += 与x 轴交于,A B 两点．（1）过M 点的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ 恰为圆周的14，求直线1l 的方程； （2）求以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰有两个公共点的椭圆方程；（3）过M 点作直线2l 12,F F ,求三角形21F NF ∆面积．2011.01.1819、（本题16分）如图，有一块抛物线形状的钢板，计划将此钢板切割成等腰梯形ABCD 的形状，使得,,,A B C D 都落在抛物线上，点,A B 关于抛物线的轴对称，且2AB =，抛物线的顶点到底边的距离是2，记2CD t =，梯形面积为S ．（1）以抛物线的顶点为坐标原点，其对称轴为y 轴建立坐标系，使抛物线开口向下，求出该抛物线的方程；（2）求面积S 关于t 的函数解析式，并写出其定义域； （3）求面积S 的最大值．20、（本题16分）已知函数32()2()f x ax x b x R =++∈，其中,a b R ∈，4()()g x x f x =+．（1）当103a =-时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()g x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；（3）若对于任意的[]2,2a ∈-，不等式()1g x ≤在[]1,1-上恒成立，求b 的取值范围．高二数学试卷答案及评分标准A一、填空题：1、1(0,)2- 2、2 3、192 4、)7,4( 5、(0,1] 6、{}1,2,3 7、14 8、13 9、1210、26或 11、22(2)4x y -+= 12、①②③ 13、2⎣ 14、52a ≥二、解答题：15．解（1） ①1, ②0.100，③1 ………………………3分(2)直方图如右 ……………8分(3) 在［125，155］上的概率为 05.01.0275.0++=0.38答：在［125，155］上的概率约为0.38 …………………14分16. 解（1）记“2x y +=”为事件A ，连续两次抛掷一颗骰子共有36种不同的点数之和的结果，而事件A 包含1种结果，∴1()36P A =； ……………4分记“4x y +<”为事件B ，连续两次抛掷一颗骰子共有36种不同的点数之和的结果，而事件A 包含3种结果， ∴31()3612P B == 答：“2x y +=”的概率为136；“4x y +<”的概率为112 ……………8分(2) 记“221x y +<”为事件C ，∴()4P C π==圆面积正方形面积成绩（分）答：“从区间(1,1)-中随机取两个数,x y ，221x y +<”的概率为4π…………14分 17、 （1）∵AB k =,AB BC ⊥ ……1分∴,2CB k =∴:2BC y x =- ……5分 （2）在上式中，令0,y =得：(4,0),C ……6分∴圆心(1,0),M 又∵3,AM = …… 8分 ∴外接圆的方程为22(1)9.x y -+= ……10分 （3）∵(1,0),P -直线l 过点P 且倾斜角为3π ∴直线l的方程为1)y x =+ ……11分点M 到直线l……13分 直线l 被圆M截得的弦长为 ……15分 18 .解：（1）PQ 为圆周的1,.4POQ π∴∠=O ∴点到直线1l …………2分 设1l的方程为21(2),.7y k x k =+∴=1l ∴的方程为2).y x =+ ………………………5分 （2）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则22.a c= 椭圆与圆O 恰有两个不同的公共点，根据椭圆与圆的对称性则1a =或 1.b = ………………………6分当1a =时，22213,,24c b a c ==-=∴所求椭圆方程为22413y x +=；……………8分 当1b =时，222222,1, 2.b c c c a b c +=∴=∴=+=所求椭圆方程为22 1.2x y += ………………………10分 （3）设切点为N ，则由题意得，在Rt MON ∆中，2,1MO ON ==，则30NMO ∠=， N 点的坐标为)23,21(-， (11)若椭圆为22 1.2x y +=其焦点F 1,F 2分别为点A,B 故232322121=⨯⨯=∆F NF S ，分 若椭圆为22413y x +=，其焦点为)0,21(),0,21(21F F -,此时432312121=⨯⨯=∆F NF S ………………………15分 19. 解（1）以抛物线的顶点为坐标原点，其对称轴为y 轴建立坐标系，设抛物线方程为：)0(22>-=p py x ，由图得抛物线过点(1,2)-，代入)0(22>-=p py x 求得41=p ， 所以外轮廓线所在抛物线的方程：212x y =-………………………5分 （2）设(,)C x y ，2CD t x t =∴=，代入抛物线方程得22y t =-，故梯形的高为222t -∴21(22)(22)2S t t =+-=322222t t t --++ …………………9分 又由⎩⎨⎧>->02202t t 解得)1,0(∈t∴其定义域为(0,1) ………………………10分（3）S =322222t t t --++， ∴2(1)(31)S t t '=-+-令0S '=，解得31=t -------------------12分 当310<<t 时0S '>∴函数在该区间递增， 当131<<t 时0S '<∴函数在该区间递减， ………………………14分 所以当31=t 时函数取得最大值，max 6427S = ………………………16分20、（1）2()34(34)f x ax x x ax '=+=+． ……1分 当103a =-时，()(104)f x x x '=-+．令()0f x '=，解得10x =，225x =． ……2分当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在2(0,)5内是增函数，在(,0)-∞，2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内是减函数． ……5分（2）32()4()(434)g x x f x x x ax ''=+=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根．……7分 为使()g x 仅在0x =处有极值，必须24403x ax +≥+成立， ……8分 即有29640a ∆=-≤．解不等式，得3838a -≤≤．这时，(0)g b =是唯一极值． ……9分因此满足条件的a 的取值范围是88[,]33-． ……10分 （3）2()(434)g x x x ax '=++由条件[2,2]a ∈-，可知29640a ∆=-<， ……11分 从而24340x ax ++>恒成立．在[1,1]-上，当0x <时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>． 因此函数()g x 在[1,1]-上的最大值是(1)g 与(1)g -两者中的较大者． ……13分 为使对任意的[2,2]a ∈-，不等式()1g x ≤在[1,1]-上恒成立，当且仅当111))1((g g ≤-≤⎧⎨⎩，即22b ab a≤--≤-+⎧⎨⎩，在[2,2]a ∈-上恒成立． ……15分 所以4b ≤-，因此满足条件的b 的取值范围是(,4]-∞- ……16分。