《高中数学》必会基础练习题__《导数》 2
2021_2022学年新教材高中数学第二章导数及其应用3导数的计算课后巩固提升含解析北师大版选择性必
第二章导数及其应用§3导数的计算课后篇巩固提升必备知识基础练1.若f'(x0)=-2,则limk→0f(x0-12k)-f(x0)k等于()B.-1C.2D.1,lim k→0f(x0-12k)-f(x0)k=-12limk→0f(x0-12k)-f(x0)-12k=-12f'(x0)=1,故选D.2.下列各式中正确的个数是()①(x7)'=7x6;②(x-1)'=x-2;③1√x '=-12x-32;④(√x25)'=25x-35;⑤(cos x)'=-sin x;⑥(cos 2)'=-sin 2.B.4C.5D.6(x-1)'=-x-2,⑥(cos2)'=0,∴②⑥不正确.故选B.3.若函数f(x)=cos x,则f'π4+fπ4的值为()B.-1C.1D.2 解析f'(x)=-sin x,所以f'π4+fπ4=-sinπ4+cosπ4=0.4.已知f(x)=x a,若f'(1)=4,则a的值等于()B.-4C.5D.-5f'(x)=ax a-1,f'(1)=a(1)a-1=4,∴a=4.y=f(x)=2x2+4x在x=3处的导数为.(3)=limΔx→0Δy Δx=lim Δx→02(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3)Δx=16.,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2,则物体的初速度是.初=s'(0)=limΔt→0s(0+Δt)-s(0)Δt=limΔt→0(3-Δt)=3.7.已知f (x )=1x,g (x )=mx ,且g'(2)=1f '(2),则m=.4,f'(x )=-1x 2,g'(x )=m.∵g'(2)=1f '(2),∴m=-4.8.设直线y=12x+b 是曲线y 1=ln x (x>0)的一条切线,则实数b 的值为.-1y 1'=(ln x )'=1x ,设切点为(x 0,y 0),由题意,得1x 0=12,所以x 0=2,y 0=ln2,代入直线方程y=12x+b ,得b=ln2-1.9.利用导数的定义求函数y=f (x )=x-2x的导数.解由导数定义,得Δy=f (x+Δx )-f (x )=(x+Δx )-2x+Δx-x-2x,∴ΔyΔx =1+2x (x+Δx ),当Δx 趋于0时,得到导数f'(x )=1+2x 2.10.用求导数的公式求下列函数的导数.(1)y=x 8;(2)y=4x ;(3)y=log 3x ;(4)y=sin x+π2;(5)y=e 2. 解(1)y'=(x 8)'=8x 8-1=8x 7.(2)y'=(4x )'=4x ln4.(3)y'=(log 3x )'=1xln3.(4)y'=sin x+π2'=(cos x )'=-sin x.(5)y'=(e 2)'=0.关键能力提升练11.已知函数f (x )在x 0处的导数为f'(x 0),则lim Δx →0f (x 0)-f (x 0-mΔx )Δx等于()A.mf'(x 0) B .-mf'(x 0) C .-1m f'(x 0) D .1m f'(x 0),limΔx →0f (x 0)-f (x 0-mΔx )Δx=m limΔx →0f (x 0)-f (x 0-mΔx )mΔx=mf'(x 0).12.已知曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线方程为y=kx+b,则k-b等于()B.-4C.28D.-28点(2,8)在切线上,∴2k+b=8,①又f'(x)=3x2,f'(2)=3×22=12=k,②由①②可得k=12,b=-16,∴k-b=28.13.设正弦曲线y=sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角α的取值X围是()A.0,π4∪3π4,π B.[0,π)C.π4,3π4D.0,π4∪π2,3π4答案A解析∵(sin x)'=cos x,∴k l=cos x,∴-1≤k l≤1,∴α∈0,π4∪3π4,π.14.(多选题)以下运算正确的是()A.1x '=1x2B.(cos x)'=-sin xC.(2x)'=2x ln 2D.(tan x)'=1cos2x解析1x '=-1x2,所以A不正确;因为(cos x)'=-sin x,故B正确;因为(2x)'=2x ln2,所以C正确;因为(tan x)'=1cos2x,所以D正确.15.(多选题)已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k,则当k=3时的P点坐标为()A.(-1,1)B.(-1,-1)D.(1,-1),y'=3x2,因为k=3,所以3x2=3,所以x=±1,则P点坐标为(-1,-1)或(1,1).16.设函数f(x)在x=x0处可导,当h趋于0时,对于f(x0+ℎ)-f(x0)ℎ的值,以下说法正确的是.(填序号)①与x0,h都有关;②仅与x0有关而与h无关;③仅与h有关而与x0无关;④与x0,h均无关.(x)=sin x,f1(x)=f'0(x),f2(x)=f'1(x),…,f n+1(x)=f'n(x),n∈N,则f2 020(x)=.x,f1(x)=cos x,f2(x)=-sin x,f3(x)=-cos x,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,…,依次类推可得,函数呈周期变化,且周期为4,则f2020(x)=f4(x)=sin x.18.函数y=x 2(x>0)的图象在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k+1,其中k ∈N +,若则a 1+a 3+a 5的值是.y'=2x ,∴y=x 2(x>0)的图象在点(a k ,a k 2)处的切线方程为y-a k 2=2a k (x-a k ).又该切线与x 轴的交点坐标为(a k+1,0),∴a k+1=12a k ,即数列{a k }是首项为a 1=16,公比为q=12的等比数列,∴a 3=4,a 5=1,∴a 1+a 3+a 5=21.19.已知P 为曲线y=ln x 上的一动点,Q 为直线y=x+1上的一动点,则当点P 的坐标为时,PQ 最小,此时最小值为.√2 ,当直线l 与曲线y=ln x 相切且与直线y=x+1平行时,切点到直线y=x+1的距离即为PQ 的最小值.易知(ln x )'=1x ,令1x =1,得x=1,故此时点P 的坐标为(1,0),所以PQ 的最小值为√2=√2.f (x )=x 2,g (x )=x 3,求适合f'(x 0)+2=g'(x 0)的x 0的值.(x 0)=2x 0,g'(x 0)=3x 02.因为f'(x 0)+2=g'(x 0),所以2x 0+2=3x 02,即3x 02-2x 0-2=0,解得x 0=1-√73或x 0=1+√73.学科素养创新练21.设曲线y=x n+1(n ∈N +)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,令a n =lg x n ,求a 1+a 2+…+a 99的值.解由题得y'=(n+1)x n ,故在点(1,1)处的切线斜率k=n+1,所以切线方程为y=(n+1)x-n (n ∈N +),可求得切线与x 轴的交点为nn+1,0,则a n =lg nn+1=lg n-lg(n+1),n ∈N +,所以a 1+a 2+…+a 99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+…+(lg99-lg100)=lg1-lg100=-2.。
人教版高中数学选修2—2《导数》复习周练卷
导数专项练习题一、定义1.若()xf x e =，则()()121limx f x f x∆→-∆-=∆（ ）A ．eB ．e -C ．2eD ．2e - 2．已知函数y = f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则000()()limh f x h f x h h→+--=( )A ．()0f x ¢B ．()02f x ¢-C ． ()02f x ¢D ．03. 已知函数()()3ln 1(1)2f x x x f ¢=++-+，则函数()f x 的解析式是 ；、 ()()()()131,1,ln 112f x f f x x x x ¢¢=+∴=∴=+++二、函数图象与导数图象1.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f ¢在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点______个 1个2.已知函数()y xf x ¢=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( ）3.(2004浙江理)设f ′(x )是函数f (x )的导函数,y =f ′(x )的图象如右图所示，则y =f (x )的图象可能是( )解析: C 由y =f ′(x )的图象可得. ∵当x <0时,f ′(x )>0, ∴y =f(x )在(-∞,0)上单调递增. ∵当0<x <2时,f ′(x )<0, ∴y =f (x )在(1,2)上单调递减. ∵当x >2时,f ′(x )>0, ∴y =f (x )在(2,+∞)上单调递增4．已知函数f x ()的定义域为 1 5-[，]，部分对应值如下表．f x ()的导函数y f x ¢=()的图象如图所示．下列关于函数f x ()的命题：①函数y f x =()是周期函数；②函数f x ()在0 2[，]是减函数；③如果当 1 x t ∈-[，]时，f x ()的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当12a <<时，函数y f x a =-()有4个零点．其中真命题的个数有 A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个三、单调性 1.已知()321233y x bx b x =++++是R 上的单调递增函数，则b 的取值范围是______ []1,2- 2.函数cos sin y x x x =-的单调递增区间是____________ ()()2,21,k k k Z πππ++∈3.已知函数my x x=+在区间()2,+∞递增，求实数m 的范围___________ (],4-∞ 4．设a ∈R ，若函数2axy e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）A ．2a >-B ．2a <-C ．12a >-D ．12a <-四、不等式1、()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ．41.【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x-，()()'4312x g x x -=0>()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4五、极值点和极值1、函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是（ ）（A ）0>a （B ）0≥a （C ）0a < （D ）0≤a2.已知f (x )=x 3+ax 2+(a +6)x +1有极大值和极小值,则a 的取值范围为( )A .-1<a <2B .-3<a <6C .a <-1或a >2D .a <-3或a >6 2. D 解析:f ′(x )=3x 2+2ax +a +6.x-1 0 4 5 f x ()1221要使f (x )有极大值和极小值,需f ′(x )=0有两个不相等的实根. ∴Δ=4a 2-12(a +6)>0. ∴a >6或a <-3. 3．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 . (,0)-∞ 4. 设a R ∈，若函数xy e ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则a 的取值范围是 ；(),1;-∞-5、设R a ∈，若函数x ey ax3+=，R x ∈有大于零的极值点，则（ ）A ．3->aB . 3a <-C . 31->aD . 31-<a六、零点1.方程3269100x x x -+-=的实根个数是________个 1 2. 函数()322f x x x x =-++-的零点分布情况为（ ）A ．一个零点，在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭内B . 两个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭、()0,+∞内C . 三个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭、1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭、()1,+∞内D .三个零点，分别在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭、()0,1、()1,+∞内 3. 函数()3213222f x x x x =+--的图象与x 轴的交点有________个 2 ()()()232321f x x x x x ¢=+-=-+，极大值()10f -=，极小值203f ⎛⎫< ⎪⎝⎭七、抽象函数1 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A (0)(2)2(1f f f +< B (0)(2)2(1f f f +≤ C (0)(2)2(1f f f +≥ D (0)(2)2(1f f f +> 2、设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时，)()()()(x g x f x g x f ¢+¢＜0.且()03g =-，则不等式()()0f x g x >的解集是（ ）(A ) (3,0)(3,)-+∞ （B ）(3,0)(0,3)- （C ）(,3)(3,)-∞-+∞ （D ）(,3)(0,3)-∞-3.已知()()221f x x xf ¢=+,则()0f ¢等于( )A .0B .-4C .-2D .23. B 解析: 注意到()1f ¢是一个常数，()()221f x x f ¢¢=+令x =1得f ′(1)=2+2f ′(1)，∴f ′(1)=-2.令x =0得f ′(0)=2f ′(1)，∴()04f ¢=-八、切线方程 5.函数cos 2(,0)4y x x π=在点处的切线方程是（ ）A ．24160x y ππ+-=B ．24160x y ππ--=C ．2480x y ππ+-=D ．2480x y ππ--=。
高中数学导数练习题
高中数学导数练习题高中数学导数练习题在高中数学学习中，导数是一个重要的概念和工具。
它不仅在微积分中起着重要的作用，也在其他数学领域中有广泛的应用。
为了加深对导数的理解和掌握，我们可以通过练习题来提高自己的能力。
一、基础练习题1. 求函数f(x) = 3x² + 2x的导数。
解答：根据导数的定义，我们可以通过求函数的斜率来求导数。
对于f(x) = 3x²+ 2x，我们可以使用求导法则来求导数。
根据常数乘法法则和幂函数求导法则，我们可以得到f'(x) = 6x + 2。
2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的导数。
解答：对于g(x) = sin(x) + cos(x)，我们可以使用三角函数的求导法则来求导数。
根据三角函数的导数公式，我们可以得到g'(x) = cos(x) - sin(x)。
3. 求函数h(x) = e^x的导数。
解答：对于h(x) = e^x，我们可以使用指数函数的求导法则来求导数。
根据指数函数的导数公式，我们可以得到h'(x) = e^x。
二、应用练习题1. 求函数y = x³ - 2x² + 3x的极值点。
解答：对于函数y = x³ - 2x² + 3x，我们需要先求导数，然后令导数等于零来求得极值点。
求导得到y' = 3x² - 4x + 3。
令y' = 0，我们可以解方程得到x = 1和x = 3/2。
将这两个x值代入原函数，我们可以得到对应的y值。
所以，极值点为(1, 2)和(3/2, 9/8)。
2. 求函数y = x² - 4x的拐点。
解答：对于函数y = x² - 4x，我们需要求二阶导数，然后令二阶导数等于零来求得拐点。
求二阶导数得到y'' = 2。
由于二阶导数恒大于零，所以该函数没有拐点。
3. 求函数y = ln(x)的渐近线。
高中数学导数练习题含答案
高中数学导数练习题含答案一、解答题1．已知函数e ()(ln )=--+xf x a x x a x（a 为实数）．(1)当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，求实数a 的取值范围． 2．已知函数()()1ln 0f x a x x a x=-+>．(1)当1≥x 时，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当1a =时，()()21g x xf x x =+-，方程()g x m =的根为1x 、2x ，且21x x >，求证：211e x x m ->+．3．已知a R ∈，函数()22e 2xax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1201x x ，（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<． （注： 2.71828e =…是自然对数的底数）4．已知函数()ln f x x =，()21g x x x =-+．(1)求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；(2)若直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，求直线l 的条数． 5．设函数()1eln 1x af x a x -=--，其中0a >(1)当1a =时，讨论()f x 单调性；(2)证明：()f x 有唯一极值点0x ，且()00f x ≥. 6．已知函数()1e xaxf x a=-+，0a ≠. (1)当1a =时，①求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； ②求证：()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点； (2)若()f x 没有零点，求a 的取值范围. 7．已知函数()e 1()x f x ax a =-+∈R . (1)讨论函数()f x 的单调性与极值；(2)若对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，求实数a 的取值范围.8．已知函数()ln xf x x=， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线；(2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．9．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若fx 是()f x 的导函数，()f x ''是fx 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x x x =+与()g x x ()1,1处的曲率分别为1K ，2K ，比较1K ，2K 大小；(2)求正弦曲线()sin h x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值.10．已知函数e ()(1)1xf x b x a=+-+(1)当114a b ==-，时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程； (2)当1a =时，()2f x ≥恒成立，求b 的值．【参考答案】一、解答题1．(1)单调递减区间为（0，1），递增区间为(1,)+∞ (2)(e,)+∞ 【解析】 【分析】（1）求导2(1)(e )()--'=x x ax f x x，易知1a =-时，e 0-=+>x x ax e x ，然后由()0f x '<和()0f x '>求解；（2）由（1）知，0a 时，不符合题意， 0a >时，根据函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，得到()0f x '=在（0，1）内存在唯一变号零点，转化为exa x=在（0，1）内存在唯一根求解. (1)解：函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，22e (1)1(1)(e )()1---⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭x x x x ax f x a x x x ． 当1a =-时，e 0-=+>x x ax e x ，所以当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>． 所以()f x 的单调递减区间为（0，1），递增区间为(1,)+∞． (2)由（1）知，当0a 时，()f x 在（0，1）内单调递减， 所以()f x 在（0，1）内不存在极值点；当0a >时，要使函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，则2(1)(e )()0--'==x x ax f x x在（0，1）内存在唯一变号零点， 即方程e 0x ax -=在（0，1）内存在唯一根，所以e xa x=在（0，1）内存在唯一根，即y a =与()ex g x x=的图象在（0，1）内存在唯一交点，因为2(1)e ()0-'=<xx g x x ， 所以()g x 在（0，1）内单调递减．又(1)e g =， 当0x →时，()g x ∞→+，所以e a >，即a 的取值范围为(e,)+∞． 2．(1)02a <≤ (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）分析可知1≥x ，()()01f x f ≤=，分02a <≤、2a >两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，验证()()1f x f ≤对任意的1≥x 是否恒成立，由此可求得实数a 的取值范围；（2）利用导数分析函数()g x 的单调性，可得出12101x x e<<<<，证明出31x x >，证明出当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--，可得出()241e 1x x m >=+-，结合不等式的性质可证得结论成立. (1)解：因为()()1ln 0f x a x x a x =-+>，则()222111a x ax f x x x x -+-'=--=，且()10f =，由题意可知，对任意的1≥x ，()()01f x f ≤=， 设21y x ax =-+-，则24a ∆=-，（ⅰ）当02a <≤时，0∆≤，()0f x '≤恒成立且()f x '不恒为零，()f x 在[)1,+∞上是减函数，又因为()10f =，所以()0f x ≤恒成立；（ⅱ）当2a >时，0∆>，方程210x ax -+-=的根为1x =，2x =又因为121=x x ，所以121x x ．由()0f x '>得1x ≤<()0f x '<，得x所以()f x 在⎡⎢⎢⎣⎭上是增函数，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是减函数， 因为()10f =，所以()0f x ≤不恒成立． 综上所述，02a <≤． (2)证明：当1a =时，()()21ln g x xf x x x x =+-=，()1ln g x x '=+，由()0g x '<，可得10e x <<，由()0g x '>，可得1ex >，所以()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，则()min11e e g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 当01x <<时，()ln 0g x x x =<，所以，12101x x e <<<<，且10em -<<， 当10,ex ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ln 1x <-，所以ln x x x <-，即()g x x <-．设直线y x =-与y m =的交点的横坐标为3x ，则3111ln x m x x x =-=->，下面证明当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--， 设()()()111ln 1ln e 1e 1e 1h x x x x x x x ⎡⎤=--=-+⎢⎥---⎣⎦，令()()11ln e 1e 1p x x x =-+--，则()()()()22e 1111e 1e 1x p x xx x --'=-=--，当11ee 1x <<-时，()0p x '<，当11e 1x <<-时，()0p x '>， 所以()p x 在11,e e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上是减函数，在1,1e 1⎛⎫⎪-⎝⎭上是增函数， 又因为10e p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10p =，所以当11ex <<时，()0p x <，()0h x <，故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--． 设直线()111e y x =--与y m =的交点的横坐标为4x ，则41e 1x m -=-，可得()41e 1x m =+-，如下图所示：则()241e 1x x m >=+-，所以21431e x x x x m ->-=+，得证． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 3．(1)(2e 1y x =-+(2)（ⅰ）(2e 2e ,4e -；（ⅱ）证明见解析【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）（ⅰ）原问题等价于12,x x 22e ex a -=-的两根，且1201x x ，从而构造函数())0g x x =>，将问题转化为直线y a =-与函数()g x 的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（ⅱ）由1e x x +≤，利用放缩法可得()()1112210x ax f x '++-=，即1x 2114x <<，从而可证21x x -<()21e 011x xx x +<<<-，然后利用放缩法可得()()1201,21i i i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，最后构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->而得证原不等式. (1)解：因为()22e x f x ax '=+所以()02f '=()01f =，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(21y x =-+； (2)解：（ⅰ）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是关于x 的方程()22e 0x f x ax =+'的两根，也是关于x的方程a =-的两正根， 设())0g x x =>，则()g x '=， 令())224e 2e 0x x h x x x =->，则()28e xh x x '=，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当104x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14x >时，()0h x >，()0g x '>， 所以函数()g x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为1201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即22e a <-<- 所以a的取值范围是22e ,-；22e 9a <<-， 因为1e x x +≤，所以()()1112210x ax f x '++-=，所以()142a x +-，所以1x 2114x <<，所以211x x -<= 下面先证明不等式()21e 011x xx x+<<<-， 设()()2101e 1xx r x x x -=⋅<<+，则()()2222e 1x x r x x '=-+， 所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减， 所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e 011x xx x+<<<-成立， 因为12,x x ，()1201x x <<<是()22e 0x f x ax '=+=的两个根，所以()()01,2i f x i '==，又()21e 011x xx x+<<<-，所以()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，设函数()(222m x ax a x =-++++x t ==因为((()2224261620a a a ∆=+++-=+-+->，且()00m >，()10m >，102t <<， 所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<，因为()22616212e 201ta tf t at at t+++'=+-⋅+-=<-，且()00f '>，()10f '>，所以1201x x ，因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m x m α>=，所以10x t α<<<； 因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<； 所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-，因为βα-=又()109a -<<<-，所以βα-> 所以21x x ->综上，21x x <-< 【点睛】关键点点睛：本题（2）问（ii ）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可得1x21x x -<；再利用()21e 011x x x x +<<<-，进行放缩可得()()1201,21ii i ix ax f x i x +'⋅+->==-，从而构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->4．(1)在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减 (2)两条 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）设直线l 分别与函数()f x ，()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ，()2222,1B x x x -+，依题意可得()()12AB f x g x k '='=，即可得到方程组，整理得()211211ln 204x x x++-=，令()()221ln 24x F x x x +=+-，利用导数说明函数的单调性，利用零点存在性定理判断零点的个数，即可得解； (1)解：由题设，()()()2ln 1h x f x g x x x x =-=-+-，定义域为()0,∞+，则()()()221112121x x x x h x x x x x+---'=-+=-=- 当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.(2)解：因为()ln f x x =，()21g x x x =-+，所以()1f x x'=，()21g x x '=-，设直线l 分别与函数()f x ，()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ，()2222,1B x x x -+ 则()()12AB f x g x k '='=，即21222112ln 1121x x x x x x x -+-=-=- 由2122112ln 11x x x x x x -+-=-，得2121221ln 1x x x x x x -=-+-即2212211ln 1x x x x x -=-+-，即221221ln 20x x x x x -++-= 由21121x x =-，得12112x x x +=，代入上式，得211112111111ln 20222x x x x x x x ⎛⎫+++-++-= ⎪⎝⎭即()211211ln 204x x x++-=，则()()2221117ln 2ln 4244x F x x x xx x +=+-=++- 设()()()()223332111112102222x x x x F x x x x x x x +---='=--=> 当01x <<时，()0F x '<；当1x >时，()0F x '>，所以()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.因为()()min 110F x F ==-<，()()()222222441e 1e e ln e 204e4eF ++=+-=>，则()F x 在()1,+∞上仅有一个零点.因为()24242e e 7e 4e 7e 2024424F ---=-++-=+>，则()F x 在()0,1上仅有一个零点. 所以()F x 在()0,∞+上有两个零点，故与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线l 有两条.5．(1)()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）首先确定()f x 定义域，再应用二阶导数的符号判断f x 的单调性，进而分区间判断f x 的符号，即可确定()f x 的单调性.（2）求()f x 的二阶导，根据其符号知f x 在()0,+∞上单调递增，令0f x 得到ln 1x x a+=，构造()ln 1x h x x a=+-结合其单调性，注意利用导数研究()ln 1x x x ϕ=-+的符号，再用放缩法判断1a h a ⎛⎫⎪+⎝⎭、()1ea h +的符号，即可判断零点0x 的唯一性，进而得到00011ln ln x x a x -==-，结合基本不等式求证()00f x ≥. (1)当1a =时，()1e ln 1xf x x -=--，定义域为()0,+∞， 则()11e x f x x -'=-，()121e 0xf x x -+'=>'， 所以f x 在()0,+∞上单调递增，又()10f '=， 当01x <<时，0f x，所以()f x 在区间0,1上单调递减；当1x >时，0f x，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.综上，()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. (2)由题意，()11ex af x x -='-，()1211e 0x af x a x-=⋅+'>'，则f x 在()0,+∞上单调递增，至多有一个零点，令()ln 1x x x ϕ=-+，其中1x >，则()111xx x xϕ-'=-=， 当()0,1x ∈时，()0ϕ'>x ，()ϕx 单调递增. 当()1,x ∈+∞时，()0ϕ'<x ，()ϕx 单调递减，所以()()10x ϕϕ≤=，即ln 10x x -+≤，于是ln 1≤-x x ， 令0f x，则e e x a x ⋅=，两边取自然对数可得ln 1xx a+=，令()ln 1x h x x a=+-，则()h x 在()0,+∞上单调递增. 故11ln1111011111a a a h a a a a a ⎛⎫=+-≤-+-=-<⎪+++++⎝⎭，又()11111e eln ee 10a a a a h a a a++++=+⋅-=+>， 所以()h x 在()0,+∞上有唯一零点0x ，则f x 有唯一零点0x ，即()f x 有唯一极值点0x .下证()00f x ≥： 因为()01001e0x af x x -'=-=，所以0101e x a x -=，可得00011ln ln x x a x -==-，所以()010000e ln 11120x ax a f x a x x a -=--=+--≥=，当且仅当0x a =时等号成立，综上，()f x 有唯一极值点0x 且()00f x ≥，得证. 【点睛】关键点点睛：第二问，利用二阶导数研究一阶导数的单调性，根据零点所得的等量关系构造()ln 1x h x x a=+-，结合单调性、零点存在性定理判断f x 零点的唯一性，进而利用基本不等式证明不等式. 6．(1)①112y x =-；②证明见解析 (2){}()210,e -⋃【解析】【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；②令()e 1e x xg x x =+-，利用导数判断出()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ，利用列表法证明出()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点；（2）令()e xh x a ax =+-.对a 分类讨论：①0a <，得到当1a =-时，()f x 无零点；②0a >，()f x 无零点，符合题意. (1)若1a =，则()1e 1x xf x =-+，()2e 1e (e 1)x x x x f x +-=+'.①在0x =处，()()21110211f '+==+，(0)1f =-. 所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为112y x =-.②令()e 1e x xg x x =+-，()e x g x x '=-，在区间(0,)+∞上，()0g x '<，则()g x 在区间(0,)+∞上是减函数.又(1)10,g =>()22e 10,g =-+<，所以()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x . 列表得：0(2)()e e x x ax af x a--=+，令()e x h x a ax =+-，则()e xh x a '=-.①若0a <，则()0h x '>，()h x 在R 上是增函数.因为11e 10a h a a ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1 e > 0h =，所以()h x 恰有一个零点0x . 令0e 0x a +=，得0ln()x a =-.代入0()0h x =，得()ln 0a a a a -+--=， 解得1a =-.所以当1a =-时，()h x 的唯一零点为0，此时()f x 无零点，符合题意.②若0a >，此时()f x 的定义域为R .当ln x a <时，()0h x '<，()h x 在区间(,ln )a -∞上是减函数； 当ln x a >时，()0h x '>，()h x 在区间(ln ,+)a ∞上是增函数. 所以min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-. 又()010h a =+>，由题意，当2ln 0a a a ->，即20e a <<时，()f x 无零点，符合题意. 综上，a 的取值范围是{}()210,e -⋃.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 7．(1)答案见解析 (2)(,e 3]-∞+ 【解析】 【分析】（1）求导得到()x f x e a '=-，讨论0a 和0a >两种情况，分别计算得到答案.（2）0x >时，2e 1x x x a x +++≤，令2e 1()(0)x x x g x x x+++=>，求函数的最小值，得到答案. (1)()e 1x f x ax =-+，()e x f x a '∴=-.①当0a ≤时，()e 0x f x a '=->恒成立，()f x ∴在R 上单调递增，无极大值也无极小值；②当0a >，(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<，(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增.∴函数()f x 有极小值为ln (ln )e ln 1ln 1a f a a a a a a =-+=-+，无极大值.(2)若对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，则2e 1x x x a x +++≤恒成立，即2min e 1(0)x x x a x x ⎛⎫+++≤>⎪⎝⎭. 设2e 1()(0)x x x g x x x +++=>，则()2(1)e 1()x x x g x x -++'=，令()2(1)e1()0xx x g x x -++'==，解得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x ∴在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，()(1)g x g ∴≥，min ()(1)e 3g x g ∴==+，∴当e 3a ≤+时满足对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，∴实数a 的取值范围为(,e 3]-∞+.8．(1)证明见解析 (2)e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，设出切点，可得切线的斜率，根据斜率相等，进而构造函数()=ln 1h x x x +-，求出导数和单调区间，即可证明；（2）由2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()max ln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，再 利用导数法求出()()n 1l xx xx ϕ-=在2e,e ⎡⎤⎣⎦的最大值即可求解. (1)由题意可知，()f x 的定义域为()()0,11,+∞， 由()ln x f x x=，得()()2ln 1ln x f x x -'=， 直线y g x 过定点()1,0，若直线y g x 与曲线()y f x =相切于点()00000,01ln x x x x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且，则 ()002000ln 1ln 1ln x x x k x x --==-，即00ln 10x x +-=① 设()()=ln 1,0h x x x x +-∈+∞，则()1=10h x x'+>， 所以()h x 在()0+∞上单调递增，又()1ln1110h =+-=， 从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以，R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线. (2)由()()f x g x ≤，得()1ln xxk x ≤-， 22e e ,0e 11e 1x x ∴≤≤∴<-≤-≤-，()l 1n xk x x -∴≥若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()max ln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦即可.令()()n 1l x x x x ϕ-=，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()()2ln 1ln 1x x x x x ϕ---+'=⎡⎤⎣⎦，令()ln 1t x x x =--+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()110t x x'=--<， 所以()t x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；所以()()e lne e 1e<0t x t ≤=--+=-，故()0ϕ'<x()ϕx 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；当e x =时，()ϕx 取得最大值为()()e ee e 1ln e e 1ϕ==--，即ee 1k ≥-. 所以实数k 的取值范围为e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【点睛】解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率，再根据同一切线斜率相等即可证明，对于恒成立问题通常采用分离常数法，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法即可求解. 9．(1)12K K <； (2)1. 【解析】 【分析】（1）对()f x 、()g x 求导，应用曲率公式求出()1,1处的曲率1K ，2K ，即可比较大小；（2）由题设求出()h x 的曲率平方，利用导数求2K 的最大值即可. (1)由()11f x x '=+，()21f x x ''=，则()()()()13332222211112511f K f ''===+'+⎡⎤⎣⎦，由()g x '=，()3214g x x -''=-，则()()()2333222221124511112g K g ''===⎡⎤'+⎡⎤⎛⎫⎣⎦+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以12K K <； (2)由()cos h x x '=，()sin h x x ''=-，则()322sin 1cos xK x =+，()()2223322sin sin 1cos 2sin xxK x x ==+-，令22sin t x =-，则[]1,2t ∈，故232tK t -=， 设()32t p t t -=，则()()32643226t t t t p t t t----'==，在[]1,2t ∈时()0p t '<，()p t 递减， 所以()()max 11p t p ==，2K 最大值为1. 10．(1)25y x =+ (2)0b = 【解析】 【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）由()2f x ≥恒成立构造函数()()2g x f x =-，对b 进行分类讨论，结合()'g x 研究()g x 的最小值，由此求得b 的值. (1)当114a b ==-，时，()4e 21x f x x =-+，则()4e 2x f x '=- 又因为(0)5,(0)2f f '==所以曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程为()520y x -=-， 即25y x =+． (2)当1a =时，令函数()()()2e 11xg x f x b x =-=+--，则()2f x ≥恒成立等价于()0g x ≥恒成立． 又()e 1,x g x b '=+-．当1b ≥时，()e 10,x g x b '=+->，g (x )在R 上单调递增，显然不合题意； 当1b <时，令()e 10,x g x b '=+-<，得ln(1)x b <-．令()e 10x g x b '=+->，得()ln 1x b >-，所以函数g (x )在(,ln(1))b -∞-上单调递减，在(ln(1),)b -+∞上单调递增， 所以当ln(1)x b =-时，函数g (x )取得最小值． 又因为()00g =，所以0x =为g (x )的最小值点． 所以ln(1)0b -=，解得0b =．。
精选高中数学必会基础练习题 导数 资料
《数学》必会基础题型——《导数》【知识点】n'n?1''' 1.导数公式：x?)sin)(xx)??nxcos?(cosx(sinx0C?11x''xxx''a))?eln?(e(aa?(lnx)?)(logx a xxlna'''''''''运算法则：2.uvv(uvu?v))?u??(u?v)v?uv??u(?'2。
，求3.3.复合函数的求导法则：（整体代换）例如：已知)(xf)f(x)?3sin?(2x3位移的导数是速度，速度的导数是加速度。
4.导数的物理意义：导数就是切线斜率。
5.导数的几何意义：'0?xf)(，若用导数求单调区间、6.极值、最值、零点个数：对于给定区间内，]a,b['0?xf)(内是减函数。
则在内是增函数；若，则在]b[a,f(x)f[a,b](x)【题型一】求函数的导数?xln2x1)e?(xy?(2) (3)(1)?y)?2sin(3x?y x42x?x31132?y (6) (5)(4)5?x2x?3y?)??y?x(x21x?xx【题型二】导数的物理意义的应用22t??3ts是时间，是位移），则物体在时刻时已知物体的运动方程为1.（s2?t t的速度为。
【题型三】导数与切线方程（导数的几何意义的应用）3?xx?2y?在点处的切线方程是 2.曲线。
(2,8)A3?x?2y?x上的点，则曲线在点是3.若处的切线方程是。
)(1,Bm B3?x?y?x2在处的切线平行于直线，则点的坐标是若。
4.1?y?7x PP2xy??3lnx的一条切线垂直于直线若5.，则切点坐标为。
0?y?m?2x42?1?axya?函数6.。
相切的图象与直线, 则x?y x?1?y在处的切线与7.已知曲线垂直，则。
?a0?m?(3,2)ax?y x?132?1x?x?ym的值。
高中数学导数知识点归纳的总结及例题(word文档物超所值)
为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为( )
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试题(答案解析)(2)
一、选择题1．函数()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知函数()x f x e ex a =-+与1()ln g x x x=+的图象上存在关于x 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,]e -∞-B ．(,1] -∞-C ．[1,) -+∞D ．[,)e3．已知函数()3f x x ax =-在(1,1)-上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．[)3,+∞C ．(],1-∞D ．(],3-∞4．已知函数322()f x =x ax bx a +++在1x =处的极值为10，则a b -=（ ）． A ．6-B ．15-C ．15D ．6-或155．若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b 的取值范围是（ ） A ．(),8-∞- B ．()8,-+∞ C ．(),8-∞ D ．()8,+∞6．若函数()()sin xf x e x a =+在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．)+∞ B ．[)1,+∞C ．()1,+∞D ．()+∞7．已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ）A ．(1)(1,)-∞-⋃+∞，B ．(1,+)∞C ．1(,)(1,+)3-∞-⋃∞D ．(,2)(1,)-∞-+∞8．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足()'()f x f x >，且(0)1f =，则不等式()x e f x >（e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．(1,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(,0)-∞9．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x ∈R ，有()()2f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()f x x '>.若()()222f k f k k --≥-，则k 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．(],1-∞C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为（ ）A ．3R B ．3R C ．2R D ．2R 11．设函数()'f x 是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，3()()0f x f x x'+<，则函数31()()g x f x x =-的零点个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1D ．012．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ） A ．2eB ．eC ．1D ．12二、填空题13．函数()f x 定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，26f π⎛⎫=⎪⎝⎭，其导函数是()f x '，且()()cos sinx f x x f x '⋅<⋅恒成立，则不等式()22sinx f x >的解集为_____________.14．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是圆O 的直径，上底C 、D 的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大值为_______________.15．已知函数()ln 1f x x x =--，()ln g x x =，()()F x f g x =⎡⎤⎣⎦，()()G x g f x =⎡⎤⎣⎦，给出以下四个命题：（1）()y F x =是偶函数；（2）()y G x =是偶函数；（3）()y F x =的最小值为0；（4）()y G x =有两个零点；其中真命题的是______.16．已知函数()2xe f x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为________. 17．已知函数()321213f x x x ax =+-+，若函数()f x 在()2,2-上有极值，则实数a 的取值范围为______. 18．函数()ln xf x x=在(),1a a +上单调递增，则实数a 的取值范围为______. 19．已知在正四棱锥P ABCD -中，4PA =，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高h 等于______.20．已知()2sin cos f x x x x x =++，则不等式()()1lg lg 22f x f x f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>的解集为______.三、解答题21．已知函数()cos x f x e x x =-，()(sin 1)g x x x =-. （1）讨论()f x 在区间(,0)2π-上的单调性；（2）判断()()f x g x -在区间[,]22ππ-上零点的个数，并给出证明. 22．已知函数()()3exf x xx a =-+，a R ∈.（1）当2a =-时，求()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值； （2）若()f x 在()1,+∞上单调，求a 的取值范围.23．已知函数432()f x ax x bx =++(),a b ∈R ，()()()g x f x f x '=+是偶函数． （1）求函数()g x 的极值以及对应的极值点． （2）若函数43221()()(1)4h x f x x c x x cx c =++--++，且()h x 在[]2,5上单调递增，求实数c 的取值范围． 24．设函数()()21xf x ea x =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x >对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.25．已知函数21(),()ln 2f x xg x a x ==. （1）若曲线()()y f x g x =-在2x =处的切线与直线370x y +-=垂直，求实数a 的值；（2）若[]1,e 上存在一点x ，使得()()()()00001f xg x g x f x ''+<-'成立，求实数a 的取值范围.26．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为CDP ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性即可得解； 【详解】 解：因为()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--，定义域关于原点对称，又()()()sin sin x x f x f x x x x x --===----，所以()[)(](),00,sin x f x x x xππ=∈--为偶函数，函数图象关于y 轴对称，所以排除A 、D ； ()()()()()22sin sin cos sin sin sin x x x x x xx x xf x x x x x ''----'==--令()cos sin g x x x x =-，则()sin g x x x '=-，所以当(]0,x π∈时()0g x '≤，所以()cos sin g x x x x =-在(]0,x π∈上单调递减，又()00g =，所以()0g x <在(]0,x π∈上恒成立，所以()0f x '<在(]0,x π∈上恒成立，即函数()sin xf x x x=-在(]0,π上单调递减，故排除C ，故选：B 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2．B解析：B 【分析】根据题中条件，得到方程1ln xa e ex x x ⎛⎫=--++⎪⎝⎭有解，令1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是()(0)y h x x =>的值域，对函数()h x 求导，判定其单调性，研究其值域，即可得出结果. 【详解】函数()x f x e ex a =-+与1()ln g x x x=+的图象上存在关于x 轴对称的点， 即方程1ln 0xe ex a x x -+++=有解，即方程1ln x a e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭有解，令1()ln xh x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是()(0)y h x x =>的值域， 因为()22111()xx x h x e e e e x x x -⎛⎫⎡⎤'=--+-=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以当1x =时，()0h x '=； 当01x <<时，0x e e -<，210x x -<，所以()21()0xx h x e e x -⎡⎤'=--+>⎢⎥⎣⎦，则函数1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭单调递增；当1x >时，0x e e ->，210x x ->，所以()21()0xx h x e e x -⎡⎤'=--+<⎢⎥⎣⎦，则函数1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭单调递减；所以max ()(1)1h x h ==-， 画出函数()h x 的大致图像如下，由图像可得，()(],1h x ∈-∞-， 所以a 的取值范围(],1-∞-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究方程根的问题，考查函数与方程的应用，将问题转化为两函数交点的问题是解题的关键，属于常考题型.3．B解析：B 【分析】根据'()0f x ≤在(1,1)-上恒成立求解． 【详解】∵3()f x x ax =-，∴2'()3f x x a =-．又函数()f x 在()1,1-上单调递减，∴2'()30f x x a =-≤在(1,1)-上恒成立，即23a x ≥在(1,1)-上恒成立．∵当(1,1)x ∈-时，3033x ≤<，∴3a ≥． 所以实数a 的取值范围是[3,)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当'()0()f x x D <∈时，则函数()f x 在区间D 上单调递减；而当函数()f x 在区间D 上单调递减时，则有'()0f x ≤在区间D 上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．4．C解析：C 【分析】由题，可得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩，通过求方程组的解，即可得到本题答案，记得要检验.【详解】因为322()f x =x ax bx a +++，所以2()32f x x ax b '=++，由题，得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩，即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，因为当3,3a b =-=时，2()3(1)0f x x '=-≥恒成立，()f x 在R 上递增，无极值，故舍去，所以4(11)15a b -=--=.故选：C 【点睛】本题主要考查含参函数的极值问题，得到两组解后检验，是解决此题的关键.5．B解析：B 【分析】对函数()f x 求导，得到()f x '，然后根据题意得到()0f x '>恒成立，得到 【详解】因为函数()22ln 45f x x x bx =+++，定义域()0,∞+所以()28f x x b x'=++， 因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0， 所以()280f x x b x'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 所以28b x x>--， 设()28g x x x=--，则()max b g x > ()228g x x'=- 令()0g x '=，得到12x =，舍去负根， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以12x =时，()g x 取最大值，为()max 182g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以8b >-，故选B. 【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.6．B解析：B 【分析】将问题转化为()0f x '≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭，则只需10a -+≥即可，解不等式求得结果. 【详解】由题意得：()()sin cos 4xx x f x ex a e x e x a π⎫⎛⎫'=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 ()0f x '∴≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立又0x e >04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立 当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3,444πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭xsin 4x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.7．D解析：D 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，由此列不等式组，解不等式组求得x 的取值范围. 【详解】由210x ->解得1x <-或1x >，故函数的定义域为{|1x x <-或}1x >，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，且当1x >时，令22x x y -=+，'1412ln 2ln 2022x x x x y -⎛⎫=-=⨯> ⎪⎝⎭，所以22x x y -=+在1x >时递增，根据复合函数单调性可知()2ln 1y x =-在1x >时递增，所以函数()f x 在1x >时递增，故在1x <-时递减.由(1)(2)f x f x +<可知121121x x x x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，解得(,2)(1,)x -∞-∈+∞.故选D. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数不等式的解法，属于中档题.8．B解析：B 【解析】令()()()()()0,(0)1x xf x f x f xg x g x g e e-=∴=<'=' 所以()xe f x >()1(0)0g x g x ⇒=⇒ ,选B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等9．B解析：B 【分析】构造函数()()212g x f x x =-，可得()g x 在[)0,+∞上单调递增，利用奇偶性的定义知()g x 是奇函数，进而求解不等式即可.【详解】由题意当0x ≥时，()f x x '>，构造函数()()212g x f x x =-， 则()()'0g x f x x '=->，得()g x 在[)0,+∞上单调递增， 又由条件()()2f x f x x +-=得()()0g x g x +-=.所以()g x 是奇函数，又()g x 在[)0,+∞上单调递增且()00g =，所以()g x 在R 上单调递增，由()()222f k f k k --≥-，得()()20k g k g --≥，即()()2g k g k -≥， 根据函数()g x 在R 上单调递增，可得2k k -≥，解得1k ≤. 故选：B 【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用，考查函数的奇偶性，属于中档题．10．A解析：A 【分析】根据圆柱的高，底面半径以及球半径之间的关系，建立圆柱的高与圆柱体积之间的函数关系，利用导数求体积取得最大值时对应的自变量即可. 【详解】根据题意，设圆柱底面半径为r ，圆柱的高为h ，作出示意图如下所示：显然满足2224h r R =-， 故圆柱的体积()23214h r h h R h πππ=⨯=-+， 故可得()223,(02)4V h h R h R ππ<'=-+<， 令()0V h '>，解得230h <<，故此时()V h 单调递增， 令()0V h '<232h R <<，故此时()V h 单调递减. 故()23max V h V ⎫=⎪⎪⎝⎭. 即当23h =时，圆柱的体积最大. 故选：A .【点睛】 本题考查圆柱的外接球以及利用导数求体积的最大值，属综合中档题.11．D解析：D【分析】构造函数3()()1F x x f x =-，可得出3()()F x g x x=，利用导数研究函数()y F x =的单调性，得出该函数的最大值为负数，从而可判断出函数()y F x =无零点，从而得出函数3()()F x g x x =的零点个数. 【详解】设3()()1F x x f x =-，则3233()()()3()()f x F x x f x x f x x f x x '''⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦. 当0x ≠时，3()()0f x f x x'+<， 当0x >时，30x >，故()0F x '<，所以，函数()y F x =在(0,)+∞上单调递减； 当0x <时，30x <，故()0F x '>，所以，函数()y F x =在(,0)-∞上单调递增. 所以max ()(0)10F x F ==-<，所以，函数()y F x =没有零点， 故331()()()F x g x f x x x=-=也没有零点. 故选：D .【点睛】本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 12．C解析：C【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性，即可求得结果.【详解】解：由已知可得，211212ln ln x x x x x x -<-，两边同时除以12x x ， 则121221ln ln 11x x x x x x -<-，化简有1212ln 1ln 1x x x x ++<， 而120x x <<，构造函数()ln 1x f x x+=，()2ln x f x x -'=， 令()0f x '>，则01x <<；令()0f x '<，则1x > ，所以函数()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 由1212ln 1ln 1x x x x ++<对于120x x a <<<恒成立， 即()f x 在()0,a 为增函数，则01a <≤，故a 的最大值为1.故选：C.【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，考查分析问题能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】构造函数再利用函数的单调性解不等式即可【详解】解：构造函数则当时在单调递增不等式即即故不等式的解集为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点构造一个适当的函数利用它的单调 解析：,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】构造函数()()sin f x g x x =，再利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】解：()()cos sin f x x f x x '<()()sin cos 0f x x x f x '∴->，构造函数()()sin f x g x x =， 则()()()2sin cos f x x f x x g x sin x '-'=， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>， ()g x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， ∴不等式()f x x >，即()61sin sin 26f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>== 即()6xg g π⎛>⎫ ⎪⎝⎭， 26x ππ∴<< 故不等式的解集为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题.14．【分析】连过作垂足为设则则等腰梯形的面积令利用导数求其最值【详解】连过作垂足为如图：设则所以等腰梯形的面积令单调递增单调递减所以时取得极大值也是最大值即的最大值故答案为：【点睛】本题考查了函数的实际 解析：33 【分析】连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，设(02),OE x x CE y =<<=，则224x y +=，则等腰梯形ABCD 的面积1(24)(2)2S x y x y =+=+3(2)(2)x x =+-，令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<，利用导数求其最值.【详解】连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，如图：设,OE x CE y ==，则224x y +=，所以等腰梯形ABCD 的面积1(24)(2)2S x y x y =+=+2(2)4x x =+-3(2)(2),02x x x =+-<<令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<232()3(2)(2)(2)4(1)(2)h x x x x x x '=+--+=-+，(0,1),()0,()x h x h x ∈'>单调递增，(1,2),()0,()x h x h x ∈'<单调递减，所以1x =时，()h x 取得极大值，也是最大值，max ()(1)27h x h ==，即S 的最大值33故答案为：33【点睛】本题考查了函数的实际应用，运用导数求最值时解题的关键，属于中档题.15．（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数的最小值可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数的零点个数可判断（4）的正误综合可得出结论 解析：（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）、（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数()y F x =的最小值，可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数()y G x =的零点个数，可判断（4）的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题（1），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，即1x >，解得1x <-或1x >，所以，函数()y F x =的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，定义域关于原点对称，()()ln ln g x x x g x -=-==，则()()()()F x f g x f g x F x ⎡⎤⎡⎤-=-==⎣⎦⎣⎦， 所以，函数()y F x =为偶函数，命题（1）正确；对于命题（2），对于函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 10f x x x =--≠，()111x f x x x'-=-=，令()0f x '=，得1x =，且函数()y f x =的定义域为()0,+∞，当01x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当1x >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，()()min 10f x f ==，则函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为()()0,11,⋃+∞，定义域不关于原点对称，所以，函数()y G x =是非奇非偶函数，命题（2）错误；对于命题（3），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，由（2）知，函数()y f x =的最小值为0，则函数()y F x =的最小值为0，命题（3）正确；对于命题（4），令()()0G x g f x ⎡⎤==⎣⎦，可得()1f x =，则()1f x =或()1f x =-， 由（2）知，()()10f x f ≥=，所以方程()1f x =-无解；令()()1ln 2h x f x x x =-=--，由（2）可知，函数()y h x =在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 22110h e e⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()110h =-<，()42ln422ln20h =-=->， 由零点存在定理可知，函数()y h x =在区间21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,4上各有一个零点， 所以，方程()1f x =有两个实根，即函数()y G x =有两个零点，命题（4）正确. 故答案为：（1）（3）（4）.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，复合函数最值以及零点个数的判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16．【分析】由当时不等式恒成立变形得到当时不等式恒成立即在上是增函数然后由在上是恒成立求解【详解】因为当时不等式恒成立即当时不等式恒成立所以在上是增函数所以在上是恒成立即在上是恒成立令所以当时当时所以当 解析：2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】由当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，变形得到当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，即()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数，然后由()0g x '≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立求解.【详解】因为当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，即当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，所以()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数，所以()230x g x e ax '=-≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立， 即23xe a x≤，在()0,x ∈+∞上是恒成立， 令2()3xe h x x=， 所以()32()3x e x h x x-'=， 当02x <<时，()0h x '<，当2x >时，()0h x '>，所以当2x =时，()h x 取得最小值，最小值为212e ， 所以实数a 的取值范围为2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故答案为：2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】求出函数的导数利用函数的极值点转化列出不等式求解即可【详解】解：可得导函数的对称轴为x ＝﹣1f （x ）在（﹣22）上有极值可得或可得或解得故答案为：【点睛】本题考查函数的导数的应用函数的极值的 解析：1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】求出函数的导数，利用函数的极值点，转化列出不等式求解即可.【详解】解：()321213f x x x ax =+-+， 可得()'222f x x x a =+-，导函数的对称轴为x ＝﹣1，f （x ）在（﹣2，2）上有极值，可得(2)0(1)0f f >⎧⎨-<''⎩或(2)0(1)0f f ->⎧⎨-<''⎩， 可得44201220a a +->⎧⎨--<⎩或44201220a a -->⎧⎨--<⎩， 解得1,42a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 故答案为：1,42⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力. 18．【分析】先求出得到在上单调递增要使得在上单调递增则从而得到答案【详解】由函数有由得得所以在上单调递增在上单调递减又函数在上单调递增则则解得：故答案为：【点睛】本题考查函数在某区间上的单调性求参数的范 解析：[]0,1e -【分析】先求出()21ln x f x x-'=，得到()f x 在()0e ，上单调递增，要使得在(),1a a +上单调递增，则()(),10a a e +⊆，，从而得到答案.【详解】由函数()ln x f x x =有()()2ln 1ln 0x x f x x x x -'==> 由()0f x '>得0x e <<，()0f x '<得x e >.所以()f x 在()0e ，上单调递增，在(),e +∞上单调递减，又函数()ln x f x x =在(),1a a +上单调递增，则()(),10a a e +⊆， 则01a a e≥⎧⎨+≤⎩ ，解得：01a e ≤≤-.故答案为：[]0,1e -【点睛】本题考查函数在某区间上的单调性，求参数的范围，属于基础题.19．【分析】设正四棱锥的底面边长为即可由表示出和的等量关系进而表示出正四棱锥的体积利用导函数判断单调性由单调性即可求得最值并求得取最值时的高的值【详解】设正四棱锥的底面边长为因为所以即所以正四棱锥的体积【分析】设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ，即可由4PA =表示出a 和h 的等量关系，进而表示出正四棱锥P ABCD -的体积.利用导函数，判断单调性，由单调性即可求得最值，并求得取最值时的高h 的值.【详解】设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ，因为4PA =，所以22162a h +=， 即22322a h =-，所以正四棱锥P ABCD -的体积()2313220333V a h h h h ==->， 可得232'23V h =-，令'0V =，解得h =当03h <<，可得'0V >，可知V 在03h <<内单调递增，当h >'0V <，可知V 在h >所以当h =P ABCD -的体积取得最大值，即16322313V ⎛⎫-⨯ =⎪⎝⎭=【点睛】本题考查了正四棱锥的性质与应用，四棱锥的体积公式，利用导数求函数的最值及取最值时的自变量，属于中档题.20．【分析】先判断函数为偶函数再利用导数判断函数在递增从而将不等式转化为进一步可得不等式解对数不等式即可得答案【详解】的定义域为且即有即为偶函数；又时则在递增不等式即为即有可得即有即或解得或则解集为故答 解析：()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】先判断函数为偶函数，再利用导数判断函数在0x >递增，从而将不等式转化为()()lg 2f x f >，进一步可得不等式lg 2x >，解对数不等式即可得答案.【详解】()2sin cos f x x x x x =++的定义域为R ，且()()()()()22sin cos sin cos f x x x x x x x x x -=--+-+-=++， 即有()()f x f x -=，即()f x 为偶函数；又0x >时，()()sin cos sin 22cos 0f x x x x x x x x '=+-+=+>，则()f x 在0x >递增，不等式()()1lg lg 22f x f x f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>， 即为()()()lg lg 22f x f x f +->， 即有()()lg 2f x f >， 可得()()lg 2f x f >， 即有lg 2x >，即lg 2x >或lg 2x <-，解得100x >或10100x <<， 则解集为()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】 本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意偶函数(||)()f x f x =这一性质的应用.三、解答题21．（1）()f x 在(,0)2π-上单调递减；（2）有且仅有2个零点. 证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，根据导函数的单调性判断即可；（2）令()()()cos sin x F x f x g x e x x x =-=-，求出函数的导数，通过讨论x 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的零点个数即可证明结论成立.【详解】（1）()cos sin 1cos()14x x x f x e x e x x π⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭'，()cos sin 44x x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝'⎝⎭ 2cos()2sin 2x x e x e x π=+=-.(,0)2x π∈-，sin 0x ∴<，()0f x ''∴>，所以()'f x 在(,0)2π-上单调递增，()(0)0f x f ''<=， ()f x ∴在(,0)2π-上单调递减.（2）()()f x g x -在区间[,]22ππ-上有且仅有2个零点. 证明：令()()()cos sin x F x f x g x e x x x =-=-，所以()()()cos sin cos sin x F x ex x x x x '=--+， ①当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时， 因为()()cos sin 0,cos sin 0x x x x x ->-+>，()()0,F x F x '∴>在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递增， 又()010,022F F ππ⎛⎫=>-=-< ⎪⎝⎭. ()F x ∴在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上有一个零点； ②当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos sin 0,0x x x e x ≥>>>，()cos sin sin sin sin ()0x x x F x e x x x e x x x x e x ∴=-≥-=->恒成立.()F x ∴在04π⎛⎤ ⎥⎝⎦，上无零点；③当,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时， 0cos sin x x <<， ()()()cos sin cos sin 0x F x e x x x x x '∴=--+<，()F x ∴在42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减；又40,022424F F e πππππ⎫⎛⎫⎛⎫=-<=->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()F x ∴在42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上必存在一个零点； 综上，()()f x g x -在区间[,]22ππ-上有且仅有2个零点. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.22．（1）最大值为24e ，最小值为2e -；（2）[)2,-+∞.【分析】（1）2a =-代入()f x ，对函数求导，利用导数正负确定单调性即可；（2）先利用极限思想进行估值x →+∞时()0f x '>，来确定()f x 在()1,+∞上单增，()0f x '≥，再对32310x x a x -++-≥分离参数，研究值得分布即得结果.【详解】（1）()()3231x f x e x x a x '=-++-当2a =-时，()()()()()3233311x x f x e x x x e x x x '=+--=+-+∴()f x '在()3,1--和()1,+∞上为正，在(),3-∞-和()1,1-上为负，∴()f x 在()3,1--和()1,+∞上单增，在(),3-∞-和()1,1-上单减，有()21f e-=-，()224f e =，()12f e =-，故()f x 在[]1,2-上的最大值为24e ，最小值为2e -；（2）由()()3231x f x e x x x a '=+-+-知，当x →+∞时，()0f x '>，若()f x 在()1,+∞上单调则只能是单增，∴()0f x '≥在()1,+∞恒成立，即32310x x a x -++-≥∴3231a x x x ≥--++，令()3231g x x x x =--++，1x >，则()23610g x x x '=--+<，∴()g x 在()1,+∞递减，()()12g x g <=-，∴[)2,a ∈-+∞.【点睛】（1）利用导数研究函数()f x 的最值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.（2）函数()f x 在区间I 上递增，则()0f x '≥恒成立；函数()f x 在区间I 上递减，则()0f x '≤恒成立.（3）解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.23．（1）函数()g x的一个极大值点为，对应的极大值为9，另一个极大值点为9；函数()g x 极小值点为0，对应的极小值为0；（2）4,13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【分析】(1)求出()g x 的表达式，结合函数的奇偶性即可求出140a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，从而可确定()g x 的解析式，求出导数即可求出函数的极值点和极值.(2)结合第一问可得()h x 的解析式，从而可求出2()32h x cx x c '=-+，由()h x 的单调性可得213c x x ≥+在[]2,5上恒成立，设()13m x x x =+，利用导数求出()m x 在[]2,5上的最小值，从而可求出实数c 的取值范围.【详解】解：（1）∵432()f x ax x bx =++，∴32()432f x ax x bx '=++，∴432()()()(41)(3)2g x f x f x ax a x b x bx '=+=+++++，因为()g x 为偶函数，∴41020a b +=⎧⎨=⎩，解得140a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴431()4f x x x =-+，则421()34g x x x =-+，∴3()6(g x x x x x x '=-+=-，由()0g x '>，解得x <或0x <<()0g x '<，解得>x0x <<； ∴()g x在(,-∞，(单调递增；在()，)+∞单调递减．∴函数()g x的一个极大值点为(9g =，9g =； 函数()g x 极小值点为0，对应的极小值为()00g =.（2）由（1）知431()4f x x x =-+，∴43221()()(1)4h x f x x c x x cx c =++--++322cx x cx c =-++，∴2()32h x cx x c '=-+，因为函数()h x 在[]2,5上单调递增，∴2320cx x c -+≥在[]2,5上恒成立，即 2221313x c x x x≥=++在[]2,5上恒成立，设()13m x x x =+，令()22213130x m x x x -'=-==，解得[]2,5x =， 当[]2,5x ∈时，()0m x '>，所以()13m x x x=+在[]2,5上单调递增， 则()()1322m x m ≥=，所以24=13132c ≥. 【点睛】方法点睛：已知奇偶性求函数解析式时，常用方法有：一、结合奇偶性的定义，若已知偶函数，则()()f x f x -=，若已知奇函数，则()()f x f x -=-，从而可求出函数解析式；二、由奇偶性的性质，即偶函数加偶函数结果也是偶函数，奇函数加奇函数结果也是奇函数. 24．（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，在1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）20,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）分别在0a ≤和0a >两种情况下，根据()f x '的正负可确定()f x 的单调性；（2）根据（1）的结论可确定0a <不合题意；当0a =时，根据指数函数值域可知满足题意；当0a >时，令()min 0f x >，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）由题意得：()22xf x e a '=-， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在R 上单调递增；当0a >时，令()0f x '=得：1ln 22a x =. 当1ln 22a x <时，()0f x '<，()f x ∴在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 当1ln 22a x >时，()0f x '>，()f x ∴在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）由（1）可知：当0a <时，()f x 在R 上单调递增，当x →-∞时，20x e →，()1a x +→+∞，此时()0f x <，不合题意；当0a =时，2()0x f x e =>恒成立，满足题意.当0a >时，()f x 在1ln 22a x =处取最小值，且1ln ln 22222a a a a f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 令ln 0222a a a -->，解得：20a e <<，此时()0f x >恒成立. 综上所述：a 的取值范围为20,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论，将问题转化为函数最小值大于零的问题，由此构造不等式求得结果.25．（1）2a =-（2）21(,2),1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭【分析】（1）将(),()f x g x 的解析式代入曲线()()y f x g x =-，根据导数几何意义及垂直直线的斜率关系即可求得a 的值；（2）将0x 代入导函数(),()f x g x ''，并代入不等式中化简变形，构造函数1()ln a m x x a x x+=-+，求得()m x '并令()0m x '=，对a 分类讨论即可确定满足题意的a 的取值范围.【详解】（1）由21()()ln 2y f x g x x a x =-=-， 得()a y x x x'=-.在2x =处的切线斜率为22a -， 直线370x y +-=的斜率为13-， 由垂直直线的斜率关系可知232a -=， 解得2a =-.（2）21(),()ln 2f x xg x a x ==， 则(),()a f x x g x x '='=， 不等式()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'等价于00001ln a x a x x x +<-. 整理得0001ln 0a x a x x +-+<. 构造函数1()ln a m x x a x x +=-+， 由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <.22221(1)(1)(1)()1a a x ax a x a x m x x x x x+--+--+'=--==. 因为0x >，所以10x +>，令0mx '=（），得1x a =+. ①当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[]1,e 上单调递增.只需()120m a =+<，解得2a <-.②当11a e <+≤即01a e <≤-时，()m x 在1x a =+处取最小值.令(1)1ln(1)10m a a a a +=+-++<即11ln(1)a a a ++<+， 可得11ln(1)(*)a a a++<+. 令1t a =+，即1t e <≤，不等式（*）可化为1ln 1t t t +<-： 因为1t e <≤，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立. ③当1a e +>，即1a e >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减， 只需1()0a m e e a e +=-+<，解得211e a >e +-.综上所述，实数的取值范围是21(,2),1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的几何意义及由垂直关系求参数，导函数在解不等式中的应用，构造函数法分析函数的单调性、最值的综合应用，属于中档题.26．（1）()8004cos cos sin θθθ+， ()1600cos cos ,sin θθθ- 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）6π． 【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定sin θ的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ），△CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）． 当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[14，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ）=8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2），则()()()()222'sin sin 2sin 1211f cos sin sin sin θθθθθθθθ=--=-+-=--+． 令()'=0f θ，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()'>0f θ，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（π6，π2）时，()'<0f θ，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.。
高二导数练习题及答案文库
高二导数练习题及答案文库导数是高中数学中的重要知识点之一，掌握导数的概念和运算方法对学生的数学学习至关重要。
为了帮助高二学生更好地巩固导数知识，提高解题能力，本文整理了一些高二导数练习题及其详细答案，供学生参考和练习。
一、基础练习题1. 求函数f(x) = 3x² - 2x + 1的导数f'(x)。
解：根据导数的定义，可得：f'(x) = lim(Δx→0)[f(x + Δx) - f(x)] / Δx代入函数f(x)的表达式，展开并化简：f'(x) = lim(Δx→0)[(3(x + Δx)² - 2(x + Δx) + 1) - (3x² - 2x + 1)] / Δx= lim(Δx→0)[3x² + 6xΔx + 3(Δx)² - 2x - 2Δx + 1 - 3x² + 2x - 1] /Δx= lim(Δx→0)(6xΔx + 3(Δx)² - 2Δx) / Δx= lim(Δx→0)(6x + 3Δx - 2) = 6x - 2所以，函数f(x) = 3x² - 2x + 1的导数f'(x)为6x - 2。
2. 已知函数g(x) = 4x³ + 2x² - x的导数g'(x)，求g'(1)的值。
解：根据导数的定义，g'(x) = lim(Δx→0)[g(x + Δx) - g(x)] / Δx代入函数g(x)的表达式，展开并化简：g(x + Δx) = 4(x + Δx)³ + 2(x + Δx)² - (x + Δx)= 4x³ + 12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 2x² + 4xΔx + 2(Δx)² - x - Δx= 4x³ + 2x² - x + 12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 4xΔx + 2(Δx)² - Δx代入导数的定义：g'(x) = lim(Δx→0)[(4x³ + 2x² - x + 12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 4xΔx + 2(Δx)² - Δx) - (4x³ + 2x² - x)] / Δx= lim(Δx→0)(12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 4xΔx + 2(Δx)² - Δx) / Δx= lim(Δx→0)(12x² + 12xΔx + 4(Δx)² + 4x + 2Δx - 1)= 12x² + 4x - 1将x = 1代入上述导数表达式，可得：g'(1) = 12(1)² + 4(1) - 1 = 15所以，g'(1)的值为15。
高中数学导数练习题
高中数学导数练习题----c2430ac8-6ebe-11ec-8276-7cb59b590d7d专题8：导数（文）经典例子分析测试点1：推导公式。
例1f？（x）是f（x）吗？13x？2倍？1的导数，那么f？（？1）的值为。
32解析：F'？十、十、2，那么f′？？1.1.2.答案：3考点二：导数的几何意义。
例2已知函数y？F（x）在m（1）点的像的切线方程是y？，f（1））1x？2，然后是2F（1）？F(1)?。
解析：因为k?11，所以f'?1??，由切线过点m(1，f(1))，可得点m的纵坐标为2255，所以f?1??，所以f?1??f'?1??322答案：3例3曲线y？十、2倍？4x？2点（1，±3）处的切线方程为。
解析：y'?3x?4x?4，?点(1，?3)处切线的斜率为k?3?4?4??5，所以设切232，? 3）引入切线方程得到B？2.3）直线方程是y？？5倍？b、设定点（1）。
因此，曲线上点（1）处的切线方程为5x？Y2.0.答案：5x？Y2.0点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三：导数的几何意义的应用。
例4已知曲线C:y？十、3倍？2X，直线L:y？直线L在点处与曲线C相切32?x0,y0?x0?0，求直线l的方程及切点坐标。
决议：？如果直线穿过原点，那么K？y0？x0？0分？x0，y0？在曲线C上，然后是x0y0？x0？3x0？2x0？32y02？x0？3x0？2.Y'？3x2？6x？2.在X02？x0，y0？处曲线c的切线斜率是k？f'？x0？？3x0？6x0？2.222x0？3x0？0，已排序：解决方案：x0？x0？3x0？2.3x0？6x0？2.3或x0?02（舍），此时，y0??311，k??。
所以，直线l的方程为y??x，切点坐标是844?33??,??。
?28?答案：直线l的方程为y??1?33?x，切点坐标是?,??4?28?点评：本小题考查导数几何意义的应用。
高中数学教研压轴篇：导数(2)《导数与三角函数》
x, ) 《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料 ——压轴篇：导数（2）郑重声明:版权所有，未经允许，严禁商用2020 年《导数与三角函数》模拟试题选编1.【2020•湖北模拟】已知函数 f (x ) = x 2 + a cos x ．（1） 求函数 f (x ) 的奇偶性．并证明当| a | 2 时函数 f (x ) 只有一个极值点； （2） 当 a = π时，求 f (x ) 的最小值； 22.【2020•永州三模】已知函数 f (x ) = (x + 1)ln (x + 1) ， g (x ) = ax + - x cos x ．2（1） 当 x 0 时，总有 f (x ) x 2+ mx ，求 m 的最小值．（2） 对于[0 ，1] 中任意 x 恒有 f (x ) g (x ) ，求 a 的取值范围． 3.【2020 年福建省泉州市高考数学一模试卷（文科）】已知函数 f (x ) = e x + sin x - ax 2 - 2x ．（1） 当 a = 0 时，判断 f (x ) 在[0 ， +∞) 上的单调性并加以证明； （2） 若 x 0 ， f (x ) 1 ，求 a 的取值范围． 4.【2020•湖北模拟】已知函数 f (x ) = x 2 +πcos x ．（1）求函数 f (x ) 的最小值；（2）若函数 g (x ) = f (x ) - a 在(0, +∞) 上有两个零点 x 1 ， x 2 ，且 x 1 < x 2 ，求证： x 1 + x 2 <π． 5．【2020•山东模拟）已知函数 f (x ) = e x - x （其中 e = 271828⋯为自然对数的底数）（1） 证明：对任意的 x ∈ R 都有 f (x ) > 0 ； （2） 设 g (x ) = f (x ) cos x + x (cos x - sin x )(x ∈(0 ，π))(i) 若存在 x ∈ π，π) ，使得不等式 g (x ) m 成立，求实数 m 的取值范围；0 [ 2 0 (ii) 求函数 g (x ) 的零点个数．6.【2020•山东模拟）已知函数 f (x ) = e x - 2sin x ．（1） 若∀x ∈[0 ， +∞) ， f (x ) 1 - ax 恒成立，求正数 a 的取值范围； （2） 求证 f (x ) 在(-π+∞) 上有且仅有两个极值点．27.【2020 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科）】已知函数 f (x ) = e x sin x ． (e 是自然对数的底数）（1） 求 f (x ) 的单调递减区间；π（2） 若函数 g (x ) = f (x ) - 2x ，证明 g (x ) 在(0,π) 上只有两个零点．（参考数据： e 2 ≈ 4.8) 8.【2020•湖南模拟】已知函数 f (x ) = ae x - cos x (a ∈ R , x > -π ．2《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 1页（共 12页）210．【2020•江西模拟】已知函数 f (x ) = lnx + sin x + 1 ，函数 g (x ) = ax -1 - blnx (a ， b ∈ R ， ab ≠ 0) ．（1）讨论 g (x ) 的单调性；（2）证明：当 a = b = 1 时， g (x ) 0 ． （3） 证明： f (x ) < (x 2 + 1)e sin x ． ————————————————————————————————————《初、高中数学教研微信系列群》简介：目前有 8 个群（7 个高中群、1 个初中群），共 3000 多大学教授、教师、中学优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志初、高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕初、高中数学教学研究展开教研活动的微信群. 宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！ 特别说明：1. 本系列群只探讨初、高中数学教学研究、数学试题研究等相关 话题；2. 由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁” 涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名m m sin x （1） 证明：当 a = 1 时， f (x ) 有最小值，无最大值；（2） 若在区间(-π,π) 上方程 f (x ) = 0 恰有一个实数根，求 a 的取值范围，29.【2020 年湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中高考数学模拟试卷（理科）（4 月份）】已知函数 f (x ) = e x (x 2 + 8x - 4) ．（1） 求函数 f (x ) 的单调区间；（2） 若关于 的不等式e x (x 2 + 8x - 4) + 在4， +∞) 上恒成立，且 m ≠ 0 ，求实数 m 的取值范围．欢迎各位老师邀请你身边热爱初、高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图————————————————————————————————————《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 2页（共 12页）x [0( )π《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料 ——压轴篇：导数（2）郑重声明:版权所有，未经允许，严禁商用2020 年《导数与三角函数》模拟试题选编1．（2020•湖北模拟）已知函数 f (x ) = x 2 + a cos x ．（1） 求函数 f (x ) 的奇偶性．并证明当| a | 2 时函数 f (x ) 只有一个极值点； （2） 当 a = π时，求 f (x ) 的最小值；【分析】（1）由奇偶性定义容易判断函数的奇偶性；要说明函数只有一个极值点，即导函数只有一个零点，结合导函数的单调性即可解决；（2）讨论函数 f (x ) 的单调性，求出函数的极小值、端点处函数值比较即可求出最小值． 【解析】：（1）因为 f (-x ) = f (x ) ，故函数 f (x ) 时偶函数． f '(x ) = 2x - a sin x ， f '(0) = 0 ，故只需讨论 x > 0 时情况，x > 0 ，由三角函数的性质知，x > sin x ，2 | a | ，∴ f '(x ) > 0 ，∴ x > 0 时， f (x ) 是增函数， 又 f (x ) 是偶函数，所以 x < 0 时， f (x ) 单调递减． 故| a | 2 时，函数 f (x ) 只有一个极小值点 x = 0 ． （2）由（1）知，只需求 x 0 时 f (x ) 的最小值． f '( x ) = 2x -πsinx ,当x ∈⎛ 0,π⎫时，2 ⎪ ⎝ ⎭设 h (x ) = 2x - πsin x ， h '(x ) = 2 - πcos x ，因为 h '(0) < 0, h ' π> 0 ， 2 由零点存在性定理，存在唯一的 x ∈ π，使得 h '(x ) = 0 ．0 (0, 2 ) 0当 x ∈ (0, x ) ， h '(x ) < 0 ， h (x ) 递减； 当x ∈⎛ x ,π⎫, h '( x ) > 0, h ( x )递增．0 0 2 ⎪又因为 h (0) = πh ( ) 2 = 0 ，所以 x ∈ π(0, ) 2⎝ ⎭ 时， f '(x ) = h (x ) < 0 恒成立， f (x ) 在 (0, ) 上递减；2 当 x > π时， f '(x ) = 2x - πsin x > π- πsin x > 0 ， f (x ) 为增函数．2π π2所 以 f (x )min = f ( 2 ) = 4 ．x 2 2．（2020•永州三模）已知函数 f (x ) = (x + 1)ln (x + 1) ， g (x ) = ax +- x cos x ．2（1） 当 x 0 时，总有 f (x ) x 2+ mx ，求 m 的最小值．（2） 对于[0 ，1] 中任意 x 恒有 f (x ) g (x ) ，求 a 的取值范围．【分析】（1）由已知不等式先构造函数，然后结合导数与单调性的关系可求相应函数的单调性，进而可求．（2）构造函数 h (x ) = g (x ) - ( x 2+ x ) ，对其求导，然后结合导数与单调性的关系及不等式的恒成立与最值问题的相互转化可求．ϕ x 2【解析】：（1）令 (x ) = + mx - (x + 1)ln (x + 1) ， 2《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 3页（共 12页）22则ϕ'(x ) = x + m - ln (x + 1) -1 ，ϕ''(x ) = 1 -1x + 1> 0 ， ∴ϕ'(x ) 在[0 ， +∞) 上单调递增，且ϕ'(0) = m -1 ，若 m 1 ，ϕ(x ) 在[0 ， +∞) 上单调递增， ∴ϕ(x ) ϕ(0) = 0 ， 即 m 1 满足条件，若 m < 1，ϕ'(0) = m - 1 < 0 ，ϕ(x ) 存在单调递减区间[0 ， x 0 ] ，又 ϕ(0) = 0 所以存在 x 0 使得ϕ(x 0 ) < 0 与已知条件矛盾，所以 m 1 ， m 的最小值为 1．（2）由（1）知 f (x ) x 2 x2 + x ，如果 x 2 + x g (x ) ，则必有 f (x ) g (x ) 成立．令 h (x ) = g (x ) - ( 2 + x ) ，则 h (x ) = (a -1)x - x cos x = x (a -1 - cos x ) ，h (x ) = x (a -1 - cos x ) 0 ，则 a -1 - cos x 0 ， a 1 + cos x ， a 2 ． 若 h (x ) 0 ，必有 f (x ) g (x ) 恒成立，故当 a 2 时， f (x ) g (x ) 恒成立，下面证明 a < 2 时， f (x ) g (x ) 不恒成立．令 f 1 (x ) = f (x ) - x = (x + 1)ln (x + 1) - x ， f '1 (x ) = ln (x + 1) ， 当 x > 0 时， f '1 (x ) = ln (x + 1) > 0 ， f 1 (x ) 在区间[0 ，1] 上单调递增，故 1 (x ) f 1 (0) = 0 ，即 f 1 (x ) = f (x ) - x 0 ，故 x f (x ) ．x 2 xg () - f (x ) g (x ) - x = (a -1)x + - x cos x = x (a -1 + - cos x ) ，2 2令t x ) = a - 1 + x - cos x ， t '(x ) = 1+ sin x > 0 ，2 2所以t (x ) 在[0 ， 1] 上单调递增， t (0) = a - 2 < 0 ，则一定存在区间(0, m ) （其中0 m < 1) ， 当 x ∈(0, m ) 时， t (x ) < 0 ，则 (x ) - f (x ) xt (x ) < 0 ，故 f (x ) g (x ) 不恒成立． 综上所述：实数 a 取值范围是[2 ， +∞) ．3．（2020•泉州一模）已知函数 f (x ) = e x + sin x - ax 2 - 2x ．（1） 当 a = 0 时，判断 f (x ) 在[0 ， +∞) 上的单调性并加以证明； （2） 若 x 0 ， f (x ) 1 ，求 a 的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（）先对函数求导，先对 a 进行讨论，结合导数的符号确定函数的单调性，然后结合函数的性质可求．【解答】证：（1）当 a = 0 时， f (x ) 在在[0 ， +∞) 上的单调增，证明如下： f '(x ) = e x + cos x - 2 ，设 g (x ) = f '(x ) = e x + cos x - 2 ，则 g '(x ) = e x - sin x ， 当 x 0 时， e x 1 ， -1 sin x 1 ， ∴ g '(x ) = e x - sin x 0 ，故 g (x ) 在[0 ， +∞) 上单调递增， g (x ) g (0) = 0 ， 即 f '(x ) 0 ，所以 f (x ) 在[0 ， +∞) 上单调递增； （2）由题意得 f '(x ) = e x + cos x - 2ax - 2 ，《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 4页（共 12页）2 2, ](π (0, ) 令 g (x ) = f '(x ) ，则 g '(x ) = e x - sin x - 2a ， 令 h (x ) = g '(x ) ，则 h '(x ) = e x - cos x ，当 x 0 时， h '(x ) = e x - cos x 0 ，故 h (x ) 在[0 ， +∞) 上单调递增，所以 g '(x ) 在[0 ， +∞) 上单调递增， g '(x ) g '(0) = 1 - 2a ，①当1 - 2a 0 即 a 1时， g '(x ) 0 恒成立， g (x ) 单调递增，即 f '(x ) 单调递增，且 f '(0)= 0 2 所以 f '(x ) 0 ， f (x ) 在[0 ， +∞) 上单调递增，②当 a > 1时， g '(0) = 1 - 2a < 0 ，令u (x ) = e x - x -1， x > 0 ，2 则u '(x ) = e x -1 > 0 恒成立，所以u (x ) 在(0, +∞) 上单调递增， u (x ) > u (0) = 0 即e x > x + 1， ∴ '(2a ) = e 2a - sin 2a - 2a > 2a + 1 - sin 2a - 2a = 1 - sin 2a 0 ，又 g '(x ) 在(0, +∞) 上单调递增，结合零点判定定理可得，存在唯一的实数 m ∈ (0, ) ，使得 g '(m ) = 0 ， 当 x ∈(0, m ) ， g '(x ) < 0 ， g (x ) 单调递减即 f '(x ) 单调递减， f '(x ) < f '(0) = 0 ， 此时 f (x ) 在(0, m ) 上递减， f (x ) < f (0) = 0 ，不合题意，舍去． 综上， a 的范围(-∞ 124．（2020•湖北模拟）已知函数 f (x ) = x 2 +πcos x ． （）求函数 f (x ) 的最小值；（）若函数 g (x ) = f (x ) - a 在(0, +∞) 上有两个零点 x 1 ， x 2 ，且 x 1 < x 2 ，求证： x 1 + x 2 < π． 【分析】（1）由于函数 f (x ) 为偶函数，故只需求 x ∈[0 ， +∞) 时 f (x ) 的最小值，利用 f '(x ) = 2x - πsin x ，对 x 分 x ∈ 小值； π (0, ) 2 及 x ∈ π， +∞) ，两类讨论，即可求得函数 (x ) 的最 2（2）只需证 x 1 + x 2 < π ，其中 x ∈ π ，x ∈ π，+∞) ，构造函数 F (x ) = f (x ) - f π- x ) ，2 2 1(0, 2 ) 2 ( 2 x ∈π，利用导数结合题意可证得 x + x < π． (0, ) 2 1 2【解析】：（1）由于函数 f (x ) = x 2 +πcos x 为偶函数，要求函数 f (x ) 的最小值，只需求 x ∈[0 ， +∞) 时 f (x ) 的最小值即可． 因为 f '(x ) = 2x - πsin x ，所以，当 x ∈ π(0, ) 2 时，设 h (x ) = 2x - πsin x ， h '(x ) = 2 - πcos x ，显然 h '(x ) 单调递增，而h '(0) < 0 ， h ' π > 0 ，由零点存在定理，存在唯一的 x ∈ π，使得 h '(x ) = 0 ，⋯2 分( 2 ) 0 (0, 2 ) 0 当 x ∈ (0, x ) ， h '(x ) < 0 ， h (x ) 单减，当 x ∈(x ， π ， h '(x ) > 0 ， h (x ) 单增，而 h (0) = 0 ， ) 0 0 2h ( ) = 0 ， x ∈ 2 ππ (0, ) 2 ， h (x ) < 0 ，即 x ∈ π ， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单减， ⋯4 分2π π2又当 x ∈( 2 ，+∞) ，2x > π> πsin x ， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单增，所以 f (x )min = f ( 2 ) =；⋯5 4《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 5页（共 12页）[ π分 （2）只需证 x 1 + x 2 < π，其中 x ∈π， x ∈ π， +∞) ， 2 2 1 (0, 2 ) 2( 2构造函数 F (x ) = f (x ) - f (π- x ) ， x ∈ (0, ) ，2F '(x ) = f '(x ) + f '(π- x ) = 2π- 2πsin x > 0 ，即 F (x ) 单增， 所以， F (x ) < π F ( ) 2 = 0 ，即当 x ∈ π(0, ) 2f (x ) < f (π- x ) ，而 x ∈ π ，1(0, 2) 所以， f (x 1 ) < f (π- x 1 ) ，又 f (x 1 ) = f (x 2 ) ，即 f (x 2 ) < f (π- x 1 ) ，此时 x ，π- x ∈ π ，+∞) ，由第（1）问可知， f (x ) 在 π ，+∞) 上单增，所以，x < π- x ，2 2 ( 2 ( 2 2 1x 1 + x 2 < π，即证⋯12 分5．（2020•山东模拟）已知函数 f (x ) = e x - x （其中 e = 271828⋯为自然对数的底数）（1） 证明：对任意的 x ∈ R 都有 f (x ) > 0 ； （2） 设 g (x ) = f (x ) cos x + x (cos x - sin x )(x ∈(0 ，π))(i) 若存在 x ∈ π，π) ，使得不等式 g (x ) m 成立，求实数 m 的取值范围； 0 [ 2 0 (ii) 求函数 g (x ) 的零点个数．【分析】（1）问题转化为求解 f (x ) 的取值范围，先对函数求导，结合导数可求函数的单调性，进而可证；（2）(i ) 由已知转化为求解函数的最值或范围，对函数求导，结合导数与单调性的关系可求； (ii ) 结合导数与单调性的关系判断函数的单调性，然后再由零点判定定理即可求解． 【解答】（1）证明： f '(x ) = e x -1 ，当 x < 0 时， f '(x ) < 0 ，函数单调递减，当 x > 0 时， f '(x ) > 0 ，函数单调递增， 故当 x = 0 时，函数取得最小值 f (0) = 1 > 0 ，所以 f (x ) > 0 恒成立； （2）解： (i ) 存在 x ∈ π，π) ，使得不等式 g (x ) m 成立等价于 m g (x ) ，0 [ 2 0max 因为 g (x ) = e x cos x - x sin x ， g '(x ) = e x (cos x - sin x ) - sin x - x cos x ， = (e x - x ) cos x - (e x + 1) sin x ，x ∈ π，π) ，且 e x > x 恒成立，2所以(e x - x ) cos x 0 ， (e x +1)sin x > 0 ，所以 g '(x ) < 0 即 g (x ) 在[ 1π,π) 上单调递减， g (x )2max= g ( 1π) = - 1π，2 2∴ m - 1π，2(ii )g (x ) = e x cos x - x sin x ， x ∈ (0,π) ，①当 x ∈[ 1π,π) 时，由(i ) 知， g (x ) 单调递减，且 g ( 1π) = - 1π< 0 ，2 2 2《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 6页（共 12页）时，(0, ] ( , π , )所以 g (x ) 在 x ∈[ 1π,π) 时没有零点，2 ②当 x ∈ π 时，由（1） e x> x > 0 ， cos x sin x > 0 ，4所以 e x cos x > x sin x 即 g (x ) > 0 ，没有零点；③当 x ∈ π 1π) 时， g '(x ) = e x (cos x - sin x ) - sin x - x cos x < 0 ，即 g (x ) 单调递减，4 2又 g ( ) > 0 ， g ( 4 1π) < 0 ，2 所以 g (x ) 有一个零点， 综上 g (x ) 的零点个数为 1．6．（2020•山东模拟）已知函数 f (x ) = e x - 2sin x ．（1） 若∀x ∈[0 ， +∞) ， f (x ) 1 - ax 恒成立，求正数 a 的取值范围； （2） 求证 f (x ) 在(-π+∞) 上有且仅有两个极值点．2【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对 a 进行分类讨论，确定导数的符号，从而可得函数的单调性，然后结合不等式的恒成立与最值的相互转化关系可求； （2）先对函数求导，然后结合函数的极值与导数的变号零点的关系，结合导数与函数的性 质及零点判定定理进行推理可证．【解析】：（1）令 g (x ) = e x - 2sin x + ax -1 ，则 g '(x ) = e x - 2cos x + a ， g '' (x ) = e x + 2sin x > 0 在 x 0 上恒成立，所以 g '(x ) 在 x ∈[0 ， +∞) 上单调递增，且 g '(0) = a - 1 ， ①当 a 1 时， g '(x ) a - 1 0 ，即 g (x ) 单调递增，且 g (0) = 0 ，所以 g (x ) g (0) = 0 ，满足题意；②当0 < a < 1 时， g '(ln 2) = a + 2 - 2 c os(ln 2) > 0 ，所以存在 x 0 ∈ (0, ln 2) 使得 g '(x ) = 0 ， 当 x ∈ (0, x 0 ) 时， g '(x ) < 0 ， g (x ) 单调递减，此时 g (x ) < g (0) = 0 ，不符合， 综上可得， a 1 ，证明：（2）令 F (x ) = f '(x ) = e x - 2cos x ， F '(x ) = e x + 2sin x ，① x π时， F '(x ) = e x + 2sin x > e π - 2 > 0 ，故此时 F (x ) 单调递增， F (x ) F (π) = e π + 2 > 0 ， 从而此时没有极值点，② 0 < x < π 时 ， F (π) = e π + 2 > 0 ，F '(x ) = e x+ 2sin x > 0 ， 故 此 时 F (x ) 单 调 递 增 ， F (, 0) = -1 < 0 ，所以存在 x 1 ∈ (0,π) 使得 F (x 1 ) = 0 ，此时 f (x ) 有一个极值点；③ - 1π< x < 0 时，F '' (x ) = e x + 2cos x > 0 ，此时 F '(x ) 单调递增，且 F '(-π < 0 ，F '(0) = 1 > 0 ， 2 4所以存在 x ∈ (-π, 0) 使得 F '(x ) = 0 即e x 2= -2sin x ，2 4 2 2故 F (x ) 在(- 1π, x ) 上单调递减，在(x ， 0) 上单调递增，2 2 又F (- 2- 1π π) = e 2> 0 ，2F (0) = -1 < 0 ，F (x ) = e x 2- 2 cos x = -2(sin x + cos x ) = -2 2 sin(x + π< 0 ，2 2 1 2 24 )《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 7页（共 12页）1) ) )( ,所以存在 x ∈ (- 1 π, x ) 使得 F (x ) = 0 ，故 f (x ) 在(- 1π, 0) 上有一个极大值．3 2 2 32综上， f (x ) 在(-π, +∞) 上有且仅有两个极值点． 27．（2020•合肥二模）已知函数 f (x ) = e x sin x ． (e 是自然对数的底数）（1） 求 f (x ) 的单调递减区间；π（2） 若函数 g (x ) = f (x ) - 2x ，证明 g (x ) 在(0,π) 上只有两个零点．（参考数据： e 2 ≈ 4.8)【分析】（1）由 f '(x ) < 0 得sin(x + π < 0 ，利用正弦函数的单调性质可得 f (x ) 的单调递减4区间；（2）依题意可得 g '(x ) = e x (sin x + cos x ) - 2 ，分析其单调情况并作出图象，利用零点存在性定理可得， g (x ) 在(x 1 ， x 2 ) 和(x 2 ，π) 内各有一个零点，从而可证得结论成立． 【解答】（本小题满分 12 分）解：（1） f (x ) = e x sin x ，定义域为 R . f '(x ) = e x (sin x + cos x ) = 2e x sin(x + π．4由 f '(x ) < 0 得sin(x + π < 0 ，解得2k π+ 3π < x < 7π+ 2k π(k ∈ Z ) ． 4 4 4∴ f (x ) 的单调递减区间为[3π + 2k π, 7π+ 2k π](k ∈ Z ) ．（5 分）4 4（2） g '(x ) = e x (sin x + cos x ) - 2 ，∴ g '(x ) = 2e x cos x ． x ∈ (0,π) ，∴当 x ∈ π (0, ) 2 时， g '(x ) > 0 ；当 x ∈ ππ) 时， g ''(x ) < 0 ． 2 ∴ g '(x ) 在 π 上单调递增，在 ππ) 上单调递减，(0, ) 2 又 ' = - <， ' π = ( ,2 π - > ， ' π = - π - < ，g (0) 1 2 0 g ( ) e 22 0 2g ( )e 2 0 ∴ g '(x ) 在(0,π) 上图象大致如右图．∴ π， xπ1(0, 2) 2 ( 2 , 1 2 且当 x ∈(0, x 1 ) 或 x ∈(x 2 ，π) 时， g '(x ) < 0 ；当 x ∈ (x 1 ， x 2 ) 时， g '(x ) > 0 ． ∴ g (x ) 在(0, x 1 ) 和(x 2 ，π) 上单调递减，在(x 1 ， x 2 ) 上单调递增． g (0) = 0 ，∴ g (x 1 ) < 0 ．π= - π> ，∴ > ， g () e 2 20 g (x 2 ) 0 又 g (π) = -2π< 0 ，由零点存在性定理得， g (x ) 在(x 1 ， x 2 ) 和(x 2 ，π) 内各有一个零点，∴函数 g (x ) 在(0,π) 上有两个零点．（12 分）《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 8页（共 12页）π) ) } [ πππ π8．（2020•湖南模拟）已知函数 f (x ) = ae x - cos x (a ∈ R , x > -π．2（1） 证明：当 a = 1 时， f (x ) 有最小值，无最大值；（2） 若在区间(-π,π) 上方程 f (x ) = 0 恰有一个实数根，求 a 的取值范围，2【分析】（1）求导，根据导数正负判断单调性，判断最值，（2）令 f (x ) = 0 ，则分离参数，转化为两个函数交点为一个，通过求导，判断单调性，判断最值和极值，也可画出图象，根据交点个数，求参数．【解析】：（1） a = 1 时， f (x ) = e x - cos x ， f '(x ) = e x + sin x ， f '(x ) = e x + cos x ， 当- < 2 x 0 ， e x ， > 0 ， cos x > 0 ，则 f '(x ) > 0 ；当0 < x ， e x ， > 1， cos x -1，则 f '(x ) > 0 ； 即当- < 2'x ， f '(x ) > 0 ；π ∴ f (x ) 在- < x 时单调递增，2' -π = -π - < ， ' = > ，f ( ) e 21 0 2f (0) 1 0存在 x ∈ (-π, 0) ，使得 f '(x ) = 0 ，则当- < 22 x < x 0 0 ， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单调递减； 当 x 0 < x ， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增； 故 f (x ) 有最小值 f (x 0 ) ，无最大值；（2）若在区间(-π,π) 上方程 f (x ) = 0 恰有一个实数根，2则 a = cos x 在区间(-π,π) 上恰有一实根，e x 2则函数 y = a 与 g (x ) = cos x 在区间(-π,π) 上恰有一交点，e x 2 - 2 sin(x + ππ因为 g '(x ) = 4 e x ， x ∈ (- ,π) ，2令 g '(x ) = 0 ，解之得 x = -π，或 3π，4 4 当 x ∈ (-π， - π ， (3π ，π) 时， g '(x ) > 0 ；当 x ∈ (-π， 3π 时， g '(x ) < 0 ； ) )2 4 4 4 4 则 g (x ) 在(- π ， - π 上单调递增，在(- π ， 3π上单调递减，在(3π ，π) 上单调递增， 即极大值为 ) 2 4 -π =4 ，极小值 3π )4 2 ， -π = ，4 π = - 1，g ( ) e 44 2 g ( ) = - 4 3π2e 4g ( ) 0 2 g ( ) e π 因为函数 y = a 与 g (x ) = cos x 在区间(-π,π) 上恰有一交点，e x 2 ∴ a ∈{- 2 - 1 ， 0] { 2 e 4 } ． 3πe π22e 49．（2020•武汉模拟）已知函数 f (x ) = e x (x 2 + 8x - 4) ．《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 9页（共 12页）2 π21 m m sin x （2）令 ， （1） 求函数 f (x ) 的单调区间；（2） 若关于 的不等式e x (x 2 + 8x - 4) + 在4， +∞) 上恒成立，且 m ≠ 0 ，求实数 m 的取值范围．【分析】（1）先求导，求导函数的零点，判断每个被零点分开的区间导数的正负，可知单调性．（2）令 x = 0 时求出 m 1 ，然后求在m 1 时， m 的取值范围，分离参数求最值，求出 m ． 【解答】解（1）依题意， x ∈ R ， f '(x ) = e x (x 2 + 8x - 4 + 2x + 8) = e x (x 2 + 10x + 4) ，令 f '(x ) = 0 ，即 x 2 + 10x + 4 = 0 ，解得 x = -10 ± 2 84= -5 ± ，故当 x ∈(-∞, -5 - 21) 时， f '(x ) > 0 ， 当 x ∈ (-5 - 21, -5 + 21) 时， f '(x ) < 0 ， 当 x ∈(-5 + 21, +∞) 时， f '(x ) > 0 ， 故函数 f (x ) 的单调递增区间为 (-∞, -5 - 21) 和 (-5 + 21, +∞) ， 单调递减区间为(-5 - 21, -5 + 21) ．注： -5 - 21 ， -5 + 21 处写成闭区间也给分．e x (x 2 + 8x - 4)g (x ) =+ m - m sin x 4由题意得，当 x = 0 时， g (0) = m -1 0 ，则有 m 1． 下面证当 m 1 时，对任意 x 0 ，都有 g (x ) 0 ． 由于 x ∈ R 时，1 - sin x 0 ，当 m 1 时，则有 g (x )e x ( 14x 2 + 2x - 1) + 1 - sin x ． 故只需证明对任意 x 0 ，都有 e x (14x 2 + 2x - 1) + 1 - sin x 0 ．易知 h (x ) = x - sin x 在[0 ， +∞) 上单调递增，所以当 x 0 时， h (x ) h (0) = 0 ，即 x sin x ，所以1 - x 1 - sin x ，则 e x ( 1 x 2 + 2x - 1) + 1 - sin x e x (1x 2 + 2x - 1) + 1 - x ，4 4设 F (x ) = e x ( 1 x 2 + 2x - 1) + 1 - x ， x 0 ，则 F '(x ) = e x ( 1 x 2 + 5x + 1) - 1 ．4 4 2当 x 0 时， e x 1 ， 1 x 2 + 5x + 1 1，4 2所以 F '(x ) 0 ，所以 F (x ) 在[0 ， +∞) 上单调递增， 所以当 x 0 时， F (x ) F (0) = 0 ，所以对任意 x 0 ，都有 e x (14x 2 + 2x - 1) + 1 - sin x 0 ．所以当 时，对任意 ，都有e x (x 2 + 8x - 4) + ，m 1 x 0m m sin x 4故实数 m 的取值范围为[1 ， +∞) ．10．（2020•江西模拟）已知函数 f (x ) = lnx + sin x + 1 ，函数 g (x ) = ax -1 - blnx (a ， b ∈ R ， ab ≠ 0) ．（1）讨论 g (x ) 的单调性；《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 10页（共 12页）x [0（2）证明：当a =b = 1 时，g(x) 0 ．（3）证明：f (x) < (x2 + 1)e sin x ．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性；（2）结合（1）中单调性可求函数的最值；（3）由（2）可得x2e sin x -1 -ln(x2e sin x ) 0 ，即x2e sin x 1 + 2lnx + sin x ，利用不等式的性质可证．【解析】：（1）函数g(x)的定义域(0,+∞)，g'(x)=ax-b，x当a > 0 ，b < 0 时，g'(x) > 0 ，则g (x) 在(0, +∞) 上单调递增；当a > 0 ，b > 0 时，由g'(x) > 0 可得x >b ，此时函数单调递增，令g'(x) < 0 可得0 <x <b ，a a此时函数单调递减，当a < 0 ，b > 0 时，g'(x) < 0 ，函数在(0, +∞) 单调递减，当a < 0 ，b < 0 时，由g'(x) > 0 可得0 <x <b ，此时函数单调递增，令g'(x) < 0 可得x >b ，a a此时函数单调递减，（2）当a =b = 1 时，g(x) =x -1 -lnx ，由（1）知，g(x)=g （1）= 0 ，所以g(x) 0 ，min（3）因为x > 0 ，所以x2e sin x > 0 ，由（2）可得x2e sin x -1 -ln(x2e sin x ) 0 ，即x2e sin x 1 + 2lnx + sin x ，又(x2 + 1)e sin x >x2e sin x ．∴(x2 + 1)e sin x > 2lnx + sin x + 1，即f (x) < (x2 + 1)e sin x ．————————————————————————————————————《初、高中数学教研微信系列群》简介：目前有 8 个群（7 个高中群、1 个初中群），共 3000 多大学教授、教师、中学优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志初、高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕初、高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！特别说明：1.本系列群只探讨初、高中数学教学研究、数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名欢迎各位老师邀请你身边热爱初、高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图————————————————————————————————————《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 11页（共 12页）《高中数学教研微信系列群》“助力 2020 高考”特别奉献备考资料——第 12页（共 12页）。
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《数学》必会基础题型——《导数》
【知识点】
1.导数公式：'0C = '1()n n x nx -= '(sin )cos x x = '(cos )sin x x =-
'()x x e e = '()ln x x a a a = '1(ln )x x = '1(log )ln a x x a
=
2.运算法则：'''()u v u v +=+ '''()u v u v -=- '''
()uv u v uv =+ ''
'2()u u v uv v v -=
3.复合函数的求导法则：（整体代换）例如：已知2()3sin (2)3
f x x π=+，求'()f x 。
解：''()32sin(2)[sin(2)]33f x x x ππ=⋅+⋅+'6sin(2)cos(2)(2)333
x x x πππ
=+⋅++ 6sin(2)cos(2)212sin(2)cos(2)3333x x x x ππππ=+⋅+⋅=+⋅+26sin(4)3
x π=+
4.导数的物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。
5.导数的几何意义：导数就是切线斜率。
6.用导数求单调区间、极值、最值、零点个数：对于给定区间[,]a b 内，若'()0f x >，则()f x 在[,]a b 内是增函数；若'()0f x <，则()f x 在[,]a b 内是减函数。
【题型一】求函数的导数 (1)ln x y x = (2)2sin(3)4
y x π=- (3)2(1)x y e x =- (4)3235y x x =-- (5)231x x y x -=+ (6)2211()y x x x x =++ 【题型二】导数的物理意义的应用
1.一杯90C 红茶置于25C 的房间里，它的温度会不断下降，设温度T 与时间t 的
关系是函数()T f t =，则'()f t 符号为 。
'(3)2f =-的实际意义是 。
2.已知物体的运动方程为223s t t
=+（t 是时间，s 是位移），则物体在时刻2t =时的速度为 。
【题型三】导数与切线方程（导数的几何意义的应用）
3.曲线32y x x =+-在点(2,8)A 处的切线方程是 。
4.若(1,)B m 是32y x x =+-上的点，则曲线在点B 处的切线方程是 。
5.若32y x x =+-在P 处的切线平行于直线71y x =+，则点P 的坐标是 。
6.若2
3ln 4
x y x =-的一条切线垂直于直线20x y m +-=，则切点坐标为 。
7.函数12+=ax y 的图象与直线x y =相切, 则a = 。
8.已知曲线11
x y x +=-在(3,2)处的切线与0ax y m ++=垂直，则a = 。
9.已知直线y x m =+与曲线321y x x =-+相切，求切点P 的坐标及参数m 的值。
10.若曲线)(x h y =在点（,()a h a ）处切线方程为012=++y x ，那么（ ）
A ．0)('<a h B. 0)('>a h C. 0)('=a h D. )('a h 的符号不定
11.曲线46323+++=x x x y 的所有切线中, 斜率最小的切线的方程是 。
12.求曲线3231y x x =-++过点(1,1)和(2,5)的切线方程。
【易错题】
【题型四】导数与单调区间
13.函数13)(23+-=x x x f 的减区间为 。
14.函数)0,0(≥>=-x n e x y x n 的单调递增区间为 。
15.判断函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ） A.3(,)22ππ B.(,)22
ππ- C.(,2)ππ D.(0,)π 16.已知函数32321y x x =+-在区间(,0)m 上为减函数, 则m 的取值范围是 。
【题型五】导数与极值、最值
17.函数3125y x x =-+在x = 时取得极大值 ，在x = 时取得极小值 。
18.函数32()23f x x x =-+在[1,1]-上的最大值是 ，与最小值是 。
19.函数)0(≥-=x x x y 的最大值为 。
20.函数93)(23-++=x ax x x f 在3-=x 时取得极值, 则=a 。
21.已知a a x x x f (62)(23+-=为常数)在]2,2[-上有最大值是3, 那么]2,2[-在上的最小值是 。
22.已知函数322+--=x x y 在区间[,2]a 上的最大值为154
, 则a = 。
23.函数⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈-=2,2,2sin ππx x x y 的最大值是 ，最小值是 。
24.若1)2(33)(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，求a 的取值范围。
【题型六】导数与零点，恒成立问题
零点定理：若函数()f x 在区间[,]a b 上满足()()0f a f b ⋅<，则()f x 在区间[,]a b 上是至少有一个零点。
（即()0f x =在区间[,]a b 上是至少有一个解）
25.判断函数2()log (2)f x x x =+-在[1,3]上是否存在零点？
26.已知[1,3]x ∈-，且144234++-≤x x x a 恒成立，则a 的最大值为 。
27.证明ln x x < (0)x >恒成立。
练习：证明x e x > (0)x >恒成立
28.已知函数321()22
f x x x x c =--+，若对于[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。
29.若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点，求实数a 的取值范围。
30.是否存在实数m ，使得函数2()8f x x x =-+与()6ln g x x m =+的图像有且只有三个不同的交点？若存在求出m 的范围，若不存在说明理由。
【题型七】综合应用题
31.已知1=x 是函数1)1(3)(23+++-=nx x m mx x f (0)m <的一个极值点,
(1)求m 与n 的关系式； (2)求)(x f 的单调区间； (3) 当[1,1]x ∈-时, 函数)(x f y =的图象上任意一点的切线斜率恒大于m 3, 求m 的取值范围。
32.已知某工厂生产x 件产品的成本为++=x c 20025000240
1x 元，
(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？
(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？。