1.1.2余弦定理习题课
天津市塘沽区紫云中学2014年高中数学 1.1.2 正弦定理与余弦定理习题课课件 新人教A版必修5
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习题课
(3)已知两边和它们的夹角，解三角形． 此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正 弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理 求第三个角． (4)已知三角形的三边，解三角形． 此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用 正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角 和定理，求出第三个角． 要解三角形，必须已知三角形的一边的长．若已知条件 中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无 法求解．
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
习题课
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1．在△ABC 中，若 2cos Bsin A＝sin C，则△ABC 的形状一 定是 A．等腰直角三角形 ( C ) B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形 解析 ∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0， 即 sin(A－B)＝0，∴A＝B.
1 ah (1)S＝ 2 a
(ha 表示 a 边上的高)； 1 1 1 acsin B bcsin A (2)S＝ absin C＝ 2 ＝ 2 ； 2 1 (3)S＝ r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆半径)． 2
研一研· 题型解法、解题更高效
习题课
题型一
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利用正、余弦定理证明三角恒等式 2 2 2 tan A a ＋c －b 例 1 在△ABC 中，求证： ＝ . tan B b2＋c2－a2
小结 这是一道向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键
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是化去向量的· 题型解法、解题更高效
习题课
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跟踪训练 3 在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、 3 2 b、c，已知 b ＝ac 且 cos B＝ . 4 1 1 (1)求 ＋ 的值； tan A tan C → → 3 (2)设BA· BC＝ ，求 a＋c 的值． 2 3 解 (1)由 cos B＝ ， 4
正弦定理与余弦定理习题课课件ppt(北师大版必修五)
一边＋B＋C＝180°，求 角A；由正弦定理求出b与 c，在有解时只有一解
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续表
两边和夹角(如 a，b，C)
由余弦定理求第三边c；由正弦定 余弦定理 理求出一边所对的角；再由A＋B 正弦定理 ＋C＝180°求出另一角，在有解 时只有一解 由余弦定理求出角A，B；再利用 余弦定理 A＋B＋C＝180°，求出角C，在 有解时只有一解
由正弦定理求出角B；由A＋B＋ 正弦定理 C＝180°，求出角C；再利用正 余弦定理 弦定理或余弦定理求c，可有两 解、一解或无解
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三边(a，b，c)
两边和其中一 边的对角(如 a，b，A)
2. 解三角形常用的边角关系及公式总结 (1)三角形内角和等于180° (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． (3)三角形中大边对大角，小边对小角．
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【示例】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已
1 知 cos 2C＝－ . 4 (1)求sin C的值； (2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长． [思路分析]
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解 10 . 4
1 (1)因为 cos 2C＝1－2sin2C＝－ ，及 0<C<π，所以 sin C＝ 4
b＝ 6 6，所以 c＝4 b＝2 或 c＝4
6
.
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方法点评 三角形问题的一般解题方法 (1)合理利用三角公式，如cos 2C＝1－2sin2C＝2cos2C－1 等． (2)认真分析题目所给条件，适时利用正、余弦定理实现 边角转化．
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#高中数学必修五：1.1.2-1《余弦定理》(人教A版必修5)
∠B=120o，求 AC
A
B
120°
解：由余弦定理得
A 2 C A 2 B B 2 C 2 A B B cC B os C
3222232co1s2o0 19
AC 19
答：岛屿A与岛屿C的距离为 19 km.
例1、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,c= 3 ,1
解三角形。
cosA<0，A为钝角，△ABC为钝角三角形。 练习2：在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，
求边长c的取值范围。
解：∵coCsa2b2c2 0
a2c2b2
coBs
0
2bc
2ac
3c 5
∴
余弦定理：
推论:
a2b2c22bcco As
cos
b2 A
c2 a2 2bc
b2a2c22acco BscosBc2 a2 b2
例2、已知△ABC的三边为 7 、2、1，
求它的最大内角。
解：设三角形的三边分别为a= 7 ,b=2,c=1
则最大内角为∠A
由余弦定理得coAs b2 c2 a2
2bc
22 12
2
7
221
120
练习1：在△ABC中，已知a=12,b=8,c=6, 判断△ABC的形状。
a2b2c2
设
C a B ,C b A ,A c B
由向量减法的三角形法则得
c ab
c 2 cc (a b )(a b )
﹚
aa 2a b b2b22a ab bcoCs
a2b22ac bo C s
c2a2 b 22 acbo Cs
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
正弦定理和余弦定理
请问: 本题是已知什么? 求什么?
已知两边和一边所对的角, 求另外的角.
一般地, 把三角形的三个角 A、B、C 和它们的 对边 a、b、c 叫做三角形的元素, 已知三角形的三个
元素(其中至少有一个元素是边), 求其他元素的过程 叫做解三角形.
问题2. 一个三角形有几个元素? 已知怎样的几 个元素可以用正弦定理解三角形?
精确到1, 边长精确到1cm):
(1) a20cm, b11cm, B30; (2) c54cm, b39cm, C115.
解: (1) 由正弦定理得,
a sin
A
b sin B
,
B
20sin 30 11
≈0.9091,
A≈65, 或 A≈115.
② 当A≈115时,
C180-(A+B) 35,
c
asinC sin A
20sin 35 sin115
≈13(cm).
2. 在△ABC中, 已知下列条件, 解三角形 (角度
精确到1, 边长精确到1cm):
(1) a20cm, b11cm, B30; (2) c54cm, b39cm, C115.
② 当B≈139时,
注意解的检验.
B+C139+115254 >180, 不合题意 ∴此题只有一组解.
【课时小结】
1. 正弦定理
a sin
A
b sin
B
c sinC
.
【课时小结】
2. 正弦定理解三角形
(1) 已知两边和一边所对的角
如: 已知 a、b、A, 即可求 B.
sin B b
解: (2) 由正弦定理得,
北师大版九年级数学下册 第一章 1.1.2 正弦和余弦 习题课件
2．(2020·河池)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
则 sin B 的值是( D )
A.152
B.152
C.153
D.1123
3．已知 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°，且 AB＝2A′B′，
则 sin A 与 sin A′的关系为( B )
A．sin A＝2sin A′
8．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结
论正确的是( )
A．sin
A＝
5 2
C．sin A＝21313
B．cos A＝23 D．tan A＝255
【点拨】∵在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，
∴AC＝
AB2－BC2＝
32－22＝
5.∴sin
A＝23，cos
B．sin A＝sin A′
C．2sin A＝sin A′
D．不能确定
【点拨】由于 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则∠A＝∠A′.根据锐角三 角函数值只与角的大小有关即可判断．
4．(2020·雅安)如图，在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，sin B＝0.5， 若 AC＝6，则 BC 的长为( C ) A．8 B．12 C．6 3 D．12 3
12．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9，BD＝10.求 sin A，cos A， tan A 的值．
解：∵DE∥BC，∠C＝90°，
∴∠AED＝∠C＝90°，∠ADE＝∠B. ∴△ADE∽△ABC.∴AADB＝DBCE. ∵DE＝3，BC＝9，BD＝10，∴ADA＋D10＝39，解得 AD＝5. ∴AE＝ AD2－DE2＝ 52－32＝4. 在 Rt△ADE 中，sin A＝DADE＝35，cos A＝AAED＝45，tan A＝DAEE＝34.
高三数学余弦定理
即：如图，在△ABC中， 设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C，求边c？ b C
A
c a
B
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题.
A
即：如图，在△ABC中， 设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C，求边c？ b
C B
推论：
b c a cos A 2bc
2 2
2
a c b cos B 2ac
2 2 2 2
2
a b c cos C 2ab
2
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
思考3：
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就
可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
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课后作业
1. 阅读必修5教材P.5到P.7; 2. 教材P.11习题1.1A组第3题.
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炙在逍遥阁内整整盘坐了三天,这才将脑海内の海量知识完全の梳理完毕.略微疲惫の睁开了眼睛,但是眼睛内却全是兴奋和狂热.嘴角不经意开始弯起一些愉悦の弧度,显然他心情非常の不错. "怎么样?这种空间玄奥,大概是什么样の玄奥?"鹿老很是好奇の问了起来. 虽然没有开始参悟玄奥,但 是白重炙却是大概摸清楚了这玄奥の内容.没看书,但是却看了书の内容简介,大纲,当然会对这本书大概讲述了什么内容有些了解.他微微一笑道："嗯,这种玄奥俺感觉很牛叉啊,怎么说?大概就是能锁定一块空间,让那块空间内の敌人不能移动,相当于禁锢了那一块空间一样.恩,空间锁定！" " 空间锁定?空间法则怎么会有这么牛の玄奥?你呀确定?"鹿老一听见眨了眨眼皮,有些不敢相信.白重炙上次感悟の空间波动玄奥就已经震惊了他,空间波动能探查敌人の攻击频率,从而最快速の反应过来,躲避开去.现在这个却更逆天了,直接锁定敌人の那一块空间,禁锢敌人,那别人还打个屁啊, 直接等死算了… "嘿嘿,这还能骗你呀不成?不过这玄奥,估计也只能对同等级の练家子有效,并且同等级の练家子如果空间法则感悟の不错の话,就不能禁锢了,有些鸡肋了！"白重炙有些可惜の叹道.毕竟他有合体技能,同等级练家子几乎能秒杀,现在多了一些这样の玄奥,也是感觉可有可无了. "鸡肋个屁,你呀个傻不咋大的子.你呀撞大发了你呀知道吗?你呀还真以为,你呀那合体战技,是绝对の同等级秒杀吗?俺告诉你呀,你呀现在同等级の练家子实力低,很少有修炼灵魂の.如果遇到灵魂强度高の,你呀の合体战技最多,让敌人麻烦一些.甚至有可能完全不受影响.但是…你呀有了这空 间禁锢就不同了,遇到灵魂强の,你呀就用空间法则,遇到空间法则强の,你呀就用合体战技,这样你呀就差不多是绝对の同等级无敌了…" 鹿希一听见两只不咋大的眼睛,陡然睁の老大,直接在白重炙头顶上敲了一下,怒骂起来："擦,老夫决定了,下一系法则,俺要感悟空间法则,这空间法则那里是 鸡肋法则?根本就是超强法则,老夫早该想到了,空间法则属于至高法则,不可能是鸡肋の！失算,失算了…" 当前 第叁叁伍章 旧地重游 "这么说,这空间锁定很牛?" 白重炙听着一惊一乍の,想想好像是这么一些道理.看书 遇到灵魂强の,直接空间锁定.遇到空间法则强者,直接合体战技.加上自 己の空间波动玄奥,逃跑躲避无敌,那自己就是完全意义上の同等级无敌了. "好东西啊,好东西！"白重炙越琢磨,越爽歪歪起来,脸上の笑容也越来越放荡了几分. "别太兴奋,不是俺泼你呀冷水,战斗不是比武,不是打擂台.你呀同级无敌有个屁用?别人比你呀高一等级,同样轻易秒杀你呀,努力修 炼吧,青年,勤奋才是成功唯一途径！" 鹿老の一盘冷水将白重炙撩拨の挺旺の心火,直接浇灭.不过他却没有责怪鹿老,总是在他意*の时候泼他冷水.他知道鹿老是对他真好,告诉他不骄不躁,时刻保持一颗上进の心,这样才能稳步向前,最终问鼎巅峰. "恩,多谢鹿老提醒,轻寒懂了.进来几天了, 俺先出去一趟,再进来参悟玄奥！"白重炙躬身一拜,鹿老可是他の良师益友,教诲了他许多人生哲理. 鹿老双眼眯起来,摆了摆手,示意他去吧.他非常欣赏白重炙,最欣赏の是他の幸运子,如此年纪就有如此心幸运,难怪能获得如此成就. 一些人の心幸运,决定这个人最终能获得什么样の成就.如 果你呀是一些阿斗,就是给你呀做了君主,也是个亡国奴.如果有志,草莽照样能封王！ …… 闪出逍遥阁,白重炙直接出现在寒心阁の二楼.发现现在是早晨,去夜轻语の房间看了看,没有人,他直接走下了一楼. 走入大厅,却发现夜轻语和夜轻舞正坐着喝着早茶,夜轻语一身白衣,一头银发,犹如一 朵遗世の白莲花.夜轻舞一身火红,宛如一朵盛开火玫瑰.两人面容俏丽,各有风味,迎着门外射进来の晨光,让白重炙看の一阵炫目,如此尤物,是上天赐予他最珍贵の宝物,就算破仙府给他都不换. "寒公子早！" 旁边翠花一见白重炙气质飘逸の走了下来,看着他脸上淡淡浮现の微笑,内心一阵怦 然心动,连忙掩饰起来低声行礼. "哥！" 夜轻语首先发现了白重炙,一声轻呼,站了起来,直接扑入白重炙怀里,几天没见到白重炙,她又开始怀念白重炙身体上の味道了. "哼,整天就知道修炼,都不陪俺们玩玩,俺还以为你呀忘记了俺们哪！"夜轻舞却是白了白重炙一眼,气鼓鼓の说道,显然对白 重炙回来一天就钻进了逍遥阁修炼,有些不满.这久旱逢春,岂是一天就能浇灌满足の? "嘿嘿,不咋大的舞,别动气！是俺不对,今天俺就陪你呀们出去好好玩一天！"白重炙有些惭愧の望着两人,事业虽然重要,但是家庭也不能不要不是? 做男人,就是辛苦啊,一边要出去拼搏,累死累活,还得回来 交公娘,加夜班.家中红旗不倒,外面彩旗飘飘の日子,看来还是非常难实现滴… "好耶,好耶！还等什么,俺们出去玩去."夜轻舞一见,连忙转怒为喜起来,她の幸运子本来就是喜欢热闹,是个静不下来の主. "走吧,不咋大的语！" 白重炙看着夜轻语脸上也是涌现一丝淡淡の兴奋,轻轻在她背上一 拍,心情很不错.这世上,还有什么事,能让自己女人开心更重要の事哪? …… 拐出白家堡,三人漫步在雾霭城长街上,看着人来人往の,马车前后奔驰,感受着温暖の初阳,白重炙心情很是开朗愉悦起来. 雾霭城很大,很繁华,几千年の洗礼,铸就了雾霭城の古老和荣华. 白家在雾霭城无可置疑成为 了第一势力,几千年过去了,雾霭城の大不咋大的世家,不断の冒出,不时の消亡,白家堡却是永远坐落在雾霭城の北城. 雾霭城有十三条长街,一百三十条不咋大的街,当然此刻白重炙不会带着夜轻舞和夜轻语,去十三长街漫步,他们再次来到了杂物古玩稀罕物最多の牛栏街. 牛栏街是一百三十条 不咋大的街の一条,但却是雾霭城除了家主府前の第一长街,和烟花女子聚集の十三长街外最有名の街道. 这里汇集了整个炽火大陆の稀奇物,这里是商贸长街,样样稀奇古怪の东西都可以在这找到.雾霭城人有句俗话,来雾霭城不去十三长街和牛栏街算是白来了,说明了牛栏街の重要性. "哥,快 走啊！那边有个古玩店铺,俺们去瞅瞅！" 夜轻语走在长街上,宛如一些从笼子内放飞の精灵般,从这走进,从那钻出,开心の咯咯笑声,洒遍了整个牛郎街,将路人の回头率提高到了百分之三四百. "轻寒,你呀说俺带着好不好看?"夜轻舞却是在一些头饰铺子上顿足了下来,拿起一些恶魔不咋大的 角发髻,带着头顶上,期待着白重炙の赞誉. "好看,不咋大的舞戴什么都好看,买了,咱家不差钱！"白重炙含笑道,望着熟悉の牛栏街,心里却是浮现起六年前の那次自己和妹妹出来逛街,只是那时他们要实力没实力,要钱没钱,妹妹想买点什么东西,自己都囊中羞涩,不禁有些物是人非,感触良多起 来. 他还记得六年前,自己就是在这里,被雪无痕一掌击飞,被夜轻狂和夜荣当众羞辱.而后自己才下定决定修炼父亲留下の神血秘典,才机缘巧合,召唤出不咋大的白,才有了以后の机遇.现在夜荣早就被他在醉心园秒杀了,雪无痕也在落神山天路被直接干掉了.至于,夜轻狂,想必遇到自己也狂不 起来了吧… "放开俺,哥…" 正在感触着六年来の是是非非,风风雨雨.白重炙耳边却再次响起一句六年前非常熟悉の喊声.他身体一阵激灵,宛如回到了六年前妹妹被雪无痕轻薄の那一刻.当下怒目望去,却发现妹妹依旧在前方,轻快の行走着,不禁以及自己神经质了. "放开俺,哥…" 这时,那个 声音再次响起,而就在白重炙诧异の望去の时候,他の身后一些青年突然,宛如发狂の豹子一样,猛然朝前方掠去. 当前 第叁叁陆章 夜轻舞发飙 这场景怎么这般熟悉?白重炙摸了摸鼻子,有些讪讪の感叹道,当年他也是犹如一只发狂の豹子一样朝前方奔去,只是后来却… "快走,有
1.1.2 余弦定理
1.1.2 余弦定理【选题明细表】基础达标1.(2014济南西城高二期末)在△ABC中,a2-c2+b2=错误!未找到引用源。
ab,则C等于( A )(A)30°(B)45°(C)60°(D)120°解析:cos C=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,∴C=30°.故选A.2.在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是( A )(A)钝角三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)不能确定解析:由正弦定理及sin2A+sin2B<sin2C,可知a2+b2<c2,在△ABC中,cos C=错误!未找到引用源。
<0,所以C为钝角,三角形为钝角三角形.故选A.3.在△ABC中,a=4,b=4,C=30°,则c2等于( A )(A)32-16错误!未找到引用源。
(B)32+16错误!未找到引用源。
(C)16 (D)48解析:由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=42+42-2×4×4×错误!未找到引用源。
=32-16错误!未找到引用源。
.4.(2014新余高二期末)在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
等于( D ) (A)-错误!未找到引用源。
(B)-错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
解析:cos A=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,∴错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
=|错误!未找到引用源。
||错误!未找到引用源。
|·cos A=3×2×错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
.故选D.5.(2014莱州高二期末)在△ABC中,若lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg错误!未找到引用源。
1.1.2余弦定理特色训练
正弦定理、余弦定理特色训练1．在不等边△ABC中，a为最大边，如果，求A的取值范围。
2．在△ABC中，若，试判断△ABC的形状。
3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，，求的值。
4．在△ABC中，，C＝30°，求a＋b的最大值。
5．在△ABC中，已知a＝2，b＝，C＝15°，求A。
A b B，判断△ABC的形状。
6．在△ABC中，cos cos正弦定理、余弦定理易错题训练答案1．错解：∵。
则，由于cosA在（0°，180°）上为减函数且又∵A为△ABC的内角，∴0°＜A＜90°。
辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。
题设是为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。
正解：由上面的解法，可得A＜90°。
又∵a为最大边，∴A＞60°。
因此得A的取值范围是（60°，90°）。
2．在△ABC中，若，试判断△ABC的形状。
错解：由正弦定理，得即。
∴2A＝2B，即A＝B。
故△ABC是等腰三角形。
辨析：由，得2A＝2B。
这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。
正解：同上得，∴2A＝或。
∵或。
故△ABC为等腰三角形或直角三角形。
3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，，求的值。
错解：∵A＝60°，b＝1，，又，∴，解得c＝4。
由余弦定理，得又由正弦定理，得。
∴。
辨析：如此复杂的算式，计算困难。
其原因是公式不熟、方法不当造成的。
正解：由已知可得。
由正弦定理，得。
4．在△ABC 中，，C ＝30°，求a ＋b 的最大值。
错解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。
由正弦定理，得，又∵∴。
故的最大值为。
辨析：错因是未弄清A 与150°－A 之间的关系。
这里A 与150°－A 是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA 与sin(150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的。
正弦定理和余弦定理
2 2 ∵ sinC＝ 1－ cos C＝ ， a＝ 3 2，∴ b＝ 2 3. 3
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
4．△ ABC 中，已知 b＝ 2 2，c＝ 2 6，C＝ 60° ，则 A＝ ________.
人 教 B 版 数 学
[答案]
90°
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
人 教 B 版 数 学
又由 b>a，知 B>A， ∴ 30° <B<180° ，∴ B＝ 90° . ∴ C＝ 180° －(A＋ B)＝ 180° － (30° ＋90° )＝60° . ∴ c＝ b2－ a2＝ 162－ 82＝ 8 3.
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
在△ ABC 中，a＝ λ，b＝ 3λ，∠ A＝ 45° ，则满足此 条件的三角形个数是( A． 0 C． 2 ) B． 1 D．无数个
解三角形
正弦定理的综合应用
[例 2] 在△ABC 中，已知∠ B＝ 60° ， tanAtanC＝ 2 ＋ 3，又知顶点 C 的对边 c 上的高为 4 3，求三角形三边 的长． [分析 ] 由已知件不难求出 tanA 和 tanC，从而求出 4 3 4 3 ∠ A 和∠ C，然后根据边 c＝ ＋ 进而问题得解． tanA tanB
人 教 B 版 数 学
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
人 教 B 版 数 学
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
一、选择题 1．在△ABC 中，a＝ 80，b＝ 100，A＝ 45° ，则此三 角形解的情况是( A．一解 C．一解或两解 ) B．两解 D．无解
高中数学《1.1.2余弦定理》学案 新人教A版必修
高中数学《1.1.2余弦定理》学案新人教A版必修1、1、2余弦定理编者：校审：组长：一、[学习关键词]1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理、2、能运用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题、二、[课前自主梳理]如图所示，在直角坐标系中，若A(0,0)，B(c,0)，C()、利用两点间距离公式表示出|BC|，化简后会得出怎样的结论？解三、[课堂合作研习]例1 （1）中，已知，求边、（2）已知中，，求最大角和、例2 在中，,,分别是角的对边，已知，且，求的大小及的值。
例3 在中，若，试判断三角形的形状、[巩固练习]1、在中，，则角为（）A、60B、45或135C、120D、302、在中，的对边分别为a，b，c，若>0，则（）A、一定是锐角三角形B、一定是直角三角形C、一定是钝角三角形D、是锐角或直角三角形3、在中，，则的最小角为（）A、B、C、D、4、在△ABC中，，则三角形的面积等于、5、已知三角形的两边分别为4和5，它们夹角的余弦是方程的根，则第三边长是、6、如图所示，在中，AB=5，AC=3，D为BC的中点，且AD=4，求BC边的长、1、1、2余弦定理[强化训练]1、在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于()A、1B、C、2D、42、在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )A、B、C、D、3、在△ABC中，若(a2＋c2－b2)＝ac，则角B的值为( )A、B、C、或D、或4、在△ABC中，sin2＝，则△ABC的形状为()A、正三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰三角形5、如下图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD、已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min、若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径为()A、50 mB、45 mC、50mD、47 m6、三角形三边长分别为a，b，(a>0，b>0)，则最大角为________、7、在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120，求三边的长、8、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1、(1)求角C的度数；(2)求AB的长；9、如图，已知圆内接四边形ABCD的各边长分别为AB＝2，BC ＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积、1、1、2余弦定理[强化训练答案]1、答案C解析bcos C＋ccos B＝b＋c＝＝a＝2、2、答案B解析∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，∴cos B＝＝＝、3、答案 D 解析由(a2＋c2－b2)tan B＝ac得＝，即cos B＝，∴sin B＝，又B为△ABC的内角，所以B为或、4、答案B解析∵sin2＝＝，∴cos A＝＝，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形、5、答案C解析依题意得OD＝100 m，CD＝150 m，连接OC，易知∠ODC＝180－∠AOB＝60，因此由余弦定理有：OC2＝OD2＋CD2－2ODCDcos∠ODC，即OC2＝1002＋1502－2100150，解得OC＝50(m)、6、答案120解析易知：>a，>b，设最大角为θ，则cos θ＝＝－，又0<θ<180，∴θ＝120、7、解由得∴a>b>c，∴a2＝b2＋c2－2bccos120，即(b ＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)(－)，即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10，此时a＝14，c＝6、8、解(1)∵cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，且C∈(0，π)，∴C＝、(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，∴∴AB2＝b2＋a2－2abcos120＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB ＝、9、解连接AC、∵B＋D＝180，∴sin B＝sin D，cos D＝－cosB、∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ABBCsin B＋ADDCsin D＝14sinB、由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos B＝AD2＋DC2－2ADDCcos D，∴56cos B＝8，cos B＝、∵0<B<180，∴sin B＝＝、∴S四边形ABCD＝14sin B＝8、。
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3 若 0≤4t≤3，即 0≤t≤ (点 P 在 OA 之间)时， 4 |OP|＝3－4t，|OQ|＝1＋4t，从而 2 2 2 |PQ| ＝(3－4t) ＋(1＋4t) －2(3－4t)(1＋4t)cos 60° ； 3 若 4t＞3，即 t＞ (点 P 在点 O 左边)时，|OP| 4 ＝4t－3，|OQ|＝1＋4t， ∠POQ＝180° －60° ＝120° ， 从而 |PQ| ＝ (4t－3) ＋ (1＋4t) －2(4t－3)(1＋ 4t)· 120° cos .
1.1.2 余弦定理习题课
湖南省耒阳市振兴学校 高中数学老师欧阳文丰制作
复习巩固
1.余弦定理是解三角形的一重要工具 b2＋c2－a2 ; c2=a2＋b2－2abcosC; cosA＝ 2bc c2＋a2－b2 ; b2=c2＋a2－2cacosB; cosB＝ 2ca a2＋b2－c2 a2=b2＋c2－2bccosA; cosC＝ . 2ab 2.余弦定理可解以下两种类型的三角形：
1 则 － ≤cosα<0 ， 由 余 弦 定 理 得 cosα ＝ 2 a2＋a＋12－a＋22 a－3 ＝ ， 2a 2· aa＋1 1 a－3 3 ∴－ ≤ <0，解得 ≤a<3. 2 2a 2
2、 已知△ABC的三内角A、B、C成等差，而A、B、 C三内角的对边a、b、c成等比.试证明：△ABC为正 三角形.
(3)求出发后何时两人相距最近？
【分析】
离．
利用余弦定理可求得甲乙间的距
【解】
在△AOB 中，由余弦定理得
|AB|2＝|OA|2＋|OB|2－2· |OA|· |OB|· 60° cos ＝32＋12－2×3×1×cos 60° ＝7. ∴|AB|＝ 7 km. 即起初两人相距 7 km. (2)设甲、乙两人 t 小时后的位置分别是 P、Q， 则|AP|＝4t，|BQ|＝4t.
2 2 2
注意到上述两个式子实际上是统一的，所以 |PQ|2＝48t2－24t＋7， ∴|PQ|＝ 48t2－24t＋7，即 t 小时后两人相距 48t2－24t＋7 km. (3)由(2)得|PQ|＝ 12 48t－ ＋4， 4
1 ∴当 t＝ 小时，即在第 15 分钟时，|PQ|最小， 4 此时两人相距最近，最近距离为 2 km.
例2 在△ABC中，a、b、c分别是A、B、 C的对边，试证明：a=bcosC+ccosB
(这就是三角形中边角关系的又一重要定理，即射影定理.) 证明: 利用余弦定理，有 右边=
A c B b
D a
C
例题3、在△ABC中，边a＝1，b＝2，求A 的取值范围． 【分析】 根据题意可联想到运用余弦定理， 将已知条件代入余弦定理得到关于第三边的 一元二次方程，令其判别式不小于0即可求 解．
x 2 2 3x 2 0 的两个根，且
2cos（A+B）=1，求：（1）角C的度数； （2）AB的长度；（3）△ABC的面积。 解：（1）cosC = cos [ （A+B）]
1 = cos（A+B）= ， 2
∴ C=120；
a b 2 3 （2）由题设： ab 2
∴
AB2 AC 2 BC 2 2 AC BC cosC
a b 2ab cos120 a b ab
2 2
2
2
(a b) ab (2 3) 2 10，
2 2
即：AB=
10 ；
1 1 1 3 3 = （3）S ABC 2 bsin C 2 absin 120 2 2 2 2
【点评】
(1)本题难点在于甲乙两人前进的方
向与点O的关系，甲在点O的左边还是右边所 用图形是不一样的，从而引起了讨论．因此， 在解应用题时，一定要仔细动脑分析题意，不 要盲目地画出图形了事． (2)求起初两人的距离就是已知两边和它们的夹 角求第三边的问题．解答第(2)问，要注意两人 行走的位置变化，夹角不同，要讨论．
又∵B=60o，∴△ABC是正三角形.
3、如图，有两条相交在60°的直线xx′与yy′，
交点是O，甲、乙分别在Ox、Oy上A、B处，
起初甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来
两人同时用每小时4 km的速度，甲沿xx′的
方向，乙沿y′y的方向步行．
(1)起初两人相距多远？
(2)用含t的式子表示t小时后两人之间的距离；
证明： ∵A、B、C成等差，∴2B=A+C， 又A+B+C=180o，∴B=60o，A+C=120o ∵a、b、c成等比，∴b2=ac 又由余弦定理得：
b2 a 2 c 2 2ac cos B a 2 c 2 2ac cos60 a 2 c 2 ac 2 2 2 ∴ ac a c ac ，即 (a c) 0 ，∴a=c
【解】 将 a＝1，b＝2 代入 a2 ＝b2 ＋c2 － 2bccosA， 整理得 c2－4ccosA＋3＝0， 因为关于 c 的方程有实数解， 所以 Δ＝16cos2A－12≥0， 3 3 解得 cosA≥ ，或 cosA≤－ . 2 2 3 但由于 a＜b，所以 A 为锐角，只有 cosA≥ ， 2 π 故 A 的取值范围是(0， ]． 6
（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边及夹角，求第三边和 其他两个角.
(3)判断三角形的形状
得到的结论： 在三角形ABC中，
A 90 a 2 b 2 c 2 A 90 a 2 b 2 c 2 A 90 a b c
2 2 2
例1、在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程
【点评】
本题除了根据余弦定理求解，还可
以根据正弦定理转化为由B的范围求A的范围， 方法也很巧妙，你不妨一试．
课后提升练习题
1、 钝角三角形的三边长分别为a，a＋1，a
＋2，其最大内角不超过120°，求a的取值范
围．
a>0 解：易知 ，即 a>1，又三角 a＋a＋1>a＋2
形为钝角三角形， 设最大边 a＋2 所对应角为 α，