大物 高斯定理

德国数学家、 德国数学家、物理 学家、 学家、天文学家
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格丁根大学教授和天文台台长 主要成就有高斯定理， 。主要成就有高斯定理，高斯 光学，高斯分布， 光学，高斯分布，高斯二项式 定理，散度定理等等。 定理，散度定理等等。
2.高斯定理的证明 2.高斯定理的证明 点电荷产生的电场, 1). 点电荷产生的电场,高斯面为球面
i 0 0
ρ (r )
o
4π 5 Ka ∴ E 4π r = 5ε 0
2
4π Ka 5 = 5
r
S
a
Ka E= 2 5ε 0 r
5
20
作
业
7.14、7.18、7.20、 、 、 、 7.22
21
ρ (r )
o
r
S
r<a:
i
∫ E ⋅ dS = E ∫ dS = E 4πr
S
r
a a
2
∑ q = ∫ ρdV = ∫
i
0
4 Kr ′ 4πr ′ dr ′ = Kπr 5 5
2 2
S
1 4 Kr 5 由高斯定理： 由高斯定理： E 4πr = K πr E = ε0 5 5ε 0
2
3
19
r>a: a a 2 qi = ∫ ρ 4πr ′ dr ′ = ∫ Kr ′ 2 4πr ′ 2 dr ′ ∑
2.
若通过一闭合曲面的 则此闭合曲面上的
（2）处处为零。 处处为零。
通量为零， 通量为零，
ε0
（1）为零，也可能不为零。 为零，也可能不为零。
11
7.6 利用高斯定律求静电场的分布
例1 均匀带电球壳 总电量为 Q 内外半径R 内外半径 1R2 求：电场强度分布 电荷分布球对称， 解:电荷分布球对称，故场强分布球对称 方向沿径向 ∴取过场点的以球心O为心的球面 过场点的以球心 为心的球面 先从高斯定理等式的左方入手 先计算高斯面的电通量
r > R2
E3 =
Q
4πε 0 r
2
Q( r − R1 ) E2 = 3 3 2 4πε 0 r ( R2 − R1 )
3
13
E1 = 0
讨论： 讨论：
Q( r − R1 ) E2 = 3 3 2 4πε 0 r ( R2 − R1 )
3 3
Q
Q
2
E3 =
1) R1 → 0 均匀带电球体 E Qr Q E内 = E外 = 3 2 4πε 0 r 4πε 0 R2 2) R1 → R2 均匀带电球面 E Q E外 = E内 = 0 2 4πε 0 r
4
二、电通量Φe 电通量 1） dS ）
通过任一面的电场线条数
⊥ 场强
dΦe = EdS
dS
d 2） S 与 场强 有夹角 θ ）
n
θ
E
dΦe = EdS cosθ = E ⋅ dS
dS ⊥
θ
E
dS
5
3）通过任意曲面的电通量 ） 将曲面分割为无限多个面 称为面积元矢量 元，称为面积元矢量
nθ
E
dS
∫∑
S i
S
i
S
i
ε0
+ +
说明
+
1.闭合面内 1.闭合面内、外电荷 对E 都有贡献 闭合面 有贡献的只有面内 对电通量∫ E ⋅ dS 有贡献的只有面内电荷 2.静电场性质的基本方程 2.静电场性质的基本方程
S
有源场
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∫
S
E ⋅ dS =
∑q
i
i内
ε0
q
1.一个点电荷q所产生的电场线的条数是多少？ 1.一个点电荷q所产生的电场线的条数是多少？ 一个点电荷
4πε 0 r
R
r
R
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r
例2 均匀带电的无限长的直线 对称性的分析 取合适的高斯面 计算电通量 E ⋅ d s = ∫ E ⋅ ds + ∫
线密度 λ
•
r P dE
•
∫
S
∫ E ⋅ ds
两底面
侧面
= E 2πrl + 0
利用高斯定理解出 E
•
1
λl E 2πrl = ε0
E=
λ
ds r
l
2πε 0 r
S’ 由于电场线的连续性 ， 穿过闭 由于电场线的连续性，
合曲面S’和穿过球面 的电场线 合曲面 和穿过球面S的电场线 和穿过球面 数目是一样的， 因此通过闭曲 数目是一样的 ， q 面的电通量值也等于 。 ε0 9
∴ Φe = 0
3).一般情况： 3).一般情况： 一般情况 ∑ q i内 E ⋅ dS = i 任意电荷系产生的电场, 任意电荷系产生的电场, ∫ ε0 S 高斯面为任意闭合曲面 qi内 证毕 E ⋅ dS = ( E i ) ⋅ dS = ∑ ( ∫ E i ⋅ dS ) = ∑ ∫
ds
E
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均匀带电无限大平面的电场. 例3 均匀带电无限大平面的电场 对称性分析：电场分布具有面对称性，方向沿法向。 解： 对称性分析：电场分布具有面对称性，方向沿法向。 作高斯面：作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面， 作高斯面：作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面， 底面积为S，两底面到带电平面距离相同。 底面积为 ，两底面到带电平面距离相同。
2
+
负电荷 正电荷
++ ++ + + + + +
带电平行板电容器
+
一对等量异号电荷
+
+
一对等量同号电荷
2.电场线的性质 2.电场线的性质
电场线起始于正电荷 或无穷远） 起始于正电荷（ 1) 电场线起始于正电荷（或无穷远）、终止于负电 或无穷远） 不会形成闭合曲线； 荷（或无穷远） ， 不会形成闭合曲线； 两条电场线不会相交； 2) 两条电场线不会相交； 不会相交 3)电场线为假想的线,电场中并不存在； 3)电场线为假想的线 电场中并不存在； 电场线为假想的线, 电场是连续分布的，分立电场线只是一种形象 电场是连续分布的，分立电场线只是一种形象 化的方法
Φe = ∫ E⋅ dS= ∫ E ⋅ dS = E ∫ dS =
S
S
∫ E ⋅ dS =
S
∑q
i
i内
S
⋅ 4π r = 2 4πε0 r ε0
2
q
q
ε0
dS
点电荷产生的电场, 2). 点电荷产生的电场, 高斯面为任意闭合曲面 S
dS
E
E
q
+
r
Φe = ∫ E⋅ dS =
S
q
q r
ε0
+
面外： 若q在S面外： 在 面外
∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ dS = 2ES
s
高斯面内电荷
∑q = σS
两底
S
E E
由高斯定理得
2ES = σS / ε0
σ E= 2ε0
σ
16
34推广
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分布具有某种对称性的情况下 具有某种对称性 对 Q 分布具有某种对称性的情况下 利用高斯定理解 E较为方便 常见的电量分布的对称性： 常见的电量分布的对称性： 球对称 轴对称 均匀带电的 无限长 球壳 球体 球面 (点电荷) 点电荷) 带电线 柱体 柱面 面对称 无限大 平面 平板 高斯面的选取： 高斯面的选取： 1）选规则闭合曲面 ） 2）面上： ）面上： 一部分面上： 为常量， 一部分面上： 为常量， E E 与 dS 有固定夹角 剩下的面上： 剩下的面上： E = 0 或 E ⊥ dS E ⋅ dS = 0
dΦe = E ⋅ d S Φe = ∫ E ⋅ dS
S
电通量可正也可负
θ < 900 ， Φ e > 0, θ > 90 0 ， Φ e < 0,
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4）通过闭合曲面的电通量 ）
φe=
∫
S
E ⋅ dS
n
规定自内向外为面元的法向 规定自内向外为面元的法向 自内向外 电场线穿出，电通量为正 电场线穿出，电通量为正， 穿出 电场线穿入 电通量为负 穿入， 电场线穿入，电通量为负。 穿进=穿出) Φe = ∫ E ⋅ dS = 0（穿进=穿出)
S

n
表明闭合曲面内无净电荷
7
7.6 高斯定理 一、高斯定理
1.表述 在真空中的静电场内， 1.表述 在真空中的静电场内， 通过任一闭合面 闭合面所包围的电 通过任一闭合面 这闭合面所包围的电 量的代数和除以 除以ε 量的代数和除以ε0。 的电通量
∫
S
E ⋅ dS =
∑q
i
i内
ε0
高斯 (1777-1855)
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已知: 半径为 a 的带电球 电荷体密度ρ=Kr2, 的带电球,电荷体密度 电荷体密度ρ 例4. 已知 其中 r 是球心到体内任一点的距离 ρ (r ) 球内外场强的大小? 求:球内外场强的大小 球内外场强的大小 电荷球对称分布， 解：电荷球对称分布，故电场 球对称分布， 球对称分布，方向沿径向 作高斯球面如图示
一、电场线 1.形象描述场强分布的一组 形象描述场强分布的一组有向空间曲线 1.形象描述场强分布的一组有向空间曲线 场强 电场线 方向 切线方向 大小 电场线密度 E = ∆N ∆S⊥ Eb =穿过垂直于场强方向的 穿过垂直于场强方向 穿过垂直于场强方向的 ∆S⊥ b 单位面积的电场线数目
Ea
E
a
几种带电体的电场线分布图如下： 几种带电体的电场线分布图如下：
上 次 课 内 容：
电荷 q 1
电荷 q 2