四升五数学暑假奥数班第13讲 尾数与完全平方数
2018最新五年级奥数.数论.完全平方数(C级).学生版
完全平方数知识框架一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。
2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质-，因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且21|n p N则2|n p N．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．二、一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
三、重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点【例1】已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是。
小学数学毕业总复习知识：完全平方数知识点总结
小学数学毕业总复习知识：完全平方数知识点总结
基础教育一直是最受学校和家长关注的，最为基础教育重中之重的初等教育，更是得到更多的重视。
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小学数学毕业总复习知识：完全平方数
完全平方数
完全平方数特征：
1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2. 除以3余0或余1;反之不成立。
3. 除以4余0或余1;反之不成立。
4. 约数个数为奇数;反之成立。
5. 奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。
6. 奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。
7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：_2-Y2=(_-Y)(_+Y)
完全平方和公式：(_+Y)2=_2+2_Y+Y2
完全平方差公式：(_-Y)2=_2-2_Y+Y2
小升初考试是小学生进入初等重点初中院校的一次重要考试，希望大家都能够认真复习，同时也希望我们准备的小学数学毕业总复习知识能让大家在小升初的备考过程助大家一臂之力!。
(小学奥数)完全平方数及应用(二)
1. 學習完全平方數的性質；2. 整理完全平方數的一些推論及推論過程3. 掌握完全平方數的綜合運用。
一、完全平方數常用性質1.主要性質 1.完全平方數的尾數只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在兩個連續正整數的平方數之間不存在完全平方數。
3.完全平方數的約數個數是奇數，約數的個數為奇數的自然數是完全平方數。
4.若質數p 整除完全平方數2a ，則p 能被a 整除。
2.性質性質1：完全平方數的末位數字只可能是0，1，4，5，6，9．性質2：完全平方數被3，4，5，8，16除的餘數一定是完全平方數．性質3：自然數N 為完全平方數⇔自然數N 約數的個數為奇數．因為完全平方數的質因數分解中每個質因數出現的次數都是偶數次，所以，如果p 是質數，n 是自然數，N 是完全平方數，且21|n p N -，則2|n p N ．性質4：完全平方數的個位是6⇔它的十位是奇數．性質5：如果一個完全平方數的個位是0，則它後面連續的0的個數一定是偶數．如果一個完全平方數的個位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一個．性質6：如果一個自然數介於兩個連續的完全平方數之間，則它不是完全平方知識點撥教學目標5-4-5.完全平方數及應用（二）數．3.一些重要的推論1.任何偶數的平方一定能被4整除；任何奇數的平方被4（或8）除餘1.即被4除餘2或3的數一定不是完全平方數。
2.一個完全平方數被3除的餘數是0或1.即被3除餘2的數一定不是完全平方數。
3.自然數的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方數個位數字是奇數（1，5，9）時，其十位上的數字必為偶數。
5.完全平方數個位數字是偶數（0，4）時，其十位上的數字必為偶數。
6.完全平方數的個位數字為6時，其十位數字必為奇數。
7.凡個位數字是5但末兩位數字不是25的自然數不是完全平方數；末尾只有奇數個“0”的自然數不是完全平方數；個位數字為1，4，9而十位數字為奇數的自然數不是完全平方數。
小学奥数 完全平方数 知识点+例题+练习 (分类全面)
11112=1234321
一、“平方族”成员典型特征一：个位是0，1，4，5，6，9。
例：下面是一个算式：1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6。这个算式的得数能否是某个数的平方。
巩固、一天，一个小骗子在街上招摇撞骗，声称自己是完全平方数，只见此人长得这个模样：A＝1＋1×2＋1×2×3＋…＋1×2×3×…×100，小帅侠偶指奇约一眼就瞅出了这家伙的可疑之处，你发现了吗？
五、平方差公式的运用
例1、一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
巩固、能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
1、1＋1×2＋1×2×3＋…＋1×2×3×…×50是不是一个完全平方数
2、 是由2000个“4”组成的多位数， 是不是某个自然数 的平方？如果是，写出 ；如果不是，请说明理由．
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
3、一个数减去14，加上17都是一个完全平方数，求这个数
4、22+42+62+82+102+122+142+……2002除以4的余数是
5、12+22+32+42+52+62+72+……2002除以3的余数是
6、1234321×81是的平方
上海奥数精讲 第13讲讲义 完全平方数(学生版)
1、平方数尾数的性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是
0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位
2．平方数的余数有下面的性质：
⑴偶数的平方被4整除；
⑵奇数的平方被8除时余数为1，因而被4除时余数也为1。
教学目标
1、 掌握平方数的因数与余数的性
质； 2、 初步体会用尾数分析法，因数分
析法，余数分析法解有关整数的问题。
3、 提高分析能力与解题能力。
完全平方数
引入
例1
揿动一次(这时编号为偶数的所有的灯全熄灭
环节二：
环节一： 引入
环节三：例2
环节四：例3
环节五：
平方数尾数的性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
例4
环节五：例5
环节六：
、全课你学到了什么？
【练习1】在100～200之间的整数里，因数个数为奇数的都有哪些？。
五年级奥数讲义第13讲--长方体和正方体(一)
五年级奥数讲义第13讲--长方体和正方体(一)work Information Technology Company.2020YEAR第13讲长方体和正方体（一）一、知识要点在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。
解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
二、精讲精练【例题1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米表面积是多少平方厘米（单位：厘米）【思路导航】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。
因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。
想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？练习1：1.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。
3.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？【例题2】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗（单位：厘米）【思路导航】（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）；（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。
上海奥数精讲 第13讲课件 完全平方数(教师版)
教具准备1、课件:1）PPT；2）“引入”部分、和“例3”、“例7”falsh动画。
教学难点初步体会用尾数分析法，因数分析法，余数分析法解有关整数的问题，提高分析能力与解题能力。
教学重点掌握平方数的因数与余数的性质；教学目标1、掌握平方数的因数与余数的性质；2、初步体会用尾数分析法，因数分析法，余数分析法解有关整数的问题，提高分析能力与解题能力。
第13讲完全平方数内容概述1．平方数的因数有下面的一些性质：（1）平方数的因数的个数必为奇数；反之，恰有奇数个因数的数必为平方数。
（2）若p是平方数M的因数，则2p也是M的因数，且2/M p仍为平方数。
2、平方数尾数的性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
3．平方数的余数有下面的性质：⑴偶数的平方被4整除；⑵奇数的平方被8除时余数为1，因而被4除时余数也为1。
引入教学过程教学目标：激发学生学习兴趣。
房间里有100盏灯,用1, 2 ,…,100编号,每盏灯连着一个开关,开始时所有的灯全都不亮.有100名同学依次进入房间,第一位进入房间的同学把编号为1的倍数的灯的开关揿动一次(这时所有的灯全亮着); 第二位进入房间的同学把编号为2的倍数的灯的开关揿动一次(这时编号为偶数的所有的灯全熄灭); 第三位进入房间 的同学把编号为3的倍数的灯的开关揿动一次,…,如此下去,直到最后一位进入房间的同学把编号为100的倍数的灯的开关揿动一次.问:这时,房间里哪些灯亮着?【讲解过程】1、 师生共同审题；2、 动画演示，激发兴趣；3、 教师启发学生思考：师：这个问题看起来似乎有些不知从何着手，但若注意到一盏灯亮或不亮，与这盏灯的开关揿动的次数的奇偶性有关：原来不亮的灯，若开关揿动奇数次，则将变亮；开关揿动偶数次，则仍然不亮。
小学奥数 完全平方数 知识点+例题+练习 (分类全面)
二、完全平方数的等价条件：奇数个因数
注：计算一个数的因数先把这个数分解质因数，然后把不同质因数的个数加1以后再相乘所得的乘积就是因数的个数
例如:12=2×2×3
12的质因数2有2个,质因数3有1个因数个数:(2+1)×(1+1)=6个
180=2×2×3×3×5
2．完全平方数的约数一定有奇数个；有奇数个约数的数一定是完全平方数。
3. 奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数
完全平方数除以3的余数只可能为为0或1；
完全平方数除以4的余数只可能为为0或1；
偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1。
（二）一些推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
巩固、已知m，n都是自然数，且n2 126m，则n的最小值为。
四、“平方族”成员典型特征二：除以3或4只能余0或1
注：奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除
例1、形如11，111，1111，11111，…的数中有没有完全平方数？
巩固、A是由2018个“4”组成的多位数，即444444……（2018个4），A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．
961、 3364、1111111、1521、 1234321、 1849、 89234
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4升5暑假奥数
第1讲 长方形、正方形的周长 讲义长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长×4。
例1、有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，这个图形的周长是多少？练习1：1.在（ ）里填上“＞”、“＜”或“=”。
甲的周长（ ）乙的周长2.有两个相同的长方形，长10厘米，宽4厘米，如下图重叠着，求重叠图形的周长。
3.求下面图形的周长（单位：厘米）。
74.下图由1个正方形和2个长方形组成，求这个图形的周长。
例2、有5张同样大小的纸如下图重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。
练习2：1.有6块边长是2厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形的周长。
50cm2.下图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。
例3、下图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。
练习3：1.求下面图形的周长（单位：厘米）。
2.下面是一个零件的平面图，图中每条短线段都是5厘米，零件长35厘米，高30厘米。
这个零件的周长是多少厘米？例4、已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？练习4：1. 图中长方形的长a厘米,宽b厘米,在这个长方形中剪下一个最大的正方形,剩下图形的周长是（）厘米。
（用字母a、b表示）2.有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。
3.下面三个正方形的面积相等，剪去阴影部分的面积也相等，求原来正方形的周长发生了什么变化？（单位：厘米）例5、一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。
现在这块木板的周长是多少厘米？练习5：1.一个长12厘米，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图（1）所示长方形，求所拼长方形的周长。
2.如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最大的长方形的周长。
13北京版小五奥数教材课程十三、完全平方数
课程十三完全平方数1.完全平方数的基本概念2.完全平方数的性质3.判断完全平方数的方法一个自然数自乘所得的积称为完全平方数，100以内的完全平方数（又 称平方数）是0、1、2×2=4、3×3=9、4×4=16、5×5=25、6×6=36、7×7= 49、8×8=64、9×9=81共10个。
平方数有一些特别的性质，可以解决一些 有趣的问题：少年宫游戏厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗， 闪烁不停。
这200个灯泡按1～200编号，它们每过1秒变化一下自己的明 暗状态。
开始时，全部灯泡是暗的。
第1秒，全部灯泡是亮着的；第2秒，凡编号为2的倍数的灯泡改变自己的明暗状态，即变暗； 第3秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变自己的明暗状态：明的变暗，暗 的变明，……，依此类推，第n 秒钟，凡编号为n 的倍数的灯泡改变原来的 明暗状态，每200秒钟为一周期，即到201秒时，全部灯泡大放光明，然 后继续上述规则改变原来的状态。
问：第200秒时，明亮的灯泡有多少？ 事实上，每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时，它还保持原来的明暗 状态；如果变化次数为奇数次时，则明暗状态发生改变，原来明亮的灯泡学习目标重 点将变暗，原来不亮的灯泡将变明亮。
由于平方数的不同约数个数为奇数，从第2秒开始（此时，偶数编号灯泡变暗，奇数编号灯泡是亮的）起到200秒止，中间的平方数有4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196，在这些秒时，同样编号的灯泡由暗变明，加上1号灯泡始终是亮的，共14个灯泡是亮的。
（2）完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
（3）凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数。
（4）末尾只有奇数个0的自然数不是完全平方数。
（5）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
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尾数与完全平方数
月 日 姓 名
【知识要点】
尾数问题常用到的结论：
（1）相邻两个自然数乘积的个位数字只能是0，2，6。
（2）完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
【典型例题】
例1 求3＋33＋333＋…＋
”个“320063333的和的末一位数是几？末两位是几？
例2 求999888777999888777⨯⨯的尾数是多少？
例3 987654321987654321++++++++的个位数字是多少？
例4 199加上一个两位数，使结果是完全平方数，这样的两位数一共有几个？
例5 已知有3个数：1□9，3□32，6□6其中哪几个可以写成完全平方数？
随堂小测
姓 名 成 绩
1．8＋88＋888＋…＋
”个“8200688888和的个位是几？末两位是几？
2．求199713的尾数是几？
3．2002200120001975⨯⨯的尾数是几？
4．有一道算式：123456……19202122＋12345678……787980。
小明经过计算后，说这个算式的答案是一个完全平方数，你对此有什么看法？为什么？
5．把1，2，3，4，5，6，7，8，9按另一顺序填在下表的第二行的空格中，使得每两个上、下对齐的数的和都是平方数。
★6．求1×2×3×4×……×29的倒数第6位数是多少？
课后作业
姓名成绩家长签名
1．求1998199742+的个位数是几？
2．求333222222111⨯的尾数是几？
3．6＋66＋666＋…＋
”
6“1006666个的个位数是几？
4．下面是一个算式：1＋1×2＋1×2×3＋1×2×3×4＋1×2×3×4×5＋1×2×3×4×5×6这个算式的得数能否是某个数的平方？
5．已知四个数：35□2，3□57，3□36其中哪几个数可以写成完全平方数？。