万有引力定律及其应用(1)
高考物理万有引力定律的应用解题技巧分析及练习题(含答案)(1)
高考物理万有引力定律的应用解题技巧分析及练习题(含答案)(1)一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1．人类第一次登上月球时，宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一个高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h 处下落，经时间t 落到月球表面．已知引力常量为G ，月球的半径为R ． （1）求月球表面的自由落体加速度大小g 月；（2）若不考虑月球自转的影响，求月球的质量M 和月球的“第一宇宙速度”大小v ．【答案】（1）22h g t =月 （2）222hR M Gt=；2hRv t= 【解析】 【分析】（1）根据自由落体的位移时间规律可以直接求出月球表面的重力加速度；（2）根据月球表面重力和万有引力相等，利用求出的重力加速度和月球半径可以求出月球的质量M ； 飞行器近月飞行时，飞行器所受月球万有引力提供月球的向心力，从而求出“第一宇宙速度”大小． 【详解】（1）月球表面附近的物体做自由落体运动 h ＝12g 月t 2 月球表面的自由落体加速度大小 g 月＝22h t （2）若不考虑月球自转的影响 G 2MmR ＝mg 月 月球的质量 222hR M Gt＝ 质量为m'的飞行器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动m ′g 月＝m ′2v R月球的“第一宇宙速度”大小 2hRv g R t月＝＝ 【点睛】结合自由落体运动规律求月球表面的重力加速度，根据万有引力与重力相等和万有引力提供圆周运动向心力求解中心天体质量和近月飞行的速度v ．2．某航天飞机在地球赤道上空飞行，轨道半径为r ，飞行方向与地球的自转方向相同，设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，在某时刻航天飞机通过赤道上某建筑物的上方，求它下次通过该建筑物上方所需的时间． 【答案】203t gR r ω=-或者202t gR r ω=-【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出角速度的表达式，卫星再次经过某建筑物的上空，比地球多转动一圈．解：用ω表示航天飞机的角速度，用m 、M 分别表示航天飞机及地球的质量，则有22Mm Gmr r ω= 航天飞机在地面上，有2mMG R mg =联立解得ω=若ω>ω0，即飞机高度低于同步卫星高度，用t 表示所需时间，则ωt －ω0t ＝2π所以t =若ω<ω0，即飞机高度高于同步卫星高度，用t 表示所需时间，则ω0t －ωt ＝2π所以t =． 点晴：本题关键：（1）根据万有引力提供向心力求解出角速度；（2）根据地球表面重力等于万有引力得到重力加速度表达式；（3）根据多转动一圈后再次到达某建筑物上空列式．3．据每日邮报2014年4月18日报道，美国国家航空航天局目前宣布首次在太阳系外发现“类地”行星.假如宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测：该行星自转周期为T ；宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h 处自由释放-个小球(引力视为恒力)，落地时间为.t 已知该行星半径为R ，万有引力常量为G ，求：()1该行星的第一宇宙速度； ()2该行星的平均密度．【答案】(()231 2?2hGt R π． 【解析】 【分析】根据自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力，求出质量与运动的周期，再利用MVρ=，从而即可求解． 【详解】()1根据自由落体运动求得星球表面的重力加速度212h gt =解得：22h g t =则由2v mg m R=求得：星球的第一宇宙速度22hv gR R t ==， ()2由222Mm hG mg m Rt==有：222hR M Gt= 所以星球的密度232M h V Gt R ρπ== 【点睛】本题关键是通过自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力和万有引力等于重力求解．4．宇航员在某星球表面以初速度2.0m/s 水平抛出一小球，通过传感器得到如图所示的运动轨迹，图中O 为抛出点。
万有引力定律及其应用
万有引力定律及其应用万有引力定律是物理学中最基本的定律之一，描述了物体之间相互作用的力，被广泛应用于天体运动、地球运行、航天探索等领域。
本文将介绍万有引力定律的定义与公式，并探讨其在宇宙学、卫星运行和导航系统中的应用。
一、万有引力定律的定义和公式万有引力定律是由艾萨克·牛顿于1687年提出的，它描述了两个物体之间的引力大小与它们的质量及距离的关系。
牛顿的万有引力定律可以用以下公式表示：F =G * (m1 * m2) / r^2其中，F表示两个物体之间的引力，G是万有引力常数，m1和m2分别是两个物体的质量，r是它们之间的距离。
二、万有引力定律在宇宙学中的应用万有引力定律在宇宙学中起着重要作用。
根据该定律，行星围绕太阳运行，卫星绕地球运行，这是因为太阳和地球对它们产生了引力。
通过牛顿的定律，科学家们能够计算出天体之间的引力，从而预测它们的运动轨迹和相互作用。
世界各个国家的航天探索也依赖于万有引力定律。
比如，计算出行星和卫星的运动轨迹，对航天器进行准确的发射和着陆，都需要准确地应用万有引力定律。
此外，万有引力定律还促进了科学家对宇宙的进一步研究，帮助他们了解天体的形成和宇宙演化的规律。
三、万有引力定律在卫星运行中的应用卫星是应用万有引力定律的典型实例。
通过牛顿定律计算引力，可确定卫星轨道的稳定性和运行所需的速度。
在卫星发射前，科学家需要根据卫星要达到的轨道高度和地球质量计算出所需的发射速度，确保卫星能够稳定地绕地球运行。
此外，卫星之间也需要遵循万有引力定律的规律。
卫星在轨道上的相对位置和轨道调整都受到引力的影响。
科学家利用牛顿定律的公式，预测卫星之间的相对运动，确保卫星不会相互碰撞，从而保证卫星系统的正常运行。
四、万有引力定律在导航系统中的应用导航系统是现代社会不可或缺的一部分，而万有引力定律在导航系统中也发挥着关键作用。
通过利用地球的引力场，导航系统能够计算出接收器的位置和速度。
卫星导航系统如GPS（全球定位系统）就是基于万有引力定律工作的。
第1讲万有引力定律及其应用
第1讲万有引力定律及其应用班级：姓名：1.开普勒行星运动定律(1)开普勒第一定律(轨道定律)：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个________上．(2)开普勒第二定律(面积定律)：对每一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的________相等．(3)开普勒第三定律(周期定律)：所有行星的轨道的________的三次方跟它的________的二次方的比值都相等．2.万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的________成正比，与它们之间距离r的________成反比．(2)公式：F＝G m1m22/kg2，叫万有引力常量．r2，其中G＝________N·m(3)适用条件：公式适用于________间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点，r为两物体间的距离．1、火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知()A.太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的三次方D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积2、“嫦娥二号”探月卫星于2010年10月1日成功发射，目前正在月球上方100km的圆形轨道上运行．已知“嫦娥二号”卫星的运行周期T、月球半径R、月球表面重力加速度g、万有引力恒量G.根据以上信息可求出()A.卫星所在处的加速度B.月球的平均密度C.卫星线速度大小D.卫星所需向心力3、一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运动周期为T，速度为v，引力常量为G，则()A.恒星的质量为v3T2πGB.行星的质量为4π2v3GT2C.行星运动的轨道半径为vT2πD.行星运动的加速度为2πvT4、如图所示，两质量相等的卫星A 、B 绕地球做匀速圆周运动，用R 、T 、E k 、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的是()A.T A >T BB .E k A >E k BC .S A ＝S BD .R 3A T 2A ＝R 3B T 2B5、欧洲航天局的第一枚月球探测器——“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，用m 表示它的质量，h 表示它近月点的高度，ω表示它在近月点的角速度，a 表示它在近月点的加速度，R 表示月球的半径，g 表示月球表面处的重力加速度．忽略其他星球对“智能1号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于()A .maB .m R 2g （R ＋h ）2C .m(R ＋h)ω2D .m R 2ω2R ＋h6、“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为h 的圆形轨道上运行，运行周期为T.已知引力常量为G ，月球的半径为R.利用以上数据估算月球质量的表达式为()A .4π2R 3GT 2B .4π2（R ＋h ）GT 2C .4π2（R ＋h ）2GT 2D .4π2（R ＋h ）3GT 27、过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120，则该中心恒星与太阳的质量比约为()A.110B .1C .5D .108、宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原地．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R 星∶R 地＝1∶4，地球表面重力加速度为g ，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计．则()A .g′∶g ＝5∶1B .g′∶g ＝5∶2C .M 星∶M 地＝1∶20D .M 星∶M 地＝1∶80。
万有引力定律及其应用
万有引力定律及其应用万有引力定律是物理学中最基本的定律之一，由英国科学家牛顿提出。
它描述了质点间的相互引力作用，并广泛应用于天体物理学、工程学以及其他领域中。
一、万有引力定律的描述万有引力定律指出，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离平方成反比。
具体而言，设两个质量分别为m1和m2的物体之间的距离为r，它们之间的引力F可以表示为以下公式：F =G * (m1 * m2) / r^2其中G是一个常数，称为万有引力常数。
这个常数的数值约为6.67430 × 10^-11 N·(m/kg)^2。
根据万有引力定律，质点间的引力始终是吸引力，且大小与质量以及距离的关系密切。
二、天体物理学中的应用万有引力定律在天体物理学中有着广泛的应用。
例如，根据这一定律，我们可以计算出行星与恒星之间的引力，从而预测它们的运动轨迹。
此外，万有引力定律还可以解释地球和月球之间的引力，以及引力对行星、卫星等天体的影响。
在天体物理学中，还有一个重要的应用是质量测量。
通过监测天体之间的引力以及它们之间的距离，科学家可以估算出天体的质量。
例如，通过测量地球和人造卫星之间的引力，可以推导出地球的质量。
三、工程学中的应用除了天体物理学，万有引力定律在工程学中也有重要的应用。
例如，在建筑和桥梁设计中，工程师需要考虑结构物与地球之间的引力。
万有引力定律提供了一种计算这种引力的方法，以确保结构物的稳定性和安全性。
此外，万有引力定律还可以应用于导航系统的设计中。
卫星导航系统需要准确测量卫星与地球之间的引力，以确定接收器的位置。
通过使用万有引力定律进行引力计算，可以提高导航系统的准确性和可靠性。
四、其他领域中的应用除了天体物理学和工程学，万有引力定律还可以在其他领域中找到应用。
例如，在生物医学领域，研究人员可以利用万有引力定律来研究细胞之间的相互引力作用，以及人体内部的重力分布情况。
此外，在航天工程中，万有引力定律也被用于计算卫星轨道以及飞船的运行轨迹。
万有引力定律及其应用知识点总结
万有引力定律及其应用知识点总结
1、万有引力定律：，引力常量G=6.67×N·m2/kg2
2、合用条件：可作质点的两个物体间的互相作用;假如两个平均的球体 ,r 应是两球心间距 .(物体的尺寸比两物体的距离r 小得多时，能够当作质点 )
3、万有引力定律的应用： (中心天体质量 M, 天体半径 R, 天体表面重力加快度 g )
(1)万有引力 =向心力(一个天体绕另一个天体作圆周运动时，下边式中 r=R+h )
(2)重力 =万有引力
地面物体的重力加快度：mg = G g = G ≈9.8m/s2
高空物体的重力加快度：mg = G g = G <9.8m/s2
4、第一宇宙速度 ----在地球表面邻近 (轨道半径可视为地球半径)绕地球作圆周运动的卫星的线速度,在全部圆周运动的卫星中线速度
是最大的 .
由 mg=mv2/R 或由 = =7.9km/s
5、开普勒三大定律
6、利用万有引力定律计算天体质量
7、经过万有引力定律和向心力公式计算围绕速度
8、大于围绕速度的两个特别发射速度：第二宇宙速度、第三宇宙
速度 (含义 )
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万有引力定律ppt
旳引力大小相等时，这个飞行器距地心旳距离与距月
心旳距离之比为
。
【答案】9:1
第一节 万有引力定律
【例题】太阳系中旳九大行星均在各自旳轨道上绕太 阳运动，若设它们旳轨道为圆形，若有两颗行星旳轨
道半径比为R1 ：R2=2 ：1，他们旳质量比为 M1 ：M2=4 ：1，求它们绕太阳运动旳周期比T1： T2
地心说是长久盛行于古代欧洲旳宇宙学说。它最初由古希腊 学者欧多克斯在公元前三世纪提出，后来经托勒密进一步发 展而逐渐建立和完善起来。
第一节 万有引力定律 2.日心说：哥白尼(1473-1543) Nicolaus Copernicus
哥白尼
——波兰天文学家哥白尼经过近四年旳观察 和计算，于1543年出版了“天体运营论”正 式提出“日心说”。
第一节 万有引力定律
二.万有引力定律旳发觉
苹果为何会落地？
月球为何不会落到 地球上来呢？
假如苹果树长到月球那么高，苹果还会
落到地面吗？
月球为何不会落到地球上呢？是因为不 受到地球旳作用力吗？
假如月球不受力，它将做直线运动，
假如月球受重力，它将直接落到地面。
实际上，月球绕地球做圆周运动需要 向心力，正是地球对月球旳引力提供 了这个向心力
1、把行星绕太阳旳运动近似看成是匀速圆周运动，太
阳对行星旳万有引力是行星做圆周运动所需旳向心力
F
m
v2 r
又v
2r
T
F
4
2
(
r T
3 2
)
m r2
2、据开普勒第三定律知
r3 T2
k得F
4 2k
m r2
F
m r2
牛顿以为k是一种与行星
万有引力定律的应用(共11张PPT)
宇宙速度的计算
第一宇宙速度
根据万有引力定律，可以 计算出环绕地球运行的最 大速度，即第一宇宙速度。
第二宇宙速度
通过万有引力定律，还可 以计算出逃离地球引力的 最小速度，即第二宇宙速 度。
第三宇宙速度
利用万有引力定律，可以 计算出逃离太阳系所需的 最小速度，即第三宇宙速 度。
03
万有引力定律在地球科学中的应 用
万有引力定律的公式
总结词
万有引力定律的公式是F=G(m1m2)/r²，其中F表示两物体之间的万有引力，G 是自然界的常量，m1和m2分别表示两个物体的质量，r表示两物体之间的距 离。
详细描述
这个公式是万有引力定律的核心内容，它精确地描述了两个物体之间万有引力 的数量关系。根据这个公式，我们可以计算出任意两个物体之间的万有引力的 大小。
桥梁和建筑物的稳定性分析
桥梁和建筑物的稳定性分 析
万有引力定律可以用来计算建筑物或桥梁的 支撑结构所受的重力，从而评估其稳定性。
桥梁和建筑物的抗震设计
通过分析地震发生时地面运动对建筑物的影 响，利用万有引力定律计算出建筑物在地震
中的受力情况，进而优化抗震设计。
物体落地速度的计算
物体落地速度的计算
THANKS
感谢观看
统研究提供基础。
04
万有引力定律在物理实验中的应 用
重力加速度的测量
总结词
通过测量物体自由落体的时间，可以计 算出重力加速度的值。
VS
详细描述
在重力加速度的测量实验中，通常使用自 由落体法。通过测量物体下落的时间，结 合已知的高度和重力加速度的公式，可以 计算出当地的重力加速度值。这种方法简 单易行，是物理学中常用的实验方法之一 。
万有引力的定律及应用
万有引力的定律及应用万有引力定律是描述质点间万有引力作用的基本物理定律，由英国物理学家牛顿于1687年提出。
在不受其他力干扰的理想情况下，两个质点间的引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。
万有引力定律由以下公式给出：F =G * (m1 * m2) / r^2其中，F是两个质量为m1和m2的质点间的引力的大小，G是万有引力常数，它的数值约为6.67430 ×10^-11 N·(m/kg)^2，r是两个质点之间的距离。
应用方面，万有引力定律在天体物理学、工程学、地理学等领域都有广泛的应用。
以下是一些具体的应用：1. 行星运动：万有引力定律可以用于描述行星围绕太阳的轨道运动。
根据万有引力定律，太阳对行星的引力决定了行星的运动轨迹和速度。
利用这一定律，我们可以计算天体的轨道周期、轨道半径、行星速度等重要参数。
2. 卫星轨道：天文学家和航天科学家利用万有引力定律设计和计算卫星的轨道。
例如，地球上的人造卫星绕地球运动的轨道就是通过计算地球对卫星的引力和卫星的惯性力平衡得到的。
3. 理解地球重力：万有引力定律也可以用于解释地球上物体的重力。
地球上的物体受到地球对它们的引力作用，这个引力决定了物体的质量，以及物体受到的重力加速度。
地球上物体的重力加速度约为9.8 m/s^2。
4. 引力势能：根据万有引力定律，物体在引力场中具有势能。
利用万有引力定律，我们可以计算物体在引力场中的势能差。
例如，当物体从地球表面升到高空时，它的势能增加。
5. 测定天体质量：运用万有引力定律，我们可以通过测量天体间的引力和距离，来计算天体的质量。
例如，通过测量地球和月球间的引力和距离，我们可以确定地球和月球的质量。
总之，万有引力定律是一个十分重要的物理定律，它不仅可以解释天体运动、地球重力等现象，还有许多实际的应用。
通过对万有引力定律的研究和应用，我们可以更好地理解自然界中的各种现象，为科学研究和技术发展提供基础。
万有引力定律及其应用
万有引力定律及其应用万有引力定律是物理学中的重要定律之一，由英国科学家牛顿在17世纪发现并公布。
它描述了物体之间相互作用的力与它们的质量和距离的关系。
本文将介绍万有引力定律的具体内容以及一些应用示例。
一、万有引力定律的表述万有引力定律指出，任何两个物体之间都存在着一种相互吸引的力，这个力称为引力。
它的大小与两个物体的质量成正比，与它们的距离平方成反比。
假设有两个物体，质量分别为m1和m2，它们之间的距离为r。
根据万有引力定律，它们之间的引力F可以通过以下公式计算得到：F =G * (m1 * m2) / r^2其中，G为万有引力常数，约等于6.67430 × 10^-11 N·(m/kg)^2。
根据这个定律，我们可以计算出物体之间的引力大小，并进一步研究物体的运动状态和相互作用。
二、万有引力定律的应用万有引力定律在物理学的研究中有广泛的应用。
下面将介绍一些具体的应用示例。
1. 行星运动万有引力定律对行星的运动轨迹和速度提供了解释。
根据定律，行星与恒星之间的引力使得行星绕恒星运动。
行星在受到引力作用下，沿着椭圆轨道围绕恒星旋转。
同时，根据引力的大小和方向，我们还可以计算出行星的速度和运动轨道。
2. 卫星轨道人造卫星的运行轨道也可以通过万有引力定律进行计算。
卫星以地球为中心，受到地球引力的作用，所以会围绕地球旋转。
通过计算引力大小和速度，可以确定卫星的轨道，从而实现正常运行和通信。
3. 弹道轨道使用火箭进行太空探索时，火箭也是根据万有引力定律的计算结果进行定位和轨道规划的。
引力对火箭产生的影响可以通过计算得到，从而确定火箭发射时的初始速度和轨道，确保火箭能够顺利进入太空。
4. 重力加速度万有引力定律还可以用于计算地球表面上的重力加速度，即物体下落的速度增加量。
根据质量和距离的关系，可以计算出地球表面上的引力大小，进而计算物体下落的加速度，并用于物理学中相关的问题解决。
以上仅是万有引力定律的一些应用示例，实际上在天文学、空间科学、物理学等许多领域都有涉及。
万有引力定律及其应用
万有引力定律及其应用1.三种宇宙速度是环绕速度还是发射速度？发射卫星的最小速度是多大？卫星绕地球运行的最大速度为多大？三种宇宙速度均是指发射速度，而不是环绕速度．第一宇宙速度是最小发射速度，同时也是最大环绕速度．考点一 万有引力定律在天文学上的应用 1．基本方法把天体(或人造卫星)的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．2．“万能”连等式G Mm r 2＝mg r＝ma ＝⎩⎪⎨⎪⎧m v 2rmrω2mr (2πT )2m v ω3．天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR.(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T ，轨道半径r .①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2；②若已知天体的半径R ，则天体的平均密度 ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3；③若天体的卫星在天体表面的附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．特别提醒 不考虑天体自转，对任何天体表面的物体都可以认为mg ＝G MmR 2.从而得出GM ＝gR 2(通常称为黄金代换)，其中M 为该天体的质量，R 为该天体的半径，g 为相应天体表面的重力加速度．考点二 对人造卫星的认识 1．人造卫星的动力学特征万有引力提供向心力．即G Mm r2＝m v 2r ＝mrω2＝m (2πT )2r2．人造卫星的运动学特征 (1)线速度v ：由G Mmr2＝m v 2r 得v ＝GMr ，随着轨道 半径的增加，卫星的线速度减小．(2)角速度ω：由G Mmr 2＝mω2r ，得ω＝GMr 3，随着轨道半径的增加，卫星的角速度减小． (3)周期T ：由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得T ＝2πr 3GM ，随着轨道半径的增加，卫星的周期增大．3．卫星的环绕速度和发射速度 近地卫星的最大环绕速度v ＝G MR＝gR ＝7.9 km/s.通常称为第一宇宙速度，也是人造卫星的最小发射速度．不同高度处的人造地球卫星在圆轨道上的运行速度v ＝G Mr，其大小随半径的增大而减小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，因此将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，即v 发射>v 环绕．4．人造地球卫星的超重和失重(1)人造地球卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动．这两个过程中加速度方向均向上，因而都是超重状态．(2)人造地球卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，因此处于完全失重状态．在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都不会发生．因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用．同理，与重力有关的实验也将无法进行． 考点三 卫星的在轨运行和变轨问题 1．卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内．如同步卫星就是其中的一种．(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内．如定位卫星系统中的卫星轨道．(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道． 2．卫星的稳定运行与变轨运行分析(1)圆轨道上的稳定运行若卫星所受万有引力等于做匀速圆周运动的向心力，将保持匀速圆周运动，即G Mmr2＝mv2r＝mrω2＝mr(2πT)22)变轨运行分析当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于向心力，卫星将做变轨运行．①当v增大时，所需向心力m v2r增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝GMr知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．②当卫星的速度突然减小时，向心力m v2r减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新的轨道运行时，由v＝GMr知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)．特别提醒(1)一切卫星运行的轨道的圆心都与地心重合．(2)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上时，运行速度的变化由v＝GMr判断．1.1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元．如图1所示．“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N的高度分别为439 km和 2 384 km，则()A．卫星在M点的势能大于N点的势能B．卫星在M点的角速度大于N点的角速度C．卫星在M点的加速度大于N点的加速度D．卫星在N点的速度大于7.9 km/s解析东方红卫星的在轨运行过程中,械能保持不变．由于M点离地面高度小于N点，所以卫星在M点的势能小于在N点的势能，A错误；卫星在M点的速度大于在N点的速度，由角速度公式ω＝vR可知卫星在M点的角速度大于在N点的角速度，B正确；由于M点离地面高度小于N点，所以卫星在M点所受万有引力大于在N点所受的万有引力，由牛顿第二定律可知，卫星在M点的加速度大于在N点的加速度，C正确；7.9 km/s是卫星围绕地球表面做匀速圆周运动的最大环绕速度,以卫星在N 点的速度一定小于7.9 km/s ，D 错误． 方法归纳 利用万有引力定律解决天体运动的一般思路 1．两条线索(1)万有引力提供向心力F 引＝F 向． (2)重力近似等于万有引力且提供向心力． 2．两组公式G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2·r mg r ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r (g r 为轨道所在处重力加速度)2.即学即练1 由于地球的自转而使物体在地球上不同的地点所受的重力不同，某一物体在地球两极处称得的重力大小为G 1，在赤道上称得的重力大小为G 2，设地球自转周期为T ，万有引力常量为G ，地球可视为规则的球体，求地球的平均密度． 解析 在两极时，根据万有引力定律有G 1＝G MmR 2 ① 在赤道时，物体随地球做匀速圆周运动，G Mm R 2－G 2＝mR 4π2T 2 ② 又地球的密度ρ＝M43πR 3 ③ 由①②③得 ρ＝3πG 1G (G 1－G 2)T 23.题型二 “双星模型”问题在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕两球连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．例2 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起．(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．(2)设两者的质量分别为m 1和m 2，两者相距L ，试写出它们角速度的表达式．解析 (1)证明：两天体绕同一点做匀速圆周运动的角速度ω一定要相同，它们做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，所以两天体与它们的圆心总是在一条直线上．设两者的圆心为O 点，轨道半径分别为R 1和R 2，如图所示．对两天体，由万有引力定律可分别列出G m 1m 2L 2＝m 1ω2R 1 ① G m 1m 2L 2＝m 2ω2R 2 ②所以R 1R 2＝m 2m 1，所以v 1v 2＝R 1ωR 2ω＝R 1R 2＝m 2m 1， 即它们的轨道半径、线速度之比都等于质量的反比． (2)由①②两式相加得G m 1＋m 2L 2＝ω2(R 1＋R 2)，因为R 1＋R 2＝L ，所以ω＝G (m 1＋m 2)L 3. 答题技巧 卫星运行中的稳态与变态问题在卫星运行问题中，卫星能够做匀速圆周运动的状态称为稳态，此时满足F 向＝F 万，结合向心力公式即可判定卫星的线速度、角速度、周期的大小比较问题．卫星从一个稳定轨道到另一稳定轨道，称为变态，即变轨问题，此过程不满足F 向＝F 万，应结合离心运动和近心运动的知识以及能量守恒去解决．当卫星速度减小时F 向<F 万，卫星做近心运动而下降，此时F 万做正功，使卫星速度再增大，变轨成功后可在低轨道上稳定运动；当卫星速度增大时，与此过程相反．题型四 万有引力的综合应用例 4 (2008·全国Ⅱ)我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行．为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化．卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球．设地球和月球的质量分别为M 和m ，地球和月球的半径分别为R 和R 1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r 和r 1，月球绕地球转动的周期为T .假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间(用M 、m 、R 、R 1、r 、r 1和T 表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响)．解析 如图所示，O 和O ′分别表示地球和月球的中心．在卫星轨道平面上，A 是地月连心线OO ′与地月球面的公切线ACD 的交点，D 、C 和B 分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点．根据对称性，过A 点在另一侧做地月球面的公切线，交卫星轨道于E 点．卫星在BE 上运动时发出的信号被遮挡设探月卫星的质量为m 0，万有引力常量为G ，对月球和卫星，根据万有引力定律分别有G Mmr 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ①G mm 0r 21＝m 0⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 12r 1 ② 式中，T 1是探月卫星绕月球转动的周期．由①②式得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 1T 2＝M m ⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1r 3 ③设卫星的微波信号被遮挡的时间为t ，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，应有t T 1＝α－βπ④式中，α＝∠CO ′A ，β＝∠CO ′B .由几何关系得 r cos α＝R －R 1 ⑤ r 1cos β＝R 1 ⑥ 由③④⑤⑥式得t ＝T π Mr 31mr 3⎝ ⎛⎭⎪⎫arccos R －R 1r －arccos R 1r 1[或t ＝T π Mr 31mr 3⎝ ⎛⎭⎪⎫arcsin R 1r 1－arcsin R －R 1r ] 4.我国在2010年实现探月计划——“嫦娥工程”．同学们也对月球有了更多的关注． (1)若已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，月球绕地球运动的周期为T ，月球绕地球的运动近似看成匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径．(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v 0竖直向上抛出一个小球，经过时间t ，小球落回抛出点．已知月球半径为r ，万有引力常量为G ，试求出月球的质量M 月． 解析 (1)设地球质量为M ，地球表面一物体质量为m ，月球绕地球运动的轨道半径为r ，根据万有引力定律和向心力公式：G M 月M r 2＝M 月⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ①mg ＝GMmR 2② 解①②得r ＝ 3gR 2T 24π2③(2)设月球表面处的重力加速度为g月，根据题意：v0＝g月t 2④g月＝GM月r2⑤解④⑤得M月＝2v0r2Gt如图3所示是利用传送带装运煤块的示意图．其中，传送带足够长，倾角θ＝37°，煤块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.8，传送带的主动轮和从动轮半径相等，主动轮轴顶端与运煤车底板间的竖直高度H＝1.8m，与运煤车车箱中心的水平距离x＝1.2 m．现在传送带底端由静止释放一些煤块(可视为质点)，煤块在传送带的作用下先做匀加速直线运动，后与传送带一起做匀速运动，到达主动轮时随轮一起匀速转动．要使煤块在轮的最高点水平抛出并落在车箱中心，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：(1)传送带匀速运动的速度v及主动轮和从动轮的半径R；(2)煤块在传送带上由静止开始加速至与传送带速度相同时所经过的时间t.解析(1)由平抛运动的公式，得x＝v tH＝12gt2代入数据解得v＝2 m/s要使煤块在轮的最高点做平抛运动，则煤块到达轮的最高点时对轮的压力为零，由牛顿第二定律，得mg＝m v2 R代入数据得R＝0.4 m(2)煤块在传送带上由牛顿第二定律F＝ma得a＝Fm ＝μg cos θ－g sin θ＝0.4 m/s2 由v＝v0＋at得t＝va＝5 s。
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赤道上空3.6万千米、东经103°处，为了把它调
整到10A4.°向处下，、可向以上短时间启B动.向卫上星、上向的下小型喷 气发动C机.向调上整、卫向星上的高度，D.改向变下其、周向期下，使其
“漂移”到预定经度后，再短时间启动发动机
调整卫星的高度，实现定点，两次调整高度的
方向依次是(
)
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1.基本模型：一般将行星或卫星的运动看 做绕中心天体的匀速圆周运动，其向心力由 绕行天体与中心天体间的万有引力来提供.
2.行星运动各物理量与轨道半径的关系：
(1)线速度与半径：
G Mm m v2
r2
r
v=
GM r．
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4
(2)角速度与半径：
G
Mm r2
mr
2
ω=
GM r3 ．
(3)周期与半径：
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6
图4-4-2
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7
设被挖去部分质量为M′，则
M 3 4
所以
M
M
R 2
3 1 8
，M 4
3 ，即M′=
R3
M 8
挖去球形空穴的铜球与m之间的万
有引力F，可看成实心铜球与m的引力F1
和被挖去的球形小球与m的引力F2之差，
即F=F1-F2.
F
G
Mm d2
G
d
M m
9
随着天文学的高速发展，太阳系以外的行星 不断被发现，2010年科学家发现一颗奇特的 行星，由于靠恒星太近，行星表面的固体升 华为气体，到达高空凝华为固体落下，设该 行星质量M=2×1026kg，高空中凝结出的一 块石头质量为5kg，距离行星中心105km，已 知万有引力常量G≈6.7×10-11N·m2/kg2，求石 头所受引力多大．(结果取两位有效数字)
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10
石头所受引力
F
G
Mm r2
6.7 1011
2 1026 5 (108 )2
6.7N .
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11
天体的运动学参量与轨道半 径之间的关系
我国发射的“神舟七号”宇宙飞船 绕 地 球 的 运 动 周 期 约 为 90min ， 如 果 把 它绕地球的运动看做是匀速圆周运动， 飞船的运动和人造地球同步卫星的运动 相比，下列判断中正确的是( )
17
(2)同步卫星随地球自转的方向是从西向 东，把同步卫星从赤道上空3.6万千米、 东经103°处，相对于地球沿前进方向移动 位置，需要增大相对速度，所以应先下降 高度增大速度到某一位置再上升到原来的 高度．
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18
应用万有引力定律求天体 质量
我国已经启动“嫦娥探月工程”， 2007年发射绕月球飞行的“嫦娥一号”， 2010年年底实现登月飞行，若在月球表 面上，宇航员测出小物块自由下落h高 度所用的时间为t,当飞船在靠近月球表 面的圆轨道上飞行时，测得其环绕周期 为T，已知万有引力常量为G，根据上述 物理量，求月球的质量M．
G
Mm r2
mr ( 2
T
)2
T=
4 2r3
GM ．
3.黄金代换：
在天体表面，可近似认为
Mm G R2 mg
GM gR2.
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5
利用万有引力定律求解万有引力 的大小
如图4-4-2所示，在半径为R=20cm,质量 为M=165kg的均匀铜球中挖去一球形空穴，空 穴的半径为R/2,并且跟铜球相切，在铜球外有 一质量m=1kg的均匀小球，这小球位于连接铜 球中心跟空穴中心的直线上，并且在空穴一边， 两球心相距d=2m,试求它们之间的相互吸引力.
第四章
曲线运动 万有引力定律
4
万有引力定律及其 应用
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1
一、万有引力定律
1.内容：自然界中任何两个物体都 是 相互吸引 的，引力的方向沿两物体 的连线方向，引力的大小跟它们的质量 的乘积成 正 比，跟它们之间的距离的 平方成 反 比.
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2
2.表达式：F
Gm1m2 r2
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12
A.飞船的轨道半径大于同步卫星的 轨道半径
B.飞船的运动速度小于同步卫星的 运行速度
C.飞船运动的向心加速度大于同步 卫星运动的向心加速度
D.飞船运动的角速度小于同步卫星 运动的角速度
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13
同步卫星的周期24h，大于飞船 的运行周期90min，由飞船运行周期与 轨道半径关系式可知：若轨道半径越小， 则运行速度越大、角速度越大、向心加 速度越大、周期越短，结合题意知同步 卫星轨道半径大，故选项C正确.
R / 22
G
Mm d2
G
8d
Mm R/
22
代入数据可得F=2.36×10-9N.
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8
点评 正确理解万有引力表达式适用 条件是应用它的先决条件.本题中球体为 匀质球体，它们之间的作用力符合万有 引力表达式的适用条件，本题还运用等 效割补方法进行转换，使问题更简便得 以解决.
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(1)G 为 引 力 常 量 ,G=6.67×10-
11N·m2/kg2
(2)该表达式适用于计算两质点间的 万有引力，当两物体间的距离远大于物 体本身的几何尺寸时，物体可视为质点.
(3)当两物体为质量分布均匀的球体 时，也可用该表达式进行计算，此时r 为两球的球心距离.
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3
二、万有引力定律在天体运动中的应用
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设月球表面的重力加速度为g， 月球质量为M，月球半径为R，飞船质 量为m，
对物块 h 1 gt2
①
2
其中
GMm R2
=mg
②
对飞船
GMm R2
m( 2
T
)2 R
③
由①②③解得
M
h3T 4
2G 4t6
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20
*
某星球自转周期为T，在它
Hale Waihona Puke 的两极处用弹簧秤称得某物重F，在赤
点评 弄清人造卫星运行线速度、 角速度、加速度、周期等与轨道半径之 间的直接联系，从而掌握线速度、角速 度、加速度和周期之间的间接关系.
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(1)三颗人造
地球卫星a、b、c在同一
平面内沿不同轨道绕地球 做匀速圆周运动，且绕行 方向相同,已知Ra＜Rb＜Rc. 如图4-4-3所示，在某一时 刻，它们正好运行到同一 直线上.那么再经过卫星a 的四分之一周期时，卫星
a、b、c的新位置可能是
下图中的( ) 2021/3/2
图4-4-3 15
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16
(2)我国的国土范围在东西方向上大致分布
在东经70°到东经135°之间，所以我国发射的同
步通信卫星一般定点在赤道上空3.6万千米、东
经100°附近.假设某通信卫星计划定点在赤道上
空东经104°的位置，经测量刚进入轨道时位于