1.3 三角函数的诱导公式--讲义练习及答案
1.3-1三角函数的诱导公式(1)
x
计算：（1）sin1200
你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗?
公 式 cos( ＋k· 3600) =cos cos(1800＋)=－cos 一
sin( ＋k· 3600) =sin
sin( 1800＋ )=－sin
公 式 二
tan( ＋k· 3600) =tan tan(1800＋) =tan
计算：（1）cos2100
（2）tan2400
二、－ 与 － 的终边与角 的终边有 何关系? sin = y sin(－ )=－y cos = x cos(－) =x y tan α x y tan( α ) x y
P(x,y) y
O
x
x
-y
P (x,-y)
0 π－ cos(180 －)=－cos 0 tan(180 π－ －) =－tan
tan(－) =－tan
公 式 四
应用 例1 求cos(-20400)的值： 解: cos(-20400)＝cos20400 =cos(5×3600+2400) =cos2400=cos(1800+600)
三、1800－ 与 角 1800－ 的终边与角 的 y 终边有何关系? 1800－ sin = y P(x,y) P (-x,y) sin( 1800－ )=y y y cos = x cos(1800－)=－x x y -x O x tan α y x 0 tan(180 －)
x
三、1800－ 与 角 1800－ 的终边与角 的 终边有何关系? sin = y sin( 1800－ )=y cos = x cos(1800－)=－x y tan α x y 0 tan(180 －) sin(1800－ )=sin cos(1800－ )=－cos tan(1800－ )=－tan （2）tan1500
1.3三角函数的诱导公式(一)
课题：1.3 三角函数的诱导公式(一)教学目的：1．通过本节内容的教学，使学生掌握180o+ ，- ，180o- ，360o－角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；3．通过公式二、三、四、五的探求，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．教学重点：诱导公式教学难点：诱导公式的灵活应用授课类型：新授课课时安排：1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：诱导公式沟通了任意角三角函数值与锐角三角函数值以及终边有特殊位置关系的角的三角函数值之间的联系．在求任意角的三角函数值，解决有关的三角变换等方面有重要的作用．由角的终边的某种对称性，导致终边与单位圆的交点也具有相应的对称性，这样就产生了“ ”、“ 2 ”、“ ”等诱导公式，我们知道，角的终边与角的终边关于y 轴对称；角的终边与角的终边关于原点对称，，2 角的终边与角的终边关于x 轴对称，所以、、、2 各角的三角函数值与角的三角函数值的绝对值相同，符号由各角所在象限的原三角函数的符号来确定，诱导公式看起来很多，但是抓住终边的对称性及三角函数定义，明白公式的来龙去脉也就不难记忆了．诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，在求任意角的三角函数值时起很大作用，但是随着函数计算器的普及，诱导公式更多地运用在三角变换中，特别是诱导公式中的角可以是任意角，即R ，它在终边具有某种对称性的角的三角函数变换中，应用广泛，如后续课中，画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移个长2度单位而得到的．在教学中，提供给学生的记忆方法一定要重在理解、重在逻辑、重在思考，以达到优化思维品质的功效．用一句话归纳概括诱导公式一、二、三、四、五并能正确理解这句话中每一词语的含义，是本节教材的难点．讲清每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并把公式与相应图形对应起来，是突破这个难点的关键．教学过程：一、复习引入：诱导公式一: sin( k 360 ) sincos( k 360 ) costan( k 360 ) tan (其中k Z )用弧度制可写成sin( 2k ) sin cos( 2k ) costan( 2k ) tan (其中 k Z ) 诱导公式(一)的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0o ― 360o 之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在 0o ― 360o 内找出与角 终边相同的角， 再把它写成诱导公式 (一) 的形式，然后得出结果这组公式可以统一概括为 f ( 2k ) f ( )(k Z ) 的形式，其特征是：等号两边是 同名函数，且符号都为正 由这组公式还可以看出，三角函数是“多对一”的单值对应关系，明确了这一点，为今 后学习函数的周期性打下基础3． 运用 公式 时，注 意“ 弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成sin(80 2k ) sin80 ，cos( k 360 ) cos 是不对的． 3二、讲解新课： 公式二 ：用弧度制可表示如下：sin(180 ) cos(180 ) tan(180 ) 它刻画了角 180o+ 与角 的关系，这个关系是：以角 的角的正弦值 (或余弦值) 是一对相反数．这是因为若设 线，即 180o+ 角的终边与单位圆的交点必为P ′(-x ，-y) 弦函数的定义，即可得 sin =y ， cos =x, sin(180 o+ )=-y, 所以 :sin(180 o+ 公式三 ： sin( ) cos( ) tan( )-sin-cos tan 与角 的正弦值 (或余弦值) 的终边与单位圆交于点sin =y ， cos(180 o+ )=-x,)=-sin ，cos(180 o+ )=-cos-sincosP( x ， y) ，则角 终边的反向延长 如图 4-5-1 )．由正弦函数、余tan 它说明角 - 与角 的正弦值互为相反数，而它们的余 弦值相等．这是因为，若没 的终边与单位圆交于点 P(x ，y) ，则角- 的终边与单位圆的交点必为 P ′(x ，-y) (如图 4-5-2 )．由正弦函数、余弦函数的定义，即可 得 sin =y ， cos =x, sin(- )=-y, cos(- )=x, 所以： sin(- )= -sin ,cos(- )= cos α 公式二、 三 的获得主要借助于单位圆及正弦函数、 余弦函数的定义． 确定点 P ′的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．事实上，在图根据点 P 的坐标准确地1 中，点 P ′与点P 关P ′公式四 ： 用弧度制可表示如下：sin( ) -sin cos( ) -cos tan( ) tan 的正弦值(或余弦值)之间 终边的反向延长线为终边 P(x,y)P ′ (，x-y)(4-5-2)于原点对称，而在图 2中，点 P ′与点P 关于 x 轴对称．直观的对称形象为我们准确写出 的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性．sin(180 ) sin sin( ) sin cos(180 ) -cos cos( ) -cos tan(180 ) tantan( ) tan 公式五 ：sin(360 ) -sin sin(2 ) -sin cos(360 ) cos cos(2 ) cos tan( 360 ) tantan(2 ) tan这两组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出（公式四可由公式二、三推出，公式 五可由公式一、 三推出）， 体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想．公式 的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的．五组诱导公式可概括为： +k ·360o （k ∈ Z ）， - ，180o ± ， 360o- 的三角函数值，等于 的同名函 数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号．这里的“同名三角函数值”是指等号两边的三角函数名称相同；“把 指 原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个⋯⋯符号”是指 名函数值未必就是最后结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号， 略），而这个符号是把任意角 中每一词语的含义，特别要讲清为什么要把任意角 三、讲解范例：（2）sin4 分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题． 求解时，只须设法将所给角分解成 180o+ 或（ π + ）， 为锐角即可．3解：( 1) cos210 o=cos(180 o+30o)= － cos30o=－；2 41） sin （ － ） ；（2）cos （ －60o ） －sin （ －210o ）3分析： 本题是诱导公式二、 三的巩固性练习题． 求解时一般先用诱导公式三把负角的正 弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式二把它们化为锐角的正弦、余弦来求．43解：( 1) sin( －)= － sin( )=sin = ；3 3 3 22)原式 =cos60 o+sin(180 o+30o)=cos60 o － sin30例3．化简 sin(1440 ) cos( 1080 ) cos( 180 )sin( 180 )分析：这是诱导公式一、二、三的综合应用．适当地改变角的结构，使之符合诱导公 式中角的形式，是看成锐角”是 的同 正号可省 视为锐角情况下的原角原函数的符号．应注意讲清这句话 α看成锐角．建议通过实例分析说明．例 1． 下列三角函数值：1) cos210 o ； 2) sin 5 =sin(424)= －sin 4=－ 22例 2． 求下列各式的值：o=1－ 1=022解决问题的关键．分析：通过本题的求解，可进一步熟练诱导公式一、二、三的运用．求解时先用诱导 公式二把已知条件式化简，然后利用诱导公式一和三把 sin （2 π－ ）化成－ sin , 再用同 角三角函数的平方关系即可．1事实上，已知条件即 cos = ，于是2因此选 A四、课堂练习1．求下式的值： 2sin( －1110o) －sin960 o+ 2cos( 225 ) cos( 210 )答案： － 2提示：原式 =2sin( －30o)+sin60 o － 2 cos45 cos30 =－2选题目的：通过本题练习，使学生熟练诱导公式一、二、三的运用． 使用方法：供课堂练习用． 评估：求解本题时，在灵活地进行角的配凑，使之符合诱导公式中角的结构特点方面 有着较高的要求．若只计算一次便获得准确结果， 表明在利用诱导公式一、 二、三求解三角 函数式的值方面已达到了较熟练的程度．2．化简 sin （ －2）+cos （ －2－π） ·tan （2 － 4π ）所得的结果是（）（A ）2sin2（B ）0 （C ） －2sin2 （D ） －1答案： C 选题目的：熟练掌握诱导公式一、二、三及同角三角函数关系中商数关系的灵活运用． 使用方法：供课堂练习用．评估：本题不仅涉及了诱导公式一、二、三，而且还涉及了同角三角函数的关系，此 外还出现了如 “sin （ －2） ”这样的学生较为陌生的三角函数值， 求解时若只计算一次便获得 准确结果，表明在新知识的运用和旧知识的记忆方面都达到了较好的程度．五、小结 通过本节课的教学， 我们获得了诱导公式． 值得注意的是公式右端符号的确定． 在 运用诱导公式进行三角函数的求值或化简中， 我们又一次使用了转化的数学思想． 通过进行 角的适当配凑，使之符合诱导公式中角的结构特征，培养了我们思维的灵活性． 六、布置作业：1．求下列三角函数值：5 19（1） sin； （2） cos ；（3） sin （ 240 ） ； （4） cos （ 1665 ）462．化简：sin 3( ) cos(5 ) tan(2 ) cos 3( 2 )sin(3 )tan 3(4 )例4． 已知 cos( π + )= －1， 33< <2π，则2 2nqin （2 π－ ） 的值是（）（A ）3 13(B)(C) －22 2(D) ± 32sin(2 解π－ )= －sin53)324) 222．提示：原式 = sin 3( cos )tansin sin 23． 2 2 ．提示：原式 ==－sin cos cos 时，原式 =－ 2 =2 2 45cos4补充题：sin 915 cos( 225 ) sin10651．已知 sin( ) 13 ，，则 cos( 2 ) 的值是2 2cos 2 cos2 2cos 2cos3．当时， 4sin[ (2k 1) ] sin[ (2k 1) ]sin( 2k )cos( 2k ) (k z) 的值是作业的答案与提示：．化简：2sin ( ) cos( )costan(2 )cos 3( )４．设 f (θ)= 2cos 3 sin 2(2 ) 2cos( ) 1，求 f ( ) 的值．23 2 2 cos 2 (7 ) cos( ) 补充题的答案与提示： 2 提示：原式 = sin15 cos45 sin15 =－2２． sin α 提示：原式 = sin2 ( cos )3 cos ＝sin tan ( cos 3 ) ３． 2 2 1232 提示：已知条件即 sin 13，故 cos( 2 ) cos( ) cos 1 sin 222 3４． 1 提示： f ( ) 2cos 3 sin 22 2cos 1 2 2 2cos 2 cos 2cos 3(1 cos 2) 2cos 1 2cos 3 cos22cos1．( 1)－ 222)－ 32=1cos 3 sin tan 3．求值：2cos (2cos2cos 2)cos22cos cos 2七、板书设计 (略)八、课后记：。
三角函数诱导公式练习题答案.docx
精品文档三角函数的诱导公式一、1．如果 |cosx|=cos （ x+π）， x 的取 集合是（） π π B ．－π 3 πA ．－+2k π≤x ≤ +2k π+2k π≤x ≤+2k π2 222C ．π+2k π≤x ≤3π+2k πD ．（ 2k+1） π≤x ≤2（ k+1 ） π（以上 k ∈ Z ）222．sin （－19π）的 是（）6A ．1B ．－13 3C ．D ．－22223．下列三角函数：4ππ ππ］； ① sin （ n π+）；② cos （ 2n π+ ）；③ sin （ 2n π+ ）；④ cos ［（ 2n+1） π－6 363⑤ sin ［（ 2n+1） π－ π］（ n ∈Z ）．3其中函数 与sinπ的 相同的是（）3A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤4．若 cos （ π+α） =－10 ，且 α∈（－ π， 0）， tan （ 3π+α）的 （ ）52 266 C ．－6D ．6 A ．－B ．22335． A 、B 、 C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）A ． cos （ A+B ） =cosCB ． sin （ A+B ） =sinCA B CC ． tan （ A+B ） =tanCD ． sin2=sin26．函数 f （ x ） =cosπx（ x ∈ Z ）的 域 （ ）3A ．{－ 1，－ 1，0， 1，1}B ．{－1，－ 1 ， 1，1}2222C ．{－1，－3，0，3，1}D ．{ －1，－3 ， 3，1}2222二、填空7．若 α是第三象限角，1 2sin(π ) cos(π) =_________ ．22228．sin 1°+sin 2°+sin 3° +⋯ +sin89°=_________ ．三、解答9．求 ： sin （－ 660 °） cos420 °－ tan330 cot °（－ 690 °）．精品文档10．证明：2 sin(π) cos 1 tan(9 π) 1 ． 1 2 sin 2tan(π) 111．已知 cos α= 1 ， cos （ α+β） =1，求证： cos （ 2α+β） = 1．3 312． 化简：1 2 sin 290 cos 430 ．sin 250 cos79013、求证： tan(2 π) sin( 2 π ) cos(6π ) =tan θ．cos( π) sin( 5 π )3π14． 求证：（ 1） sin （ － α） =－cos α；（ 2） cos （ 3 π+α）=sin α． 2参考答案 1一、选择题1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B二、填空题7．－ sinα－cosα 8．892三、解答题3+1．9．410．证明：左边 =2sin coscos2sin 2=－(sin cos )2sin cos，)(cos sin )sin cos(cossin右边 =tan tan sin cos，tan tan sin cos左边 =右边，∴原等式成立．11．证明：∵ cos（α+β） =1，∴α+β=2kπ．∴cos（2α+β） =cos（α+α+β）=cos（α+2kπ） =cosα=1．31 2 sin 290cos43012．解：cos 790sin 2501 2 sin( 70360 ) cos(70360 )=70 )cos(702360 )sin(1801 2 sin 70 cos 70=sin 70cos 70(sin 70cos70 ) 2=sin 70cos 70= sin 70cos70 =－1．cos70sin 7013．证明：左边 =tan() sin() cos( )( tan )( sin ) cos(cos)(sin )=tanθ=右边，cos sin ∴原等式成立．14证明：（ 1） sin （3π－α） =sin［π+（π－α）］=－ sin（π－α） =－ cosα．222（2） cos（3π+α） =cos［π+（π+α）］ =－ cos（π+α） =sinα．三角函数的诱导公式 2一、选择题：π+α )=3 ，则 sin(3π-α)值为（1．已知 sin( ）424A.1 B.—1C.3 D. —322222．cos(+α )= 1 ， 3π <α<,sin(2 -α ) 值为（）—22 A.3 1C. 3D. —32B.2223．化简： 1 2 sin( 2) ? cos( 2) 得（）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D. ±(cos2-sin2)4．已知 α和 β的终边关于 x 轴对称，则下列各式中正确的是（）A.sin α =sin2βC.cos α =cos β D. cos( 2-α ) =-cos ββ B. sin( - α ) =sin5．设 tan θ=-2, π2θ +cos(- θ )的值等于（），<θ <0，那么 sin22A.1（4+ 5） B.1（4-5） C. 1（4± 5）D.1（ 5-4）5555二、填空题：6．cos(-x)=3， x ∈（ -， ），则 x 的值为．27．tan α =m ，则 sin(α 3 ） cos(π α)．sin( α） π α- cos( )8．|sin α |=sin （- +α），则 α的取值范围是．三、解答题：π α）si n() cos( π α9． sin(2) ．π α）π αsin(3 ·cos( )π） = 1，求 sin （ πx ) +cos 2（5π-x ）的值．10．已知： sin （ x+7 6 4 6611． 求下列三角函数值：（ 1） sin 7 π；（ 2） cos 17 π ；（3） tan （－ 23 π）；3 4 612． 求下列三角函数值：（ 1） sin 4π·cos 25π·tan 5 π；3 6 4（ 2） sin ［（ 2n+1） π－2π］ .32 cos 3sin 2 ( 2π) sin(π) 3π）的值 .13．设 f （ θ）=2cos 2(π) 2，求 f （ 2 cos( )3参考答案 21．C 2．A 3． C 4．C 5．A6．±5π7．m18． [(2k-1),2k]6m 19．原式 =sin α( sin ) cos(π α)sin 2α(π α） α=αsin(·( cos ) sin ?(7ππ ） =sin π 3 11．解：（ 1） sin =sin （ 2π+ 3 = 33 2cos α) = sin α10． 11cos α)16.（ 2） cos 17 π=cos （ 4π+ π ） =cos π = 2 .4 4 4 2（3） tan （－ 23π） =cos （－ 4π+ π3）=cos π=.6 6 62（4） sin （－ 765°） =sin ［ 360°×（－ 2）－ 45°］ =sin （－ 45°） =－ sin45 °=－2.2注：利用公式（ 1）、公式（ 2）可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值 .12．解：（ 1） sin4π·cos25π·tan3 6=（－ sin π） ·cos π·tan π=（－3 645 π π π π 4=sin （ π+ ） ·cos （ 4π+ ） ·tan （ π+ ）3643）·3·1=－ 3.224（2） sin ［（ 2n+1） π－2π］ =sin （ π－2π）=sin π=3 .333213．解： f （ θ）= 2 cos 3 sin 2cos 32 2 cos 2 cos= 2 cos 31 cos 2cos 32 2 cos 2cos=2 cos3 2 (cos 2cos )2 2 cos 2cos= 2(cos 3 1) cos (cos1)2 2 cos 2cos= 2(cos1)(cos 2cos1) cos (cos 1)2 2 cos 2cos (cos1)(2 cos 2 cos2)=2精品文档∴ f （ π） =cos π－ 1= 1 － 1= － 1.3 3 2 2三角函数公式1． 同角三角函数基本关系式sin 2 α＋ cos 2α=1sin α cos α=tan αtan α cot α =12． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)（一）sin( π－α )＝ sin α sin( π +α )＝ -sin αcos(π－α )＝ -cos α cos(π +α )＝ -cos α tan( π－α )＝ -tan αtan( π +α )＝ tan α sin(2 π－α )＝ -sin αsin(2π +α )＝ sin α cos(2π－α )＝ cos αcos(2π +α )＝ cos αtan(2 π－α )＝ -tan αtan(2 π +α )＝ tan α ππ （二） sin(2 －α )＝ cos α sin( 2 +α )＝ cos αππcos( 2 －α )＝ sin αcos( 2 +α )＝ - sin αππ tan( 2 －α )＝ cot αtan(2 +α )＝ -cot α3π3πsin( 2 －α )＝ -cos αsin( 2 +α )＝ -cos α3π 3π cos( 2 －α )＝ -sin α cos( 2+α )＝ sin αtan( 3π－α )＝ cot αtan( 3π+α )＝ -cot α 2 2sin( －α )＝－ sin α cos(－α )=cos αtan( －α )=－ tan α3． 两角和与差的三角函数cos(α +β )=cos α cos β－ sin α sin β cos(α－β )=cos α cos β＋ sin α sin β sin ( α +β )=sin α cos β＋ cos α sin β sin ( α－β )=sin αcos β－ cos α sin βtan α +tan β tan( α +β )=1－ tan α tan βtan α－ tan β精品文档4．二倍角公式sin2α =2sin α cosαcos2α =cos2α－ sin2α＝ 2 cos2α－ 1＝ 1－ 2 sin2α2tan αtan2α=1－ tan2α5．公式的变形（ 1）升幂公式： 1＋ cos2α＝ 2cos2α1—cos2α＝ 2sin2α（ 2）降幂公式：cos2α＝1＋cos2αsin 2α＝1－cos2α22（ 3）正切公式变形： tan α +tan β＝ tan( α +β )（ 1－ tan α tan β）tan α－ tan β＝ tan( α－β )（ 1＋ tanα tan β )（ 4）万能公式（用 tan α表示其他三角函数值）2tan α1－ tan 2α2tan αsin2α＝1+tan 2αcos2α＝1+tan 2αtan2α＝1－tan 2α6．插入辅助角公式asinx ＋ bcosx=a2+b 2sin(x+ φ )(tan φ =b) a特殊地： sinx ± cosx＝ 2πsin(x ±)47．熟悉形式的变形（如何变形）1± sinx ± cosx1± sinx1± cosx tanx ＋ cotx 1－ tan α1＋ tanα1＋ tan α1－ tanαπ若 A、B 是锐角， A+B ＝，则（ 1＋ tanA ） (1+tanB)=248．在三角形中的结论若： A ＋ B＋ C= π ,A+B+Cπ= 2则有2tanA ＋ tanB ＋ tanC=tanAtanBtanCA B B C C Atan 2tan 2＋ tan 2 tan 2＋ tan 2tan 2＝ 1。
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式一训练含解析新人教A版必修
学习资料第一章 三角函数1．3 三角函数的诱导公式(一)[A 组 学业达标］1．sin 240°的值为 （ ) A 。
错误! B.错误! C ．－错误! D ．－错误!解析:由诱导公式二得sin 240°＝sin(180°＋60°）＝－sin 60°＝－错误!，故选D. 答案：D2．已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈错误!，则sin （π＋α)＝( ）A ．－错误!B.错误! C ．－k D ．±1－k 2 解析：因为α∈错误!，所以sin α〉0,则sin （π＋α)＝－sin α＝－错误!＝－错误!，故选A.答案:A3．已知cos （π－α）＝错误!错误!，则tan （π＋α）＝( ) A.错误! B.错误! C ．－错误!D ．－错误!解析：法一：cos(π－α）＝－cos α＝错误!，∴cos α＝－错误!.∵错误!<α<π，∴sin α>0，∴sin α＝错误!＝错误!＝错误!，∴tan(π＋α）＝tan α＝错误!＝－错误!.法二:由cos α＝－错误!，错误!〈α〈π，得α＝错误!π，∴tan α＝－错误!,∴tan （π＋α)＝tan α＝－错误!。
答案：D4．若α，β的终边关于y 轴对称,则下列等式成立的是（ ) A ．sin α＝sin βB ．cos α＝cos βC ．tan α＝tan βD ．sin α＝－sin β 解析：法一：∵α，β的终边关于y 轴对称，∴α＋β＝π＋2k π或α＋β＝－π＋2k π,k ∈Z ,∴α＝2k π＋π－β或α＝2k π－π－β，k ∈Z ,∴sin α＝sin β。
法二：设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′（－x ,y ），且点P 与点P ′到原点的距离相等,设为r ,则sin α＝sin β＝y r. 答案：A5．已知sin （π＋θ）＝－错误!cos （2π－θ）,|θ|<错误!,则θ等于 （ ）A．－错误!B．－错误!C.错误!D.错误!解析:∵sin(π＋θ）＝－错误!cos(2π－θ），∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝错误!，∵｜θ|<错误!，∴θ＝错误!。
1.3 三角函数的诱导公式(二)课件(人教A版必修四)
【互动探究】本题1若改为cos21°+cos22°+cos23°+…+
cos288°+cos289°+cos290°，又如何求解呢？
【解题指南】利用sin2α+cos2α=1进行计算.
【解析】cos21°+cos289°=cos21°+sin21°=1, cos22°+cos288°=cos22°+sin22°=1, 即cos2x°+cos2(90°－x°)=cos2x°+sin2x°=1(1≤x≤44, x∈N), 所以原式=(cos21°+cos289°)+(cos22°+cos288°)+… +(cos244°+cos246°)+cos290°+cos245°
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式不变名,而后一套公式必须变名.
【变式训练】化简
tan 3－ 3 3 sin － sin( －) sin( )cos 2 2 2
sin 2－ cos(－
7 ) 2 .
【解析】tan(3π－α)=－tan α，sin(π－α)=sin α，
(3)当化成的角是270°到360°间的角，则利用360°-α及
-α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数.
(4)善于发现类似 －与 间的互余关系， －与 2
3 6 3 3
间的互补关系，利用角的变换结合诱导公式做题.
【变式训练】(2013²广东高考)已知 sin( 5 ) 1 ， 那么
1.3 三角函数的诱导公式(二)
诱导公式五、六
1.公式的表达形式
cos
sin
(2021年整理)三角函数的诱导公式(二)(附答案)
（完整）三角函数的诱导公式(二)(附答案)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）三角函数的诱导公式(二)(附答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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三角函数的诱导公式（二）[学习目标］ 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用解决简单的求值、化简与证明问题。
2。
对诱导公式一至六，能作综合归纳,体会六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3。
继续体会知识的“发生"、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．知识点一诱导公式五~六（1)公式五：sin错误!＝cos α；cos错误!＝sin α.以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六:sin错误!＝cos α；cos错误!＝－sin α。
思考1 根据任意角α与错误!－α的终边关于直线y＝x对称，推导诱导公式五．思考 2 根据错误!＋α＝π－(错误!－α）这一等式，利用诱导公式四和诱导公式五推导诱导公式六．知识点二诱导公式的理解、记忆与灵活应用公式一~四归纳：α＋2kπ（k∈Z)，－α,π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,简记为：“函数名不变，符号看象限"．公式五～六归纳：错误!±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定"．六组诱导公式可以统一概括为“k·错误!±α(k∈Z）”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变;前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限"．思考请你根据上述规律，完成下列等式．sin(错误!π－α)＝－cos α，cos(错误!π－α）＝－sin αsin（错误!π＋α)＝－cos α，cos（错误!π＋α）＝sin α.题型一利用诱导公式求值例1 已知cos错误!＝错误!,错误!≤α≤错误!，求sin错误!的值．解∵α＋错误!＝错误!＋错误!，∴sin（α＋错误!)＝sin错误!＝cos错误!＝错误!。
三角函数的诱导公式(一) 省一等奖课件
(4) 设点P(x，y)，则点P'怎样表示？ [P' (－x,－y) ]
(5) sin210 与sin30 的值关系如何？
o o
讲授新课
对于任意角 ，sin与sin(180＋ ) 的关系如何呢？
讲授新课
思考下列问题二： (1) 角与(180 +)的终边关系如何？
o o
(2) 设与(180 +)的终边分别交单位圆于P， P'，则点P与P'具有什么关系？
公式吗？其公式结构特征如何？
讲授新课
诱导公式(三)
讲授新课
诱导公式(三)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
讲授新课
诱导公式(三)的结构特征
讲授新课
诱导公式(三)的结构特征
① 函数名不变，符号看象限 (把看作 锐角时); ② 把求(－)的三角函数值转化为求 的三角函数值.
o o
tan与tan(180 +)关系如何？
o
(5) 经过探索, 你能把上述结论归纳成公式
吗？其公式特征如何？
讲授新课
诱导公式(二)
讲授新课
诱导公式(二)
sin( 180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) tan
o
(2) 210 角的终边与30 的终边关系如何？ [互为反向延长线或关于原点对称]
o
பைடு நூலகம்
o
讲授新课
思考下列问题一： (3) 设210 、30 角的终边分别交单位圆于 点P、P'，则点P与P'的位置关系如何？
o o
(4) 设点P(x，y)，则点P'怎样表示？
【精品】高中数学 必修4_三角函数的诱导公式_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)提高
三角函数的诱导公式【学习目标】1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(απαπ±±,2的正弦、余弦、正切)；2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式. 【要点梳理】 要点一：诱导公式 诱导公式一：sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二：sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式三：sin[((21)]sin k απα++=-， cos[(21)]cos k απα++=-， tan[(21)]tan k απα++=，其中k Z ∈诱导公式四：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 要点诠释：(1)要化的角的形式为α±⋅ο90k (k 为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；(4)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.要点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为k ·90°+α（|α|<45°）的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”： “奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±o(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基本题型(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值. ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式. 【典型例题】类型一：利用诱导公式求值【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例2】例1．求下列各三角函数的值： （1）252525sincos tan()634πππ++-； （2）()()cos 585tan 300---o o（3）2222132131sin cos 6tan 10cot 243ππππ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解． 【答案】（1）0（2）2-（3）16【解析】（1）原式=sin(4)cos(8)tan(6)634ππππππ+++-+sincostan634111022πππ=+-=+-=（2）原式=cos(18045)tan(36060)++-o o o o =cos 45tan 60--o o= （3）原式=2222sin (6)cos (5)6tan 10cot (10)243πππππππ+-++-+=2222sin cos 6tan 0cot 243πππ-+-=111023-+-=16【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具． 举一反三：【变式】（1）10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．【答案】（1）2（2）2-（3）1 【解析】（1）1010sin sin 33ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭44sin 2sin 33πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭sin sin sin 3332ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）3177coscos 4cos 666ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos cos 662πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭． （3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1． 例2．已知函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中a 、b 、α、β都是非零实数，又知f （2009）=－1，求f （2010）．【解析】 (2009)sin(2009)cos(2009)f a b παπβ=+++sin(2008)cos(2008)a b ππαππβ=+++++sin()cos()sin cos (sin cos )a b a b a b παπβαβαβ=+++=--=-+．∵f （2009）=－1 ∴sin cos 1a b αβ+=． ∴(2010)sin(2010)cos(2010)f a b παπβ=+++sin cos 1a b αβ=+=．【总结升华】 求得式子sin cos 1a b αβ+=，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．举一反三：【变式1】 已知1cos(75)3α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°―α)+sin(α―105°)的值．【答案】13【解析】 ∵cos(105°－α)=cos[180°－(75°+α)]=－cos(75°+α)=13-,sin(α―105°)=―sin[180°－(75°+α)]=－sin(75°+α)， ∵α为第三象限角，∴75°+α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上．又cos(75°+α)=13＞0，∴75°+α为第四象限，∴sin(75)3α︒+===-．∴11cos(105)sin(105)333αα︒-+-︒=-+=．【总结升华】 解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+α=180°－(105°－α)或105°－α=180°－(75°+α)等．【变式2】已知3sin()2παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭))απβ-=+，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．【解析】由已知得sin αβ=αβ=． 两式平方相加，消去β，得22sin 3cos 2αα+=， ∴21cos 2α=，而0απ<<，∴cos 2α=±，∴4πα=或34πα=．当4πα=时，cos 2β=，又0βπ<<，∴6πβ=；当34πα=时，cos 2β=-，又0βπ<<，∴56βπ=．故4πα=，6πβ=或34πα=，56βπ=． 类型二：利用诱导公式化简 例3．化简(1)sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-o o o o ；(2)sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-.【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.【答案】（1）-1（2）略 【解析】(1)原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--==-=-+-；(2)①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-.②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+.【总结升华】(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了； (2)关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.举一反三： 【变式1】化简 （1）()()()()cos cot 7tan 8sin 2-⋅--⋅--αππαπααπ；（2）()sin2n n Z π∈； （3）()222121tan tan ,22n n n Z παπα++⎛⎫⎛⎫+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）sin()cos[(1)]sin[(1)]cos(]k k k k παπαπαπα---+++，()k z ∈．【解析】（1）原式=[]cos()cot()tan(2)sin(2)παπαπαπα----+=cos cot (tan )(sin )αααα-⋅-=3cot α（2）1,(41)sin1,(43)20,(2)n k n n k n k π=+⎧⎪=-=+⎨⎪=⎩ （3）原式=22cot cot αα-=0（4）由(k π+α)+(k π―α)=2k π，[(k ―1)π―α]+[(k+1)π+α]=2k π，得cos[(1)]cos[(1)]cos()k k k παπαπα--=++=-+，sin[(1)]sin()k k παπα++=-+．故原式sin()[cos()]1sin()cos()k k k k παπαπαπα-+-+==--++．【总结升华】 常见的一些关于参数k 的结论： （1）sin()(1)sin ()k k k Z παα+=-∈； （2）cos()(1)cos ()k k k Z παα+=-∈； （3）1sin()(1)sin ()k k k z παα+-=-∈； （4）cos()(1)cos ()k k k Z παα-=-∈． 类型三：利用诱导公式进行证明例4．设8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求证：1513sin 3cos 37720221sin cos 77m m ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁”到“简”，从左边到右边的方法．【证明】 证法一：左边88sin 3cos 37788sin 4cos 277πππααπππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦888sin 3cos tan 3777888sin cos tan 1777πππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31m m +=+=右边． ∴等式成立．证法二：由8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴左边sin 23cos 277sin 2cos 277πππαπαππππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααπππαπα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 3371tan 17m m παπα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭=右边， ∴等式成立． 举一反三：【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例4 】 【变式1】设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，求证： （1）()sin sin A B C +=；（2）sincos22A B C+=； （3）tan cot 22A B C+=【解析】（1）左边=sin()sin()sin A B c C π+=-==右边，等式得证． （2）左边=sin2A =()sin cos cos 2222B C B C B C ππ-+++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=右边，等式得证． （3）左边=tantan cot 2222A B C C π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=右边，等式得证． 【变式2】求证：232sin cos 1tan(9)12212sin ()tan()1ππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-++-． 证明：∵左边2232sin sin 12sin (sin )12212sin 12sin πππθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+----⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 22222sin sin 12cos sin 1212sin cos sin 2sin πθθθθθθθθ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭==-+-222(sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ++==--，右边tan(9)1tan 1sin cos tan()1tan 1sin cos πθθθθπθθθθ++++===+---，∴左边=右边，故原式得证． 类型四：诱导公式的综合应用例5．已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f παππαααπαπα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限的角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值． （3）若313πα=-，求()f α的值． 【解析】 （1）(sin )cos (cos )()cos (cos )sin f ααααααα-⋅⋅-==--．（2）∵3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴1sin 5α=-，∴cos α==()f α=． （3）31315cos cos 62333f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭51cos cos 332ππ=-=-=-． 【总结升华】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．举一反三： 【变式1】已知α、β均为锐角，cos()sin()αβαβ+=-，若()sin cos 44f ππααα⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【解析】由cos()sin()αβαβ+=-得cos()cos ()2παβαβ⎡⎤+=--⎢⎥⎣⎦，又α、β均为锐角．则()2παβαβ+=--，即4πα=．于是，sin cos 0222f ππα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭．【巩固练习】1．sin585°的值为（ ）A．2-B．2 C．2- D．2A ．13 B ． 13- C． D3．已知(cos )cos3f x x =，则(sin 30)f ︒的值等于（ ）A ．―1B ．1C ．12D ．0）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25．若sin cos 2sin cos αααα+=-，则3sin(5)sin 2παπα⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭等于（ ） A ．34 B ．310 C ．310± D ．310-6．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形7．已知3sin()cos(2)tan 2()cos()f ππαπαααπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=--，则313f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12 B ．12- C．2 D．2-8．已知cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）A ．23+B ．23+-C ．23- D．23-+9．计算：)425tan(325cos 625sinπππ-++＝ ．10．若()θ+ο75cos 31=，θ为第三象限角，则()()θθ++--οο435sin 255cos 的值是 ． 11．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=__________. 12．（1）cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°的值为________；（2）cos 21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289°的值为________。
1.3三角函数的诱导公式—1学练案及答案
§1.3三角函数的诱导公式—1设计者：杨文锟学习目标1、掌握+πα、α-的三角函数与α的三角函数间的关系；. 学习过程 一、复习准备 复习1：写出2k πα+的三角函数与α的三角函数间的关系式：sin(2)k πα+=sin α；cos(2)k πα+=cos α； tan(2)k πα+=tan α.()k Z ∈结论：（1）终边相同的角的同名三角函数值 相等 ； （2）作用：将任意角的三角函数转化为0~2π(0~360) 间的角的三角函数.复习二：设角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，(,)P x y 为其终边上不同于顶点的任意一点，则sin α=yr；cos α=xr ；tan α=yx（其中22rx y=+.二、新课学习※学习探究一：在同一坐标系中，角πα+的终边与角α的终边有什么关系？(,)P x y α点，则点(,)P x y '--在角πα+的终边上.由此，试计算：sin()πα+=yr-、cos()πα+=x r -、tan()πα+=yx，并分别与sin α、cos α、tan α比较.结论（公式二）：sin()πα+=sin α-、cos()πα+=cos α-、tan()πα+=tan α.※典例选析例1 求值：（1）sin 225； （2）16cos 3π；解：（1）sin 225sin(18045)=+2sin 452=-=-；（2）1644cos cos(4)cos 333ππππ=+=1cos()cos 332πππ=+=-=-变式练习1 将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在横线上（1）13cos9π=4cos 9π-； （2）sin(1)π+=sin1-.※学习探究二：仿照学习探究一的步骤，参照课本第23页图1.31-，推导出α-与α的三角函数间的关系式：sin()α-=sin α-、cos()α-=cos α、tan()α-=tan α-※典例选析例2 求值：（1）34sin()3π-； （2）13tan()4π- 解：（1）3434sin()sin33ππ-=- 44sin(10)sin33πππ=-+=- 3sin()sin 33πππ=-+==（2）1313tan()tan44ππ-=- 55tan(2)tan44πππ=-+=- tan()tan 144πππ=-+== 例3 化简 cos(180)sin(360)sin(180)cos(180)αααα+⋅+--⋅--解：原式化为cos sin cos sin 1sin(180)cos(180)sin cos αααααααα-⋅⋅==-+⋅+⋅o α πα+ xy (,)P x y变式练习2 填空 （1）cos(420)-=12； （2）7sin()6π-=12； （3）tan(1305)-=1-；（4）79cos()6π-=32-； （5）sin(180)cos()sin(180)ααα+--- 2sin cos αα=-；（6）3sin ()cos(2)tan()απααπ-+--=4sin α.小结：运用公式特别注意：（1）公式的格式；（2）三角函数值的符号. 三、总结提升※学习小结 化归思想：任意负角的三角函数−−−→公式三任意正角的三角函数−−−→公式一0~3600~2π （）间角的三角函数→0~900~2π（）间角的三角函数. 当堂检测1、下列式子正确的是（ C ）.A sin()sin 55ππ-= .B 32coscos 55ππ= .C 6tan tan 55ππ= .D cos sin 155ππ+= 2、25tan()4π-=1-3、若1cos()2x π+=，则cos()x -=12-.课后预习1、观察课本第23页图1.31-，角πα-的终边与角α的终边有什么关系？关于y 轴对称.2、设(,)P x y 是角α终边上不同于顶点的一点，试计算：sin()πα-=y r、cos()πα-=x r-、tan()πα-=y x-，并分别与sin α、cos α、tan α比较.你能否得出结论：sin()πα-=sin α、cos()πα-=cos α-、tan()πα-=tan α-.。
1.3 三角函数的诱导公式(知识梳理+练习+答案)
1.3 三角函数的诱导公式知识梳理：1． 当︒<<︒900α即是锐角，是第一象限的角时下列各角与α的关系是什么？απ+的终边与角α终边关于 对称，它是第 象限角。
απ-的终边与角α终边关于 对称，它是第 象限角。
α-的终边与角α终边关于 对称，它是第 象限角。
απ-2的终边与角α终边关于 对称，它是第 象限角。
2.公式二：ααπsin )sin(-=+ααπcos )cos(-=+ααπtan )tan(=+公式三：ααsin )sin(-=-ααcos )cos(=-ααtan )tan(-=-公式四：ααπsin )sin(=-ααπcos )cos(-=-ααπtan )tan(-=-公式五：ααπsin )2sin(-=-ααπcos )2cos(-=-公式六：ααπsin )2sin(-=+ααπcos )2cos(=+概括公式一~四：)(2Z k k ∈⋅+πα, α-,απ±的三角函数值， 概括公式五和六：απ±2的正弦（余弦）函数值， 口诀：奇变偶不变，符号看象限Z k k∈±⋅,2απ 练习题:一、选择题。
1、如果|cos x |=cos （x +π），则x 的取值集合是（ ）A ．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B ．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k π C ． 2π+2k π≤x ≤2π3+2k π D ．（2k +1）π≤x ≤2（k +1）π（以上k ∈Z ） 2、sin （－6π19）的值是（ ） A ． 21 B ．－21 C ．23 D ．－23 3、下列三角函数：①sin （n π+3π4）；②cos （2n π+6π）；③sin （2n π+3π）；④cos ［（2n +1）π－6π］； ⑤sin ［（2n +1）π－3π］（n ∈Z ）． 其中函数值与sin3π的值相同的是（ ） A ．①② B ．①③④ C ．②③⑤ D ．①③⑤4、若cos （π+α）=－510，且α∈（－2π，0），则tan （2π3+α）的值为（ ） A ．－36 B ．36 C ．－26 D ．26 5、设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）A ．cos （A +B ）=cosC B ．sin （A +B ）=sin CC ．tan （A +B ）=tan CD ．sin2B A +=sin 2C 6、函数f （x ）=cos3πx （x ∈Z ）的值域为（ ） A ．{－1，－21，0，21，1} B ．{－1，－21，21，1}C ．{－1，－23，0，23，1} D ．{－1，－23，23，1}二、填空题。