2016年河南省许昌、新乡、平顶山三市联考高考数学二模试卷(理科)
2016年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)(解析版)
（1）根据以上数据，能否有 60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？ （2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠送营养面膜 1 份，求所抽取 的 5 人中“微信控”和“非微信控”的人数； （3）从（2）中抽选取的 5 人中再随机抽取 3 人赠送价值 200 元的护肤品套装，记这 3 人中 “微信控”的人数为 X，试求 X 的分布列及数学期望． 参考公式： P（K
3
） C．﹣e D．﹣
B．﹣e
2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上．. 13． （5 分）将函数 f（x）＝sin（2x+φ） （|φ|＜ ）的图象向左平移 个单位后的图形关
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于原点对称，则函数 f（x）在[0， 14． （5 分）若 y （x+
3
10． （5 分）在△ABC 中，BC＝7，cosA＝ ，sinC＝ ﹣λ） A．3
，若动点 P 满足
+（1 ）
（λ∈R） ，则点 P 的轨迹与直线 AB、AC 所围成的封闭区域的面积为（ B．4 C．6 D．12
11． （5 分）如图，在长方形 ABCD 中，AB＝
，BC＝1，E 为线段 DC 上一动点，现将△
3 n *
]上的最小值为
． ．
） （n∈N ）的展开式中存在常数项，则常数项为
15． （5 分）已知等差数列{an}的公差 d≠0，且 a1，a3，a13 成等比数列，若 a1＝1，Sn 是数 列{an}前 n 项的和，则
2
的最小值为
．
16． （5 分）已知抛物线 y ＝4x，过其焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点，M 为抛物线的 准线与 x 轴的交点，tan∠AMB＝ ，则|AB|＝ ．
【河南省许昌、新乡、平顶山】2016年高考二模(理科)数学试卷
A．189 B． 381 C． 93 D． 45
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． {aa | 2} B．{aa | 1} C．{aa | 1} D．{aa | 2}
3．“ a 3”是“直线 ax2 y 3 a 0 和直线 31x() a y a 7 平行”的（ ）
3 2
5．已知焦点在 x 轴上的椭圆方程为 a，随着 a 的增大该椭圆的形状（ ）
A．越接近于圆 B．越扁
河南省许昌、新乡、平顶山 2016 年三市联考高考二模(理科)数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的．)
2
1．复数 z 的共轭复数是（ ）
23 34 32
π x π 2π
9．若函数 f( x ) 4sin x sin2 ( ) cos2x ( 0) 在[] , 上是增函数，则 的取值范围是（ ）
1 1
A． 2 B．1 C． D．
C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆
2 1 a
6．设 axdx(12) ，则二项式 ()x26 的常数项是（ ）
2
1
1 + i
A．1i B．1i C． 1i D． 1i
2．设集合 A x x { 1 2| } , B x x{ a | } ,若 ABA ,则 a 的取值范围是（ ）
- 1 - / 5
11 π 11 π 13 π
A． B． 32 π C． D．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
许昌、新乡、平顶山市届高三下学期第三次模拟考试数学试题及答案(理)
河南省许昌、新乡、平顶山市2016届高三下学期第三次模拟考试（理）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．问答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号，写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1．设复数z 1＝－1＋3i ，z 2＝1＋i ，则1212z z z z ＋－＝（ ） A ．－1－i B ．1＋i C ．1－i D ．－1＋i2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优 良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A ．0．8 B ．0．75 C ．0．6 D ．0．453．如图所示的程序框图，当输入n ＝50时，输出的结果是i ＝（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4．函数f （x ）＝cos （ωx ＋ ）的部分图象如图所示，则下 列结论成立的是( )A ．f （x ）的递增区间是（2k π－5π12，2k π＋π12），k ∈Z B ．函数f （x －π3）是奇函数C ．函数f （x －π12）是偶函数 D ．f （x ）＝cos （2x －π6）5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．54B ．60C ．66D ．726．经过原点并且与直线x ＋y －2＝0相切于点（2，0）的圆的标准方程是( )A ．22(1)(1)x y －＋＋＝2 B ．422(1)(1)x y ＋＋－＝2C ．22(1)(1)x y －＋＋＝4 D ． 22(1)(1)x y ＋＋－＝47．已知{n a }为等比数列，4a ＋7a ＝2，56a a ＝－8，则1a ＋10a ＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－78．设函数f （x ）对x ≠0的实数满足f （x ）－2f （1x）＝3x ＋2，那么＝( )A ．－（72＋2ln2）B ．72＋2ln2C ．－（72＋ln2） D ．－（4＋2ln2）9．下列命题中，真命题是( ) A ．0x ∃∈R ，使0e x＜0x ＋1成立B ．k ，b ，c ∈R ，3a ＋3b ＋3c ＝3kbc 的充要条件是k ＝b ＝cC ．对x ∀∈R ，使2x＞2x 成立D ．k ，b ∈R ，k ＞b 是k ｜k ｜＞b ｜b ｜的充要条件10．设F 1、F 2分别为双曲线（k ＞0，b ＞0）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足｜PF 2｜＝｜F 1F 2｜,且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝011．在由数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 A ．372 B ．180 C ．192 D ．30021()f x dx ⎰22221x y a b－＝12．设x ∈（1，＋∞），在函数f （x ）＝ln xx的图象上，过点P （x ，f （x ））的切线在y 轴上的截距为b ，则b 的最小值为( )A ．eB ．e2 C ．2e 2 D ．2e 4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x ，y 满足约束条件：则x －y 的取值范围是___________．14．如图，△ABC 中，BD uu u r ＝2DC uuu r ，AE uu u r ＝m AB uu u r ，AF u u u r＝n AC uuu r ，m ＞0，n ＞0，那么m ＋2n 的最小值是__________．15．已知数列{n a }满足k 1＝1，1n a ＋＋(1)nn a －＝2n ，其前n 项和为n S ，则20162016S ＝________。
2016届河南省顶级名校高三第二次联考数学(理)试题
2016届河南省顶级名校高三第二次联考数学（理）试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}23x x A =-≤≤，{}2280x x x B =+->，则A B = （ ）A ．()[),42,-∞--+∞B ．(]2,3C ．(](),34,-∞-+∞D ．[)2,2- 2.已知()()13243z i i i -+-=+（其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数），则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 3.已知1sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos cos 3x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．BC ．13-D ．134.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．223π-B ．423π-C ．53πD ．22π-5.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布()1,1N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A ．1193 B ．1359 C ．2718 D ．3413 附：若()2,μσX N ，则()0.6826μσμσP -<X ≤+=，()220.9544μσμσP -<X ≤+=．6.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ） A ．25 B ．1225 C ．1625 D ．457. 设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为（ ）A ．252 B ．492C ．12D ．14 8. 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点()F ,0c -关于直线0bx cy +=的对称点P 在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ） ABCD9.据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km 处的热带风暴中心正以20km /h 的速度向东北方向移动，距风暴中心300km 以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（ ）A ．9hB ．10hC ．11hD ．12h10.已知四面体CD AB 的顶点A 、B 、C 、D 在空间直角坐标系中的坐标分别为()1,0,0，()0,1,0，()0,0,1，111,,333⎛⎫--- ⎪⎝⎭，O 为坐标原点，则在下列命题中，正确的是（ ） A ．D O ⊥平面C AB B ．直线//OB 平面CD A C ．直线D A 与OB 所成的角是45 D ．二面角D -OB -A 为4511.已知双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点．P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2F P 分别交双曲线C 左、右支于另一点M ，N ．若12F 2F P =P ，且2F 60∠M N = ，则双曲线C 的离心率是（ ）ABCD 12.设直线y t =与曲线()23y x x =-的三个交点分别为(),a t A 、(),b t B 、()C ,c t ，且a b c <<．现给出如下结论：①abc 的取值范围是()0,4；②222a b c ++为定值；③c a -有最小值无最大值． 其中正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()1,2a = ，()1,0b = ，()3,4c = ，若λ为实数，()a b c λ+⊥，则λ的值为 ．14.在()()41x y x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则y 的值是 ．15.三棱锥C P -AB 中，平面C PA ⊥平面C AB ，C PA =P =AB =，C 4A =，C 30∠BA = ．若三棱锥C P -AB 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ． 16.已知()12n n n a +=，删除数列{}n a 中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{}n b ，则51b = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a b =，又sin A ，sin C ，sin B 成等差数列．（I ）求()cos C B +的值；（II ）若C S ∆AB =，求c 的值．18.某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数（Q A I ）的监测数据，结果统计如下：（I ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？（II ）已知某企业每天的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为0,0100400,1003002000,300x y x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望．19. 已知在多面体CD S P -AB 中，底面CD AB 为矩形，C 1AB =P =，D 2S A =A =，且//C S A P ，且S A ⊥面CD AB ，E 为C B 的中点． （1）求证：//AE 面D S P ；（2）求二面角D S B -P -的余弦值．20.已知抛物线:E 22y px =（0p >）上一点()0,4x M 到焦点F 的距离05F 4x M =． （I ）求E 的方程；（II ）过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，AB 的垂直平分线l '与E 相交于C ，D 两点，若C D 0A ⋅A =，求直线l 的方程．21.设函数()()1xf x e a x =-+（e 是自然对数的底数， 2.71828e =⋅⋅⋅）．（1）若()00f '=，求实数a 的值，并求出函数()f x 的单调区间； （2）设()()x ag x f x e=+，且()()11,x g x A ，()()22,x g x B （12x x <）是曲线()g x 上任意两点，若对任意的1a ≤-，恒有()()()2121g x g x m x x ->-成立，求实数m 的取值范围； （3）求证：())13212nnn n n n ++⋅⋅⋅+-<（n *∈N ）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，C ∆AB 内接于O ，C AB =A ，直线MN 切O 于点C ，弦D//B MN ，C A 与D B 相交于点E ． （1）求证：CD ∆ABE ∆A ∽；（2）若6AB =，C 4B =，求AE 的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ． （I ）写出Γ的参数方程；（II ）设直线:l 3260x y +-=与Γ的交点为1P ，2P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =++-．（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包含[]1,2，求a 的取值范围．16届高三第二次联考 理科数学参考答案一、选择题1.A2.A3.B4.A5.B6.C7.A8.D9.B 10.A 11.B 12.C 二、填空题13.311-14.4 15. 18π 16. 5151 三、解答题17.解：（I ） sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，∴sin sin 2sin C A +B =， （1分） 由正弦定理得2a b c +=， （3分）又2a b =，可得23b c =， （4分） ∴2222222416199cos 22423c c c b c a bc c +-+-A ===-⨯， （6分） C πA +B +=，∴C πB +=-A ，∴()()1cos C cos cos 4πB +=-A =-A =． （8分）2=c = （12分） 18.解：（I ）根据题设中的数据得到如下22⨯列联表：将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得()22100227638 4.57585153070⨯-⨯K =≈⨯⨯⨯．因为4.575 3.841>，所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”．…………………6分 （II ）任选一天，设该天的经济损失为X 元，则()()201001001005x P X ==P ≤≤==，()()651340010030010020x P X ==P <≤==， ()()153200030010020x P X ==P >==， 所以()1330400200056051220E X =⨯+⨯+⨯=．故该企业一个月的经济损失的数学期望为()3016800⨯E X =元．…………………12分19.解：（1）取D S 的中点F ，连接F P ，过F 作Q P ⊥面CD AB 交D A 于Q ，连接QC ，S A ⊥面CD AB ，∴//FQ S A ， F 为D S 的中点，∴Q 为D A 的中点，1FQ 2S =A ，1C 2S P =A ， ∴FQ C =P ，且FQ//C P ，所以C FQ P 为平行四边形，∴F//CQ P ，又 Q//C A E ，Q C A =E ，所以四边形CQ AE 为平行四边形，∴//CQ AE 又F//CQ P ，∴//F AE P ，F P ⊂面D S P ，AE ⊄面D S P ，∴//AE 面D S P ．（2）分别以AB ，D A ，S A 所在的直线为x ，y ，z 轴，以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系xyz A -，则()1,0,0B ，()D 0,2,0，()0,0,2S ，()1,2,1P ，()1,2,1S P =- ，()1,0,2S B =- ，()D 0,2,2S =-，设面S BP 与面D S P 的法向量分别为()111,,m x y z = ，()222,,n x y z =，则0S m S m ⎧P ⋅=⎪⎨B⋅=⎪⎩ ，可得111112020x y z x z +-=⎧⎨-=⎩，1111122y z x z ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，取12z =可得()4,1,2m =- ， 0D 0S n S n ⎧P ⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，2222220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，2222x z y z =-⎧⎨=⎩，取21z =可得()1,1,1n =- 两平面的法向量所成的角的余弦值为cos ,m n m n m n ⋅===． 因为二面角DS B -P -为钝角，该二面角的余弦值为．20.解：（I ）由抛物线的定义，得0F 2p x M =+，又05F 4x M =， ∴00524p x x +=，即02x p =，∴()2,4p M ． ()2,4p M 在抛物线22y px =（0p >）上，∴2416p =，解得2p =-（舍去）或2p =．故E 的方程为24y x =．（II ）由题意可知，直线l 的斜率存在，且不等于0， 故可设l 的方程为()1y k x =-（0k ≠）．由()214y k x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 并整理，得()2222240k x k x k -++=．其判别式()()224212441610k k k ∆=+-=+>设()11,x y A ，()22,x y B ，则212224k x x k++=， ∴()121242y y k x x k k+=+-=． ∴AB 的中点P 的坐标为2222,k kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()2122412k x x k +AB =++=． 又l '的斜率为1k -，其方程为22212k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭，即223x ky k =-++ 由22234x ky k y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，消去x 并整理，得2224430y ky k ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭．其判别式()222222241631630k k k k ⎛⎫⎛⎫∆=++=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 设()33C ,x y ，()44D ,x y ，则344y y k +=-，342243y y k ⎛⎫=-+⎪⎝⎭． ∴()4223434222244642346k k x x k y y k k k k ++⎛⎫+=-+++=++= ⎪⎝⎭． ∴CD 的中点Q 的坐标为422232,2k k k k ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，-=== C D 0A ⋅A = ，∴C D A ⊥A ，即C D A ⊥A ，∴1Q CD 2A =．又2221Q Q 2⎛⎫AB +P =A ⎪⎝⎭，∴22211Q CD 44AB +P =，即()22222411144k k ⎡⎤+⎢⎥+=⎢⎥⎣⎦， 化简，得210k -=，解得1k =±．故所求直线l 的方程为()1y x =±-，即10x y --=，或10x y +-=． 21. 解：（I ） ()xf x e a '=-，()010f a '=-=，故1a =．…………1分令()10xf x e '=->得0x >；令()10xf x e '=-<得0x <．…………3分所以()f x 的单调递增区间为()0,+∞；单调递减区间为(),0-∞．…………4分（II ）由()()2121g x g x m x x ->-（12x x <）变形得：()()2211g x mx g x mx ->-．…………5分令函数()()F x g x mx =-，则()F x 在R 上单调递增．…………6分∴()()F 0x g x m ''=-≥即()m g x '≤在R 上恒成立．…………7分())2113x x a g x e a a a e '=--≥=-+=+-≥故3m ≤…………8分（III ）由（I ）知1xe x ≥+，取2ix n=-（1i =，3，⋅⋅⋅，21n -）得，212in i e n --≤，即222nin i e n --⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，累加得：()12212312221113212221n nnnn n e e n e e e n n n e ----------⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴())13212nnn n n n ++⋅⋅⋅+-<，…………12分 22.解：（1）在∆ABE 和CD ∆A 中C AB =A ，CD ∠ABE =∠A ，DC ∠BAE =∠E D//B MN ，∴DC DC ∠E =∠N 直线是圆的切线，∴DC C D ∠N =∠A∴C D ∠BAE =∠A ，∴CD ∆ABE ∆A ∽（2） C C ∠EB =∠B M ，C DC ∠B M =∠B∴C DC C ∠EB =∠B =∠BA ，C CD 4B ==又C C C C C ∠BE =∠BA +∠ABE =∠EB +∠ABE =∠AB =∠A B∴C 4B =BE =设x AE =，易证D C ∆ABE ∆E ∽，∴D DC 42D 63x xE ==⇒E =AB 又C D AE⋅E =BE⋅E ，C 6x E =-，∴()2463x x x ⋅=-，103x =23.解：（I ）设()11,x y 为圆上的点，在已知变换下变为Γ上点(),x y ，依题意，得1123x x y y =⎧⎨=⎩，即1123x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．由22111x y +=，得22123x y ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即曲线Γ的方程为22149x y +=． 故Γ的参数方程为2cos 3sin x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数）．…………5分（II ）由221493260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩或03x y =⎧⎨=⎩． 不妨设()12,0P ，()20,3P ，则线段12P P 的中点坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所求直线的斜率23k =．于是所求直线方程为()32123y x -=-，即4650x y -+= 化为极坐标方程，得4cos 6sin 50ρθρθ-+=．…………………10分 24.（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥⇔-+-≥2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⎨-+-≥⎩ 1x ⇔≤或4x ≥- 11 - ∴原不等式的解集为(][),14,-∞+∞ ．（2）原命题()4f x x ⇔≤-在[]1,2上恒成立 24x a x x ⇔++-≤-在[]1,2上恒成立 22x a x ⇔--≤≤-在[]1,2上恒成立30a ⇔-≤≤ ∴a 的取值范围为[]3,0-．。
2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B）A．（2，3]B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）2．（5分）已知（﹣1+3i）（2﹣i）＝4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z 的虚部为（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）已知sin（x+）＝，则cos x+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C．D．2π﹣25．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544．A．1193B．1359C．2718D．34136．（5分）某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12D．148．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线bx+cy＝0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．（5分）据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h 的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（）A．9h B．10h C．11h D．12h10．（5分）已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）A．OD⊥平面ABCB．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°11．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设直线y＝t与曲线C：y＝x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（1，0），＝（3，4），若λ为实数，（λ+）⊥，则λ的值为．14．（5分）在（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则y的值是．15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，P A＝PC＝AB＝2，AC＝4，∠BAC ＝30°．若三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．16．（5分）已知a n＝，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2b，又sin A，sin C，sin B成等差数列．（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若，求c的值．18．（12分）某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为y＝试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．参考公式：K2＝19．（12分）已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝PC＝1，AD＝AS＝2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|＝x0．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）过F的直线l与E相交于A，B两点，AB的垂直平分线l′与E相交于C，D两点，若＝0，求直线l的方程．21．（12分）设函数f（x）＝e x﹣a（x+1）（e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）若f'（0）＝0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x）+，且A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线y＝g （x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，恒有g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围；（3）求证：1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC是内接于⊙O，AB＝AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB＝6，BC＝4，求AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．将圆x2+y2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+2y﹣6＝0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|①当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B）A．（2，3]B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+4）＞0，解得：x＜﹣4或x＞2，即B＝（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），∵A＝[﹣2，3]，∴A∪B＝（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞），故选：B．2．（5分）已知（﹣1+3i）（2﹣i）＝4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z 的虚部为（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【解答】解：（﹣1+3i）（2﹣i）＝4+3i，可得＝＝+1﹣3i＝＝2﹣i，z＝2+i，复数的虚部为：1．故选：A．3．（5分）已知sin（x+）＝，则cos x+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：cos x+cos（﹣x）＝cos x+cos x+sin x＝cos x+sin x＝sin（x+）＝，故选：B．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C．D．2π﹣2【解答】解：由三视图可知该几何体为圆柱挖去一个四棱锥得到的，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面为正方形，边长为，棱锥的高为1，∴几何体的体积V＝π×12×2﹣＝2π﹣．故选：A．5．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544．A．1193B．1359C．2718D．3413【解答】解：正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]＝×（0.9544﹣0.6826）＝0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p＝＝0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359＝1359．故选：B．6．（5分）某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）＝＝，P（B）＝，∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：p（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）＝＝．故选：C．7．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12D．14【解答】解：法1：作出不等式组对应的平面区域如图由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）＝2x（5﹣x））≤2（）2＝，当且仅当x＝，y＝5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，法2：设z＝xy，则y＝为双曲线，要使z＝xy最大，则z＞0，∵由图象可知当z＝xy与2x+y＝10相切时，z＝xy取得最大值，∴2x+＝10即2x2﹣10x+z＝0，由判别式△＝100﹣8z＝0，得x＝＝，即xy的最大值为，故选：A．8．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线bx+cy＝0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设P（m，n），由题意可得，∴m＝，n＝﹣，代入椭圆+＝1，解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2＝1，可得，4e6+e2﹣1＝0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1＝0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）＝0解得e＝．故选：D．9．（5分）据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h 的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（）A．9h B．10h C．11h D．12h【解答】解：设码头为A，风暴中心开始位置为B，码头开始受风暴影响时风暴中心为C，码头结束风暴影响时风暴中心为D，则AB＝400，AC＝AD＝300，∠B＝45°，过A作AE⊥BD于E，则AE＝AB sin B＝200，∴CE＝＝100，∴CD＝2CE＝200，∴码头受风暴影响时间为＝10h．故选：B．10．（5分）已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）A．OD⊥平面ABCB．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°【解答】解：在A中：∵四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，∴＝（﹣），＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，0，1），＝，＝＝0，∴OD⊥AB，OD⊥AC，又AB∩AC＝A，∴OD⊥平面ABC，故A正确；在B中：∵＝（0，1，0），＝（﹣1，0，1），＝（﹣），设平面ACD的法向量＝（x，y，z），∴，取x＝1，得＝（1，﹣5，1），∵＝﹣5≠0，∴直线OB∥平面ACD不成立，故B错误；在C中：∵＝（0，1，0），＝（﹣），∴cos＜＞＝＝＝﹣，∴直线AD与OB所成的角不是45°，故C错误；在D中：＝（0，1，0），＝（1，0，0），＝（﹣），设平面AOB的法向量＝（a，b，c），则，∴＝（0，0，1），设平面AOD的法向量＝（x1，y1，z1），则，取y1＝1，得＝（0，1，﹣1），cos＜＞＝＝＝﹣，∴二面角D﹣OB﹣A为135°，故D错误．故选：A．11．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵∠MF2N＝60°，∴∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得4c2＝16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，∴c＝a，∴e＝＝．故选：B．12．（5分）设直线y＝t与曲线C：y＝x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：令f（x）＝x（x﹣3）2＝x3﹣6x2+9x，f′（x）＝3x2﹣12x+9，令f′（x）＝0得x＝1或x＝3．当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当x＝1时，f（x）取得极大值f（1）＝4，当x＝3时，f（x）取得极小值f（3）＝0．作出函数f（x）的图象如图所示：∵直线y＝t与曲线C：y＝x（x﹣3）2有三个交点，∴0＜t＜4．令g（x）＝x（x﹣3）2﹣t＝x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）的三个实根．∴abc＝t，a+b+c＝6，ab+bc+ac＝9，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝18．由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，∴c﹣a的值先增大后减小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值．故①，②正确，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（1，0），＝（3，4），若λ为实数，（λ+）⊥，则λ的值为．【解答】解：由题意可得λ+＝（1+λ，2λ）∵（λ+）⊥，∴（λ+）•＝0，代入数据可得3（1+λ）+4×2λ＝0，解之可得λ＝﹣故答案为：．14．（5分）在（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则y的值是3．【解答】解：∵（x+y）（x+1）4 ＝（x+y）（x4+4x3+6x2+4x+1）＝x5+4x4+6x3+4x2+x+y•x4+4yx3+6yx2+4yx+y，∴展开式中x的奇数次幂项的系数之和为1+6+1+4y+4y＝32，∴y＝3，故答案为：3．15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，P A＝PC＝AB＝2，AC＝4，∠BAC ＝30°．若三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为18π．【解答】解：∵AB＝2，AC＝4，∠BAC＝30°，∴BC＝＝2，∴三角形ABC的外接圆直径AC＝4，设球心为O，AC的中点为D，球的半径为R，则PD＝2∴R2＝（2﹣R）2+4，则有该三棱锥的外接球的半径R＝，∴该三棱锥的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×（）2＝18π．故答案为：18π．16．（5分）已知a n＝，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51＝5151．【解答】解：∵a n＝，∴，，＝6，，，，，，…∵a n＝，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，∴b51＝a101＝＝5151．故答案为：5151．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2b，又sin A，sin C，sin B成等差数列．（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若，求c的值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵sin A，sin C，sin B成等差数列，∴sin A+sin B＝2sin C，（1分）由正弦定理得a+b＝2c，（3分）又a＝2b，可得，（4分）]∴，（6分）∵A+B+C＝π，∴B+C＝π﹣A，∴．（8分）（Ⅱ）由，得，（9分）∴，（10分）∴，解得．（12分）18．（12分）某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为y＝试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．参考公式：K2＝【解答】解：（Ⅰ）根据题设中的数据得到如下2×2列联表：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：K2＝≈4.575．∵4.575＞3.841∴由95%的把握认为：“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”（Ⅱ）任选一天，设该天的经济损失为X元，则：P（X＝0）＝P（0≤x≤100）＝P（X＝400）＝P（100＜x≤300）＝，P（X＝2000）＝P（x＞300）＝∴E（X）＝0×+400×+2000×＝560．∴该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望为30×E（X）＝16800元．19．（12分）已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝PC＝1，AD＝AS＝2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，∵AS⊥面ABCD，∴AS∥FQ，QF为SD的中点，∴Q为AD的中点，FQ＝AS，PC＝AS，∴FQ＝PC，且FQ∥PC，∴CPFQ为平行四边形，∴PF∥CQ，又∵AQ∥∥EC，AQ＝EC，∴四边形AECQ为平行四边形，∴AE∥CQ，又PF∥CQ，∴AE∥PF，∴PF⊂面SPD，AE⊄面SPD，∴AE∥面SPD．解：（2）分别以AB，AD，AS所在的直线为x，y，z轴，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（1，0，0），D（0，2，0），S（0，0，2），P（1，2，1），＝（1，2，﹣1），＝（1，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），设面BPS与面SPD的法向量分别为＝（x，y，z），＝（a，b，c），则，即，取z＝2，得＝（4，﹣1，2），，即，取c＝1，得＝（﹣1，1，1），两平面的法向量所成的角的余弦值为：cos＜＞＝＝＝﹣．∵二面角B﹣PS﹣D为钝角，∴该二面角的余弦值为﹣．20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|＝x0．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）过F的直线l与E相交于A，B两点，AB的垂直平分线l′与E相交于C，D两点，若＝0，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|＝x0．可得x0+＝x0，又16＝2px0，解得p＝2，则E的方程为y2＝4x；（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2＝4x的焦点F（1，0），设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4＝0，显然判别式△＝16m2+16＞0，y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣4．可得AB的中点坐标为G（2m2+1，2m），弦长|AB|＝•|y1﹣y2|＝•＝4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，可得直线l′的方程为x＝﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与E相交于C，D两点，把l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）＝0，可得y3+y4＝﹣，y3•y4＝﹣4（2m2+3）．故线段CD的中点H的坐标为（+2m2+3，﹣），即有|CD|＝•|y3﹣y4|＝•＝，由•＝0，故ACBD四点共圆等价于|AH|＝|BH|＝|CD|，即AB2+GH2＝CD2，可得4（m2+1）2 +（2m+）2+（+2）2＝（）2，化简可得m2﹣1＝0，即m＝±1，可得直线l的方程为x﹣y﹣1＝0，或x+y﹣1＝0．21．（12分）设函数f（x）＝e x﹣a（x+1）（e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）若f'（0）＝0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x）+，且A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线y＝g （x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，恒有g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围；（3）求证：1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．【解答】解：（1）∵f（x）＝e x﹣a（x+1），∴f′（x）＝e x﹣a，∵f′（0）＝1﹣a＝0，∴a＝1，∴f′（x）＝e x﹣1，由f′（x）＝e x﹣1＞0，得x＞0；由f′（x）＝e x﹣1＜0，得x＜0，∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）．…（6分）（2）由＞m，（x1＜x2）变形得：g（x2）﹣mx2＞g（x1）﹣mx1，令函数F（x）＝g（x）﹣mx，则F（x）在R上单调递增，∴F′（x）＝g′（x）﹣m≥0，即m≤g′（x）在R上恒成立，，故m≤3．∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．证明：（3）由（1）知e x≥x+1，取（i＝1，3，…，2n﹣1）得，，即，累加得：．∴．…（14分）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC是内接于⊙O，AB＝AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB＝6，BC＝4，求AE．【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中，∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACD又∠BAE＝∠EDC∵BD∥MN∴∠EDC＝∠DCN∵直线是圆的切线，∴∠DCN＝∠CAD∴∠BAE＝∠CAD∴△ABE≌△ACD（2）解：∵∠EBC＝∠BCM∠BCM＝∠BDC∴∠EBC＝∠BDC＝∠BACBC＝CD＝4又∠BEC＝∠BAC+∠ABE＝∠EBC+∠ABE＝∠ABC＝∠ACB∴BC＝BE＝4设AE＝x，易证△ABE∽△DEC∴∴DE＝又AE•EC＝BE•ED EC＝6﹣x∴4×∴x＝即要求的AE的长是[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．将圆x2+y2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+2y﹣6＝0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【解答】解：（1）设点（x1，y1）为圆上的任意一点，在已知变换下变为T上点（x，y），根据题意，得，即，根据，得，即曲线T的方程为，所以，曲线T的参数方程为（t为参数）．（2）联立方程组，解得或，不妨设点P1（2，0），P2（0，3），则线段的中点坐标为（1，），所求直线的斜率k＝，于是所求直线方程为：y﹣＝（x﹣1），即4x﹣6y+5＝0，将此化为极坐标方程，得到4ρcosθ﹣6ρsinθ+5＝0．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|①当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。
2016年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）答案与解析一、选择题1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1}B．{x|x≥﹣1}C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}解：由x2+x≥0，得x≤﹣1或x≥0，∴A={x|x2+x≥0}={x|x≤﹣1或x≥0}，由5x≥5，得x≥1，∴B={x|5x≥5}={x|x≥1}，∴A∩B={x|x≤﹣1或x≥0}∩{x|x≥1}={x|x≥1}．选C2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．选B3．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1|C．D．y=（2x+2﹣x）解：y=sinx是奇函数，但是，[﹣1，1]上单调增函数．y=﹣|x+1|不是奇函数，对于，因为f（﹣x）==﹣=﹣f（x），所以是奇函数，在[﹣1，1]上单调减函数，y=（2x+2﹣x）是偶函数，[﹣1，1]上单调递增．选C4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．选B5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．6解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，∴顶层有3盏灯，选B6．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．2解：第一次执行循环体后，y=5，不满足输出条件，故x=5，再次执行循环体后，y=11，不满足输出条件，故x=11，再次执行循环体后，y=23，满足输出条件，故输出的y值为23，选A．7．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+解：将x=c代入双曲线的方程=1（a＞0，b＞0）得y=，即M（c，）．在△MF1F2中tan45°==1 即，解得e==+1．选C8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．9解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x≥1，y≥1，要使z=的最大，则x最小，y最大即可，由图象知当z=经过点A时，z取得最大值，由，得x=1，y=3，即A（1，3），则z=的最大值是z==9，选D9．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm3解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，直四棱锥底面是一个边长为1.5、4的矩形，高是3，由俯视图得三棱锥的底面是直角三角形，直角边为1、4，由正视图得高即四棱锥的侧棱为3，∴几何体的体积V=+1.5×4×3=20（cm 3）。
河南省许昌市三校2015-2016学年高二下学期第二次联考数学(理)试卷
许昌市三校联考高二下学期第二次考试数学（理）试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若命题p ：x ＝2且y ＝3，则¬p 为( )A. x ≠2或y ≠3B. x ≠2且y ≠3C. x ＝2或y ≠3D. x ≠2或y ＝3 2．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( )A. a ＋1a >b ＋1bB. a ＋1b >b ＋1aC. b a >b ＋1a ＋1D. 2a －b a ＋2b >ab3．等比数列{a n }的公比为q ，则“a 1>0且q >1”是“对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 4．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A. (－1,1]B. [1，＋∞)C. (0,1]D. (0，＋∞)5．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C. (2,3)D. (－∞，2)∪(3，＋∞) 6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉 的值为( )A. 19B. 23C.295D. 4957．过椭圆x 26＋y 25＝1内的一点P (2，－1)的弦，若恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )A. 5x ＋3y ＋13＝0B. 5x ＋3y －13＝0C. 5x －3y ＋13＝0D. 5x －3y －13＝08．定义：若椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则其特征折线为|x |a ＋|y |b＝1(a >b >0)．设椭圆的两个焦点为F 1、F 2，长轴长为10，点P 在椭圆的特征折线上，则下列式子正确的是( )A. |PF 1|＋|PF 2|>10B. |PF 1|＋|PF 2|<10C. |PF 1|＋|PF 2|≥10D. |PF 1|＋|PF 2|≤10 9．现有下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log 22≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题是真命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x 0∈R ，x 02－x 0－1≤0，则命题p ∧⌝q 是真命题．则其中真命题为( )A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④10.记数列{2n }的前n 项和为a n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝n －8，则b n S n 的最小值为( )A. －3B. －4C. 3D. 411.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为( )A. 12B. 3－12C. 32D. 3－112.函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式 e x ·f (x )>e x＋1的解集是( )A. {x |x >0}B. {x |x <0}C. {x |x <－1或x >1}D. {x |x <－1或0<x <1}第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1，3]， 则点P 纵坐标的取值范围是__________．14.已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝______．15.在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若S ＋a 2＝(b ＋c )2， 则cos A 等于_________．16.设F 1、F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．三、解答题（第17～2l 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题， 考生根据要求作答，本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ．(Ⅰ)求证：a 、b 、c 成等差数列； (Ⅱ)若B ＝π3，S ＝43，求b ．18．（本小题满分12分）正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n － (n 2＋n )＝0． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n ；(Ⅱ)令b n ＝221(2)nn n a ++，数列{b n }的前n 项和为T n ．证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为梯形，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AD ＝AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2．(Ⅰ)求证：平面PBD ⊥平面PBC ；(Ⅱ)设H 为CD 上一点，满足CH ＝2HD ，若直线PC 与平面PBD 所成的角的正切值为63，求二面角H PB C 的余弦值． 20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线l ：y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．(Ⅰ)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(Ⅱ)是否存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过点N ？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝ax＋ln x ． (Ⅰ)若函数f （x ）在区间[1，e ]上的最小值是32，求a 的值； (Ⅱ)当a ＝1时，设F （x ）＝f （x ）＋1＋ln x x ，求证：当x ＞1时，1()2x F x e －＞11x e xe ＋＋．【选做题】请从下面所给的22，23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）【选修4—4：极坐标与参数方程选讲】在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：ρ＝－63cos4sinθθ＋，曲线C：35cos55sinxyαα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．(Ⅰ)将直线l化成直角方程，将曲线C化成极坐标方程；(Ⅱ)若将直线l向上平移m个单位后与曲线C相切，求m的值．23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】已知函数f（x）＝2｜x－1｜－a，g（x）＝－｜2x＋m｜，a，m∈R，若关于x的不等式g（x）≥－1的整数解有且仅有一个值为－3．(Ⅰ)求整数m的值；(Ⅱ)若函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝12g（x）的上方，求实数a的取值范围．许昌市三校联考高二下学期第二次考试数学（理）试卷参考答案一、选择题ABACCD DDABDA 二、填空题13．⎣⎡⎦⎤34，3 14．－6 15．－1517 16． 2 三、解答题17．（本小题满分12分）(Ⅰ)证明：由正弦定理得：sin A cos 2C 2＋sin C cos 2A 2＝32sin B ，∴sin A ＋sin A cos C 2＋sin C ＋sin C cos A 2＝32sin B ，∴12sin A ＋12sin C ＋12sin(A ＋C )＝32sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴a ＋c ＝2b ，∴a 、b 、c 成等差数列．……………………6分 (Ⅱ)解：∵S ＝12ac sin B ＝34ac ＝43，∴ac ＝16．又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ，由(Ⅰ)得：a ＋c ＝2b ，∴b 2＝4b 2－48，∴b 2＝16，即b ＝4．……………………12分 18．（本小题满分12分）(Ⅰ)解：由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0． 由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .．于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项a n ＝2n ．……………………6分(Ⅱ)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ，则b n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋2)2. T n ＝116⎣⎡ 1－132＋122－142＋132－152＋…＋1(n －1)2－1(n ＋1)2⎦⎤＋1n 2－1(n ＋2)2＝116⎣⎡⎦⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564．.……………………12分 19．（本小题满分12分）(Ⅰ)证明：由AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝1，可得BD ＝ 2. 又BC ＝2，CD ＝2，∴BC ⊥BD ．∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥BC ，又PD ∩BD ＝D ，∴BC ⊥平面PBD ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面PBD ⊥平面PBC ．……………………4分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知∠BPC 为PC 与平面PBD 所成的角， ∴tan ∠BPC ＝63，∴PB ＝3，PD ＝1．由CH ＝2HD 及CD ＝2，可得CH ＝43，DH ＝23.以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则B (1,1,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，H ⎝⎛⎭⎫0，23，0． 设平面HPB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧HP →·n ＝0，HB →·n ＝0，即⎩⎨⎧－23y 1＋z 1＝0，x 1＋13y 1＝0，取y 1＝－3，则n ＝(1，－3，－2)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧PB →·m ＝0，BC →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－z 2＝0，－x 2＋y 2＝0，取x 2＝1，则m ＝(1,1,2)． 又cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－217．故二面角H -PB -C 的余弦值为217．.………12分20．（本小题满分12分）(Ⅰ)证法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2中，得2x 2－kx －2＝0， ∴x 1＋x 2＝k 2.∵x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫k 4，k 28.∵(2x 2)′＝4x ，∴(2x 2)′|x ＝k4＝k ，即抛物线在点N 处的切线的斜率为k .∵直线l ：y ＝kx ＋2的斜率为k ，∴切线平行于AB . ……………………5分证法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2中得2x 2－kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝k2.∵x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫k 4，k 28. 设抛物线在点N 处的切线l 1的方程为y －k 28＝m ⎝⎛⎭⎫x －k 4， 将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0，∵直线l 1与抛物线C 相切，∴Δ＝m 2－8⎝⎛⎭⎫mk 4－k 28＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k )2＝0， ∴m ＝k ，即l 1∥AB . ……………………5分(Ⅱ)解：假设存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过点N . ∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝12|AB |.由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k (x 1＋x 2)＋4]＝12⎝⎛⎭⎫k 22＋4＝k 24＋2，∵MN ⊥x 轴，∴|MN |＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168.∵|AB |＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2×⎝⎛⎭⎫k 22－4×(－1)＝12k 2＋1×k 2＋16.∴k 2＋168＝14k 2＋1×k 2＋16，∴k ＝±2，∴存在实数k ＝±2，使以AB 为直径的圆M 经过点N . ……………………12分21．（本小题满分12分） 解： (Ⅰ)因 为2()x af x x-'=，且[]1,x e ∈，则 ①当1a ≤时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增，其最小值为(1)1f a =≤，这与函数在[]1,e 上的最小值是32相矛盾； ②当1a e <<时，函数()f x 在[1,)a 上有()0f x '<，单调递减，在(,]a e 上有()0f x '>，单调递增，∴函数()f x 的最小值为3()ln 12f a a =+=，得a =． ③当a e ≥时，()0f x '≤，函数()f x 在[]1,e 上单调递减，其最小值为()12af e e=+≥，与最小值是32相矛盾．综上，a ．……………………5分证明：(Ⅱ)要证1()121x x F x e e xe -+>+，即证1()211x xF x e e xe ->++，……………………6分 当1a =时，1ln ()1ln x F x x x x=+++， 222111ln ln ()x x xF x x x x x--'=-++=，…………7分 令)ln x x x ϕ=-（，则111x x x xϕ-'=-=（）， 当1x >时，()0x ϕ'>, ()x ϕ递增；当01x <<时，()0x ϕ'<, ()x ϕ递减， ∴()x ϕ在1x =处取得唯一的极小值，即为最小值，即()(1)10x ϕϕ≥=>，∴()0F x '>，∴()F x 在0+∞（，）上是增函数，∴当1x >时，()F x 为增函数，…………9分 故()(1)2F x F >=，故()211F x e e >++．令=)(x h 121+-xx xe e ，则11122(1)(1)2(1)()2(1)(1)x x x x x x x x e xe xe e e e h x xe xe ---'+-+-'==++． …………10分∵1>x ，∴01<-x e ，∴0)(<'x h ，即)(x h 在），（∞+1上是减函数， ∴1>x 时，12)1()(+=<e h x h ，所以()2()11F x h x e e >>++，即1()211x x F x e e xe ->++， 所以1()121x xF x e e xe -+>+．……………………12分【选做题】 22．（本小题满分10分）【选修4—4：极坐标与参数方程选讲】 解：（Ⅰ）直线l 的参数方程化为3cos 4sin 6=0ρθρθ++，则由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得直线的直角坐标方程为346=0x y ++．………2分由35cos ,55sin .x y αα=+⎧⎨=+⎩，消去参数α，得22(3)(5)25x y -+-=， 即2261090x y x y +--+=（*），由222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入（*）可得曲线C 的极坐标方程为26cos 10sin 90ρρθρθ--+=．………5分 (Ⅱ)设直线l '：34=0x y t ++与曲线C 相切． 由(Ⅰ)知曲线C 的圆心为(3,5)，半径为5，解得=4t -或=54t -，…………………………7分 所以l '的方程为344=0x y +-或3454=0x y +-，即314y x =-+或32742y x =-+． 又将直线l 的方程化为3342y x =--， 所以35=1()22m --=或273=()1522m --=．…………………………10分23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】解： (Ⅰ)由()1g x ≥-，即21x m -+≥-，21x m +≤，所以1122m m x ---+≤≤．……2分 不等式的整数解为－3，则11322m m ---+≤-≤，解得57m ≤≤． 又不等式仅有一个整数解－3，∴6m =．……………………4分(Ⅱ)因为()y f x =的图象恒在函数1()2y g x =的上方，故1()()02f xg x ->，所以213a x x <-++对任意x ∈R 恒成立．……………………5分设()213h x x x =-++，则313()531311x x h x xx x x ⎧--≤-⎪=--<≤⎨⎪+>⎩……………7分 作出()h x 图象得出当1x =时，()h x 取得最小值4， 故4a <时，函数()y f x =的图象恒在函数1()2y g x =的上方， 即实数a 的取值范围是(,4)-∞．……………………10分。
河南省许昌、新乡、平顶山市高三数学第二次调研考试试
河南省许昌、新乡、平顶山市2016届高三数学第二次调研考试试题理（扫描版）理科数学参考答案1-6 ADCBDD 7-12 ADBCCD 13．π3 14．47 15．91016．(117．解：（Ⅰ）由题意，411211256426a db q a d b q ⎧++⋅=⎨++⋅=⎩， ………………2分代入得422235624326d q d q ⎧++⋅=⎨++⋅=⎩，消d 得422280q q --=， ………………3分 22(27)(4)0q q +-=，Q {}n b 是各项都为正数的等比数列，2q ∴=所以3d =，131,32n n n a n b -∴=-=⋅ ………………6分………………8分所以n c 最小值为11c =， ………………9分 所以232x x -+≤，解得 2,x ≥或1x ≤所以(,1][2,)x ∈-∞+∞U . ………………12分18.解：（1）………………………2分K 2=100×(50×15-25×10)275×25×40×60≈5.556 ……………4分由于K 2>3.841，所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关……6分 （2）设第i 组的频率为P i（i=1,2,…,8),则由图可知：P 1=13000×30=1100，P 2=1750×30=4100 ，P 3=1300×30=10100，可得：第①组1人，第②组4人，第③组10人。
………8分 则X 的所有可能取值为0,1,2,3，3510315()(0,1,2,3),i iC C P X i i C -===0351031524(0)91C C P X C ∴=== 12213051051051033315151545202(1),(2),(3)919191C C C C C C P X P X P X C C C =========…..10分 X ∴的分布列为：()0123191919191E X =⨯+⨯+⨯+⨯= (或由X 服从超几何分布，5()31)15E X ∴=⨯=……………..12分19. 解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 .(1)在图5中，取BE 的中点D ，连结DF ． ∵AE :EB=CF :FA=1:2，∴AF=AD=2，而∠A=600,∴△ADF 是正三角形， 又AE=DE=1，∴EF ⊥AD在图6中，A 1E ⊥EF ，BE ⊥EF ，∴∠A 1EB 为二面角A 1-EF-B 的平面角． 由题设条件知此二面角为直二面角，∴A 1E ⊥BE．……………………….3分 又BE∩EF=E，∴A 1E ⊥平面BEF ，即A 1E ⊥平面BEP ……………………..4分 (2)建立分别以EB 、EF 、EA 1为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，则E(0,0,0),A 1(0,0,1), 则1(0,0,1)A E =-u u u r,1(2,0,1),(1A B BP =-=-u u u r u u u r(1,PE =-u u u r．设平面A 1BP 的法向量为1111(,,)n x y z =u r ，由1n ⊥u r平面ABP 知，111,n A B n BP ⊥⊥u ru u u r ur u u u r ，即111120,0.x z x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令1x =111,y z ==1n =u r．……..8分设平面A 1PE 向量为2222(,,)n x y z =u u r．由2n ⊥u u r 平面A 1PE 知，212,n A E n PE ⊥⊥u u r u u ur u u r u u u r ，即 可得21,0)n =-u u r． 1211121cos ,4||||n n n n n n ⋅<>===⋅u r u u ru r u r ur u u r , 所以二面角B-A 1P-E 余弦值是14………………………………12分20.解：（1）(0,)2p F 当l 的倾斜角为45o 时，l 的方程为2py x =+ 设1122(,),(,)A x y B x y 222p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2220x px p --=1212122,3x x p y y x x p p +=+=++= 得AB 中点为3(,)2D p p …………3分 AB 中垂线为3()2y p x p -=-- 0x =代入得552y p == 2p ∴=……6分 （2）设l 的方程为2P y kx =+，代入22x py =得2220x Pkx P --=21212()222AB y y P k x x P Pk P =++=++=+ AB 中点为2(,)2PD Pk Pk +令2MDN ∠=α 122S AB AB =α⋅=α⋅ S AB ∴=α…………8分 D 到x 轴的距离22PDE Pk =+22212cos 11222PPk DE Pk P k AB +α===-++…………10分 当20k =时cos α取最小值12α的最大值为3π 故S AB 的最大值为3π.……………………12分21. 解：（1）2222111(1)(1)()a ax x a ax a x f x a x x x x--++--+--'=--==（x ＞0）…1分 令[]()(1)(1)g x ax a x =----当0a =时，()1g x x =-，x ∈（1，+∞）时，g （x ）＞0⇒()f x '＞0⇒f （x ）单调递增，a ＜0时，由x ＞0，得(1)ax a --＜0，所以x ∈（1，+∞）时，g （x ）＞0⇒()f x '＞0⇒f（x ）单调递增，当a ＞0时，1()()(1)a g x a x x a -⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦，若11a a -=，则12a = 当0＜a ＜12 ， x ∈(1， 1aa- )，()f x '＞0，()f x 单调递增，当a=12 ，f （x ）在（0，+∞）上无递增区间， 当12＜a ≤1时，x ∈( 1a a- ，1)，f ′(x)＞0， ()f x 单调递增， 当a ＞1时，x ∈（0，1）时，f'（x ）＞0，f （x ）单调递增.a ＞1时, 单调递增区间为（0，1）.…………5分①当11,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1121a a a a ---=＞0，于是(0,1)x ∈和1(,)a x a -∈+∞时，()0,()f x f x '<单调递减；1(1,)a x a -∈时，()0,()f x f x '>单调递增；又因为12,aa-<要对任意实数[]2,3t ∈，当(]0,x t ∈时，函数()f x 的最小值为(),f t 只需要(2)(1),f f ≤即1ln 221222a a a --++≤-+，解得112ln 2 1.2ln 21,2ln 21;22a a ≥-≥-∴-≤<Q ……………………7分ln (1)1ln 221ln ln 2;222a a a a a a --+-++⇔+＋≥≥＋………10分综上所述：[)2ln 21,1a ∈-。
2016年河南省八市重点高中高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年河南省八市重点高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x|＞﹣1}，集合B＝{x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B＝（）A．（0，1]B．[1，2）C．（1，2）D．（0，1）2．（5分）实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣i3．（5分）等比数列{a n}中，a2＝9，a5＝243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81B．81C．﹣81D．274．（5分）以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线＝x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是（）A．0B．1C．2D．35．（5分）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若﹣4+3＝0，则＝（）A．3B．4C．5D．66．（5分）由曲线y＝x2﹣2x与直线x+y＝0所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10B．11C．12D．138．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则满足S n＜0的正整数n的最小值为（）A．12B．13C．14D．159．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．2B．8C．D．10．（5分）设当x＝θ时，函数f（x）＝2cos x﹣3sin x取得最小值，则tanθ等于（）A．B．﹣C．﹣D．11．（5分）已知双曲线﹣＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±3x B．y＝±2x C．y＝±（+1）x D．y＝±（﹣1）x12．（5分）定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]＝0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）＝x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若函数f（x）＝奇函数，则a的值为．14．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为．15．（5分）4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是．16．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n＝n22n，则数列{a n}的前n项和S n＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin A+sin B＝（cos A+cos B）sin C．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c＝1+，求△ABC面积的最大值．18．（12分）如图，P A⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP ＝2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．19．（12分）某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．20．（12分）如图，F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|＝4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足＝2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA1B1B的面积．21．（12分）已知函数f（x）＝1﹣x+lnx（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x2＜x1是否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞0恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n}满足＝，且a1＝，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与2n+1的大小并加以证明．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．（Ⅰ）若AB＝6，P A＝4，OP＝3，求⊙O的半径；（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA＝CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l 的极坐标方程为ρcos（+θ）＝6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）＝|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a＝﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．2016年河南省八市重点高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x|＞﹣1}，集合B＝{x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B＝（）A．（0，1]B．[1，2）C．（1，2）D．（0，1）【解答】解：由＞﹣1＝，得0＜x+1＜2，∴﹣1＜x＜1，则A＝{x|＞﹣1}＝（﹣1，1），∴∁R A＝（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），又B＝{x|1＜3x＜9}＝（0，2），∴（∁R A）∩B＝[1，2）．故选：B．2．（5分）实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣i【解答】解：＝＝为实数，∴＝0，解得a＝﹣2．∴实数＝﹣1的共轭复数为﹣1．故选：C．3．（5分）等比数列{a n}中，a2＝9，a5＝243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81B．81C．﹣81D．27【解答】解：设等比数列{a n}的公比q，∵a2＝9，a5＝243，∴243＝9×q3，解得q＝3．又a1•a7＝，∴a1与a7的等比中项为±a4＝±＝±9×32＝±81．故选：A．4．（5分）以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线＝x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为800÷40＝20；故①错误，②线性回归直线＝x+恒过样本点的中心（，）；正确，故②正确，③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（1，2）内取值的概率为0.5﹣0.1＝0.4，则在（2，3）内的概率为在（1，2）内取值的概率为0.4；故③正确，④不可能事件的概率为0，但概率值为零的事件是不可能事件不一定正确．比如在几何概型中，往圆形区域内随机扔石子扔到圆心的概率＝圆心的面积除以圆的面积圆心面积为零，因此扔到圆心的概率P＝0，但是扔到圆心也是可能发生的，不是不可能事件，故④错误，故选：C．5．（5分）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若﹣4+3＝0，则＝（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：＝＝；∴，∴，∴．故选：A．6．（5分）由曲线y＝x2﹣2x与直线x+y＝0所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，曲线y＝x2﹣2x与直线x+y＝0的交点坐标为（0，0），（1，﹣1）∴曲线y＝x2﹣2x与直线x+y＝0所围成的封闭图形的面积为＝（）＝故选：D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10B．11C．12D．13【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S＝++…+的值，∵S＝++…+＝＝1﹣≥⇒n≥11，∴跳出循环体的n值为11+1＝12，∴输出n＝12．故选：C．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则满足S n＜0的正整数n的最小值为（）A．12B．13C．14D．15【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S6＞S7＞S5，∴a7＜0，a6+a7＞0，∴S12＝＝6（a6+a7）＞0，S13＝＝13a7＜0，∴则满足S n＜0的正整数n的最小值为13．故选：B．9．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．2B．8C．D．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥A﹣CB1D1∴该四面体的体积V＝23﹣＝．故选：C．10．（5分）设当x＝θ时，函数f（x）＝2cos x﹣3sin x取得最小值，则tanθ等于（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵当x＝θ时，函数f（x）＝2cos x﹣3sin x＝（cos x﹣sin x）＝﹣（﹣cos x+sin x）＝﹣cos（x﹣θ）（其中，cosθ＝﹣，sinθ＝）取得最小值，则tanθ＝＝﹣，故选：C．11．（5分）已知双曲线﹣＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±3x B．y＝±2x C．y＝±（+1）x D．y＝±（﹣1）x【解答】解：∵过F1作圆x2+y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，∴|BF1|＝2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得∴x＝，y＝∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b＝（+1）a，∴双曲线的渐近线方程为y＝±（+1）x，故选：C．12．（5分）定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]＝0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）＝x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）【解答】解：由题意，可知f（x）﹣xe x是定值，不妨令t＝f（x）﹣xe x，则f（x）＝xe x+t，又f（t）＝te t+t＝0，解得t＝0，所以有f（x）＝xe x，所以f′（x）＝（x+1）e x，令F（x）＝f（x）﹣f′（x）﹣x＝xe x﹣（x+1）e x﹣x＝﹣e x﹣x，可得F（﹣1）＝1﹣＞0，F（﹣）＝﹣＜0即F（x）的零点在区间（﹣1，﹣）内∴方程f（x）﹣f′（x）＝x的解所在的区间是（﹣1，﹣），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若函数f（x）＝奇函数，则a的值为﹣2．【解答】解：解1﹣x2＞0得，﹣1＜x＜1；∴|x﹣2|＝2﹣x；∴；∵f（x）为奇函数；∴f（﹣x）＝﹣f（x）；即；∴2+x+a＝﹣（2﹣x+a）；∴2+a＝﹣2﹣a；∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为．【解答】解：＝1+，做出平面区域如图：有图可知当过点（1，﹣1）的直线经过点C（4，0）时，斜率最小为，∴的最小值为1+＝．故答案为．15．（5分）4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是4+．【解答】解：由题意知，底面放三个球，上再落一个球．于是把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面体的中心到底面的距离是×＝，正四面体的中心到底面的距离是+1，所以可知正四面体的高的最小值为（+1）×4＝4+，故答案为：4+．16．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n＝n22n，则数列{a n}的前n项和S n＝（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．【解答】解：∵a n＝n22n，则数列{a n}的前n项和S n＝2+22×22+32×23+…+n2•2n，∴2S n＝22+22×23+…+（n﹣1）2•2n+n2•2n+1，∴﹣S n＝2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n﹣n2•2n+1，设数列{（2n﹣1）•2n}的前n项和为T n，则T n＝2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，2T n＝22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1，∴﹣T n＝2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）×2n+1＝﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1＝（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴T n＝（2n﹣3）•2n+1+6，∴﹣S n＝（2n﹣3）•2n+1+6﹣n2•2n+1＝（2n﹣3﹣n2）•2n+1+6，∴S n＝（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．故答案为：（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin A+sin B＝（cos A+cos B）sin C．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c＝1+，求△ABC面积的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为sin A+sin B＝（cos A+cos B）sin C，所以由正、余弦定理，得a+b＝c…（2分）化简整理得（a+b）（a2+b2）＝（a+b）c2因为a+b＞0，所以a2+b2＝c2…（4分）故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°…（6分）（Ⅱ）解：因为a+b+c＝1+，a2+b2＝c2，所以1+＝a+b+≥2+＝（2+）•当且仅当a＝b时，上式等号成立，所以≤．…（8分）故S△ABC＝ab≤×≤…（10分）即△ABC面积的最大值为…（12分）18．（12分）如图，P A⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP ＝2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．【解答】解：以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（Ⅰ）∵AD⊥平面P AB，∴是平面P AB的一个法向量，＝（0，2，0）．∵＝（1，1，﹣2），＝（0，2，﹣2）．设平面PED的法向量为＝（x，y，z），则•＝0，•＝0，即，令y＝1，解得z＝1，x＝1．∴＝（1，1，1）是平面PCD的一个法向量，计算可得cos＜，＞＝＝，∴二面角A﹣PE﹣D的余弦值为；（Ⅱ）∵＝（﹣1，0，2），设＝λ＝（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又＝（0，﹣1，0），则＝+＝（﹣λ，﹣1，2λ），又＝（0，﹣2，2），∴cos＜，＞＝＝，设1+2λ＝t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞＝＝≤，当且仅当t＝，即λ＝时，|cos＜，＞|的最大值为．因为y＝cos x在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值，又∵BP＝＝，∴BQ＝BP＝19．（12分）某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为，抓鸡3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，则抓鸡3次就停止的事件发生的概率为P＝＝…（4分）（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）•＝，P（ξ＝1）＝••＝，P（ξ＝2）＝••＝，P（ξ＝3）＝•+•••+•••＝…（8分）随机变量ξ的分布列为…．（10分）随机变量ξ的均值为E（ξ）＝×0+×1+×2+×3＝…（12分）20．（12分）如图，F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|＝4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足＝2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA1B1B的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|＝4，长轴长为6，∴由题意知2a＝6，2c＝4，∴a＝3，c＝2，∵，∴b2＝5…（2分）∴椭圆方程为…（4分）（Ⅱ）设直线AF1的方程为y＝k（x+2），且交椭圆于A（x1，y1），A1（x2，y2）两点．由题意知，即，△＞0，，①，，②…（6分）∵，∴y1＝﹣2y2③联立①②③消去y1y2，得．∴直线AF1的方程为…（8分）（Ⅲ）∵AA1B1B是平行四边形，∴…（10分）＝∴四边形AA1B1B的面积为．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝1﹣x+lnx（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x2＜x1是否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞0恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n}满足＝，且a1＝，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与2n+1的大小并加以证明．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，因此，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∝）上单调递减．所以f（x）max＝f（1）＝0，即函数f（x）的最大值为0；（Ⅱ）若恒成立，则恒成立，设φ（x）＝mx2+xlnx，又0＜x2＜x1，则只需ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减，故ϕ′（x）＝2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上成立，得：2m≤，记t（x）＝，则，于是可知t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故[t（x）]min＝t（1）＝﹣1，因此存在m≤，使恒成立；（Ⅲ）由＝＝•+得：＝，又，知，＝，即有a n＝．结论：＞2n+1．证明如下：因为a n∈（0，1），由（1）知x＞0时x﹣1＞lnx，则x＞﹣1时x＞ln（x+1）．所以a n＞ln（a n+1）＝＝ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1+1）故S n＝a1+a2+…+a n＞[ln（21+1）﹣ln（20+1）]+[ln（22+1）﹣ln（21+1）]…[ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1+1）]＝ln（2n+1）﹣ln（20+1）＝，即＞2n+1．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．（Ⅰ）若AB＝6，P A＝4，OP＝3，求⊙O的半径；（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA＝CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．【解答】解：（Ⅰ）连接OA，设OA＝r取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，∵，∴，∴．…（2分）又OP＝3，Rt△OFP中，OF2＝OP2﹣FP2＝9﹣2＝7，…（4分）Rt△OAF中，，…（6分）∴r＝5证明：（Ⅱ）∵CA＝CB，∴∠CAD＝∠B又∵∠B＝∠E，∴∠CAD＝∠E…（8分）∵∠ACE为公共角，∴△CAD∽△CEA…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l 的极坐标方程为ρcos（+θ）＝6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）点的直角坐标为，即．由直线l，得．则l的直角坐标方程为：，点P到l的距离．（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，设，则点Q到直线的距离为，∴当时，d max＝9．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）＝|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a＝﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝时，不等式化为：，当x≤﹣1时，，得，所以x∈Φ．…（2分）当时，，得，所以成立．…（4分）当时，，得≤0，所以成立．综上，原不等式的解集为…（6分）（Ⅱ）∵|x+a|﹣|x+1|≤|（x+a）﹣（x+1）|＝|a﹣1|，∴f（x）＝|x+a|﹣|x+1|的最大值为|a﹣1|…（8分）由题意知：|a﹣1|≤2a，即﹣2a≤a﹣1≤2a，解得：a≥，所以实数a的最小值为…（10分）。
河南省许昌、新乡、平顶山市高三数学下学期第三次模拟考试试题 理(扫描版)(1)
河南省许昌、新乡、平顶山市2016届高三数学下学期第三次模拟考试试题理（扫描版）平顶山许昌新乡2016届高三第三次调研考试理科数学答案一．选择题：(每小题5分）(1)C (2)A (3)C (4)D (5)B (6)A (7)D (8)A (9)D (10)C (11)C (12)D 二．填空题：(每小题5分）(13) [3,0]-，(14) 3，(15)1009， (16) 1(,2](1,]2-∞---U ． 三．解答题：(17)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵cos sin 3a b C B =+，∴sin sin cos sin 3A B C B C =，∴cos sin sin 3B C B C =，∴tan B =3B π∠=．∵2222cos b a c ac B =+-，∴2230c c --=， ∴3c =． (6)分（Ⅱ）∵2)2sin ())1cos(2)61266A C A C μππππ=---=--+-)cos(2)1)cos(2)163666A A A A π4ππππ=-+---=----2sin(2)13A π=--． …………10分∴由2sin(2)103A π--=，及62A ππ<<，可得4A π=． …………12分(18)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ，则1221()(1)(1)(1)23318P A =---=． ……………4分（II ）ξ的可能值得为0，1，2，3，4，5．4121(0)(1)(1),2348P ξ==--=g1344112121(1)(1)(1)(1),223238P C ξ==--+-=g g g g 22213441121127(2)()(1)(1)(1),22322324P C C ξ==--+-=g g g g g33222441121121(3)()(1)(1)()(1),2232233P C C ξ==--+-=g g g g g g4334121121(4)()(1)()(1),2322316P C ξ==-+-=g g g g4121(5)(),2324P ξ===g……………9分所以随机变量ξ的分布列如下：……………10分故117131801234548824316243E ξ=+++++=g g g g g g ．……………12分(19)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ，所以AD PE ⊥． 又因为△PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点，所以PE AB ⊥．因为AD AB A =I ，所以PE ⊥平面ABCD ． (3)分由DA =AB =2，12BC AD =，可得BC =1．因为△PAB 是等边三角形，可求得PE =所以111(12)2332P ABCD ABCD V S PE -=⋅=⨯+⨯= …………6分（Ⅱ）以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -．则有(0,1,0),(0,0,0)(01,0),(11,0),(2,1,0),(0,0A E B C D P --，，，． 设000(,,),F x y z PF PB =λu u u r u u u r，则)3,1,0()3,,(000--=-λz y x ，所以(0,)F -λ． …………7分设(,,x y z =）n 为平面DEF的法向量，(2,1,0),(0,),ED EF ==-λu u u r u u u r0,0,ED EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n200.x y y z +=⎧⎪⎨-λ+=⎪⎩，即）x 1y 2z ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，(1,∴=-n ． 又平面CDE的法向量为(0,0,1=）m ． …………10分∴1cos ,4m n ==，化简得23210λλ+-=． 解得1λ=-（舍去）或13λ=．所以存在点F ，且13PF PB = ． …………12分(20)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)x y ，12=-， …………3分化简得：22184x y +=且x ≠±． 故动点P的轨迹E 的方程为22184x y +=且x ≠± ………… 5分（Ⅱ）设直线AB 的方程为(2)y k x =+，则直线CD 的方程为1(2)y x k=--． ………… 6分由22(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(21)8880k x k x k +++-=． …………7分由韦达定理得：2122821k x x k -+=+，2122821k x x k -=+，所以，221)21k AB k +==+． …………9分同理可得CD =． ………… 10分所以22118AB CD +==． ………… 12分(21)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）/()(1)()ln(1)2h x f x g x x x =+-=+-+，1x >-，所以 1()111xh x x x -'=-=++． 当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<．因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减． …………5分（Ⅱ）不等式/(1)()3()4k x xf x g x -<++化为ln 21x x xk x +<+-，所以ln 21x x xk x +<+-对任意1x >恒成立．令()ln 21x x x g x x +=+-，则()()2ln 21x x g x x --'=-． 令()ln 2h x x x =--()1x >，则()1110x h x x x-'=-=>， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．因为()()31ln30,422ln 20h h =-<=->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈．当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>， 所以函数()ln 21x x xg x x +=+-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．所以()()()()()000000min001ln 122225,611x x x x g x g x x x x ++-==+=+=+∈⎡⎤⎣⎦--．所以()()0min 25,6k g x x <=+∈⎡⎤⎣⎦．故整数k的最大值是5． ………… 12分(22)（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲 证明：（Ⅰ）由已知条件得∠BAE =∠CAD ，∵∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，∴∠AEB =∠ACB ，∴△ABE ∽△ADC ． (5)分（Ⅱ）∵△ABE ∽△ADC ，∴AB ADAE AC =，即AB ·AC =AD ·AE ． ∵△ABC 的面积S =12AB ·AC sin ∠BAC ，又S =12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC = AD ·AE ，∴sin ∠BAC =1．因为∠BAC 是三角形的内角，所以∠BAC =90°． …………10分（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）当3απ=时，1C的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=．联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ，解得1C 与2C 的交点为（1，0）与12⎛ ⎝⎭，． 所以，1C 被2C 截得的线段的长为1． ………… 5分（Ⅱ）将1C 的参数方程代入2C 的普通方程得22cos 0t t α+=，∴A 点对应的参数12cos 2t t t α+==-，∴A 点坐标为()2sin ,cos sin ααα-． 故当α变化时，A 点轨迹的参数方程为：2sin ,sin cos x y ααα⎧=⎨=-⎩（α为参数）．因此，A 点轨迹的普通方程为2211()24x y -+=． 故A 点轨迹是以1(,0)2为圆心，半径为12的圆． ………… 10分(24)（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲解：（Ⅰ）当x <0时，原不等式可化为20x x -+<，解得0x >，又∵0x <，∴x 不存在；当102x ≤<时，原不等式可化为20x x --<，解得0x >，又∵102x ≤<，∴102x <<； 当12x ≥时，原不等式可化为211x x --<，解得2x <，又∵12x ≥，∴122x ≤<； 综上，原不等式的解为02x <<． ………… 5分（Ⅱ）∵22|()()||||||1|f x f a x x a a x a x a -<--+=-⋅+-|1||21|x a x a a <+-=-+-|||21|x a a ≤-+-1|2|12(||1)a a <++=+．∴|()()|2(||1)f x f a a -<+． ………… 10分。
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2016年河南省许昌、新乡、平顶山三市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}3．（5分）“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2 B．1 C．D．5．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆方程为，随着a的增大该椭圆的形状（）A．越接近于圆B．越扁C．先接近于圆后越扁D．先越扁后接近于圆6．（5分）设a=（1﹣2x）dx，则二项式（x2+）6的常数项是（）A．240 B．﹣240 C．﹣60 D．607．（5分）如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．189 B．381 C．93 D．458．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3+2πC．D．+9．（5分）若函数f（x）=4sinωx•sin2（+）+cos2ωx（ω＞0）在[﹣，]上是增函数，则ω的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，]C．[1，+∞）D．[，+∞）10．（5分）若函数f（x）=x2+a|x﹣|在[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，0]B．[﹣4，0]C．[﹣1，0]D．[﹣，0]11．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，M、N分别在AD1，BC上移动，并始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN=x，MN=y，则函数y=f （x）的图象大致是（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=2e x﹣ax2+（a﹣2e）x有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（e，+∞）B．（0，e） C．[1，e） D．（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知ac=b2﹣a2，A=，则B=．14．（5分）高二年级的5个文科班级每班派2名同学参加年级学生会选举，从中选出4名学生进入学生会，则这4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率为．15．（5分）设x，y满足约束条件，若x2+9y2≥a恒成立，则实数a的最大值为．16．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点P i （i=1，2），使得△P i A1A2（i=1，2）构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=2，b1=3，a3+b5=56，a5+b3=26．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若﹣x2+3x ≤对任意n∈N*恒成立，求实数x的取值范围．18．（12分）某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现采用分层抽样的方法从该年级抽取100名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这100名学生每天晚上有效学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组：①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），…得到频率分布直方图（部分）如图．（Ⅰ）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表；并判断是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？K2=参考列表：（Ⅱ）若在第①组、第②组、第③组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．19．（12分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是﹣AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求二面角B一A1P一F的余弦值的大小．20．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．（1）求p的值；（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F 旋转时，求的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax++1 （a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a∈（，1）时，若对任意t∈[2，3]，在x∈（0，t]时，函数f（x）的最小值为f（t），求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线l1：θ=α（0＜α＜），将射线l1顺时针旋转得到射线l2：θ=α﹣，且射线l1与曲线C1交于O、P两点，射线l2与曲线C2交于O、Q两点，求|OP|•|OQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣a|，（a∈R）．（Ⅰ）当﹣2≤x≤3时，f（x）≤4成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x﹣a）﹣f（x+a）≤2a﹣1成立，求实数a的取值范围．2016年河南省许昌、新乡、平顶山三市联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2016•许昌二模）复数z=的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：复数z===1﹣i的共轭复数=1+i．故选：A．2．（5分）（2016•许昌二模）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}【解答】解：∵A∩B=A，∴A⊆B．∵集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，∴a≥2故选：D．3．（5分）（2016•许昌二模）“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y=a ﹣7平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=3时，两条直线的方程分别是3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，此时两条直线平行成立反之，当两条直线平行时，有但即a=3或a=﹣2，a=﹣2时，两条直线都为x﹣y+3=0，重合，舍去∴a=3所以“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a﹣1）y﹣a+7=0平行”的充要条件．故选：C．4．（5分）（2016•许昌二模）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）•=0，即2﹣•=0，即1+m2﹣（m﹣1+2m）=0，即m2﹣3m+2=0，得m=1或m=2，当m=1时，量=（1，1），=（0，2），满足≠，当m=2时，量=（1，2），=（1，2），不满足≠，综上m=1，故选：B．5．（5分）（2016•许昌二模）已知焦点在x轴上的椭圆方程为，随着a的增大该椭圆的形状（）A．越接近于圆B．越扁C．先接近于圆后越扁D．先越扁后接近于圆【解答】解：由，表示焦点在x轴上的椭圆，∴，解得：2﹣＜a＜2+，由于a在不断的增大，所以对函数y=a2+1，（2﹣＜a＜2+）为单调递增函数，即短轴中的b2在不断增大．离心率e=，（2﹣＜a＜2+），令f（a）=4a﹣a2﹣1，（2﹣＜a＜2+），由二次函数性质可知，（2﹣，2）单调递增，（2，2+）单调递减，∴e随着a的增加，先增加后减小，∴随着a的增大该椭圆先越扁后接近于圆，故选：D．6．（5分）（2016•许昌二模）设a=（1﹣2x）dx，则二项式（x2+）6的常数项是（）A．240 B．﹣240 C．﹣60 D．60【解答】解：a=（1﹣2x）dx=（x﹣x2）|=2﹣22=﹣2，则二项式（x2﹣）6展开式的通项公式C6r2r﹣6（﹣2）r x12﹣3r，令12﹣3r=0，解的r=4，则展开式中常数项为C6424﹣6（﹣2）4=60，故选：D．7．（5分）（2016•许昌二模）如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．189 B．381 C．93 D．45【解答】解：由程序框图知：第一次循环k=1，S=3；第二次循环k=2，S=2×3+3=9；第三次循环k=3，S=2×9+3=21；第四次循环k=4，S=2×21+3=45；第五次循环k=5，S=2×45+3=93；第六次循环k=6，S=2×93+3=189，满足S＞30k，跳出循环，输出S=189．故选：A．8．（5分）（2016•许昌二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3+2πC．D．+【解答】解：由三视图知：几何体是长方体、圆柱、三棱锥的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为2、1、2；圆柱的底面半径为1，高为2；三棱锥的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V=2×1×2+π×12×2+××1×1×2=4++=+．故选：D．9．（5分）（2016•许昌二模）若函数f（x）=4sinωx•sin2（+）+cos2ωx（ω＞0）在[﹣，]上是增函数，则ω的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，]C．[1，+∞）D．[，+∞）【解答】解：∵f（x）=4sinωx•sin2（+）+cos2ωx=4sinωx•+cos2ωx=2sinωx（1+sinωx）+cos2ωx=2sinωx+1，∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．又∵函数在[﹣，]上递增，∴[﹣，]⊇[﹣，]，∴得不等式组得，又∵ω＞0，0＜ω≤，ω的取值范围是（0，]．故选：B10．（5分）（2016•许昌二模）若函数f（x）=x2+a|x﹣|在[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，0]B．[﹣4，0]C．[﹣1，0]D．[﹣，0]【解答】解：f（x）=x2+a|x﹣|=，要使f（x）在[0，+∞）上单调递增，则：，得﹣1≤a≤0，∴实数a的取值范围是[﹣1，0]，故选：C．11．（5分）（2016•许昌二模）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，M、N分别在AD1，BC上移动，并始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：若MN∥平面DCC1D1，则|MN|==即函数y=f（x）的解析式为f（x）=（0≤x≤1）其图象过（0，1）点，在区间[0，1]上呈凹状单调递增故选C12．（5分）（2016•许昌二模）若函数f（x）=2e x﹣ax2+（a﹣2e）x有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（e，+∞）B．（0，e） C．[1，e） D．（0，+∞）【解答】解：函数f（x）=2e x﹣ax2+（a﹣2e）x，可得f（1）=2e﹣a+a﹣2e=0，即有x=1为f（x）的一个零点，当x≠1时，由2e x﹣ax2+（a﹣2e）x=0，得a=有两个不同的实数根．设g（x）=，由y=e x﹣ex的导数为y′=e x﹣e，当x＞1时，y′＞0，y=e x﹣ex递增；当x＜1时，y′＜0，y=e x﹣ex递减．即有x=1处，y=e x﹣ex取得最小值，且为0，即e x﹣ex≥0，当x＜0时，x2﹣x＞0，g（x）＞0；当0＜x＜1时，g（x）＜0；当x＞1时，g（x）＞0．由g′（x）=，可设h（x）=x2e x﹣3xe x+e x+ex2，显然当x＜0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）在（﹣∞，0）递增；又h（x）=xe x（x+﹣3+），再令m（x）=x+﹣3+，m′（x）=1﹣+=（x﹣1）（），即0＜x＜1时，m（x）递减；x＞1时，m（x）递增．则m（x）＞m（1）=0，h（x）＞0在（0，1）∪（1，+∞）恒成立，即有g′（x）＞0在（0，1）∪（1，+∞）恒成立，则g（x）在（0，1），（1，+∞）递增，画出函数y=g（x）的图象，可得a＞0时，函数y=g（x）的图象和直线y=a有两个交点．综上可得，a＞0时，f（x）=e x﹣ax2+（a﹣e）x有三个不同的零点．故选：D．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．13．（5分）（2016•许昌二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知ac=b2﹣a2，A=，则B=．【解答】解：∵ac=b2﹣a2，A=，∴sinAsinC=sin2B﹣sin2A，∴=sin2B﹣，化为=，化为cosB+sinB=4sin2B﹣1，又sin2B+cos2B=1，联立解得，sinB=．∴B=．14．（5分）（2016•许昌二模）高二年级的5个文科班级每班派2名同学参加年级学生会选举，从中选出4名学生进入学生会，则这4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率为．【解答】解：高二年级的5个文科班级每班派2名同学参加年级学生会选举，共有10名学生，从中选出4名学生进入学生会共有=210种不同情况；其中这4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级有：•••=120种不同情况，故这4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率P==，故答案为：15．（5分）（2016•许昌二模）设x，y满足约束条件，若x2+9y2≥a恒成立，则实数a的最大值为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x2+9y2，则z＞0，即=1，则对应的曲线是焦点在x轴上的椭圆，由图象知当直线x+y=1与椭圆相切时，z最小，将y=1﹣x代入z=x2+9y2，整理得10x2﹣18x﹣9﹣z=0，则判别式△=182﹣4×10（9﹣z）=0，解得z=，即z的最小值为，则a≤，则a的最大值为，故答案为：16．（5分）（2016•许昌二模）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点P i（i=1，2），使得△P i A1A2（i=1，2）构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是1＜e＜．【解答】解：由题意，F（c，0），B（0，b），则直线BF的方程为bx+cy﹣bc=0，∵在线段BF上（不含端点）存在不同的两点P i（i=1，2），使得△P i A1A2（i=1，2）构成以线段A1A2为斜边的直角三角形，∴，∴e4﹣3e2+1＜0，∵e＞1，∴e＜∵e＞1，∴1＜e＜．故答案为：1＜e＜．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016•许昌二模）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=2，b1=3，a3+b5=56，a5+b3=26．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若﹣x2+3x≤对任意n∈N*恒成立，求实数x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，（2分）代入得，消d得2q4﹣q2﹣28=0，∴（2q2+7）（q2﹣4）=0，∵{b n}是各项都为正数的等比数列，∴q=2进而d=3，∴（6分）（Ⅱ）记，则（10分）∴c n最小值为c1=1，（12分）∵对任意n∈N*恒成立，∴﹣x2+3x≤2，∴x≥2，或x≤1（14分）18．（12分）（2016•许昌二模）某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现采用分层抽样的方法从该年级抽取100名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这100名学生每天晚上有效学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组：①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），…得到频率分布直方图（部分）如图．（Ⅰ）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表；并判断是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？K2=参考列表：（Ⅱ）若在第①组、第②组、第③组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【解答】解：（1）把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表如下：…（2分） K 2=≈5.556 …（4分）由于K 2＞3.841，所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关…（6分）（2）设第i 组的频率为P i （i=1，2，…，8）， 则由图可知：P 1=×30=，P 2=×30=，P 3=×30=，∴第①组1人，第②组4人，第③组10人．…（8分） 则X 的所有可能取值为0，1，2，3，，∴，…..（10分）∴X 的分布列为：．…..（12分）19．（12分）（2016•晋中模拟）在正三角形ABC中，E、F、P分别是﹣AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求二面角B一A1P一F的余弦值的大小．【解答】解：不妨设正三角形ABC 的边长为3．（1）在图1中，取BE的中点D，连结DF．∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2．…（2分）而∠A=60°，∴△ADF是正三角形．又AE=DE=1，∴EF⊥AD．…（4分）在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE．又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．…（6分）（2）由（1）知，即A1E⊥平面BEP，BE⊥EF．以E为原点，以EB、EF、EA1分别为x、y、z轴建立如图3所示的坐标系如图，…（7分）．…（8分）∴．…（9分），…（10分），．…（11分），．…（12分），．…（13分）因为二面角B﹣A1P﹣F为钝角，．…（14分）20．（12分）（2016•许昌二模）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，过F 的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．（1）求p的值；（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F 旋转时，求的最大值．【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，，当l的倾斜角为45°时，l的方程为设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得x2﹣2px﹣p2=0，x1+x2=2p，y1+y2=x1+x2+p=3p，得AB中点为…（3分）AB中垂线为，x=0代入得．∴p=2…（6分）（2）设l的方程为y=kx+1，代入x2=4y得x2﹣4kx﹣4=0，，AB中点为D（2k，2k2+1）令∠MDN=2α，，∴…（8分）D到x轴的距离|DE|=2k2+1，…（10分）当k2=0时cosα取最小值，α的最大值为．故的最大值为．…（12分）21．（12分）（2016•许昌二模）已知函数f（x）=lnx﹣ax++1 （a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a∈（，1）时，若对任意t∈[2，3]，在x∈（0，t]时，函数f（x）的最小值为f（t），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）（x＞0），令g（x）=﹣[ax﹣（1﹣a）]（x﹣1）当a=0时，g（x）=x﹣1，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0⇒f'（x）＞0⇒f（x）单调递增，a＜0时，由x＞0，得ax﹣（1﹣a）＜0，所以x∈（1，+∞）时，g（x）＞0⇒f'（x）＞0⇒f（x）单调递增，当a＞0时，，若，则当0＜a＜，x∈（1，），f'（x）＞0，f（x）单调递增，当a=，f（x）在（0，+∞）上无递增区间，当＜a≤1时，x∈（，1），f′（x）＞0，f（x）单调递增，当a＞1时，x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．综上所述，当a≤0时，单调递增区间为（1，+∞）；当0＜a＜时，单调递增区间为（1，）；当a=时，无单调递增区间；＜a≤1时，单调递增区间为（，1）；当a＞1时，单调递增区间为（0，1）．（2）由题知函数∴．①当时，＞0，于是x∈（0，1）和时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；又因为，要对任意实数t∈[2，3]，当x∈（0，t]时，函数f（x）的最小值为f（t），只需要f（2）≤f（1），即，解得a≥2ln2﹣1．∵，∴；②当时，，在x∈（0，+∞）上，恒有f'（x）≤0，有且仅有f'（1）=0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，显然成立．③当时，，于是和x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；要对任意实数t∈[2，3]，当x∈（0，t]时，函数f（x）的最小值为f（t），只需要，即；令，，所以g（a）在上单调递减，在上单调递增减，g（a）≥＞ln2+，所以此时恒定满足题意．综上所述：a∈[2ln2﹣1，1）．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•大名县模拟）如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．【解答】证明：（1）∵PE、PB分别是⊙O2的割线∴PA•PE=PD•PB （2分）又∵PA、PB分别是⊙O1的切线和割线∴PA2=PC•PB （4分）由以上条件得PA•PD=PE•PC（5分）（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB=90°∴AC是⊙O2的切线．（6分）由（1）知，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD=∠ADE（8分）又∵AC是⊙O2的切线，∴∠CAD=∠AED又∠CAD=∠ADE，∴∠AED=∠ADE∴AD=AE（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•许昌二模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线l1：θ=α（0＜α＜），将射线l1顺时针旋转得到射线l2：θ=α﹣，且射线l1与曲线C1交于O、P两点，射线l2与曲线C2交于O、Q两点，求|OP|•|OQ|的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），利用平方关系消去参数可得：曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2=4，展开可得：x2+y2﹣4x=0，利用互化公式可得：ρ2﹣4ρcosθ=0，∴C1极坐标方程为ρ=4cosθ．曲线C2的参数方程为（β为参数），消去参数可得：曲线C2的普通方程为x2+（y﹣2）2=4，展开利用互化公式可得C2极坐标方程为ρ=4sinθ．（2）设点P极点坐标（ρ1，4cosα），即ρ1=4cosα．点Q极坐标为，即．则==．∵，∴，当，即时，|OP|•|OQ|取最大值4．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•许昌二模）设f（x）=|x﹣a|，（a∈R）．（Ⅰ）当﹣2≤x≤3时，f（x）≤4成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x﹣a）﹣f（x+a）≤2a﹣1成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当﹣2≤x≤3时，f（x）≤4成立，即|x﹣a|≤4，可得﹣4≤x﹣a≤4，∴x﹣4≤a≤x+4，∵﹣2≤x≤3，∴﹣1≤a≤2；…（5分）（Ⅱ）∵f（x﹣a）﹣f（x+a）≤2a﹣1成立，∴﹣2|a|≤|x﹣2a|﹣|x|≤2|a|，∵存在实数x，使得f（x﹣a）﹣f（x+a）≤2a﹣1成立，∴﹣2|a|≤2a﹣1．a≥0时，﹣2a≤2a﹣1，解得a≥；a＜0时，2a≤2a﹣1，矛盾，舍去；综上，a≥…（10分）参与本试卷答题和审题的老师有：沂蒙松；lcb001；wdnah；maths；铭灏2016；whgcn；清风慕竹；csyzlg；刘老师；豫汝王世崇；sxs123；刘长柏；zlzhan；qiss （排名不分先后）菁优网2017年5月13日。