基于Markov模型的机群完好率研究

飞 机 设 计第4期60文章编号：1673-4599（2011）04-0060-04基于Markov模型的机群完好率研究韩 维，李 成，商兴华（海军航空工程学院 7系，山东 烟台 264001）摘 要：通过建立非线性模型对机群的完好率进行研究。

针对完好飞机，重点研究飞行批次对完好率的影响；对于故障飞机，重点研究中修级维修和串件维修对修复率的影响，进而得出在基层级维修能力下机群满足总体完好率要求的持续时间。

关键词：Markov模型；机群完好率；非线性模型；持续时间中图分类号：E917 文献标识码：AStudy on the Readiness Rate of Air Fleet Based on Markov ModelHAN Wei , LI Cheng , SHANG Xing-hua( Department of No.7 , Naval Aeronautical Engineering College , Yantai 264001 , China )Abstract : This paper researched on the readiness of air fleet through setting up non-linear model of Markov. To the mission capable aircrafts, emphasized on the effect of sortie generation to the readiness rate; as to the not mission capable aircrafts, emphasized on the effect of I-level maintenance and cannibalization to the repair rate. Then calculated out the duration time when the readiness rate met the base line of requirement based on the maintenance ability of O-level maintenance.Key words : Markov model ; readiness rate of air fl eet ; non-linear model ; duration time 收稿日期：2010-06-23；修订日期：2011-05-25作战飞机是现代高技术条件下战争不可或缺的武器系统之一。

历次现代战争表明，大规模、多批次的机群作战有利于集中攻击敌方的要害目标，达到作战目的。

在此过程中，机群的完好率直接决定了机群的出动规模。

如何提高机群的完好率，从而提高机群的出动规模，是飞机保障过程中一个需要着重思考的问题。

机群完好率是指能随时遂行作战任务的飞机完好数与实有数的比值[1]。

实有飞机里面包含完好飞机和故障飞机。

对于完好飞机来说，对其完好性影响最大的因素是飞行时间或飞行批次，而对于故障飞机，一般采用中继级维修和串件维修使其恢复到完好状态。

本文就以此作为突破点，研究机群的完好率变化和机群满足完好率要求的持续时间。

文献[2]建立了有备份飞机条件下的机群出动能力的Markov模型，确定了备份飞机数量和维修组数，文献[3]应用马尔科夫链对出动架次的效能指标进行了建模，并进行了分析研究。

文献[4]建立了在给定任务通知时刻机群状态条件下机群战备完好率评估模型。

文献[5]采用建模仿真技术实现了非战时飞机编队飞行保障仿真，不仅建立了飞机编队飞行保障过程模型，而且按照各种事件的发生规律进行了仿真。

邹 辉 等：高超声速湍流高效模拟算法第31卷 第4期2011年 8月飞 机 设 计AIRCRAFT DESIGN Vol. 31 No. 4Aug 2011第31卷611 预备知识一个随机过程，在t 0时刻所处的状态为已知的条件下，过程在t ＞t 0时刻所处状态的条件分布，与过程在t 0时刻之前所处的状态无关的特性，称为马尔科夫性。

这个无后效性的随机过程即称为马尔科夫过程。

1.1 Markov链Markov 链数学表达式为（1）其中：X （t i ）= x i 表示处于t i （i =1，2，…，n ）时刻的状态。

若Markov链X （t ）在t 时刻的状态为i ，t+∆t 时刻转移到状态j 的转移概率与转移的起始时间t 无关，即（2）把P ij （t ）排成的矩阵P （∆t ）=[P ij （t ）]称为状态转移矩阵，且有（3）1.2 时齐Markov链假定X （t ）表示系统在t 时刻的状态，X （t ）是一个时齐的Markov链，每个单元所处状态相互独立。

完好飞机数用n （t ）表示，故障飞机数用m （t ）表示，完好飞机保持完好的概率为P 1，故障飞机经修理达到完好状态的概率为P 2。

由状态转移图1，利用全概率公式，可以得知，经过∆t 时间之后，完好飞机和故障飞机的数量预期值可以表示为（4）公式（4）中的计算公式没有考虑工作环境中可变因素对于完好飞机数量的影响。

这些因素包括中继级维修保障、出动批次、飞行时间等，它们通过影响完好飞机完好概率P 1和故障飞机的维修概率P 2影响完好飞机的数量。

因此，我们可以把P 1，P 2作为各变量的因变函数进行研究。

概率P 1，P 2的变化范围为[0，1]。

假定影响因素与P 1，P 2之间为简单的线性关系，则会导致P 1，P 2超出变化范围。

因此，应相应地建立影响因素与P 1，P 2之间的非线性关系模型。

假定x 1，x 2，…，x k 表示k 个影响因素，如出动批次、中继级维修、飞行时间等。

则P 1，P 2可分别表示为（6）（7）式中：α0，…，αk 和β0，…，βk 为影响因素的参数因子，且此表达式可以满足P 1，P 2变化范围为[0，1]的要求。

此式可以用来反映单一操作或保障因素对飞机故障率和修复率的影响，也可综合反映各保障因素的影响。

2 影响因素分析影响机群完好率的因素很多，但是，总的可以分为两类。

对于完好飞机，其完好的最大影响因素就是飞行。

因此，飞机利用率是完好飞机完好率的最大影响因素。

而对于故障飞机，对其修复率最大的影响因素就是中继级维修和串件维修。

我们针对这些主要影响因素展开研究。

2.1 飞机利用率完好飞机在∆t 后继续保持完好的概率P 1随着飞机的利用率改变而改变。

飞机的利用率用来表示先前∆t 时间内飞机的使用情况。

飞机利用率影响的表现分别为飞行批次和飞行时间。

一次出动即表示一个包含起降的飞行周期。

假定飞机起降的次数越多，出现故障的可能性越大。

且在飞行前和飞行过程中都可能出现故障。

系统使用的时间越长，越有可能出现故障。

但是，因为飞行批次和飞行时间有较高的相关性，同时在安好概率P 1里考虑两个因素的影响，难度较大，因此，我们单一考虑飞行批次的影响，假定为S F 。

图1 时齐Markov链状态转移图P 1（t ）P 2（t ）1-P 2（t ）1-P 1（t ）n （t ）m （t ）假定N 表示随机变量n （t ）的平均值，定义N =E [n （t +∆t ）]=E [n （t +2∆t ）]…，通过替换可得：（5）≥≥韩 维 等：基于Markov模型的机群完好率研究飞 机 设 计第4期622.2 串件维修串件维修是指从一架故障飞机上拆下良好的部件用于另一故障飞机的维修，以便另一故障飞机恢复到完好状态的维修。

虽然串件维修在实际操作过程中不经常使用，但是在紧急情况下，其也可以改善飞机的准备情况，提高飞机的整体完好率。

每一架故障飞机即意味着通过串件维修具有修好另一架故障飞机的一个机会。

因此，串件维修对于维修概率P 2是有影响的，假定为R c 。

2.3 中继级维修中继级维修主要用于对故障飞机进行较为复杂的维修，较为复杂的维修很大程度上建立在备件的供应上。

如果备件的供应不是一次完成的，而是定期运送的，那么，中继级维修中备件的供应也同样是飞机维修概率P 2的主要影响因素，假定为S m 。

由以上分析可知，式（6）和式（7）可以分别表示为（8）（9）3 算 例通过对某机场长期飞行的观察记录，进行吻合度分析，可以得知α0，α1和β0，β1，β2各参数因子的值分别为：α0=2.868 6，α1=−0.207 5；β0=0，β1=0.085 6，β2=−0.692 4。

通过编制程序进行仿真计算，可以得如下结果（见图2）。

由图3可知，在串件维修条件下，中继级维修的备件运送时间间隔越短，对修复率P 2的影响越明显。

而随着时间的推移，修复率变化曲线越来越趋于平缓。

反之，当故障飞机数量不同时，串件维修对于修复率P 2的影响也是较为明显的。

由图可知，故障飞机的数量越多，修复率P 2越大。

即通过故障飞机的串件维修，可以增大修复的可能性。

图中n 代表故障飞机的数量。

图2 飞机出动批次对于完好飞机保持完好的概率曲线0.960.940.920.900.880.860.840.820.800.780.761 2 3 4 5 6 7 8 9由图2可知，完好飞机保持完好的概率P 1随着飞行批次的增加逐渐下降。

即飞行的时间越长，飞行的批次越多，则完好飞机越有可能出现基层级难以修复的故障，从而影响飞机的整体完好率。

图3 串件维修条件下备件运送时间间隔对于修复率的影响曲线图4 不同备件运送时间条件下串件维修对于修复率的影响曲线由图4可知，随着故障飞机的增多，串件维修有利于提高故障飞机的修复率P 2，反之，在故障飞机较少的情况下，备件运送的时间间隔越小，修复率P 2越大；备件的运送时间间隔越大，修复率P 2越小。

图中m 表示备件的运送时间间隔。

假定以1天作为研究的时间间隔点，即∆t 的时间为1天。

则我们可以计算多长时间间隔的备件运送既可以满足完好率要求，又可以提高整体的经济性。

通过计算我们得知如下结果。

0.70.60.50.40.30.20.11.00.90.80.70.60.50.40.30.20.101 2 3 4 5 6 7 8 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100n =10n =1m =0m =9由图5可知，每6天进行一次备件补充运送，既可以满足飞机的完好率要求，又能够达到较好的备件补充运送经济性。

出动批次串件维修数飞机完好率修复率修复率备件运送时间间隔第31卷63图5 完好率要求条件下的备件运送间隔时间0.900.880.860.840.820.800.780.760.740.721 2 3 4 5 6 7 8 9X :6Y :0.808 3X :7Y :0.788 3要求条件下的最佳的备件运送时间间隔。