泸州市初中数学一次函数经典测试题及答案解析
初二数学一次函数经典试题含答案[1]
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初二数学一次函数超经典试题含答案一、相信你一定能填对！（每小题3分，共30分) 1．下列函数中,自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A ．y=2x - B ．y=2x - C ．y=24x - D ．y=2x +·2x - 2．下面哪个点在函数y=12x+1的图象上( ）A ．（2，1)B ．（—2,1）C ．（2,0）D ．（-2，0） 3．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是( ）A ．y=2x-1B ．y=3x C ．y=2x 2D ．y=—2x+14．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是( ） A ．一、二、三 B ．二、三、四 C ．一、二、四 D ．一、三、四6．若一次函数y=（3—k)x-k 的图象经过第二、三、四象限，则k 的取值范围是（ ） A ．k>3 B ．0<k ≤3 C ．0≤k<3 D ．0〈k<37．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2)，那么此一次函数的解析式为（ ） A ．y=-x —2 B ．y=—x —6 C ．y=-x+10 D ．y=-x —18．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y （升）与行驶时间t （时）的函数关系用图象表示应为下图中的( ）9．李老师骑自行车上班,最初以某一速度匀速行进，•中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟,为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y•（千米）与行进时间t （小时）的函数图象的示意图,同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是( ）10．一次函数y=kx+b 的图象经过点（2，-1)和（0,3），•那么这个一次函数的解析式为（ )A ．y=—2x+3B ．y=—3x+2C ．y=3x-2D ．y=12x —3二、你能填得又快又对吗？（每小题3分,共30分）11．已知自变量为x 的函数y=mx+2—m 是正比例函数，则m=________，•该函数的解析式为_________．12．若点（1,3）在正比例函数y=kx 的图象上,则此函数的解析式为________．13．已知一次函数y=kx+b 的图象经过点A （1，3）和B （—1，-1），则此函数的解析式为_________． 14．若解方程x+2=3x-2得x=2，则当x_________时直线y=x+•2•上的点在直线y=3x-2上相应点的上方．15．已知一次函数y=—x+a 与y=x+b 的图象相交于点（m ，8），则a+b=_________．16．若一次函数y=kx+b 交于y•轴的负半轴，•且y•的值随x•的增大而减少，•则k____0，b______0．（填“〉”、“<”或“＝")17．已知直线y=x —3与y=2x+2的交点为（—5,-8),则方程组30220x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解是________．18．已知一次函数y=-3x+1的图象经过点（a ，1）和点（-2，b ），则a=________，b=______．19．如果直线y=-2x+k 与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k 的值为_____．20．如图,一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B 两点，与x 轴交于点C ，则此一次函数的解析式为__________，△AOC 的面积为_________．xy1234-2-1CA-14321O三、认真解答，一定要细心哟！（共60分)21．（14分)根据下列条件，确定函数关系式：（1)y与x成正比，且当x=9时，y=16;（2）y=kx+b的图象经过点（3，2）和点（—2，1)．23．（12分）一农民带了若干千克自产的土豆进城出售,为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱）的关系如图所示,结合图象回答下列问题：(1)农民自带的零钱是多少？（2)降价前他每千克土豆出售的价格是多少？(3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元,问他一共带了多少千克土豆？24．（10分）如图所示的折线ABC•表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y(元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系的图象（1）写出y与t•之间的函数关系式．（2）通话2分钟应付通话费多少元？通话7分钟呢？25．（12分）已知雅美服装厂现有A种布料70米,B种布料52米,•现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料1.•1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0。
(易错题精选)初中数学一次函数经典测试题含答案解析
（易错题精选）初中数学一次函数经典测试题含答案解析一、选择题1．一次函数 y = mx +1m -的图像过点（0,2），且 y 随 x 的增大而增大，则 m 的值为（ ）A ．-1B ．3C ．1D ．- 1 或 3【答案】B【解析】【分析】先根据函数的增减性判断出m 的符号，再把点（0，2）代入求出m 的值即可．【详解】∵一次函数y=mx+|m-1|中y 随x 的增大而增大，∴m ＞0．∵一次函数y=mx+|m-1|的图象过点（0，2），∴当x=0时，|m-1|=2，解得m 1=3，m 2=-1＜0（舍去）．故选B ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．2．如图，函数4y x =-和y kx b =+的图象相交于点()8A m-,，则关于x 的不等式()40k x b ++>的解集为（ ）A ．2x >B ．02x <<C ．8x >-D ．2x <【答案】A【解析】【分析】 直接利用函数图象上点的坐标特征得出m 的值，再利用函数图象得出答案即可．【详解】解：∵函数y ＝−4x 和y ＝kx ＋b 的图象相交于点A （m ，−8），∴−8＝−4m ，解得：m ＝2，故A 点坐标为（2，−8），∵kx ＋b ＞−4x 时，（k ＋4）x ＋b ＞0，则关于x 的不等式（k ＋4）x ＋b ＞0的解集为：x ＞2．故选：A ．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图象分析是解题关键．3．如图，已知一次函数22y x =-+的图象与坐标轴分别交于A 、B 两点，⊙O 的半径为1，P 是线段AB 上的一个点，过点P 作⊙O 的切线PM ，切点为M ，则PM 的最小值为（ ）A ．2B 2C 5D 3【答案】D 【解析】【分析】【详解】 解：连结OM 、OP ，作OH ⊥AB 于H ，如图，先利用坐标轴上点的坐标特征：当x=0时，y=﹣22，则A （0，2），当y=0时，﹣2=0，解得2，则B （2，0），所以△OAB 为等腰直角三角形，则2OA=4，OH=12AB=2， 根据切线的性质由PM 为切线，得到OM ⊥PM ，利用勾股定理得到22OP OM -21OP -当OP 的长最小时，PM 的长最小，而OP=OH=2时，OP 的长最小，所以PM 的最小值为2213-=故选D ．【点睛】本题考查切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征．4．在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围是（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0【答案】C【解析】【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．【详解】∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，故选C．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k ＜0，b＞0时图象在一、二、四象限．5．已知正比例函数y=kx（k≠0）经过第二、四象限，点（k﹣1，3k+5）是其图象上的点，则k的值为（）A．3 B．5 C．﹣1 D．﹣3【答案】C【解析】【分析】把x=k﹣1，y=3k+5代入正比例函数y=kx解答即可.【详解】把x=k﹣1，y=3k+5代入正比例函数的y=kx，可得：3k+5=k（k﹣1），解得：k1=﹣1，k2=5，因为正比例函数的y=kx（k≠0）的图象经过二，四象限，所以k＜0，所以k=﹣1，故选C ．【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，掌握正比例函数图象上的点的坐标都满足正比例函数的解析式是解题的关键.6．如图，把 Rt ABC ∆放在直角坐标系内，其中 90CAB ∠=o ，5BC =，点 A 、B 的坐标分别为(1,0)、(4,0)，将ABC ∆沿x 轴向右平移，当点 C 落在直线26y x =-上是，线段BC 扫过的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．8【答案】C【解析】【分析】 根据题目提供的点的坐标求得点C 的坐标，当向右平移时，点C 的纵坐标不变，代入直线求得点C 的横坐标，进而求得其平移的距离，计算平行四边形的面积即可．【详解】∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB ＝3，BC ＝5，∵∠CAB ＝90°，∴AC ＝4，∴点C 的坐标为（1，4），当点C 落在直线y ＝2x －6上时，∴令y＝4，得到4＝2x－6，解得x＝5，∴平移的距离为5－1＝4，∴线段BC扫过的面积为4×4＝16，故选C．【点睛】本题考查了一次函数与几何知识的应用，解题关键是题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长．7．一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图所示，下列叙述正确的是（）A．甲乙两地相距1200千米B．快车的速度是80千米∕小时C．慢车的速度是60千米∕小时D．快车到达甲地时，慢车距离乙地100千米【答案】C【解析】【分析】（1）由图象容易得出甲乙两地相距600千米；（2）由题意得出慢车速度为60010=60（千米/小时）；设快车速度为x千米/小时，由图象得出方程60×4+4x=600，解方程即可；（3）求出快车到达的时间和慢车行驶的路程，即可得出答案.【详解】解:（1）由图象得：甲乙两地相距600千米,故选项A错;（2）由题意得：慢车总用时10小时，∴慢车速度为：60010=60（千米/小时）；设快车速度为x千米/小时，由图象得：60×4+4x=600，解得：x=90，∴快车速度为90千米/小时，慢车速度为60千米/小时；选项B错误，选项C正确；（3）快车到达甲地所用时间：60020903小时，慢车所走路程：60×203=400千米，此时慢车距离乙地距离：600-400=200千米，故选项D错误.故选C【点睛】本题考核知识点：函数图象. 解题关键点：从图象获取信息，由行程问题基本关系列出算式.8．如图，在平面直角坐标系中，OABC 的顶点A 在x 轴上，定点B 的坐标为(6,4)，若直线经过定点(1,0)，且将平行四边形OABC 分割成面积相等的两部分，则直线的表达式（ ）A ．+1y x =B ．4455y x =-C ．1y x =-D ．33y x =-【答案】C【解析】【分析】 根据过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四边形中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．【详解】∵点B 的坐标为(6,4)，∴平行四边形的中心坐标为(3,2)，设直线l 的函数解析式为y kx b =+，则320k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩，所以直线l 的解析式为1y x =-． 故选：C ．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键．9．一次函数y=ax+b 与反比例函数a b y x-=，其中ab ＜0，a 、b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲线的位置．【详解】A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴a−b>0，∴反比例函数y=a bx-的图象过一、三象限，所以此选项不正确；B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴正半轴，则b>0，满足ab<0，∴a−b<0，∴反比例函数y=a bx-的图象过二、四象限，所以此选项不正确；C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴a−b>0，∴反比例函数y=a bx-的图象过一、三象限，所以此选项正确；D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y 轴负半轴，则b<0，满足ab>0，与已知相矛盾所以此选项不正确；故选C.【点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a 、b 的大小10．将直线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）A ．24y x =-B ．24y x =+C ．22y x =+D ．22y x =- 【答案】A【解析】【分析】直接根据“上加下减”、“左加右减”的原则进行解答即可．【详解】由“左加右减”的原则可知，将直线y=2x-3向右平移2个单位后所得函数解析式为y=2(x-2)-3=2x-7，由“上加下减”原则可知，将直线y=2x-7向上平移3个单位后所得函数解析式为y=2x-7+3=2x-4，故选A.【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．11．下列各点在一次函数y=2x ﹣3的图象上的是（ ）A ．（ 2，3）B ．（2，1）C ．（0，3）D ．（3，0【答案】B【解析】【分析】把各点分别代入一次函数y=2x ﹣3进行检验即可．【详解】A 、2×2﹣3=1≠3，原式不成立，故本选项错误；B 、2×2﹣3=1，原式成立，故本选项正确；C 、2×0﹣3=﹣3≠3，原式不成立，故本选项错误；D 、2×3﹣3=3≠0，原式不成立，故本选项错误，故选B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上的点的坐标满足一次函数的解析式是解题的关键.解答时只要把四个选项一一代入进行检验即可．12．若A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是一次函数y=ax+x-2图像上的不同的两点，记()()1212m x x y y =--，则当m ＜0时，a 的取值范围是（ ）A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ＜-1D ．a ＞-1【答案】C【解析】【分析】【详解】∵A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是一次函数2(1)2y ax x a x =+-=+-图象上的不同的两点，()()12120m x x y y =--<，∴该函数图象是y 随x 的增大而减小，∴a+1<0，解得a<-1，故选C.【点睛】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征,要根据函数的增减性进行推理,是一道基础题.13．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发，沿折线AC －CB 运动，到点B 停止．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD 的长y （cm ）与点P 的运动时间x （秒）的函数图象如图2所示．当点P 运动5秒时，PD 的长是（ ）A ．1.5cmB ．1.2cmC ．1.8cmD ．2cm【答案】B【解析】【分析】【详解】 由图2知，点P 在AC 、CB 上的运动时间时间分别是3秒和4秒，∵点P 的运动速度是每秒1cm ，∴AC=3，BC=4．∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴根据勾股定理得：AB=5．如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则易得△ABC ∽△ACH ．∴CH AC BC AB =，即AC BC 3412CH CH AB 55⋅⨯=⇒==． ∴如图，点E （3，125），F （7，0）． 设直线EF 的解析式为y kx b =+，则 123k b {507k b=+=+，解得：3k 5{21b 5=-=． ∴直线EF 的解析式为321y x 55=-+． ∴当x 5=时，()3216PD y 5 1.2cm 555==-⨯+==． 故选B ．14．在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于、两点，点是轴上一动点，要使点关于直线的对称点刚好落在轴上，则此时点的坐标是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】【分析】过C 作CD ⊥AB 于D ，先求出A ，B 的坐标，分别为（4，0），（0，3），得到AB 的长，再根据折叠的性质得到AC 平分∠OAB ，得到CD=CO=n ，DA=OA=4，则DB=5-4=1，BC=3-n ，在Rt △BCD 中，利用勾股定理得到n 的方程，解方程求出n 即可．【详解】过C 作CD ⊥AB 于D ，如图，对于直线，当x=0，得y=3； 当y=0，x=4，∴A （4，0），B （0，3），即OA=4，OB=3， ∴AB=5，又∵坐标平面沿直线AC 折叠，使点B 刚好落在x 轴上， ∴AC 平分∠OAB ， ∴CD=CO=n ，则BC=3-n ， ∴DA=OA=4， ∴DB=5-4=1，在Rt △BCD 中，DC 2+BD 2=BC 2， ∴n 2+12=（3-n ）2，解得n=， ∴点C 的坐标为（0，）． 故选B. 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换：直线y=kx+b ，（k≠0，且k ，b 为常数），关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数；关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数；关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数．也考查了折叠的性质和勾股定理．15．在平面直角坐标系中，直线:1m y x =+与y 轴交于点A ，如图所示，依次正方形1M ,正方形2M ，……，正方形n M ，且正方形的一条边在直线m 上，一个顶点x 轴上，则正方形n M 的面积是（ ）A ．222n -B ．212n -C ．22nD ．212n +【答案】B 【解析】 【分析】由一次函数1y x =+，得出点A 的坐标为（0，1），求出正方形M 1的边长，即可求出正方形M 1的面积，同理求出正方形M 2的面积，即可推出正方形n M 的面积. 【详解】一次函数1y x =+，令x=0，则y=1， ∴点A 的坐标为（0，1）， ∴OA=1，∴正方形M 1的边长为22112+=，∴正方形M 1的面积=222⨯=， ∴正方形M 1的对角线为()()22222⨯=，∴正方形M 2的边长为222222+=， ∴正方形M 2的面积=3222282⨯==， 同理可得正方形M 3的面积=5322=， 则正方形n M 的面积是212n -，故选B. 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，解答本题的关键是明确题意，发现题目中面积之间的关系，运用数形结合思想解答．16．如图，平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线12y x b =+与ABC ∆有交点时，b 的取值范围是( )A ．11b -≤≤B ．112b -≤≤ C ．1122b -≤≤D ．112b -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】将A （1，1），B （3，1），C （2，2）的坐标分别代入直线y ＝12x+b 中求得b 的值，再根据一次函数的增减性即可得到b 的取值范围． 【详解】 解：直线y=12x+b 经过点B 时，将B （3，1）代入直线y ＝12x+b 中，可得32+b=1，解得b=-12； 直线y=12x+b 经过点A 时：将A （1，1）代入直线y ＝12x+b 中，可得12+b=1，解得b=12； 直线y=12x+b 经过点C 时：将C （2，2）代入直线y ＝12x+b 中，可得1+b=2，解得b=1． 故b 的取值范围是-12≤b≤1．故选B ． 【点睛】考查了一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．17．在平面直角坐标系中，函数2(0)y kx k =≠的图象如图所示，则函数232y kx k =-+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象易知k 0<，可得32k 0-+<，所以函数图象沿y 轴向下平移可得． 【详解】解：根据函数图象易知k 0<， ∴32k 0-+<， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查一次函数的性质与图象，正确理解一次函数的性质与图象是解题关键．18．如图在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边长为4，点A 在第二象限内，将OAB ∆沿射线AO 平移，平移后点A '的横坐标为43，则点B '的坐标为（ ）A ．(3,2)-B ．(63,3)-C ．(6,2)-D ．(63,2)-【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求出点A 、B 的坐标，再求出直线OA 的解析式，继而得出点A '的纵坐标，找出点A 平移至点A '的规律，即可求出点B '的坐标． 【详解】解：∵三角形OAB 是等边三角形，且边长为4∴(23,2),(0,4)A B -设直线OA 的解析式为y kx =，将点A 坐标代入，解得：3k = 即直线OA 的解析式为：3y x = 将点A '的横坐标为34y =- 即点A '的坐标为(43,4)-∵点A 向右平移636个单位得到点A ' ∴B '的坐标为(063,46)(63,2)+-=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是坐标与图形变化-平移，熟练掌握坐标平面图形平移的规律是解决本题的关键．19．一次函数y 1＝kx+1﹣2k （k≠0）的图象记作G 1，一次函数y 2＝2x+3（﹣1＜x ＜2）的图象记作G2，对于这两个图象，有以下几种说法：①当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；②当G1与G2没有公共点时，y1随x增大而增大；③当k＝2时，G1与G2平行，且平行线之间的距离为．下列选项中，描述准确的是（）A．①②正确，③错误B．①③正确，②错误C．②③正确，①错误D．①②③都正确【答案】D【解析】【分析】画图，找出G2的临界点，以及G1的临界直线，分析出G1过定点，根据k的正负与函数增减变化的关系，结合函数图象逐个选项分析即可解答．【详解】解：一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的函数值随x的增大而增大，如图所示，N（﹣1，2），Q（2，7）为G2的两个临界点，易知一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象过定点M（2，1），直线MN与直线MQ为G1与G2有公共点的两条临界直线，从而当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；故①正确；当G1与G2没有公共点时，分三种情况：一是直线MN，但此时k＝0，不符合要求；二是直线MQ，但此时k不存在，与一次函数定义不符，故MQ不符合题意；三是当k＞0时，此时y1随x增大而增大，符合题意，故②正确；当k＝2时，G1与G2平行正确，过点M作MP⊥NQ，则MN＝3，由y2＝2x+3，且MN∥x 轴，可知，tan∠PNM＝2，∴PM＝2PN，由勾股定理得：PN2+PM2＝MN2∴（2PN）2+（PN）2＝9，∴PN ＝， ∴PM ＝.故③正确． 综上，故选：D ． 【点睛】本题是一次函数中两条直线相交或平行的综合问题，需要数形结合，结合一次函数的性质逐条分析解答，难度较大．20．超市有A ，B 两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用来分装15升油（瓶子都装满，且无剩油）；当日促销活动：购买A 型瓶3个或以上，一次性返还现金5元，设购买A 型瓶x （个），所需总费用为y （元），则下列说法不一定成立的是（ ） 型号A B 单个盒子容量（升） 2 3 单价（元）56A ．购买B 型瓶的个数是253x ⎛⎫-⎪⎝⎭为正整数时的值 B ．购买A 型瓶最多为6个C ．y 与x 之间的函数关系式为30y x =+D ．小张买瓶子的最少费用是28元【答案】C 【解析】 【分析】设购买A 型瓶x 个,B(253x -)个,由题意列出算式解出个选项即可判断. 【详解】设购买A 型瓶x 个，∵买瓶子用来分装15升油，瓶子都装满，且无剩油， ∴购买B 型瓶的个数是1522533x x -=-, ∵瓶子的个数为自然数, ∴x=0时, 253x -=5; x=3时, 253x -=3; x=6时, 253x -=1; ∴购买B 型瓶的个数是(253x -)为正整数时的值，故A 成立; 由上可知，购买A 型瓶的个数为0个或3个或6个，所以购买A 型瓶的个数最多为6，故B成立;设购买A型瓶x个，所需总费用为y元，则购买B型瓶的个数是(253x-)个，④当0≤x<3时，y=5x+6×(253x-)=x+30，∴k=1>0，∴y随x的增大而增大，∴当x=0时，y有最小值，最小值为30元;②当x≥3时，y=5x+6×(253x-)-5=x+25，∵.k=1>0随x的增大而增大，∴当x=3时，y有最小值，最小值为28元;综合①②可得，购买盒子所需要最少费用为28元.故C不成立，D成立故选:C.【点睛】本题考查一次函数的应用,关键在于读懂题意找出关系式.。
泸州市八年级数学下册第四单元《一次函数》检测题(含答案解析)
一、选择题1．若正比例函数y＝（m﹣2）x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2BC=，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点2．如图，在矩形ABCD中，3AB=，4D，设点P运动的路程为x，ADP△的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．→→→方向运3．如图①，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿着N P Q M∆的面积为y，如果y关于x的函数图象动至点M处停止．设点R运动的路程为,x MNR如图②所示，那么下列说法错误的是（）A ．5MN =B ．长方形MNPQ 的周长是18C ．当6x =时，10y =D ．当8y =时，10x =4．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）A ．20210x y y x +-=⎧⎨-+=⎩B ．20210x y y x -+=⎧⎨+-=⎩C ．20210x y y x -+=⎧⎨--=⎩D ．2010x y y x ++=⎧⎨+-=⎩5．甲乙两地相距3600m ，小王从甲地匀速步行到乙地，同时，小张从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的路程(m)y 与小王步行的时间(min)x 之间的函数关系如图中的折线段AB BC CD --所示，已知小张先走完全程．结合图象，得到以下四个结论：①小张的步行速度是100m/min ；②小王走完全程需要36分钟；③图中B 点的横坐标为22.5；④图中点C 的纵坐标为2880．其中错误．．的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知点()11,P y -、点()23,Q y 在一次函数(21)2y m x =-+的图像上，且12y y >，则m 的取值范围是（ ）A ．12m <B ．12m >C ．m 1≥D ．1m <7．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，∠D ＝90°，AB ＝4，AD ＝2，点P 从点B 出发，沿B→A→D→C 的路线运动到点C ，过点P 作PQ ⊥BC ，垂足为Q ．若点P 运动的路程为x ，△BPQ 的面积为y ，则表示y 与x 之间的函数关系图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．对于函数31y x =-+，下列结论正确的是（ ）A ．y 随x 的增大而增大B ．它的图象经过第一､二､三象限C ．它的图象必经过点()0,1D ．当1x >时，0y >9．在直角坐标系中，点P 在直线x +y －4=0上，O 为原点，则OP 的最小值为（ ） A ．22 B ．2 C ．6 D ．1010．如图，边长为2的正方形ABCD 中，点P 从点A 出发沿路线A B C D →→→匀速运动至点D 停止，已知点P 的速度为1，运动时间为t ，以P ．A ．B 为项点的三角形面积为S ，则S 与t 之间的函数图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．一个一次函数的图象与直线112y x =-平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A ，B ，并且过点(1,5)--，则在线段AB 上（包括端点A ，B ）横、纵坐标都是整数的点有（ ） A ．4个 B ．5个C ．6个D ．7个 12．对于实数a 、b ，我们定义max {a ，b }表示a 、b 两数中较大的数，如max {2，5}＝5， max {3，3}＝3．则以x 为自变量的函数y ＝max {－x ＋3，2x －1}的最小值为（ ）． A ．－1 B ．3 C ．43 D ．53二、填空题13．体育训练课上，小健同学与小宇同学在AB 之间进行往返蛙跳训练．小健先出发10s ，小宇随后出发．当小宇恰好追上小健时，王老师立即飞奔3秒到小宇身边对他进行指导，一分钟．．．后小宇继续前行，但速度减为原来的12，小健和小宇相距的路程y （米）与小健出发时间t （秒）的关系如图所示，则当小宇再次出发时，两人还有__________秒二次相遇．14．如图，直线1:22l y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，直线21:12y l x =+交x 轴于点D ，交y 轴于点C ，直线1l 、2l 交于点M ．（1）点M 坐标为________；（2）若点E 在y 轴上，且BME 是以BM 为一腰的等腰三角形，则E 点坐标为________．15．已知直线11:n n l y x n n+=-+（n 是不为零的自然数）．当1n =时，直线1:21l y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点1A 和1B ，设11AOB （其中0是平面直角坐标系的原点）的面积为1S ；当2n =时，直线2l ：3122y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点2A 和2B ，设22A OB 的面积为2S ；……依此类推，直线n l 与x 轴和y 轴分别交于点n A 和n B ，设n n A OB 的面积为n S ．则1S =________，123n S S S S +++⋅⋅⋅+=________． 16．如图，直线l 是一次函数y kx b =+的图象，若点()4,A m 在直线l 上，则m 的值是____．17．已知y 是关于x 的正比例函数，当1x =-时，2y =，则y 关于x 的函数表达式为____．18．已知一次函数3yx 的图像经过点(,)P a b 和(,)Q c d ，那么()()b c d a c d ---的值为____________．19．在计算机编程中有这样一个数字程序：对于二个数a ，b 用min{,}a b 表示这两个数中较小的数．例如：min{1,2}1-=-，则min{1,22}x x +-+的最大值为________． 20．如图，在ABC 中90ACB ∠=︒，AC BC =，BC 与y 轴交于D 点，点C 的坐标为()2,0-，点A 的坐标为()6,3-，则D 点的坐标是__________．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，直线y kx b =+交x 轴于点()30A -,，交y 轴于点()0,1B ．过点()1,0C -作垂直于x 轴的直线交AB 于点D ，点()1,E m -在直线CD 上且在直线AB 的上方．（1）求k 、b 的值（2）当3m =时，求四边形AOBE 的面积S ．（3）当2m =时，以AE 为边在第二象限作等腰直角三角形PAE ，直接写出点P 的坐标．22．我市全民健身中心面向学生推出假期游泳优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生卡，每次游泳费用按六折优惠；方案二：不购买学生卡，每次游泳费用按八折优惠．设某学生假期游泳x （次），按照方案一所需费用为1y （元），且11y k x b =+；按照方案二所需费用为2y （元），且22y k x =．其函数图象如图所示．（1）求y 1关于x 的函数关系式，并直接写出单独购买一张学生卡的费用和购买学生卡后每次游泳的费用；（2）求打折前的每次游泳费用和k 2的值；（3）八年级学生小明计划假期前往全民健身中心游泳8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．23．已知：正比例函数y ＝kx 的图象经过点A ，点A 在第四象限，过A 作AH ⊥x 垂足为H ，点A 的横坐标为3，S △AOH ＝3．（1）求点A 坐标及此正比例函数解析式；（2）在x 轴上能否找到一点P 使S △AOP ＝5，若存在，求点P 坐标；若不存在，说明理由． 24．请你用学习“一次函数和二次根式”时积累的经验和方法解决下列问题：（1）在平面直角坐标系中，画出函数|1|y x =-的图象： ①列表填空：x …-2 -1 0 1 2 3 4 … y …… 描点、连线，画出|1|y x =-的图象：（2）结合所画函数图象，写出|1|y x =-两条不同类型的性质；（3）结合所画函数图象，当x =________时，|1|1x -=．25．综合与探究如图1，一次函数162y x =-+的图象交x 轴、y 轴于点A ，B ，正比例函数12y x =的图象与直线AB 交于点(),3C m ．（1）求m的值并直接写出线段OC的长；⊥轴于点E，交（2）如图2，点D在线段OC上，且与O，C不重合，过点D作DE x线段CB于点F．请从A，B两题中任选一题作答．我选择题____题．A．若点D的横坐标为4，解答下列问题：①求线段DF的长；②点P是x轴上的一点，若PDF的面积为CDF面积的2倍，直接写出点P的坐标；B．设点D的横坐标为a，解答下列问题：①求线段DF的长，用含a的代数式表示；△的面积分成1:2的两部分时，直接写出a的值．②连接CE，当线段CD把CEF26．某水果生产基地销售苹果，提供以下两种购买方式供客户选择:方式1：若客户缴纳1200元会费加盟为生产基地合作单位，则苹果成交价为3元/千克．方式2：若客户购买数量达到或超过1500千克，则成交价为3.5元/千克；若客户购买数量不足1500千克，则成交价为4元/千克．设客户购买苹果数量为x(千克)，所需费用为y(元)﹒（1）若客户按方式1购买，请写出y(元)与x(千克）之间的函数表达式．(备注：按方式1购买苹果所需费用=生产基地合作单位会费+苹果成交总价)（2）如果购买数量超过1500千克，请说明客户选择哪种购买方式更省钱．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号．【详解】解：根据题意，知：y随x的增大而减小，则k＜0，即m﹣2＜0，m＜2．故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的性质：当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．2．D解析：D【分析】分别求出04x ≤≤、47x <<时函数表达式，即可求解．【详解】解：由题意当04x ≤≤时，如题图，1134622y AD AB =⨯⨯=⨯⨯=， 当47x <<时，如下图，11(7)414222y PD AD x x =⨯⨯=⨯-⨯=-．故选：D ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．3．D解析：D【分析】本题通过右侧的图象可以判断出长方形的边长，然后选项计算，选项A 、B 、C 都可证正确，选项D ，面积为8时，对应x 值不为10，所以错误．【详解】解：由图2可知，长方形MNPQ 的边长，MN=9-4=5，NP=4，故选项A 正确；选项B ，长方形周长为2×（4+5）=18，正确；选项C ，x=6时，点R 在QP 上，△MNR 的面积y=12×5×4=10，正确； 选项D ，y=8时，即1852x =⨯，解得 3.2x =， 或()185132x =⨯-，解得9.8x =， 所以，当y=8时，x=3.2或9.8，故选项D 错误；故选：D ．【点睛】本题考查了动点问题分类讨论，对运动中的点R 的三种位置都设置了问题，是一道很好的动点问题，读懂函数图象是解题关键．4．B解析：B【分析】由图易知两条直线分别经过（-1，1）、（1，0）两点和（0，2）、（-1，1）两点，设出两个函数的解析式，然后利用待定系数法求出解析式，再根据所求的解析式写出对应的二元一次方程，然后组成方程组便可解答此题.【详解】由图知，设经过（-1，1）、（1，0）的直线解析式为y=ax+b （a≠0）.将（-1，1）、（1，0）两点坐标代入解析式中，解得1-212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故过（-1，1）、（1，0）的直线解析式y=1122x -+，对应的二元一次方程为2 y +x -1=0. 设经过（0，2）、（-1，1）的直线解析式为y=kx+h （k≠0）.将（0，2）、（-1，1）两点代入解析式中，解得 12k h =⎧⎨=⎩ 故过（0，2）、（-1，1）的直线解析式为y=x+2，对应的二元一次方程为x-y+2=0. 因此两个函数所对应的二元一次方程组是+20210x y y x -=⎧⎨+-=⎩ 故选择：B【点睛】此题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于要写出两个函数所对应的二元一次方程组，需先求出两个函数的解析式. 5．B解析：B【分析】根据小张先走完全程可知，各个节点的意义，A 代表刚开始时两人的距离，B 代表两人相遇，C 代表小张到达终点，D 代表小王到达终点，根据这些节点的意义进行分析即可判断结论的正确与否．【详解】解：由图可知，点C 表示小张到达终点，用时36min ，点D 表示小王到达终点，用时45min ，故②错误；∴小张的步行速度为：360036100(/min)m ÷=，故①正确；小王的步行速度为：36004580(/min)m ÷=，点B 表示两人相遇，∴3600(10080)20(min)÷+=，∴两人20min 相遇，(20,0)B ，故③错误；∵362016(min)-=，∴从两人相遇到小张到终点过了16min ，∴16(10080)2880()m ⨯+=，∴小张到达终点时，两人相距2880m ，∴点C 的纵坐标为2880，故④正确，∴错误的是②③，故选：B ．【点睛】本题考查一次函数的应用．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6．A解析：A【分析】由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于m 的不等式，可求得m 的取值范围．【详解】解：∵点P （-1，y 1）、点Q （3，y 2）在一次函数y=（2m-1）x+2的图象上，∴当-1＜3时，由题意可知y 1＞y 2，∴y 随x 的增大而减小，∴2m-1＜0，解得m ＜12， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，得出一次函数的增减性是解题的关键． 7．D解析：D【分析】分别求出点P 在BA 上运动、点P 在AD 上运动、点P 在DC 上运动时的函数表达式，进而求解．【详解】解：由题意得：①当点P 在BA 上运动时()04x ≤≤，2111133cos sin 2222y BQ PQ BP B BP B x x x ，图象为二次函数；②当点P 在AD 上运动时46x ， 1134322y BQ CD BQ BQ ，图象为一次函数； ③当点P 在DC 上运动时， 11142222y BQ CP y BC CP CP CP ，图象为一次函数；所以符合题意的选项是D ．故选：D ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是，要弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．8．C解析：C【分析】根据一次函数的图象与性质逐项判断即可得．【详解】一次函数31y x =-+中的30k =-<，y ∴随x 的增大而减小，则选项A 错误；一次函数31y x =-+中的30,10k b =-<=>，∴它的图象经过第一、二、四象限，则选项B 错误；当0x =时，1y =，∴它的图象必经过点()0,1，则选项C 正确；当0y =时，310x -+=，解得13x =， y 随x 的增大而减小，∴当13x <时，0y >，则选项D 错误； 故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 9．A解析：A【分析】当OP 垂直于直线x+y-4=0时，|OP|取最小值．根据直线方程得到该直线与坐标轴的交点坐标，则易得△AOB 为等腰直角三角形，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此求得线段OP 的长度．【详解】解：由直线x+y-4=0得到该直线与坐标轴的两交点坐标是A （0，4）、B （4，0），则△AOB是等腰直角三角形，如图，∴22224442 OA OB+=+=当OP⊥AB时，线段OP最短．此时OP=12AB=22故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，垂线段最短．解题时，利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得OP的长度．10．C解析：C【分析】需分0≤t≤2、2＜t≤4、4＜t≤6三种情况分别分析即可．【详解】解：当0≤t≤2时，P在AB上运动，P．A．B为项点的三角形AB边上的高为0，即面积s=0；当2＜t≤4时，P在BC上运动，P．A．B为项点的三角形AB边上的高为逐渐增大，即面积s逐渐增大；当4＜t≤6时，P在DC上运动，P．A．B为项点的三角形AB边上的高恒为2，即面积s为1222⨯⨯=2；综上可以发现C满足题意．故答案为C．【点睛】本题主要考查的是动点图象问题，弄清楚不同时间段、函数图象和图形的对应关系成为解答本题的关键．11．B解析：B【分析】首先根据一次函数的图象与直线112y x=-平行，图象经过点(-1，-5)，用待定系数法求出函数关系式，然后求出A 、B 两点的坐标，最后根据所求点满足在线段AB 上（包括端点A 、B ），且横、纵坐标都是整数，得出结果；【详解】 一次函数的图象与直线112y x =-平行，设此直线为12y x b =+， 过点(-1，-5)， ∴把此点代入，得152b -=-+， 解得92b ， ∴此直线为1922y x =-． 当0x =时，92y =-； 0y =时，19022x =-，解得x=9， 故A(9，0)，B(0，92-)． 由直线的解析式可知，只要x 是奇数时，y 即为整数，而从9到0共有5个奇数，即1，3，5，7，9，故在线段AB 上（包括端点A ，B ）横、纵坐标都是整数的点有5个．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数平行的特点，列出方程，求出未知数，再根据题意求解；12．D解析：D【分析】分x≤43和x>43两种情况进行讨论计算． 【详解】解：当-x+3≥2x -1， ∴x≤43， 即-x≥-43时，y=-x+3， ∴当-x=-43时，y 的最小值=53， 当-x+3<2x-1， ∴x>43，即：x>43时，y=2x-1， ∵x>43， ∴2x ＞83， ∴2x-1＞53， ∴y ＞53， ∴y 的最小值=53， 故选：D ．【点睛】此题是分段函数题，以及一次函数的性质，主要考查了新定义，解本题的关键是分段．二、填空题13．【分析】如图由可得小健的速度由可得小宇的速度再判断当时小健从到达点返回点计算此时小宇与点的距离为：再计算路程除以二人的速度和从而可得答案【详解】解：如图标注字母由可得小健的速度由可得小宇的速度由函数 解析：732.11【分析】如图，由()10,10G ，可得小健的速度11/,v m s =由()250N ，， 可得小宇的速度25/,3v m s = 再判断当120t s =时，小健从到达B 点，返回A 点，计算此时小宇与B 点的距离为：190,3m 再计算路程除以二人的速度和，从而可得答案． 【详解】解：如图，标注字母， 由()10,10G ， 可得小健的速度1101/,10v m s == 由()250N ，， 可得小宇的速度22515/,153v m s ⨯== 由函数图像DE 段，EF 段的含义可得：当120t s =时，小健从到达B 点，返回A 点，1201120,AB m ∴=⨯=∴ 小宇跳了：()5517018+1101860,363m ⨯--⨯= 此时小宇距B 点：170190120,33m -= 当小宇再次出发到相遇，还需要()1901906380732312088=32+=32+=53111111+16s -+⨯ 故答案为：732.11【点睛】本题考查的是函数图像及从函数图像中获取信息，掌握函数图像上点的横纵坐标的含义是解题的关键． 14．()()或()或()【分析】（1）联立两个方程组求解即可（2）根据题意有以M 为顶点和以B 为顶点两种情况分别求解即可【详解】解：（1）联立两个方程组得将①代入②得：解得：将代入①得：∴点坐标为()故答解析：(25，65) (0，25)或(0，2525-)或(0，525+) 【分析】（1）联立两个方程组求解即可（2）根据题意有以M 为顶点和以B 为顶点两种情况，分别求解即可【详解】解：（1）联立两个方程组得22112y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩①② 将①代入②得：22=112x x -++ 解得：2=5x将2=5x 代入①得：5=6y ∴点M 坐标为(25，65) 故答案为：(25，65) （2）由22y x =-+得当x=0时，y=2故B(0，2)以BM 为一腰时，有两种情况当BME 以M 为顶点时，设E 点坐标为(0，y ) 则66255y -=- 解得：25y = 故E 点坐标为(0，25) 当BME 以B 为顶点时，设E 点坐标为(0，y )∵= 若E 在B 下方则y=25- 若E 在B 上方则y=2故E 点坐标为(0，25-)或(0，25+)故答案为：(0，25)或(0，25-)或(0，25+) 【点睛】 本题考查两直线相交问题及等腰三角形的性质，熟练掌握等要三角形的定义及性质是解本题的关键15．【分析】首先求得S1S2Sn 的值然后由规律：×＝−求解即可求得答案【详解】当n ＝1时直线l1：y ＝−2x ＋1与x 轴和y 轴分别交于点A1和B1则A1（0）B1（01）∴S1＝××1=∵当n ＝2时直线l 解析：1422n n +首先求得S 1，S 2，S n 的值，然后由规律：11n +×1n ＝1n −11n +求解即可求得答案． 【详解】当n ＝1时，直线l 1：y ＝−2x ＋1与x 轴和y 轴分别交于点A 1和B 1，则A 1（12，0），B 1（0，1）， ∴S 1＝12×12×1=14， ∵当n ＝2时，直线l 2：y ＝−32x ＋12与x 轴和y 轴分别交于点A 2和B 2， 则A 2（13，0），B 2（0，12）， ∴S 2＝12×13×12， ∴直线l n 与x 轴和y 轴分别交于点A n 和B n ，△A n OB n 的面积为S n ＝12×11n +×1n ， ∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝12×12×1＋12×13×12＋…＋12×11n +×1n ＝12×（1−12＋12−13＋…＋1n −11n +） ＝12×（1−11n +） ＝22n n +． 故答案为：14，22n n +． 【点睛】此题考查了一次函数的应用．解题的关键是找到规律：△A n OB n 的面积为S n ＝12×11n +×1n 与11n +×1n ＝1n −11n +． 16．3【分析】观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法可求出直线的函数关系式再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出的值【详解】解：将代入得：解得：直线的函数关系式为当时故答案为：3【点睛】本题考查了一次 解析：3【分析】观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出直线l 的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出m 的值．解：将(2,0)-，(0,1)代入y kx b =+，得：201k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得：121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线l 的函数关系式为112y x =+． 当4x =时，14132m =⨯+=． 故答案为：3．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、函数图象以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 17．y=-2x 【分析】由题意可设y=kx （k≠0）把xy 的值代入该函数解析式通过方程来求k 的值【详解】解：由题意可设y=kx （k≠0）则2=-k 解得k=-2所以y 关于x 的函数解析式是y=-2x 故答案为：解析：y=-2x【分析】由题意可设y=kx （k≠0）．把x 、y 的值代入该函数解析式，通过方程来求k 的值．【详解】解：由题意可设y=kx （k≠0）．则2=-k ，解得，k=-2，所以y 关于x 的函数解析式是y=-2x ，故答案为：y=-2x ．【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，利用待定系数法求得解析式是关键． 18．-9【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征将点P （ab ）和Q （cd ）代入一次函数的解析式求出a−bc−d 的值然后整体代入所求的代数式并求值【详解】解：∵一次函数y ＝x ＋3的图象经过点P （ab ）和Q解析：-9．【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征，将点P （a ，b ）和Q （c ，d ）代入一次函数的解析式，求出a−b 、c−d 的值，然后整体代入所求的代数式并求值．【详解】解：∵一次函数y ＝x ＋3的图象经过点P （a ，b ）和Q （c ，d ），∴点P （a ，b ）和Q （c ，d ）满足一次函数的解析式y ＝x ＋3，∴b ＝a ＋3，d ＝c ＋3，∴b−a ＝3，c−d ＝−3；∴()()b c d a c d ---＝（b−a ）（c−d ）＝3×（−3）＝-9；故答案为：-9．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上，并且一定满足函数的解析式．19．【分析】分别画出函数的图象根据图象可知在时有最大值求出此时的值即可【详解】解：令函数联立得函数图象如下根据函数图象可知当时min{x+1-2x+2}的最大值为故答案为：【点睛】本题考查一次函数与一元 解析：43【分析】分别画出函数1y x =+，22y x =-+的图象，根据图象可知min{1,22}x x +-+在13x =时有最大值，求出此时的值即可．【详解】解：令函数1y x =+，22y x =-+， 联立122y x y x =+⎧⎨=-+⎩得1343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 函数图象如下，根据函数图象可知，当时13x =，min{x+1，-2x+2}的最大值为43， 故答案为：43． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式．掌握数形结合思想，能借助图形分析是解题关键． 20．（0）【分析】过A 和B 分别作AF ⊥OC 于FBE ⊥OC 于E 利用已知条件可证明△AFC ≌△CEB 再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B 点的坐标然后求出直线BC的解析式即可得到结论【详解】解：过A和B分解析：（0，83）【分析】过A和B分别作AF⊥OC于F，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△AFC≌△CEB，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标，然后求出直线BC的解析式，即可得到结论．【详解】解：过A和B分别作AF⊥OC于F，BE⊥OC于E，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠CAF＝90°∠ACF+∠BCE＝90°，∴∠CAF＝∠BCE，在△AFC和△CEB中，90AFC CBECAF BCEAC AC︒⎧∠=∠=⎪∠∠⎨⎪=⎩＝，∴△AFC≌△CEB（AAS），∴FC＝BE，AF＝CE，∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），∴OC＝2，AF＝CE＝3，OF＝6，∴CF＝OF﹣OC＝4，OE＝CE﹣OC＝2﹣1＝1，∴BE＝4，∴则B点的坐标是（1，4），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则420k bk b+=⎧⎨-+=⎩，∴4383kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BC的解析式为：y＝43x+83，当x＝0时，y＝83，∴D（0，83）．故答案为：（0，83）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．三、解答题21．解：（1）k=13，b=1；（2）5；（3）（-5，2）或（-3，4）或（-3，2）． 【分析】（1）利用待定系数法即可求出k 和b 的值；（2）根据题意得到点A 、B 、E 、C 的坐标，再利用S 四边形AOBE =S △ACE +S 四边形OBEC 即可表示出结果；（3）分点A 为直角顶点，点E 为直角顶点，点P 为直角顶点三种情况分别求出点P 的坐标即可．【详解】解：（1）∵直线y kx b =+过点A （-3，0），B （0，1）， 则031k b b =-+⎧⎨=⎩， 解得：131k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴k=13，b=1； （2）∵A （-3，0），B （0，1），E （-1，m ），C （-1，0），∴S 四边形AOBE =S △ACE +S 四边形OBEC =()1121122m m ⨯⨯+⨯+⨯ =3122m +； 当3m =时，S 四边形AOBE =313=522⨯+ （3）∵m=2，∴E （-1，2），∴CE=AC=2，∴△ACE为等腰直角三角形，当直角顶点为点A时，AP=AE，∠PAE=90°，∴∠AEP=∠CAE=45°，∴PE∥AC，过P作PF⊥x轴于F∴∠PAF=180º-∠PAE-∠CAE=180°-90°-45=45°∴△PAF≌△EAC（AAS）∴PF=FA=AC=CE=2∴OF=AF+AC+OC=2+2+1=5∴点P（-5，2）；当直角顶点为点E时，EP=EA，∠AEP=90°，∠EAP=45°，∴∠PAC=90°，过E作EG⊥AP于G，PG=AG=GE=AC=CE=2AO=AC+OC=2+1=3，AP=2AG=4∴P（-3，4）；当点P为直角顶点时，PA=PE，∠APE=90°，可得四边形APEC为正方形，∴AP=AC=PE=EC，∴AO=AC+OC=2+1=3，∴P（-3，2），综上：点P 的坐标为（-5，2）或（-3，4）或（-3，2）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，分类考虑以点A 、E 、P 为直角，正确的作出图形是解题的关键．22．（1）1530y x =+，单独购买一张学生卡的费用为30元，购买学生卡后每次游泳的费用为15元；（2）打折前的每次健身费用为25元，k 2＝20；（3）选择方案一所需费用更少，理由见解析【分析】（1）把点（0，30），（10，180）代入11y k x b =+，得到关于1k 和b 的二元一次方程组，求解即可，再利用1k 的含义可得答案；（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出2k 的值；（3）将x=8分别代入12,y y 关于x 的函数解析式，比较即可．【详解】解：（1）∵11y k x b =+过点（0，30），（10，180），∴13010180b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：11530k b =⎧⎨=⎩， 11530,y x ∴=+由115k =可得：购买一张学生卡后每次健身费用为15元，b ＝30可得：购买一张学生卡的费用为30元；（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），则2250.820k =⨯=；220y x ∴=．（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：由题意可知，11530y x =+，220y x =．当健身8次时，选择方案一所需费用：115830150y =⨯+=（元），选择方案二所需费用：2208160y =⨯=（元），∵150＜160，∴选择方案一所需费用更少．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出12,y y 关于x 的函数解析式．23．（1）A （3，-2），y ＝-23x ；（2）存在，P 点坐标为（5，0）或（-5，0） 【分析】（1）结合题意，得3OH =；再结合△AOH 的面积为3，通过计算得AH 的值以及点A 的坐标，将点A 坐标代入y ＝kx ，经计算即可得到答案；（2）设P （t ，0），结合S △AOP ＝5，列方程并求解，即可得到答案．【详解】（1）如图，∵过A 作AH ⊥x 垂足为H ，点A 的横坐标为3∴3OH =∵△AOH 的面积为3∴132OH AH ⨯⨯＝ ∴AH ＝2∵点A 在第四象限∴A （3，-2）， 把A （3，-2）代入y ＝kx ，得3k ＝-2解得：23k =- ∴正比例函数解析式为y ＝-23x ； （2）设P （t ，0），即OP t =∵△AOP 的面积为5∴112522OP AH t ⨯⨯=⨯⨯＝ ∴t ＝5或t ＝-5 ∴能找到一点P 使S △AOP ＝5，P 点坐标为（5，0）或（-5，0）．【点睛】本题考查了绝对值、正比例函数、一元一次方程、坐标的知识；解题的关键是熟练掌握正比例函数、一元一次方程的性质，从而完成求解．24．（1）①3，2，1，0，1，2，3；②画图见解析；（2）①当1x <时，y 随x 增大而减小，当1x >时，y 随x 增大而增大，②图像关于1x =轴对称，③函数的最小值为0；（3）0或2．【分析】（1）①把x 的值代入解析式计算即可，②分别以自变量及函数值为点的横、纵坐标，描出各点，绘制函数图像．（2）从函数的增减性、对称性、最值等方面进行分析．（3）根据函数图像结合绝对值的意义，计算得出x 的值．【详解】解：（1）①列表填空：x …-2 -1 0 1 2 3 4 … y… 3 2 1 0 1 2 3 … ②画函数图像如图：（2）①当1x <时，y 随x 增大而减小，当1x >时，y 随x 增大而增大，②图像关于直线1x =轴对称，③函数的最小值为0；（3）|1|1x -=，去绝对值可得：1111x x -=⎧⎨-=-⎩解得：1202x x =⎧⎨=⎩结合图像，1202x x =⎧⎨=⎩是|1|1x -=的两个解． 【点睛】本题重点考查描点法绘制函数图像及根据函数图像描述函数性质，去绝对值符号时结合函数图像是解题关键．25．（1）6m =，OC =2）A 或B ；A①2DF =；②()0,0P 或()8,0；B①6FD a =-+，②3a =或245【分析】 （1）将(),3m 代入12y x =求解即可，根据勾股定理即可得出OC ； （2）若选择A 题：①先求出D 和F 的坐标，然后即可求出DF ； ②先求出CDF 的面积，然后可求出PDF S △，可求出EP 即可得出答案；若选择B 题：①过程如下：先求出D 和F 的坐标，即可求出FD ；②先求出D ，F 的坐标，然后得出FD ，DE ，分当12CDF CDE S S =△△时和当21CDF CDE S S =△△时两种情况求解即可．【详解】（1）将(),3m 代入12y x =得132m =， 解得6m =，OC ==（2）若选A 题：①过程如下：将4x =代入162y x =-+得1462y =-⨯+=4， ∴()4,4F ；将4x =代入12y x =得142y =⨯=2， ∴()4,2D ，∴422DF =-=．②过程如下：易得CDF 的面积1S 2222CDF =⨯⨯=△， ∴224PDF S =⨯=△， 又∵12PDF S DF EP =⨯⨯△，易得4EP =， ∵P 点是x 轴上动点，E 的坐标为（4，0）∴P 点坐标()0,0或()8,0；若选B 题：①过程如下：将x a =代入162y x =-+，易得1,62F a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；将x a =代入12y x =，易得1,2D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 116622F D FD y y a a a ⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎝⎭． ②过程如下：将x a =代入162y x =-+，易得1,62F a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； 将x a =代入12y x =，易得1,2D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． D 点在C 点左侧，116622F D FD y y a a a ⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎝⎭． 12D E DE y y a =-=， 当12CDF CDE S S =△△时，12DF DE =， ∴61122a a -+=， 解得245a =， 当21CDF CDE S S =△△时，21DF DE =， ∴62112a a -+=， 解得3a =．【点睛】本题考查了一次函数的综合，充分理解题意是解题关键．26．（1）12003y x =+；（2）当15002400x <<时，选择方案二省钱；当 2400x =时，两种方案费用一样；当2400x >时，选择方案一省钱．【分析】（1）根据题意即可得出y （元）与x （千克）之间的函数表达式； （2）设方式2购买时所需费用记作y 2元，求出y 2与x （千克）之间的函数表达式，结合（1）的结论解答即可；【详解】解：（1）根据题意得：12003y x =+． （2）方案一:112003y x =+， 方案二:2 3.5y x =，当12y y >，12003 3.5,x x +> 2400,x <当12,12003 3.5y y x x =+=， 2400,x =当12,12003 3.5y y x x <+>2400,x >∴当15002400x <<时，选择方案二省钱； 当2400x =时，两种方案费用一样； 当2400x >时，选择方案一省钱．【点睛】此题主要考查一次函数的应用；得到两种方案总付费的等量关系是解决本题的关键．。
一次函数全部考点及答案
§3.2一次函数A组2015年全国中考题组一、选择题1．(2015·四川泸州，10，3分)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是()解析∵x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4－4(kb＋1)＞0，解得kb＜0，A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；D．k<0，b＝0，即kb＝0，故D不正确．答案 B2．(2015·山东潍坊，5，3分)若式子k－1＋(k－1)0有意义，则一次函数y＝(k －1)x＋1－k的图象可能是()解析 ∵式子k －1＋(k －1)0有意义，∴⎩⎨⎧k －1≥0，k －1≠0， 解得k >1，∴k －1>0，1－k <0，∴一次函数y ＝(k －1)x ＋1－k 的图象可能是A. 答案 A3．(2015·山东济南，6，3分)如图，一次函数y 1＝x＋b 与一次函数y 2＝kx ＋4的图象交于点P (1，3)，则关于x 的不等式x ＋b >kx ＋4的解集是( )A ．x >－2B ．x >0C ．x >1D ．x <1解析 当x >1时，x ＋b >kx ＋4，即不等式x ＋b >kx ＋4的解集为x >1.答案 C4．(2015·四川广安，9，3分)某油箱容量为60 L 的汽车，加满汽油后行驶了100km 时，油箱中的汽油大约消耗了15，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km ，油箱中剩油量为y L ，则y 与x 之间的函数解析式和自变量x 的取值范围分别是( )A ．y ＝0.12x ，x ＞0B ．y ＝60－0.12x ，x ＞0C ．y ＝0.12x ，0≤x ≤500D ．y ＝60－0.12x ，0≤x ≤500解析 因为油箱容量为60 L 的汽车，加满汽油后行驶了100 km 时，油箱中的汽油大约消耗了15，可得：15×60÷100＝0.12(L/km)，60÷0.12＝500(km)，所以y与x 之间的函数解析式和自变量x 的取值范围是：y ＝60－0.12x (0≤x ≤500)． 答案 D5．(2015·湖北黄冈中学自主招生，10，3分)如图所示，已知直线y ＝－33x ＋1与x ，y 轴交于B ，C 两点，A (0，0)，在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1，第2个△B 1A 2B 2，第3个△B 2A 3B 3，…，则第n 个等边三角形的边长等于( ) A.32n B.32n －1 C.12n D.32n ＋1 解析 ∵OB ＝3，OC ＝1，∴BC ＝2，∴∠OBC ＝30°，∠OCB ＝60°.而△AA 1B 1为等边三角形，∠A 1AB 1＝60°，∴∠COA 1＝30°，则∠CA 1O ＝90°.在Rt △CAA 1中，AA 1＝32OC ＝32，同理得：B 1A 2＝12A 1B 1＝322.答案 A二、填空题6．(2015·四川凉山州，5，3分)已知函数y ＝2x 2a ＋b ＋a ＋2b 是正比例函数，则a ＝________，b ＝________．解析 根据题意可得：2a ＋b ＝1，a ＋2b ＝0，解得：a ＝23，b ＝－13.答案 23 －137．(2015·湖北武汉，7，3分)如图所示，购买一种苹果，所付款金额y (元)与购买量x (千克)之间的函数图象由线段OA 和射线AB 组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省________元．解析 由线段OA 的图象可知，当0＜x ＜2时，y ＝10x ，1千克苹果的价钱为：y ＝10.设射线AB 的解析式为y ＝kx ＋b (x ≥2)，把(2，20)，(4，36)代入得：⎩⎨⎧2k ＋b ＝20，4k ＋b ＝36.解得：⎩⎨⎧k ＝8，b ＝4.∴y ＝8x ＋4，当x ＝3时，y ＝8×3＋4＝28.当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时，所花钱为：10×3＝30(元)．故可节省30－28＝2(元)． 答案 28．(2015·四川内江，10，3分)在平面直角坐标系xOy 中，过点P (0，2)作直线l ：y ＝12x ＋b (b 为常数且b ＜2)的垂线，垂足为点Q ，则tan ∠OPQ ＝________． 解析 如图，设直线l 与坐标轴的交点分别为A ，B ，∵∠AOB ＝∠PQB ＝90°，∠ABO ＝∠PBQ ，∴∠OAB ＝∠OPQ .又由直线解析式知tan ∠OAB ＝12，∴tan ∠OPQ ＝12.答案 129．(2015·湖南衡阳，10，3分)如图，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…，△A n B n A n ＋1都是等腰直角三角形，其中点A 1，A 2，…，A n 在x 轴上，点B 1，B 2，…，B n 在直线y ＝x 上，已知OA 2＝1，则OA 2 015的长为________．解析 因为OA 2＝1，所以可得：OA 1＝12，进而得出OA 3＝2，OA 4＝4，OA 5＝8，由此得出OA n ＝2n －2，所以OA 2 015＝22 013.答案 22 013三、解答题10．(2015·浙江绍兴，18，8分)小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中，小敏离家的路程y (米)和所经过的时间x (分)之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题：(1)小敏去超市途中的速度是多少？在超市逗留了多少时间？(2)小敏几点几分返回到家？解 (1)速度为3 00010＝300(米/分)，逗留时间为30分钟．(2)设返回家时，y 与x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，把(40，3 000)，(45，2 000)代入得⎩⎨⎧3 000＝40k ＋b ，2 000＝45k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－200，b ＝11 000，∴函数解析式为y ＝－200x ＋11 000，当y ＝0时，x ＝55，∴返回到家的时间为8：55.11．(2015·浙江温州，22，10分)某农业观光园计划将一块面积为900 m 2的园圃分成A ，B ，C 三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株，已知B 区域面积是A 的2倍，设A 区域面积为x (m 2)．(1)求该园圃栽种的花卉总株数y 关于x 的函数表达式．(2)若三种花卉共栽种6 600株，则A ，B ，C 三个区域的面积分别是多少？(3)已知三种花卉的单价(都是整数)之和为45元，且差价均不超过10元，在(2)的前提下，全部栽种共需84 000元，请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价．解 (1)y ＝3x ＋12x ＋12(900－3x )，即y ＝－21x ＋10 800.(2)当y ＝6 600时，－21x ＋10 800＝6 600，解得x ＝200.∴2x ＝400，900－3x ＝300.答：A 区域的面积是200 m 2，B 区域的面积是400 m 2，C 区域的面积是300 m 2.(3)种植面积最大的花卉总价为36 000元．B 组 2014～2011年全国中考题组一、选择题1．(2013·浙江湖州，3，3分)若正比例函数y＝kx的图象经过点(1，2)，则k的值为()A．－12B．－2 C.12D．2解析∵正比例函数y＝kx的图象经过点(1，2)，∴k＝2.故选D.答案 D2．(2014·浙江温州，7，4分)一次函数y＝2x＋4的图象与y轴交点的坐标是() A．(0，－4) B．(0，4)C．(2，0) D．(－2，0)解析把x＝0代入函数y＝2x＋4，得y＝4，所以一次函数y＝2x＋4的图象与y 轴交点的坐标是(0，4)，故选B.答案 B3．(2013·福建福州，10，4分)A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A(x＋a，y＋b)，B(x，y)，下列结论正确的是()A.a＞0 B．a＜0，b＜0C．b＝0 D．ab＜0解析由图象可知x＋a＜x，y＋b＜y，所以a＜0，b＜0，故选B.答案 B4．(2013·湖南娄底，4，3分)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是()A．x＜0 B．x＞0C．x＜2 D．x＞2解析由图象看出，当x＜2时，一次函数y＝kx＋b的图象在x轴上方，此时y ＞0.答案 C5．(2013·浙江舟山，10，3分)对于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义一种运算：A⊕B ＝(x1＋y1)＋(x2＋y2)．例如A(－5，4)，B(2，－3)，A⊕B＝(－5＋4)＋(2－3)＝－2.若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D＝D⊕E＝E⊕F＝F⊕D，则C，D，E，F四点()A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点解析设C，D，E，F四个点的坐标分别为(a，b)，(c，d)，(e，f)，(g，h)，按照定义规则，有：a＋b＝c＋d＝e＋f＝g＋h，设它们的和为某个常数k，这些数值特点符合某个二元一次方程解的特征，联想到二元一次方程与一次函数的关系，其形式不一，实质相同，适当转换变形，根据一次函数图象特征，选A.答案 A二、填空题6．(2013·浙江温州，15，5分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－2，0)，(－1，0)，BC⊥x轴．将△ABC以y轴为对称轴对称变换，得到△A′B′C′(A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点)．直线y＝x＋b经过点A，C′，则点C′的坐标是________．解析因为点A(－2，0)在直线y＝x＋b上，则b＝2，直线的解析式为y＝x＋2；由B和B′关于y轴对称，则B′的坐标为(1，0)，当x＝1时，y＝1＋2＝3，则点C′的坐标为(1，3)．答案(1，3)7．(2014·浙江嘉兴，15，5分)点A(－1，y1)，B(3，y2)是直线y＝kx＋b(k<0)的两点，则y1－y2________0(填“>”或“<”)．解析对于直线y＝kx＋b，∵k＜0，∴y随x的增大而减小．∵－1＜3，∴y1＞y2.故答案为＞.答案＞三、解答题8．(2014·浙江绍兴，18，8分)已知甲、乙两地相距90 km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车．图中DE，OC分别表示A，B 离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象，根据图象解答下列问题．(1)A 比B 后出发几小时？B 的速度是多少？(2)在B 出发后几小时，两人相遇？解 (1)A 比B 后出发1小时．∵60÷3＝20(km/h)，∴B 的速度是20 km/h.(2)设OC 的解析式为y ＝k 1x ，DE 的解析式为y ＝k 2x ＋b ，由题意得⎩⎨⎧3k 1＝60，k 2＋b ＝0，3k 2＋b ＝90，解得⎩⎨⎧k 1＝20，k 2＝45，b ＝－45，即OC 的解析式为y ＝20x ，DE 的解析式为y ＝45x －45.由⎩⎨⎧y ＝20x ，y ＝45x －45解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝95，y ＝36.∴在B 出发95小时后，两人相遇．9．(2013·浙江绍兴，18，8分)某市出租车计费方法如图所示，x (km)表示行驶里程，y (元)表示车费，请根据图象回答下列问题：(1)出租车的起步价是多少元？当x ＞3时，求y 关于x 的函数解析式；(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．解 (1)由图象可知，出租车的起步价是8元；当x ＞3时，设函数的解析式为：y ＝kx ＋b ，∵图象经过点(3，8)，(5，12)，∴⎩⎨⎧8＝3k ＋b ，12＝5k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝2，∴y ＝2x ＋2；(2)当y ＝32时，2x ＋2＝32，解得x ＝15.答：这位乘客乘车的里程是15 km.10．(2013·浙江衢州，23，10分)“五·一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票．经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a 分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y (人)与检票时间x (分钟)的关系如图所示．(1)求a 的值；(2)求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数；(3)若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？解 (1)由图象知，640＋16a －2×14a ＝520，所以a ＝10；(2)法一 设过(10，520)和(30，0)的直线解析式为y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧10k ＋b ＝520，30k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－26，b ＝780，因此y ＝－26x ＋780，当x ＝20时，y ＝260，即检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有260(人)．法二 由图象可知，从检票开始后第10分钟到第30分钟，候车室排队检票人数每分钟减少26人，所以检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有520－26×10＝260(人)．法三设10分钟后开放m个检票口，由题意得，520＋16×20－14m×20＝0，解得m＝3，所以检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有520＋16×10－3×10×14＝260(人)．(3)设需同时开放n个检票口，则由题意知14n×15≥640＋16×15，解得n≥44 21.∵n为整数，∴n＝5.答：至少需要同时开放5个检票口.§3.2一次函数A组2015年全国中考题组一、选择题1．(2015·四川泸州，10，3分)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是()解析∵x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4－4(kb＋1)＞0，解得kb＜0，A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；C ．k ＜0，b ＜0，即kb ＞0，故C 不正确；D ．k <0，b ＝0，即kb ＝0，故D 不正确． 答案 B2．(2015·山东潍坊，5，3分)若式子k －1＋(k －1)0有意义，则一次函数y ＝(k －1)x ＋1－k 的图象可能是( )解析 ∵式子k －1＋(k －1)0有意义，∴⎩⎨⎧k －1≥0，k －1≠0，解得k >1，∴k －1>0，1－k <0，∴一次函数y ＝(k －1)x ＋1－k 的图象可能是A. 答案 A3．(2015·山东济南，6，3分)如图，一次函数y 1＝x ＋b 与一次函数y 2＝kx ＋4的图象交于点P (1，3)，则关于x 的不等式x ＋b >kx ＋4的解集是( ) A ．x >－2 B ．x >0 C ．x >1D ．x <1解析 当x >1时，x ＋b >kx ＋4，即不等式x ＋b >kx ＋4的解集为x >1. 答案 C4．(2015·四川广安，9，3分)某油箱容量为60 L 的汽车，加满汽油后行驶了100 km 时，油箱中的汽油大约消耗了15，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km ，油箱中剩油量为y L ，则y 与x 之间的函数解析式和自变量x 的取值范围分别是( )A ．y ＝0.12x ，x ＞0B ．y ＝60－0.12x ，x ＞0C ．y ＝0.12x ，0≤x ≤500D ．y ＝60－0.12x ，0≤x ≤500解析 因为油箱容量为60 L 的汽车，加满汽油后行驶了100 km 时，油箱中的汽油大约消耗了15，可得：15×60÷100＝0.12(L/km)，60÷0.12＝500(km)，所以y 与x 之间的函数解析式和自变量x 的取值范围是：y ＝60－0.12x (0≤x ≤500)． 答案 D5．(2015·湖北黄冈中学自主招生，10，3分)如图所示，已知直线y ＝－33x ＋1与x ，y 轴交于B ，C 两点，A (0，0)，在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1，第2个△B 1A 2B 2，第3个△B 2A 3B 3，…，则第n 个等边三角形的边长等于( )A.32nB.32n －1C.12nD.32n ＋1 解析 ∵OB ＝3，OC ＝1，∴BC ＝2，∴∠OBC ＝30°，∠OCB ＝60°.而△AA 1B 1为等边三角形，∠A 1AB 1＝60°，∴∠COA 1＝30°，则∠CA 1O ＝90°.在Rt △CAA 1中，AA 1＝32OC ＝32，同理得：B 1A 2＝12A 1B 1＝322. 答案 A 二、填空题6．(2015·四川凉山州，5，3分)已知函数y ＝2x 2a ＋b ＋a ＋2b 是正比例函数，则a ＝________，b ＝________．解析 根据题意可得：2a ＋b ＝1，a ＋2b ＝0，解得：a ＝23，b ＝－13. 答案 23 －137．(2015·湖北武汉，7，3分)如图所示，购买一种苹果，所付款金额y (元)与购买量x (千克)之间的函数图象由线段OA 和射线AB 组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省________元．解析 由线段OA 的图象可知，当0＜x ＜2时，y ＝10x ，1千克苹果的价钱为：y ＝10.设射线AB 的解析式为y ＝kx ＋b (x ≥2)，把(2，20)，(4，36)代入得：⎩⎨⎧2k ＋b ＝20，4k ＋b ＝36.解得：⎩⎨⎧k ＝8，b ＝4.∴y ＝8x ＋4，当x ＝3时，y ＝8×3＋4＝28.当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时，所花钱为：10×3＝30(元)．故可节省30－28＝2(元)． 答案 28．(2015·四川内江，10，3分)在平面直角坐标系xOy 中，过点P (0，2)作直线l ：y ＝12x ＋b (b 为常数且b ＜2)的垂线，垂足为点Q ，则tan ∠OPQ ＝________． 解析 如图，设直线l 与坐标轴的交点分别为A ，B ，∵∠AOB ＝∠PQB ＝90°，∠ABO ＝∠PBQ ，∴∠OAB ＝∠OPQ .又由直线解析式知tan ∠OAB ＝12， ∴tan ∠OPQ ＝12. 答案 129．(2015·湖南衡阳，10，3分)如图，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…，△A n B n A n＋1都是等腰直角三角形，其中点A 1，A 2，…，A n 在x 轴上，点B 1，B 2，…，B n在直线y ＝x 上，已知OA 2＝1，则OA 2 015的长为________．解析 因为OA 2＝1，所以可得：OA 1＝12，进而得出OA 3＝2，OA 4＝4，OA 5＝8，由此得出OA n ＝2n －2，所以OA 2 015＝22 013. 答案 22 013三、解答题10．(2015·浙江绍兴，18，8分)小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中，小敏离家的路程y (米)和所经过的时间x (分)之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题：(1)小敏去超市途中的速度是多少？在超市逗留了多少时间？ (2)小敏几点几分返回到家？ 解 (1)速度为3 00010＝300(米/分)， 逗留时间为30分钟．(2)设返回家时，y 与x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ， 把(40，3 000)，(45，2 000)代入得 ⎩⎨⎧3 000＝40k ＋b ，2 000＝45k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－200，b ＝11 000， ∴函数解析式为y ＝－200x ＋11 000，当y ＝0时，x ＝55，∴返回到家的时间为8：55.11．(2015·浙江温州，22，10分)某农业观光园计划将一块面积为900 m 2的园圃分成A ，B ，C 三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株，已知B 区域面积是A 的2倍，设A 区域面积为x (m 2)． (1)求该园圃栽种的花卉总株数y 关于x 的函数表达式．(2)若三种花卉共栽种6 600株，则A ，B ，C 三个区域的面积分别是多少？ (3)已知三种花卉的单价(都是整数)之和为45元，且差价均不超过10元，在(2)的前提下，全部栽种共需84 000元，请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价．解 (1)y ＝3x ＋12x ＋12(900－3x )， 即y ＝－21x ＋10 800.(2)当y ＝6 600时，－21x ＋10 800＝6 600，解得x＝200.∴2x＝400，900－3x＝300.答：A区域的面积是200 m2，B区域的面积是400 m2，C区域的面积是300 m2.(3)种植面积最大的花卉总价为36 000元．B组2014～2011年全国中考题组一、选择题1．(2013·浙江湖州，3，3分)若正比例函数y＝kx的图象经过点(1，2)，则k的值为()A．－12B．－2 C.12D．2解析∵正比例函数y＝kx的图象经过点(1，2)，∴k＝2.故选D.答案 D2．(2014·浙江温州，7，4分)一次函数y＝2x＋4的图象与y轴交点的坐标是() A．(0，－4) B．(0，4)C．(2，0) D．(－2，0)解析把x＝0代入函数y＝2x＋4，得y＝4，所以一次函数y＝2x＋4的图象与y 轴交点的坐标是(0，4)，故选B.答案 B3．(2013·福建福州，10，4分)A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A(x＋a，y＋b)，B(x，y)，下列结论正确的是()A.a＞0 B．a＜0，b＜0C．b＝0 D．ab＜0解析由图象可知x＋a＜x，y＋b＜y，所以a＜0，b＜0，故选B.答案 B4．(2013·湖南娄底，4，3分)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是()A．x＜0 B．x＞0C．x＜2 D．x＞2解析由图象看出，当x＜2时，一次函数y＝kx＋b的图象在x轴上方，此时y＞0.答案 C5．(2013·浙江舟山，10，3分)对于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义一种运算：A⊕B ＝(x1＋y1)＋(x2＋y2)．例如A(－5，4)，B(2，－3)，A⊕B＝(－5＋4)＋(2－3)＝－2.若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D＝D⊕E＝E⊕F＝F⊕D，则C，D，E，F四点()A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点解析设C，D，E，F四个点的坐标分别为(a，b)，(c，d)，(e，f)，(g，h)，按照定义规则，有：a＋b＝c＋d＝e＋f＝g＋h，设它们的和为某个常数k，这些数值特点符合某个二元一次方程解的特征，联想到二元一次方程与一次函数的关系，其形式不一，实质相同，适当转换变形，根据一次函数图象特征，选A.答案 A二、填空题6．(2013·浙江温州，15，5分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－2，0)，(－1，0)，BC⊥x轴．将△ABC以y轴为对称轴对称变换，得到△A′B′C′(A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点)．直线y＝x＋b经过点A，C′，则点C′的坐标是________．解析因为点A(－2，0)在直线y＝x＋b上，则b＝2，直线的解析式为y＝x＋2；由B和B′关于y轴对称，则B′的坐标为(1，0)，当x＝1时，y＝1＋2＝3，则点C′的坐标为(1，3)．答案(1，3)7．(2014·浙江嘉兴，15，5分)点A(－1，y1)，B(3，y2)是直线y＝kx＋b(k<0)的两点，则y1－y2________0(填“>”或“<”)．解析对于直线y＝kx＋b，∵k＜0，∴y随x的增大而减小．∵－1＜3，∴y1＞y2.故答案为＞.答案 ＞ 三、解答题8．(2014·浙江绍兴，18，8分)已知甲、乙两地相距90 km ，A ，B 两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A 骑摩托车，B 骑电动车．图中DE ，OC 分别表示A ，B 离开甲地的路程s (km)与时间t (h)的函数关系的图象，根据图象解答下列问题． (1)A 比B 后出发几小时？B 的速度是多少？ (2)在B 出发后几小时，两人相遇？解 (1)A 比B 后出发1小时． ∵60÷3＝20(km/h)， ∴B 的速度是20 km/h.(2)设OC 的解析式为y ＝k 1x ，DE 的解析式为y ＝k 2x ＋b ，由题意得⎩⎨⎧3k 1＝60，k 2＋b ＝0，3k 2＋b ＝90，解得⎩⎨⎧k 1＝20，k 2＝45，b ＝－45，即OC 的解析式为y ＝20x ，DE 的解析式为y ＝45x －45. 由⎩⎨⎧y ＝20x ，y ＝45x －45解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝95，y ＝36.∴在B 出发95小时后，两人相遇．9．(2013·浙江绍兴，18，8分)某市出租车计费方法如图所示，x (km)表示行驶里程，y (元)表示车费，请根据图象回答下列问题： (1)出租车的起步价是多少元？当x ＞3时，求y 关于x 的函数解析式； (2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．解 (1)由图象可知，出租车的起步价是8元；当x ＞3时，设函数的解析式为：y ＝kx ＋b ，∵图象经过点(3，8)，(5，12)，∴⎩⎨⎧8＝3k ＋b ，12＝5k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝2，∴y ＝2x＋2；(2)当y ＝32时，2x ＋2＝32，解得x ＝15. 答：这位乘客乘车的里程是15 km.10．(2013·浙江衢州，23，10分)“五·一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票．经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a 分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y (人)与检票时间x (分钟)的关系如图所示． (1)求a 的值；(2)求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数；(3)若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？ 解 (1)由图象知，640＋16a －2×14a ＝520， 所以a ＝10；(2)法一 设过(10，520)和(30，0)的直线解析式为y ＝kx ＋b ， 得⎩⎨⎧10k ＋b ＝520，30k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－26，b ＝780，因此y ＝－26x ＋780，当x ＝20时，y ＝260，即检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有260(人)．法二 由图象可知，从检票开始后第10分钟到第30分钟，候车室排队检票人数每分钟减少26人，所以检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有520－26×10＝260(人)． 法三 设10分钟后开放m 个检票口，由题意得，520＋16×20－14m ×20＝0， 解得m ＝3，所以检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有520＋16×10－3×10×14＝260(人)．(3)设需同时开放n 个检票口，则由题意知 14n ×15≥640＋16×15，解得n ≥4421. ∵n 为整数，∴n ＝5.答：至少需要同时开放5个检票口.§3.2 一次函数一、选择题1．(改编题)若y ＝kx －4的函数值y 随x 的增大而增大，则k 的值可能是下列的( )A ．－4B ．－12C ．0D ．3解析 ∵在一次函数y ＝kx －4中，y 随x 的增大而增大，∴k ＞0.故选D. 答案 D2．(原创题)在同一平面直角坐标系中，若一次函数y ＝－x ＋3与y ＝3x －5的图象交于点M ，则点M 的坐标为( )A ．(－1，4)B ．(－1，2)C ．(2，－1)D ．(2，1)解析 由⎩⎨⎧y ＝－x ＋3，y ＝3x －5解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，因此交点坐标是(2，1)．故选D.答案 D3．(原创题)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与y 轴交于点(0，1)，则关于x 的不等式kx ＋b >1的解集是( ) A ．x >0 B ．x <0 C ．x >1D ．x <1解析 不等式kx ＋b >1，就是一次函数y ＝kx ＋b 的函数值大于1，这部分图象在(0，1)的上方，此时，x <0.故选B. 答案 B4．(原创题)如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 以每秒1 cm 的速度从点A 出发，沿折线AC －CB 运动，到点B 停止，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD 的长y (cm)与点P 的运动时间x (秒)的函数图象如图2所示，当点P 运动5秒时，PD 的长是( )A ．1.5 cmB ．1.2cmC ．1.8 cmD ．2 cm图1 图2解析 由图2可得，AC ＝3，BC ＝4，当t ＝5时，如图所示：此时AC ＋CP ＝5，故BP ＝AC ＋BC －AC －CP ＝2， ∵sin ∠B ＝AC AB ＝35，∴PD ＝BP sin ∠B ＝2×35＝65＝1.2 cm. 答案 B5．(原创题)对于一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，两个同学分别作出了描述，小刚说：y 随x 的增大而增大；小亮说：b ＜0；则与描述相符的图象是( )解析∵y随x的增大而增大，∴k＞0，图象经过第一、三象限．∵b＜0，∴图象与y轴的交点在y轴负半轴上．故选A.答案 A二、填空题6．(原创题)如果一次函数y＝mx＋n的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝nx＋m不经过第________象限．解析∵y＝mx＋n的图象经过第一、二、四象限，∴m＜0，n＞0.∴y＝nx＋m 的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．答案二7．(原创题)直线y＝3x＋2沿y轴向下平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为________．解析直线y＝3x＋2与y轴的交点坐标为(0，2)，向下平移5个单位后，直线与y轴交点坐标为(0，－3)．答案(0，－3)8．(原创题)已知点A(1，5)，B(3，1)，点M在x轴上，当AM＋BM最小时，点M的坐标为________．解析作点B关于x轴的对称点B′，则B′(3，－1)．过A，B′作直线，交x轴于点M ，则此时AM ＋BM 最小．设AB ′的解析式为y ＝kx ＋b ，把A (1，5)，B ′(3，－1)代入，得⎩⎨⎧k ＋b ＝5，3k ＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧k ＝－3，b ＝8，∴该函数的解析式为y ＝－3x ＋8.∵点M 在x 轴上，∴纵坐标为0.把y ＝0代入y ＝－3x ＋8，得x ＝83.∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫83，0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫83，09．(原创题)直线y ＝(3－a )x ＋b －4在直角坐标系中的图象如图所示，化简|b －a |－b 2－8b ＋16－|3－a |＝________．解析 由函数图象看出，3－a ＞0，b －4＞0，∴a ＜3，b ＞4.∴b＞a .∴|b －a |－b 2－8b ＋16－|3－a |＝|b －a |－（b －4）2－|3－a |＝b －a －b ＋4－3＋a ＝1.答案 1三、解答题10．(改编题)已知一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式．解 ∵一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)图象过点(0，2)，∴b ＝2.令y ＝0，则x ＝－2k .∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，∴12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k ＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k ＝2， 当k ＞0时，2k ＝2，解得k ＝1；当k ＜0时，－2k＝2，解得k ＝－1. 故此函数的解析式为：y ＝x ＋2或y ＝－x ＋2.11．(改编题)在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A ，B 两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A 村向B 村方向修筑，乙工程队从B 村向A 村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲、乙两个工程队修公路的长度y (米)与施工时间x (天)之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙工程队每天修公路多少米？(2)分别求甲、乙工程队修公路的长度y (米)与施工时间x (天)之间的函数关系式．(3)若该工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？解 (1)∵720÷(9－3)＝120，∴乙工程队每天修公路120米．(2)设y 乙＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧3k ＋b ＝0，9k ＋b ＝720，∴⎩⎨⎧k ＝120，b ＝－360. ∴y 乙＝120x －360.当x ＝6时，y 乙＝360，设y 甲＝kx ，则360＝6k ，k ＝60，∴y 甲＝60x .(3)当x ＝15时，y 甲＝900，∴该公路总长为：720＋900＝1 620(米)．设需m 天完成，由题意得，(120＋60)m ＝1 620，解得m ＝9.答：需9天完成．。
2024年中考数学总复习：一次函数(附答案解析)
②每分钟出水3.75L；
③容器中水为25L的时间是8min或 min；
④第2或 min时容器内的水恰为10升；
错误的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
25．甲、乙两人同时从家里出发，沿同一条笔直的公路向公园进行跑步训练，乙的家比甲的家离公园近100米，5分钟后甲追上乙．此时乙将速度提高到原来的速度的2倍，又经过15分钟后，乙先到达公园并立即返回，但因体力不支，乙返回时的速度又降低到原来的速度，甲跑到公园后也立即掉头回家，整个过程中，甲的速度始终保持不变，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则当乙回到家时，甲离自己的家还有（ ）
A．30元B．20元C．15元D．10元
19．把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（ ）
A．y＝2x+5B．y＝2x+6C．y＝2x﹣4D．y＝2x+4
20．正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝﹣x﹣k的图象是（ ）
A． B．
C． D．
21．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则函数y＝﹣bx+k的图象大致是（ ）
A．±2B．﹣2C．2D．3
6．已知一次函数y＝kx﹣2，若y随x的增大而减小，则它的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
7．A，B两地相距30km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．如图，反映的是两人行进路程y（km）与行进时间t（h）之间的关系，①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的；②乙用了4.5个小时到达目的地；③乙比甲迟出发0.5小时；④甲在出发5小时后被乙追上，以上说法正确的个数有（ ）
中考数学复习《一次函数》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《一次函数》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 一次函数的图象与性质【命题规律】1.考查内容：①一次函数所在象限；②一次函数(含正比例函数)解析式的确定；③一次函数的增减性与其系数之间的关系；④一次函数与方程(组)的关系；⑤一次函数与不等式的关系；⑥一次函数图象平移；⑦一次函数与几何图形结合.2.三大题型均有考查，但解答题的设题一般多与反比例函数结合(试题详见反比例函数)．【命题预测】一次函数的图象与性质是命题的焦点与趋势，值得关注． 1. 一次函数y ＝－2x ＋3的图象不经过的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 1. C2.在直角坐标系中，点M ，N 在同一个正比例函数图象上的是( ) A. M (2，－3)，N (－4，6) B. M (－2，3)，N (4，6) C. M (－2，－3)，N (4，－6) D. M (2，3)，N (－4，6) 2. A3.若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的图象可能是( )3. B4.如图，直线y ＝ax ＋b 过点A (0，2)和点B (－3，0)，则方程ax ＋b ＝0的解是( ) A. x ＝2 B. x ＝0 C. x ＝－1 D. x ＝－34. D 【解析】方程ax ＋b ＝0的解就是一元一次函数y ＝ax ＋b 的图象与x 轴交点的横坐标，即x ＝－3.5.设点A (a ，b )是正比例函数y ＝－32x 图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是( )A.2a ＋3b ＝0B.2a －3b ＝0C.3a －2b ＝0D.3a ＋2b ＝05. D 【解析】把点A (a ，b )代入y ＝－32x ，得b ＝－32a ，即2b ＝－3a ，∴3a ＋2b ＝0.6.关于直线l ：y ＝kx ＋k (k ≠0)，下列说法不正确．．．的是( ) A. 点(0，k )在l 上 B. l 经过定点(－1，0)C. 当k >0，y 随x 的增大而增大D. l 经过第一、二、三象限6. D 【解析】逐项分析如下：选项 逐项分析正误 A点(0，k )在直线l 上，是直线与y 轴的交点√B 当x ＝－1时，函数值y ＝－k ＋k ＝0，所以直线l 经过定点(－1，0)√ C当k ＞0时，y 随x 的增大而增大√D直线l 经过第一、二、三象限仅仅当k 是正数时成立，当k 是负数时，函数图象经过二、三、四象限×7.一次函数y ＝43x －b 与y ＝43x －1的图象之间的距离等于3，则b 的值为( )A. －2或4B. 2或－4C. 4或－6D. －4或67. D 【解析】∵直线y ＝43x －1 与x 轴的交点A 的坐标为(34 ，0)，与y 轴的交点C 的坐标为(0，－1)，∴OA ＝34，OC ＝1，直线y ＝43x －b 与直线y ＝43x －1的距离为3，可分为两种情况：(1)如解图①，点B 的坐标为(0，－b )，则OB ＝－b ，BC ＝－b ＋1，易证△OAC ∽△DBC ，则OA DB ＝ACBC ，即343＝12＋（34）2－b ＋1，解得b ＝－4；(2)如解图②，点F 的坐标为(0，－b )，则CF ＝b －1，易证△OAC ∽△ECF ，则OA EC ＝ACCF ，即343＝12＋（34）2b －1，解得b ＝6，故b ＝－4或6.8.将直线y ＝2x ＋1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是____________．8. y ＝2x －2 【解析】根据直线的平移规律：上加下减，可得到平移后的解析式为y ＝2x ＋1－3＝2x －2. 9.若函数y ＝(m －1)x |m |是正比例函数，则该函数的图象经过第________象限． 9. 二、四 【解析】∵函数y ＝(m －1)x |m|是正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧|m|＝1m －1≠0，∴m ＝－1.则这个正比例函数为y ＝－2x ，其图象经过第二、四象限．10.若一次函数y ＝－2x ＋b (b 为常数)的图象经过第二、三、四象限，则b 的值可以是________(写出一个即可)．10. －1(答案不唯一，满足b ＜0即可) 【解析】∵一次函数y ＝－2x ＋b 的图象经过第二、三、四象限，∴b ＜0，故b 的值可以是－1.11.已知一次函数y ＝kx ＋2k ＋3的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，且函数值y 随x 的增大而减小，则k 所能取到的整数值为________．11. －1 【解析】∵一次函数图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴2k ＋3>0，∴k>－1.5；又∵函数值y 随x 的增大而减小，∴k<0，则－1.5<k<0，∵k 取整数，∴k ＝－1.12.如图，过点A (2，0)的两条直线l 1，l 2分别交y 轴于点B ，C ，其中点B 在原点上方，点C 在原点下方，已知AB ＝13. (1)求点B 的坐标；(2)若△ABC 的面积为4，求直线l 2的解析式． 12. 解：(1)∵点A 的坐标为(2，0)，∴AO ＝2.在Rt △AOB 中，OA 2＋OB 2＝AB 2，即22＋OB 2＝(13)2， ∴OB ＝3， ∴B(0，3)．(2)∵S △ABC ＝12BC·OA ，即4＝12BC ×2，∴BC ＝4，∴OC ＝BC －OB ＝4－3＝1， ∴C(0，－1)．设直线l 2的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)， ∵直线l 2经过点A(2，0)，C(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝2k ＋b －1＝b， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝－1.∴直线l 2的解析式为y ＝12x －1.命题点2 一次函数的实际应用【命题规律】1.考查内容：①结合一次函数图象分析实际问题；②结合表格考查一次函数的实际应用；③以阶梯费用问题为背景，考查分段函数；④根据文字中的变量列一次函数解决实际问题；⑤与方程不等式综合的一次函数实际问题.2.主要以解答题形式出题，设问以两问为主．【命题预测】一次函数的实际应用是全国命题趋势之一，一次函数图象分析题和一次函数与方程综合题是重点．13.为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S (米)与所用的时间t (秒)之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第________秒．13. 120 【解析】从函数图象可知，小茜是正比例函数图象，小静是分段函数图象，小静第二段函数图象与小茜的函数图象的交点的横坐标便是她们第一次相遇的时间．可求出小茜的函数解析式为S ＝4t ，设小静第二段函数图象的解析式为S ＝kt ＋b ，把(60，360)和(150，540)代入得⎩⎪⎨⎪⎧60k ＋b ＝360150k ＋b ＝540，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝240，∴此段函数解析式为S ＝2t ＋240，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧S ＝2t ＋240S ＝4t ，得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝120S ＝480，故她们第一次相遇时间为起跑后第120秒．14.昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回．如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y (千米)与他离家的时间x (时)之间的函数图象．根据下面图象，回答下列问题：(1)求线段AB 所表示的函数关系式；(2)已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？ 确定14. (1)【思路分析】利用待定系数法可求出函数解析式，再根据图象出自变量的取值范围．解：设线段AB 所表示的函数关系式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1922k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－96b ＝192， ∴线段AB 所表示的函数关系式为y ＝－96x ＋192(0≤x ≤2)．(2)【思路分析】利用待定系数法求出线段CD 的解析式，令y ＝192，解方程即可求出小明到家的时间．解：由题意可知，下午3点时，x ＝8，y ＝112.设线段CD 所表示的函数关系式为y ＝k′x ＋b′(k′≠0)，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧8k′＋b′＝1126.6k′＋b′＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k′＝80b′＝－528.∴线段CD 的函数关系式为y ＝80x －528.∴当y ＝192时，80x －528＝192，解得x ＝9. ∴他当天下午4点到家．15.根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8∶00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11∶30全部排完，游泳池内的水量Q (m 3)和开始排水后的时间t (h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)暂停排水需要多少时间？排水孔的排水速度是多少？ (2)当2≤t ≤3.5时，求Q 关于t 的函数表达式．15. 解：(1)暂停排水时间为30分钟(半小时)；排水孔的排水速度为900÷(3.5－0.5)＝300 (m 3/h )．(2)由图可知排水 1.5 h 后暂停排水，此时游泳池的水量为900－300×1.5＝450 (m 3)，设当2≤t ≤3.5时，Q 关于t 的函数表达式为Q ＝kt ＋b(k ≠0)，把(2，450)，(3.5，0)代入得⎩⎨⎧450＝2k ＋b ，0＝3.5k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1050k ＝－300.∴函数表达式为Q ＝－300t ＋1050.16.某校准备组织师生共60人，从南靖乘动车前往厦门参加夏令营活动，动车票价格如下表所示(教师按成人票价购买，学生按学生票价购买)：若师生均购买二等座票，则共需1020元．(1)参加活动的教师有________人，学生有________人；(2)由于部分教师需提早前往做准备工作，这部分教师均购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有x 人，购买一、二等座票全部费用为y 元． ①求y 关于x 的函数关系式；②若购买一、二等座票全部费用不多于1032元，则提早前往的教师最多只能多少人？16. 解：(1)10，50；【解法提示】设有教师x 人，则有学生(60－x)人， 由题意列方程得： 22x ＋16(60－x)＝1020， 解得x ＝10， ∴60－x ＝50(人)，∴有教师10人，学生50人． (2)①由题意知：y ＝26x ＋22(10－x)＋50×16 ＝26x ＋220－22x ＋800 ＝4x ＋1020； ②由题意得： 4x ＋1020≤1032， 解得x ≤3，∴提早前往的教师最多只能3人．中考冲刺集训一、选择题1.已知一次函数y ＝kx ＋5和y ＝k ′x ＋7，假设k ＞0且k ′＜0，则这两个一次函数图象的交点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限1. A 【解析】根据题意画出两个函数的图象，大致图象如解图所示，∴这两个一次函数图象的交点在第一象限．2.若k ≠0，b ＜0，则y ＝kx ＋b 的图象可能是( )2. B3.已知一次函数y ＝kx ＋b －x 的图象与x 轴的正半轴相交，且函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k ，b 的取值情况为( )A. k ＞1，b ＜0B. k ＞1，b ＞0C. k ＞0，b ＞0D. k ＞0，b ＜03. A 【解析】原解析式可变形为y ＝(k －1)x ＋b ，∵函数值y 随自变量x 的增大而增大，∴k －1>0，∴k >1，∵图象与x 轴正半轴相交，∴b <0，即k >1，b <0.4.如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A 、B 两点，P 是线段AB 上任意一点(不包括端点)，过P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是( ) A. y ＝x ＋5 B. y ＝x ＋10 C. y ＝－x ＋5 D. y ＝－x ＋104. C 【解析】设P (x ，y )，则由题意得2(x ＋y )＝10，∴x ＋y ＝5，∴过点P 的直线函数表达式为y ＝－x ＋5，故选C.5.若式子k －1＋(k －1)0有意义，则一次函数y ＝(1－k )x ＋k －1的图象可能是( )5. C 【解析】式子k －1＋(k －1)0有意义，则k >1，∴1－k <0，k －1>0，∴一次函数y ＝(1－k )x ＋k －1的图象经过第一、二、四象限．结合图象，故选C.6.在坐标平面上，某个一次函数的图象经过(5，0)、(10，－10)两点，则此函数图象还会经过下列哪点( ) A. (17，947) B. (18，958) C. (19，979) D. (110，9910)6. C 【解析】设该一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点(5，0)、(10，－10)代入到y ＝kx ＋b 中得，⎩⎪⎨⎪⎧0＝5k ＋b －10＝10k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝10，∴该一次函数的解析式为y ＝－2x ＋10.A.y ＝－2×17＋10＝957≠947，该点不在直线上；B.y ＝－2×18＋10＝934≠958，该点不在直线上；C.y ＝－2×19＋10＝979，该点在直线上；D.y ＝－2×110＋10＝945≠9910，该点不在直线上．二、填空题7.将正比例函数y ＝2x 的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第________象限．7. 四 【解析】根据平移规律“上加下减，左加右减”，将直线y ＝2x 向上平移3个单位，得到的直线解析式为y ＝2x ＋3，因为2>0，3>0，所以图象过第一、第二和第三象限，故不经过第四象限． 8.已知二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－5x ＋2y ＝－2的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝1，则在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝x ＋5与直线l 2：y ＝－12x －1的交点坐标为________．8. (－4，1) 【解析】二元一次方程x －y ＝－5对应一次函数y ＝x ＋5，即直线l 1；二元一次方程x ＋2y ＝－2对应一次函数y ＝－12x －1，即直线l 2.∴原方程组的解即是直线l 1与l 2的交点坐标，∴交点坐标为(－4，1)．9.如图，直线y ＝x ＋b 与直线y ＝kx ＋6交于点P (3，5)，则关于x 的不等式x ＋b >kx ＋6的解集是________． 9. x ＞3 【解析】由题可知，当x ＝3时，x ＋b ＝kx ＋6，在点P 左边即x ＜3时，x ＋b ＜kx ＋6，在点P 右边即x ＞3时，x ＋b ＞kx ＋6，故答案为x ＞3.10.如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB ＝90°，BC ＝5，点A 、B 的坐标分别为(1，0)、(4，0)，将△ABC 沿x 轴向右平移，当C 点落在直线y ＝2x －6上时，线段BC 扫过的区域面积为________．10. 16 【解析】平移后如解图所示．∵点A 、B 的坐标分别为(1，0)、(4，0)，∴AB ＝3，∵∠CAB ＝90°，BC ＝5，∴AC ＝4，∴A ′C ′＝4，∵点C′在直线y ＝2x －6上，∴2x －6＝4，解得x ＝5，即OA′＝5，∴CC ′＝5－1＝4，∴S ▱BCC ′B ′＝4×4＝16，即线段BC 扫过的面积为16. 三、解答题11.为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A 港口、B 港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨．若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用(元/吨)如下表所示．(1)设从甲仓库运送到A 港口的物资为x 吨，求总费用y (元)与x (吨)之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)求出最低费用，并说明总费用最低时的调配方案．港口 费用(元/吨)甲库 乙库 A 港 14 20 B 港10811. 解：(1)∵从甲仓库运往A 港口的物资为x 吨， ∴从甲仓库运往B 港口的物资为(80－x)吨， ∴从乙仓库运往A 港口的物资为(100－x)吨，∴乙仓库运往B 港口的物资为70－(100－x)＝(x －30)吨， ∴y ＝14x ＋10(80－x)＋20(100－x)＋8(x －30) ＝－8x ＋2560，∵80－x ≥0，x －30≥0，100－x ≥0∴30≤x ≤80.(2)由(1)知，y ＝－8x ＋2560， ∵k ＝－8<0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＝80时，y 最小，最小值为1920元．此时的调配方案是，将甲仓库所有物资运往A 港口，乙仓库的20吨货物运往A 港口，50吨货物运往B 港口．12.某物流公司引进A 、B 两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A 种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B 种机器人也开始搬运．如图，线段OG 表示A 种机器人的搬运量y A (千克)与时间x (时)的函数图象，线段EF 表示B 种机器人的搬运量y B (千克)与时间x (时)的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)求y B 关于x 的函数解析式；(2)如果A 、B 两种机器人各连续搬运5个小时，那么B 种机器人比A 种机器人多搬运了多少千克？12. 解：(1)设y B 关于x 的解析式为y B ＝k 1x ＋b(k 1≠0)，把E(1，0)和P(3，180)代入y B ＝k 1x ＋b 中，得：⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋b ＝03k 1＋b ＝180， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝90b ＝－90，∴y B 关于x 的解析式为y B ＝90x －90.(2)设y A 关于x 的解析式为y A ＝k 2x(k 2≠0)，由题意得： 180＝3k 2，即k 2＝60， ∴y A ＝60x ，当x ＝5时，y A ＝5×60＝300(千克)， 当x ＝6时，y B ＝90×6－90＝450(千克)450－300＝150(千克)．答：如果A 、B 两种机器人各连续搬运5小时，那么B 种机器人比A 种机器人多搬运了150千克．13.下图中的折线ABC 表示某汽车的耗油量y (单位：L/km)与速度x (单位：km/h)之间的函数关系(30≤x ≤120)．已知线段BC 表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1 km/h ，耗油量增加0.002 L/km. (1)当速度为50 km/h 、100 km/h 时，该汽车的耗油量分别为________L/km 、________L/km ； (2)求线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式； (3)速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？13. 解：(1)0.13，0.14.【解法提示】x 轴表示速度，从30到60之间为40，50，对应的y 轴汽车耗油的量由0.15到0.12，列表如下：速度(km /h ) 30 40 50 60 耗油量(L /km )0.150.140.130.12∴当速度为50 km /h 时，该汽车耗油量为0.13 L /km ，当速度为100 km /h 时，该汽车耗油量为 0．12＋0.002×(100－90)＝0.14 L /km .(2)设线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b(k ≠0)， ∵y ＝kx ＋b 的图象过点(30，0.15)与(60，0.12)，∴⎩⎪⎨⎪⎧30k ＋b ＝0.1560k ＋b ＝0.12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.001b ＝0.18.∴线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y ＝－0.001x ＋0.18. (3)根据题意，得线段BC 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y ＝0.12＋0.002(x －90)＝0.002x －0.06， 由图象可知，B 是折线ABC 的最低点，也是AB 与BC 的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－0.001x ＋0.18y ＝0.002x －0.06，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80y ＝0.1. 因此，速度是80km /h 时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1 L /km .11。
沪科版九年级数学中考复习：一次函数的综合应用压轴题(含答案)
沪科版九年级数学中考复习：一次函数的综合应用压轴题（含答案）1.甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．(1) 以x(元)表示商品原价，y(元)表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；(2) 新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？2.某水果市场销售一种香蕉.甲店的香蕉价格为4元/千克；乙店的香蕉价格为5元/千克，若一次购买6千克以上，超过6千克部分的价格打7折．(1) 设购买香蕉x千克，付款金额为y元，分别就两店的付款金额写出y关于x的函数解析式．(2) 到哪家店购买香蕉更省钱？请说明理由．3. 某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．(1) 如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？(2) 若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？4. 随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元.若该型车的销售数量与去年相同，则今年的销售总额将比去年减少10%.(1) 求A型自行车去年每辆售价多少元．(2) 该车行今年计划新进一批A型自行车和新款B型自行车共60辆，且B 型自行车的进货数量不超过A型自行车数量的两倍．已知A型自行车和B型自行车的进货价格分别为1 500元和1 800元，计划B型自行车的销售价格为2 400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？5. 有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米.现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE 和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．(1) 当x＝5时，求种植总成本y；(2) 求种植总成本y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3) 若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．6. 众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情.每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：现安排上述装好物资的20辆货车(每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资)中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．(1) 这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？(2) 求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．(3) 若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值7. 为了抗击新冠疫情，某市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量比甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表(单位：元/吨).(1) 求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨．(2) 设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元.求y与x之间的函数解析式，并设计使总运费最少的调运方案．(3) 当每吨运费均降低m元(0＜m≤15且m为整数)时，按(2)中设计的调运方案运输，总运费不超过5 200元．求m的最小值．8. 推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2 400亩土地，计划对其进行平整.经投标，由甲、乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩.已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12 000元，乙工程队所需工程费为9 000元时，两工程队工作天数刚好相同．(1) 甲、乙两个工程队每天各需工程费多少元？(2) 现由甲、乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110 000元．①甲、乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？②写出其中费用最少的一种方案，并求出最少费用．9. 天水市某商店准备购进A，B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价贵20元，用2 000元购进A种商品和用1 200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．(1) A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？(2) 商店计划用不超过1 560元的资金购进A，B两种商品共40件，其中A 种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？(3) “五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m(10＜m＜20)元，B种商品售价不变，在(2)的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．10. 倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B 型机器人同时工作2 h共分拣垃圾3.6吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5 h共分拣垃圾8吨．(1) 1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？(2) 某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨.设购买A型机器人a台(10≤a≤45)，B 型机器人b台，请用含a的代数式表示b.(3) 机器人公司的报价如下表：在(2)的条件下，设购买总费用为w万元，问如何购买使得总费用w最少？请说明理由．11. 甲、乙两地的路程为290 km，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地路程为240 km时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发x h后离甲地的路程为y km，如图，折线OCDE表示接到通知前y与x之间的函数关系．(1) 根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为______km/h.(2) 求线段DE所表示的y与x之间的函数解析式．(3) 接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．12. “低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y(m)与步行时间x(min)之间的函数关系如图中折线段AB－BC－CD所示．(1) 小丽与小明出发________min相遇．(2) 在步行过程中，若小明先到达甲地．①求小丽和小明步行的速度；②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．13. 某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y(元)与销售量x(千克)之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下面的问题：(1) 截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？(2) 求图象中线段BC所在直线对应的函数解析式.14. 受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲、乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．(1) 直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数解析式．(2) 若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w(元)最少？(3) 若甲、乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按(2)中甲、乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a 千克水果获得的利润不少于1 650元，求a的最小值．答案1.甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．(1) 以x(元)表示商品原价，y(元)表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；(2) 新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？解：(1) 由题意，得y甲＝0.9x；当0＜x≤100时，y乙＝x，当x＞100时，y乙＝100＋(x－100)×0.8＝0.8x＋20，∴y乙＝{x(0<x≤100)，0.8x+20(x>100)(2) 当0＜x≤100时，0.9x＜x，即y甲＜y乙，此时选择甲商场购物更省钱；当x＞100时：若0.9x＜0.8x＋20，即100＜x＜200时，y甲＜y乙，此时选择甲商场购物更省钱；若0.9x＝0.8x＋20，即x＝200时，y甲＝y乙，此时在两家商场购物花费一样；若0.9x＞0.8x＋200，即x＞200时，y甲＞y乙，此时选择乙商场购物更省钱．综上所述，当0＜x＜200时，选择甲商场购物更省钱；当x＝200时，在两家商场购物花费一样；当x＞200时，选择乙商场购物更省钱2.某水果市场销售一种香蕉.甲店的香蕉价格为4元/千克；乙店的香蕉价格为5元/千克，若一次购买6千克以上，超过6千克部分的价格打7折．(1) 设购买香蕉x千克，付款金额为y元，分别就两店的付款金额写出y关于x的函数解析式．(2) 到哪家店购买香蕉更省钱？请说明理由．解：(1) y甲＝4x；当0＜x≤6时，y乙＝5x，当x＞6时，y乙＝5×6＋5×70%(x－6)＝3.5x＋9，∴y乙＝{5x(0<x≤6)，3.5x+9(x>6)(2) 当0＜x≤6时，4x＜5x，即y甲＜y乙，此时到甲店购买香蕉更省钱；当x＞6时：①若4x＜3.5x＋9，即6＜x＜18时，y甲＜y乙，此时到甲店购买香蕉更省钱；②若4x＝3.5x＋9，即x＝18时，y甲＝y乙，此时到甲店、乙店购买香蕉的费用相同；③若4x＞3.5x＋9，即x＞18时，y甲＞y乙，此时到乙店购买香蕉更省钱．综上所述，当0＜x＜18时，到乙店购买香蕉更省钱；当x＝18时，到甲店、乙店购买香蕉的费用相同；当x＞18时，到乙店购买香蕉更省钱3. 某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．(1) 如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？(2) 若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？解：(1) 设甲种奖品购买了x件，则乙种奖品购买了(30－x)件．根据题意，得30x ＋20(30－x)＝800，解得x＝20，此时30－x＝10.答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件(2) 设甲种奖品购买了y件，乙种奖品购买了(30－y)件．设购买两种奖品的总费用为w 元，则w ＝30y ＋20(30－y)＝10y ＋600.根据题意，得 30－y ≤3y ，解得y ≥7.5.在w ＝10y ＋600中，∵ 10＞0，∴ w 随y 的增大而增大.∴ y ＝8时，w 有最小值，此时30－y ＝22，w 最小＝10×8＋600＝680.答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最少，最少费用为680元4. 随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越 多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A 型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元.若该型车的销售数量与去年相同，则今年的销售总额将比去年减少10%.(1) 求A 型自行车去年每辆售价多少元．(2) 该车行今年计划新进一批A 型自行车和新款B 型自行车共60辆，且B 型自行车的进货数量不超过A 型自行车数量的两倍．已知A 型自行车和B 型自行车的进货价格分别为1 500元和1 800元，计划B 型自行车的销售价格为2 400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？解：(1) 设去年A 型自行车每辆售价x 元，则今年售价每辆为(x －200)元．由题意，得80 000x ＝80 000(1−10%)x−200，解得x ＝2 000.经检验，x ＝2 000是原方程的根，且符合题意．答：去年A 型自行车每辆售价为2 000元(2) 设今年新进A 型自行车a 辆，则新进B 型自行车(60－a)辆，获利y 元．由题意，得y ＝(2 000－200－1 500)a ＋(2 400－1 800)(60－a)＝－300a ＋36 000.∵ B 型自行车的进货数量不超过A 型自行车数量的两倍，∴ 60－a ≤2a ，解得a ≥20.在y ＝－300a ＋36 000中，∵ k ＝－300＜0，∴ y 随a 的增大而减小．∴ 当a ＝20时，y 有最大值，此时60－a ＝40.答：当新进A 型自行车20辆，B 型自行车40辆时，这批自行车销售获利最多5. 有一块矩形地块ABCD ，AB ＝20米，BC ＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD 分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x 米.现决定在等腰梯形AEHD 和BCGF 中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE 和CDHG 中种植乙种花卉；在矩形EFGH 中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y 元．(1) 当x ＝5时，求种植总成本y ；(2) 求种植总成本y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(3) 若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．解：(1) 当x ＝5时，EF ＝20－2x ＝10米，EH ＝30－2x ＝20米，∴ y ＝2×12(EH ＋AD)x ×20＋2×12(GH ＋CD)x ×60＋EF ·EH ×40＝(20＋30)×5×20＋(10＋20)×5×60＋20×10×40＝22 000(元)(2) ∵ EF ＝(20－2x)米，EH ＝(30－2x)米，∴ y ＝2×12(30＋30－2x)x ×20＋2×12(20＋20－2x)x ×60＋(30－2x)(20－2x)×40＝－400x ＋24 000(0＜x ＜10)(3) S 甲＝2×12(EH ＋AD)×x ＝(30－2x ＋30)x ＝－2x 2＋60x ，同理S 乙＝－2x 2＋40x.∵ 甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，∴ －2x 2＋60x －(－2x 2＋40x)≤120，解得x ≤6.∴ 0＜x ≤6.在y ＝－400x ＋24 000中，∵ －400＜0，∴ y 随x 的增大而减小.∴ 当x ＝6时，y 的最小值为21 600.答：三种花卉的最低种植总成本为21 600元6. 众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A 地和B 地，支援当地抗击疫情.每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：现安排上述装好物资的20辆货车(每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资)中的10辆前往A 地，其余前往B 地，设前往A 地的大货车有x 辆，这20辆货车的总运费为y 元．(1) 这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？(2) 求y 与x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围．(3) 若运往A 地的物资不少于140吨，求总运费y 的最小值解：(1) 设大货车有m 辆，则小货车有(20－m)辆．根据题意，得15m ＋10(20－m)＝260，解得m ＝12，此时20－m ＝8.答：大货车、小货车分别有12辆、8辆(2) ∵ 到A 地的大货车有x 辆，∴ 到A 地的小货车有(10－x)辆，到B 地的大货车有(12－x)辆，到B 地的小货车有(x －2)辆．∴ y ＝900x ＋500(10－x)＋1 000(12－x)＋700(x －2)＝100x ＋15 600，其中2≤x ≤10(3) 根据题意，得运往A 地的物资共有[15x ＋10(10－x)]吨，∴ 15x ＋10(10－x)≥140，解得x ≥8.∴ 8≤x ≤10.在y ＝100x ＋15 600中，∵ 100＞0，∴ y 随x 的增大而增大．∴ 当x ＝8时，y 有最小值，此时y 最小＝100×8＋15 600＝16 400.答：总运费y 的最小值为16 400元7. 为了抗击新冠疫情，某市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量比甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A 地240吨，B 地260吨，运费如下表(单位：元/吨).(1) 求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨．(2) 设这批物资从乙厂运往A 地x 吨，全部运往A ，B 两地的总运费为 y 元.求y 与x 之间的函数解析式，并设计使总运费最少的调运方案．(3) 当每吨运费均降低m 元(0＜m ≤15且m 为整数)时，按(2)中设计的调运方案运输，总运费不超过5 200元．求m 的最小值．解：(1) 设这批防疫物资甲厂生产了a 吨，乙厂生产了b 吨．根据题意，得{a +b =500，2a −b =100，解得{a =200，b =300.答：这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨(2) 根据题意，得y ＝20(240－x)＋25[260－(300－x)]＋15x ＋24(300－x)＝－4x ＋11 000.∵ { x ≥0，240−x ≥0，300−x ≥0，x −40≥0，解得40≤x ≤240.在 y ＝－4x ＋11 000中，∵ －4＜0，∴ y 随x 的增大而减小．∴ 当x ＝240时，可以使总运费最少，此时调运方案为甲厂的200吨物资全部运往B 地，乙厂运往A 地240吨，运往B 地60吨(3) 根据题意和(2)的解答，得y ＝－4x ＋11 000－500m.当x ＝240时，y 最小＝－4×240＋11 000－500m ＝10 040－500m ，∴ 10 040－500m ≤5 200，解得m ≥9.68.∵ 0＜m ≤15且m 为整数，∴ m 的最小值为108. 推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2 400亩土地，计划对其进行平整.经投标，由甲、乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩.已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12 000元，乙工程队所需工程费为9 000元时，两工程队工作天数刚好相同．(1) 甲、乙两个工程队每天各需工程费多少元？(2) 现由甲、乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110 000元．① 甲、乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？② 写出其中费用最少的一种方案，并求出最少费用．解：(1) 设甲工程队每天需工程费x 元，则乙工程队每天需工程费(x －500)元．由题意，得12 000x ＝9 000x−500，解得x ＝2 000. 经检验，x ＝ 2 000是原方程的解，且符合题意，则x －500＝1 500.答：甲工程队每天需工程费2 000元，乙工程队每天需工程费1 500元(2) ① 设甲工程队平整m 天，乙工程队平整n 天．由题意，得45m ＋30n ＝2 400①，且2 000m ＋1 500n ≤110 000②.由①，得n ＝80－1.5m ③，把③代入②，得2 000m ＋1 500(80－1.5m)≤110 000，解得m ≥40.∵ n ＞0，∴ 80－1.5m ＞0，解得m ＜5313.∴ 40≤m ＜5313. ∵ m ，n 是正整数，∴ m ＝40，n ＝20或m ＝42，n ＝17或m ＝44，n ＝14或m ＝46，n ＝11或m ＝48，n ＝8或m ＝50，n ＝5或m ＝52，n ＝2.∴ 甲、乙两工程队分别工作的天数共有7种可能② 总费用w ＝2 000m ＋1 500(80－1.5m)＝－250m ＋120 000.∵－250＜0，∴ w 随m 的增大而减小．∴ 当m ＝52时，w 有最小值，此时n ＝2，w 最小＝－250×52＋120 000＝107 000.答：费用最少的方案为甲工程队平整52天，乙工程队平整2天，最少费用为107 000元9. 天水市某商店准备购进A ，B 两种商品，A 种商品每件的进价比B 种商品每件的进价贵20元，用2 000元购进A 种商品和用1 200元购进B 种商品的数量相同．商店将A 种商品每件的售价定为80元，B 种商品每件的售价定为45元．(1) A 种商品每件的进价和B 种商品每件的进价各是多少元？(2) 商店计划用不超过1 560元的资金购进A ，B 两种商品共40件，其中A 种商品的数量不低于B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？(3) “五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A 种商品售价优惠m(10＜m ＜20)元，B 种商品售价不变，在(2)的条件下，请设计出m 的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．解：(1) 设A 种商品每件的进价是x 元，则B 种商品每件的进价是(x －20)元．由题意，得2 000x ＝1 200x−20，解得x ＝50. 经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意，此时x －20＝30.答：A 种商品每件的进价是50元，B 种商品每件的进价是30元(2) 设购进A 种商品a 件，则购进B 种商品(40－a)件．由题意，得{50a +30(40−a )≤1 560，a ≥12(40−a )，解得403≤a ≤18.∵ a 为正整数，∴ a ＝14，15，16，17，18.∴ 该商店共有5种进货方案(3) 设销售A ，B 两种商品共获利y 元．由题意，得y ＝(80－50－m)a ＋(45－30)(40－a)＝(15－m)a ＋600.① 当10＜m ＜15时，15－m ＞0，y 随a 的增大而增大，∴ 当a ＝18时，获利最大，即方案为购进18件A 种商品，22件B 种商品；② 当m ＝15时，15－m ＝0, y 与a 的值无关，即第(2)问中所有进货方案获利相同；③ 当15＜m ＜20时，15－m ＜0，y 随a 的增大而减小，∴ 当a ＝14时，获利最大，即方案为购进14件A 种商品，26件B 种商品10. 倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A 型和B 型两款垃圾分拣机器人，已知2台A 型机器人和5台B 型机器人同时工作2 h 共分拣垃圾3.6吨，3台A 型机器人和2台B 型机器人同时工作5 h 共分拣垃圾8吨．(1) 1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？(2) 某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨.设购买A型机器人a台(10≤a≤45)，B 型机器人b台，请用含a的代数式表示b.(3) 机器人公司的报价如下表：在(2)的条件下，设购买总费用为w万元，问如何购买使得总费用w最少？请说明理由．解：(1) 设1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨.由题意，得{(2x+5y)×2=3.6，(3x+2y)×5=8，解得{x=0.4，y=0.2.答：1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾0.4吨和0.2吨(2) 由题意，得0.4a＋0.2b＝20，∴b＝100－2a(10≤a≤45)(3) 选购A型机器人35台，B型机器人30台时，总费用w最少理由：①当10≤a＜30时，40＜b≤80，∴w＝20×a＋0.8×12(100－2a)＝0.8a ＋960.∵0.8＞0，∴当a＝10时，w有最小值，w最小＝968；②当30≤a≤35时，30≤b≤40，∴w＝0.9×20a＋0.8×12(100－2a)＝－1.2a＋960.∵－1.2＜0，∴当a＝35时，w有最小值，w最小＝918；③当35＜a≤45时，10≤b＜30，∴w＝0.9×20a＋12(100－2a)＝－6a＋1 200.∵－6＜0，∴当a＝45时，w有最小值，w最小＝930.∵918＜930＜968，∴选购A型机器人35台，B型机器人30台时，总费用w最少，此时需要918万元．11. 甲、乙两地的路程为290 km，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地路程为240 km时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发x h后离甲地的路程为y km，如图，折线OCDE表示接到通知前y与x之间的函数关系．(1) 根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为______km/h.(2) 求线段DE所表示的y与x之间的函数解析式．(3) 接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．解：（1）80(2) 休息后按原速继续前进行驶的时间为(240－80)÷80＝2(h)，∴点E的坐标为(3.5，240).设线段DE所表示的y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b(1.5≤x≤3.5)，则{1.5k+b=80，3.5k+b=240，解得{k=80，b=−40，∴线段DE所表示的y与x之间的函数解析式为y＝80x－40(1.5≤x≤3.5) (3) 不能理由：接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程所需时间为290÷80＋0.5＝4.125(h).∵12：00－8：00＝4(h)，4＜4.125，∴接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达．12. )“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y(m)与步行时间x(min)之间的函数关系如图中折线段AB－BC－CD所示．(1) 小丽与小明出发________min相遇．(2) 在步行过程中，若小明先到达甲地．①求小丽和小明步行的速度；②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．解：（1）30(2) ①设小丽步行的速度为V1 m/min，小明步行的速度为V2 m/min，且V2＞V1，则{30V1+30V2=5400，(67.5−30)V1=30V2，解得{V1=80，V2=100.答：小丽步行的速度为80 m/min，小明步行的速度为100 m/min②解法一：设点C的坐标为(x，y)，则(100＋80)(x－30)＋80(67.5－x)＝5 400，解得x＝54，y＝(100＋80)×(54－30)＝4 320. ∴点C的坐标为(54，4 320)．解法二：5 400÷100＝54(min)，54×80＝4 320(m)，∴点C的坐标为(54，4 320).点C的实际意义：两人出发54 min时，小明到达甲地，此时两人相距4 320 m13. 某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y(元)与销售量x(千克)之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下面的问题：(1) 截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？(2) 求图象中线段BC 所在直线对应的函数解析式.解：(1) 200×(10－8)＝400(元)．答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元(2) 设点B 的坐标为(a ，400)．根据题意，得(10－8)×(600－a)＋(10－8.5)×200＝1 200－400，解得a ＝350，∴ 点B 的坐标为(350，400)．设线段BC 所在直线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，则{350k +b =400，800k +b =1 200，解得{k =169，b =−2 0009，∴ 线段BC 所在直线对应的函数解析式为y ＝169x －2 000914. 受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲、乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按 25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x 千克，付款y 元，y 与x 之间的函数关系 如图所示．(1) 直接写出当0≤x ≤50和x ＞50时，y 与x 之间的函数解析式．(2) 若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共 100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w(元)最少？(3) 若甲、乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按(2)中甲、乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a 千克，且销售完a 千克水果获得的利润不 少于1 650元，求a 的最小值．解：(1) 当0≤x ≤50时，设y ＝tx ，根据题意，得50t ＝1 500，解得t ＝30，∴ y ＝30x ；当x ＞50时，设y ＝kx ＋b ，根据题意，得{50k +b =1 500，70k +b =1 980，解得{k =24，b =300，∴ y ＝24x ＋300.∴ y ＝{30x (0≤x ≤50)，24x +300(x >50)(2) 设购进甲种水果a 千克，则购进乙种水果(100－a)千克，且40≤a ≤60.① 当40≤a ≤50时，w ＝30a ＋25(100－a)＝5a ＋2 500.∵ 5＞0，∴ w 随a 的增大而增大．∴ 当a ＝40 时，w 最小＝2 700. ② 当50＜a ≤60时，w ＝24a ＋300＋25(100－a)＝－a ＋2 800.∵ －1＜0，∴ w 随a 的增大而减小．∴ 当a ＝60时，w 最小＝2 740.∵ 2 740＞2 700，∴ 当a ＝40时，付款总金额最少，最少付款总金额为2 700元．此时购进乙种水果100－40＝60(千克)．答：购进甲种水果40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w(元)最少(3) 由(2)可设购进甲种水果为25a 千克，购进乙种水果为35a 千克．当0≤25a ≤50，即0≤a ≤125时，由题意，得25a ×(40－30)＋35a ×(36－25)≥1 650，解得a ≥8 25053.∵ 8 25053＞125，与0≤a ≤125矛盾，舍去.当25a ＞50，即a ＞125时，由题意，得25a ×40－(24×25a +300)+35a ×(36－25)≥1 650，解得a ≥150.∵ 150＞125，∴ 这种情况符合题意．∴ a 的最小值为150。
八年级数学一次函数32道典型题(含答案和解析)
八年级数学一次函数32道典型题（含答案和解析）1、下列函数中：① y=2πx ；② y=－2x+6；③ y=34x ；④ y=x2+3；⑤ y=32x ；⑥ y=√x ，其中是一次函数的有（ ）个．A.1B.2C.3D.4 答案： C ．解析： ①②③满足自变量次数为1，系数不为零，且自变量不在分母上，故为一次函数．④自变量次数不为1，故不是一次函数． ⑤自变量在分母上，不是一次函数． ⑥自变量次数为12，不是一次函数．考点：函数——一次函数——一次函数的基础．2、 当m= 时，y=（m －4）x 2m+1－4x －5 是一次函数． 答案： 4或0.解析：y=（m －4）x 2m+1－4x －5是一次函数．则 m －4=0或2m+1=1． 解得 m=4或m=0.考点：函数——一次函数——一次函数的基础．3、一次函数y=kx+b 的图象不经过第二象限，则k ，b 的取值范围是（ ）．A. k ＜0，b≥0B. k ＞0，b≤0C. k ＜0，b ＜0D. k ＞0，b ＞0 答案： B ．解析： ① k ＞0时，直线必经过一、三象限，故k ＞0.② 再由图象过三、四象限或者原点，所以b≤0 ．考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k 、b 的关系．4、一次函数y=kx －k 的图象一定经过（ ）．A. 一、二象限B. 二、三象限C. 三、四象限D. 一、四象限 答案： D ． 解析： 解法一：当k ＞0时，函数为增函数，且与y 轴交点在x 轴下方，此时函数经过一、三、四象限．当k ＜0时，函数为减函数，且与y 轴交点在x 轴上方，此时函数经过一、二、四象限．∴一次函数y=kx －k 的图象一定经过一、四象限． 解法二：一次函数y=kx －k=k （x －1）的图象一定过（1,0），即该图象一定经过一、四象限．考点：函数——一次函数——一次函数的图象——一次函数的性质．5、如果ab ＞0，ac ＜0，则直线y=−ab x+cb 不通过（ ）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 答案： A ．解析：ab ＞0 ，ac ＜0．则a ，b 同号；a ，c 异号；b ，c 异号． ∴−ab ＜0，cb ＜0.∴直线y=−abx+cb 过第二、三、四象限．考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k 、b 的关系．6、如图，一次函数y=kx+b 和正比例函数y=kbx 在同一坐标系内的大致图象是（ ）．解析：A 、∵一次函数的图象经过一、三、四象限．∴k＞0，b＜0．∴kb＜0.∴正比例函数y=kbx应该经过第二、四象限．故本选项错误．B、∵一次函数的图象经过一、二、四象限．∴k＜0，b＞0．∴kb＜0.∴正比例函数y=kbx应该经过第二、四象限．故本选项正确．C、∵一次函数的图象经过二、三、四象限.∴k＜0，b＜0．∴kb＞0.∴正比例函数y=kbx应该经过第一、三象限．故本选项错误．D、∵一次函数的图象经过一、二、三象限.∴k＞0，b＞0．∴kb＞0.∴正比例函数y=kbx应该经过第一、三象限．故本选项错误．故选B．考点：函数——一次函数——正比例函数的图象——一次函数的图象．7、下列图象中，不可能是关于的一次函数y=mx－（m－3）的图象的是（）．解析：将解析式变为y=mx+（3－m）较易判断．考点：函数——一次函数——一次函数的图象．8、若一次函数y=－2x+3的图象经过点P1（－5，m）和点P2（1，n），则m n．（用“＞”、“＜”或“＝”填空）．答案：＞．解析：在y=－2x+3中，k=－2＜0.∴在一次函数y=－2x+3中，y随x的增大而减小.∵－5＜1.∴m＞n．考点：函数——一次函数——一次函数的性质．9、一次函数y=kx+b中，y随着x的增大而减小，b＜0，则这个函数的图象不经过（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：A．解析：∵一次函数y=kx+b中，y随着x的增大而减小．∴k＜0.又∵b＜0.∴这个函数的图象不经过第一象限．考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k、b的关系．10、已知一次函数y=kx+b－x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为（）．A. k＞1，b＜0B. k＞1，b＞0C. k＞0，b＞0D. k＞0，b＜0答案：A．解析：一次函数y=kx+b－x即为y=（k－1）x+b．∵函数值y随x的增大而增大．∴k－1＞0，解得k＞1.∵图象与x轴的正半轴相交，∴b ＜0.考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k 、b 的关系．11、已知一次函数y=kx+2k+3的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，且函数值y 随x 的增大而减小，则k 所有可能取得的整数值为 ． 答案：－1.解析： 由已知得：{ 2k +3＞0k ＜0.解得：−32＜k ＜0. ∵k 为整数． ∴k=－1.考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k 、b 的关系．12、在直角坐标系x0y 中，一次函数y=kx+6的图象经过点A （2,2）． （1） 求一次函数的表达式．（2） 求一次函数图象与x 轴、y 轴交点的坐标．答案：（1） 一次函数的表达式为：y=－2x+6.（2） 一次函数图象与x 轴、y 轴交点的坐标分别为（3,0），（0,6）． 解析：（1） ∵一次函数y=kx+6的图象经过点A （2,2）．∴2=2k+6． ∴k=－2.∴一次函数的表达式为：y=－2x+6.（2） 在y=－2x+6中，令x=0，则y=6，令y=0，则x=3.∴一次函数图象与x 轴、y 轴交点的坐标分别为（3,0），（0,6）．考点：函数——一次函数——一次函数与坐标轴交点——求一次函数解析式．13、设一次函数y=kx+b 的图象经过点P （1,2），它与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，坐标原点为O ，若OA+OB=6，则此函数的解析式是 或 ． 答案： 1．y=－x+3.2．y=－2x+4.解析：因为一次函数y=kx+b的图象经过点P（1,2）．所以k+b=2，即k=2－b．令y=0，则x=−bk =bb−2．所以点A（bb−2，0），点B（0，b）．又因为A，B位于x轴，y轴的正半轴，并且OA+OB=6．所以bb−2+b=6，其中b＞2．解得b=3或b=4.此时k=－1或－2.所以函数的解析式是y=－x+3或y=－2x+4.考点：函数——一次函数——一次函数综合题．14、一次函数y=（m2－1）x+（1－m）和y=（m+2）x+（2m－3）的图象分别与y轴交于点P和Q，这两点关于x轴对称，则m的值是（）．A. 2B.2或－1C. 1或－1D.－1答案：A．解析：一次函数y=（m2－1）x+（1－m）的图象与y轴的交点P为（0,1－m）．一次函数y=（m+2）x+（2m－3）的图象与y轴的交点Q为（0,2m－3）．因为P和Q关于x轴对称．所以1－m+2m－3=0.解得m=2.考点：函数——一次函数——一次函数的图象——一次函数图象与几何变换．15、已知直线y=2x－1．（1）求此直线与x轴的交点坐标．（2）若直线y=k1x+b1与已知直线平行，且过原点，求k1、b1的值．（3）若直线y=k2x+b2与已知直线关于y轴对称，求k2、b2的值．答案：（1）（12，0）．（2）k1=2，b1=0．（3）k2=－2，b2=－1．解析：（1）令y=0，则0=2x－1.∴x=12.∴与x轴的交点坐标为（12，0）．（2）∵y=k1x+b1与y=2x－1平行．∴k1=2.又∵y=k1x+b1过原点．∴b1=0．（3）在直线y=2x－1上任取一点（1,1）．则（1,1）关于y轴的对称点为（－1,1）．又∵y=k2x+b2与已知直线关于y轴对称．则b2=－1．点（－1,1）在直线y=k2x－1上.∴1=－k2－1.∴k2=－2.考点：函数——一次函数——一次函数与坐标轴交点——一次函数图象与几何变换——两条直线相交或平行问题．16、如图所示，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）．（1）求b的值．（2）解关于x，y的方程组{y=x+1y=mx+n，请你直接写出它的解．（3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由．答案：（1）b=2．（2）{x=1y=2．（3）直线l3：y=nx+m经过点P．解析：（1）将P（1，b）代入y=x+1，得b=1+1=2．（2）由于P点坐标为（1,2），所以{x=1y=2．（3）将P（1,2）代入解析式y=mx+n得，m+n=2．将x=1代入y=nx+m得y=m+n．由于m+n=2.所以y=2.故P（1,2）也在y=nx+m上．考点：函数——一次函数——求一次函数解析式——一次函数与二元一次方程．17、如图，直线y=kx+b经过A（－1,1）和B（－√7,0）两点，则关于x的不等式组0＜kx+b＜－x的解集为．答案：－√7＜x＜－1.解析：∵直线y=kx+b经过B（－√7,0）点．∴0＜kx+b，就是y＞0，y＞0的范围在x轴的上方．此时：－√7＜x．∵直线y=－x经过A（－1,1）．那么就是A点左侧kx+b＜－x．得：x＜－1.故解集为：－√7＜x＜－1.考点：函数——一次函数——一次函数与一元一次不等式．18、阅读理解：在数轴上，x=1表示一个点，在平面直角坐标系中，x=1表示一条直线（如图（a）所示），在数轴上，x≥1表示一条射线；在平面直角坐标系中，x≥1表示的是直线x=1右侧的区域；在平面直角坐标系中，x+y－2=0表示经过（2，0），（0,2）两点的一条直线，在平面直角坐标系中，x+y－2≤0表示的是直线x+y－2=0及其下方的区域（如图（b）所示），如果x，y满足{x+2y−2≥03x+2y−6≤0x≥0y≥0，请在图（c）中用阴影描出点（x，y）所在的区域．答案：解析：略．考点：函数——一次函数——一次函数与一元一次不等式．19、甲、乙两人从顺义少年宫出发，沿相同的线路跑向顺义公园，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度跑向顺义公园，如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）的函数图象，请根据题意解答下列问题．（1）在跑步的全过程中，甲共跑了米，甲的速度为米/秒．（2）求乙跑步的速度及乙在途中等候甲的时间．（3）求乙出发多长时间第一次与甲相遇？答案：（1）1．900.2．1.5．（2）乙在途中等候甲的时间是100秒.（3）乙出发150秒时第一次与甲相遇．解析：（1）解：根据图象可以得到：甲共跑了900米，用了600秒.∴甲的速度为900÷600=1.5米/秒．（2）甲跑500秒的路程是500×1.5=750米.甲跑600米的时间是（750－150）÷1.5=400秒.乙跑步的速度是750÷（400－100）=2.5米/秒.乙在途中等候甲的时间是500－400=100秒．（3）∵D（600,900），A（100,0），B（400,750）．∴OD的函数关系式为y=1.5x，AB的函数关系式为y=2.5x－250.根据题意得{y=1.5xy=2.5x−250．解得x=250.∴乙出发150秒时第一次与甲相遇．考点：函数——一次函数——一次函数的应用．20、如图1是某公共汽车线路收支差额y（单位：万元）（票价总收人减去运营成本）与乘客量x（单位：万人）的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司己尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图1分别改画成图2和图3.（1）说明图1中点A和点B的实际意义．（2）你认为图2和图3两个图象中，反映乘客意见的是，反映公交公司意见的是．（3）如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图4 中画出符合这种办法的y与x的大致函数关系图象．答案：（1）点A表示这条线路的运营成本为1万元．点B表示乘客数达1.5万人时，这条线路的收支达到平衡．（2）1．图3.2．图2.（3）将图4中的射线AB绕点A逆时针适当旋转且向上平移．解析:（1）点A表示这条线路的运营成本为1万元．点B表示乘客数达1.5万人时，这条线路的收支达到平衡．（2）反映乘客意见的是图3.反映公交公司意见的是图2．（3）将图4中的射线AB绕点A逆时针适当旋转且向上平移．考点：函数——一次函数——一次函数的图象——一次函数的应用．x+b的图象经过点A（2，3），AB⊥x轴于点B，连接OA．21、如图，已知一次函数y=−12（1） 求一次函数的解析式．（2） 设点P 为y=−12x+b 上的一点，且在第一象限内，经过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．若△POQ 的面积等于54倍的△AOB 的面积，求点P 的坐标．答案：（1） y=−12x+4．（2） （3，52）或（5，32）.解析：（1） ∵一次函数y=−12x+b 的图象经过点A （2，3）．∴3=（−12）×2+b ．解得b=4.故此一次函数的解析式为：y=−12x+4.（2） 设P （p ，d ），p ＞0．∵点P 在直线y=−12x+4的图象上．∴ d=−12p+4①．∵ S △POQ =54S △AOB =54×12×2×3． ∴ 12pd=154②.①②联立得，{ d =−12p +412pd =154．解得{ p =3d =52或{p =5d =32．∴ 点坐标为：（3，52）或（5，32）.考点：函数——一次函数——求一次函数解析式——一次函数的应用．22、已知：一次函数y=12x+3的图象与正比例函数y=kx 的图象相交于点A （a ，1）．（1） 求a 的值及正比例函数y=kx 的解析式．（2） 点P 在坐标轴上（不与原点O 重合），若PA=OA ，直接写出P 点的坐标．（3） 直线x=m （m ＜0且m≠－4 ）与一次函数的图象交于点B ，与正比例函数图象交于点C ，若△ABC 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式．答案：（1） a=－4，正比例函数的解析式为y=−14x ． （2） P 1（－8,0）或P 2（0,2）．（3） S △ABC=38m2+3m+6（m≠－4）．解析：（1） ∵一次函数y=12x+3的图象与正比例函数y=kx 的图象相交于点A （a ，1）．∴ 12a+3=1. 解得a=－4. ∴ A （－4,1）． ∴ 1=K×（－4）． 解得k=−14．∴正比例函数的解析式为y=−14x ．（2） 如图1，P 1（－8,0）或P 2（0,2）．（3） 依题意得，点B 坐标为（m ，12m+3），点C 的坐标为（m ，−m4）．作AH ⊥BC 于点H ，H 的坐标为（m ，1）． 分两种情况： ① 当m ＜－4时．BC=−14m －（12m+3）=−34m －3.AH=－4－m ．则S △ABC =12BC×AH=12（−34m －3）（－4－m ）=38m 2+3m+6.② 当m ＞－4时．BC=（12m+3）+m 4=34m+3.AH=m+4．则S △ABC =12BC×AH=12（34m+3）（m+4）=38m 2+3m+6.综上所述，S △ABC=38m2+3m+6（m≠－4）．考点：函数——平面直角坐标系——坐标与距离——坐标与面积．一次函数——一次函数图象上点的坐标特征——两条直线相交或平行问题——一次函数综合题．三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换．23、已知y 1=x+1，y 2=－2x+4，当－5≤x≤5时，点A （x ，y 1）与点B （x ，y 2）之间距离的最大值是 ． 答案：18.解析： 当x=5时，y 1=6，y 2=－6．当x=－5时，y 1=－4，y 2=14．∴ A （5,6），B （5，－6）或A （－5，－4），B （－5,14）. ∴ AB=6－（－6）=12或AB=14－（－4）=18. ∴ 线段AB 的最大值是18．考点：函数——一次函数——一次函数的性质．24、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−4x+8与x轴，y轴分别交于点A，点B，点3D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C 处．（1）求AB的长和点C的坐标．（2）求直线CD的解析式．答案: （1）AB=√62+82=10，点C的坐标为C（16，0）．（2）直线CD的解析式为y=3x－12．4解析：（1）根据题意得A（6,0），B（0,8）．在RT△OAB中，∠AOB=90°，OA=6，OB=8．∴AB=√62+82=10．∵△DAB沿直线AD折叠后的对应三角形为△DAC．∴AC=AB=10．∴OC=OA+AC=OA+AB=16．∵点C在x轴的正半轴上．∴点C的坐标为C（16,0）．（2）设点D的坐标为D（0，y）（y＜0）．由题意可知CD=BD，CD2=BD2．由勾股定理得162+y2=（8－y）2．解得y=－12．∴点D的坐标为D（0，－12）．可设直线CD的解析式为y=kx－12（k≠0）．∵点C（16,0）在直线y=kx－12上．∴16k－12=0．．解得k=34∴直线CD的解析式为y=3x－12．4考点：函数——一次函数——一次函数与坐标轴交点——求一次函数解析式．25、直线AB：y=－x+b分别与x、y轴交于A、B两点，点A的坐标为（3,0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB:OC=3:1．（1）求点B的坐标及直线BC的解析式．（2）在x轴上方存在点D，使以点A、B、C为顶点的三角形与△ABC全等，画出△ABD，并请直接写出点D的坐标．（3）在线段OB上存在点P，使点P到点B，C的距离相等，求出点P的坐标．答案：（1）B（0,3），直线BC的解析式为y=3x+3．（2）画图见解析，D1（4,3），D2（3,4）．（3）证明见解析．解析：（1）把A（3,0）代入y=－x+b，得b=3．∴B（0,3）．∴OB=3.∵OB:OC=3:1.∴OC=1．∵点C在x轴负半轴上．∴C（－1,0）．设直线BC 的解析式为y=mx+n ． 把B （0，3）及C （－1,0）代入，得{n =3−m +n =0．解得{m =3n =3．∴直线BC 的解析式为：y=3x+3．（2） 如图所示，D 1（4,3），D 2（3,4）．（3） 由题意，PB=PC ．设PB=PC=X ，则OP=3－x ． 在RT △POC 中，∠POC=90°． ∴ OP 2+OC 2=PC 2． ∴ （3－x ）2+12=x 2． 解得，x=53．∴ OP=3－x=43．∴点P 的坐标（0，43）．考点：函数——平面直角坐标系——特殊点的坐标．一次函数——求一次函数解析式．三角形——全等三角形——全等三角形的性质．26、一次函数y=kx+b （k≠0），当x=－4时，y=6，且此函数的图象经过点（0,3）． （1） 求此函数的解析式．（2） 若函数的图象与x 轴y 轴分别相交于点A 、B ，求△AOB 的面积．（3） 若点P 为x 轴正半轴上的点，△ABP 是等腰三角形，直接写出点P 的坐标．答案：（1）y=−34x+3.（2）6.（3）（78，0）或（9,0）．解析：（1）当x=－4时，y=6，且此函数的图象经过点（0,3）．代入y=kx+b 有，{−4k +b =6b =3，解得：{k =−34b =3．∴此函数的解析式为y=−34x+3.（2）当y=0时，x=4．∴点A （4,0），B （0,3）． ∴ S △AOB=12×3×4=6.（3）AB=√42+32=5．当点P 为P 1时，BP 1=AP 1.∴在RT △OBP 1中，32+OP 12=（4－OP 1）2． 解得：OP 1=78. ∴ P1（78，0）．当点P 为P 2时，AB=AP 2，∴P 2（9,0）． 故点P 的坐标为（78，0）或（9,0）．考点：函数——一次函数——一次函数与坐标轴交点——求一次函数解析式．三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换． 等腰三角形——等腰三角形的性质．27、已知点A （-4,0），B （2,0）．若点C 在一次函数y=12x+2的图象上，且△ABC 是直角三角形，则点C 的个数是（ ）．A.1B. 2C. 3D.4 答案： B ．解析： 如图所示，当AB 为直角边时，存在C 1满足要求．当AB 为斜边时，存在C 2满足要求．故点C的个数是2．考点：函数——一次函数——一次函数综合题．28、在平面直角坐标系xOy中，点A（－3,2），点B是x轴正半轴上一动点，连结AB，以AB为腰在x轴的上方作等腰直角△ABC，使AB=BC．（1）请你画出△ABC．（2）若点C（x，y），求y与x的函数关系式．答案：（1）画图见解析．（2）y=x+1.解析：（1）（2）作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F.∴∠AEB=∠BFC=90°．∵A（－3,2）．∴ AE=2，EO=3. ∵ AB=BC ，∠ABC=90°． ∴ ∠ABE+∠CBF=90°． ∵ ∠BCF+∠CBF=90°． ∴ ∠ABE=∠BCF. ∴ △ABE ≌△BCF ． ∴ EB=CF ，AE=BF. ∵ OF=x ，CF=y ． ∴ EB=y=3+（x+2）． ∴ y=x+1．考点：函数——一次函数——一次函数综合题．三角形——直角三角形——等腰直角三角形．29、如图，直线l 1：y=12x 与直线l 2：y=－x+6交于点A ，直线l 2与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，点E 是线段OA 上一动点（E 不与O 、A 重合），过点E 作 EF ∥x 轴，交直线l 2于点F ．（1） 求点A 的坐标．（2） 设点E 的横坐标为t ，线段EF 的长为d ，求d 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（3） 在x 轴上是否存在一点P ，使△PEF 为等腰直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请你说明理由．答案:（1） （4,2）．（2） d=6－32t ，其中0＜t ＜4．（3） 存在点P （3,0），P （92，0），P （185，0），使△PEF 为等腰直角三角形．解析：（1）联立{ y =12y =−x +6，解得{x =4y =2．∴点A 的坐标为（4,2）．（2）点E 在直线l 1：y=12x ．∵点E 的横坐标为t ． ∴点E 的纵坐标为12t ．∵ EF ∥x 轴，点F 在直线l 2：y=－x+6上． ∴点F 的纵坐标为12t ．由12t=－x+6，得点F 的横坐标为6－12t ．∴ EF 的长d=6−12t －t=6−32t ． ∵ 点E 在线段OA 上． ∴ 0＜t ＜4．（3） 若∠PEF=90°，PE=EF ．则6−32t=t2，解得t=3.∵ 0＜t ＜4.∴ P 点坐标为（3,0）． 若∠PFE=90°，PF=EF ． 则6−32t=t2，解得t=3. ∵ 0＜t ＜4.∴ P 点坐标为（92，0）．若 ∠EPF=90°． ∴6−32t=2×t2，解得t=125. 此时点P 的坐标为（185，0）．综上，存在点P （3,0），P （92，0），P （185，0），使△PEF 为等腰直角三角形． 考点：函数——一次函数——两条直线相交或平行问题——一次函数的应用——一次函数综合题．三角形——直角三角形——等腰直角三角形．30、规定：把一次函数y=kx+b 的一次项系数和常数项互换得y=bx+k ，我们称y=kx+b 和y=bx+k （其中k.b≠0，且|k|≠|b |）为互助一次函数，例如y=−23x+2和y=2x −23就是互助一次函数．如图，一次函数y=kx+b 和它的互助一次函数的图象l 1，l 2交于P 点，l 1，l 2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 点和C ，D 点．（1） 如图（1），当k=－1，b=3时． ① 直接写出P 点坐标 ．② Q 是射线CP 上一点（与C 点不重合），其横坐标为m ，求四边形OCQB 的面积S 与m 之间的函数关系式，并求当△BCQ 与△ACP 面积相等时m 的值．（2） 如图（2），已知点M （－1,2），N （-2,0）．试探究随着k ，b 值的变化，MP+NP 的值是否发生变化？若不变，求出MP+NP 的值；若变化，求出使MP+NP 取最小值时的P 点坐标．答案: （1）① （1,2）．② S=2m −16（m ＞13），m=53.（2）随着k ，b 值的变化，点P 在直线x=1上运动，MP+NP 的值随之发生变化．使MP+NP 取最小值时的P 点坐标为（1，65）．解析：（1）① P （1,2）．② 如图，连接OQ ．∵ y=－X+3与y=3x －1的图象l 1，l 2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 点和C ，D 点． ∴ A （3,0），B （0,3），C （13，0），D （0，－1）．∵ Q （m ，3m －1）（m ＞13）．∴ S=S △OBQ +S △OCQ =12×3×m+12×13×（3m －1）=2m −16（m ＞13）．∴ S △BCQ =S －S △BOC =2m −16−12×3×13=2m −23. 而S △ACP =12×（3−13）×2=83．由S △BCQ=S △ACP ，得2m −23=83，解得m=53．（2） 由{ y =kx +b y =bx +k，解得{ x =1y =k +b ，即P （1，k+b ）．∴随着k ，b 值的变化，点P 在直线x=1上运动，MP+NP 的值随之发生变化． 如图，作点N （-2,0）关于直线x=1的对称点N(4,0)，连接MN 交直线x=1于点P ，则此时MP+NP 取得最小值．设直线MN 的解析式为y=cx+d ，依题意{−c +d =24c +d =0.解得{c =−25y =85.∴直线MN 的解析式为y=−25x+85．令x=1，则y=65，∴P （1，65）．即使MP+NP 取最小值时的P 点坐标为（1，65）．考点：函数——函数基础知识——函数过定点问题.一次函数——一次函数与二元一次方程——一次函数综合题. 几何初步——直线、射线、线段——线段的性质：两点之间线段最短. 三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.31、新定义：对于关于x 的一次函数y=kx+b （k≠0），我们称函数{y =kx +b （x ≤m ）y =−kx −b （x ＞m ）为一次函数y=kx+b （k≠0）的m 变函数（其中m 为常数）．例如：对于关于x 的一次函数y=x+4的3变函数为{y =x +4（x ≤3）y =−x −4（x ＞3）．（1） 关于x 的一次函数y=－x+1的2变函数为y ，则当x=4时，y=__________． （2） 关于x 的一次函数y=x+2的1变函数为y 1,关于x 的一次函数y=−12x －2的－1变函数为y 2，求函数y 1和函数y 2的交点坐标．（3） 关于x 的一次函数y=2x+2的1变函数为y 1，关于x 的一次函数y=−12x －1的m变函数为y 2．① 当－3≤x≤3时，函数y 1的取值范围是__________（直接写出答案）．② 若函数y 1和函数y 2有且仅有两个交点，则m 的取值范围是__________（直接写出答案）．答案： （1）3.（2）（−83，−23）和（0,2）．（3）①－8≤y 1≤4.②−65≤m ＜−23．解析： （1） 根据m 变函数定义，关于x 的一次函数y=－x+1的2变函数为： {y =−x +1（x ≤2）y =x −1（x ＞2）.∴ x=4时，y 1=4－1=3．∴ y 1=3．（2） 根据定义得：y 1={y =x +2（x ≤1）y =−x −2（x ＞1），y 2={y =−12x −2（x ≤−1）y =12x +2（x ＞−1）． 求交点坐标：① {y =x +2（x ≤1）y =−12x −2（x ≤−1） ，解得{x =−83y =−23． ② {y =x +2（x ≤1）y =12x +2（x ＞−1） ，解得{x =0y =2． ③ {y =−x −2（x ＞1）y =−12x −2（x ≤−1），无解． ④ {y =−x −2（x ＞1）y =12x +2（x ＞−1），无解． 综上所述函数y 1和函数y 2的交点坐标为（−83，−23）和（0,2）．（3）略．考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象上点的坐标特征——一次函数与二元一次方程——一次函数综合题．32、在平面直角坐标系xOy 中，对于点M （m ，n ）和点N （m ，n’，给出如下定义：若n’={n （m ≥2）−n （m ＜2），则称点N 为点M 的变换点．例如：点（2,4）的变换点的坐标是（2,4），点（－1,3）的变换点的坐标是（－1，－3）．（1） 回答下列问题：① 点（√5，1）的变换点的坐标是 ．② 在点A （－1,2），B （4，－8）中有一个点是函数y=2x 图象上某一点的变换点，这个点是 （填“A”或“B”）．（2） 若点M 在函数y=x+2（－4≤x≤3）的图象上，其变换点N 的纵坐标n’的取值范围是 ．（3） 若点M 在函数y=－x+4（－1≤x≤a ，a ＞－1）的图象上，其变换点N 的纵坐标n’的取值范围是－5≤n’≤2，则a 的取值范围是 ．答案: （1）①（√5，1）.② A.（2）－4＜n’≤2或4≤n’≤5.（3）6≤a≤9.解析：（1）① 由定义可知，由于√5＞2，所以点（√5，1）的变换点的坐标是（√5，1）．②若点A（－1,2）是变换点，则变换前的点为（－1，－2），－2=－1×2，在函数y=2x上．若点B（4，－8）是变换点，则变换前的点为（4，－8），－8≠4×2，不在函数y=2x上．所以这个点是A．（2）若点M在函数y=x+2（－4≤x≤3）的图象上，设M（x，x+2）．当2≤x≤3时，4≤n’=x+2≤5．当－4≤x＜2时，－4＜n’=－（x+2）≤2．综上，纵坐标n’的取值范围是－4＜n’≤2或4≤n’≤5.（3）当a＞2时，2≤x＜a时，4－a≤n’=－x+4≤2．－1≤x＜2时，－5≤n’=－（－x+4）≤—2．∴只需－5≤4－a≤－2，此时6≤a≤9.当a＜2时，－1≤x≤a，－5≤n’=－（－x+4）≤a－4.此时不满足－5≤n’≤2，故舍去．综上，的取值范围是6≤a≤9．考点：式——探究规律——定义新运算．函数——平面直角坐标系——点的位置与坐标．一次函数——一次函数图象上点的坐标特征．。
2019年四川省泸州市中考数学试题及参考答案(word解析版)
2019年泸州市中考数学试卷（满分120分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣8的绝对值是（）A．8 B．﹣8 C．D．﹣2．将7760000用科学记数法表示为（）A．7.76×105B．7.76×106C．77.6×106D．7.76×1073．计算3a2•a3的结果是（）A．4a5B．4a6C．3a5D．3a64．下列立体图形中，俯视图是三角形的是（）A．B．C．D．5．函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x＜2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥26．如图，BC⊥DE，垂足为点C，AC∥BD，∠B＝40°，则∠ACE的度数为（）A．40°B．50°C．45°D．60°7．把2a2﹣8分解因式，结果正确的是（）A．2（a2﹣4）B．2（a﹣2）2C．2（a+2）（a﹣2）D．2（a+2）28．四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD C．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD9．如图，一次函数y1＝ax+b和反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，则使y1＞y2成立的x 取值范围是（）A．﹣2＜x＜0或0＜x＜4 B．x＜﹣2或0＜x＜4 C．x＜﹣2或x＞4 D．﹣2＜x＜0或x＞4 10．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A．8 B．12 C．16 D．3211．如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB＝AC＝5，BC ＝6，则DE的长是（）A．B．C．D．12．已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣1 C．﹣1＜a≤2 D．﹣1≤a＜2第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．4的算术平方根是．14．在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是．15．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是16．16．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D在边AB 上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为．三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分.17．（6分）计算：（π+1）0+（﹣2）2﹣×sin30°．18．（6分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，OA＝OD．求证：OB＝OC．19．（6分）化简：（m+2+）•．四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分20．（7分）某市气象局统计了5月1日至8日中午12时的气温（单位：℃），整理后分别绘制成如图所示的两幅统计图．根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）该市5月1日至8日中午时气温的平均数是℃，中位数是℃；（2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；（3）现从该市5月1日至5日的5天中，随机抽取2天，求恰好抽到2天中午12时的气温均低于20℃的概率．21．（7分）某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．（1）A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？（2）该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分.22．（8分）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，4），B（﹣4，﹣6）．（1）求该一次函数的解析式；（2）若该一次函数的图象与反比例函数y＝的图象相交于C（x1，y1），D（x2，y2）两点，且3x1＝﹣2x2，求m的值．23．（8分）如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛位于东北方向上，且相距20nmile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50nmile，又测得点B与小岛D相距20nmile．（1）求sin∠ABD的值；（2）求小岛C，D之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分.24．（12分）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PB•PA．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF 的长．25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2．（1）求该二次函数的解析式；（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED 与△AOC相似，求点E的坐标．参考答案第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣8的绝对值是（）A．8 B．﹣8 C．D．﹣【知识考点】绝对值．【思路分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．【解题过程】解：﹣8的绝对值是8．故选：A．【总结归纳】本题考查了绝对值的意义，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．2．将7760000用科学记数法表示为（）A．7.76×105B．7.76×106C．77.6×106D．7.76×107【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】根据有效数字表示方法，以及科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解题过程】解：将7760000用科学记数法表示为：7.76×106．故选：B．【总结归纳】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．计算3a2•a3的结果是（）A．4a5B．4a6C．3a5D．3a6【知识考点】单项式乘单项式．【思路分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则化简得出答案．【解题过程】解：3a2•a3＝3a5．故选：C．【总结归纳】此题主要考查了单项式乘以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．下列立体图形中，俯视图是三角形的是（）A．B．C．D．【知识考点】简单几何体的三视图．【思路分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．【解题过程】解：A、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；B、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误；C、球的俯视图是圆，故此选项错误；D、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；故选：A．【总结归纳】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．5．函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x＜2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥2【知识考点】二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围．【思路分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式；根据二次根式的意义，被开方数是非负数．【解题过程】解：根据题意得：2x﹣4≥0，解得x≥2．故选：D．【总结归纳】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．6．如图，BC⊥DE，垂足为点C，AC∥BD，∠B＝40°，则∠ACE的度数为（）A．40°B．50°C．45°D．60°【知识考点】垂线；平行线的性质．【思路分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．【解题过程】解：∵AC∥BD，∠B＝40°，∴∠ACB＝40°，∵BC⊥DE，∴∠ACE＝90°﹣40°＝50°，故选：B．【总结归纳】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出∠ACB＝40°．7．把2a2﹣8分解因式，结果正确的是（）A．2（a2﹣4）B．2（a﹣2）2C．2（a+2）（a﹣2）D．2（a+2）2【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．【思路分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【解题过程】解：原式＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2），故选：C．【总结归纳】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD C．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD【知识考点】平行四边形的性质；平行四边形的判定．【思路分析】由平行四边形的判定定理即可得出答案．【解题过程】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形；故选：B．【总结归纳】本题考查了平行四边形的判定定理；熟记对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．9．如图，一次函数y1＝ax+b和反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，则使y1＞y2成立的x 取值范围是（）A．﹣2＜x＜0或0＜x＜4 B．x＜﹣2或0＜x＜4 C．x＜﹣2或x＞4 D．﹣2＜x＜0或x＞4 【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标即可找出不等式的解集，此题得解．【解题过程】解：观察函数图象可发现：当x＜﹣2或0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴使y1＞y2成立的x取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．故选：B．【总结归纳】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标找出不等式的解集是解题的关键．10．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A．8 B．12 C．16 D．32【知识考点】菱形的性质．【思路分析】由菱形的性质可知AC⊥BD，2OD•AO＝28①，进而可利用勾股定理得到OD2+OA2＝36②，结合①②两式化简即可得到OD+OA的值．【解题过程】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝AC，DO＝BO＝BD，AC⊥BD，∵面积为28，∴AC•BD＝2OD•AO＝28 ①∵菱形的边长为6，∴OD2+OA2＝36 ②，由①②两式可得：（OD+AO）2＝OD2+OA2+2OD•AO＝36+28＝64．∴OD+AO＝8，∴2（OD+AO）＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．故选：C．【总结归纳】本题考查了菱形的性质、勾股定理的运用以及菱形面积公式的运用，解题的关键是利用整体思想求出OD•OA的值，题目的综合性较强，对学生的计算能力要求较高．11．如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB＝AC＝5，BC ＝6，则DE的长是（）A．B．C．D．【知识考点】等腰三角形的性质；垂径定理；三角形的内切圆与内心．【思路分析】连接OA、OE、OB，OB交DE于H，如图，利用切线的性质和切线长定理得到OA 平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，再根据等腰三角形的性质判断点A、O、E共线，BE＝CE＝3，利用勾股定理计算出AE＝4，则AD＝2，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，AO ＝4﹣r，利用勾股定理得到r2+22＝（4﹣r）2，解得r＝，于是可计算出OB＝，然后证明OB垂直平分DE，接着利用面积法求出HE，从而得到DE的长．【解题过程】解：连接OA、OE、OB，OB交DE于H，如图，∵等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∴点A、O、E共线，即AE⊥BC，∴BE＝CE＝3，在Rt△ABE中，AE＝＝4，∵BD＝BE＝3，∴AD＝2，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，AO＝4﹣r，在Rt△AOD中，r2+22＝（4﹣r）2，解得r＝，在Rt△BOE中，OB＝＝，∵BE＝BD，OE＝OD，∴OB垂直平分DE，∴DH＝EH，OB⊥DE，∵HE•OB＝OE•BE，∴HE＝＝＝，∴DE＝2EH＝．故选：D．【总结归纳】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．12．已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣1 C．﹣1＜a≤2 D．﹣1≤a＜2【知识考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．【思路分析】先把抛物线解析式化为一般式，利用判别式的意义得到△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，再求出抛物线的对称轴为直线x＝a，根据二次函数的性质得到a≥﹣1，从而得到实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．【解题过程】解：y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6，∵抛物线与x轴没有公共点，∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上，而当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，∴a≥﹣1，∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．故选：D．【总结归纳】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a ≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．4的算术平方根是．【知识考点】算术平方根．【思路分析】根据算术平方根的含义和求法，求出4的算术平方根是多少即可．【解题过程】解：4的算术平方根是2．故答案为：2．【总结归纳】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．14．在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是．【知识考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【思路分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解题过程】解：∵点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，∴a＝3，b＝1，则a+b的值是：4．故答案为：4．【总结归纳】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．15．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是16．【知识考点】根与系数的关系．【思路分析】根据x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，可以求得x1+x2和x1x2的值，从而可以求得所求式子的值．【解题过程】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣4，∴（x1+4）（x2+4）＝x1x2+4x1+4x2+16＝x1x2+4（x1+x2）+16＝﹣4+4×1+16＝﹣4+4+16＝16，故答案为：16．【总结归纳】本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确x1+x2＝﹣，x1x2＝．16．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D在边AB 上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为．【知识考点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．【思路分析】过D作DH⊥AC于H，根据等腰三角形的性质得到AC＝BC＝15，∠CAD＝45°，求得AH＝DH，得到CH＝15﹣DH，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解题过程】解：过D作DH⊥AC于H，∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∴AC＝BC＝15，∴∠CAD＝45°，∴AH＝DH，∴CH＝15﹣DH，∵CF⊥AE，∴∠DHA＝∠DFA＝90°，∴∠HAF＝∠HDF，∴△ACE∽△DHC，∴＝，∵CE＝2EB，∴CE＝10，∴＝，∴DH＝9，∴AD＝9，故答案为：9．【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．三.本大题共3个小题，每小题6分，共18分.17．（6分）计算：（π+1）0+（﹣2）2﹣×sin30°．【知识考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】原式利用零指数幂、乘方的意义，立方根定义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解题过程】解：原式＝1+4﹣2×＝1+4﹣1＝4．【总结归纳】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（6分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，OA＝OD．求证：OB＝OC．【知识考点】全等三角形的判定与性质．【思路分析】由平行线的性质得出∠A＝∠D，∠B＝∠C，由AAS证明△AOB≌△DOC，即可得出结论．【解题过程】证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS），∴OB＝OC．【总结归纳】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．19．（6分）化简：（m+2+）•．【知识考点】分式的混合运算．【思路分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解题过程】解：原式＝•＝•＝m+1【总结归纳】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分20．（7分）某市气象局统计了5月1日至8日中午12时的气温（单位：℃），整理后分别绘制成如图所示的两幅统计图．根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）该市5月1日至8日中午时气温的平均数是℃，中位数是℃；（2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；（3）现从该市5月1日至5日的5天中，随机抽取2天，求恰好抽到2天中午12时的气温均低于20℃的概率．【知识考点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数；中位数；列表法与树状图法．（19+16+22+18+21+22+25+26）÷8＝21.125℃，（1）5月1日至8日中午时气温的平均数：【思路分析】中位数为＝21.5℃；（2）扇形统计图中扇形A的圆心角的度数360°×＝135°；（3）设这个月5月1日至5日的5天中午12时的气温依次即为A1，A2，A3，A4，A5，则抽到2天中午12时的气温，共有共10种不同取法，其中抽到2天中午12时的气温均低于20℃有3种不同取法，因此恰好抽到2天中午12时的气温均低于20℃的概率为．【解题过程】解：（1）5月1日至8日中午时气温的平均数：（19+16+22+18+21+22+25+26）÷8＝21.125℃将8天的温度按低到高排列：16，18，19，21，22，22，25，26，因此中位数为＝21.5℃，故答案为21.125，21.5；（2）因为低于20℃的天数有3天，则扇形统计图中扇形A的圆心角的度数360°×＝135°，答：扇形统计图中扇形A的圆心角的度数135°；（3）设这个月5月1日至5日的5天中午12时的气温依次即为A1，A2，A3，A4，A5，则抽到2天中午12时的气温，共有（A1A2），（A1A3），（A1A4），（A1A5），（A2A3），（A2A4），（A2A5），（A3A4），（A3A5），（A4A5）共10种不同取法，其中抽到2天中午12时的气温均低于20℃有（A1A2），（A1A4），（A2A4）3种不同取法，因此恰好抽到2天中午12时的气温均低于20℃的概率为．【总结归纳】本题考查了统计图与概率，熟练掌握列表法与树状图求概率是解题的关键．21．（7分）某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．（1）A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？（2）该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【知识考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．【思路分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据题意列出不等式组解答即可．【解题过程】解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，依题意，得：，解得，答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为30万元；（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车（10﹣m）辆，根据题意得：解得：3≤m＜5，∵m是整数，∴m＝3或4，当m＝3时，该方案所用费用为：25×3+30×7＝285（万元）；当m＝4时，该方案所用费用为：25×4+30×6＝280（万元）．答：最省的方案是购买A型汽车4辆，购进B型汽车6辆，该方案所需费用为280万元．【总结归纳】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组和方程组，利用方程和不等式的性质解答．五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分.22．（8分）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，4），B（﹣4，﹣6）．（1）求该一次函数的解析式；（2）若该一次函数的图象与反比例函数y＝的图象相交于C（x1，y1），D（x2，y2）两点，且3x1＝﹣2x2，求m的值．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】（1）应用待定系数法可求解；（2）联立两函数解析式，消去y，得到一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得到关于m的方程，即可求得m．【解题过程】解：（1）由题意得：解得：∴一次函数解析式为：y＝2x+2；（2）联立，消去y得：2x2+2x﹣m＝0，则x1+x2＝﹣1，因为3x1＝﹣2x2，解得，∴C（2，6），∵反比例函数y＝的图象经过C点，∴m＝2×6＝12．【总结归纳】本题主要考查待定系数法求函数解析式，两交点的横坐标是所得到一元二次方程的两根是解题的关键．23．（8分）如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛位于东北方向上，且相距20nmile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50nmile，又测得点B与小岛D相距20nmile．（1）求sin∠ABD的值；（2）求小岛C，D之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．【知识考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【思路分析】（1）过D作DE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论；（2）过D作DF⊥BC于F，解直角三角形即可得到结论．【解题过程】解：（1）过D作DE⊥AB于E，在Rt△AED中，AD＝20，∠DAE＝45°，∴DE＝20×sin45°＝20，在Rt△BED中，BD＝20，∴sin∠ABD＝＝＝；（2）过D作DF⊥BC于F，在Rt△BED中，DE＝20，BD＝20，∴BE＝＝40，∵四边形BFDE是矩形，∴DF＝EB＝40，BF＝DE＝20，∴CF＝BC﹣BF＝30，在Rt△CDF中，CD＝＝50，∴小岛C，D之间的距离为50nmile．【总结归纳】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角．六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分.24．（12分）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PB•PA．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF 的长．【知识考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）连接OC，△PBC∽△PCA，得出∠PCB＝∠PAC，由圆周角定理得出∠ACB ＝90°，证出∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥PC，即可得出结论；（2）连接OD，由相似三角形的性质得出＝＝2，设BC＝x，则AC＝2x，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，得出BC＝6，证出DE∥BC，得出△DOF∽△ACB，得出＝＝，得出OF＝OD＝，即AF＝，再由平行线得出＝＝，即可得出结果．【解题过程】（1）证明：连接OC，如图1所示：∵PC2＝PB•PA，即＝，∵∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴∠PCB＝∠PAC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：连接OD，如图2所示：∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB•PA，∴PA＝＝＝40，∴AB＝PA﹣PB＝30，∵△PBC∽△PCA，∴＝＝2，设BC＝x，则AC＝2x，在Rt△ABC中，x2+（2x）2＝302，解得：x＝6，即BC＝6，∵点D是的中点，AB为⊙O的直径，∴∠AOD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AEF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴∠DFO＝∠ABC，∴△DOF∽△ACB，∴＝＝，∴OF＝OD＝，即AF＝，∵EF∥BC，∴＝＝，∴EF＝BC＝．【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证明三角形相似是解题的关键．25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2．（1）求该二次函数的解析式；（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED 与△AOC相似，求点E的坐标．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）把点A、C坐标及对称轴x＝2代入二次函数表达式，即可求解；（2）求出直线y＝﹣x+m与y轴的交点为（0，m），由S△AOC＝＝6，×＝3，即可求解；（3）分△DEO∽△AOC、△BED∽△AOC两种情况，分别求解即可．【解题过程】解：（1）由已知得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣6，同理可得直线AC的表达式为：y＝﹣3x﹣6；（2）联立，解得：x＝﹣，直线y＝﹣x+m与y轴的交点为（0，m），S△AOC＝＝6，由题意得：×＝3，解得：m＝﹣2或﹣10（舍去﹣10），∴m＝﹣2；（3）∵OA＝2，OC＝6，∴，①当△DEB∽△AOC时，则，如图1，过点E作EF⊥直线x＝2，垂足为F，过点B作BG⊥EF，垂足为G，则Rt△BEG∽Rt△EDF，则，则BG＝3EF，设点E（h，k），则BG＝﹣k，FE＝h﹣2，则﹣k＝3（h﹣2），即k＝6﹣3h，∵点E在二次函数上，故：h2﹣2h﹣6＝6﹣3h，解得：h＝4或﹣6（舍去﹣6），则点E（4，﹣6）；②当△BED∽△AOC时，，过点E作ME⊥直线x＝2，垂足为M，过点B作BN⊥ME，垂足为N，则Rt△BEN∽Rt△EDM，则，则NB＝EM，设点E（p，q），则BN＝﹣q，EM＝p﹣2，则﹣q＝（p﹣2），解得：p＝或（舍去）；故点E坐标为（4，﹣6）或（，）．【总结归纳】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。
2014年泸州市中考数学试卷及答案(解析版)
2014年四川省泸州市中考数学试题参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分. 只有一项是符合题目要求的.）1．5的倒数为（A）A．B．5C．D．﹣52．计算x2•x3的结果为(B）A．2x2B．x5C．2x3D．x63．如图的几何图形的俯视图为(C )A．B．C．D．4．某校八年级(2）班5名女同学的体重（单位：kg）分别为35，36,40,42，42，则这组数据的中位数是(C）A．38 B．39 C．40 D．425．如图,等边△ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（C）A．30°B．60°C．120°D．150°6．已知实数x、y 满足+｜y+3|=0，则x+y的值为（A）A．﹣2 B．2C．4D．﹣47．一个圆锥的底面半径是6cm,其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为（B）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm8．已知抛物线y=x2﹣2x+m+1与x轴有两个不同的交点，则函数y=的大致图象是（A）A．B．C．D．9．“五一节"期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地,下面是他们家的距离y（千米)与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是（C）10．如图，⊙O1，⊙O2的圆心O1,O2都在直线l上，且半径分别为2cm，3cm，O1O2=8cm．若⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右匀速运动（⊙O2保持静止）,则在7s时刻⊙O1与⊙O2的位置关系是（D)A．外切B．相交C．内含D．内切11．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC,∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（C)A．B．C．D．解答：解：作FG⊥AB于点G，∵∠DAB=90°，∴AE∥FG，∴=，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又∵BE是∠ABC的平分线，∴FG=FC,在RT△BGF和RT△BCF中,∴RT△BGF≌RT△BCF(HL），∴CB=GB，∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=BC,∴====+1．故选：C．12．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4B．C．D．解答：解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E,连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3,a)，∴OC=3，PC=a,把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为(3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3,∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分,共12分. 请将最后答案直接填在题中横线上.)13．分解因式：3a2+6a+3=3（a+1)2．14．使函数y=+有意义的自变量x的取值范围是x＞﹣2,且x≠1．15．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和,则它的面积为4．16．如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0）,B（4，0),C（4,3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若k=4，则△OEF的面积为；②若，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；④若DE•EG=，则k=1．其中正确的命题的序号是②④(写出所有正确命题的序号)．解答：解：命题①错误．理由如下：∵k=4，∴E(,3），F（4，1），∴CE=4﹣=，CF=3﹣1=2．∴S△OEF=S矩形AOBC﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△CEF=S矩形AOBC﹣OA•AE﹣OB•BF﹣CE•CF=4×3﹣×3×﹣×4×1﹣××2=12﹣2﹣2﹣=，∴S△OEF≠，故命题①错误；命题②正确．理由如下:∵k=，∴E（，3),F（4，），∴CE=4﹣=，CF=3﹣=．如答图，过点E作EM⊥x轴于点M,则EM=3,OM=；在线段BM上取一点N,使得EN=CE=，连接NF．在Rt△EMN中,由勾股定理得：MN===，∴BN=OB﹣OM﹣MN=4﹣﹣=．在Rt△BFN中，由勾股定理得:NF===．∴NF=CF，又∵EN=CE,∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称, 故命题②正确；命题③错误．理由如下：由题意，点F与点C（4，3）不重合,所以k≠4×3=12,故命题③错误;命题④正确．理由如下：为简化计算，不妨设k=12m，则E（4m,3），F（4，3m）．设直线EF的解析式为y=ax+b,则有,解得，∴y=x+3m+3．令x=0，得y=3m+3，∴D(0，3m+3）;令y=0，得x=4m+4，∴G(4m+4，0）．如答图,过点E作EM⊥x轴于点M，则OM=AE=4m，EM=3．在Rt△ADE中，AD=AD=OD﹣OA=3m，AE=4m，由勾股定理得：DE=5m；在Rt△MEG中，MG=OG﹣OM=（4m+4）﹣4m=4，EM=3，由勾股定理得：EG=5．∴DE•EG=5m×5=25m=，解得m=，∴k=12m=1,故命题④正确．综上所述,正确的命题是：②④,故答案为：②④．三、（本大题共3小题，每题6分,共18分）17．计算：﹣4sin60°+(π+2）0+（）﹣2．解答:解:原式=2﹣4×+1+4=5．18．计算：（﹣）÷．解答：解:原式=(﹣）•=（﹣）•（﹣)=﹣•=﹣．19．如图,正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：AE=BF．解答：证明：∵正方形ABCD，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AGB=90°∠ABG+∠CBF=90°，∵∠ABG+∠FNC=90°，∴∠BAG=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA）,∴AE=BF．四、(本大题共2小题，每小题7分，共14分）20．某中学积极组织学生开展课外阅读活动,为了解本校学生每周课外阅读的时间量t（单位：小时），采用随机抽样的方法抽取部分学生进行了问卷调查,调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4,t≥4分为四个等级，并分别用A、B、C、D表示，根据调查结果统计数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题:（1）求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整;(2）若该校共有学生2500人，试估计每周课外阅读时间量满足2≤t＜4的人数；（3）若本次调查活动中,九年级(1)班的两个学习小组分别有3人和2人每周阅读时间量都在4小时以上，现从这5人中任选2人参加学校组织的知识抢答赛，求选出的2人来自不同小组的概率．解答：解：（1）∵x%+15%+10％+45％=1，∴x=30；∵调查的总人数=90÷45％=200（人），∴B等级人数=200×30%=60（人）；C等级人数=200×10%=20（人)，如图：（2）2500×（10%+30％)=1000(人），所以估计每周课外阅读时间量满足2≤t＜4的人数为1000人;（3）3人学习组的3个人用甲表示，2人学习组的2个人用乙表示，画树状图为：,共有20种等可能的结果数，其中选出的2人来自不同小组占12种，所以选出的2人来自不同小组的概率==．21．某工厂现有甲种原料280千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B产品需要甲种原料4千克,乙种原料10千克,可获利1200元．设生产A、B两种产品总利润为y元，其中A种产品生产件数是x．(1）写出y与x之间的函数关系式；（2）如何安排A、B两种产品的生产件数，使总利润y有最大值，并求出y的最大值．解答:解：（1)y=700x+1200(50﹣x），即y=﹣500x+60000；(2）由题意得,解得16≤x≤30y=﹣500x+60000,y随x的增大而减小,当x=16时，y最大=58000，生产B种产品34件，A种产品16件,总利润y有最大值，y最大=58000元．五、（本大题共2小题，每小题8分,共16分）22．海中两个灯塔A、B,其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这是测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示,不取近似值）解答:解：如图所示:由题意可得出：∠FCA=∠ACN=45°，∠NCB=30°，∠ADE=60°,过点A作AF⊥FD，垂足为F，则∠FAD=60°，∠FAC=∠FCA=45°,∠ADF=30°，∴AF=FC=AN=NC，设AF=FC=x,∴tan30°===，解得：x=15（+1)，∵tan30°=,∴=，解得：BN=15+5,∴AB=AN+BN=15（+1）+15+5=30+20，答：灯塔A、B间的距离为（30+20）海里．23．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．(1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28,求m的值；(2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．解答：解：（1)∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1)x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1)+1=28,解得:m=﹣4或m=6;当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；（2)当7为底边时，此时方程x2﹣2(m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5)=0,解得:m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得:x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；当7为腰时，设x1=7,代入方程得:49﹣14(m+1）+m2+5=0,解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得:x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分)24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．(1）求证：BC=CD;（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．解答：（1）证明：∵DC2=CE•CA，∴=，∴△CDE∽△CAD，∴∠CDB=∠DBC，∵四边形ABCD内接于⊙O,∴BC=CD；（2）解：如图，连接OC,∵BC=CD，∴∠DAC=∠CAB,又∵AO=CO，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠ACO，∴AD∥OC，∴=，∵PB=OB,CD=，∴=，∴PC=4又∵PC•PD=PB•PA，∴PA=4也就是半径OB=4，在RT△ACB中，AC===2，∵AB是直径,∴∠ADB=∠ACB=90°,∴∠FDA+∠BDC=90°，∠CBA+∠CAB=90°∵∠BDC=∠CAB，∴∠FDA=∠CBA又∵∠AFD=∠ACB=90°，∴△AFD∽△ACB，∴在Rt△AFP中，设FD=x，则AF=，∴在RT△APF中有，,求得DF=．25．如图,已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B(0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）．(1）求二次函数的最大值；（2)设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s,若s是关于x的方程=0的根，求a的值;（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动,EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．解答：解:（1)∵二次函数y2=﹣x2+mx+b经过点B（0,1)与A（2﹣,0）,∴,解得∴l：y1=x+1；C′：y2=﹣x2+4x+1．y2=﹣x2+4x+1=﹣(x﹣2)2+5，∴y max=5；（2）联立y1与y2得:x+1=﹣x2+4x+1，解得x=0或x=，当x=时，y1=×+1=，∴C（,）．使y2＞y1成立的x的取值范围为0＜x＜,∴s=1+2+3=6．代入方程得解得a=；（3）∵点D、E在直线l:y1=x+1上,∴设D(p，p+1），E（q，q+1）,其中q＞p＞0．如答图1，过点E作EH⊥DG于点H，则EH=q﹣p，DH=（q﹣p）．在Rt△DEH中，由勾股定理得：DE2+DH2=DE2，即（q﹣p)2+［（q﹣p)］2=（）2，解得q﹣p=2，即q=p+2．∴EH=2,E（p+2，p+2）．当x=p时,y2=﹣p2+4p+1，∴G（p,﹣p2+4p+1），∴DG=（﹣p2+4p+1）﹣（p+1）=﹣p2+p；当x=p+2时，y2=﹣（p+2）2+4（p+2）+1=﹣p2+5，∴F(p+2,﹣p2+5）∴EF=(﹣p2+5)﹣（p+2）=﹣p2﹣p+3．S四边形DEFG=（DG+EF)•EH=[（﹣p2+p）+（﹣p2﹣p+3）]×2=﹣2p2+3p+3∴当p=时,四边形DEFG的面积取得最大值，∴D（，)、E(,）．如答图2所示，过点D关于x轴的对称点D′,则D′（,﹣);连接D′E,交x轴于点P，PD+PE=PD′+PE=D′E,由两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小．设直线D′E的解析式为：y=kx+b，则有，解得∴直线D′E的解析式为：y=x﹣．令y=0，得x=，∴P（，0）．。
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【点睛】
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，函数图象经过一、三象限，当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
15．一次函数ymx 的图像过点（0,2），且y随x的增大而增大，则m的值为（）
A．1B．3C．1D．1或3
【答案】B
【解析】
∴D（-2，0），
由对称可知A'（4，5），
设A'D的直线解析式为y=kx+b，
当x=0时，y=
故选：B
【点睛】
本题考查矩形的性质，线段的最短距离；能够利用轴对称求线段的最短距离，将AE+DE的最短距离转化为线段A'D的长是解题的关键．
14．函数y=2x﹣5的图象经过（ ）
A．第一、三、四象限B．第一、二、四象限
泸州市初中数学一次函数经典测试题及答案解析
一、选择题
1．某班同学从学校出发去太阳岛春游，大部分同学乘坐大客车先出发，余下的同学乘坐小轿车20分钟后出发，沿同一路线行驶．大客车中途停车等候5分钟，小轿车赶上来之后，大客车以原速度的 继续行驶，小轿车保持速度不变．两车距学校的路程S（单位：km）和大客车行驶的时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示．下列说法中正确的个数是（ ）
【分析】
先根据函数的增减性判断出m的符号，再把点（0，2）代入求出m的值即可．
【详解】
∵一次函数y=mx+|m-1|中y随x的增大而增大，
∴m＞0．
∵一次函数y=mx+|m-1|的图象过点（0，2），
∴当x=0时，|m-1|=2，解得m1=3，m2=-1＜0（舍去）．
故选B．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
【详解】
解：∵一次函数y=（k-3）x-1的图象不经过第一象限，且b=-1，
∴一次函数y=（k-3）x-1的图象经过第二、三、四象限，
∴k-3＜0，
解得k＜3．
故选A．
【点睛】
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
再将A（3，m）代入，得
m= ×3+1= .
故选C.
【点睛】
本题考核知识点：考查了待定系数法求一次函数的解析式,根据解析式再求函数值.
3．给出下列函数：①y＝﹣3x+2：②y＝ ；③y＝﹣ ：④y＝3x，上述函数中符合条件“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（ ）
A．①③B．③④C．②④D．②③
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由 即y<-3，根据图象即可得到答案.
【详解】
∵ ， ，
∴kx+b<-3即y<-3，
∵一次函数 的图象经过点B(4，-3),
∴当x=4时y=-3，
由图象得y随x的增大而减小，当 时，y<-3，
故选：A.
【点睛】
此题考查一次函数的性质，一次函数与不等式，正确理解函数的性质、会观察图象是解题的关键.
【详解】
∵ ，
∴图象经过第一、二、四象限，
A正确；
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
B正确；
令 时， ，
∴图象与 轴的交点为 ，
∴C正确；
令 时， ，
当 时， ；
D不正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式 中， 与 对函数图象的影响是解题的关键．
11．如图，一次函数 的图象经过点 ，则关于 的不等式 的解集为（）
16．一次函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象如图所示，其交点为P(－2，－5)，则不等式3x＋b＞ax－3的解集在数轴上表示正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据两函数图象的交点求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】
解：∵由函数图象可知，
当x＞-2时，一次函数y=3x+b的图象在函数y=ax-3的图象的上方，
④y＝3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意；
故选：B．
【点睛】
此题考查一次函数、正比例函数、反比例函数，正确把握相关性质是解题关键．
4．一次函数 是（ 是常数， ）的图像如图所示，则不等式 的解集是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一次函数的图象看出：一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象与x轴的交点是（2，0），得到当x＞2时，y<0，即可得到答案．
小轿车的速度是：40÷（60﹣20）＝1km/min，故②正确，
a＝1×（35﹣20）＝15，故③正确，
大客车的速度为：15÷30＝0.5km/min，
当小轿车驶到景点入口时，大客车还需要：（40﹣15）÷ ﹣（40﹣15）÷1＝10分钟才能达到景点入口，故④正确，
故选D．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据k、b的符号来求确定一次函数y=kx+b的图象所经过的象限．
【详解】
∵k<0，
∴一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限．
又∵b＞0时，
∴一次函数y=kx+b的图象与y轴交与正半轴．
综上所述，该一次函数图象经过第一象限．
故答案为：C.
【点睛】
考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
【点睛】
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
10．下列关于一次函数 的说法，错误的是( )
A．图象经过第一、二、四象限
B． 随 的增大而减小
C．图象与 轴交于点
D．当 时，
【答案】D
【解析】
【分析】
由 ， 可知图象经过第一、二、四象限；由 ，可得 随 的增大而减小；图象与 轴的交点为 ；当 时， ；
18．函数 中， 随 的增大而增大，则直线 经过()
A．第一、三、四象限B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第一、二、三象限
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一次函数的增减性，可得 ；从而可得 ，据此判断直线 经过的象限．
∴ ,
故选：C.
【点睛】
此题考查一次函数图象与坐标轴的交点坐标，正确理解交点坐标的计算方法是解题的关键.
8．下列函数中，y随x的增大而增大的函数是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
∵y=-2x中k=-2＜0，∴y随x的增大而减小，故A选项错误；
2．如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，若点A（3，m）在直线l上，则m的值是（ ）
A．﹣5B． C． D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
把（-2，0）和（0，1）代入y=kx+b，求出解析式，再将A（3，m）代入，可求得m.
【详解】
把（-2，0）和（0，1）代入y=kx+b，得
，
解得
所以，一次函数解析式y= x+1，
∴ ，
A.2＞0，故该选项不符合题意，
B.-2＜0，-2+4=2，故该选项符合题意，
C.3＞0，故该选项不符合题意，
D.∵ ，
∴y=-3x+1，
-3+1=-2，故该选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查一次函数的性质及一次函数图象上的点的坐标特征，对于一次函数y=kx+b(k≠0)，当k＞0时，图象经过一、三、象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四、象限，y随x的增大而减小；熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
C．第二、三、四象限D．第一、二、三象限
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据一次函数的性质判断出此函数图象所经过的象限，再进行解答即可．
【详解】
∵一次函数y=2x-5中，k=2＞0，
∴此函数图象经过一、三象限，
∵b= -5＜0，
∴此函数图象与y轴负半轴相交，
∴此一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数的增减性分析得出答案．
【详解】
解：①y＝﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；
②y＝ ，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；
③y＝﹣ ，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意；
12．如图，直线y=-x+m与直线y=nx+5n（n≠0）的交点的横坐标为-2，则关于x的不等式-x+m＞nx+5n＞0的整数解为（ ）