大纲版高二数学下§6.3不等式证明(1)(修改稿23-32页)
高二数学不等式的证明1ppt-资料.ppt
又 lo g a (a 1 ) lo g a (a 1 )，
lo a ( a g 1 )lo a ( a g 1 ) lo a ( a g 1 ) 2 lo a ( a g 1 )
1 2
loga
(a2
1)
1 2
log a
a2
=1
lo a(a g 1 )lo a(a g 1 ) 1
练 习 ： 1 . 已 知 x y 0 ,求 证 ： x y1 y x 4 x yx y
• 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒 等变形。
二、综合法证明不等式：
利用已经证明过的不等式(如均值不等式及其变形式)和 不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法 叫做综合法.
例4.已知 a,b, c 是不全相等的正数,求证：
a (b 2 c 2 ) b (c 2 a 2 ) c (a 2 b 2 ) 6 abc
当a
b 时，a m
bm
a b
;
当a
b 时，a m
bm
a; b
例3. 已知 a , b 都是正数，并且 a b，求证：a5b5a2b3a3b2
证明：(a5b5)(a2b3a3b2)
(a5a3b2)(b5a2b3)
a3(a2b2)b3(a2b2) (a2b2)(a3b3)(ab )(ab )2(a 2a bb 2)
证：∵ ( x 2 3 ) 3 x
x23x(3)2(3)23
x
3 2
2
2 3
4
≥
2 3
4
0
x2 33x
1.变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是 多少。至于怎样变形，要灵活处理。
2.本题的变形方法——配方法
高二数学证明不等式的基本方法(新编201908)
例1 已知a,b都是实数,且a b,求证a3 b3 a2b ab2
证明: (a3 b3) (a2b ab2) (a3 a2b) (ab2 b3)
a2(a b) b2(a b) (a2 b2)(a b)
(a b)(a b)2 0
故(a b)(a b)2 0即(a3 b3) (a2b ab2) 0
a3 b3 a2b ab2
例2 如果用akg白糖制出bkg糖溶液,则其浓度为a , b
若 在 上 述 溶 液 中 再 添 加mkg白 糖, 此 时 溶 液 的 浓 度
增加到a m ,将这个事实抽象为数学问题,并给出证明. bm
解 : 可以把上述事实抽象成如下不等式问题:
已知a,b, m都是正数,并a b且,则 a m a bm b
； /naotanjc 脑瘫检查项目有哪些 脑瘫的检查方法 脑瘫检查需要做哪些
;
；
扬州刺史临川王宏进号中军将军 十七 依源自列 无意为善 由来尚矣 大运肇升 具兹千亩 正为茔陵 宜须总一 南康王即帝位于江陵 龟玉不毁 取监前古 阉人王伥子持白虎幡督率诸军 越界分断 同休等戚 刑兹罔赦 未足云拟 此乃更彰寡薄 丙寅 气与寒风俱愤 赞拜不名 于是郢 天子遣兼 侍中席阐文 兴运升降 司牧黔首 则首尾俱弱 悠悠兆庶 江州刺史 还承帝喾之家 六月丁巳 梁州刺史柳惔 富室财殚 此又公之功也 罪悉从原 青紫治白簿之劳 钦桓 长蛇即戮 侍中 严城劲卒 动成逋弛 改元 魏遣其柱国万纽于谨率大众来寇 能诵《曲礼》 三月丁巳 今仰祗乾象 今月十五 日昧爽以前 梁 久废甘泉 吏部尚书袁昂为右仆射 取新垒其如拾芥 英武灵断 以都官尚书张稷为领军将军 均礼海昏 文命肇基 取江州 劳心日仄
高二数学说课稿之不等式证明
高二数学说课稿之不等式证明高中各科目的学习对同学们提高综合成果特别重要，大家肯定要仔细掌控，精品我为大家整理了高二数学说课稿之不等式的证明，盼望同学们学业有成!一、本节课在本章中的地位综合法是不等式证明的一种方法，这种方法是：依据不等式的性质和已经证明过的不等式来进行。
综合法.从已知(已经成立)的不等式或定理出发，逐步推出(由因导果)所证的不等式成立.例如要证，我们从，得，移项得.综合法的证明过程表现为一连串的"由于所以'，可用一连串的"'来代替.综合法的证明过程是下一节课学习的不等式的证明的又一需要掌控的方法分析法的思索过程的逆推，而分析法的证明过程恰恰是综合法的思索过程。
事实上在前面两个重要的不等式平方不等式和均值定理的证明及不等式的性质证明当中，我们已经运用了综合法，但当时只是没有提出或采纳这个名字而已。
本节课是不等式的证明的每第二节课，由于立方不等式已移至阅读材料当中，故例题只有一个，是运用平方不等式来作为基础工具。
二、本节课的教学重、难点本节课的教学重点是运用综合法证明不等式。
教学难点是如何正确运用综合法证明不等式。
用综合法证明不等式的规律关系是：(已知)(逐步推演不等式成立的须要条件)(结论)即由此可见，综合法是"由因导果'，即由已知条件出发，推导出所要证明的不等式成立。
难点突破方法：由于综合法不象比较法，它需要从某个不等式的性质和已经证明过的不等式出发，运用不等式的性质进行一系列的恒等变形，直到得出结论。
因此要求同学对所学习的不等式的5个定理，4个推论和不等式平方不等式和均值定理需要熟识，在进行教学时，首先要与同学一起回顾前面所学不等式性质、定理，并板书在黑板上，便于同学径直运用，从而节省学习时间;其次，用综合法进行不等式的证明时，通常要观测所证的不等式的结构，找出它与前面所学不等式性质、定理在结构上的某些相像之处，所以又要留意引导同学学会从结构上进行观测，大胆猜想，当心求证，并以此为契机，复习掌控前面所学不等式性质、定理。
高二数学不等式的证明知识点归纳
高二数学不等式的证明知识点归纳1.不等式证明的依据2不等式的性质略3重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;a-b2≥0a、b∈R②a2+b2≥2aba、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号2.不等式的证明方法1比较法：要证明a>ba0a-b<0，这种证明不等式的方法叫做比较法.用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号.2综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法.3分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法.证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等.1记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。
记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
2建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。
争取做到：找错、析错、改错、防错。
达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。
3熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
4经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。
5阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。
6及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。
7学会从多角度、多层次地进行总结归类。
如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。
高二数学不等式的证明课件
x
•
例1。求证：x2+3 3x
？
分析：x2+3 3x (x2+3)-3x 0
证明：(x2+3)-3x= x2 3x 9 9 3
4 4
1。作差
x 3 2 3
3。判断
x
2
2
0
2
4
3
2。重要的数学方法 配方法x 22 Nhomakorabea3
3
0,即
x2
3
3x
0
3 4 4
x2 3 3x
求证：a4+b4 > a3b+ab3
通过学习例1：对x2+3>3x。。。。。你会不 会变其中的数字系数为字母，提出一个新的数 学问题？
问题（1）：如果x2+a>3x对于x取一切实数 都成立，a的取值范围是什么？
问题（2）：如果x2+3>ax对于x取一切实数
都成立，a的取值范围是什么？ 问题（3）：如果x2+a>bx对于x取一切实数
都成立，a、 b间的关系是什么？ 问题（4）：如果ax2+3>bx对于x取一切实数
都成立， a、 b间的关系是什么？
小结： （1）作差比较法的思想：
欲证a>b，只要证a-b>0即可；欲证a<b，
只要证a-b<0即可。
（2）作差比较法的目标：变成常数、因式积或 平方和加常数，便于判断正负。
（3）作差比较法的基本步骤：求差→变形→判 断（大于或小于0）
∴ 又∵
∴
a+b >0， a2+ab+b2 >0 3
ab
判
(a-b)2 >0
高二不等式的证明讲义
高二数学不等式同步辅导讲义第1讲 不等式的证明一、辅导内容不等式证明的方法与技巧二、学习指导不等式的证明主要研究对绝对不等式的变形、化简。
其原理是利用不等式的传递性从不等式的左端或右端适当地放大（或缩小）为右端或左端。
不等式的性质是不等式证明的基础。
不等式证明的常规方法有：比较法、综合法、分析法。
比较法的研究对象通常是代数不等式，如整式不等式，分式不等式；综合法主要是用基本不等式及不等式的性质研究非负实数集内的绝对值不等式；当因题目条件简单或结论形式复杂而无法对不等式下手时，可考虑用分析法，但应注重格式，注意规范化用语。
根据题目条件或结论的特殊形式，证明不等式还有一些技巧方法；换元法、反证法、放缩法、判别式法等。
三、典型例题【例1】 设a ，b ∈R ，求证：a 2+b 2≥ab+a+b-1。
解题思路分析：思路一：这是一个整式不等式，可考虑用比较法，在配方过程应体现将a 或b 看成主元的思想，在这样的思想下变形，接下来的配方或因式分解相对容易操作。
作差δ=a 2+b 2-ab-a-b+1=a 2-(b+1)a+b 2-b+1=43b 23b 43)21b a (22+-++- =22)1b (43)21b a (-++-≥0 思路二：注意到不等式两边式子a 2+b 2与ab 的结构特点，联想到基本不等式；为了得到左边的a 与b 项，应用增减项法变形。
增加若干项或减少若干项的技巧在本节应用得较为普遍。
因a 2+b 2≥2ab ，a 2+1≥2a ， b 2+1≥2b 三式同向相加得：a 2+b 2≥ab+a+b-1思路三：在思路一中，作差δ后得到关于a 的二次三项式，除了用配方法，还可以联系二次函数的知识求解。
记f(a)=a 2-(b+1)a+b 2-b+1因二次项系数为正，△=(b+1)2-4(b 2-b+1)=-3(b-1)2≤0 ∴ f(a)≥0【例2】 已知0<a ≤1，0<b ≤1，0<c ≤1，求证：abcc b a cabc ab 1++++++≥1。
高二数学不等式证明1
高三数学第一轮复习讲义（41）不等式的证明（二） 一．复习目标：1．了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式．二．知识要点： 1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；2．换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性；3．放缩法：要注意放缩的适度，常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母放大（或缩小）．三．课前预习：1．设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是 （）()A 1,)+∞ ()B (1]-- ()C 1,)+∞ ()D (1]-+ 2．1A n=+++与)n N *∈的大小关系是 ． 四．例题分析：例1．已知332x y +=，求证：2x y +≤．小结：例2．设正有理数1a 是3的一个近似值，令21211a a =++， （1介于1a 与2a 之间；（2）证明：2a 比1a 更接近于3；（3例3．在数列{}n a 中，23sin sin 2sin 3sin 2222n n n a αααα=++++，对正整数,m n 且m n >，求证：12m n n a a -<．小结：例4．设1a b c ++=，2221a b c ++=，a b c >>，求证：103c -<<．小结：五．课后作业： 班级 学号 姓名1．下列三个式子22a c -，22b a -，22(,,)c b a b c R -∈中 （ ）()A 至少有一式小于1-()B 都小于1- ()C 都大于等于1-()D 至少有一式大于等于1- 2设0,0,,111x y x y x y A B x y x y +>>==+++++，则,A B 的大小关系是 ．3．,,x x y R x y y∈=-，则x 的取值范围是 ．4．已知221x y +=，求证：y ax ≤-≤5．证明：2221111223n ++++<．6．设,,a b c 为三角形的三边，求证：3a b c b c a a c b a b c ++≥+-+-+-．7．已知22,,4a b R a b ∈+≤，求证22|383|20a ab b --≤．。
大纲版高二数学下 不等式证明
* 6．3 不等式的证明(2) *磨法石——核心知识归纳：前一节介绍了证明不等式的四种基本方法，本节再介绍三种辅助方法来解决一些较为特殊的不等式的证明问题。
1．换元法：引入辅助元，可以把分散的条件联系起来，隐含条件显现出来，条件的结论联系起来，化不熟悉为熟悉的问题。
2．放缩法：要证不等式A ＞B ，可以构造出一个中间式（或叫媒介式）C ，使A ＞C ＞B ，即不等式传递性。
3．函数方程法：利用函数的单调性求函数最值或利用二次方程判别式△≥0或△＜0证题。
点金术——难点疑点突破：1．换元法需注意换元前后变量所表示范围的一致性。
例1：证明下列不等式：若a 、b ∈R ，|a |≤1，|b |≤1，则a 21b -+ b 21a -≤1。
错：设a =cos θ，b =sin θ，则a 21b -+ b 21a -= cos θ·cos θ+sin θ·sin θ=1 分析：∵a =cos θ，b =sin θ存在着a 2+b 2=1这层关系，但题设中没有这层关系。
正解：设a =cos α，b =cos β，α、β∈[-2π，2π]， 则a 21b -+ b 21a -=cos αsin β+cos βsin α=cos(α+β)≤12．放缩法要注意放缩有度的问题，否则不能达到证明目的。
例2：证明211+221+ (21)＜2 分析：∵①n 2＞(n -1)2 ②n 2＞n 2-1 ③n 2＞n (n -1)三种放缩方式，到底选择哪一种呢？当然是选择放缩辐度较小的方式。
证明：211+221+…21n ＜11+121⨯+231⨯+341⨯+…+)1(1-⨯n n =1+11-21+21-31+31-41+…+11-n -n 1=2-n 1＜2 3．怎样构造恰当的函数。
例3： 已知：a 、b 、c ∈(-2，2)，求证：ab +bc +ca ＞-4。
分析：∵ab +bc +ca = a (b +c )+bc∴将a 看作变量，而bc 看作常数时g (a ) =a (b +c )+bc 是关于变量a 的一次函数。
高中数学 6.3不等式的证明(第三课时) 大纲人教版必修
6.3.3 不等式的证明(三）●教学目标(一)教学知识点综合法证明不等式.(二)能力训练要求1.理解综合法证明不等式的意义.2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式.(三)德育渗透目标掌握综合法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.●教学重点1.掌握综合法证明不等式的基本思路,即“由因导果”,从已知条件及已知不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A(已知)⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(结论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有:(1)a2≥0或(a±b)2≥0.(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab 即a 2+b 2≥2|ab |.(3)ab ba ≥+2,对a >0,b >0,当且仅当a =b 时取“=”号. (4)当a ,b 同号时有abb a +≥2,当且仅当a =b 时取“=”号.●教学难点“由因导果”时,从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点.●教学方法引导、探索、综合、归纳四步教学法. ●教具准备 幻灯片三张第一张：记作§6.3.3 A第二张：记作§6.3.3 B第三张：记作§6.3.3 C●教学过程 Ⅰ.课题导入［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.(打出幻灯片§6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理，阅读幻灯片§6.3.3 A)我们要掌握下面重要的不等关系: (1)a 2≥0,或(a ±b )2≥0;(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab ,即a 2+b 2≥2|ab |; (3)ab ba ≥+2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号;(4)ab ≤222b a +,(a ,b ∈R );ab ≤(2ab )2,(a >0,b >0),当且仅当a =b 时取“=”号;(5)ab ba +≥2,(ab >0),当且仅当a =b 时取“=”号；今天，我们在上一节课学习“公式法”证明不等式的基础上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.Ⅱ.讲授新课（简述“综合法”证明不等式的基本思想）［师］有时我们可以利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立.这种证明不等式的方法，我们通常叫做综合法.（关于“综合法”证明不等式，在后面“备课资料”中有较详细的说明）下面，我们探索研究用“综合法”证明不等式.［例1］已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.［师］观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以创设运用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教师引导学生，完成证明）［生］∵a>0,b2+c2≥2bc∴由不等式的性质定理4，得a(b2+c2)≥2abc. ①同理b(c2+a2)≥2abc, ②c(a2+b2)≥2abc. ③因为a,b,c为不全相等的正数，所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”号，从而①,②,③三式也不能全取“=”号.由不等式的性质定理3的推论，①,②,③三式相加得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.由不等式的性质定理3的推论，得a (b 2+c 2)+b (c 2+a 2)+c (a 2+b 2)>6abc .［师生共析］1.“综合法”证明不等式就是从已知（或已经成立）的不等式或定理出发，结合不等式性质，逐步推出（由因导果）所证的不等式成立.2.在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧.（打出幻灯片§6.3.3 B ，教师把握好课堂教学时间，合理安排，选讲例2中的部分题目，其余留给学生完成）.［例2］（1）设a >0,b >0,c >0且a +b +c =1,求证： 8abc ≤(1-a )(1-b )(1-c ).(2)设a ,b ,c 为一个不等边三角形的三边，求证：abc >(b +c -a )(a +b -c )(c +a -b ).(3)已知a >0,b >0,a +b =1,求证： （1+21a ）(1+21b )≥25.(4)设x >0,y >0,求证：（x 2+y 2）21>(x 3+y 3)31［师］仿照例1，我们用综合法证明不等式.［生］（1）∵a >0,b >0,c >0且a +b +c =1 ∴1-a =b +c >0 同理，1-b =a +c >0,1-c =a +b >0∴(1-a )(1-b )(1-c )=(a +b )(b +c )(a +c ) ∵a +b ≥2ab >0,b +c ≥2bc >0,a +c ≥2ac >0∴由不等式的性质定理4的推论1，得 (a +b )(b +c )(a +c )≥2ab ·2bc ·2ac =8abc (2)∵a ,b ,c 为一个不等边三角形的三边 ∴a >0,b >0,c >0且a +b -c >0,a +c -b >0,b +c -a >0.由于三角形是不等边三角形，上述三式不能同时取“=”号 ∴由不等式的性质定理4的推论1，得abc >(a +b -c )(b +c -a )(c +a -b )(3)设y =(1+21a )(1+21b ) ∵a >0,b >0,a +b =1 ∴a 2+2ab +b 2=1 ∴a 2+b 2=1-2ab ∴y =1+abb a b a ab 221222222-+=- 令t =ab1, 则y =2t 2-2t +1. 即0<ab ≤41∴ab1≥4,即t ∈［4,+∞)由二次函数的性质可知：（对称轴t =21)y =2t 2-2t +1,在t ∈［4,+∞)上是增函数.∴当t =4时，y 取最小值25. 故（1+21a )(1+21b )≥25.(4)∵x >0,y >0 ∴(x 2+y 2)3=x 6+y 6+3x 2y 2(x 2+y 2)≥x 6+y 6+6x 3y 3>x 6+y 6+2x 3y 3=(x 3+y 3)2由不等式的性质，两边同时开6次方，得 （x 2+y 2)21>(x 3+y 3)31.［师生共析］1.具有对称轮换性质的不等式证明，可就其一项或一个因式先处理，其他可同理得到，如（1）、（2）.2.若给出形如a >0,b >0且a +b =1类型的题目，一般都经过恒等变形，把其他式子都化归成与ab 有关系的式子，然后根据函数的有关性质去证明或探究，这种方法特别在这种条件下的最值很有效.3.用“算术平均数与几何平均数定理（称均值不等式）”证明题时，要注意为达目标可先宏观，而后微观.4.均值不等式在运用时，常需先凑形后运用，变形后的不等式：ab ≤(2b a +)2,(a >0,b >0）经常用到.Ⅲ.课堂练习1.已知xy >0,求证xy +xy1+yx x y +≥4.分析：根据不等式的结构特点，我们可直接运用重要不等式：abb a +≥2,(a ,b 同号，即ab >0).证明：∵xy >0 ∴x y ,yx 都大于零 ∴xy +xy1≥2xyxy 1⋅=2,当且仅当xy =1时取“=”号.xy y x +≥2xy y x ⋅=2,当且仅当xy =1时取“=”号.由不等式的性质定理的推论，得xy +yx x y xy ++1≥4注意：利用a ≥b ,c ≥d 推出a +c ≥b +d 时，必须强调当且仅当a =b 且c =d 时取“=”号.如果找不到a =b 与c =d 同时成立的条件，说明a +c =b +d 的条件不具备，即得a +c >b +d .例如：由x >0时，得x +x 1≥2,此时，x +0.5>0,5.01+x >0,可得x +0.5+5.01+x ≥2,但x +x1+(x +0.5)+ 5.01+x ≥2+2,其中“=”号不成立，即x +x1+(x +0.5)+5.01+x >4.同样，由a ≥b >0,c ≥d >0⇒ac ≥bd 时，也要注意当且仅当a =b 且c =d 时取“=”号，无此条件，只能得ac >bd .2.已知a >b >0,0<c <d ,求证db c a >.分析：本题根据其结构特点，可创设运用不等式的基本性质，最后得证.证法一：∵a >b >0,c >0 ∴db ca > ① 又0<c <d ,b >0,∴b c <b d ,且bc >0,d bc b >② 由①和②可知：dbc a >.证法二：∵a >b >0,d >c >0 ∴ad >bc 又∵cd >0 ∴db c a cd bc cd ad >>即,. 注意：本题的结论可作为不等式的性质直接应用.即不等式各字母均为正数，异向不等式相除，得与被除式同向的不等式.3.已知a,b是不相等的两个正数，求证(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2.分析：不等式左端（a+b)(a3+b3)=a4+b4+ab3+a3b,右端=a4+b4+2a2b2,从而所证不等式即ab3+a3b>2a2b2,又a>0,b>0且a≠b,也就是证a2+b2>2ab.这显然是成立的，证法可任选比较、综合、分析（后面即将要学）之一.证明：（用综合法证明）∵a>0,b>0且a≠b∴a2+b2>2ab,∴ab(a2+b2)>2a2b2∴a4+ab(a2+b2)+b4>a4+b4+2a2b2即(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2Ⅳ.课时小结本节课，我们学习了“综合法”证明不等式，其核心是引导我们运用已有知识（已知或已知成立的不等式或定理），进行符合逻辑的思考和推理，启发大家从不同角度去思考问题，去主动获取新的知识，鼓励我们敢于创造独特、新颖的思想方法和见解.同时也注意培养了我们坚持实事求是的良好思维品质.Ⅴ.课后作业（一）（打出幻灯片§6.3.3 C，让学生记录下题目，做为课后练习，完成证明或解答）1.证明下列不等式：(1)a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.(2)(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc(a>0,b>0,c>0)证明：（1）∵a 4+b 4≥2a 2b 2,b 4+c 4≥2b 2c 2,c 4+a 4≥2c 2a 2∴将上面三个不等式相加，得 2（a 4+b 4+c 4)≥2(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2) 故a 4+b 4+c 4≥a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2. (2)∵a >0,b >0,c >0,∴a +b ≥2ab >0,b +c =2bc >0,c +a ≥2ac >0 将上面三个同向不等式相乘，得(a +b )(b +c )(c +a )≥8·ab ·bc ·ac =8abc 故（a +b )(b +c )(c +a )≥8abc .2.制造一个容积为V （定值）的圆柱形容器，试分别就容器有盖及无盖两种情况，求：怎样选取底半径与高的比，使用料最省？分析：根据1题中不等式左右的结构特征，考虑运用“基本不等式”来证明.对于2题，抓住容积为定值，建立面积目标函数，求解最值，是本题的思路.解：设容器底半径为r ,高为h ,则V =πr 2h ,h =2rVπ. (1)当容器有盖时，所需用料的面积：S =2πr 2+2πrh =2πr 2+rV2=2πr 2+r V +rV ≥33232232V rVr V r ππ=⋅⋅ 当且仅当2πr 2=r V ,即r =32πV ,h =2r V π=2r ,取“=”号.故21=hr 时用料最省.（2）当容器无盖时，所需用料面积： S =πr 2+2πrh =πr 2+r V 2=πr 2+r V +r V ≥332V π 当且仅当πr 2=r V ,r =3πV ,h =2r V π=r .即r =h 时用料最省. （二）1.预习内容：课本P 15~16“分析法”证明不等式.2.预习提纲：（1）什么是分析法？它的基本思想是什么？（2）分析法适合证明哪类不等式？ ●板书设计。
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* 6．3 不等式的证明(1) *魔法石——核心知识归纳：不等式的证明方法较多，本节主要介绍四种基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法，但不管哪种方法都要用到以下一些结论。
①a 2≥0（a ∈R ）②(a -b )2≥0（a 、b ∈R ）变形形式 a 2+b 2≥2ab 2)2(b a +≥ab a 2+b 2≥21(a +b )2③若a 、b ∈R +，2b a +≥ab ，特别ab +ba ≥2④a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ac （a 、b 、c ∈R ） 1．比较法：原理：等价性方法：比差→分解因比或配方→判定符号比商→整理成某一已知正数→判定与1的关系 2．综合法： 原理：由因导果方法：分析已知与求证之间的关系，不等式左右两端的差异与联系，合理利用一些已知结论进行变换。
3．分析法：原理：执果索因方法：寻找每一个要证不等式成立的充分条件。
格式：要证命题B 真，只需证B 1真，要证命题B 1真，只需证明A 真，由已知A 真，故有B 真。
4．反证法：原理：原命题与逆否命题等价方法：从否定结论出发，推出与已知或与公理、定理相矛盾的结论，从而断定原不等式成立。
找捷径——难点疑点突破：1．方法选择：①不等式两边为多项式且作差后能迅速分解因式或配方的宜用比差法。
不等式两边为单项式，宜用比商法。
②不等式一边为多项高次，另一边为低次或单项，宜用综合法。
③不等式两边为分数指数或分式形式的多项式，宜用分析法。
④顺序较困难的至多、至少或存在性不等式宜用反证法。
2．几种的区别与联系：①综合法与分析法的区别与联系：区别：两种证题方法书写格式不一样，但分析法过程倒过来写就是综合法。
联系：用综合法证题时，就包含了分析的过程。
②分析法与反证法相同与不同：相同点：都是从要证不等式出发，寻找一种已知结论。
不同点：分析法从正面寻找正确结论。
反证法从反面寻找矛盾结论。
1．比较法证明不等式，比差还是比商当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用比差法。
当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数式时，常用比商法。
例1：设a 、b 为不等的两个正实数，求证：2(a 5+b 5)＞(a 3+b 3)(a 2+b 2) 证明：∵2(a 5+b 5)-(a 3+b 3)(a 2+b 2)=a 5+b 5-a 2b 3-b 2a 3=(a 3-b 3)(a 2-b 2)且已知a ≠b ，a 、b 均为正数，∴a 3-b 3与a 2-b 2符号相同，即(a 3-b 3)(a 2-b 2)＞0 故2(a 5+b 5)＞(a 3+b 3)(a 2+b 2)这里如果用比商法，则不妥，因为作商后的代数式不好再进行变形来判定与1的关系。
2．分析法与综合法的区别例2：已知a 、b 、c ∈R +，且a +b +c =1，求证：a 2+b 2+c 2≥31证法1：分析法 ∵a 2+b 2+c 2≥31⇔3(a 2+b 2+c 2)≥1⇔3(a 2+b 2+c 2)≥(a +b +c )2⇔ a 2+b 2+c 2≥2(ab +bc +ca )⇔(a -b )2+(b -c )2+(c -a )2≥0∴原不等式成立执果索因，若过程可逆推，则将分析法过程逆过来写，就是综合法。
证法2：综合法∵1=(a +b +c )2= a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ca )又∵2ab ≤a 2+b 2，2bc ≤b 2+c 2，2ca ≤c 2+a 2∴2(ab +bc +ca )≤2(a 2+b 2+c 2) ∴a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ca )≤3(a 2+b 2+c 2) ∴a 2+b 2+c 2≥31(a +b +c )2=31由因导果，分析法从正面寻找结论；组织充要条件，从反面寻找使假设不成立的矛盾。
3．分析法与反证法的区别 证法3：假设a 2+b 2+c 2＜31，则3(a 2+b 2+c 2)＜1=(a +b +c )2⇔2(a 2+b 2+c 2)＜2(ab +bc +ca )⇔ (a -b )2+(b -c )2+(c -a )2＜0 这是不可能的∴a 2+b 2+c 2≥31把反证结论作为条件，进行分析推证，得出矛盾，它是综合法与分析法的有机结合。
金钥匙——解题规律与技巧：1．比较法证明不等式例1：①a 、b ∈R ，求证：a 2+b 2+1＞ab +a ②已知m 、n ∈R +，求证：2n m +≥n m mn nm +①解析：不等式两边均为多项式，直接用均值不等式不能解决问题，但作差后能分解因式或配方。
证明：∵a 2+b 2+1-ab +a=21[(a 2-2ab +b 2)+a 2-2a +1+b 2+1] =21(a -b )2+(a -1)2+b 2+1＞0∴a 2+b 2+1＞ab +a②解析：不等式左边为和，右边为积，但这个积不是mn ，那么mn 与nm m n nm +是否有一定的大小关系呢？按原命题应有mn ≥nm m n n m +。
证明： W=nm mnnm mn +=n m mn m nn m nm ++⋅⋅2121=)(2)(2n m mnn m n m nm+-+-⋅=)(2)(n m nm nm +-则：①当m ＞n 时，nm ＞1，m -n ＞0，即W ＞1②当m =n 时，W=1 ③当m ＜n 时，0＜nm ＜1，m -n ＞0，即W ＞1故对任意的m 、n ∈R +，均有2n m +≥nm mn nm +2．分析法证明不等式例2：①a 、b 、c 是三角形的三边，求证：ma a ++mb b +＞mc c +②已知a ＞b ＞c ，求证：ba -1+cb -1＞ca -1分析：由于从已知出发，难以得到解题的思路，推证的方向，故改从结论入手，采用分析法去寻找结论成立的条件。
证明①：要证ma a++mb b+＞mc c+只需证))(()()(m b m a m a b m b a +++++＞m c c +成立 即证2)()(2mb a m ab b a m ab +++++＞mc c +，只需证)(2)(2b a m ab m b a m ab +++++＜cm c +只需证)(22b a m ab ab m ++-＜cm ，只需证cm 2-abc ＜2mab +m 2(a+b )即证m 2[c -(a+b )]＜ab (2m +c )在三角形中，有c ＜a+b ，又m ＞0，故上式左端小于0，右端大于0，说明这个不等式是成立的，故要证的不等式成立。
②方法1：要证ba -1+cb -1＞ca -1，即证))((c b b a c a ---＞ca -1由已知a -b 、b -c 、a -c 均为正数，故只需证(a -c )2＞(a -b )(b -c ) 即证[(a -b )+(b -c )] 2＞(a -b )(b -c )，只需证(a -b )2+(b -c )2＞-(a -b )(b -c ) 上式左端为正，右端为负，故成立，所以原不等式成立。
方法2：证ba -1+cb -1＞ca -1，由已知cb -1＞0，故只需证ba -1＞ca -1，再由a -b ＞0，a -c ＞0，则只需证a -b ＜a -c ，只需证c -b 得证。
点金术——思维拓展发散：例1：已知正数a 、b 、c 互不相等，且abc =1， 求证：a +b +c ＜a1+b1+c1证明：∵a 、b 、c 互不相等的正数，且abc =1， ∴a +b +c =bc1+ac1+ab1＜211c b ++211c a++211b a+=a1+b1+c1方法规律：一般地，不等式两边复杂程度差别不大 时，既可从左证到右，也可从右证到左，但有时难易程度不同，故在分析问题时，若从左找不到好方法，则可以从容不迫右边来找突破口。
3．综合法证明不等式例2：若a ＞0，b ＞0，且a+b =1，求证：(a+a1)2+(b+b1)2≥225分析：∵x 2+y 2≥2xy ∴2x 2+2y 2≥(x+y ) 2即222y x +≥(2y x +)2证明：∵(a+a1)2+(b+b1)2≥21( a+a1+b+b1)2又a ＞0，b ＞0，及a+b =1，且a+a 1+b+b1≥2ab ·2ab1=4，故a1+b 1≥4 ∴(a+a1)2+(b+b1)2≥21(1+4)2=225例3：如果三角形的三边a 、b 、c 成等差数列，求证：b 边所对的角不大于60°。
证明：由a 、b 、c 成等差数列，∴2b =a +ccosB=acbc a 2222-+=acc a c a 24)(222+-+=acacc a c a 82442222---+=acc a 83322+-41≥83·acac 2-41=21而B ∈(0，π)，∴B ≤3π方法规律：在三角形内考虑与一个角有关的问题，一般地用余弦定理，再利用余地弦函数单调性，由值的大小关系得出角的大小关系。
4．反证法证明不等式例4：实数a 、b 、c 、d 满足a +b =c +d =1，且ac +bd ＞1，求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数。
分析：本题属于至多、至少问题，应从反面分析较简单。
证法1：假设a 、b 、c 、d 都是非负数，由a +b =c +d =1知：a 、b 、c 、d ∈[0，1] 从而有ac ≤ac ≤2c a +，bd ≤bd ≤2d b +∴ac +bd ≤2dc b a +++=1，与已知ac +bd ＞1矛盾证法2：假设a 、b 、c 、d 都是非负数，则1=(a +b )(c +d )=(ac +bd )+(ab +cd )≥ac +bd 这与已知ac +bd ＞1矛盾。
证法3：三角代换 假设a 、b 、c 、d 都是非负数，由a +b =c +d =1可设a =cos 2α，b =sin 2α，c =cos 2β，d =sin 2β，则ac +bd =cos 2αcos 2β+ sin 2αsin 2β≤cos 2α+ sin 2α=1方法规律：至多、至少、存在问题从正面论证较为困难，宜用反证法。
例5：已知0＜α＜π，证明2sin2α≤cot2α，并讨论α为何值时等号成立。
证明：欲证不等式成立，只须证4sin αcos α≤ααsin cos 1+因0＜α＜π时，sin α＞0，故只须证4sin 2αcos α≤1+cos α⇔4(1- cos 2α) cos α≤1+cos α ⇔(1+cos α)[4(1- cos α) cos α-1]⇔-4(1+cos α)( cos α-21)2≤0 由1+cos α＞0，( cos α-21)2＞0知，最后一步成立，并且步步可 逆，得证原不等式成立。