人教版数学高二B版必修53.2 均值不等式
人教版数学高二B版必修53.2均值不等式
课后训练1．若－4＜x ＜1，则()22222x x f x x -+=-( )． A ．有最小值1 B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－12．已知a ＞b ＞0，全集I ＝R ，2a b M x b x ⎧+⎫<<⎨⎬⎩⎭=，{}N x x a =<<，P ＝{x |b ＜x ，则( )．A ．P ＝M ∩NB ．P ＝M ∩NC ．P ＝M ∩ND ．P ＝M ∪N3．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )．A ．12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a4．设a ＞0，b ＞0.是3a 与3b 的等比中项，则11a b +的最小值为( )． A ．8 B ．4 C ．1 D ．145．设x ＞y ＞z ，且11n x y y z x z+≥---恒成立，则n 的最大值是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )与()21=x x g x x ++在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值是______． 7．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则12m n+的最小值为______．8．a ，b ，c 为互不相等的正数，且abc ＝1，求证：111a b c ++>. 证明：证法一：∵abc ＝1，且a ，b ，c 为互不相等的正数，求下列各式的最值：(1)已知x ＞y ＞0，且xy ＝1，求22x y x y+-的最小值及此时x ，y 的值； (2)设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝5，求2a ＋2b 的最小值．参考答案1. 答案：D解析：11()=121f x x x ⎡⎤(-)+⎢⎥-⎣⎦，∵－4＜x ＜1， ∴x －1＜0，－(x －1)＞0.∴111()=112(1)2f x x x ⎡⎤--(-)+≤-⋅=-⎢⎥--⎣⎦， 当且仅当x －1＝11x -即x ＝0时等号成立，即x ＝0时，f (x )有最大值－1. 2. 答案：A解析：∵2a b b a +<<<， ∴{}M|2a b N x b x x x a x ab ⎧+⎫=<<≥≤⎨⎬⎩⎭或＝{|x b x <≤＝P . 3. 答案：B 解析：∵0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，∴12a <，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＞(a ＋b )2－2·2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭2＝12. ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＞0，∴a 2＋b 2＞2ab .∴a 2＋b 2最大．(本题也可取特殊值进行检验)4. 答案：B解析：因为3a ·3b ＝3，所以a ＋b ＝1， 1111()a b a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭＋＝2+b a a b +≥， 当且仅当b a a b =，即a ＝b ＝12时，等号成立，即11a b +最小值为4. 5. 答案：C解析：原不等式可变形为n ≤(x －z ) 11x y y z ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，此不等式恒成立的条件是n 不大于右边的最小值．令a ＝x －y ，b ＝y －z ，则a ＞0，b ＞0，且x －z ＝a ＋b .∴(x －z )11x y y z ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭＝(a ＋b )·11a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2＋b a a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥4.∴n ≤4. 6. 答案：4解析：首先()21=x x g x x ++＝x ＋1x＋1≥3，当x ＝1时取等号，即当x ＝1时取最小值3，所以f (x )的对称轴是x ＝1，所以b ＝－2，再把(1，3)代入即得c ＝4，所以f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值是4. 7. 答案：8解析：∵函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象过定点(－2，－1)，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.12124=(2)=4+n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥4＋4＝8. 当且仅当4,21,0,n m m n m n mn ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩即1,412m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立． 8. ∴111++＝bc ＋ac ＋ab ＝22bc acac ab ab bc +++++＞∴111a b c++>. 证法二：∵a ，b ，c 为互不相等的正数，且abc ＝1， =111111111222b c a c a b a b c+++<++=++.∴111ab c++>. 证法三：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ，b ，c 互不相等，且abc ＝1，∴11>2a b+==①同理11b c+② 11c a+③ ①＋②＋③得111a b c ++>. 9. 解：(1)∵x ＞y ＞0，∴x －y ＞0，∵xy ＝1(定值)，∴22222()x y x y xyx y x y x y x y+(-)+==-+≥---解方程组1,2,xy x y x y =⎧⎪⎨-=⎪-⎩得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴当2x =，2y =时，22x y xy +-取得最小值(2)因为a ，b ∈R ，故2a ，2b ∈(0，＋∞)，则22a b ≥===+.当且仅当a＝b＝52时，取等号．所以a＝b＝52时，2a＋2b取得最小值为。
人教B版必修5第三章第二节《均值不等式》说课课件
设计意图:通过传统文化知识创设情境
引入新知可以激发学生的学习兴趣，培 养他们的爱国情怀体现了数学学科中数 学建模这一核心素养
（二）启发引导，探求新知
重要不等式
定理１：如果a, b R ，那么
a b 2ab （当且仅当 a b 时取“=”
2 2
号）．
（二）启发引导，探求新知
由代换思想提出问题
当a 0, b 0, 在a b 2ab中
2 2
以 a, b分别代替a,b能得到什么结果?
a b 2 ab
（二）启发引导，探求新知 均值不等式
如果 a , b
ab 2
是正数，那么
ab
(当且仅当 a b 时取“ = ”号）．
引导学生通过已有的知识从代数的角度利用作差法 加以证明
1 1 思考题：已知正数x、y满足2x+y=1，求 的
教 学 反 思
由具体到一般，建立实际生活中的图形 与不等式的联系，然后归纳出重要不等式和 均值不等式以及其取等号的条件．
2. 恰当使用信息技术
恰当地使用多媒体，让学生直观形象地理 解问题，了解知识的形成过程.
2
2
设计意图：给学生充分的时间去合作交 流让学生做到人人都能变形，人人都能 创新从而使学生的思维发散开来，增强 学生解决问题的能力。
研一研·问题探究、课堂更高效
（四）巩固提升
y x 2,并推导出式中等号成立 的条件 例1 已知xy>0 求证： x y
1 变式1 求函数y x （x 0）的最小值
人教B版必修5第三章第二节
一．教材分析 二．学情分析 三．教学目标分析 四．教学重点难点分析
五．教学策略分析 六．教学过程分析
高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式课件 新人教B版必修5
解析：A 中xy＜0 时，不满足题意；B 中等号不能成立；D
中 tanθ＜0 时，不符合题意；C 中12ex＋2e－x≥2，当 ex＝2，即
x＝ln 2 时等号成立．故选 C. 答案：C
3．已知 x，y 都是正数，若 xy＝4，则 x＋y 的最小值是 ________．
解析：∵x>0，y>0， ∴x＋y≥2 xy＝4， 当且仅当 x＝y＝2 时，等号成立． 答案：4
解析：若x2＋3xx＋1≤a(x>0)恒成立， 则x2＋3xx＋1max≤a，
令 y＝x2＋3xx＋1＝x＋11x＋3≤2＋1 3＝15，
当且仅当 x＝1 时，等号成立，
∴ymax＝15，
∴a
的取值范围为15，＋∞
.
答案：15，＋∞
基础知识达标
即学即练 稳操胜券
1．已知实数 a>0，则 a＋4a的最小值为( )
＝n＋1n－＋112＋8＝
n＋12－2n＋1＋9 n＋1
＝n＋1＋n＋9 1－2≥2 n＋1·n＋9 1－2＝4，
当且仅当 n＋1＝n＋9 1，即 n＝2 时，符号成立，故选 A.
答案：A
5．(2019·河南中原名校联考)已知等差数列{an}的前 n 项和 为 Sn，且 S3＝15，a7＋a9＝34，数列ana1n＋1的前 n 项和为 Tn， 且对于任意的 n∈N*，Tn<an＋t 11，则实数 t 的取值范围为 ________．
课堂互动探究
典例精析 规律总结
设 a，b∈(0，＋∞)，试比较a＋2 b， ab，
a2＋b2， 2
1a＋2 1b的大小． 【解】 ∵a，b∈(0，＋∞)，
∴1a＋1b≥2 a1b，
即2≤ 1a＋1b
人教B版高中数学必修5课件 3.2均值不等式课件(人教B)
人民教育出版社 高二|必修五
解：设每批购入电视机x台，全年费用为y元，保管费与每批
电视机总价值的比例系数为k，则
y 3600 400 2000k，x 当x=400时，y=43600代入上式得 x
y 3600 400 100x 24000 x2 240x 1440 0
x
∴(x-120)2≤0 ∴x=120
人民教育出版社 高二|必修五
注 意 式 中 等 号 成 立 的 条 件
基础知识
（4）两个正数的平方平均值：
（5）两个正数的调和平均值：
关系：
a2 b2 a b ab 2
2
2
11
ab
平方、 算术、 几何、调和
人民教育出版社 高二|必修五
注 意 式 中 等 号 成 立 的 条 件
基础知识
（6）不等式的变形：
基础训练
1.设x+3y－2=0，则函数z=3x+27y+3的最小值是
11
A. 3 B.3+2 2 C.6
D.9
D
2.若t∈(0,1］,则
t
2
t
有最小值
A.2 2
B
人民教育出版社 高二|必修五
3.已知a,b是正数且a+b=1，求
y
1
1 a
1
1 b
的最小值
解：（法一）
y 1 1 1 1 1 a b 1 a b 2 b 2 a a b a b a b
k 1 20
答：每批进货120台，资金够用。
人民教育出版社 高二|必修五
课堂小结
知识要点： 1. 几个平均值之间的关系及应用 2.基本不等式在几何、代数及实际应用三方面的意义
高中数学第三章不等式3.2均值不等式课件新人教B版必修5
一
二
三
2.均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的关系如何?请对此进行讨论. 提示:(1)在a2+b2≥2ab中,a,b∈R;在a+b≥ 2 ������������ 中,a,b>0. (2)两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实 质不同(范围不同). (3)证明的方法都是作差比较法. (4)都可以用来求最值. 3.当利用均值不等式求最大(小)值,等号取不到时,如何处理? 提示:等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解.
������+������ 2 (a,b>0),当且仅当 a=b 2 ������+������ (2)对任意两个正实数 a,b,数 2 叫做
������+������
a,b 的算术平均值,数 ������������
1 ②a+������≥2(a>0),当且仅当 a=1 时,等号成立. ������ ������ ③������ + ������≥2(a,b 同号),当且仅当 a=b 时,等号成立.
2 ( ������ + ������ ) 2.怎样比较 a2+b2, 2 ,2ab
三者的大小关系?
a=b 时等号成立.利用作差
法即可证明.
2 ( ������ + ������ ) 提示:a2+b2≥ ≥2ab,当且仅当 2
一
二
三
3.做一做:已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab( ) A.有最大值2,有最小值-2 B.有最大值2,但无最小值 C.有最小值2,但无最大值 D.有最大值2,有最小值0 解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得 |ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab的最大值为2,最小值为-2. 答案:A
人教B版高中数学必修五第3章32均值不等式课件共15张
b? a ? 2
ba ?
?
2
ab
ab
当且仅当 b ? a ,即a 2 =b2时等号成立 ab
因为ab ? 0,所以式中等号成立的条件是a ? b
练习2、已知 a,b ?
R? ，求证 (a ?
1 )(b ? a
1) ? b
4
例3、已知 x ? 0 ，求函数 f ( x) ? x ? 1
x
的最小值. 2
2
的两条线段，然后比较这两条线段的长。
具体作图如下：
（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b,
（2）以AB为直径作半圆O； （3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C
（4）连接AC，BC，CA，则
a?b
当a≠bO时C ，? O2C>CD，即
aC?Db ??
2
ab
当a=b时，OC=CD，即
C
a ? b ? ab 2
x? 2
x? 2
x? 2
?2 ? 2 3? 2
当且仅当x ? 2 ? 3 时，取得最小值2 3+2 x? 2
因为x ? 2,所以x ? 2 ? 3
课后延伸：
已知x>0,y>0,且x+y=1,求 u ? 1 ? 1
的最小值．
xy
提示：“1”的妙用
练习：已知x,y为正数,且2x+y=2求 最小值
2 x
3
求函数y ?
sin?
?
4
sin ?
其运式中求用?最均?（值值0的不，?2条等]
的最小值。
件:一正二定三
相等
解：y ? sin ? ? 4 ? 2 sin ? ? 4
数学人教B版必修5课件：3.2 均值不等式
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
【变式训练 1】 当 x>-1 时,求 f(x)=x+������+11的最小值. 分析:由 x>-1 知 x+1>0,变 x=x+1-1,此时 x+1 与������+11的积为常数.
解:∵x>-1,∴x+1>0. ∴f(x)=x+������ +1 1=x+1+������ +1 1-1
≥2 (������ + 1) (������+11)-1=1, 当且仅当 x+1=������+11,即 x=0 时,等号成立,
∴f(x)min=1.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
利用均值不等式比较大小
将这三个条件总结成口诀:一正、二定、三相等.
一二
二、教材中的“思考与讨论” 均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的关系如何?请对此进行讨论. 剖析:(1)在a2+b2≥2ab中,a,b∈R;在a+b≥2 ������������ 中,a,b>0. (2)两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实 质不同(范围不同). (3)证明的方法都是作差比较法. (4)都可以用来求最值.
名师点拨1.应用上述性质时注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2) 和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相 等”.
2.应用上述性质时,有时需先配凑成和或积为定值的情况,再应用.
【做一做3】 已知x,y都是正数,
(1)若xy=15,则x+y的最小值是
人教B版高中数学必修5-3.2参考课件1-均值不等式
数学[RB·必修5]
若 x>0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值． 【解】 ∵x>0，∴f(x)＝1x2＋3x≥2 1x2·3x＝12， 当且仅当 3x＝1x2即 x＝2 时，“＝”成立． ∴f(x)的最小值为 12.
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数学[RB·必修5]
利用均值不等式证明不等式
已知 a、b、c>0，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c. 【思路探究】 判断 a，b，c，ab2，bc2，ca2均大于 0―→
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数学[RB·必修5]
2．过程与方法 (1)探索并了解均值不等式的形成和证明过程； (2)体会均值不等式的证明方法和简单应用． 3．情感、态度与价值观 (1)通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、研究精神； (2)通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学 态度，勇于提出问题、分析问题的习惯．
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数学[RB·必修5] ●重点难点 重点：均值不等式成立的条件及应用． 难点：均值不等式成立的条件以及应用均值不等式求最大值 和最小值．
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数学[RB·必修5]
课 1.了解均值不等式的证明过程． 标 2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代 解 数式的大小．(重点、难点) 读 3.能利用均值不等式求简单函数的最值．(重点)
数学[RB·必修5]
易
错
教
易
学
误
教
辨
法
析
分
析
当
堂
课
3.2 均值不等式
双 基
前
达
自
标
主 导
第 1 课时 均值不等式
课
学
后
知
能
课
人教新课标版数学高二B必修5课件3.2均值不等式(一)
4.均值定理的常用推论 (1)ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)；
(2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)；
(3)当 ab>0 时，ba＋ab≥ 2 ；当 ab<0 时，ba＋ab≤ －2 ； (4)a2＋b2＋c2 ≥ ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).
明目标、知重点
明目标、知重点
反思与感悟 应用均值不等式求函数的最值应满足的条 件：(1)两数均为正数；(2)必须出现定值(和为定值或积 为定值)；(3)等号要取到(等号成立取得的值要在定义域 范围内)；(4)若多次应用时，则每一个等号要同时取到.
明目标、知重点
跟踪训练 3 已知函数 y＝x＋1x，x∈(－∞，0)，求函数的 最大值. 解 因为 x<0，所以1x<0，则－x>0，－1x>0， x＋1x＝－[(－x)＋－1x](由均值不等式得)
明目标、知重点
≤－2 －x 1 ＝－2， －x
当且仅当－x＝ 1 即 x＝－1 时，取“＝”. －x
因此当x＝－1时，函数有最大值－2.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234 5
1.已知 a>0，b>0，则1a＋1b＋2 ab的最小值是( C )
A.2
B.2 2
C.4
D.5
明目标、知重点
1234 5
明目标、知重点
小结 一般地，对于任意实数a、b，我们有a2＋b2≥2ab， 当且仅当a＝b时，等号成立.通常我们称a2＋b2≥2ab为重 要不等式.
明目标、知重点
a＋b 探究点二 基本不等式 ab≤ 2 思考 1 如果 a>0，b>0，用 a， b分别代替 a2＋b2≥2ab 中的 a，b 会得到怎样的不等式？ 答 得到 a＋b≥2 ab.
高中数学第3章3.2第一课时均值不等式课件新人教B必修5.ppt
上面 3 个不等式相加得 2·bac＋2·abc＋2·acb≥2a＋2b＋2c
(当且仅当 a＝b＝c 时，取等号)．
∴bc＋ac＋ab≥ ab c
a＋
b＋
c.
【点评】 对于证明多项和的不等式时，可以考 虑先分段应用均值不等式或其变形，然后整体相 加(乘)得结论．另外对于与“三项和”有关的不 等式证明问题常常将“三项和”拆成“六项和” 处理．同时应用均值不等式时要注意看是否符合 条件．
【证明】 ∵a、b、c 是正实数，
∴bac＋abc≥2
bc ac a ·b
＝2c(当且仅当bac＝abc，
即 a＝b 时，取等号)；
abc＋acb≥2 abc·acb＝2a(当且仅当abc＝acb，即
b＝c 时，取等号)；
acb＋bac≥2
ab bc c ·a
＝2b(当且仅当bac＝acb，即
a＝c 时，取等号)．
c2≥1， 3
3(ab＋ bc＋ ca)≤ a2＋ b2＋ c2＋ 2ab＋ 2bc＋ 2ac ＝ (a＋ b＋ c)2＝ 1， ∴ ab＋ bc＋ ca≤13. 综上知， a2＋ b2＋ c2≥1≥ ab＋ bc＋ ca.
3
【点评】 要想运用均值不等式，必需把题 目中的条件或要解决的问题“化归”到不等 式的形式并让其符合不等式条件．化归的方 法是把题目给的条件配凑变形，或利用一些 基本公式和一些常见的代换，讲究一个巧字， 根据问题的具体情况把待求的数或式拆配的 恰到好处，才能顺利地进行运算．
＋ a)． 以上三式相加即得 ：
c2＋ a2≥
2 (c
2
a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
当 a＝b＝c 时取等号．
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课后训练
1．函数f (x )＝x ＋
4
x
＋3在(－∞，－2]上( )． A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值－1，无最小值
2．设a ＞0，b ＞0是3a 与3b 的等比中项，则11
a b
+的最小值为( )． A ．8 B ．4 C ．1 D ．
14
3．点P (x ，y )是直线x ＋3y －2＝0上的动点，则代数式3x ＋27y 有( )． A ．最大值8 B ．最小值8 C ．最小值6 D ．最大值6
4．若a ，b ，c ＞0，且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2a ＋b ＋c 的最小值为( )．
A 1
B 1
C ．2
D ．2
5．在区间[12
，2]上，函数f (x )＝x 2
＋bx ＋c (b ，c ∈R )与21()x x g x x ++=在同一点取得
相同的最小值，那么f (x )在区间[
1
2
，2]上的最大值是( )． A ．
13
4
B ．4
C ．8
D ．5
4
6．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v 千米/时的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400千米，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2
()20
v 千米，那么这批物资全部到达灾区，最少需要________小时．
7．设a ≥0，b ≥0，且
a 2＋
2
2
b ＝1，则的最大值为________． 8．已知直线x ＋y ＝1经过第一象限内的点11()P a b
，，则a ＋4b 的最小值是________． 9．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．
(1)若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？
(2)若使每个同学游4次，每人最少应交多少元钱？
10．用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图所示)，设容器高为h米，盖子边长为a米．
(1)求a关于h的解析式；
(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？并求出V的最大值．(求解本题时，不计容器厚度)
参考答案
1. 答案：D ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4x ＋3＝－[(－x )＋(4
x
-)]＋3≤42()()3
x x ---+＝－1，当且仅当4
x x
-=-
，即x ＝－2时，等号成立． ∴f (x )有最大值－1，无最小值，故选D. 2. 答案：B 3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋
b ＝3⇒a ＋b ＝1.∵a ＞0，b ＞0，
∴122
a b ab +≤
=14ab ≤
.∴1111
41
4
a b a b ab ab ++==≥=.当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．
3. 答案：C ∵点P (x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上， ∴x ＋3y ＝2.
∴3x ＋27y ＝3x ＋33y ≥33223323236x y x y +⋅===.当且仅当x ＝3y ，即x ＝1，13
y =时，等号成立．
∴代数式3x ＋27y 有最小值6.
4. 答案：D 因为a ，b ，c ＞0，且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－3 所以a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4－23 所以4－23a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝14(4a 2＋4ab ＋4ac ＋2bc ＋2bc )≤1
4
(4a 2＋4ab ＋4ac ＋2bc ＋b 2＋c 2)．
当且仅当b ＝c 时，等号成立．
所以(232)2≤(2a ＋b ＋c )2， 则2a ＋b ＋c ≥3 2.
5. 答案：B 211
()13x x g x x x x
++=
=++≥，当且仅当x ＝1时，等号成立，即当x ＝1时取最小值3，所以f (x )的对称轴是x ＝1，所以b ＝－2.再把(1,3)代入即得c ＝4.所以f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在[
1
2
，2]上的最大值是f (2)＝4－4＋4＝4. 6. 答案：10 从第一辆车出发到最后一辆车到达目的地共需要的时间
225(
)
400
400254002520210400400
v v v y v
v v v ⨯=
+=+≥⨯=.当且仅当v ＝80时，等号成立． 7. 3
24
由a 2＋2
2b ＝1，知2a 2＋b 2＝2，即2a 2＋(1＋b 2)＝3.因为2a 2＋(1＋
b 2)
≥
≤
=
当且仅当2a 2＝1＋b 2
，即2a =
，
2
b =
时，等号成立． 8. 答案：9
9. 答案：解：(1)设每批去x 名同学，共需去488
x
⨯批， 总开支又分为：①买卡所需费用240x ，②包车所需费用488
40x
⨯⨯.
∴y ＝240x ＋488
x
⨯×40(0＜x ≤48，x ∈Z )．
∴y ＝240(x ＋64
x
)≥240
× 3 840，
当且仅当64
x x
=，即x ＝8时，等号成立．
故每人最少应交3840
8048
=(元)．
(2)设每批去x 名同学，共需去488
x
⨯批，
总开支又分为：①买卡所需费用240x ，②包车所需费用488
40x
⨯⨯.
∴y ＝240x ＋488
x
⨯×40(0＜x ≤48，x ∈Z )．
∴y ＝240(x ＋32
x
)≥240
× 2 715，
当且仅当32
x x
=，即x ≈5.66时，等号成立．
但0＜x ≤48，x ∈Z ，
当x 1＝5时，y 1＝240×(5＋
32
5)＝2 736； 当x 2＝6时，y 2＝240×(6＋32
6
)＝2 720.
∵y 1＞y 2，
∴当x ＝6时，y 有最小值，即y min ＝2 720. 故每人最少应交
2720
56.6748
≈(元)． 10. 答案：解：(1)设h ′是正四棱锥的斜高，由题设，得
2
222142,2
1,4
a h a h a h ⎧+⋅'=⎪⎪⎨
⎪+='⎪⎩消去h ′，
解得a =
a ＞0)．
(2)由22
133(1)
h
V a h h ==+(h ＞0)， 得1
13()
V h h =
+.
而12h h +
≥=. 所以16V ≤，当且仅当1
h h
=，即h ＝1时，等号成立．
故当h ＝1米时，V 有最大值，V 的最大值为1
6
立方米．。