2020高考数学二轮复习专题四解析几何规范答题示例6 直线与圆锥曲线的位置关系学案

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高考数学复习考点题型专题讲解题型29 直线与圆锥曲线(解析版)

高考数学复习考点题型专题讲解题型:之直线与圆锥曲线【高考题型一】：直线与圆锥曲线在简答题中的步骤体现。

『解题策略』：答题规范模板:步骤1：设直线方程：注意设直线的技巧。

①当斜率不存在的直线不满足，斜率为零的直线满足时，一般设为b kx y +=； ②当斜率为零的直线不满足，斜率不存在的直线满足时，一般设为n my x +=；③两类直线均满足或均不满足时，两种设法均可，但两类直线均满足时，注意要对取不到的直线补充验证。

)。

步骤2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程。

步骤3：写出根与系数的关系（如果求范围或直线与曲线不是恒有公共点，则写出)0(0≥∆>∆）。

步骤4：转化已知条件，转化为两根的关系。

步骤5：把根与系数的关系代入转化的条件中。

※注：若题目中不涉及根与系数，则．．．．．．．．．．．．．步骤．．4．\．步骤．．5．可省略。

．．．．弦长公式：弦长：直线与曲线相交中两交点的距离。

弦长公式：直线与曲线联立，若消y ，转化为关于x 的一元二次方程，20,ax bx c ++=则弦长=a ；若消x ，则转化为关于y 的一元二次方程:20,ay by c ++=则弦长。

【题型1】：直线与椭圆的位置关系。

『解题策略』：直线0:=++C By Ax l ，椭圆C :221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠；判定方法：∆法：直线与椭圆方程联立：220,00,10,Ax By c mx ny ∆>⎧++=⎧⎪⇒∆=⎨⎨+=⎩⎪∆<⎩相交相切相离。

1.(高考题)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2，0）为其右焦点。

（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

【解析】：(1)c=2，设椭圆方程为：142222=-+a y a x ，代入点A 得椭圆方程为2211612x y +=。

2020高考数学二轮复习寒假作业十六直线与圆锥曲线的位置关系注意命题点的区分度文

寒假作业(十六) 直线与圆锥曲线的位置关系(注意命题点的区分度)一、选择题1．设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 向x 轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k 的值为( )A.32 B ．±32C ．±12D.12解析：选B 由题意可得，c ＝1，a ＝2，b ＝3，不妨取A 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，±32，则直线的斜率k ＝±32. 2．(2017·湖南五市十校联考)已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 1且与x 轴垂直的直线与双曲线左支交于点M ，N ，已知△MF 2N 是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是( )A. 2 B ．1 C ．1＋ 2D ．2＋ 2解析：选C 由已知得b 2a＝2c ，即c 2－2ac －a 2＝0，所以e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2，又e ＞1，所以e ＝1＋2，故选C.3．已知直线l ：x －y －m ＝0经过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，与C 交于A ，B 两点，若|AB |＝6，则p 的值为( )A.12B.32 C ．1D ．2解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，则由题意，得m ＝p2.①由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －m ＝0，y 2＝2px消去y ，得x 2－2(p ＋m )x ＋m 2＝0，∴x 1＋x 2＝2(p ＋m )，x 1x 2＝m 2，∴|AB |＝2· [2p ＋m ]2－4m 2＝6.② 由①②得p ＝32，故选B.4．已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B ．(－3，3)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D ．[－3，3]解析：选C 由题意知，右焦点为F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与双曲线的右支有且只有一个交点，数形结合可知该直线的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，故选C.5．已知圆(x －m )2＋y 2＝4上存在两点关于直线x －y －2＝0对称，若离心率为2的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为( )A ．1 B. 3 C ．2 3 D ．4解析：选D 由题意得直线x －y －2＝0过圆心(m,0)，所以m ＝2，所以圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，且经过原点，易知渐近线与圆相交时的交点构成的图形为三角形，因为c a ＝2，所以b a＝1，所以渐近线方程为y ＝±x ，所以交点坐标分别为(0,0)，(2,2)，(2，－2)，所以三角形的面积为12×2×4＝4，选D.6.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13＜k ＜12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 由题图可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a a ＋c .又13＜k ＜12，所以13＜a 2－c 2a a ＋c＜12，化简可得13＜1－e 21＋e ＜12，从而可得12＜e ＜23，选C. 7．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为42，虚轴的一个端点与抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点重合，直线y ＝kx －1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 由抛物线x 2＝2py (p ＞0)可知其焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以b ＝p 2，又a ＝22，因此双曲线的方程为x 28－4y2p2＝1，渐近线方程为y ＝±p42x .直线y ＝kx －1与双曲线的一条渐近线平行，不妨设k ＝p42，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p 42 x －1，x 2＝2py可得x 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 42x －1＝p 222x －2p ，即x 2－p 222x ＋2p ＝0，则Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2222－8p ＝0，解得p ＝4.故选A.8．已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＜0)的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值为( ) A ．－32B ．－233C ．－932D ．－2327解析：选A 由双曲线ax 2＋by 2＝1知其渐近线方程为ax 2＋by 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有ax 21＋by 21＝0①，ax 22＋by 22＝0②，由①－②得a (x 21－x 22)＝－b (y 21－y 22)．即a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)，由题意可知x 1≠x 2，且x 1＋x 2≠0， ∴y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－ab，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则k OM ＝y 0x 0＝2y 02x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－32，又知k AB ＝－1，∴－32×(－1)＝－ab， ∴ab ＝－32. 9．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若|FP |＝3|FQ |，则|QF |＝( )A.83B.52 C ．3D ．2解析：选A 设l 与x 轴的交点为M ，如图所示，过Q 作QN ⊥l ，垂足为N ，则△PQN ∽△PFM ，所以|NQ ||MF |＝|PQ ||PF |＝23，因为|MF |＝4，所以|NQ |＝83，故|QF |＝|QN |＝83. 10．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，点M (－1,2)．若MA uuu r ·MB uuu r＝0，则直线l 的斜率k ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选C 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，由题意可知直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －1消去y 得，k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16＞0，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝k x 1＋x 2－2k ＝2k 2＋4k －2k ＝4k ，y 1y 2＝－4.∴MA uuu r ·MB uuu r＝(x 1＋1，y 1－2)·(x 2＋1，y 2－2) ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－2)(y 2－2) ＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4 ＝1＋2k 2＋4k 2＋1－4－8k ＋4＝4k 2＋4－8k k2＝0， ∴4k 2＋4－8k ＝0，即k 2－2k ＋1＝0，∴k ＝1，故选C. 11.如图，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (2，t )(t ＞0)在抛物线上，且|AF |＝3.已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，则直线GB 的斜率为( )A ．－34B ．－32 C ．－223D ．－23解析：选C 由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，所以2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .因为点A (2，t )(t ＞0)在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以t ＝22，即A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22x －1，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)，所以直线GB 的斜率k GB ＝－2－012－－1＝－223，选C.12．(2017·长沙统考)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( )A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1解析：选D 设F 2是双曲线C 的右焦点，因为|PF 1|－|PF 2|＝22，所以|PF 1|＋|PQ |＝22＋|PF 2|＋|PQ |，显然当F 2，P ，Q 三点共线且P 在F 2，Q 之间时，|PF 2|＋|PQ |最小，且最小值为F 2到l 的距离．易知l 的方程为y ＝x2或y ＝－x2，F 2(3，0)，求得F 2到l 的距离为1，故|PF 1|＋|PQ |的最小值为22＋1.选D. 二、填空题13．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：双曲线的右焦点为F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入x 2－y 23＝0，得y 2＝12，y ＝±23，∴|AB |＝4 3.答案：4 314．设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A 、右焦点为F ，B 为椭圆E 上在第二象限内的点，直线BO 交E 于点C ，若直线BF 平分线段AC ，则E 的离心率是________．解析：设AC 的中点为M ，连接OM ，FM ，则OM 为△ABC 的中位线，B ，F ，M 在一条线上，于是△OFM ∽△AFB ，所以|OF ||FA |＝12，即c a －c ＝12，解得e ＝c a ＝13.答案：1315.(2017·成都二诊)如图，抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 经过焦点F ，取线段OB 的中点D ，延长OA 至点C ，使|OA |＝|AC |，过点C ，D 作y 轴的垂线，垂足分别为点E ，G ，则|EG |的最小值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|EG |＝y 4－y 3＝12y 2－2y 1.因为AB 为抛物线y 2＝4x的焦点弦，所以y 1y 2＝－4，所以|EG |＝12y 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4y 2＝12y 2＋8y 2≥212y 2·8y 2＝4，当且仅当12y 2＝8y 2，即y 2＝4时取等号，所以|EG |的最小值为4.答案：416．(2017·石家庄质检)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过原点的直线l 交双曲线两支于M ，N 两点，且MF uuur ·NF uuu r＝0，△MNF 的面积为ab ，则该双曲线的离心率为________．解析：因为MF uuur ·NF uuu r ＝0，所以MF uuur ⊥NF uuu r.设双曲线的左焦点为F ′，则由双曲线的对称性知四边形F ′MFN 为矩形，则有|MF |＝|NF ′|，|MN |＝2c .不妨设点N 在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF ′|－|NF |＝2a ，所以|MF |－|NF |＝2a .因为S △MNF ＝12|MF |·|NF |＝ab ，所以|MF ||NF |＝2ab .在Rt △MNF 中，|MF |2＋|NF |2＝|MN |2，即(|MF |－|NF |)2＋2|MF ||NF |＝|MN |2，所以(2a )2＋2·2ab ＝(2c )2，把c 2＝a 2＋b 2代入，并整理，得b a＝1，所以e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝ 2.答案： 2 三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 过点(0，2)且与椭圆C 相切，求直线l 的方程．解：(1)由题意得，c ＝1，又椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－1，得a －c ＝2－1，联立解得a ＝2，则b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，显然直线l 必存在斜率，又直线过点(0，2)， ∴设所求直线l 的方程为：y ＝kx ＋2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，消去y ，整理得(2k 2＋1)x 2＋42kx ＋2＝0，要使直线l 与此椭圆相切，则Δ＝(42k )2－4(2k 2＋1)×2＝0，解得k 2＝12，即k ＝±22，∴所求直线方程为：y ＝22x ＋2或y ＝－22x ＋2，即直线l 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.18．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且y 1y 2＝－4.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知点P (－1，k )，且△PAB 的面积为63，求k 的值．解：(1)由已知得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0， ∴y 1y 2＝－p 2＝－4，从而p ＝2，抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知F (1,0)，直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，y 2＝4x消去x ，得ky 2－4y －4k ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.|AB |＝1＋1k2·16k2－4×－4＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2. 又P 到直线AB 的距离d ＝3|k |k 2＋1.故S △PAB ＝12×|AB |×d ＝61＋1k2＝6 3.解得k ＝±22. 19．设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆C 1上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，若C 点满足AB ―→⊥BC ―→，AD ―→∥OC ―→，连接AC 交DE 于点P ，求证：|PD |＝|PE |.解：(1)由e ＝32，知c a ＝32，所以c ＝32a .因为△MF 1F 2的周长是4＋23，所以2a ＋2c ＝4＋23，所以a ＝2，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 1的方程为：x 24＋y 2＝1.(2)证明：由(1)得A (－2,0)，B (2,0)，设D (x 0，y 0)，所以E (x 0,0)，因为AB ―→⊥BC ―→，所以可设C (2，y 1)，所以AD ―→＝(x 0＋2，y 0)，OC ―→＝(2，y 1)，由AD ―→∥OC ―→可得：(x 0＋2)y 1＝2y 0，即y 1＝2y 0x 0＋2. 所以直线AC 的方程为：y 2y 0x 0＋2＝x ＋24. 整理得：y ＝y 02x 0＋2(x ＋2)．又点P 在DE 上，将x ＝x 0代入直线AC 的方程可得：y ＝y 02，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 02，所以P 为DE 的中点，所以|PD |＝|PE |.20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，其离心率e ＝12，点M 为椭圆上的一个动点，△MAB 面积的最大值是2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过椭圆C 右顶点B 的直线l 与椭圆的另一个交点为D ，线段BD 的垂直平分线与y 轴交于点P ，当PB uu u r ·PD uuu r＝0时，求点P 的坐标．解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，12×2ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知B (2,0)，设直线BD 的方程为y ＝k (x －2)，D (x 1，y 1)，把y ＝k (x －2)代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，所以2＋x 1＝16k 23＋4k 2，解得x 1＝8k 2－63＋4k 2，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2，－12k 3＋4k 2，所以BD 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2，－6k 3＋4k 2，则直线BD 的垂直平分线方程为y －－6k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －8k 23＋4k 2，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2k 3＋4k 2. 又PB uu u r ·PD uuu r ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2k 3＋4k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2，－14k 3＋4k 2＝0，化简得64k 4＋28k 2－363＋4k 22＝0，即64k 4＋28k 2－36＝0，解得k ＝±34.故P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，27或⎝⎛⎭⎪⎫0，－27.。

2020届江苏高考数学(理)总复习讲义：直线与圆锥曲线

必过教材美直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax + By + C = 0(A,B 不同时为0)代入圆锥曲线 C 的方程F(x ，y) = 0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量 x(或变量y)的一元方程.］Ax + By + C = 0,即消去 y ,得 ax 2 + bx + c = 0.F x , y =0(1) 当0时，设一元二次方程 ax 2+ bx + c = 0的判别式为 △,贝V △>0?直线与圆锥曲线C 相交； △= 0?直线与圆锥曲线C 相切△V 0?直线与圆锥曲线 C 相离.(2) 当a = 0, b z 0时，即得到一个一次方程，则直线 I 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线I 与双曲线的渐近线的位置关系是平彳 —若C 为抛物线，则直线I 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.［小题体验］2 2 1 .若直线y = kx 与双曲线x — y = 1相交，贝V k 的取值范围是 ___________ . 9 42 2 2解析：双曲线x — y = 1的渐近线方程为y = ±3x ,若直线y = kx 与双曲线相交，数形结合得M - 3, 2 -答案：- 3,32 22•已知椭圆C : x 2+ y 2= 1(a > b >0), F( 2, 0)为其右焦点，过点 F 且垂直于x 轴的直a b 线与椭圆相交所得的弦长为 2，则椭圆C 的方程为解析：由题意得组=2,I aa 2=b 2+c 2,2 2 所以椭圆C 的方程为中+ y2 = 1.2 2 第九节直线与圆锥曲线a = 2,答案：*+14 223.经过椭圆X2 + y2= 1的一个焦点作倾斜角为45°勺直线l，交椭圆于A, B两点•设0为坐标原点，则—O A -0B等于 _________ .解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点（1,0）时，其方程为y—0= tan 45°x —1），即y2=x —1,代入椭圆方程号+ y2= 1并整理得3x2—4x= 0,解得x= 0或x= 4，所以两个交点坐标分别为（0, —1）, 3, 1，所以6X ―B = —3,同理，直线I经过椭圆的左焦点时，也可得—0? -OB = —1.故"O X CE B 的值为一3.答案：—1必过易错关1 .直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点.2 •直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点.［小题纠偏］1•过点（0,1）作直线，使它与抛物线y2= 4x仅有一个公共点，这样的直线有__________ 条.解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x= 0，过点（0,1）且平行于x轴的直线以及过点（0,1）且与抛物线相切的直线（非直线x= 0）.答案：3b 2 22 .直线V= b x + 3与双曲线x2—y2= 1的交点有个.a a b解析：因为直线V=b x + 3与双曲线的渐近线y=b x平行，a a所以它与双曲线只有1个交点.答案：1考点一直线与圆锥曲线的位置关系重点保分型考点一一师生共研［典例引领］x2V2J6 已知椭圆C：孑+ b2= 1（a> b>0）的两个焦点分别为F1（—2,0）, F2（2,0），离心率为亏.过点F 2的直线1(斜率不为0)与椭圆C 交于A , B 两点，线段 AB 的中点为D , O 为坐标原点, 直线OD 交椭圆于M , N 两点.(1)求椭圆C 的方程；⑵当四边形MF 1NF 2为矩形时，求直线l 的方程. c =2,解: (1)由题意可知 C =¥,解得a = ■_ 6, b = 2. a 3 a 2= b 2 + c 2,2 2故椭圆C 的方程为x +y =1. 6 2⑵由题意可知直线l 的斜率存在.设其方程为 y = k(x — 2),点 A(x i , y i ), B (x 2, y 2), M (x 3, y 3), N (—X 3,— y 3),-2 2舟管+, 1,由6 2y = k x — 2 —4ky1+ y2= k(x1 + x2- 4)=碍,因此直线 OD 的方程为x + 3ky = 0(k z 0).因为四边形 MF 4NF 2为矩形,即(x 3 — 2 , y 3) (•— X 3 — 2，— y 3)= 0 ,4— x 2 — y 3= 0.22 9k +14— l+F = a［由题悟法］1. 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x , y 的方程组，消去 y(或x)得元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标.得(1 + 3k 2)x 2— 12k 2x + 12k 2— 6= 0, 所以x 1 + x 2=212k 2 1 + 3k '所以AB 的中点D 的坐标为'6k 2 2 — 2k?、1 + 3k 2, 1 + 3k2 , x + 3ky = 0,由 x 2 y f+ = 1,6 2 ，解得 y3= 1+?, x3 = — 3% 所以所以解得 k =±(.故直线i 的方程为y = ±，(x — 2).(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数.2. 判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点第一：可以限定所给(1) 联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况.(2) 判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式△起着关键性的作用，参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根.［即时应用］(2019泰州中学高三学情调研)已知椭圆的离心率为扌，焦距为2,直线y= kx(x z 0)与椭圆C交于A, B两点，M为其右准线与x 轴的交点，直线AM , BM分别与椭圆C交于A i, B i两点，记直线A iB i的斜率为k i.(1) 求椭圆C的方程；(2) 是否存在常数入使得k i=入讪亘成立？若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由.2 2解：⑴设椭圆方程为a + *= i(a> b> 0),由椭圆的焦距2c= 2,得c= i.由椭圆的离心率e=許吩得 a = 2,则b2= a2-c2= i,2所以椭圆C的方程为；+ y2= i.(2)设A(x o, y o),贝y B(-x o, —y o), k=严，2y2= 2-x0,又右准线方程为x = 2,贝V M(2,0),x直线AM的方程为y=匚—2(x - 2),消去y,整理得[(x o- 2)2+ 2y2]x2- 8y0x + 8y o-2(x°- 2)2= 0,因为方程的两个根为x o, xA i,比8y 2― 2(x o― 2 f 4(2—x o —2fx o- 2f 4 —3x o所以xo xAi= x o —2 2+ 2y2 = x o-22+ 2丸=xo‘则xA i= 3― 2xo, yA i = ~^(xA i —2) = 3y2 ,3—2x o x o—2' 3—2x o即存在X=— 3，使得k i =入k 旦成立.考点二定点、定值问题重点保分型考点一一师生共研则A i i4 — 3x o y o ] 3 — 2x o 3 — 2x o ' 同理可得 4 + 3x o 3 + 2x ‘ y o — 3+2x o，贝U k i =— 6y o 2x o3k ,［典例引领］2 2 f (2017 全国卷 I )已知椭圆 C: a 2+ 治=1(a > b > 0),四点 P i (1,1), P 2(0, 1), P3 — 1, P",尹中恰有三点在椭圆 C 上. (1)求C 的方程； ⑵设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点•若直线 P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为一1,证明：I 过定点. 解：(1)由于P 3, P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆 C 经过P 3, P 4两点. 1113 又由孑+ b 2＞孑+ 4b 2知，椭圆C 不经过点P 1, 所以点P 2在椭圆C 上.2 故椭圆C 的方程为x +y = 1. 4 (2)证明：设直线 P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为 k 1, k 2. 如果I 与x 轴垂直，设l ：x = t,由题设知埒0，且|t| V 2,可得A, B 的坐标分别为 1从而可设 I : y = kx + m(m ^ 1).2将y = kx + m 代入x + y 2= 1得 4(4k 2+ 1)x 2+ 8kmx + 4m 2— 4 = 0. 由题设可知 △= 16(4k 2— m 2+ 1) > 0.设 A(X 1, y 1), B (X 2, y 2), 解得a 2=：， |b 2= 1. 则 k 1 + k 2 = 4 -12-2 2t 4- t 2+ 2 2t =—1,得t = 2，不符合题设. 因此x1+ x2=8km1’x1X2 =4m2— 44k2+ 1.k1 + k2 = y2 —1 X2kx1 + m —1 +kx2+ m—1 X1X2_ 2kx i X 2+ (m — 1 (X i + X 2)X 1X 2由题设k i + k ?= — 1,故(2k + 1)X i X 2+ (m — 1)(x i + X 2)= 0.2口 r, 4m — 4 — 8km即(2k + 1) 一+ (m — 1) 一2= 0. 4k 2+ 1 4k 2+ 1当且仅当 m >— 1 时，△>0，于是 I : y = — ^^X + m , 即卩 y + 1 = — m ^(X — 2),所以I 过定点(2, — 1).［由题悟法］定点、定值问题的求解策略(1) 定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量 X , y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于X , y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.(2) 定值问题的求解策略在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值.［即时应用］(2019徐州一模)已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆 C 的一个焦点F 在抛物线y 2= 4x 的准线上，且椭圆 C 过点P 1, 2，直线I 与椭圆C 交于A , B 两点.(1)求椭圆C 的方程；⑵若直线I 的斜率为1,且不过点P ,设直线PA , PB 的斜率分别为k 1, k 2,求证：心+ k 2为定值. 解：(1)抛物线/= 4x 的准线方程为x =— 1，由题意知F (— 1,0).2 2设椭圆C 的方程为勺+書=1(a >b >0).a b ' '［硏= 1, a 2 = 4,则由题意可得 1 9 解得2孑 + 4?= 1, 血=3.2 2故椭圆C 的方程为x + y = 1.解得k =—m + 1 24 3⑵证明：因为直线l 的斜率为2，且不过点P 1, 3 ,所以可设直线l 的方程为y = 2x + m(m ^ 1). 2 2 x +y = 1 4十3 ，联立方程组消去 y 得 x 2 + mx + m 2— 3 = 0.设 A(x i , y", B (X 2,『2), 2 2 △= m - 4m - 3 > 0, 故有 X 1+ X 2=- m , X 1X 2= m 2- 3.3 3y 1- 2 y 2- 2所以k 1 + k 2= 1十 1X 1— 1 X 2— 1 y1-3 (XL 1 j(x 2— 1 ) -1 十 y2-2 x1 2x 1 + m -- 1 十 =X 1- 1 X 2- 1 _ X 1X 2+ (m — 2 怪1十 X 2 — 2m + 3— X 1X 2 - X j + X 2 十 12m — 3+ m - 2 — m — 2m + 3= 2 = 0m — 3 — (— m 十 1，考点三最值、范围问题重点保分型考点一一师生共研［典例引领］(2018苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系2 2 圆C ： x 2+ y 2 = 1(a >b >0)的离心率为乎，且右焦点 a b 2xOy 中，已知椭离为6.2.(1)求椭圆C 的(2)设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于的垂线，交y 轴于点N. x 轴上方的点，直线 PA 交y 轴于点M ,过点F 作MF ①当直线 PA 的斜率为1时，求△ FMN 的外接圆的方程; ②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q 求厶AP Q 的面积的最大值.m— -12 2所以椭圆C 的方程为去+ y= 1.16 8 ⑵由题意可设直线 PA 的方程为y = k(x + 4), k >0,贝U M(0, 4k),所以P ，Q 关于原点对称，即 P Q 过原点.所以△ APQ 的面积 S =」OA (y p — W)= 2 X 16k 2^3^< 8 2,2 1 + 2k 12k +1所以△ AP Q 的面积的最大值为 8 2.［由题悟法］圆锥曲线中的最值问题解决方法(1)代数法：从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值.(2)几何法：从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值.［即时应用］2 2 1已知椭圆*= 1(a >b >0)的离心率为，且经过点P 1,c=t a 2， 2 解：(1)由题意得l c+ 2 = 6厲解得，a = 4,c= 2迄，贝b =蓉,所以k MF 0 — 4k2.2— 0 =— 2k , kFN1 2k ，所以直线FN 的方程为y「打 (x — 2 2)，贝V N 0, - k .①当直线 1 1PA 的斜率为 1，即 k = 1 时，M(0,2), N(0,-4), F(2 2，0)，因为MF 丄FN ，所以圆心为(0, - 1)，半径为3, 所以△ FMN 的外接圆的方程为 x 2+ (y + 1)2= 9.k x + 4 ,②联立 x 2 y 2消去 y ,整理得(1 + 2k 2)x 2 + 16k 2x + 32k 2- 16 = 0,+ ^-= 1 16 84 — 8k解得x1=-4或X2= 1+尿，所以p4- 8k 2 1+ 2k 2, 8k1 + 2k 2，1 又直线AN 的方程为y =—以債+ 4), 同理可得，Q —4 8k ,2k 2,—1 + 2k2 ,3，过它的两个焦点 F 1,当且仅当2k =；,即k =a ”=6—F 2分别作直线11与12, l l 交椭圆于A , B 两点，12交椭圆于C , D 两点，且1l 丄12.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 求四边形ABCD 的面积S 的取值范围. 解：⑴由C = £ 得 a = 2c ,所以 a 2= 4c 2, b 2= 3c 2,a 2 将点P 1, 2的坐标代入椭圆方程得 c 2 = 1, 2 2 故所求椭圆方程为x + y= 1.4 3(2)若11与12中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为 0，此时四边形的面积为 S = 6.1若11与12的斜率都存在，设11的斜率为k ，则12的斜率为—7.k 不妨设直线11的方程为y = k(x + 1), 设 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), y= k (x +1, x 2 y 2-+3 = 1消去 y 整理得，(4k 2+ 3)x 2+ 8k 2x + 4k 2— 12 = 0,△= 64k 4— 4(3 + 4k 2)(4k 2— 12) = 144 k 2+ 144> 0, 8 k 2 4 k ? — 12仃 L 【、II O tv -re所以 x 1 + x 2=—彳［2 丄 3 , x 1 X 2= 2丄 3 ,4k 十3 4k 十3所以凶一X 2|= X 1 + X 22 — 4x 1x 2=：胃鳥1,. 2 2所以 S = 2AB CD = 4岸 3 樣 + 4 , 令 k 2= t € (0, + g ), 所以 S =72 1 +12(4t + 3 )(3t + 4 )6 12t 2+ 25t + 12 — 6t = 12t 2+ 25t + 126 12t + ¥+ 25联立$ 所以 AB =1 + k 2x i — X 2|=212 k + 1 4k 2 + 3 ,同理可得一保高考，全练题型做到高考达标2 21. (2019徐州第一中学检测)若双曲线X9 — 丁 =1与直线y = kx — 1有且仅有一个公共点,则这样的直线有 ________ 条.2 2解析：把直线y = kx — 1代入双曲线x— \ = 1中，消去 y ,得(4 — 9k 2)x 2 + 18kx — 45= 0,当4— 9k 2= 0，即k = ±3时，直线与双曲线相交，有一个交点；当4— 9k 2工0，即k 工±3时，令 △= 0,得182k 2+ 4(4 — 9k 2)x 45= 0，解得k = ±7，此时直线与双曲线相切，有一个交点.3 综上，k 的值有4个，即这样的直线有 4条. 答案：42 22•已知椭圆C : +才=1的左、右顶点分别为 M , N ，点P 在C 上，且直线PN 的斜率是—1，则直线PM 的斜率为 ___________ .42 2解析：设P(X 0,y °),则x 0+ y 0= 1,直线PM 的斜率k pM = 一咒，直线PN 的斜率k pN = 匕,4 3 X 0 十 2 X 0 — 2 可得 k pM k PN = 2,0 ’ =— 3，故 k pM = — 3 • 1 = 3.X 0— 44 4 k PN答案：33 .已知抛物线y 2= 2px 的焦点F 与椭圆16x 2 + 25, = 400的左焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ,点A 在抛物线上且 AK = Q2AF ，则点A 的横坐标为 ______________________ .2 2解析：16x 2+ 25y 2= 400 可化为 x + y= 1,1故直线I 的方程为y — 2= — ^(x — 4), 即 x + 2y — 8= 0. 答案：x + 2y — 8= 0> 6- A = 28849 49 所以S €器6 .综上可知，四边形 ACBD 面积的取值范围是 czi0 □1=125 16则椭圆的左焦点为F(—3,0),又抛物线y2= 2px的焦点为p, 0，准线为x =—p, 所以p=—3, 即卩p=—6,即y2= —12x, K(3,0).设 A(x , y),则由 AK = 2AF 得 (x — 3)2 +2[(x + 3)2 + y 2]，即 x 2+ 18x + 9+ — 0,又 y 2=— 12x ，所以 x 2+ 6x + 9= 0,解得 x =— 3. 答案：—3x 2 y 224. (2019江都中学检测)已知双曲线孑一詁=1(a >0, b >0)的两条渐近线与抛物线y =2px(p >0)的准线分别交于 A , B 两点，若双曲线的离心率为 2, O 为坐标原点，△ AOB 的面积为弓3 1，贝y p= ______________ .22b解析：•••双曲线字—存=1的渐近线方程是y = ±^x ,抛物线y 2= 2px(p >0)的准线方程是x = — p ,A ,B 两点的纵坐标分别是 y = ±f ,•••双曲线的离心率为 2,2 2 2• 2= C —2— = e 2— 1= 3,贝H b = 3, a a a ••• A , B 两点的纵坐标分别是尸詈=甲, 又厶AOB 的面积为于, ••• 2X 3p x p =33,解得 P =竽. 又论 + X 2= 8,知 + y 2= 4, 所以也二也=—1,X 1 — X 2 22 25.已知(4,2)是直线l 被椭圆訂+ f = 1所截得的线段的中点，则I 的方程是解析：设直线l 与椭圆相交于A(X 1, y 1), B(X 2, y 2). 两式相减并化简得嵌X j + x 2 4(y 1 + y 2 j16. (2018海门中学检测)如图，过抛物线 y = ”x 4 5的焦点F 的直线I 与抛物线和圆x 2 + (y4答案：18.已知直线l 过抛物线C ： y 2= 2px(p >0)的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，直线 l 与抛物线C 交于A , B 两点，且AB = 12,若M 为抛物线C 的准线上一点，则△ ABM 的面积为 .解析：由题意知，抛物线 C 的焦点坐标为 p 0 ,对称轴为x 轴，准线为x =—:.因为直线l 与x 轴垂直，所以 AB = 2p = 12, p = 6,又点M 在抛物线C 的准线上，所以点M 到直1线AB 的距离为 6，所以△ ABM 的面积 S =6X 12= 36.解得 x = ±2,则 A( — 2,1), D(2,1),2 -1)2= 1 交于 A , B ,解析：不妨设直线因为 B( — 1,1), C(1,1),所以刁B = (1,0), 1DC = (— 1,0),所以瓦B Bc =— 1.答案：—12 27. (2019宁海中学调研)已知椭圆/+洽=1(a > b > 0)，点A , B 1, B 2, F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 AB ?与直线B 1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为 _________ .解析：根据题意得，直线 AB 2的方程为：y =b x + b ,aA直线B 1F 的方程为：y = b x — b ,c 联立两直线方程解得 x = 2ac . a — c化简得 2c 2 + ac — a 2= 0, 即 2e 2+ e — 1 = 0,1又0v e v 1,解得e = 2又由题意可得 2ac =a — c答案：369. (2018镇江期末)已知椭圆 C : X 2+古=1(a > b > 0)的离心率为，且点一.3, 2在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；⑵若直线l 交椭圆C 于P , Q 两点，线段P Q 的中点为H , O 为坐标原点，且 OH = 1, 求厶PO Q面积的最大值.2所以椭圆C 的方程为专+ y 2= 1.⑵设 I 与 x 轴的交点为 D(n,0),直线 l ： x = my + n , P(X 1, y", Q (X 2, y 2),x = my + n , 联立 x 2 2消去 x ，整理得(4 + m 2)y 2+ 2mny + n 2— 4= 0,4+y =1… 1 1则 SA PO Q = ^OD|y 1 — y 2= 2|n||y 1 — y 2|.令 T = n (y 1 — y ?) = n [(y i + y 2) — 4y i y 2]=24 + m _______ t16+ m 2 2=t 2+ 24t + 144当且仅当t = 学，即t = 12时，S A PO Q = 1, 所以△ PO Q 面积的最大值为 1. X 2 210.如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆 C : 4 + y = 1的解：(1)由已知得c =」a 2，a +4b 2=1，解得〜a 2= 4,b 2= 1,所以 y 1 + y 2= —2mn4 + m 2, 4 + m 2,192 4+ m 22 2 ,设 t = 4+ m 2(t > 4),则 y 1y 2= my + y 2 片 2n = 4n2 = 4 + m 2, 由OH=“，得n2=辭宁,w2t + 学 + 241 48’左顶点A作直线I，与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P, Q(1)若AP = PQ,求直线I的斜率;(2)过原点O 作直线I 的平行线，与椭圆 C 交于点M , N ，求证：为定值.解：⑴依题意，椭圆C 的左顶点A(— 2,0),2 216k — 4 "吊2 — 8k则—2 x p = ■ 2 . 1，从而 X p =2. 4k 十 1 1 + 4k因为AP = P Q,所以x p =— 1. 22— 8k 2 所以石页2=— 1,解得k =设直线I 的斜率为k(k >0)，点P 的横坐标为X p ,则直线I 的方程为 y = k(x + 2).y =k x +2, 联立名y-1,得(4k 2+ 1)x 2+ 16k 2x + 16k 2— 4 = 0,(2)证明：设点N 的横坐标为 X N .结合⑴知，直线MN 的方程为 y = kx.y = kx , 联立X 22xr + y 2=1，得x N =4 1 + 4k 2.2 —8k 21 + 4k 2+ 21 4—=1(定值). 4 X 1 + 4 k 2上台阶，自主选做志在冲刺名校1. (2019苏州调研)如图, 2 2 x 2+ ]=1(a > b > 0)的离心率为在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C :-2，椭圆上的动点p 到一个焦点的距离的最小值为3( 2 — 1).(1)求椭圆C 的(2)已知过点M(0,— 1)的动直线I 与椭圆C 交于A , B 两点，试判断以线段 AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由.从而APN^MN2 2⑵当直线i 的斜率为0时，对于18+£+1,令y =— i ,得x = ±4, 此时以线段 AB 为直径的圆的方程为x 2 + (y + 1)2+ 16.当直线I 的斜率不存在时，以线段 AB 为直径的圆的方程为 x 2+ y 2= 9.x = 0,解得 <即两圆的交点为(0,3),记T(0,3).l.y = 3,猜想以线段 AB 为直径的圆恒过定点 T(0,3).当直线I 的斜率存在且不为 0时，设直线l 的方程为y = kx — 1(k z 0), A(X i , y ,), B (X 2,y = kx — i , 由 X 2 y 2 “得(1 + 2^)X — 4kx — 16+ 0,ii +y T 1,)4k16所以△=(-4k) + 64(1 +2k) = 144k+ 64>0, Xi + X2= 7+k , X1X2+-i+?・因为 TA TB — = (x i , y i — 3) (X 2, y 2 — 3) = X i x 2 + y i y 2 — 3(y i + y 2)+ 9 = x i X 2 + (kx i — 1)(kx 22 — 16(k 2+ 1)i6k 2—1)— 3(kx1 —1+ kx 2 — 6 7 8 + 9 = (k +1)xi X 2 —4k(x1 + x2) + 16 =2- —2 + 16 =1 + 2k2 + 16= 0,所以TA 丄TB ，故以线段 AB 为直径的圆过点 T(0,3).综上，以线段 AB 为直径的圆恒过定点(0,3). 2. (2019盐城模拟)如图，已知F i , F 2分别是椭圆 > b >0)的左、右焦点，点P(— 2,3)是椭圆C 上一点，且7 求椭圆C 的方程；2 2 28 设圆 M : (x — m) + y = r (r >0).- --------------------------------------- > --- > ---- > --- >①设圆 M 与线段PF 2交于 A , B 两点，若MA + MB = MP + MF 2,且AB = 2,求r 的值; ②设m = — 2，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于G , H 两点(均异于点P).试问：是否存在这样的正数 r ,使得G , H 两点恰好关于坐标原点 O 对称？若存在，求出 r 的值；若不存在，请说明理由.解：⑴因为点P( — 2,3)是椭圆C 上一点，且 PF ,丄x 轴, 所以椭圆的半焦距 c = 2,22.2.22由与+ b = 1,得 y = b ，所以一 = ------- =3, a b a a a联立 x 2+y +12=16, X 2+ y 2+ 9,y 2).1 + 2k 1 + 2k —16 1 +2 k2化简得a2—3a—4= 0，解得a= 4，所以b2= 12,2 2所以椭圆C的方程为,6+占=i.C:PF2 2故存在满足条件的正数 r ，且r = 罗.._ --- > ---- > --- > --- > ⑵①因为 MA + MB = MP + MF 2,-- > --- > --- > --- > ------ > --- > 所以 MA — MP = MF 2— MB ，即 PA = BF 2. 所以线段PF 2与线段AB 的中点重合(记为点QQ, 由⑴知Q 0, 2 .因为圆M 与线段PF ?交于A , B 两点，所以 k "Q k AB = k )M Q kPF 2= — 1,=—1,解得 m =—98,所以 M Q ==彊又 AB = 2，所以 r =普 2+ 12= 17.②假设存在正数r 满足题意. 由G , H 两点恰好关于原点对称，设G(X o , y o ),贝y H( — x o ,— y °),不妨设x o < 0.因为P(— 2,3), m =— 2,所以两条切线的斜率均存在，设过点P 与圆M 相切的直线的斜率为 k ,则切线方程为 y — 3 = k(x + 2)，即 kx — y + 2k + 3= 0, 由该直线与圆 M 相切，得 r = _^=2,1卩k = 土、I 2 , ^1 + k 2 V r 所以两条切线的斜率互为相反数，即k pG =— k pH ,V 0 — 3 — y ° — 3— 6所以 ,2=— —x , 2，化简得 x o y o =— 6, 即卩 y o =, x o 十 2 — X o 十 2 *x o2 2代入x 十12 = 1,化简得x — 16x 2 + 48= o , 解得x °=— 2(舍去)或x °=— 2 3, y 0= 3,G(— 2 3, -3), H(2 3,— 3),所以所以所以k PG =—123 3 记所以r=1 十232 6打7故存在满足条件的正数r，且r = 罗.板块命题点专练(十三)圆锥曲线学习曲匕、阶H 卵上能力彌，期伸古.高考真理第中研究一命题规律，验自身能力命题点一椭圆X 2----- >-- >1.(2018浙江高考)已知点P(0,1),椭圆—+ 卜m(m > 1)上两点A , B 满足AP = 2 PB ,则当m = _________ 时，点B 横坐标的绝对值最大.-- > ---- >解析：设 A(x i , y i ), B(x 2, Y 2),由 AP = 2PB ,-X i = 2X 2, 得即 X 1=- 2x 2, y 1= 3— 2y2.1 - y i =2 y 2— 1,2管 +(3 - 2y2)= m ,因为点A , B 在椭圆上，所以2I X2 24 + y 2= m ,解得 y 2= 4m + 4,所以 X2= m - (3 — 2y 2)2=- ^m 2 + ；m - 9 所以当m = 5时，点B 横坐标的绝对值最大. 答案：5y 2h”=1(a > h > 0)的右焦点，直线 y =云与椭圆交于 =90°则该椭圆的离心率是b.------------------------------ > -- >因为/ BFC = 90° 所以 BF -CF = 0, 所以(+ 留；(一乎a )+ (- b )= 0, 即 c 2- 3a 2 + ^h 2= 0,4a 4h 将h 2 = a 2-c 2代入并化简，得a 2= 3c 2,2. (2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系新―5)2 + 4W 4,解析：将y =；代入椭圆的标准方程,得?+器1h 2所以x =，故 B -_23a , b ，C，-- >又因为F(c,0)，所以BF =-h , "Ci?= ,2 '所以e 2= c 2= 2，所以e =¥(负值舍去).a 3 3 答案：」33. (2017江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2y 2 1E :孑+ b 2= 1(a > b > 0)的左、右焦点分别为F i , F 2,离心率为2，两准线之间的距离为 8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F i 作直线PF i 的垂线l i ,过点F 2作直线PF 2的垂线12.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 若直线1i , 12的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标. 解：(i)设椭圆的半焦距为 c.因为椭圆E 的离心率为2,两准线之间的距离为 8,2c i 2a o所以8,a 2 c解得 a = 2, c = i ,于是 b = j a 2— c 2=,2 2因此椭圆E 的标准方程是7 + y = i.4 3 ⑵由(i)知，F i (— i,0), F 2(i,0). 设p(x 0, y °),因为P 为第一象限的点，故 X 0>0, y °> 0.当X 0= i 时，I 2与l i 相交于F i ，与题设不符.当i 时，直线PF i 的斜率为詰，直线PF 2的斜率为X —因为l i 丄PF i , l 2± PF 2，所以直线l i 的斜率为一心，直线l 2的斜率为一3 ,y 0 y 0从而直线l i 的方程为X 0+ iy=—H （x + i ）,即 X 0 — y （）= i 或 x 0+ y （）= i.直线l 2的方程为y = 由①②，解得 x =— X 0, X 0 — i ■0yr （x — i ）.X o— iy = y 0所以Q — X 。

2020年高考数学(理科)高频易错考点大解密专题：直线与圆锥曲线的位置关系(全国版含解析)

x2 4y2 4
【解析】(1)联立直线与椭圆的方程，得

y

x

m
，即
￀
由于直线与椭圆有一个公共点，则 = ￀
=,
所以 =± .
(2)设 ( , )， ( ， )，
由(1)知：
x1

x2

8m 5
，x1
x2

4m2 4 5
，
=，
则|PQ|=
1
k2
|
x1

x2
|
42 5
5 m2 =2.
（2）过点 M
3, 0 作斜率为
1 2
的直线 l 与椭圆相交于
A，B
两点，求
AB
．
【解析】（1）椭圆 C 的焦点在 x 轴上，两个焦点与上顶点组成一个正三角形，且右焦点到右顶点的距离为 1，
可得：
a a

2c c
1

a c
2 1

b

3．
故椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 ； 43
设| BN | a ，则| AM | 2a ，
又| PF | 4 ，所以 | CQ | 8 a ，
又| PF | | AM | 2 | CQ | ，即 4 2a 2(8 a) ，解得 a 3 .
uuur 所以 | AF | 2 3 6 .
调研 4 已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F，过点 F 分别作两条直线 l1, l2 ，直线 l1 与抛物线 C 交于 A, B 两
解密专题：直线与圆锥曲线的位置关系
高考考点
命题分析
三年高考探源

2020届高考数学(理)解析几何高频考点08直线与圆锥曲线的位置关系(含解析)

c2 a2
2
，则椭圆的离心率
3
ec 2 a3
【答案】 A
6
，故选 A.
3
4.【 2017 年高考全国 Ⅱ卷文数】过抛物线 C : y2 4 x 的焦点 F ，且斜率为 3 的直线交 C 于点 M （ M 在
x 的轴上方）， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN l ，则 M 到直线 NF 的距离为（
3 c, y2
2
9 c .因为点 P 在 x 轴上方，所以 14
P
3 c, c
2
.
由圆心 C 在直线 x 4 上，可设 C (4, t) .
因为 OC∥AP ，且由（ 1）知 A( 2 c, 0) ，故 t
3
c 2
，解得 t
2.
4 c 2c
因为圆 C 与 x 轴相切，所以圆的半径长为 2，
3
(4 c) 2
.
【解析】因为直线 x y 2 0 分别与 x 轴，y 轴交于 A, B 两点，所以 A 2，0 , B 0， 2 , 则 AB =2 2 ，
2
因为点 P 在圆 x 2
y2=2 上，所以圆心为（ 2，0），则圆心到直线距离
d1
202 2
2 2 ，故点 P
到直线 x y 2 0 的距离 d 2 的范围为
u
1
．所以
PQ
PG ，即 △ PQG 是直角三角形．
k
（ ii ）由（ i）得 | PQ |
2u 1
k 2 ， | PG |
2uk
k 2 1 ，所以 △PQG 的面积 2
2k
1
S
1
8k (1 k 2)
| PQ‖PG | 2

2020高考数学大二轮专题突破文科通用直线与圆圆锥曲线精选试题及答案解析(10页)

2020高考数学大二轮专题突破文科通用直线与圆圆锥曲线精选试题1.(节选)已知圆M:x2+y2=r2(r>0)与直线l1:x-y+4=0相切,设点A为圆上一动点,AB⊥x轴于B,且动点N满足=2,设动点N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)略.2.(2019甘肃武威第十八中学高三上学期期末考试)已知圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.(1)求证:圆C1和圆C2相交;(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.3.已知圆O:x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.4.(2019全国卷1,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.5.(2019天津河北区高三二模)已知椭圆C:=1(a>b>0)过点P(2,1),且短轴长为2.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P作x轴的垂线l,设点A为第四象限内一点且在椭圆C上(点A不在直线l上),点A关于l的对称点为A',直线A'P与椭圆C交于另一点B.设O为坐标原点,判断直线AB与直线OP的位置关系,并说明理由.6.(2019天津第一中学高三下学期第五次月考)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,F2的坐标满足圆Q方程(x-)2+(y-1)2=1,且圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a.(1)求椭圆C1的方程;(2)过点P(0,1)的直线l1:y=kx+1交椭圆C1于A,B两点,过P与l1垂直的直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD中点,若△MAB的面积为,求k的值.参考答案专题突破练24直线与圆及圆锥曲线1.解(1)设动点N(x,y),A(x0,y0),因为AB⊥x轴于B,所以B(x0,0).已知圆M的方程为x2+y2=r2,由题意得r==2,所以圆M的方程为x2+y2=4.由题意,=2,所以(0,-y0)=2(x0-x,-y),即将A(x,2y)代入圆M:x2+y2=4,得动点N的轨迹方程为+y2=1.(2)略.2.(1)证明圆C1的圆心C1(1,3),半径r1=,圆C2的圆心C2(5,6),半径r2=4, 两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,所以|r1-r2|<d<r1+r2.所以圆C1和C2相交.(2)解将圆C1和圆C2的方程相减,得4x+3y-23=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.因为圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离为d==3,故两圆的公共弦长为2-=2.3.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,故|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中a=2,c=,b=1,则曲线Γ的方程为+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则.设B(x0,y0),则x0(x0-)+=0.又=1,解得x0=,y0=±.则k OB=±,k AB=∓,则直线AB的方程为y=±(x-),即x-y-=0或x+y-=0.4.解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=--.从而--,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.5.解(1)由题意得解得∴椭圆C的方程为=1.(2)直线AB与直线OP平行,证明如下:由题意知,直线PA的斜率存在且不为零.PA,PA'关于l:x=2对称,则直线PA与PA'斜率互为相反数.设直线PA:y-1=k(x-2),PB:y-1=-k(x-2).设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y得(4k2+1)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-4=0, -∴2x1=--.∴x1=--.同理,x2=-.∴x1-x2=-.∵y1=k(x1-2)+1,y2=-k(x2-2)+1,∴y1-y2=k(x1+x2)-4k=-.∵A在第四象限,∴k≠0 且A不在直线OP上,∴k AB=-.-又k OP=,∴k AB=k OP.故直线AB与直线OP平行.6.解(1)因为F2的坐标满足圆Q方程(x-)2+(y-1)2=1,故当y=0时,x=,即F2(,0),故c=.因为圆心Q满足|QF1|+|QF2|=2a,所以点Q(在椭圆上,故有=1.联立方程组解得所以椭圆方程为=1.(2)因为直线l2交圆Q于C,D两点,M为线段CD的中点,所以QM与直线l2垂直.又因为直线l1与直线l2垂直,所以QM与直线l1平行.所以点M到直线AB的距离即为点Q到直线AB的距离.即点M到直线AB的距离为d=.设点A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组解得(1+2k2)x2+4kx-2=0,Δ=b2-4ac=16k2+8(2k2+1)=32k2+8>0,由韦达定理可得--则|x1-x2|=----.所以AB=|x1-x2|=.所以△MAB的面积为.所以.即·|k|=,两边同时平方,化简得,28k4-47k2-18=0,解得k2=2或k2=-(舍).故k=±.此时l2:y=±x+1.圆心Q到l2的距离h=-<1成立.综上所述,k=±.。

高考数学考点专题：解析几何：直线与圆锥曲线的综合问题

直线与圆锥曲线的综合问题【考点梳理】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0.消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.【教材改编】1. (选修2－1 P 81B 组T 2改编)如图A 、B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个顶点，F 2为右焦点，P 是C 上一点，PF 2⊥x 轴，且存在实数λ，使AB→＝λOP →.(1)求C 的离心率与λ的值；(2)若S △OAB ＝2，Q 是C 上一点，求△QAB 的面积的最大值．[解析] (1)依题意AB ∥OP ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，A (－a,0)，B (0，b )，AB →＝(a ，b )，OP →＝(c ，b 2a )．而AB→∥OP →，∴b 2＝bc ，∴b ＝c ， ∴e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c2＝12，∴e ＝22，显然△AOB ∽△OF 2P ，∴|AB ||OP |＝λ＝|OA ||OF 2|＝ac ＝2，∴λ＝ 2.(2)由(1)可知S △AOB ＝12ab ＝22b 2＝2， ∴b ＝2，∴a ＝2，∴|AB |＝6， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1，法一：若△QAB 面积最大，则Q 到AB 的距离最大，又k AB ＝22，∴设直线l ：y ＝22x ＋m ，当直线l 与椭圆相切时，切点即为所求的Q .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x ＋m x 24＋y 22＝1⇒x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，∴Δ＝2m 2－4(m 2－2)＝0，∴m 2＝4， ∴m ＝2(舍)或m ＝－2，即l ：y ＝22x －2，A 点到l 的距离d ＝2＋212＋1＝26＋233，∴(S △QAB )max ＝12|AB |·d ＝12×6×26＋233＝2＋ 2.法二：(三角换元)设椭圆上的点Q (2cos θ， 2sin θ)，∵l AB ：y ＝22x ＋2，∴Q 到l AB 的距离d ＝|2cos θ－2sin θ＋2|32，∴d ＝|2cos (θ＋π4)＋2|32≤26＋233，∴S △QAB ＝12|AB |d ≤12×6×26＋233＝2＋ 2.即(S △QAB )max ＝2＋ 2.2. (选修2－1 P 49A 组T 7改编)已知圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，A (1,0)，P 是圆C 上的动点，P A 的垂直平分线交直线CP 于点Q ，(1)求点Q 的轨迹方程；(2)当△QAC 为直角三角形时，求△P AC 的面积． [解析] (1)圆C 的圆心C (－1,0)，半径R ＝4，设动点Q (x ，y )， ∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上， ∴|QA |＝|QP |，又P 点在⊙C 上， ∴|CP |＝R ＝4，∴|QC |＋|QA |＝|CP |＝4，此时|AC |＝2<4.∴点Q 的轨迹是以A 、C 为焦点，长轴长为4的椭圆．这时c ＝1，a ＝2，b ＝3，点Q 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设椭圆的上顶点B (0，3)，则|AB |＝|BC |＝|AC |＝2，∴△ABC 为正三角形，∴∠ABC ＝60°. 又∠AQC ≤∠ABC ＝60°， ∴∠AQC 不可能为直角．若∠QAC ＝90°，即AQ ⊥x 轴，则|AQ |＝32，|CQ |＝52.作PH ⊥x 轴垂足为H (图略)，则PH 为△P AC 中AC 边上的高．由|CQ ||CP |＝|AQ ||PH |，得|PH |＝|AQ |·|CP ||CQ |＝32×452＝125，∴S △P AC ＝12|AC |·|PH |＝12×2×125＝125，同理当∠QCA ＝90°时，S △P AC ＝125.故当△QAC 为直角三角形时，△P AC 的面积为125.3．(选修2－1 P 41例3改编)设M 是焦距为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，A ，B 是其左、右顶点，直线MA 与MB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝－12.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上点N (x 0，y 0)处切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.若P 是直线x ＝2上任意一点，从P 向椭圆E 作切线，切点分别为C ，D ，求证直线CD 恒过定点，并求出该定点坐标．[解析] (1)由题意，2c ＝2，c ＝1，A (－a,0)，B (a,0)，设M (x ，y )，∵k 1k 2＝－12，∴y x ＋a ·y x －a＝－12，即y 2x 2－a2＝－12. ∵M (x ，y )在椭圆E 上，∴x 2a 2＋y 2b 2＝1.∴b 2(1－x 2a 2)x 2－a 2＝－12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2. 又a 2－b 2＝c 2＝1，∴a 2＝2，b 2＝1. ∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设切点坐标为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (2，t )，则切线方程分别为x 1x 2＋y 1y ＝1，x 2x2＋y 2y ＝1.∵两切线均过点P ，∴2x 12＋ty 1＝1，2x 22＋ty 2＝1，即x 1＋ty 1＝1，x 2＋ty 2＝1， ∴直线CD 的方程为x ＋ty ＝1.对于任意实数t ，点(1,0)都适合这个方程，即直线CD 恒过定点(1,0)．。

新高考核心考点与题型圆锥曲线第4讲直线与圆锥曲线相交 - 解析

第4讲直线与圆锥曲线相交基础知识：（一）直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，下面以直线y kx m =+和椭圆：()222210x y a b a b+=>>为例（1）联立直线与椭圆方程：222222y kx mb x a y a b=+⎧⎨+=⎩ （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：()222222b x a kx m a b ++=，整理可得：()22222222220a kb x a kxm a m a b +++-=（3）通过计算判别式∆的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与椭圆相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与椭圆相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交（二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定以直线y kx m =+和椭圆：()222210x y a b a b-=>>为例：（1）联立直线与双曲线方程：222222y kx mb x a y a b=+⎧⎨-=⎩，消元代入后可得： ()()22222222220ba k x a kxm a m ab ---+=（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2220a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为222b a k -，有可能为零。

所以要分情况进行讨论当2220bb a k k a-=⇒=±且0m ≠时，方程变为一次方程，有一个根。

20届高考数学(理)二轮解析几何

解析几何1.直线方程的五种形式(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线).(2)斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线). (3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线).(4)截距式：x a ＋y b＝1(a ，b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线).(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0). 2.直线的两种位置关系当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率都存在时： (1)两直线平行：l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (2)两直线垂直：l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.提醒当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.3.三种距离公式(1)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，两点间的距离 |AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点到直线的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)).(3)两平行线间的距离d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By＋C 2＝0(A 2＋B 2≠0)).提醒应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等. 4.圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0). 5.直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离. 判断方法：代数判断法与几何判断法.(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含. 判断方法：代数判断法与几何判断法. 6.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2(0<e <1)e ＝c a＝1＋b 2a2(e >1)e ＝1准线 x ＝－p 2渐近线y ＝±b ax7.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断. 弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|.8.解决范围、最值问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解. (2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解. (3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域. 9.定点问题的思路(1)动直线l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ,0).(2)动曲线C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点. 10.求解定值问题的两大途径(1)由特例得出一个值此值一般就是定值→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数某些变量无关(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值. 11.解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论.1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错.2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa＋ya＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等.3.讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.4.在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合.5.求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C1－C2|A2＋B2，导致错解.6.在圆的标准方程中，误把r2当成r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件.7.易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解.8.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支.9.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误.10.已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解.11.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行.。

2020年高考数学(理)总复习：直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质(解析版)

2020年高考数学（理）总复习：直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质题型一直线与圆、圆与圆的位置关系【题型要点】(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理．【例1】直线l ：kx ＋y ＋4＝0()k ∈R 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A ()0，k 作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为( )A.22B. 2C. 6D ．2 6【解析】由l ：kx ＋y ＋4＝0()k ∈R 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴知，直线l 必过圆心()－2，2，因此k ＝3.则过点A ()0，k ，斜率为1的直线m 的方程为y ＝x ＋3，圆心到直线的距离d ＝||－2－2＋32＝22，所以弦长等于2r 2－d 2＝2 2－12＝6，故选C.【答案】 C【例2】．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．【解析】由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5，又A 、B 关于OO 1对称，所以AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍，∴|AB |＝2×5×255＝4. 【答案】 4【例3】．过动点M 作圆()x －22＋()y －22＝1的切线MN ，其中N 为切点，若||MN ＝||MO (O 为坐标原点)，则||MN 的最小值是____________．【解析】由圆的方程可得圆心C 的坐标为(2,2)，半径为1. 由M (a ，b )，可得|MN |2＝(a －2)2＋(b －2)2－12 ＝a 2＋b 2－4a －4b ＋7，|MO |2＝a 2＋b 2.由|MN |＝|MO |，得a 2＋b 2－4a －4b ＋7＝a 2＋b 2，整理得4a ＋4b －7＝0. ∴a ，b 满足的关系式为4a ＋4b －7＝0. 求|MN |的最小值，就是求|MO |的最小值．在直线4a ＋4b －7＝0上取一点到原点距离最小，由“垂线段最短”得直线OM 垂直于直线4a ＋4b －7＝0，由点到直线的距离公式，得MN 的最小值为||742＋42＝728. 【答案】 728题组训练一直线与圆、圆与圆的位置关系1．已知直线l ：mx ＋y －2m －1＝0，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m ＝________【解析】由C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0得(x －1)2＋(y －2)2＝5，∴圆心坐标是C (1,2)，半径是5，∵直线l ：mx ＋y －2m －1＝0过定点P (2,1)，且在圆内，∴当l ⊥PC 时，直线l 被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长最短，∴－m ·2－11－2＝－1，∴m ＝－1.【答案】－12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x ＋2)2＋(y －m )2＝3.若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且AB ＝2GO ，则实数m 的取值范围是______________．【解析】由于圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且AB ＝2GO ，所以OA ⊥OB ，如图，过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B ，D ，圆上要存在满足题意的点A ，只需∠BOD ≥90°，即∠COB ≥45°，连接CB ，∵CB ⊥OB ，由于C (－2，m )，|CO |＝m 2＋4，|CB |＝3，由sin ∠COB ＝|CB ||CO |＝3m 2＋4≥sin 45°＝22，解得－2≤m ≤ 2. 【答案】 [－2，2]3．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．【解析】当AB 垂直于直线CM 时，∠ACB 最小(小边对小角原理，此时弦最短，故角最小)，设直线l 的斜率为k ，则k ×4－23－1＝－1，得k ＝－1，又直线l 过M (1,2)，所以y －2＝－(x －1)，整理得x ＋y －3＝0，故直线l 的方程为x ＋y －3＝0.【答案】 x ＋y －3＝0题型二圆锥曲线的定义与方程【题型要点】(1)圆锥曲线定义的应用①已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解． ②应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解．(2)圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．①定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． ②计算．即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．【例4】已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)【解析】若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n >0，3m 2－n >0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n >0，3－n >0，∴－1<n <3. 若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧n －3m 2>0，－m 2－n >0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．【答案】 A【例5】．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1【解析】 ∵x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2，①又双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba ＝1，即a ＝2b ，②由①②得a ＝25，b ＝5，∴双曲线的方程为x 220－y 25＝1，故选A.【答案】 A【例6】．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x【解析】如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中， ∵||AE ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，∴2||AE ＝||AC ，即3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3.∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.【答案】 C题组训练二圆锥曲线的定义与方程1．经过点(2,1)，且渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切的双曲线的标准方程为( ) A.x 2113－y 211＝1 B.x 22－y 2＝1C.y 2113－x 211＝1 D.y 211－x 2113＝1 【解析】设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由题意知|－2|k 2＋1＝1，解得k ＝±3，则双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎨⎧22a 2－12b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝113，b 2＝11，【答案】 A2．设F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|PF 1→＋PF 2→|＝23，则∠F 1PF 2等于( )A.π6B.π4 C.π3D.π2【解析】设∠F 1PF 2＝θ，根据余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ，即12＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝2|PF 1|·|PF 2|cos θ.由|PF 1→＋PF 2→|＝23，得12＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|cos θ.两式相减得4|PF 1|·|PF 2|·cos θ＝0，cos θ＝0，θ＝π2.【答案】 D3．已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是________．【解析】由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝22，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1为直角，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||PF 2|＝12×22×1＝ 2.【答案】2题型三圆锥曲线的几何性质【题型要点】圆锥曲线性质的应用(1)分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．注：求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到．【例7】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13【解析】以线段A 1A 2为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r ＝a ，圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：d ＝2aba 2＋b 2＝a ，整理可得a 2＝3b 2，即a 2＝3(a 2－c 2)，2a 2＝3c 2，从而e 2＝c 2a 2＝23，椭圆的离心率e ＝ca ＝23＝63.故选A. 【答案】 A【例8】．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若S △AOB ＝23，则双曲线的离心率e ＝( )A.32B.72C ．2D.13【解析】 ∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，不妨设点A 在点B 的上方，则A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b ,1，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ,1.∴|AB |＝2b a . 又S △AOB ＝12×1×2ba ＝23，∴b ＝23a ，则c ＝a 2＋b 2＝13a ，因此双曲线的离心率e＝ca＝13. 【答案】 D题组训练三圆锥曲线的几何性质1．已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2c .若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝3csin ∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛+372,1 B.⎥⎦⎤⎝⎛+372,1 C.()1，2D.(]1，2【解析】根据正弦定理可知，sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，所以|PF 2||PF 1|＝a 3c，即|PF 2|＝a3c|PF 1|, ||PF 1||－PF 2＝2a ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-c a 31||PF 1＝2a ，解得||PF 1＝6ac3c －a ，而||PF 1>a ＋c ，即6ac3c －a>a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0 ，解得2－73<e <2＋73. 又因为离心率e >1，所以1<e <2＋73，故选A.【答案】 A2．过点(0,3b )的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b ＝1(a >0，b >0)的一条斜率为正的渐近线平行，若双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率的最大值是________．【解析】由题意得双曲线的斜率为正的渐近线方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，则直线l的方程为y ＝ba x ＋3b ，即bx －ay ＋3ab ＝0.因为双曲线的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，所以渐近线y ＝b a x 与直线l 的距离不小于b ，即3abb 2＋(－a )2≥b ，结合c 2＝a 2＋b 2化简得9a 2≥c 2，所以1<e ＝ca≤3，即双曲线的离心率的最大值为3.【答案】 3题型四圆锥曲线的定义在解题中的应用在历届的高考中圆锥曲线都是考查的重点，无论小题还是大题，都是考查的难点，不仅考查学生的计算能力，还特别强调学生解决问题的灵活性和技巧性．而恰当地利用定义解题，许多时候能达到以简驭繁，事半功倍的效果．应用一求周长(弦长)、面积问题我们把以焦点为顶点或过焦点的三角形称为“焦点三角形”，该类与周长、面积有关的问题与圆锥曲线的定义浑然一体，应先考虑用定义来解题．【例10】 (1)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 (2)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为双曲线C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．(3)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.【解析】 (1)由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b4＋b 2，即第一象限的交点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2242,44b bb由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b4＋b 2，故8×4b 4＋b2＝2b ，得b 2＝12. 故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.(2)由双曲线C ：x 29－y 216＝1，知a ＝3，b ＝4，则c ＝a 2＋b 2＝5，|PQ |＝4b ＝16. ∴F (－5,0)，点A (5,0)为右焦点．又右焦点A (5,0)在线段PQ 上，知点P ，Q 在双曲线的右支上．根据双曲线定义，|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6. 相加，得|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝12，于是|PF |＋|QF |＝12＋|PQ |＝28.从而△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝44.(3)根据题设条件，作如图所示的几何图形，设线段MN 的中点为P ，点F 1，F 2为椭圆的焦点，连接PF 1，PF 2.又F 1是线段AM 的中点，∴PF 1为△MAN 的中位线，|AN |＝2|PF 1|.同理|BN |＝2|PF 2|，又因为点P 在椭圆C ：x 29＋y 24＝1上，由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a＝2×3＝6，所以|AN |＋|BN |＝2(|PF 1|＋|PF 2|)＝12. 【答案】 (1)D (2)44 (3)12 应用二求最值最值问题是解析几何的重点和难点，有的具有相当的难度．通过数形结合，利用图形的定义和几何性质问题可迎刃而解．【例11】已知A (3,0)，B (－2,1)是椭圆x 225＋y 216＝1内的点，M 是椭圆上的一动点，则|MA |＋|MB |的最大值与最小值之和等于________．【解析】易知A 为椭圆的右焦点，设左焦点为F 1，如图，由a 2＝25，知|MF 1|＋|MA |＝10，即|MA |＝10－|MF 1|，因此，|MA |＋|MB |＝10＋|MB |－|MF 1|，连接BF 1并延长交椭圆于两点，一个点使|MB |－|MF 1|最大，最大值为2；另一个点使|MB |－|MF 1|最小，最小值为－2，于是|MA |＋|MB |的最大值与最小值之和为20.【答案】 20 应用三求离心率利用圆锥曲线的定义求其离心率是椭圆中的另一个重点．凡涉及圆锥曲线焦半径与焦点弦的问题，一般均可考虑利用定义帮助求解．【例12】 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1为左焦点，A 为右顶点， B 1，B 2分别为上、下顶点，若F 1，A ，B 1，B 2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为( )A.3－12B.5－12C.22D.32(2)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为________．【解析】 (1)由题设圆的半径r ＝a ＋c 2，则b 2＋22⎪⎭⎫ ⎝⎛+-c a a ＝22⎪⎭⎫⎝⎛+c a ，即a 2－c 2＝ac ⇒e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52，故选B. (2)由双曲线定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ，又因为(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，所以4a 2＝b 2－3ab ，即(a ＋b )(4a －b )＝0. 由a ＋b ≠0，得b ＝4a ，从而c ＝a 2＋b 2＝17a ，因此双曲线的离心率e ＝ca ＝17.【答案】 (1)B (2)17 应用四求动点的轨迹方程动点轨迹(或曲线方程)问题是解析几何的重点和难点，在求动点轨迹的诸多方法中，围绕圆锥曲线的定义设计的问题小巧灵活，综合性强，有的具有相当的难度．【例13】 (1)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．则圆C 的圆心轨迹L 的方程为________．(2)已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3 【解析】 (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r . 圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2，圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F 2(5，0)，半径为2. 由题意得|CF 1|＝r ＋2且|CF 2|＝r －2或|CF 1|＝r －2且|CF 2|＝r ＋2 ∴||CF 1|－|CF 2||＝4.∵|F 1F 2|＝25>4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F 2(5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(2)由|PM |＋|PN |＝4，结合椭圆的定义可知，点P 是以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆上的点，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.则“A 型直线”和该椭圆有交点．容易验证直线①、④与椭圆有交点，故证直线①、④是“A 型直线”，直线②和椭圆没有交点，故证直线②不是“A 型直线”．对于直线③，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，x 24＋y 23＝1得7x 2－24x ＋24＝0，此方程无解，从而直线③和椭圆没有交点，故证不是“A 型直线”．【答案】 (1)x 24－y 2＝1 (2)①④【专题训练】一、选择题1．设直线x －y －a ＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 为等边三角形，则实数a 的值为( )A ．±3B ．±6C ．±3D ．±9【解析】由题意知，圆心坐标为(0,0)，半径为2，则△AOB 的边长为2，所以△AOB 的高为3，即圆心到直线x －y －a ＝0的距离为3，所以|－a |2＝3，解得a ＝±6，故选B.【答案】 B2．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49【解析】 x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，即(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0，即x 2＋(y －2b )2＝1，依题意可得，两圆外切，则两圆心距离等于两圆的半径之和，则a 2＋(2b )2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+94112222b a b a ＝19⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++222245a b b a ≥19⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅+2222425a b b a ＝1，当且仅当a 2b 2＝4b 2a 2即a ＝±2b 时取等号，故选A. 【答案】 A3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴上的一个顶点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1【解析】设A (x ，y )，∵右焦点为F (c,0)，点B (0，b )，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，且BA →＝2AF →，∴x ＝2c 3，y ＝b 3，代入双曲线方程，得4c 29a 2－19＝1，且c 2＝a 2＋b 2，∴b＝6a 2.∵|BF →|＝4，∴c 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1.【答案】 D4．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为12，点P 为椭圆上一点，且△PF 1F 2的周长为12，那么C 的方程为( ) A.x 225＋y 2＝1 B.x 216＋y 24＝1 C.x 225＋y 224＝1 D.x 216＋y 212＝1 【解析】由题设可得c a ＝12⇒a ＝2c ，又椭圆的定义可得2a ＋2c ＝12⇒a ＋c ＝6，即3c＝6⇒c ＝2，a ＝4，所以b 2＝16－4＝12，则椭圆方程为x 216＋y 212＝1，应选答案D.【答案】 D5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若△AOB 的面积为3，则抛物线的准线方程为( )A ．x ＝－2B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1【解析】因为e ＝ca ＝2，所以c ＝2a ，b ＝3a ，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，又抛物线的准线方程为x ＝－p2，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,2p p ，B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,2p p ，在△AOB 中，|AB |＝3p ，点O 到AB 的距离为p 2，所以12·3p ·p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的准线方程为x ＝－1，故选D. 【答案】 D6．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P 都有|PF 2|2＝8a |PF 1|(a 为实半轴)，则此双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(2,3]C ．(1,3]D ．(1,2]【解析】由P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF 2|＝2a ＋|PF 1|，所以|PF 2|2|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ＝8a ，所以|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a ，在△PF 1F 2中，|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，即2a ＋4a ≥2c ，所以e ＝ca≤3.又e >1，所以1<e ≤3.故选C.【答案】 C7．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2→＝13F 2B →，则该双曲线的离心率为( )A.62B.52C. 3 D ．2【解析】由F 2()c ，0到渐近线y ＝b a x 的距离为d ＝bc a 2＋b2＝b ，即||AF →2＝b ，则||BF →2＝3b .在△AF 2O 中， ||OA →＝a ，||OF →2＝c ，tan ∠F 2OA ＝b a ， tan ∠AOB ＝4b a＝212⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯a b a b，化简可得a 2＝2b 2，即c 2＝a 2＋b 2＝32a 2，即e ＝c a ＝62，故选A.【答案】 A8．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，22)C ．[2，＋∞)D ．[3，22)【解析】由已知得圆心到直线的距离小于半径，即|k |2<2，由k >0，得0<k <2 2. ① 如图，又由|OA →＋OB →|≥33|AB →|，得|OM |≥33|BM |⇒∠MBO ≥π6，因|OB |＝2，所以|OM |≥1，故|k |1＋1≥1⇒k ≥ 2. ② 综①②得2≤k <2 2. 【答案】 B9．如图， F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若||AB ∶|BF 1|∶|AF 1|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A.13 B ．3 C. 5D ．2【解析】设||AB ＝3x ，||BF 1＝4x ，||AF 1＝5x ，所以△ABF 1是直角三角形．因为||BF 2－||BF 1＝2a ，所以||BF 2＝||BF 1＋2a ＝4x ＋2a ，||AF 2＝x ＋2a .又||AF 1－||AF 2＝2a ，即5x －x －2a＝2a ，解得x ＝a ，又||BF 22＋||BF 12＝4c 2，即()4x ＋2a 2＋()4x 2＝4c 2，即()4a ＋2a 2＋()4a 2＝4c 2，解得c 2a2＝13，即e ＝13，故选A.【答案】A10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝4y ，点P 是C 的准线l 上的动点，过点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则△AOB 面积的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4【解析】如图所示：抛物线C ：x 2＝4y ，准线l 的方程y ＝－1，设P (x 0，－1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝14x 2，求导y ′＝12x ，切线P A 的方程为y －x 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －y 1，又切线P A 过点P (x 0，－1)，－1＝12x 1x 0－y 1，整理得：x 1x 0－2y 1＋2＝0，同理切线PB 的方程x 2x 0－2y 2＋2＝0， ∴直线AB 的方程为xx 0－2y ＋2＝0，直线AB 过定点F (0,1)，∴△AOB 面积， S ＝12|OF ||x 1－x 2|＝12|x 1－x 2|≥12×4＝2， ∴当且仅当直线AB ⊥y 轴时取等号， ∴△AOB 面积的最小值2. 【答案】 B11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B ，C ，且|BC |＝|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±22xC ．y ＝±(3＋1)xD ．y ＝±(3－1)x【解析】由题意作出示意图，易得直线BC 的斜率为a b，cos ∠CF1F 2＝bc，又由双曲线的定义及|BC |＝|CF 2|可得|CF 1|－|CF 2|＝|BF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ⇒|BF 2|＝4a ，故cos ∠CF 1F 2＝b c ＝4a 2＋4c 2－16a22×2a ×2c⇒b 2－2ab －2a 2＝0⇒2⎪⎭⎫⎝⎛a b －2⎪⎭⎫ ⎝⎛a b －2＝0⇒b a ＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为y ＝±(3＋1)x . 【答案】 C12．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若α∈⎥⎦⎤⎝⎛4,6ππ，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A.⎥⎦⎤ ⎝⎛36,0 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,36 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡322,36 【解析】因为OP 在y 轴上，在平行四边形OPMN 中，MN ∥OP ，所以M ，N 两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M ，N 两点关于x 轴对称，|MN |＝|OP |＝a ，可设M (x ，－y 0)，N (x ，y 0)，由k ON ＝k OM 可得y 0＝a 2，把点N 的坐标代入椭圆方程得|x |＝32b ，得N⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,23a b .因为α为直线ON 的倾斜角，所以tan α＝a 232b＝a 3b ，因为α∈⎥⎦⎤⎝⎛4,6ππ，所以33<tan α≤1即33<a 3b≤1，33≤b a <1，13≤b 2a 2<1，又离心率e ＝1－b 2a 2，所以0<e ≤63.选A. 【答案】 A 二、填空题13．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的焦距为________．【解析】根据题意，实数4，m,9构成一个等比数列，则有m 2＝4×9＝36，则m ＝±6，当m ＝6时，圆锥曲线的方程为x 26＋y 2＝1，为椭圆，其中a ＝6，b ＝1，则c ＝6－1＝5，则其焦距2c ＝25，当m ＝－6时，圆锥曲线的方程为y 2－x 26＝1，为双曲线，其中a ＝1，b＝6，则c ＝6＋1＝7，则其焦距2c ＝27，综合可得：圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的焦距为25或27；故答案为25或27.【答案】 25或2714．椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为32， F 1，F 2是C 的两个焦点，过F 1的直线l与C 交于A ，B 两点，则||AF 2＋||BF 2的最大值为________．【解析】因为离心率为32，所以a 2－1a ＝32⇒a ＝2，由椭圆定义得||AF 2＋||BF 2＋||AB ＝4a ＝8，即||AF 2＋||BF 2＝8－||AB .而由焦点弦性质知，当AB ⊥x 轴时，||AB 取最小值2×b 2a ＝1，因此||AF 2＋||BF 2的最大值为8－1＝7.【答案】 715．如图，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为________．【解析】因为△ABF 2为等边三角形，由点A 是双曲线上的一点知，|F 1A |－|F 2A |＝|F 1A |－|AB |＝|F 1B |＝2a ，由点B 是双曲线上一点知，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，从而|BF 2|＝4a ，由∠ABF 2＝60°得∠F 1BF 2＝120°，在△F 1BF 2中应用余弦定理得4c 2＝4a 2＋16a 2－2·2a ·4a ·cos 120°，整理得c 2＝7a 2，则e 2＝7，从而e ＝7.【答案】716．已知抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－1，焦点为F ，A ，B ，C 为该抛物线上不同的三点，|F A →|，|FB →|，|FC →|成等差数列，且点B 在x 轴下方，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则直线AC 的方程为________．【解析】抛物线的准线方程是x ＝－p2＝－1，21 ∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又|F A →|，|FB →|，|FC →|成等差数列，∴|F A →|＋|FC →|＝2|FB →|，即x 1＋1＋x 3＋1＝2(x 2＋1)，即x 1＋x 3＝2x 2.∵F A →＋FB →＋FC →＝0，∴(x 1－1＋x 2－1＋x 3－1，y 1＋y 2＋y 3)＝0， ∴x 1＋x 2＋x 3＝3，y 1＋y 2＋y 3＝0，则x 1＋x 3＝2x 2，x 2＝1.由y 22＝4x 2＝4，则y 2＝－2或2(舍)，则y 1＋y 3＝2，则AC 的中点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,22121y y x x ，即(1,1)， AC 的斜率k ＝y 1－y 3x 1－x 3＝y 1－y 3y 214－y 234＝4y 1＋y 3＝42＝2，则直线AC 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.【答案】 2x －y －1＝0。

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规范答题示例6 直线与圆锥曲线的位置关系
典例6 (15分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2
4b
2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交
椭圆E 于点Q .
①求|OQ ||OP |
的值；②求△ABQ 面积的最大值．
审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→得到a ，b 的关系式
基本量法求得椭圆C 的方程
(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P ，Q 共线设坐标代入方程―→求出|OQ ||OP |
②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 的方程联立――→通法研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→ 用m ，k 表示S △OAB ―→求S △OAB 的最值――――――――→利用①得S △ABQ 和S △OAB 的关系得S △ABQ 的最大值
规范解答·分步得分
构建答题模板解 (1)由题意知3
a 2＋14
b 2＝1.又a 2
－b 2
a ＝3
2
，
解得a 2
＝4，b 2
＝1.所以椭圆C 的方程为x
2
4＋y 2
＝1.3分
(2)由(1)知椭圆E 的方程为
x 216＋y 2
4
＝1. ①设P (x 0，y 0)，|OQ |
|OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．
因为x 20
4＋y 2
＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2
04＋y 20＝1，
所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.7分
②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2
)x 2
＋8kmx ＋4m 2
－16＝0，
由Δ>0，可得m 2
<4＋16k 2
，(*)
第一步
求圆锥曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程．第二步
联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程：Ax 2
＋Bx ＋C ＝0，然后研究判别式，利用根与系数的关系得等
式．第三步
找关系：从题设中寻求
评分细则 (1)第(1)问中，求a 2
－c 2
＝b 2
关系式直接得b ＝1，扣1分；
(2)第(2)问中，求|OQ |
|OP |时，给出P ，Q 的坐标关系给2分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣2分；联立方程消
元得出关于x 的一元二次方程给2分；根与系数的关系写出后给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．跟踪演练6 (2018·全国Ⅰ)设椭圆C ：x 2
2＋y 2
＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标
为(2,0)．
(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . (1)解由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1. 由已知可得，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，－22. 又M (2,0)，
所以AM 的方程为y ＝－
22x ＋2或y ＝2
2
x － 2. 即x ＋2y －2＝0或x －2y －2＝0.
(2)证明当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .
当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为
y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和
k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2
x 2－2
.
由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k ，得
k MA ＋k MB ＝
2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k
(x 1－2)(x 2－2)
.
将y ＝k (x －1)代入x 2
2
＋y 2
＝1，得
(2k 2
＋1)x 2
－4k 2
x ＋2k 2
－2＝0，由题意知Δ>0恒成立，所以x 1＋x 2＝4k 2
2k 2＋1，x 1x 2＝2k 2
－2
2k 2＋1
.
则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3
－4k －12k 3
＋8k 3
＋4k
2k 2
＋1＝0，从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB .。