现代控制理论 第二章
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浙大控制考研-现代控制理论(浙大)第二章
1 A2t 2 2!
1 k
Aktk
)
b0
t 0 x(0) b0
x(t) (I At 1 A2t 2 1 Akt k )x(0)
2!
k
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k
矩阵指数函数
Φ(t) 状态转移矩阵
x(t) eAtx(0) 描述了状态向量由初始状态x(0)向任意时 刻状态 x(t)转移的内在特性。
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k
1）根据状态转移矩阵的定义求解：
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k!
对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的 。
求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。
例：求解系统状态方程 解：
x1
x2
0 0
-11
6
-6 -11 5
试计算状态转移矩阵 eAt .
解: 1) 特征值
1 1
I A 6 -11 6 1 2 3 0
6 11 5
1 1,2 2,3 3
2) 计算特征向量：
1 1 1 p1 0, p2 2, p3 6
1 4 9
3) 构造变换阵P：
1 1 1 P 0 2 6
(A B)3 A3 B3 3A2B 3AB 2
(9) x Px Φ(t) P-1Φ(t)P P-1eAtP
证明：非奇异线性变换
x Px
n n非奇异矩阵 另一组状态变量
x Px
x P1AP x x(t) eP1AP x(0)
x Ax APx 新的系统矩阵 新的状态转移矩阵
Ax
eAt x(0) Φ(t)x(0)
现代控制理论-02
3. 状态转移矩阵是可逆的，且 Φ −1 (t ) = Φ(−t )
根据 Φ (t + s ) = Φ (t )Φ ( s )
x2 = e A(t2 −t1 ) x1 = Φ(t2 − t1 ) x1
x x(t0) x(t1) x(t2)
x1 = e A(t1−t0 ) x0 = Φ(t1 − t0 ) x0
2. 对任意的t和s，Φ (t + s ) = Φ (t )Φ ( s )
Φ(t )Φ(s) = e At e As 1 2 2 1 A t + L)(I + As + A2 s 2 + L) 2! 2! 1 ⎞ 1 1 1 ⎞ ⎛1 ⎛1 = I + A(t + s) + A2 ⎜ t 2 + ts + s 2 ⎟ + A3 ⎜ t 3 + t 2 s + ts 2 + s 3 ⎟ + L 2! ⎠ 2! 2! 3! ⎠ ⎝ 3! ⎝ 2! 1 2 1 3 2 = I + A(t + s) + A (t + s) + A (t + s) 3 + L 2! 3! = e A(t + s) = Φ(t + s) = ( I + At +
故
e
At
1 −1 1 (T DT ) 2 t 2 + L + (T −1 DT ) n t n + L 2! n! 1 −1 2 2 1 −1 n n −1 −1 = T IT + T DTt + T D Tt + L + T D Tt + L n! 2! 1 1 ⎛ ⎞ = T −1 ⎜ I + Dt + D 2t 2 + L + D nt n + L⎟T n! 2! ⎝ ⎠ =e
现代控制理论(第二章)
(1)
若初始时刻 时的状态给定为
则式(1)有唯一确定解：
若初始时刻从
开始，即
(2) 则其解为：
证明： 级数形式
和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解
(3) 为 的矢量幂
(4) 代入式(1)得：
(5)
既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻 都成立，故 的同次 幂项的系数应相等，有：
在式(4)中，令
e t e 2 t e t 2 e 2 t
x ( t ) L 1 ( s I A ) 1 x ( 0 ) L 1 ( s I A ) 1 B ( s ) U
s3
1
sIA1bU(s)(s1)(s2)
2
(s1)s(s2)1 01s
(s1)(s2) (s1)(s2)
eAtPeAtP1Pe0 1t
e0 2tP111
1et 20
02 1 e2t1 1
et e2t 2 1 2et e2t
et e2t
et 2e2t1 12et 2e2t et 2e2t
3）用拉氏变换法求解 e A tL 1 (s I A ) 1
s3
sIA1 2s
11 s3
(s
1)(s 2
或
（1）
即
2.5.2 Z 变换法
（2）
对于线性定常离散系统的状态方程，也可以来用 Z 变换法来求解。
设定常离散系统的状态方程是：
对上式两端进行 Z 变换，有： 或
线性时变系统的非齐次状态方程为：
且
的元素在时间区间
（17） 内分段连续，则其解为：
（18）
证明 线性系统满足叠加原理，故可将式(17)的解看成由初始状态
《现代控制理论》第三版 第二章.习题答案
2－7. 证明 2－3 中，状态方程的解： 1. 即当u(t ) K (t )，x(0 ) x0时
x(t ) e At x0 e At BK , 式中K 与u(t )同维的常数矢量。
x e x0 e A( t ) BK ( )d
At 0 t
e x0 e A( t ) ( )d BK
得 1 0; 2 1.
1 0 据 1 I A P P 1 1 0 1 0
得到 P 1 0 1 ；
T
0 0 P2 0 得 到 根 据 2 I A P2 1 1
1 0 1 1 1 于是T ， P2 ， T 1 1 1 1 于是 T 1 0 e 1 G (T ) e AT T T T T e 1 0 e t T T e 0 K At H (T ) e dtB dt 0 0 1 et 1 0 1 0
1
e At 0 (t ) I 1 (t ) A
1 2cos 2t 2 4sin 2t
sin 2t 2cos 2t
1 1 （2） A 4 1
1 22 1 33 A t A t 2! 3! 直接法： 7 3 t 2 13 3 2 1 5 , t t t t t 2! 6 6 2 28 3 t 13 3 2 4 4 , 1 5 t t t t t 6 2! 6 e At I At
y 2 x1 x2
1 1 0 x1 K x x 2 1 0 x2 0 即 x1 y 2 1 x2 0 u1 u 1 2
现代控制理论 2-0
∫
t
0
e − Aτ f (τ )dτ =
e [ x(0) + ∫ e
At 0 At
t
− Aτ
f (τ )dτ ] + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ
t1 − Aτ
当t = t1时，有 x(t1 ) = e [ x(0) + ∫ e
0
f (τ )dτ ] + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ
λ − 1 0 det[λI − A] = det = (λ − 1)(λ + 3) = 0 λ + 3 2 λ1 = 1, λ2 = −3 0 0 rank [λ1 I − AMb] = rank 2 4 − 4 rank [λ2 I − AMb] = rank 0 系统能控。 1 =2 1 0 1 =2 0 1
0
t1
∫
t1
0
e − Aτ f (τ )dτ为一个确定的值，仅仅相当于把系统
原来的初态改变了一确定的常值。所以在讨论系统 的能控性时，不考虑系统存在的确定性干扰。
第二章 系统的可观性和可控性
(三)能控性判据
判据一： 判据一：若系统能控，则能控性矩阵
Qc = [B AB A 2 B ... A n −1 B ] 满秩，即
第二章 系统的可观性和可控性
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第二章 系统的可观性和可控性
2-1 能能控性及其判据
－、线性定常系统的能观测性及其判据 －、线性定常系统的能观测性及其判据
线性定常系统状态方程为 x = Ax + Bu 其中x、u分别为n、 r维向量，A、B为满足矩阵运算的常值矩阵。若给定系统的 一个初始状态x0和任一状态x1,如果在的有限时刻tf>0,定义在 时间区间[0，tf]的输入u（t）使状态x(0)＝x0转移到x(tf)＝ x1 ，则称系统状态完全是能控的； 如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全 能控的，简称系统是状态能控的或系统是能控的。
现代控制理论第二章
（2）在e At 定义中，用（1 ）的方法可以消去 A的n及n以上的幂次项，即 e At = I + At + 1 2 2 1 1 A t +⋯+ An −1t n −1 + An t n + ⋯ 2! ( n − 1)! n!
= α n −1 (t ) An −1 + α n − 2 (t ) An − 2 + ⋯ + α1 (t ) A + α 0 (t ) I
【例2-5】见板书
（3）α i (t )的计算公式 A的特征值互异时 α 0 (t ) 1 λ1 α1 (t ) 1 λ2 ⋮ = ⋮ ⋮ α (t ) 1 λ n −1 n
λ λ λ
பைடு நூலகம்
2 1 2 2
⋮
2 n
⋯ λ e λ1t λ2 t ⋯ λ e ⋮ ⋮ λn t n −1 ⋯ λn e
At
2.变换A为约旦标准型 （1）A特征根互异 Λ = T −1 AT 有
例2-2 ，同例2-1
e At = Te ΛtT −1
（2）A特征值有重根
J = T AT e At = Te JtT −1
0 1 0 [例2 - 3]已知A = 0 0 1 , 求e At 2 - 5 4
若
σ ω A= −ω σ
则
cos ωt sin ωt σt e = Φ(t ) = e − sin ωt cos ωt
At
2.2.4 计算
1.根据 e At 或 Φ (t ) 的定义直接计算
1 2 2 1 33 1 n n e = I + At + A t + A t ⋯ A t + ⋯ 2! 3! k! 1 0 [例2 - 1]已知A = , 求e At − 2 − 3
= α n −1 (t ) An −1 + α n − 2 (t ) An − 2 + ⋯ + α1 (t ) A + α 0 (t ) I
【例2-5】见板书
（3）α i (t )的计算公式 A的特征值互异时 α 0 (t ) 1 λ1 α1 (t ) 1 λ2 ⋮ = ⋮ ⋮ α (t ) 1 λ n −1 n
λ λ λ
பைடு நூலகம்
2 1 2 2
⋮
2 n
⋯ λ e λ1t λ2 t ⋯ λ e ⋮ ⋮ λn t n −1 ⋯ λn e
At
2.变换A为约旦标准型 （1）A特征根互异 Λ = T −1 AT 有
例2-2 ，同例2-1
e At = Te ΛtT −1
（2）A特征值有重根
J = T AT e At = Te JtT −1
0 1 0 [例2 - 3]已知A = 0 0 1 , 求e At 2 - 5 4
若
σ ω A= −ω σ
则
cos ωt sin ωt σt e = Φ(t ) = e − sin ωt cos ωt
At
2.2.4 计算
1.根据 e At 或 Φ (t ) 的定义直接计算
1 2 2 1 33 1 n n e = I + At + A t + A t ⋯ A t + ⋯ 2! 3! k! 1 0 [例2 - 1]已知A = , 求e At − 2 − 3
《现代控制理论》课后习题答案2
( sI − A) −1 =
1 adj( sI − A) det( sI − A)
(1)
式（1）中的 adj( sI − A) 和 det( sI − A) 可分别写成以下形式：
adj( sI − A) = H n −1s n −1 + H n − 2 s n − 2 + " + H 0 det( sI − A) = s + an −1s
故
Φ (t ) = α 0 (t ) I + α1 (t ) A + α 2 (t ) A2
⎡ −2tet + e 2t ⎢ = ⎢ −2(1 + t )et + 2e 2t ⎢ −2(2 + t )et + 4e 2t ⎣
(3t + 2)et − 2e 2t (3t + 5)et − 4e 2t (3t + 8)et − 8e 2t
n n −1
(2) (3) (4)
+ " + a0
，可得 将式（1）两边分别左乘 det( sI − A)( sI − A) ，并利用式（2）和（3）
Is n + an −1 Is n −1 + " + a0 I = H n −1s n + ( H n − 2 − AH n−1 ) s n − 2 + " + ( H 0 − AH1 )s − AH 0
e jt = a0 (t ) + a1 (t ) j ， e − jt = a0 (t ) − a1 (t ) j
而
e jt = cos t + j sin t ， e− jt = cos t − j sin t 因此， a0 (t ) = cos t ， a1 (t ) = sin t 。由此得到状态转移矩阵 ⎡ cos t sin t ⎤ Φ (t ) = e At = a0 (0) I + a1 (t ) A = ⎢ ⎥ ⎣ − sin t cos t ⎦
现代控制理论基础第二章习题答案
第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。
（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A （5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1） （2） （3） （4）特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：（5）为结构四重根的约旦标准型。
（6）虽然特征值相同，但对应着两个约当块。
或}0100010000{])[()(1111----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。
【解】：（1） （2）特征方程为： 特征值为：2,1321===λλλ。
由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。
求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得：对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得： 所以变换阵为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110010001321P P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为：（3）特征值为：2,1321===λλλ。
第二章现代控制理论状态空间表达式
diL R1 R1 R2 R2 = uC − iL + e(t ) dt L( R1 + R2 ) L( R1 + R2 ) L( R1 + R2 )
即
(2-11)
(3) 列出状态空间描述iL 1 − ( R + R )C 1 2 R1 L( R1 + R2 ) − R1 1 ( R1 + R2 )C uC ( R1 + R2 )C (2-12) + e(t ) R1 R2 iL R2 − L( R + R ) L( R1 + R2 ) 1 2
§2.1 状态空间描述的概念 2.1.2 控制系统的状态空间描述举例
例2-1 R-L-C系统，求其状态空间描述
R
u
L i
C
uC
解 (1) 确定状态变量 选择电容两端电压 uC (t )、电感通过的电流 i (t ) (2) 列写微分方程并化为一阶微分方程组 基尔霍夫（Kirchhoff）电压定律，
(2-13)
令
1 − ( R + R )C 1 2 A= R1 L( R + R ) 1 2
1 ( R + R )C 2 b= 1 R2 L( R + R ) 1 2
−
R1 ( R1 + R2 )C R1 R2 − L( R1 + R2 )
n 维列向量，状态向量
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
n×n方阵，系统矩阵(或状态矩阵)， 反映系统状态的内在联系
§2.1 状态空间描述的概念
即
(2-11)
(3) 列出状态空间描述iL 1 − ( R + R )C 1 2 R1 L( R1 + R2 ) − R1 1 ( R1 + R2 )C uC ( R1 + R2 )C (2-12) + e(t ) R1 R2 iL R2 − L( R + R ) L( R1 + R2 ) 1 2
§2.1 状态空间描述的概念 2.1.2 控制系统的状态空间描述举例
例2-1 R-L-C系统，求其状态空间描述
R
u
L i
C
uC
解 (1) 确定状态变量 选择电容两端电压 uC (t )、电感通过的电流 i (t ) (2) 列写微分方程并化为一阶微分方程组 基尔霍夫（Kirchhoff）电压定律，
(2-13)
令
1 − ( R + R )C 1 2 A= R1 L( R + R ) 1 2
1 ( R + R )C 2 b= 1 R2 L( R + R ) 1 2
−
R1 ( R1 + R2 )C R1 R2 − L( R1 + R2 )
n 维列向量，状态向量
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
n×n方阵，系统矩阵(或状态矩阵)， 反映系统状态的内在联系
§2.1 状态空间描述的概念
现代控制理论-第二章 控制系统的状态空间描述
12 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
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Φ(t2 t0 ) = Φ(t2 t1)Φ(t1 t0 )
Φ ( t ) Φ (τ ) = Φ ( t + τ ) e At e A τ = e A ( t +τ )
Φ ( t 0 ) Φ [ 0 ( τ )] = Φ ( t ( τ ))
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵 矩阵指数函数---状态转移矩阵 --状态转移阵的性质 性质2
2-3 线性定常非齐次方程的解 x ( t ) = Ax + Bu x (t 0 ) = x 0
证明
x ( t ) = Φ ( t ) x 0 + ∫ Φ ( t τ ) Bu (τ ) d τ ...t ≥ t 0
t0
t
2-3 线性定常非齐次方程的解
例题2-8
2-3 线性定常非齐次方程的解
2-5离散时间系统状态方程求解
x(k + 1) = G (T ) x(k ) + H (T )u (k )
线性定常系统
x(k + 1) = Gx(k ) + Hu (k ) x(0) = x0
用迭代法解矩阵差分方程
k = 0, x (1) = Gx 0 + Hu (0) k = 1, x ( 2) = Gx (1) + Hu (1) = G 2 x0 + GHu (0) + Hu (1) k = 2, x (3) = Gx ( 2) + Hu ( 2) = G 3 x0 + G 2 Hu (0) + GHu (1) + Hu ( 2) ...
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵 矩阵指数函数---状态转移矩阵 --状态转移阵的计算 例题:方法1
解
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵 矩阵指数函数---状态转移矩阵 ---
例题:
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵 矩阵指数函数---状态转移矩阵 --例题：方法2
1 0 A= 2 3
第二章 控制系统状态空间表达式的解 图解内容
连 续 时 间
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) x(0) = x0 , u(t ) y (t ) = Cx(t ) + Du (t )
离散化
x(t )
离 散 时 间
x(0) = x0 , u(k ) x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k )
T
1
1 1 1 1 1 1 1 = = T 1 2 = 1 2 1 2
1
1 1 e t At e = 1 2 0
0 1 1 2t 1 2 e
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵 矩阵指数函数---状态转移矩阵 --例题
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵 矩阵指数函数---状态转移矩阵 --凯莱-哈密顿定理 凯莱 哈密顿定理: 哈密顿定理 方阵A满足其自身的特征方程,即
2e t e 2t Φ (t ) = 2e t + 2e 2t
e t e 2t t 2t e + 2e
问题2：已知某状态转移阵如上，求其A阵
提示： Φ (t ) = AΦ (t ) = Φ (t ) A
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵 矩阵指数函数---状态转移矩阵 --特殊矩阵的状态转移阵 1 A为对角型
t 0 , → t1 , → t 2 x ( t1 ) = Φ ( t1 t 0 ) x 0 x ( t 2 ) = Φ ( t 2 t 1 ) x ( t1 ) x ( t 2 ) = Φ ( t 2 t1 ) Φ ( t1 t 0 ) x 0
性质1
t 0 → t2 x(t 2 ) = Φ (t 2 t0 ) x0
2-4 连续时间状态方程的离散化
近似离散化
பைடு நூலகம்
x (( k + 1)T ) x ( kT ) = Ax ( kT ) + Bu ( kT ) T
x ( k + 1) = (TA + I ) x ( k ) + TBu ( k )
2-4 连续时间状态方程的离散化
例题: 2-13 离散化状态方程
0 1 0 x= x + 1u (t ) 0 2
系统的唯一解
证明: 假设x(t)为矢量幂级数形式
x (t ) = b0 + b1t + ... + bk t k ...
2-1 线性定常齐次状态方程的解
证明: 假设x(t)为矢量幂级数形式
x (t ) = b0 + b1t + b2t + ... + bk t + ...
2 k
x (t ) = b1 + 2b2 t + 3b3t 2 + ... + kb k t k 1 + ... = A(b0 + b1t + b2 t 2 + ... + bk t k + ...)
G (T ) = e AT
1 = 0
1 1 e 2T 1 2T (1 e ) (T + 2 2 2 H (T ) = 1 e 2 T 2T e 2
T) 1 G (T ) = TA + I = , H (T ) = 0 1 2T
0 T
当采样周期T比较小时，两者差别很小 当采样周期 比较小时，两者差别很小. 比较小时
t
x ( t ) = Φ ( t t 0 ) x 0 + ∫ Φ ( t τ ) Bu (τ ) d τ ... t ≥ t 0
t0
t 0 = kT , t = ( k + 1 ) T
( k +1)T
x (( k + 1 ) T ) = Φ ( T ) x ( kT ) +
∫ Φ (( k
+ 1 ) T τ ) Bd τ u ( kT )
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵 矩阵指数函数---状态转移矩阵 ---
证明以上结论
z = T 1 ATz ,...x = Tz... x = Ax z = Λz,..z = e Λt z0 ..............x = e At x0 ..z = T 1 x.....x = Tz ......x = Te ΛtT 1 x0
kT
2-4 连续时间状态方程的离散化
G (T ) = Φ(T ) = e AT
( k +1) T
H (T ) =
∫ Φ (( k + 1)T τ ) Bd τ
T
set...t = (k + 1)T τ
kT
H (T ) =
近似离散化
e At dt B ∫
0
x (( k + 1)T ) x ( kT ) x ( kT ) ≈ T x (t ) = Ax (t ) + Bu (t )
e
A (t t0 )
2 e ( t t0 ) e 2 (t t0 ) = 2 e (t t0 ) + 2 e 2 ( t t0 )
t1 = 0 . 2 , e 0 . 97 = 0 .3
e (t t0 ) e 2 ( t t0 ) e (t t0 ) + 2 e 2 (t t0 )
1 1 k k 2 Φ (t ) = e = I + At + A2 t + ... + A t + ... 2 k! Φ (t t 0 ) = e A ( t t 0 )
At
状态转移矩阵
x(t ) = Φ(t ) x0 x(t ) = Φ(t t0 ) x0
状态转移阵是nxn的
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵 矩阵指数函数---状态转移矩阵 --状态转移阵的性质
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵 矩阵指数函数---状态转移矩阵 --1.2 0
状 态 转 移 阵 的 性 质
1
0.8
0.6
0.2s
0.4 0.4s 0.2
0
-0.2
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵 矩阵指数函数---状态转移矩阵 --状态转移阵的性质
x(k )
第二章 控制系统状态空间表达式的解
主要内容
线性定常连续时间齐次状态方程的解 状态转移阵及其求解 线性定常连续时间非齐次状态方程的解 线性连续时间系统的离散化 线性离散系统状态空间表达式的解
第二章 控制系统状态空间表达式的解
2-1 线性定常齐次状态方程的解
x (t ) = Ax x (t 0 ) = x 0 x (t ) = e A ( t t0 ) x0 ,...t ≥ t 0
f ( A) = An + α n 1 An 1 + ... + α1 A + α 0 I = 0
它会产生什 么结论？
At
An = α n 1 An 1 ... α1 A α 0 I
1 22 1 1 nn 1 n 1 n 1 e = I + At + A t + ... + A t + At + An+1t n+1 + ... 2! (n 1)! n! (n + 1)! = α n1 (t ) An1 + α n2 (t ) An2 + ... + α1 (t ) A + α 0 (t ) I
Φ(t t ) = Φ (0) = I
从定义得证
性质3
[ Φ ( t )] 1 = Φ ( t ) I = Φ (t t ) = Φ (t 0 ) Φ ( 0 t ) = Φ (t ) Φ ( t )