【配套K12】[学习]八年级数学上册 专题突破讲练 解密最短距离之建桥选址试题 (新版)青岛版
人教版八年级数学上册《课题学习 最短路径问题(第1课时)》示范教学课件
例 如图，A，B 是两个蓄水池，都在河流 a 的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到 A，B 两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点．
A
B
a
（2）连接 AB′ 交直线a于点 C；
（3）则点 C 即为所求的点．
C
（2）连接 BA′ 交直线 a于点 C；
课题学习 最短路径问题第1课时
人教版八年级数学上册
A
C
D
E
B
F
1．从 A 地到 B 地有三条路可供选择，哪条路距离最短？
两点的所有连线中，线段最短．
D
A
C
B
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
2．在灌溉时需要把河 AB 中的水引到 C 处，如何挖渠能使渠道最短？
如果把河边 l 近似地看成一条直线，C为直线 l 上的一个动点，那么上面的问题可以转化为：
A′
C
例 如图，A，B 是两个蓄水池，都在河流 a 的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到 A，B 两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点．
A
B
a
作法（方法二）： （1）作点 A 关于直线 a 的对称点 A′；
（3）则点 C 即为所求的点．
两点在直线异侧的最短距离
新知
两点在直线同侧的最短距离
新知
如图，当点 A，B 位于直线 l 的同侧时，作点 B 关于直线 l 的对称点 B′，连接AB′，与直线 l 的交点C，即为直线 l 上到点 A、点B 距离之和最短的点．
B′
作法（方法一）： （1）作点 B 关于直线 a 的对称点 B′；
人教版八年级上册数学课题学习造桥选址问题课件
交所直以线问a题于还点可M以，转当化点为N在：直当线点bN的在什直
么线位b的置什时么，位AM置+时M，N+ANMB+最N小B最？小？
思维分析
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
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拓展应用
拓展1：如图，如果A、B两地之间有两
条平行的河，我们要建的桥都是与河岸
垂直的。我们如何找到这个最短的距离
呢？
A
河流1
方法
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图像
河流2 B
பைடு நூலகம்
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
方法：将点A沿与第一条河流垂直的 方向平移一个河宽到A1，将B沿与第 二条河垂直的方向平移一个河宽到B1， 连接A1B1与两条河分别相交于P、M， 在P、M两处，分别建桥PQ 、 MN， 所得路径AQPMNB最短。
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
13.4 课题学习 最短路径问题（2）
造桥选址问题
人教版八年级上册数学课题学习造桥 选址问 题课件
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教学目标
1、知识与技能： 理解利用平移的方法，解决最短路径问题。 2、过程与方法： （1）在观察、操作、归纳等探索过程中，培养 学生的实际动手能力； （2）在运用知识解决有关问题的过程中，体验 并掌握探索、归纳最短路径选取的方法。 3、情感、态度与价值观 （1）体会数学与现实生活的联系，增强克服困 难的勇气和信心； （2）会应用数学知识解决一些简单的实际问题， 增强应用意识； （3）使学生进一步形成数学来源于实践，反过 来又服务于实践的辩证唯物主义观点。
部编数学八年级上册专题10最短路径问题(解析版)含答案(1)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！2023--2024学年度人教版数学八年级上册期末复习核心考点三种题型精炼专题10 最短路径问题1.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为 .【答案】120°【解析】考点有轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形外角性质，等腰三角形的性质。
根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
4.鼓励学生积极参与评价，培养学生的评价能力和批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过一个有趣的现实生活中的选址问题，如“如何在两个村庄之间建一座桥，使得两地之间的距离最短？”引起学生的兴趣。
2.学生尝试用自己的知识解决此问题，教师引导学生思考问题的方法论。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径造桥选址实验教学探究优秀教学案例
一、案例背景
人教版数学八年级上册13.4课题学习“最短路径造桥选址实验教学”探究优秀教学案例，是基于学生在学习了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等知识的基础上，对“线性规划”的初步认识。此章节内容旨在让学生通过实验探究，掌握线性规划的基本方法，解决实际问题。
在教学过程中，我以“最短路径造桥选址”为例，让学生结合生活实际，探讨如何在一个城市中选择最佳的桥梁建设位置，以达到连接两个区域、节省路程、提高效率的目的。通过对问题的探究，引导学生运用所学的数学知识，解决实际问题，提高学生的实践能力和创新能力。
在教学设计上，我充分考虑了学生的认知规律和兴趣，将抽象的数学知识与具体的生活情境相结合，以实验教学为主线，让学生在动手操作、观察分析、合作交流的过程中，掌握线性规划的方法。同时，我注重引导学生进行思考，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。
4.全面提高学生的数学素养：通过对实际问题的解决，本节课不仅使学生掌握了线性规划的基本方法，还培养了学生的观察力、动手能力、思维能力、沟通能力和团队协作能力，全面提高了学生的数学素养。
5.教学策略灵活多样：教师根据学生的认知规律和兴趣，采用了情景创设、问题导向、小组合作等多种教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高了教学效果。
初二数学最短路径问题知识归纳+练习
初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】 作法图形 原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形 原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A ．3B ．26C ．3D 62．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2B ．32C ．32+D ．4lBAlPABl ABlBPAB'ABCPEDCBAADEPB C3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合）， 且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． DEABCD MABMN8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为 ，此时 C 、D 两点的坐标分别为 ．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．图①12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？。
【配套K12】中考数学 专题复习六 求最短路径问题
中考数学专题复习学案六求最短路径问题【专题思路剖析】知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
这类问题在中考中出现的频率很高，一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【典型例题赏析】类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题例题1：（2015•辽宁省盘锦,第15题3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为．考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；由菱形的性质得出∠BPC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出PE=BE，证明△PBE是等边三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出结果．解答：解：连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA=2，∴∠BPC=90°，∵E为BC的中点，∴BE=BC=1，PE=BC=1，∴PE=BE，∵∠DAB=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBE=60°，∴△PBE是等边三角形，∴PB=BE=PE=1，∴PB+BE+PE=3；故答案为：3．点评：本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．【方法点评】本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．【变式练习】（2015•福建第16题 4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度的最小值是．考点：翻折变换（折叠问题）．.分析：首先由勾股定理求得AC的长度，由轴对称的性质可知BC=CB′=3，当B′A有最小值时，即AB′+CB′有最小值，由两点之间线段最短可知当A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值．解答：解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC===4，由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∴当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．故答案为：1．点评：本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理和线段的性质，将求B′A的最小值转化为求AB′+CB′的最小值是解题的关键．类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题例题2：（2015•四川凉山州第26题5分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．考点：菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题．.分析：点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可．解答：解：连接ED，如图，∵点B的对称点是点D，∴DP=BP，∴ED即为EP+BP最短，∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°，∴点D的坐标为（1，），∴点C的坐标为（3，），∴可得直线OC的解析式为：y=x，∵点E的坐标为（﹣1，0），∴可得直线ED的解析式为：y=（1+）x﹣1，∵点P是直线OC和直线ED的交点，∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为（），故答案为：（）．点评：此题考查菱形的性质，关键是根据一次函数与方程组的关系，得出两直线的解析式，求出其交点坐标．【方法点评】“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可．【变式练习】（2015•营口，第10题3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°考点：轴对称-最短路线问题．分析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．解答：解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴CM+DN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：B．点评：本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．类型3、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。
人教版八年级数学上册《课题学习 最短路径问题(第2课时)》示范教学课件
可以把河的两岸看成两条平行线 a 和 b（如图），N 为直线 b 上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M．
问题转化为：当点 N 在直线 b 的什么位置时，AM＋MN＋NB 最小？
由于河岸宽度是固定的（MN 长度固定）
作法： （1）将 A 沿与河岸垂直的方向平移到 A′，使 AA′ 的长度等于桥长；
N
a
b
A
B
A′
你能试着证明一下吗？
（2）连接 A′B，交直线 b 于点 N，点 N 即为所求；
由平移性质可知， AM＝A′N，AM′＝A′N′． 所以AM＋NB＝A′N ＋NB＝A′B， AM′＋N′B＝A′N′＋N′B．
证明：在直线 b 上任取一点N′ ，过点 N′ 作N′M′⊥a，连接 AM′，A′N′，N′B，
M
N
a
b
A
A′
B
M′
N′
M
N
a
b
B
由两点之间，线段最短可知：A′B＜A′N′＋N′B， 即AM＋NB＜AM′＋N′B， 即AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．
A
A′
归纳
l
B
A
例 已知线段 a，点 A，B 在直线 l 的同侧，在直线 l 上求作两点 P，Q （点 P 在点 Q 的左侧）且 PQ＝a，使得四边形 APQB 的周长最小．
课题学习 最短路径问题第2课时
人教版八年级数学上册
如图，在直线 l 上求作一点 C，使得 CA＋CB 最短．
A
l
B
A
B
l
问题
（造桥选址问题）如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN，桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）
课题学习最短路径问题第2课时(造桥选址) 八年级数学上册同步教材配套精品教学课件(人教版)
课堂小结
作图依据
最
短
路
将军饮马
径
问
题
造桥选址
线段公理和垂线段最短
轴对称+线段公理 平移+线段公理
全等变换
课堂练习
1．如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条水沟将河里的水从A处引到田 地里去，则应从河岸l的何处开口才能使水沟最短？找出开口处的位 置并说明理由.
N
B
典例讲解
例1 已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P，Q （点P 在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四边形APQB的周长最小．
问题转化 当点Q在什么位置时，AP+PQ+QB+BA最小．
问题转化 当点Q在什么位置时，AP+QB最小．
A1 Q
A2
问题转化 当点Q在什么位置时，AP+PQ+QB+BA最小．
第十三章
13.4 课题学习最短路径问题
轴对称
造桥选址问题
| 13.4 课题学习 第2课时|
造桥选址问题
【学习目标】 【学 习能目利用标轴】对称解决简单的造桥选址问题问题. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
旧知回顾
名称
牛郎织女问题
将军饮马问题
图形
依据 作法
A
B
C
转化
A C
l
l
求作一点C,
求作一点C,
使AC+BC最短问题. B 使AC+BC最短问题.
B′
两点之间线段最短(化折为直)
连线段、得交点
作对称、连线段、得交点
2023-2024学年人教版八年级数学上学期：课题学习 最短路径问题(附答案解析)
第1页（共9页）
2023-2024学年人教版八年级数学上学期13.4课题学习 最短路
径问题
一．选择题（共6小题）
1．如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1，P 2
交OA 于M ，交OB 于N ，若P 1P 2＝6，则△PMN 周长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2．如图，直线L 是一条输水主管道，现有A 、B 两户新住户要接水入户，图中实线表示铺
设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，直线l 是一条河，P ，Q 是两个村庄．计划在l 上的某处修建一个水泵站M ，向P ，
Q 两地供水．现有如下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需管道最短的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，直线m 表示一条河，M ，N 表示两个村庄，欲在m
上的某处修建一个给水站，向。
人教版数学八年级上册1.2造桥选址问题课件(第四课时28张)
E
M
CF
G B
N
H
归纳新知
最
短
A∙
路 径
造桥选址问题
M
问
A′
a b
题
N
∙B
课后练习
1．如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河 里的水从A处引到田地里去，则应从河岸l的何处 开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说 明理由.
解：图略．理由：垂线段最短．
2．【中考·黔南州】如图，直线l外不重合的两点A，B，在直线l上求作 一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为： ①作点B关于直线l的对称点B′； ②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点． 在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( D ) A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边 C．两点之间，线段最短 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
解：如图，作A关于射线OM所在直线的对称点E， 再作B关于射线ON所在直线的对称点F，连接EF交 OM 于 C ， 交 ON 于 D ， 连 接 AC ， BD ， 则 四 边 形 ABDC即为所求．
6．如图，AB是∠MON内部的一条线段，在∠MON的两 边OM，ON上各取一点C，D组成四边形ABDC，如何 取点才能使该四边形的周长最小？
(2)如图②，点A在直线m外侧，点B在直线 m，n内侧，作点B关于直线n的对称点B′， 连接AB′，分别交直线m，n于点P，Q； (3)如图③，点A，B在直线m，n内侧，分别作点A，B 关于直线m，n的对称点A′，B′， 连接A′B′，分别交直线m，n于点P，Q.
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
如图，直线a，b满足a//b，点A，点B分别在直线a，b
的两侧，MN为直线a，b之间的距离，则点M，N在什
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解密最短距离之建桥选址
一、解题依据
1. 两点间线段最短。
2. 三角形的三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形任何两边的和大于第三边； （2）三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边。
3. 勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
二、基本模型
定点在两侧的动线段问题（建桥问题）
如图所示，A 、B 两村庄位于一条河的两岸。
假定河的两岸笔直且平行。
问：应把桥建在什么位置，才能使由A 村经过这座桥到B 村的路程最短？
答案：如右下图。
说明：这种问题首先要把桥的长度平移出来（作CD B B ='），连接B '，C 两点交河流两岸两个点，此时一定要在C 处建桥，才能得到最短路程。
（即：平行四边形要在B A '的同侧。
）
例题1 如图，A 和B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN 和PQ 。
桥分别建在何处才能使从A 到B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
解析：按照垂直河流的方向，先把两桥的长度移至端点，把可变化的路径连接到一起，利用两点间线段最短就可以确定两桥的位置。
答案：如图。
或
或
点拨：本题的关键还是在于两点之间线段最短，要注意找到线段与河的交点后，选择正确的建桥位置。
总结技巧
建桥选址问题最少由三条线段组成，其中桥的长度是固定不变的，而且桥在整个路径的中间，另外两条线段不固定，所以我们要先把桥的长度平移出来，利用平行四边形的性质，使变化的线段连接在一起，然后利用两点间线段最短或三角形三边关系确定桥的位置。
例题 如图，荆州古城河在'CC 处直角转弯，河宽均为5米，从A 处到达B 处，须经两座桥：'
DD ，'EE （桥宽不计），设护城河以及两桥都是东西、南北方向的，A ，B 在东西方向上相距65米，南北
方向上相距85米，恰当地架桥可使'
'
ADD E EB 的路程最短，这个最短路程是多少米？
解析：先分别从A 、B 两点把两条桥的长平移出来，把平移后的两个点连接，就可以确定桥的位置。
答案：解：作AF ⊥CD ，且AF ＝河宽，
作BG ⊥CE ，且BG ＝河宽， 连接GF ，与河岸相交于D E '',， 作E E D D '',即为桥。
解：由作图法可知，AF ∥D D '，D D AF '=， 则四边形D D AF '为平行四边形， 于是D F AD '=， 同理，E G BE '=，
由两点之间线段最短可知，GF 最小；
即当桥建于如图所示位置时，EB E D AD ''最短，
距离为11025)585()565(2
2=⨯+-+-米。
点拨：解这种问题都是利用两点间线段最短的定理。
在连接线段时会与河岸有4个交点，在选择建桥的位置时一定要注意构成的平行四边形要在所连线段的同侧。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）
A. B. C. D.
、Q 是BD上的动点，且始终保持PQ＝2。
则四边形AEPQ周长的最小值为（）。
（结果保留根号）
A. 6+
B. 76
+ D. 8
二、填空题
3.（山西模拟）如图，已知四边形ABCD四个顶点的坐标为A（1，3），B（m，0），C（m＋2，0），D（5，1），当四边形ABCD的周长最小时，m的值为。
4.（峨边县模拟）如图，A（1，－3），B（4，－1），P（a，0），N（a＋2，0），当四边形ABNP的周长最小时，a＝_______。
三、解答题
5. 如图，A 和B 两地之间有三条河，现要在三条河上各造一座桥MN 、PQ 和GH 。
桥分别建在何处才能使从A 到B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
**6. 五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，如图12l l ∥表示小河甲，34l l ∥表示小河乙，A 为校本部大门，B 为分校大门。
为方便人员往来，要在两条小河上各建一条桥，桥面垂直于河岸。
图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A 到甲河的垂直距离为40米，B 到乙河的垂直距离为20米，两河相距100米，A 、B 两点的水平距离（与小河平行的方向）为120米。
为使A 、
B 两点间来往的路程最短，两条桥都按这个目标而建，那么此时A 、B 两点来往的路程是多少米？
7. 如图，如果A 、B 之间有三条平行的河流，试确定桥的位置，使所走路径最短。
1. D 解析：由基本模型可知，AM∥BN。
2. B 解析：将菱形ABCD放置在平面直角坐标系中，使得B为原点，BD在x轴的正半轴上，根据题意得出A、B、E三点的坐标，A（8，6）、B（0，0）、E（4，3）。
将A平行向左移动2个单位到A'点，则A'（6，6），
作A'关于x轴的对称点F，则F（6，－6），
连EF，交x轴于点P，在x轴的正方向上截取PQ＝2，
此时四边形AEPQ的周长最小，
AQ＋EP＝A'P＋EP＝FP＋EP＝EF，由此即可得出结论。
3. 5
2
解析：将点D向左平移2个单位到D′（3，1），作D′关于x轴的对称点D″，根据作法
知点D″（3，－1），
设直线AD″的解析式为y＝kx＋b，
则
3
31 k b
k b
+=
⎧
⎨
+=-
⎩
，
解得k＝－2，b＝5。
∴直线AD″的解析式为y＝－2x＋5。
当y＝0时，x＝5
2
，即B（
5
2
，0），m＝
5
2。
4. 7
4
解析：点B向左平移2个单位到B′（2，－1），作B′关于x轴的对称点B″，
根据作法知点B″（2，1），连接AB″，交x轴于P，
设直线AB″的解析式为y＝kx＋b，
则
3
21
k b
k b
+=-
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
4
7
k
b
=
⎧
⎨
=-
⎩。
∴y＝4x－7。
当y＝0时，x＝7
4
，
即P（7
4
，0），a＝
7
4
5.
或
或
或
**6. 218米解析：作图，由题意可知路程AMNPQB最短，且AMNPQB＝AD＋DC＋CB
又AD＝8米，CB＝10米，由已知条件可得CE＝120米，DE＝40＋
20＋100＝160米，所以在Rt△DEC中可求得斜边CD＝200米，
所以AD＋DC＋CB＝8＋200＋10＝218米。
7. 解：将点A沿与河垂直的方向平移三个河宽分别到A1、A2、A3，路径中三座桥的长度是固定的。
为了使路径最短，只要A3B最短。
连接A3B，交河流3
于N，在此处造桥MN；连接A2M，交河流2于P，在此处造桥PQ；连接A1Q，交河流1于R，在此处造桥RS。
所得路径ASRQPMNB最短。