高中数学学案：两条直线的相交
高中数学必修2 直线两条相交平行与重合(学案)
两条直线的位置关系——两条直线相交、平行与重合的条件时间：12月24日学习目标：1.掌握两直线相交、平行、重合的等价条件；2.会根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3.进一步体会归纳猜想、类比转化、分类讨论、数形结合等数学思想。
一、直线（斜截式方程）相交、平行与重合的条件自学完成下列学习内容，时间5分钟：1.在平面直角坐标系内作出直线221+=x y l ：，42:2+=x y l ，x y l -=:3的图象。
探究：（1）直线1l 与2l 的位置关系为： ；（2）从图象变换的角度理解：42:2+=x y l 的图象是由221+=x y l ：的图象向平行移动 个单位得到的。
因此，1l 与2l 为 直线；（3）直线1l 与3l 的位置关系为： ；思考：1.如果两条直线的斜率不相等，则两条直线相交，是否正确？2.如果两条直线的斜率相等，则两条直线平行，是否正确？归纳小结：已知直线111b x k y l +=：，222b x k y l +=：思考：与直线22+=x y l ：平行的直线的方程可设为： ； 推广：与直线b kx y l +=：平行的直线的方程可设为： ； 应用：求过点（-1，2），且与直线121+=x y 平行的直线的方程。
二、直线（一般式方程）相交、平行与重合的条件自学课本81页——82页，完成下列内容，时间10分钟：自学指导：（1）弄清楚两条直线相交的条件；（2）弄清楚两条直线平行或者重合的条件；（3）弄清楚两条直线平行的条件；（4）弄清楚两条直线重合的条件；检测题：1. 课本84页，练习A ：22. 直线02=-+k y x 与0124=+-y x 的位置关系是： ；3. 已知直线l 的方程为34120x y +-=，则与l 平行，且过点（—1，3）的直线方程是 ___ ___；归纳小结：已知两直线的方程01111=++C y B x A l ：，02222=++C y B x A l ：思考：如果222,,C B A 全不为0，上述结论如何等价转化？（提示：参考课本82页表格） 归纳小结：思考：与直线0543=-+y x 平行的直线的方程可以设为： ； 推广：与直线0=++C By Ax l ：平行的直线的方程可以设为： ； 应用：求过点（1，-4），且与直线0532=++y x 平行的直线的方程。
高中数学人教版必修二(浙江专版)学案直线的交点坐标与距离公式含答案
∴所求直线方程为 2x＋3y＋8＝0.
题点四：线关于线对称
4．求直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l：2x－3y＋1＝0 的对称直线 m′的方程．
解：在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，
则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上．
设对称点为 M′(a，b)，则
Error!
4 两点间距离公式
[典例] (1)已知点 A(－3,4)，B(2， 3)，在 x 轴上找一点 P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|
的值；
(2)已知 M(x，－4)与点 N(2,3)间的距离为 7 2，求 x 的值．
[解] (1)设点 P 的坐标为(x,0)，则有
|PA|＝ x＋32＋0－42＝ x2＋6x＋25，
A．(－2,1)
B．(－2,5)
C．(2，－5)
D．(4，－3)
解析：选 B 设对称点坐标为(a，b)，
Error!解得Error!即 Q(－2,5)．
题点三：线关于点对称
3．与直线 2x＋3y－6＝0 关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
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A．3x－2y＋2＝0
B．2x＋3y＋7＝0
即 x2－4x－45＝0，
解得 x1＝9 或 x2＝－5.
故所求 x 的值为 9 或－5.
若已知两点的坐标 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求两点间的距离，可直接应用两点间的距离 公式|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.若已知两点间的距离，求点的坐标，可设未知数，逆
-3-
用两点间的距离公式列出方程，从而解决问题．
[小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)过 P1(0，a)，P2(0，b)的两点间的距离为 a－b( ) (2)不论 m 取何值，x－y＋1＝0 与 x－2my＋3＝0 必相交( ) 答案：(1)× (2)× 2．已知点 A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则 a 的值为( ) A．1 B．－5 C．1 或－5 D．－1 或 5 解析：选 C ∵|AB|＝ a＋22＋3＋12＝5， ∴a＝－5 或 a＝1. 3．两直线 2x＋3y－k＝0 和 x－ky＋12＝0 的交点在 y 轴上，那么 k 的值为________．
高中数学两直线交点教案
高中数学两直线交点教案教学目标：1. 理解两条直线的交点概念。
2. 掌握求解两直线交点的方法。
3. 能够应用所学知识解决实际问题。
教学重点：1. 直线的方程形式。
2. 求解两直线交点的方法。
教学难点：1. 通过代数方法求解两直线交点。
2. 将代数方法应用于实际问题。
教学准备：1. 教师准备：课件、板书、教学素材。
2. 学生准备：课本、笔记、计算器。
教学流程：Step 1：导入教师引导学生回顾直线的基本性质，以及两条直线相交的情况。
Step 2：理论学习1. 讲解两直线交点的定义。
2. 介绍求解两直线交点的方法：代数方法。
3. 举例说明代数方法的具体步骤。
Step 3：示范演练教师通过板书和实例演示如何求解两直线交点，学生跟随进行练习。
Step 4：练习检测学生独立进行练习，检测其对两直线交点的理解和掌握程度。
Step 5：拓展应用教师带领学生应用所学知识解决实际问题，如求解交通信号灯的优化问题等。
Step 6：课堂总结教师总结本节课的重点内容，强调两直线交点的概念和求解方法，并提出下节课预习内容。
Step 7：作业布置布置作业，巩固所学知识。
教学反馈：通过学生作业和课堂表现等方式进行教学反馈，及时发现和解决问题。
教学延伸：鼓励学生主动探索更多应用场景，深入了解两直线交点的实际意义。
资源链接：1. 直线方程的概念及性质2. 两直线交点的相关练习题以上为本节课的教案内容，希望能够帮助学生更好地理解和掌握两直线交点的求解方法。
祝学生学习顺利！。
高中数学必修二两条直线的交点坐标公开课教案课件教案课件
3.3.1 两条直线的交点坐标【教学目标】1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，2.当两条直线相交时，会求交点坐标.3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.【重点难点】教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.【教学过程】导入新课问题1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.问题2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.新知探究 提出问题①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？ ②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ ③解下列方程组(由学生完成)：(ⅰ)⎩⎨⎧=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131,062x y y x .如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标.几何元素及关系代数表示 点A A(a ，b) 直线l l ：Ax+By+C=0点A 在直线上 直线l 1与l 2的交点A关系.设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解.(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交;(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行;(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合.即直线l 1、l 2联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧⇔⎪⎩⎪⎨⎧.,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解转化、l l 、l l 、l l(代数问题) (几何问题)③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：(ⅰ)23≠14;(ⅱ)21316312=--=;(ⅲ)16312--=≠211.一般地，对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C CB B A A l lC C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A . 注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用.(b )如果A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.(c)结论：方程表示经过这两条直线l 1与l 2的交点的直线的集合. 应用示例例1 求下列两直线的交点坐标,l 1：3x+4y-2=0,l 2：2x+y+2=0.解:解方程组⎩⎨⎧=++=-+,022,023y x y x 得x=-2，y=2，所以l 1与l 2的交点坐标为M(-2，2).变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0.解:解方程组x-2y+2=0,2x-y-2=0, 得x=2,y=2,所以l 1与l 2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x.点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式. 例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. (1)l 1：x-y=0，l 2：3x+3y-10=0. (2)l 1：3x-y+4=0，l 2：6x-2y-1=0. (3)l 1：3x+4y-5=0，l 2：6x+8y-10=0. 活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.解:(1)解方程组⎩⎨⎧=-+=-,01033,0y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.35,35y x所以l 1与l 2相交,交点是(35,35). (2)解方程组⎩⎨⎧=--=+-)2(,0126)1(,043y x y x①×2-②得9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,l 1∥l 2. (3)解方程组⎩⎨⎧=-+=-+)2(,01086)1(,0543y x y x①×2得6x+8y-10=0.因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l 1与l 2重合.变式训练判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.(2)l 1:(3-2)x+y=7,l 2:x+(3+2)y-6=0.(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1).例3 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程. 思路解析：根据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系)直接设出方程，根据条件求未知量，得出所求直线的方程.解：(方法一)由方程组⎩⎨⎧=++=0,2y x 0,3-3y -2x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.57,53y x∵直线l 和直线3x+y-1=0平行， ∴直线l 的斜率k=-3. ∴根据点斜式有y-(57-)=-3［x-(53-)］，即所求直线方程为15x+5y+16=0.(方法二)∵直线l 过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点， ∴设直线l 的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0， 即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0. ∵直线l 与直线3x+y-1=0平行， ∴1321332--≠-=+λλλ.解得λ=211. 从而所求直线方程为15x+5y+16=0.点评：考查熟练求解直线方程，注意应用直线系快速简洁解决问题。
高中数学人教B必修二学案：第二单元 2.2.3 第1课时 两条直线相交、平行与重合的条件含答案
2．2.3 两条直线的位置关系第1课时 两条直线相交、平行与重合的条件学习目标 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否平行或重合.3.能应用两直线平行与重合求参数或直线方程．知识点 两条直线相交、平行与重合的条件思考1 直线l 1：2x ＋3y －6＝0与直线l 2：3x ＋2y ＋6＝0的位置关系是怎样的？思考2 直线l 3：2x ＋3y －2＝0与直线l 4：4x ＋6y ＋3＝0的位置关系是怎样的？梳理 两条直线相交、平行与重合的判定方法 (1)代数法两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解进行判断(如表所示)：(2)几何法设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1；l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则： ①l 1与l 2相交⇔____________； ②l 1∥l 2⇔________________； ③l 1与l 2重合⇔____________.类型一 两条直线位置关系的判定例1 判断下列各组中两条直线的位置关系． (1)l 1：y ＝3x ＋4，l 2：2x －6y ＋1＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0，l 2：y ＝x 3＋23；(3)l 1：(2－1)x ＋y ＝3，l 2：x ＋(2＋1)y ＝2； (4)l 1：x ＝5，l 2：x ＝6.反思与感悟 两条直线位置关系的判定方法 设两条直线的方程分别为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)若A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2、B 2≠0)，则两直线相交．(2)若A 1A 2＋B 1B 2＝0，则两直线相互垂直．(3)若A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0或(B 1C 2－B 2C 1≠0)或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)，则两直线平行．跟踪训练1 已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交？(2)平行？(3)重合？类型二 两条直线平行的应用例2 (1)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程； (2)求过点P (3,2)且与经过点A (0,1)，B (－2，－1)的直线平行的直线方程．反思与感悟 (1)求与直线y ＝kx ＋b 平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y ＝kx ＋m (m ≠b )，然后通过待定系数法，求参数m 的值．(2)求与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，代入已知条件求出m 即可．其中对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论．跟踪训练2 若直线l 与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为56，求直线l的方程．类型三 两条直线的交点问题例3 求经过原点，且经过直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点的直线l 的方程．反思与感悟 利用过交点的直线系方程避免了解方程组的过程，减少了运算量，因此我们必须熟练掌握这一方法，并能灵活运用它解决求过两直线交点的直线方程的问题．跟踪训练3 三条直线x ＋y ＋1＝0,2x －y ＋8＝0，ax ＋3y －5＝0只有两个不同的交点，则a ＝________.1．直线Ax ＋4y －1＝0与直线3x －y －C ＝0重合的条件是( ) A ．A ＝12，C ≠0 B ．A ＝－12，C ＝14C ．A ＝－12，C ≠－14D ．A ＝－12，C ＝－142．直线2x －y ＋k ＝0和直线4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．不平行C ．平行或重合D ．既不平行也不重合3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( ) A ．－8 B ．0 C ．2D ．104．过点(－1，－3)且与直线2x ＋y －1＝0平行的直线方程为________________________． 5．已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0,1)，B (1,0)，C (4,3)，求顶点D 的坐标．两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：答案精析问题导学 知识点思考1 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －6＝0，3x ＋2y ＋6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝6.∴l 1与l 2相交．思考2 24＝36≠－23，∴l 3∥l 4.梳理 (1)平行 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 相交 A 1A 2≠B 1B 2 重合 A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(2)①k 1≠k 2 ②k 1＝k 2且b 1≠b 2 ③k 1＝k 2且b 1＝b 2 题型探究例1 解 (1)A 1＝3，B 1＝－1，C 1＝4； A 2＝2，B 2＝－6，C 2＝1. 因为A 1A 2≠B 1B 2，所以l 1与l 2相交．(2)A 1＝2，B 1＝－6，C 1＝4； 把l 2化为x －3y ＋2＝0， 所以A 2＝1，B 2＝－3，C 2＝2. 因为A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，所以l 1与l 2重合．(3)A 1＝2－1，B 1＝1，C 1＝－3； A 2＝1，B 2＝2＋1，C 2＝－2. 因为A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，所以l 1与l 2平行．(4)A 1＝1，B 1＝0，C 1＝－5； A 2＝1，B 2＝0，C 2＝－6， 因为A 1B 2－A 2B 1＝0，而A 2C 1－A 1C 2≠0，所以l 1与l 2平行． 跟踪训练1 解 因为直线l 1：x ＋my ＋6＝0， 直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0， 所以A 1＝1，B 1＝m ，C 1＝6， A 2＝m －2，B 2＝3，C 2＝2m .(1)若l 1与 l 2相交，则A 1B 2－A 2B 1≠0， 即1×3－m (m －2)≠0， 即m 2－2m －3≠0， 所以(m －3)(m ＋1)≠0， 解得m ≠3且m ≠－1.故当m ≠3且m ≠－1时，直线l 1与l 2相交．(2)若l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m (m －2)＝0，2m 2－18≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3＝0，m 2≠9，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠3且m ≠－3，所以m ＝－1.故当m ＝－1时，直线l 1与l 2平行．(3)若l 1与l 2重合，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m (m －2)＝0，2m 2－18＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ＝3或m ＝－3.所以m ＝3.故当m ＝3时，直线l 1与l 2重合．例2 解 (1)方法一 已知直线的斜率为－23，∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线方程的斜率为－23.由点斜式，得所求直线的方程为y ＋4＝－23(x －1)，即2x ＋3y ＋10＝0.方法二 设与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线l 的方程为2x ＋3y ＋λ＝0(λ≠5)． ∵l 经过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10， ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.(2)经过点A (0,1)，B (－2，－1)的直线的斜率为k ＝1－(－1)0－(－2)＝1.∵所求直线经过点P (3,2)， ∴所求直线方程为y －2＝x －3 即x －y －1＝0.跟踪训练2 解 设直线l 的方程为 2x ＋3y ＋C ＝0， 令x ＝0，得y ＝－C3，令y ＝0，得x ＝－C2.由题意，得－C 3－C 2＝56，解得C ＝－1.所以直线的方程为2x ＋3y －1＝0.例3 解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点坐标为(－1，－2)． 又直线l 经过原点， ∴直线l 的方程为y －0－2－0＝x －0－1－0，即2x －y ＝0. 方法二 设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0， ∵直线过原点(0,0)， ∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴直线方程为2x ＋3y ＋8＋8x －8y －8＝0， 即2x －y ＝0. 跟踪训练3 3或－6解析 当直线ax ＋3y －5＝0与x ＋y ＋1＝0平行时，a ＝3. 当直线ax ＋3y －5＝0与2x －y ＋8＝0平行时， a 2＝3－1≠－58，得a ＝－6， ∴a ＝3或a ＝－6. 当堂训练 1．D 2.C 3.A 4．2x ＋y ＋5＝0解析 设所求直线方程为2x ＋y ＋C ＝0， 将点(－1，－3)代入方程， 2×(－1)－3＋C ＝0，得C ＝5. ∴直线方程为2x ＋y ＋5＝0.5．解 设D (m ，n )，由题意，得AB ∥DC ，AD ∥BC ， 则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC .所以⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n4－m，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4.所以点D 的坐标为(3,4)．。
人教版(B版2019课标)高中数学选择性必修一2.2.3两条直线的位置关系 学案
两条直线的位置关系【学习目标】1．掌握两条直线的位置关系。
2．能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
3．学会利用斜率判定两条直线平行或垂直的应用。
4．通过自主学习、合作讨论探究，体验学习的快乐。
5．小组合作探究时，激情投入。
【学习重点】两条直线相交、平行、重合的条件，要求学生能熟练掌握，并灵活运用。
【学习难点】用代数方法推导两条直线相交、平行、重合条件的思路。
【学习过程】一、预习案相关知识在平面几何中，我们所学的两条直线的位置关系是什么？在平面直角坐标系中，怎样判定两条直线平行或垂直？还有其他方法吗？ 教材助读 1．两条直线平行我们知道，斜率相等的两条直线倾斜角相等，它们相互平行；反之，两条直线平行，它们的倾斜角相等，若倾斜角不为，则它们的斜率相等。
于是有以下结论：（1）（2）2．两条直线垂直一般地，设直线111:y x l k b =+，直线222:y x l k b =+。
（1）若1l 垂直2l ，则12.k k =__________反之，若12.1k k =-，则（2）特别地，对于直线1:x a l =，直线2:y b l =，由于1l 垂直x 轴，2l 垂直y 轴， 所以 预习自测1．判断下列两直线是否平行，并说明理由： （1）1:32y x l =+； 2:35y x l =+； （2）1:21y x l =+； 2:3y x l =； （3）1:5x l =； 2:8x l = 2．判断下列两直线是否垂直，并说明理由：（1）1:42y x l =+； 21:54y x l =-+（2）1:536x y l +=； 2:355x y l -=； （3）1:5y l = ； 2:8x l =3．求过A （1，2）且分别适合下列条件的直线方程： （1）平行于直线340x y ++= ； （2）垂直于直线10x y -+= 二、探究、合作、展示基础知识探究1．两条不重合的直线111:y x l k b =+和222:y x l k b =+（12b b ≠），若1l ／／2l ，则1k ______2k 。
人教版高中数学必修二《3.3.1 两条直线的交点坐标》
x 0y+10=0和3x+4y-2=0的交点坐标为(0,2) 又因为所求直线过点(2,1)
所以所求直线方程为x+2y-4=0
法二：设经过两直线交点的直线方程为：
当直线斜率不存 在时，如何判断?
（ 1 ）k1 k 2 , b1 b2
（2）k1 k 2 , b1 b2
l1 // l2
l1与l 2 重合
l1与l2相交
（3）k1 k 2
二、新课讲授
y P(a,b)
直线l : 2 x y 3 0
(1)点15 ， 在直线上吗？ (2)点 2， 7 在直线上吗？ (3)点3， 8 在直线上吗？
点P(a,b)在直线l上，那么 P(a,b)满足直线l的方程 即2a-b+3=0
l : 2x y 3 0
x
l1:A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0 y
l1
y
l2
y A(a,b)
l1
A(a,b) x l1:A1x+B1y+C1=0 A1a+B1b+C1=0
A(a,b)
（3）l1:3x+4y-5=0， l2:6x+8y-10=0 x-y=0 解（ : 1）解方程组 3x+3y-10=10 x= 5 得： 3 所以l1与l2相交， 5 y= 3 5 5 交点坐标为（ 3 ，3 ）.
3x y 4 0, （2） 解方程组 6 x 2 y 1 0,
问题4:方程组 两条直线的位置关系有何关系？
高中数学两直线相交教案
高中数学两直线相交教案
教学内容：两条直线的性质及相交情况
教学目标：学生能够理解两直线相交的概念，掌握两直线相交时的相关性质，并能够运用相关知识解决问题。
教学重点：两直线的相交情况、相交角的性质、解决相关问题。
教学难点：判断两直线相交情况、运用相关性质解题。
教学准备：黑板、彩色粉笔、直尺、圆规等。
教学过程：
一、引入课题
通过绘制两条相交直线，引导学生讨论两直线相交时可能出现的情况。
二、讲解两直线相交的情况
讲解两直线相交的情况，包括相交于一点、平行、重合等情况，并引导学生探讨各种情况下的性质。
三、介绍相交角的性质
讲解相交角的定义及基本性质，包括邻补角、对顶角等，并引导学生观察相交角的特点。
四、实例演练
给学生提供一些相关的实例题，让他们运用所学知识解决问题。
五、课堂练习
让学生自主解答一些相关问题，加深对知识的理解和掌握。
六、作业布置
布置相关作业，巩固学生学习成果。
七、课堂小结
对本节课的重点内容进行总结，并激励学生继续努力学习。
高中数学 第三章 直线与方程 3.3 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离学案
3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离目标定位 1.会求两条直线的交点坐标.2.理解两条直线的平行、相交与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系.3.掌握平面上两点间的距离公式并会应用.自 主 预 习1.两条直线的交点已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解，则两条直线平行.若方程组有无穷多个解，则两条直线重合. 2.过定点的直线系方程已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交于点P (x 0，y 0)，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0表示过点P 的直线系，不包括直线l 2. 3.两点间的距离平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式 |P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 4.两点间距离的特殊情况(1)原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. (3)当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.即 时 自 测1.判断题(1)求两直线的交点就是解由两直线方程组成的方程组.(√)(2)两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交的充要条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.(√) (3)方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，表示经过直线l 1：∴A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的所有直线.(×)(4)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关.(√)提示 (3)无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2. 2.直线x ＝1与直线y ＝2的交点坐标是( )A.(1，2)B.(2，1)C.(1，1)D.(2，2)答案 A3.已知M (2，1)，N (－1，5)，则|MN |等于( ) A.5B.37C.13D.4解析 |MN |＝（2＋1）2＋（1－5）2＝5. 答案 A4.已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________.解析 l 1与l 2相交则有：a 4≠36，∴a ≠2.答案 a ≠2类型一 两直线的交点问题【例1】 求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程.解 法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2，2).∵直线过坐标原点，∴其斜率k ＝2－2＝－1. 故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.法二 ∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1，∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.规律方法 (1)方法一是解方程组方法，思路自然，但计算量稍大，法二运用了交点直线系，是待定系数法，计算简单，但要注意判断原点(0，0)不能在直线2x ＋y ＋2＝0上.否则，会出现λ的取值不确定的情形.(2)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0可表示过l 1、l 2交点的所有直线； ②A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0不能表示直线l 2.【训练1】 求经过直线l 1：x ＋3y －3＝0，l 2：x －y ＋1＝0的交点且平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程.解 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴直线l 1与l 2的交点坐标为(0，1)，再设平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程为2x ＋y ＋C ＝0， 把(0，1)代入所求的直线方程，得C ＝－1， 故所求的直线方程为2x ＋y －1＝0. 法二 设过直线l 1、l 2交点的直线方程为x ＋3y －3＋λ(x －y ＋1)＝0(λ∈R )，即(λ＋1)x ＋(3－λ)y ＋λ－3＝0，由题意可知，λ＋1λ－3＝－2，解得λ＝53， 所以所求直线方程为83x ＋43y －43＝0，即2x ＋y －1＝0.类型二 两点间距离公式的应用(互动探究)【例2】 已知△ABC 三顶点坐标A (－3，1)、B (3，－3)、C (1，7)，试判断△ABC 的形状. [思路探究]探究点一 如何判断三角形的形状？提示 判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.探究点二 从哪几个方面分析三角形的形状？提示 在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或满足勾股定理. 解 法一 ∵|AB |＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213， |AC |＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213， 又|BC |＝（1－3）2＋（7＋3）2＝226，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |，∴△ABC 是等腰直角三角形.法二 ∵k AC ＝7－11－（－3）＝32，k AB ＝－3－13－（－3）＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB .又|AC |＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213， |AB |＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213， ∴|AC |＝|AB |.∴△ABC 是等腰直角三角形.规律方法 1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.2.在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.【训练2】已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标.解设点P的坐标为(x，0)，由|PA|＝10，得（x－3）2＋（0－6）2＝10，解得：x＝11或x＝－5.所以点P的坐标为(－5，0)或(11，0).类型三坐标法的应用【例3】证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.证明如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).设B(a，0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)，因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2.所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2).所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.规律方法坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴.【训练3】已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c).∴|AC |＝（b －0）2＋（c －0）2＝b 2＋c 2，|BD |＝（a －b －a ）2＋（c －0）2＝b 2＋c 2.故|AC |＝|BD |. [课堂小结]1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2).2.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.3.两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.1.直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A.(4，1)B.(1，4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.答案 C2.经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( )A.2x ＋y －8＝0B.2x －y －8＝0C.2x ＋y ＋8＝0D.2x －y ＋8＝0解析 首先解得交点坐标为(1，6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0. 答案 A3.已知点A (－2，－1)，B (a ，3)，且|AB |＝5，则a 的值为________. 解析 由题意得（a ＋2）2＋（3＋1）2＝5，解得a ＝1或a ＝－5.答案 1或－54.求经过两条直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程.解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75.∵所求直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行， ∴直线l 的斜率k ＝－3，根据点斜式可得y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.基 础 过 关1.已知A (－1，0)，B (5，6)，C (3，4)，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12C.3D.2解析 由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－（－1）]2＋（4－0）2＝42，|CB |＝（3－5）2＋（4－6）2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.答案 D2.两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( ) A.－24 B.6 C.±6 D.24解析 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6.答案 C3.以A (5，5)，B (1，4)，C (4，1)为顶点的三角形是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形解析 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32， ∴三角形为等腰三角形.故选B.答案 B4.设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________. 解析 设A (x ，0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)， ∴x 2＝2，y2＝－1，∴x ＝4，y ＝－2， 即A (4，0)，B (0，－2)，∴|AB |＝42＋22＝2 5. 答案 2 55.若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k 的取值范围是________.解析 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋62＋3k ，y ＝6k －232＋3k .由于交点在第一象限，故x >0，y >0，解得k >33.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 6.在直线l ：3x －y ＋1＝0上求一点P ，使点P 到两点A (1，－1)，B (2，0)的距离相等. 解 法一 设P 点坐标为(x ，y )，由P 在l 上和点P 到A ，B 的距离相等建立方程组⎩⎨⎧3x －y ＋1＝0，（x －1）2＋（y ＋1）2＝（x －2）2＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以P 点坐标为(0，1).法二 设P (x ，y )，两点A (1，－1)、B (2，0)连线所得线段的中垂线方程为x ＋y －1＝0.① 又3x －y ＋1＝0，②解由①②组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以所求的点为P (0，1).7.求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.证明 法一 对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0，令m ＝0，得x －3y －11＝0；令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0得两条直线的交点坐标为(2，－3).将点(2，－3)代入直线方程，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝0. 这表明不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).法二 将已知方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0.由于m 取值的任意性，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，－x ＋3y ＋11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3.所以不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).能 力 提 升8.已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互为垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( ) A.24B.20C.0D.－4解析 由垂直性质可得2m －20＝0，m ＝10.由垂足可得⎩⎪⎨⎪⎧10＋4p －2＝0，2－5p ＋n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－2，n ＝－12.∴m －n＋p ＝20. 答案 B9.两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895B.175C.135D.115解析 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135.答案 C10.过点P (3，0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，则此直线l 的方程是________.解析 法一 显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意，当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，将此方程分别与l 1，l 2的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3），2x －y －2＝0和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3），x ＋y ＋3＝0. 解得x A ＝3k －2k －2和x B ＝3k －3k ＋1，∵P (3，0)是线段AB 的中点，∴x A ＋x B ＝6，即3k －2k －2＋3k －3k ＋1＝6，解得k ＝8. 故直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 法二 设l 1上的点A 的坐标为(x 1，y 1)， ∵P (3，0)是线段AB 的中点， ∴l 2上的点B 的坐标为(6－x 1，－y 1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－y 1－2＝0，（6－x 1）＋（－y 1）＋3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝113，y 1＝163.∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫113，163，由两点式可得l 的方程为8x －y －24＝0.答案 8x －y －24＝011.已知直线l 1过点A (2，1)，B (0，3)，直线l 2的斜率为－3且过点C (4，2). (1)求l 1，l 2的交点D 的坐标； (2)已知点M (－2，2)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，72，若直线l 3过点D 且与线段MN 相交，求直线l 3的斜率k 的取值范围.解 (1)∵直线l 1过点A (2，1)，B (0，3)，∴直线l 1的方程为y －13－1＝x －20－2，即y ＝－x ＋3.∵直线l 2的斜率为－3且过点C (4，2)， ∴直线l 2的方程为y －2＝－3(x －4)，即y ＝－3x ＋14.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋14，y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－52，即l 1，l 2的交点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫112，－52. (2)由题设知k MD ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－2－112＝－35.k ND ＝72－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52152－112＝3.因为过点D 的直线与线段MN 相交，故直线l 3的斜率k 的取值范围为：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－35∪[3，＋∞).探 究 创 新12.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1，2)，B (4，0)，一条河所在直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P 使之到A ，B 两镇的管道最省，问供水站P 应建在什么地方？此时|PA |＋|PB |为多少？解 如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，因为若P ′(异于P )在直线l 上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |.因此，供水站只能在点P 处，才能取得最小值.设A ′(a ，b )，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6，即A ′(3，6). 所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3811，y ＝3611.所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611. 故供水站应建在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611处， 此时|PA |＋|PB |＝|A ′B |＝（3－4）2＋（6－0）2＝37.。
高中数学第7章解析几何初步7.2.2两条直线的位置关系学案湘教版必修3
7．2.2 两条直线的位置关系[学习目标]1．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．理解直线相交、平行、重合、垂直的意义，会利用直线的几何特征判定直线相交、平行、重合、垂直．3．会由两条直线的法向量来判定两条直线相交、平行、重合、垂直． [预习导引]1．利用法向量确定两直线的位置关系 (1)两条直线平行或重合⇔它们的法向量平行． (2)两条直线相交⇔它们的法向量不平行． (3)两条直线垂直⇔它们的法向量垂直． 2．两直线的夹角两直线的夹角α的大小规定在0≤α≤π2的范围内，当法向量的夹角满足0≤θ≤π2时，α＝θ；当法向量的夹角θ>π2时，α＝π－θ． 3．定理2设直线l 1，l 2的方程分别为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则 l 1与l 2重合⇔存在实数λ≠0，使⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝λA 1，B 2＝λB 1，C 2＝λC 1；l 1与l 2平行⇔存在实数λ≠0，使⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝λA 1，B 2＝λB 1，C 2≠λC 1；l 1与l 2相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0； l 1与l 2垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0； l 1与l 2夹角θ的余弦cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21·A 22＋B 22.要点一 判断两直线是否相交例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l 1：2x －y ＝7和l 2：3x ＋2y －7＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0和l 2：4x －12y ＋8＝0； (3)l 1：4x ＋2y ＋4＝0和l 2：y ＝－2x ＋3.解 (1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －7＝0，3x ＋2y －7＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋4＝0，4x －12y ＋8＝0有无数组解，表明直线l 1和l 2重合．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ＋4＝0，2x ＋y －3＝0，无解，表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2.规律方法 方程组有一解，说明两直线相交；方程组没有解说明两直线没有公共点，即两直线平行；方程组有无数个解说明两直线重合．跟踪演练1 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标．(1)⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0；(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，y ＝13x ＋12.解 (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得该方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－103，y ＝143.所以两直线相交，且交点坐标为(－103，143)．(2)解方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，y ＝13x ＋12，①②②×6得2x －6y ＋3＝0，因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②有无数组解，所以两直线重合． 要点二 判断两条直线的位置关系例2 判断下列各组直线的位置关系． (1)l 1：2x ＋y ＋1＝0，l 2：x －3y －5＝0； (2)l 1：x －y ＋2＝0，l 2：2x －2y ＋3＝0； (3)l 1：3x －4y －1＝0，l 2：6x －8y －2＝0； (4)l 1：x －y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋3＝0.解 (1)对l 1，l 2，由21≠1－3，知l 1与l 2相交．(2)对l 1，l 2，由12＝－1－2≠23，知l 1与l 2平行．(3)对l 1，l 2，由36＝－4－8＝－1－2，知l 1与l 2重合．(4)对l 1，l 2，由A 1A 2＋B 1B 2＝1×1＋(－1)×1＝0，知l 1⊥l 2. 规律方法 利用法向量判断．跟踪演练2 根据下列条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1：y ＝－3x ＋1，l 2：x ＋13y －6＝0；(2)l 1：(lg 2)x －y ＋5＝0，l 2：(log 210)x ＋y －6＝0；(3)l 1经过点A (1，2 009)，B (1，2 010)，l 2经过点P (0，－2)，Q (0，5)． 解 (1)l 1的一般式方程为3x ＋y －1＝0， 由31＝113≠－1－6，知l 1∥l 2. (2)对于l 1，l 2由A 1A 2＋B 1B 2＝lg2·log 210＋(－1)·1＝0知l 1⊥l 2. (3)因为l 1过点A (1，2 009)，B (1，2 010)， 所以方程为x ＝1，与x 轴垂直． 因为l 2过点P (0，－2)，Q (0，5)， 所以方程为x ＝0，即y 轴，所以l 1∥l 2. 要点三 应用位置关系求参数值例3 已知直线l 1：ax －y ＋a ＋2＝0，l 2：ax ＋(a 2－2)y ＋1＝0.问当a 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合？ 解 若A 1，A 2，B 1，B 2全不为0时，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋a ＋2＝0ax ＋（a 2－2）y ＋1＝0，得A 1A 2＝a a ＝1，B 1B 2＝－1a 2－2，C 1C 2＝a ＋21，由A 1A 2＝B 1B 2得a ＝－1或a ＝1，由A 1A 2＝C 1C 2得a ＝－1， 所以，当a ≠±1时，A 1A 2≠B 1B 2，l 1与l 2相交； 当a ＝1时，A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，l 1与l 2平行； 当a ＝－1时，A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，l 1与l 2重合． 若A 1，A 2，B 1，B 2中有为0的值时，当a ＝0时，方程组化为⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋2＝0－2y ＋1＝0，这时l 1与l 2平行；当a 2－2＝0即a ＝±2时，方程组化为⎩⎨⎧2x －y ＋2＋2＝0，2x ＋1＝0，或⎩⎨⎧－2x －y ＋2－2＝0，－2x ＋1＝0，此时两直线相交． 综上所述，(1)当a ≠±1且a ≠0时l 1与l 2相交； (2)当a ＝0或a ＝1时，l 1与l 2平行； (3)当a ＝－1时，l 1与l 2重合． 规律方法 两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0；(2)也可利用法向量来直接求解．跟踪演练3 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合？解 当m ＝0时，则l 1：x ＋6＝0，l 2：2x －3y ＝0， ∴l 1与l 2相交，当m ＝2时，则l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：3y ＋4＝0， ∴l 1与l 2相交．当m ≠0，m ≠2时，A 1A 2＝1m －2，B 1B 2＝m 3，C 1C 2＝62m.当A 1A 2＝B 1B 2时，1m －2＝m3，解得m ＝－1或m ＝3. 当A 1A 2＝C 1C 2时，1m －2＝62m，解得m ＝3. 综上所述，(1)当m ≠－1且m ≠3时，(A 1A 2≠B 1B 2)，l 1与l 2相交；(2)当m ＝－1时，(A 1A 2＝B 1B 2，A 1A 2≠C 1C 2)，l 1与l 2平行；(3)当m ＝3时，(A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2)，l 1与l 2重合．1．直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0答案 A解析 ∵直线2x －3y ＋4＝0的法向量为(2，－3)， ∴l 的法向量为(3，2)，∴l 的方程为3x ＋2y ＋C ＝0，将(－1，2)代入得C ＝－1， ∴l 的方程为3x ＋2y －1＝0.2．直线x ＋2y ＋1＝0与2x ＋ay －1＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 D解析 两条直线的法向量分别为n 1＝(1，2)，n 2＝(2，a )，∵两直线平行，∴1×a －2×2＝0，即a ＝4.3．两直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的条件是( ) A ．A 1A 2＋B 1B 2＝0 B ．A 1A 2－B 1B 2＝0 C.A 1A 2B 1B 2＝－1 D.B 1B 2A 1A 2＝1 答案 A解析 两直线的法向量分别为n 1＝(A 1，B 1)，n 2＝(A 2，B 2)，两直线垂直的条件是n 1⊥n 2，即n 1·n 2＝0，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0.4．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.答案 1解析∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，∴1×2＋(－2)×m＝0，∴m＝1.5．已知直线ax＋4y－2＝0和2x－5y＋b＝0垂直，交于点A(1，m)，则a＝________，b＝________，m＝________.答案10 －12 －2解析两直线垂直，则2a＋4×(－5)＝0，∴a＝10.∵(1，m)为两直线的交点，∴10×1＋4m－2＝0，∴m＝－2.又点(1，－2)在直线2x－5y＋b＝0上，∴2×1＋2×5＋b＝0，∴b＝－12.1．利用法向量判定两直线的位置关系时，如果两直线的法向量平行，一定要验证，因为可能出现平行或重合两种情况．2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)；与直线Ax＋By＋C ＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋m＝0.利用此结论解平行、垂直问题可以简化解题过程．3．平行与垂直是两直线间最重要的位置关系，利用平行和垂直的条件判断多边形的形状是常见的基本应用，要考虑各种情况.一、基础达标1．过点(－3，2)且与直线2x－y＋5＝0垂直的直线方程为( )A．x＋2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0C．x－2y＋1＝0 D．－2y－1＝0答案 B解析直线与2x－y＋5＝0垂直，所以所求直线的法向量为(1，2)，其方程可设为x＋2y＋C ＝0，将(－3，2)代入得－3＋4＋C ＝0，C ＝－1，即所求方程为x ＋2y －1＝0.2．已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，则a 的值为( ) A ．－6 B ．6 C ．－45D.45答案 B解析 若两直线平行，则a －22＝a3≠－15.解得a ＝6. 3．直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 为( ) A ．－1 B ．1 C ．±1 D ．－32答案 C解析 若两直线互相垂直，则 (a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， ∴(a －1)(－a －1)＝0， ∴a ＝±1.4．若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a ，b 的值分别为( ) A ．－3，－4 B ．3，4 C ．4，3 D ．－4，－3答案 B解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －8＝0x －2y ＋3＝0，得交点B (1，2)，代入方程ax ＋by －11＝0中，有a ＋2b－11＝0 ①，又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝0，所以－a b ＝－34 ②，11b ≠12③.由①②③，得a ＝3，b ＝4.5．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0互相垂直，则k ＝________. 答案 23解析 两直线的法向量分别为n 1＝(2，3)，n 2＝(1，－k )， 若两直线垂直，则n 1·n 2＝2－3k ＝0，∴k ＝23.6．若直线l 1：3x ＋y ＝0与直线l 2：ax －y ＋1＝0的夹角为60°，则a ＝________. 答案 0或 3解析 两直线的法向量分别为n 1＝(3，1)，n 2＝(a ，－1)， 则由已知得|3·a －1|2·a 2＋1＝cos 60°＝12. 解得a ＝0或a ＝3.7．求经过直线x ＋2y －1＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线2x －y ＋3＝0平行的直线l 的方程．解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3. ∵直线l 与直线2x －y ＋3＝0平行， ∴可设l 为2x －y ＋C ＝0.∵l 过点(－5，3)，∴2×(－5)－3＋C ＝0，解得C ＝13. ∴直线l 的方程为2x －y ＋13＝0. 二、能力提升8．已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们夹角的余弦值为( ) A.2917034 B ．－2917034C.92534 D.2915034 答案 A解析 两直线的法向量分别为n 1＝(3，4)，n 2＝(3，5)， 则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉| ＝|3×3＋4×5|32＋42·32＋52＝2934170. 9．已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2，3)，D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，则a ＝________. 答案 －6或5解析 直线l 1的方向向量n 1＝(a －5，－3－a )， 直线l 2的方向向量n 2＝(－3，a －5)．若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝0， 即－3(a －5)－(3＋a )(a －5)＝0， ∴a ＝5或a ＝－6.10．若三条直线x ＋y ＋1＝0，2x －y ＋8＝0和ax ＋3y －5＝0共有三个不同的交点，则实数a 应满足的条件是________．答案 a ∈R 且a ≠13且a ≠3且a ≠－6解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，2x －y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝2，即两直线的交点坐标为(－3，2)，依题意知，实数a 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ·（－3）＋3×2－5≠0，－a 3≠－1，－a 3≠2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠13，a ≠3，a ≠－6，即实数a 满足的条件为a ∈R ，且a ≠13且a ≠3且a ≠－6.11．已知两直线l 1：x ＋(1＋m )y ＝m －2，l 2：2mx ＋4y ＝16，求当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合；(4)垂直？解 直线l 1和l 2的法向量分别为n 1＝(1，1＋m )，n 2＝(2m ，4)． (1)若两直线相交，则n 1与n 2不平行， ∴4－2m (1＋m )≠0，解得，m ≠－2且m ≠1. (2)若两直线平行，则12m ＝1＋m 4≠m －216，解得m ＝1.(3)若两直线重合，则12m ＝1＋m 4＝m －216，解得m ＝－2.(4)若两直线垂直，则n 1⊥n 2， ∴2m ＋4(1＋m )＝0，∴m ＝－23.综上所述，当m ≠－2且m ≠1时，l 1与l 2相交； 当m ＝1时，l 1与l 2平行； 当m ＝－2时，l 1与l 2重合；当m ＝－23时，l 1与l 2垂直．三、探究与提高12．是否存在实数a ，使三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能围成一个三角形？请说明理由．解 (1)当l 1∥l 2时，－a ＝－1a，即a ＝±1；(2)当l 1∥l 3时，－a ＝－1，即a ＝1； (3)当l 2∥l 3时，－1a＝－1，a ＝1.(4)当l 1与l 2，l 3相交于同一点时，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0得交点(－1－a ，1)，将其代入ax ＋y＋1＝0中，得a ＝－2或a ＝1.故当a ≠1且a ≠－1且a ≠－2时，这三条直线能围成一个三角形．13．如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问如何在BC 上找到一点M ，使得两条小路AC 与DM 相互垂直？解 如图以点B 为坐标原点，BC ，BA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．由AD ＝5，AB ＝3，可得C (5，0)，D (5，3)，A (0，3)．设点M (x ，0)，则AC →＝(5，－3)，DM →＝(x －5，－3)． 因为AC ⊥DM ，则AC →·DM →＝0，即(5，－3)·(x －5，－3)＝0，5(x －5)＋9＝0， 解得x ＝165，即BM ＝165m.故当BM ＝165m 时，两条小路AC 与DM 相互垂直．。
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高中数学学案：两条直线的相交1. 熟练掌握利用直线方程求两条直线的交点坐标的方法.2. 理解两条直线的三种位置关系(平行、相交、重合)与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解(无解、有唯一解、有无数个解)的对应关系.3. 了解简单的直线对称问题,会求已知直线关于点或直线对称的直线的方程.1. 阅读：必修2第93～103页.2. 解悟：①对于两条直线,用方程组研究它们交点情况,理解两条直线的三种位置关系与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解(无解、有唯一解、有无数个解)的对应关系；②完成必修2第94页例2,并思考经过两条直线交点的直线方程有什么特征？3. 践习：在教材的空白处完成第95～96页练习第3、4、5题,习题第2、3、4题.基础诊断1. 已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直,且垂足为(1,p),则m －n ＋p 的值为 20 .解析：由题意得m ×2＋4×(－5)＝0,解得m ＝10.又因为两直线垂足为(1,p),所以10＋4p －2＝0,解得p ＝－2.将点(1,－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0,即2－5×(－2)＋n ＝0,解得n ＝－12,所以m －n ＋p ＝10－(－12)＋(－2)＝20.2. 经过直线2x ＋3y －7＝0与7x ＋15y ＋1＝0的交点,且平行于直线x ＋2y －3＝0的直线方程是 3x ＋6y －2＝0 .解析：由⎩⎨⎧2x ＋3y －7＝0，7x ＋15y ＋1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－173，所以直线2x ＋3y －7＝0与7x ＋15y ＋1＝0的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－173.设所求直线的方程是x ＋2y ＋λ＝0(λ≠－3),将点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－173代入可得λ＝－23,所以所求直线方程为3x ＋6y －2＝0.3. 若直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2恒过定点 (0,2) .4. 直线(m ＋2)x －(2m －1)y －(3m －4)＝0恒过定点 (－1,－2) .解析：由题意得m(x －2y －3)＋(2x ＋y ＋4)＝0,令⎩⎨⎧x －2y －3＝0，2x ＋y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，所以直线恒过定点(－1,－2).范例导航考向❶ 利用方程组求两直线交点的问题例1 已知△ABC 的顶点B(3,4),AB 边上的高CE 所在直线的方程为2x ＋3y －16＝0,BC 边上的中线AD 所在直线的方程为2x －3y ＋1＝0,求AC 的长.解析：因为k CE ＝－23,AB ⊥CE,所以k AB ＝32, 所以直线AB 的方程为3x －2y －1＝0.联立⎩⎨⎧3x －2y －1＝0，2x －3y ＋1＝0，解得A(1,1). 设C(a,b), 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋a 2，4＋b 2, 因为点C 在CE 上,BC 的中点D 在AD 上,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3b －16＝0，2·3＋a 2－3·4＋b 2＋1＝0，解得C(5,2), 由两点间距离公式得AC 的长为17.某直线过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点,且点P(0,4)到该直线的距离为2,求该直线的方程.解析：根据题意,可得⎩⎨⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2， 所以直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1,2).若直线斜率不存在,则直线方程为x ＝1,不满足点P(0,4)到直线的距离为2,所以直线斜率存在.设所求直线为y －2＝k(x －1),即kx －y －k ＋2＝0.因为点P 到直线距离为2,所以|－k －2|k 2＋1＝2,解得k ＝0或k ＝43, 所以直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.考向❷ 由点、线关系求直线方程例2 如图,在平面直角坐标系中,已知射线OA ：x －y ＝0(x ≥0),OB ：3x ＋3y ＝0(x ≥0),过点P(1,0)作直线l 分别交射线OA,OB 于点A,B.(1) 当AB 的中点为P 时,求直线AB 的方程；(2) 当AB 的中点在直线y ＝12x 上时,求直线AB 的方程.解析：(1) 方法一：当直线AB 垂直于x 轴时,P 不是AB 的中点,不合题意；当直线AB 不垂直于x 轴时,设其方程为y ＝k(x －1),由方程组⎩⎨⎧y ＝k （x －1），x －y ＝0，解得点A(k k －1,k k －1), 当k ＝1时,AB ∥OA,不合题意；由方程组⎩⎨⎧y ＝k （x －1），3x ＋3y ＝0，解得点B(3k 3k ＋3,－3k 3k ＋3),当k ＝－33时,AB ∥OB,不合题意. 因为P 为AB 的中点,所以k k －1－3k 3k ＋3＝0,解得k ＝－3－1或k ＝0(舍去), 所以直线AB 的方程为2x ＋(3－1)y －2＝0.方法二：因为A,B 分别是直线l 与射线OA ：x －y ＝0(x ≥0),OB ：3x ＋3y ＝0(x ≥0)的交点,所以设A(a,a),B ⎝⎛⎭⎪⎫b ，－33b . 因为P(1,0)是AB 的中点,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2＝1，12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －33b ＝0， 解得⎩⎨⎧a ＝3－1，b ＝3－3， 所以A(3－1,3－1),B(3－3,1－3),所以直线AB 的方程为2x ＋(3－1)y －2＝0.(2) 当直线AB 垂直于x 轴时, AB 的中点不在y ＝12x 上,不合题意,则设其方程为y ＝t(x －1),由方程组⎩⎨⎧y ＝t （x －1），x －y ＝0，解得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t t －1，t t －1, 由方程组⎩⎨⎧y ＝t （x －1），3x ＋3y ＝0， 解得点B(3t 3t ＋3,－3t 3t ＋3), 所以AB 的中点坐标为(t 2t －2＋3t 6t ＋23,t 2t －2－3t 6t ＋23), 代入y ＝12x 得t 2t －2－3t 6t ＋23＝12(t 2t －2＋3t 6t ＋23), 解得t ＝3＋32或t ＝0(舍去),所以直线AB 的方程为3x －(3－3)y －3＝0.已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点.(1) 若点A(5,0)到l 的距离为3,求直线l 的方程；(2) 求点A(5,0)到直线l 距离的最大值.解析：(1) 由直线l 经过直线l 1与l 2交点知,其直线方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y)＝0(λ≠0), 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0.因为点A(5,0)到直线l 的距离为3, 所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3, 即2λ2－5λ＋2＝0,所以λ＝2或λ＝12,所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2) 设直线l 1与l 2的交为P,由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得P(2,1). 如图,过点P 作任一直线l,设d 为点A 到l 的距离,则d ≤PA,当l ⊥PA 时等号成立,所以d max ＝PA ＝（5－2）2＋（0－1）2＝10.考向❸ 对称问题例3 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0,点A(－1,－2).求：(1) 点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；(2) 直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程；(3) 直线l 关于点A(－1,－2)对称的直线l′的方程. 解析：(1) 设A′(x,y),由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413， 所以A′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2) 在直线m 上任取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l 的对称点必在直线m′上.设对称点为M′(a,b),则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M′(613,3013).设直线m 与l 的交点为N,则⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，解得N(4,3).因为直线m′经过点N(4,3),所以直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3) 设P(x,y)为直线l′上任意一点,则P(x,y)关于点A(－1,－2)的对称点为P′(－2－x,－4－y).因为P′在直线l 上,所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0,即2x －3y －9＝0.自测反馈1. 已知三条直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10中任意两条直线均不平行,但它们不能构成三角形的三边,则实数a 的值为 －1 .解析：因为三条直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10中没有任何两条平行,但它们不能构成三角形的三边,则直线ax ＋2y ＋8＝0必经过4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10的交点.联立⎩⎨⎧4x ＋3y ＝10，2x －y ＝10，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2，代入ax ＋2y ＋8＝0,得a ＝－1. 2. 若直线l 1：y ＝kx ＋1与l 2：x ＝ky 相交,且交点在第二象限,则直线l 1的倾斜角的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π ；直线l 2的倾斜角的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 . 解析：因为直线l 1：y ＝kx ＋1与直线l 2：x ＝ky 相交,且交点在第二象限,联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x ＝ky ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 1－k 2，y ＝11－k 2(k 2≠1),则⎩⎪⎨⎪⎧k 1－k 2<0，11－k 2>0，所以－1<k<0,1k <－1,所以直线l 1的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π,直线l 2的倾斜角取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. 3. 若直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A(1,0)对称,则b ＝ 2 .解析：在直线x ＋2y －3＝0上任取一点B(2,12),则点B 关于点A 的对称点C(m,n)在直线ax＋4y ＋b ＝0上,则A 为BC 的中点,所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋22＝1，n ＋122＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－12，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12,代入ax ＋4y ＋b ＝0,得b ＝2.4. 若光线通过点A(2,3),在直线l ：x ＋y ＋1＝0上反射,反射光线经过点B(1,1),则入射光线所在直线的方程为 5x －4y ＋2＝0 ；反射光线所在直线的方程为 4x －5y ＋1＝0 Ｗ.解析：设点A(2,3)关于直线l 的对称点为A′(x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 02＋3＋y 02＋1＝0，y 0－3x 0－2＝1，解得⎩⎨⎧x 0＝－4，y 0＝－3，所以A′(－4,－3).由于反射光线所在直线经过点A′(－4,－3)和B(1,1),所以反射光线所在直线的方程为y －1＝1＋31＋4(x －1),即4x －5y ＋1＝0.联立⎩⎨⎧4x －5y ＋1＝0，x ＋y ＋1＝0，解得反射点P(－23,－13),所以入射光线所在直线的方程为5x －4y ＋2＝0.1. 有了直线的方程,对直线之间的位置关系的研究就可以转化为对直线方程的研究.2. 直线关于直线的对称问题一般转化为点关于直线的对称点问题进行处理.在具体问题中,直线和点都具有特殊性,要充分利用它们的特殊性解决问题.3. 你还有哪些体悟,写下来：。