2017年高考数学 考纲揭秘 专题7 平面向量 理
高考数学真题汇编---平面向量(有解析)
高考数学真题汇编---平面向量学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=||C．∥D．||＞||2．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C．D．23．（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣C．﹣D．﹣14．（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I35．（2016•新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°6．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C ．6 D．87．（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣9．（2016•四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．10．（2016•四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M 满足||=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．二．填空题（共20小题）11．（2017•山东）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=．12．（2017•新课标Ⅲ）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=．13．（2017•新课标Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=．14．（2017•新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=．15．（2017•山东）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．16．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．17．（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为．18．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．19．（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．20．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=．21．（2016•上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．22．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．23．（2016•山东）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为．24．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．25．（2016•浙江）已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则||+||的最大值是．26．（2016•上海）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．27．（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．28．（2016•北京）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．29．（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点A i，A j，点P满足++=，则点P落在第一象限的概率是．30．（2016•浙江）已知向量，，||=1，||=2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|≤，则•的最大值是．三．解答题（共1小题）31．（2017•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，= =3，求A和a．﹣6，S△ABC高考数学真题汇编---平面向量参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】由已知得，从而=0，由此得到．【解答】解：∵非零向量，满足|+|=|﹣|，∴，解得=0，∴．故选：A．2．【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC•CD=BD•r，∴r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．3．【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B．4．【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I3＜I1＜I2，故选：C．5．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC 的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），∴+=（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）=0，解得：m=8，故选：D．7．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：C．【分析】若⊥（t+），则•（t+）=0，进而可得实数t的值．【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，解得：t=﹣4，故选：B．9．【分析】由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得•（﹣）=0，•（﹣）=0，即•=•=0，即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B．10．【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．也可以以点A为坐标原点建立坐标系．解法二：取AC中点N，MN=，从而M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，B，N，M三点共线时，BM为最大值．所以BM最大值为3+=．故选：B．二．填空题（共20小题）11．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．故答案为：﹣3．12．【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且，∴=﹣6+3m=0，解得m=2．故答案为：2．13．【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量+与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），∴=（﹣1+m，3），∵向量+与垂直，∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，解得m=7．故答案为：7．14．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．15．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【解答】解：【方法一】由题意，设=（1，0），=（0，1），则﹣=（，﹣1），+λ=（1，λ）；又夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=﹣λ=2××cos60°，即﹣λ=，解得λ=．【方法二】，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．16．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．17．【分析】设P（cosα，sinα）．可得=（2，0），=（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：设P（cosα，sinα）.=（2，0），=（cosα+2，sinα）．则•=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．故答案为：6．18．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．19．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．20．【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，可得12=﹣2m，解得m=﹣6．故答案为：﹣6．21．【分析】设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则=（1，1），=（cosα，sinα+1），由此能求出•的取值范围．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，∴=（1，1），=（cosα，sinα+1），=cosα+sinα+1=，∴•的取值范围是[0，1+]．故答案为：[0，1+]．22．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．23．【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．【解答】解：∵向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），∴t+=（t+6，﹣t﹣4），∵⊥（t+），∴•（t+）=t+6+t+4=0，解得t=﹣5，故答案为：﹣5．24．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．25．【分析】由题意可知，||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，由此可知，当与共线时，||+||取得最大值，即．【解答】解：||+||=，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值．∴=．故答案为：．26．【分析】设出=（x，y），得到•=x+，令x=cosθ，根据三角函数的性质得到•=sinθ+cosθ=sin（θ+），从而求出•的范围即可．【解答】解：设=（x，y），则=（x，），由A（1，0），B（0，﹣1），得：=（1，1），∴•=x+，令x=cosθ，θ∈[0，π]，则•=sinθ+cosθ=sin（θ+），θ∈[0，π]，故•的范围是[﹣，1，]，故答案为：[﹣1，]．27．【分析】由已知可得=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，=+2，=﹣+2，结合已知求出2=，2=，可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：28．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．29．【分析】利用组合数公式求出从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个的事件总数，满足++=，且点P落在第一象限，则需向量+的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为．满足++=，且点P落在第一象限，对应的A i，A j，为：（A4，A7），（A5，A8），（A5，A6），（A6，A7），（A5，A7）共5种取法．∴点P落在第一象限的概率是，故答案为：．30．【分析】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．【解答】解：由绝对值不等式得≥|•|+|•|≥|•+•|=|（+）•|，于是对任意的单位向量，均有|（+）•|≤，∵|（+）|2=||2+||2+2•=5+2•，∴|（+）|=，因此|（+）•|的最大值≤，则•≤，下面证明：•可以取得，（1）若|•|+|•|=|•+•|，则显然满足条件．（2）若|•|+|•|=|•﹣•|，此时|﹣|2=||2+||2﹣2•=5﹣1=4，此时|﹣|=2于是|•|+|•|=|•﹣•|≤2，符合题意，综上•的最大值是，法2：由于任意单位向量，可设=，则|•|+|•|=||+||≥||+|=||=|+|，∵|•|+|•|≤，∴|+|≤，即（+）2≤6，即||2+||2+2•≤6，∵||=1，||=2，∴•≤，即•的最大值是．法三：设=，=，=，则=+，=﹣，|•|+|•|=||+||=||≤||，由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时（+）2取得最大值6，第21页（共22页）由于|+|2+|﹣|）2=2（||2+||2）=10，于是（﹣）2取得最小值4，则•=，•的最大值是．故答案为：．三．解答题（共1小题）31．【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=﹣1，求出A和c的值，再根据余弦定理即可求出a．【解答】解：由=﹣6可得bccosA=﹣6，①，由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=3，②∴tanA=﹣1，∵0＜A＜180°，∴A=135°，∴c==2，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29∴a=第22页（共22页）。
高考数学平面向量专题研究
高考数学平面向量专题研究姚围有从历届高考来看，向量题往往已经成为浙江高考数学的点睛之笔。
向量作为一种既有大小又有方向的量，同时兼具代数和几何双重身份，一方面，它可以将几何问题转化为坐标的代数运算，另一方面，又可以结合图形对向量的有关问题进行分析求解。
因此，向量是重要而基本的数学概念之一，是高中数学的重点内容之一。
几乎每年都是浙江省高考数学的热点，而且题目比较新颖独特，基本以压轴题的形式出现，对学生的要求比较高，重在考查学生的能力。
一、2017年浙江高考考试说明要求1.1考试内容：平面向量的基本概念，平面向量的线性运算及几何意义，平面向量的基本定理及坐标表示，平面向量的数量积，平面向量的应用。
1.2考试要求：1．理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念。
2．掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义。
3．理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题。
4．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
5．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算。
6．理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
7．掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系。
8．会用坐标表示平面向量的平行与垂直。
9．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
二、说明研读，地位分析从近几年的的浙江省数学高考真题来看，一般出现在选择、填空题的压轴题的位置。
对于学生的能力要求较高，体现了“在考查基础知识的同时，注重考查能力”的高考命题原则，凸显以能力立意命题的指导思想，又考查学生对数学思想方法的理解，试题以中、高档题为主，往往成为试题的亮点。
作为新高考文理不分科后的首次高考，对于平面向量的考查仍然是高考的考查重点，仍然会以中、高档题为主，以选择题或填空题出现，但是可能题目难度略低于理科难度，三、考情分析，总结原因3.1一模考试得失分情况分析本次模拟试卷涉及平面向量考点有3道题，分别是选择题第7题，解答题第19题，第21题向量与解析几何的综合运用，具体各题得分情况如下：3.2本届学生存在的问题根据学生平时学习情况和本次一模考试的得分情况，在平面向量这块内容上， 我校学生主要存在以下问题：（1）部分学生基础不扎实，对平面向量的基本概念、基础知识理解不够，如加减法的几何意义、向量模和夹角、投影等。
2017届高三数学(理)黄金考点总动员 考点17 平面向量的应用 含解析
2017届高三数学33个黄金考点总动员考点17 平面向量的应用【考点剖析】1.最新考试说明：①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 2.命题方向预测：预计2017年高考仍将对向量的长度和角度进行重点考查,题型延续选择题或填空题形式，分值为4到5分，运用向量的数量积处理其他数学问题是一种新的趋势，复习时需加以关注。
3.课本结论总结：解决向量的长度与夹角问题时要借助于公式22||a a =，cos ,||||a ba b a b ⋅<>=，对于||||cos ,a b a b a b ⋅=<>这个公式的变形应用要做到熟练，求向量的夹角时要注意角的取值范围。
4。
名师二级结论：向量知识拓展了解析几何的命题空间，更新了解决解析几何问题的方法，在处理直线与圆锥曲线相交的问题时，在解题过程中要注意将向量给出的条件转化为向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来，由韦达定理建立起关系式，. 5.课本经典习题：（1）新课标A 版必修4第109页，例1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图，AC AB AD =+，DB AB AD =-,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？【解析】不妨设AB a =，AD b =，则AC a b =+，DB a b =-， ∴222||()()||2||AC AC AC a b a b a a b b =⋅=+⋅-=+⋅+①,同理222||||2||DB a a b b =-⋅+②，①+②得,222222||||2()2(||||)AC DB a b AB DB +=+=+，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.【经典理由】通过例题，给出了利用平面向量的数量积处理平面几何问题的一般技巧.(2)新课标A 版必修4第5页，思考 余弦定理的证明.【经典理由】给出了向量的运用,利用平面向量的数量积证明余弦定理，以此发散，可引申处理向量模长的常见方法就是利用平面向量的数量积。
高考数学平面向量必考知识点2017
高考数学平面向量必考知识点2017平面向量是新编中学数学教材新增的内容，也是高考数学考试的难点之一，下面是店铺给大家带来的高考数学平面向量必考知识点2017，希望对你有帮助。
高考数学平面向量必考知识点平面向量概念：(1)向量：既有大小又有方向的量。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
(2)零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行。
(3)单位向量：模为1个单位长度的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量平面向量数量积解析1、平面向量数量积：已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积，记作a·b。
零向量与任意向量的数量积为0。
数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y22、平面向量数量积具有以下性质：1、a·a=|a|2≥02、a·b=b·a3、k(a·b)=(ka)b=a(kb)4、a·(b+c)=a·b+a·c5、a·b=0<=>a⊥b6、a=kb<=>a//b7、e1·e2=|e1||e2|cosθ平面向量加法解析已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。
注：向量的加法满足所有的加法运算定律，如：交换律、结合律。
平面向量减法解析1、AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、指被减。
-(-a)=a;a+(-a)=(-a)+a=0;a-b=a+(-b)。
平面向量公式汇总1、定比分点定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2)设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。
2017年新课标高考平面向量试题分析及教学思考
2017年新课标高考平面向量试题分析及教学思考作者：彭锋陈勇王红敏来源：《数学教学通讯·高中版》2018年第01期[摘要] 对2017年各地高考数学试卷中的平面向量试题的题型、分值、知识点和难度及试题特点进行了分析，在此基础上提出了平面向量的教学思考.[关键词] 2017年高考；平面向量；试题分析；教学思考《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课标》）指出，向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数与几何的一种工具，有着极其丰富的实际背景，常与其他数学知识紧密相连. 命题者依据《课标》的要求，把平面向量作为考点进行命题，考查考生对高中数学的基础知识、基本技能的掌握和熟练程度，考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平. 本文对2017年新课标高考数学试卷（上海卷除外）中平面向量试题的考查特点进行分析，并提出平面向量的教学思考.各地区试卷对平面向量考查的题型、分值、知识点和难度统计从表1可以看出，2017年高考数学对平面向量知识的考查题目个数分布是8套试卷1题、5套试卷2题、1套试卷3题，差异不大. 从题型的角度看，选择题在6套试卷中出现了平面向量题，分值为4或5分；填空题在10套试卷中出现平面向量题，分值为5或6分；全国Ⅱ卷文理科、江苏卷、山东卷文科出现了与解答题有关的平面向量题，分值为12或14分. 总之，虽然2017年高考平面向量在选择题、填空题与解答题均有涉及，但还是以选填题为主.从新课标全国卷和自主命题试卷来看，平面向量在14套试卷的选、填空题方面都有出题，且江苏卷出现了2道填空题，浙江卷出现了一道选择题和一道填空题. 不管是新课标全国卷，还是自主命题卷，几乎都是以小题的形式考查.从文理科卷来看，文科卷共有14题，总分为93分，占每套试卷分值的4.41%；理科卷共12题，总分为76分，占每套试卷分值的3.60%，可见，平面向量知识虽然在高考中占的比例较少，但每年都是必考题，因此是高考数学考查的重要内容之一.从试题的难度看，大部分试题难度为易，主要考查基础知识和基本技能，以直接应用为主，北京卷文理、天津卷文理、江苏卷出现了中档题，全国Ⅱ卷文理、全国Ⅲ卷理、江苏卷、浙江卷中出现了较难的题.从平面向量的考点分布看，2017年平面向量主要考查了平面向量的基本概念，平面向量的线性运算，平面向量的基本定理及坐标表示，平面向量的数量积，利用平面向量研究夹角、距离、平行和垂直，平面向量的应用等. 结合《2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲》对平面向量考查的要求[1]，发现对于考纲中要求的，2017年高考几乎都有涉及，但向量的投影未直接涉及，应引起重视.各地区试卷对平面向量知识考查的试题特点分析1. 以考查向量的基本概念、基本性质及坐标运算为主《课标》中明确写道：“通过实例，掌握向量加、减法运算，并理解其几何意义；通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；了解向量的线性运算性质及其几何意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系；能用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系”[2]，而2017年的平面向量考题命题者正是按照《课标》的要求重点考查了平面向量的模，平面向量的加、减运算，平面向量的平行与垂直，平面向量的数量积，向量的夹角公式等.例1 （全国Ⅰ卷理13）已知向量a，b的夹角为60°，a=2，b=1，则a+2b=________.解：a+2b2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4×12=12，所以a+2b=2.评注：本题主要考查了向量模的基本性质，还考查了数量积.例2 （全国Ⅰ卷文13）已知向量a=（-1，2），b=（m，1）. 若向量a+b与a垂直，则m=________.解：由题得a+b=（m-1，3），因为（a+b）·a=0，所以-（m-1）+2×3=0，解得m=7.例3 （全国Ⅲ卷文13）已知向量a=（-2，3），b=（3，m），且a⊥b，则m=______.解：由题意得-2×3+3m=0？圯m=2.例4 （山东卷文11）已知向量a=（2，6），b=（-1，λ），若a∥b，则λ=_______.解： -6=2λ？圯λ=-3.评注：平面向量数量积是研究垂直、平行、向量夹角、投影的重要途径，是考查重点.例2、例3、例4都从坐标的角度考查了向量垂直、平行.例5 （全国Ⅱ卷文4）设非零向量a，b满足a+b=a-b，则（）A. a⊥bB. a=bC. a∥bD. a>b解：法1：从数的角度，由a+b=a-b平方得（a）2+2a·b+（b）2=（a）2-2a·b+（b）2，即a·b=0，则a⊥b，故选A.法2：从形的角度，a+b，a-b分别表示以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线对应的向量，可得答案A.评注：法1运用了向量模的基本性质，法2运用了向量加、减运算法则，这正体现了向量既有大小又有方向，是集数与形于一身的数学概念.例6 （北京卷理6文7）设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是“m·nA. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解：若λm·n=mncos180°=-mn评注：本题以命题的形式出现，重在考查向量的数乘、数量积与充分必要条件，题虽小，但思维容量大.例7 （山东卷理12）已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________.解：（e1-e2）·（e1+λe2）=e12+λe1·e2-e1·e2-λe22=-λ，e1-e2===2，e1+λe2===，所以-λ=2××cos60°=，解得：λ=.评注：本题考查了向量的数量积、模、夹角公式. 其实本题考查的意图是把e1，e2当作一组基，平面内的任一向量都可以用这组基来表示. 另外，还可以令e1=（1，0），e2=（0，1）来解决此题.例8 （浙江卷16）已知向量a，b满足a=1，b=2，则a+b+a-b的最小值是________，最大值是________.解：法1：设向量a，b的夹角为θ，由模长公式得：a+b==，a-b==，则a+b+a-b=+. 令y=+，则y2=10+2∈[16，20]，所以4≤y≤2，即a+b+a-b的最小值是4，最大值是2.法2：如图1，令a==（1，0），b==（2cosθ，2sinθ），a+b=+=+=，a-b=-=，所以a+b+a-b表示M（2cosθ，2sinθ）到A（-1，0），B（1，0）的距离之和.由法1知当M在P（0，2）时， a+b+a-b的最大值为2；当M在Q（2，0）时，a+b+a-b 的最小值为4.法3：同法1，令μ=5+4cosθ（1≤μ≤9），所以y=+.因为μ+（10-μ）=10，可设=·cosα，=sinα，且≤cosα≤，从而y=cosα+sinα=2sinα+.又当cosα=时，sinα=， y=×+×=4；当cosα=时，sinα=， y=×+×=4；当α+=，即α=时，y=2.所以4≤y≤2，即a+b+a-b的最小值是4，最大值是2.法4：令a+b=x，a-b=y，由a-b≤a±b≤a+b得1≤x≤3，1≤y≤3.又a+b2+a-b2=2（a2+b2）=10，所以原命题转化为“已知x，y满足约束条件x2+y2=10，1≤x≤3，1≤y≤3，①，求x+y的取值范围”，而①表示如图2所示的劣弧AB. 令z=x+y，由简单的线性规划知识得当直线l：y=x-z平移到l1时，x+y取得最小值4；当l：y=x-z平移到l2即与劣弧AB相切时，x+y取得最大值2.评注：本题主要考查了向量的模长公式与函数最值.法1、法3利用模长公式从函数的角度求得最值，但函数解析式含双根号；法2从几何的角度给法1的代数方法一个完美的解释；法4利用了绝对值的三角不等式，再结合简单的线性规划进行处理，但思维要求较高.2. 关注一个能编网的定理——平面向量基本定理在中小学的数学学习的内容中，能被命名为基本定理的只有三个：平面向量的基本定理、空间向量的基本定理、微积分基本定理.其中必修内容中只有平面向量基本定理，后两者也只出现在选修教材中，可见平面向量的基本定理在学生的数学学习中及学生进入高等院校后都有重要作用，因此是每年高考常考内容之一. 这个定理给我们的启示是平面内的所有向量都可用基底表示，基底把不同的向量串联起来，每个向量都存在于一个系统之中，犹如编织了一个网[3].例9 （全国Ⅱ卷理12）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·（+）的最小值是（）A. -2B. -C. -D. -1解：法1（基底法）设=x+y，所以=+=-x-y+=（1-x）·-y，所以·（+）=2·= -2·=-2[（1-x）-y]（x+y）=-2[x（1-x）2+（1-x）y·-xy·-y22]=-2[3（1-x）x-y2]=6x2-6x+2y2=6x-+2y2-，所以当x=，y=0时，·（+）最小值为-.法2（坐标法）如图3，以BC的中点O为坐标原点，BC为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B（-1，0），C（1，0），A（0，）. 设P（x，y），从而·（+）=（-x，-y）·（-2x，-2y）=2x2+2y2-2y=2x2+y--.当P0，时，·（+）最小值为-.评注：平面向量的基本定理提供了解决向量问题的一个基本思路，即选择两个不共线的非零向量作为基底，将向量用基底线性表示，再通过向量的运算求解问题.此题法1就是利用平面向量的基本定理选择，为基底，将向量，，表示出来，问题就不难解决了，此处运用的是向量的符号语言.此外我们也可以建立直角坐标系，目的是选择单位正交基底，将题中的点用直角坐标表示出来，再通过代数运算求解. 一般来说便于建立坐标系时我们通常可运用向量的坐标求解，过程是便于操作的. 类似的问题，如全国Ⅲ卷理12，天津卷理13、文14，江苏卷12都有涉及，以下便是其解法.例10 （全国Ⅲ卷理12）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上. 若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A. 3B. 2C. D. 2解：法1（坐标法）如图4所示. 设BD与⊙C切于点Q，连接CQ. 以A为原点，AD为x 轴正半轴，AB为y轴正半轴建立直角坐标系，则C点坐标为（2，1）. 显然QC==，即⊙C的半径为. 因为P在⊙C上，所以P点的轨迹方程为（x-2）2+（y-1）2=.设P点坐标（x0，y0），则P点坐标满足的参数方程为x0=2+cosθ，y0=1+sinθ，而=（x0，y0），=（0，1），=（2，0）.因为=λ+μ=λ（0，1）+μ（2，0）=（2μ，λ），所以μ=x0=1+cosθ，λ=y0=1+sinθ.两式相加得：λ+μ=1+sinθ+1+cosθ=2+sin（θ+φ）=2+sin（θ+φ）≤3.（其中sinφ=，cosφ=），所以λ+μ取得最大值3.法2（基底法）显然=4，=+=+=+（-）=+，所以=-=λ+μ-+=λ-+μ-.又=--，所以=+=--+λ-+μ-=（λ-1）+（μ-1），所以·=[（λ-1）+（μ-1）]·--=-（λ-1）2-（μ-1）2= -（λ+μ）+，而·=×cos〈，〉≥-，所以-（λ+μ）+≥-，即λ+μ≤3，故λ+μ取得最大值3.例11 （天津卷理13、文14）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2.若=2，=λ-（λ∈R），且·=-4，则λ的值为______.解析：法1（坐标法）建立如图5所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），C （1，），所以=（3，0），=（1，）.又=+=（3，0）+（1，）=，，=λ（1，）-（3，0）=（λ-3，λ），所以·=（λ-3）+2λ=-4？圯λ？芊.法2（基底法）·=3×2×cos60°=3，=+ ，则·=+·（λ-）=×3+×4-×9-×3=-4？圯λ=.例12 （江苏卷12）如图6，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°. 若=m+n（m，n∈R），则m+n=______.解析：法1（基底法）由tanα=7可得sinα=，cosα=，所以cos（α+45°）=-，从而·=，·=1，·= -. 又·=·（m+n），·=·（m+n），所以=m-n，1=-m+n，解得m=，n=，故m+n=3.法2（坐标法）以O为原点，方向为x轴正方向建立直角坐标系，则A（1，0），C，，B-，，因为=m+n，所以，=m（1，0）+n-，，所以m-n=，n=，解得m=，n=，故m+n=3.3. 关注知识间的交叉命题因为兼具数与形的双重身份，平面向量经常承载着代数与几何沟通的纽带功能，所以高考数学经常以平面向量为载体和沟通媒介，成为数学的一个重要的知识交汇点.2017年平面向量从下列几种形式交叉命题.（1）与逻辑推理判断交汇.如北京卷理6文7，此题只需知道充分必要条件的概念，其考查的主干知识还是平面向量.（2）与三角函数知识交汇. 通常是借助平面向量的语言表述三角函数式之间的关系，其实质是三角函数问题；另一种就是用三角函数知识解决平面向量问题，如江苏卷16，浙江卷10，山东卷文17.（3）与解析几何知识交汇. 通常平面向量知识只是给出几何量的位置和数量关系，即以平面向量知识作为条件呈现，或在解题时利用平面向量的思想和方法解决问题，从而体现向量的工具作用，如全国Ⅱ卷文理20、北京卷文12、江苏卷13.例13 （北京卷文12）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（-2，0），O为原点，则·的最大值为_________.解：法1：·=·cosθ≤·≤2×（2+1）=6，故最大值是6.法2：设P（x，y），=（2，0），=（x+2，y），所以·=2x+4，又-1≤x≤1，故·的最大值为6.例14 （江苏卷13）在平面直角坐标系xOy中，A（-12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是______.解：设P（x，y），则=（-12-x，-y），=（-x，6-y），所以·=50+12x-6y≤20，即2x-y+5≤0.由2x-y+5=0，x2+y2=50，得x=-5，y=-5，x=1，y=7，又由2x-y+5≤0表示的平面区域，及P点在圆上，可得点P横坐标的取值范围为[-5，1]例15 （江苏卷10）如图7，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=·，I2=·，I3=·，则（）A. I1C. I3解：设∠ABD=θ，∠BOC=α，∠COD=β，易知0°在△AOD中，由正弦定理得：==，所以=？圯==sin（α+θ）.又（90°-θ）+α+45°=180°？圯α=θ+45°，所以=sin（2θ+45°）.又45°×=1？圯OD>OB.所以I1-I3=cosβ-·cosβ=（-）·cosβ>0，从而I1>I3；I2-I1=（-）=（t）（t>0）=tcosα，又45°0？圯I2>I1，故选C.评析：例13、例14是平面向量与圆交汇，例15是平面向量与解三角形交汇，通过平面向量的坐标表示，将平面向量问题转化为代数问题，既考查了圆的知识和方法，又考查了平面向量的基本方法，充分体现了与其他知识内容融会贯通，揭示了数学中化归思想的深刻内涵.解决此类问题有时需将平面向量坐标化，从而转化为代数问题，但有时需要反其道而行，将平面向量几何化，直接分析其几何背景，两种方法各有千秋，都需认真理解. 类似思想的解答题如全国Ⅱ卷文20理20、江苏卷16、山东卷文17，这里不再叙述.平面向量教学思考根据以上分析，不难发现，高考题对平面向量的考查主要是围绕向量的基本概念、基本运算和运用向量研究夹角、距离、平行和垂直等，但有的试题与其他方面的知识相结合，对于学生灵活运用向量知识解决问题的能力在不断加强.因此在平时的教学中：1. 注重向量基本概念与运算2017年高考数学中的平面向量题目，紧扣考纲考查向量的基本概念与运算，虽然试题千变万化，但都以基础知识、基本能力、基本思想、基本活动经验为基础. 所以在教学中，要以课标为基础，围绕教科书，紧扣考纲，对重点内容重点复习，夯实基础知识.2. 注重向量思想方法向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，使得与向量有关试题的呈现方式丰富多彩，表达问题和解决问题的方式灵活多样. 在平时教学中要建立向量及其运算与几何图形之间的关系，利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想，特别注重数形结合思想、转化与化归思想的应用，包括将几何关系转化为向量关系，再通过向量的坐标转化化归为函数解析关系，最后通过运算结果转化为几何关系.3. 注重向量的平面几何意义向量既有形的特征又有数的特点，一般解决平面向量问题都会首先联想到平面向量的几何意义，特别是向量加法的平行四边形和三角形法则. 此外还要掌握运算法则、共线向量定理等几何意义，常见的数量积为零联想到垂直，不共线的单位向量的和联想到角平分线、菱形，不共线的两向量和的一半联想到三角形的中线等. 由数联想到平面几何形的特征，通过有效转化进而解答问题.4. 注重向量知识的交汇平面向量考查除了综合平面向量基本定理、数量积等内部知识外，还与三角函数、解三角形、解析几何、不等式、数列等知识的交汇处设计综合问题. 教师在平时的教学中要加强向量与相关知识的联系性，使学生明确研究向量的基本思路.向量既是代数的对象，又是几何的对象.作为代数对象，向量可以运算；作为几何对象，向量可以刻画几何元素（点、线、面），利用向量的夹角可以与三角函数发生关系，利用向量的模可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题.教师应当充分关注到向量的这些特点，引导学生在代数、几何和三角函数的联系中学习向量.参考文献：[1] 教育部考试中心. 2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验）[M]. 北京：高等教育出版社，2017.[2] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（实验）[M]. 北京：人民教育出版社，2003.[3] 杨平，赵青，张玉兰. 观2013年各地向量考题，说2014年向量复习建议[J]. 中学数学杂志，2013（11）：46—48.[4] 张定强，闫佳洁. 2016年全国高考试卷中“数列”试题分析[J]. 中学数学（高中版），2016（11）：21—23.。
高考数学复习知识点归类与解题方法讲解7---平面向量
故选 C.
【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考
题型.求解时，由 a, b 的坐标，表示出 a + λb ，再由 (a + λb) ⊥ c ，得到
非零向量 m, n 满足 n = 4 m ，且 m ⊥ (2m + n) ，则 m, n 的夹角为
A． π 6
C． π 2
B． π 3
D． 2π 3
【答案】D
【解析】∵ n = 4 m ，且 m ⊥ (2m + n) ，
∴ m ⋅(2m + n) = 2m2 + m ⋅ n = 2 | m |2 + m n cos m, n = 0 ，且 m ≠ 0, n ≠ 0 ，
uuur uuur
a = (1, 4) 移到点 B ，若 OB = −2BC （ O 为坐标原点），则 C 点坐标为
A． (−1,1)
B．
1 2
,1
C． (2,3)
D．
−1,
1 2
【答案】C
【解析】因为点 A(3, 2) 按向量 a = (1, 4) 移动后得到点 (4,6) ，
所以 B (4,6) ，
1．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区 2019 届高三 5 月校际联合考试数学试
题】已知 a = 1， b = 2 ，且 a ⊥ (a − b) ，则向量 a 在 b 方向上的投影的数量为
A．1
B． 2
C．
1 2
D． 2 2
【答案】D
【解析】由 a ⊥ (a − b) 得 a ⋅(a − b) = 0 ，所以 a ⋅ b = a ⋅ a = 1，
A． − 1 2
B．
【山东省】2017年高考数学(理科)-平面向量-专题练习及答案解析
所在平面内一点，C 3B CD =，则（．1433AD AB AC =-+ ．1433AD AB AC =-．4133AD AB AC =+．4133AD AB AC =-回访二 平面向量的数量积，则BD CD =（ 2中，已知tanA AB AC =若AC AM BD λμ=+，则λ+，则AF BC 的值为（B ．1811则P AP B=________a b ，则mn=________a b 时，求cos 设函数()2f x =a b ，将(f x 平面向量 中，2AB CD =-，M 为的中点，则AM =（ 1122AB AD + B ．3142AB AD + 314AB AD +134AB AD +将()1,1OA =得到OB ，则OB =（ 的中点，则AM AO =（满足()1AO AB AC =+，AO AC =，则向量BA 在BC 方向上的投影等于（32-图3-3 ．已知向量AB 与AC 的夹角为3AB =，2AC =．若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则湖北七州联考的中心，则OB OC =________()3,2，点(P x 上，且(,OP mAB nAC m n =+∈OP ； 已知2BA BC =，cosB 1．(2016·石家庄一模)已知(OC OA OB R λμλ=+∈A ．()0,1的两条直径，2BF FO=，则FD FE等于（OQ m=⊗A．4．已知非零向量AB与AC满足0AB ACBCAB AC⎛⎫⎪+=⎪，且23AB AC-=的中点，则AB BD=________．2sina⎛⎛=a b的图象与BC，CA，AB成等比数列，求：）BA BC⋅的取值范围．平面向量答案【真题回访】回访一平面向量的线性运算1．A2．1 2回访二平面向量的数量积3．D4．1 6热点题型1 平面向量的运算【例1】(1)B(2)B【变式训练一】(1)3 2(2)－2热点题型2 三角与向量的综合问题【例2】(1)85(2)122⎤-⎥⎣⎦ 【变式训练二】 (1)6π(2)6x π=，()g x 的最大值为32. 专题限时集训(三) 平面向量 【A 组 高考达标】 一、选择题 1．B 2．A 3．D 4．C 5．C 二、填空题 6．65 7．712 8．16三、解答题 9．(1)∵23m n ==，()1,2AB =，()2,1AC =，∴()()()221,22,12,233OP =+=，∴22OP ==.(2)∵()()()1,22,12,2OP m n m n m n =+=++，∴2,2,x m n y m n =+⎧⎨=+⎩两式相减，得m n y x -=-.令y x t -=，由图知，当直线y x t =+ 过点()2,3B时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.10．(1)由2BA BC =得cacosB 2=. 因为1cosB 3=，所以6ac =. 余弦定理，得2222accosB a c b +=+. 又3b =，所以2292213a c +⨯=+=. 解226,13,ac a c =⎧⎨+=⎩得2a =，=3c 或3a =，2c =.因为a c >，所以3a =，2c =.(2)在ABC △中，sinB 3===由正弦定理，得2sin C sin B 339c b ==⨯=.因为a b c =>，所以C 为锐角，因此7cos C 9===.于是1723cos cosBcosC sinBs ()inC 393927B C -+=⨯+==.【B 组 名校冲刺】 一、选择题 1．B 2．A 3．B 4．A 二、填空题 5．2 6．－3 三、解答题7．(1)因为向量22s i n ,03a x πω⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2cos ,30b x ωω=>，所以函数())22134sin cos 4sin cos cos 23cos 3222sin cos 1cos 2sin 2x 2cos 26a b x x x x x x x x x x f x πωωωωωωπωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭由题意可知f (x )的最小正周期为πT =， 所以2π=π2ω，即1ω=. (2)已知()2co =s 26f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭[]0,2x π∈时，2,4666x ππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，故[π2π6],2πx +∈或[π23π],4π6x +∈时，函数()f x 单调递增， 所以函数f (x )的单调递增区间为5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和17π23π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 8．设BC ，CA ，AB 依次为a ，b ，c ，则6a b c ++=，2b ac =.在ABC △中，22222212cosB 222a c b a c ac ac a ac ac c ac +-+-==-≥=，故有03B π≤＜， 又622a c bb +-≤==，从而02b <≤. (1)22111πsin sin 2sin 32223S ac B b B ==≤=a c =，且π3B =，即ABC △为等边三角形时面积最大，即maxS =.(2)()()()22222222263cos 327.222a c acb b b ac b BA BC ac B b +----+-=====-++∵02b <≤，∴821BA <≤， 即BA BC 的取值范围是[)2,18.山东省2017年高考数学（理科）专题练习平面向量 解 析【真题回访】回访一 平面向量的线性运算1．A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3 AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]2．12[∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.]回访二 平面向量的数量积3．D[由已知条件得BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D.]4．16[已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16.] 热点题型1 平面向量的运算 【例1】(1)B [(1)法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，M (2,1)，D (0,2)，所以AC →＝(2,2)，AM →＝(2,1)，BD →＝(－2,2)．由AC →＝λAM →＋μBD →，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B.法二：因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →＋⎝⎛⎭⎫12λ＋μAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎨⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B. ](2)B [如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.]【变式训练一】(1)32 [如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2，又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝ 3.∠APB ＝60°，故P A →·PB →＝3×3×cos 60°＝32.](2)－2 [∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，解得mn ＝－2.]热点题型2 三角与向量的综合问题 【例2】[解] (1)∵a ∥b ，∴34cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－34，4分∴cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.(2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋32， 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，可得sin A ＝22.9分 ∵b ＞a ， ∴A ＝π4，10分y ＝f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12.11分 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3， ∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，11π12， ∴32－1≤y ≤2－12， 即y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32－1，2－12.12分【变式训练一】[解] (1)|a |2＝(sin x )2＋(3sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(sin x )2＋(cos x )2＝1. 由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1，2分 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，3分 所以x ＝π6，.4分(2)f (x )＝a·b ＝sin 2x ＋3sin x ·cos x 5分 ＝32sin2x ＋12－12cos 2x 7分 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12.8分 将f (x )图象向左平移π6个单位得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12.10分 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而当2x ＋π6＝π2即x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6取最大值1，11分 所以x ＝π6时，g (x )的最大值为32.12分专题限时集训(三) 平面向量 【A 组 高考达标】 一、选择题1．B [因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB→＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.]2．A [由题意可得OB →的横坐标x ＝2cos(60°＋45°)＝2⎝⎛⎭⎫24－64＝1－32，纵坐标y ＝2sin(60°＋45°)＝2⎝⎛⎭⎫64＋24＝1＋32，则OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32，故选A.]3．D [∵向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，∴3x －3＝0，∴x ＝3， ∴b ＝(3，－3)，a －b ＝(0,4)，设向量b 与a －b 的夹角为θ， 则cos θ＝b ·(a －b )|b |·|(a －b )|＝－1223×4＝－32，∴θ＝150°.]4．C [∵M 是BC 边的中点， ∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∵O 是△ABC 的外接圆的圆心，∴AO →·AB →＝|AB →||AO →|cos ∠BAO ＝12|AB →|2＝12×(23)2＝6.同理可得AO →·AC →＝12|AC →|2＝12×(22)2＝4，∴AM →·AO →＝12(AB →＋AC →)·AO →＝12AB →·AO →＋12AC →·AO →＝12×(6＋4)＝5.] 5．C [由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|.又因为|AO →|＝|AC →|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由圆周角定理可知∠ABC ＝30°，且|AB →|＝3，所以BA →在BC →方向上的投影为|BA →|·cos ∠ABC ＝3×cos 30°＝32，故选C.]二、填空题6．65[设e 1，e 2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与xa ＋yb 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，∴e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1＋λ(x －2y )e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ(2x －2y )＝1，λ(x －2y )＝－2，∴⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65.] 7．712 [∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0， ∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AC →·AB →＝0. ∵向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.]8．－16 [∵△ABC 是正三角形，O 是其中心，其边长AB ＝BC ＝AC ＝1，∴AO 是∠BAC 的平分线，且AO＝33，∴OB →·OC →＝(AB →－AO →)·(AC →－AO →)＝AB →·AC →－AO →·AC →－AO →·AB →＋AO →2＝1×1×cos 60°－33×1×cos 30°－33×1×cos 30°＋⎝⎛⎭⎫332＝－16.] 三、解答题9．[解] (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.4分(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x . 令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.10．[解] (1)由BA →·BC →＝2得ca cos B ＝2.1分 因为cos B ＝13，所以ac ＝6.2分由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.4分 因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.6分 (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2 B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，7分由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.8分因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2 C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79.10分 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.12分【B 组 名校冲刺】 一、选择题1．B [由题意可得OD →＝k OC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线可得kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k >1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.]2．A [因为(a ＋b )⊥⎝⎛⎭⎫a －52b ，所以a 2－52b 2－32a·b ＝0. 又因为|a |＝2，|b |＝1，所以a 2＝4，b 2＝1，所以4－52－32a ·b ＝0，所以a·b ＝1.所以a·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝12.又a 与b 的夹角范围为[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3.]3． B [∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝⎛⎭⎫132＋0－1＝－89.]4．A [因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m ⊗OP →＋n ⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫12，4⊗(x 0，cos x 0)＋⎝⎛⎭⎫π6，0⇒(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫12x 0＋π6，4cos x 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2⎝⎛⎭⎫x －π6，y ＝4cos x 0⇒y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 即f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3， 所以12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1⇒2≤4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤4， 所以函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上的最大值是4，故选A.] 二、填空题5．2 [由题意得|a |＝12＋(3)2＝2，则|a －2b |2＝|a |2－4|a||b|cos 〈a ，b 〉＋4|b |2＝22－4×2cos π3|b |＋4|b |2＝12，解得|b |＝2(负舍)．]6．－3 [由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0得BC →与∠A 的角平分线所在的向量垂直，所以AB ＝AC ，BC →⊥AD →.又|AB →－AC →|＝23， 所以|CB →|＝23， 所以|BD →|＝3，AB →·BD →＝－BA →·BD →＝－|BD →|2＝－3.] 三、解答题7．[解] (1)因为向量a ＝⎝⎛⎭⎫2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3，0，b ＝(2cos ωx,3)(ω>0)，所以函数f (x )＝a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3cos ωx ＝4⎝⎛⎭⎫sin ωx ·⎝⎛⎭⎫－12＋cos ωx ·32cos ωx ＝23·cos 2ωx －2sin ωx cos ωx ＝3(1＋cos 2ωx )－sin 2ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋3， 由题意可知f (x )的最小正周期为T ＝π， 所以2π2ω＝π，即ω＝1.(2)已知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3，当x ∈[0,2π]时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，4π＋π6，故2x ＋π6∈[π，2π]或2x ＋π6∈[3π，4π]时，函数f (x )单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤5π12，11π12和⎣⎡⎦⎤17π12，23π12.8．[解] 设|BC →|，|CA →|，|AB →|依次为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝6，b 2＝ac . 在△ABC 中，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，故有0＜B ≤π3，又b ＝ac ≤a ＋c 2＝6－b2，从而0＜b ≤2.(1)S ＝12ac sin B ＝12b 2sin B ≤12·22·sin π3＝3，当且仅当a ＝c ，且B ＝π3，即△ABC 为等边三角形时面积最大，即S max ＝ 3.(2)BA →·BC →＝ac cos B ＝a 2＋c 2－b 22＝(a ＋c )2－2ac －b 22＝(6－b )2－3b 22＝－(b ＋3)2＋27.∵0＜b ≤2，∴2≤BA →·BC →＜18， 即BA →·BC →的取值范围是[2,18).。
2017高考数学试题分类汇编 平面向量 解析版
2017高考分类汇编 平面向量解析版1、（2017北京文理）设m ,n 为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.2、（2017江苏卷）．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则 ▲ ．【答案】3【解析】由可得，根据向量的分解，易得，即，即，即得，所以．3、（2017山东理）（12）已知12,e e与的夹角为60︒，则实数的值是.λλ=m n 0<⋅m n 0λ∃<λ=m n ,m n 180︒cos1800⋅=︒=-<m n m n m n 0⋅<m n (]90,180︒︒λλ=m n OA OB OCOA OC αtan αOB OC OC mOA nOB =+(,)m n ∈R m n +=tan 7α=sin α=cos 10α=cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m =⎪-=⎪⎩510570n m n m +=⎧⎨-=⎩57,44m n ==3m n +=12-e 12λ+e e λ4、（2017山东文）（11）已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ= . 【答案】3- 【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-5、（2017天津）（13）在中，，，．若，，且，则的值为___________．【答案】【解析】由题可得，则．6、（2017浙江）10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记，，，则ABC △60A =︒∠3AB =2AC =2BD DC = ()AE AC AB λλ∈=-R 4AD AE ⋅=-λ3111232cos 603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒= 1·I OAOB ＝2·I OB OC ＝3·I OC OD＝（第10题图）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为，，，所以，故选C ．7、（2017全国1卷理）已知向量a ，b的夹角为60︒，2a = ，1b = ，则2a b += ________．【答案】【解析】()22222(2)22cos602a b a b a a b b+=+=+⋅⋅⋅︒+221222222=+⨯⨯⨯+444=++12=∴2a b + 8、（2017全国2卷理）【题目12】(2017·新课标全国Ⅱ卷理12)12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生 转化与化归思想和运算求解能力 【解析】解法一：建系法连接PC ∴∴∴最小值为解法二：均值法∵2PC PB PO += ，∴ ()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅123I I I <<132I I I <<312I I I <<213I I I <<90AOB COD ∠=∠> OA OC <OB OD <0OB OC OA OB OC OD ⋅>>⋅>⋅由上图可知：OA PA PO =- ；两边平方可得()()2232PA PO PA PO =+-⋅∵()()222PA POPA PO +≥-⋅ ，∴ 322PO PA ⋅≥-∴ ()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥- ，∴最小值为32-解法三：配凑法 ∵2PC PB PO +=∴ ()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-∴最小值为32-9、(2017全国卷2文)4.设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则A. a ⊥bB. =b aC. a ∥bD. >b a解析：ba b a b a b a b a b a ⊥⇒=⋅⇔-=+⇔-=+022选A10、（2017全国3卷理）12．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（） A ．3 B． CD ．2 【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△()A O Dxy BP gCE即C． ∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 而00(,)AP x y = ，(0,1)AB = ，(2,0)AD =． ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=∴0112x μθ==，01y λθ==． 两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+=++≤(其中sin ϕ=，cos ϕ=当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3． 11、（2017全国卷3文）13．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a ⊥b ，则m =. 【答案】2【解析】由题意可得：2330,2m m -⨯+=∴=.。
2017年高考数学试题分项版—平面向量(解析版)
2017年高考数学试题分项版—平面向量（解析版）一、选择题1．(2017·全国Ⅱ文，4)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b |1．【答案】A【解析】方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A.2．(2017·北京文，7)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．【答案】A【解析】方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.3．(2017·全国Ⅱ理，12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32C ．－43D ．－13．【答案】B【解析】方法一 (解析法)建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)， B (－1,0)，C (1,0)．设P 点的坐标为(x ，y )， 则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2[x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34]≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32. 故选B.方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →.要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值． 又|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34， ∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.4．(2017·全国Ⅲ理，12)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( ) A ．3 B ．2 2C. 5D ．24．【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5， EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)． ∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.5．(2017·北京理，6)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．【答案】A【解析】方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ.若存在负数λ，使得m ＝λn ，则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉＜0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件， 故选A. 二、填空题1．(2017·全国Ⅰ文，13)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 1．【答案】7【解析】∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.2．(2017·全国Ⅲ文，13)已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 2．【答案】2【解析】∵a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ， ∴a·b ＝0，即－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2.3．(2017·天津文，14)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________． 3．【答案】311【解析】由题意，知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →， ∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →) ＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 4．(2017·山东文，11)已知向量a ＝(2,6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 4．【答案】－3【解析】∵a ∥b ，∴2λ－6×(－1)＝0，解得λ＝－3.5．(2017·浙江，15)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________． 5．【答案】4 2 5【解析】设a ，b 的夹角为θ， ∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2＋(a －b )2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 则y 2＝10＋225－16cos 2θ. ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0,1]， ∴y 2∈[16,20]，∴y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]．6．(2017·浙江，10)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 36．【答案】C【解析】∵I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →， 又OB →与CA →所成角为钝角， ∴I 1－I 2＜0，即I 1＜I 2.∵I 1－I 3＝OA →·OB →－OC →·OD →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB －|OC →||OD →|cos ∠COD ＝cos ∠AOB (|OA →||OB →|－|OC →||OD →|)， 又∠AOB 为钝角，OA ＜OC ，OB ＜OD ， ∴I 1－I 3＞0，即I 1＞I 3. ∴I 3＜I 1＜I 2， 故选C.7．(2017·江苏，12)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n＝________.7．【答案】3【解析】方法一 因为tan α＝7， 所以cos α＝210，sin α＝7210. 过点C 作CD ∥OB 交OA 的延长线于点D ，则OC →＝OD →＋DC →，∠OCD ＝45°. 又因为OC →＝mOA →＋nOB →， 所以OD →＝mOA →，DC →＝nOB →， 所以|OD →|＝m ，|DC →|＝n .在△COD 中，由正弦定理得|DC →|sin α＝|OD →|sin ∠OCD ＝|OC →|sin ∠ODC ，因为sin ∠ODC ＝sin(180°－α－∠OCD )＝sin(α＋∠OCD )＝45，即n 7210＝m 22＝245， 所以n ＝74，m ＝54，所以m ＋n ＝3.方法二 由tan α＝7可得cos α＝152，sin α＝752，则152＝OA →·OC →|OA →||OC →|＝m ＋nOA →·OB →2，由cos ∠BOC ＝22可得22＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝mOA →·OB →＋n 2，cos ∠AOB ＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45° ＝152×22－752×22＝－35，则OA →·OB →＝－35，则m －35n ＝15，－35m ＋n ＝1，则25m ＋25n ＝65，则m ＋n ＝3. 8．(2017·全国Ⅰ理，13)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 8．【答案】2 3 【解析】方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2 ＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12 ＝12＝2 3. 方法二(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝||.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.9．(2017·天津理，13)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________． 9．【答案】311【解析】由题意知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →) ＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 10．(2017·山东理，12)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 10．【答案】33【解析】由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.。
平面向量17-19理科数学全国卷
13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= . （2017课标全国Ⅱ卷）12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1-20. （12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r .（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r .证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .12．在矩形ABCD 中，1,2AB AD ==，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的最大值为A ．3B ．C D ．2 （2018课标全国Ⅰ卷）6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u u r u u u r B ．1344AB AC -u u u r u u u r C ．3144AB AC +u u u r u u u rD ．1344AB AC +u u u r u u u r （2018课标全国Ⅱ卷）4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．0 （2018课标全国Ⅲ卷）13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________． （2019课标全国Ⅰ卷）7．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6（2019课标全国Ⅱ卷）3．已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =A ．-3B ．-2C ．2D ．3 （2019课标全国Ⅲ卷）13．已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,<>=a c ___________.。
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（七）平面向量
考纲原文
1．平面向量的实际背景及基本概念
（1）了解向量的实际背景.
（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义
（3）理解向量的几何表示
2．向量的线性运算
（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义
（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义
（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义
3．平面向量的基本定理及坐标表示
（1）了解平面向量的基本定理及其意义
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件
4．平面向量的数量积
（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义
（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
5．向量的应用
（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题
（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题
高考预测
1．涉及本专题知识的题目，一般以选择题、填空题的形式出现，考查平面向量概念的正误，应用三角形法则或平行四边形法则进行平面向量的线性运算，应用平面向量基本定理表示平面向量，平面向量的数量积运算及向量的坐标化表示与运算，体现了平面向量的几何性与代数性.注意向量在解析几何、三角函数中的应用.
2．从考查难度来看，考查本专题内容的题目一般难度不大，需注意运算过程中几何图形的辅助效果.
2 3．从考查热点来看，向量线性运算及数量积运算是高考命题的热点，要能够利用回路三角形法则表示向量，掌握向量数量积的运算法则，熟练进行数量积运算.
新题速递
1．已知向量()()1,2,,3m m =-=-a b ，若⊥a b ，则实数m =
A ．2或3-
B ．2-或3 C
D ．3
2．在平行四边形ABCD 中，3,4AB AD ==，则AC DB ⋅等于
A ．1
B ．7
C ．25
D ．7-
3．在ABC △中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是
AC 的中点.若()()4,3,1,5PA PQ ==，则
BC =__________．（用坐标表示）
答案。