材料力学第二章

σ——横截面上的正应力；
σα——斜截面上的正应力；τα——斜截面上的切应力
27
F


p

2、符号规定 ⑴、a：斜截面外法线与 x 轴(横截面的外法线)的夹角。
由
x
轴逆时针转到斜截面外法线——“a” 为正值；
由 x 轴顺时针转到斜截面外法线——“a”为负值
⑵、σa：同“σ”的符号规定
⑶、τa：在保留段内任取一点，如果“τa”对该点之矩 为顺时针方向，则规定为正值，反之为负值。
28
讨论： 1、 00
cos
2
1 sin 2 2
铸铁的拉伸试验
max
0
轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。
2、 45 max
450
F
2.轴向拉压杆件 1 的最大切应力发 min 生在与杆轴线成 2 450 45 450截面上。 45 1.切应力互等定理 450
2
§2 内力、截面法、轴力及轴力图
1、内力的概念
F1 外力（自重、支座反力、工作荷载等）的分类： 1.静荷载 vs 动荷载 2. 恒载 vs 活载 F2
3.集中荷载 vs 分布荷载
固有内力：分子内力 它是由构成物体的材料的物理性质所决定的.(物体在 F. 3 受到外力之前，内部就存在着内力，eg.分子凝聚力) Fn 附加内力：由外力引起的质点间相互作用力的改变量---材料力学研究的内力
等直杆： max
FN max A
变直杆： max
危险截面，最大工作应力 正应力的符号规定——同内力 拉应力为正值，方向背离所在截面。 压应力为负值，方向指向所在截面。 公式的使用条件 (1) 轴向拉压杆
FN A
max
(2) 除外力作用点附近以外其它各点处。(圣维南原理) （范围：不超过杆的横向尺寸）------注意观察试验中试件的夹持方式
0
0
1 2
铸铁 压缩 试验
3、 900
90 0
0
90 0
0
在平行于杆轴线的截面上σ、τ 均为零。(单轴应力状态)
29
§4
拉（压）杆的变形.胡克定律
杆件轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形
横向尺寸也相应地发生改变——横向变形
30
1、纵向变形的两个指标 a.绝对变形ΔL
DL
FL
FNi Li DL i EAi
32
a. 等直杆受图 示载荷作用，计算总变形。（各段 EA均相同）
N i li 1 n Dl N i li n 3 EA i 1 i 1 EA
n
33
b. 阶梯杆，各段 EA 不同，计算总变形。
FNi Li DL DL1 DL2 DL3 Ei Ai
与截面相切的应力称为“ 切应力” F2
平均应力pm DF DA
DFS dFS lim DA0 DA dA
应力的国际单位为N/m2 （帕斯卡） 1N/m2=1Pa 1MPa=106Pa＝1N/mm2
极限的定义（平均—一点） DF dF 总应力p lim DA0 DA dA
1GPa=109Pa
17
4.应力的计算公式：
c.实验结论：纵向等变形---正应力沿横截面均匀分布 a.应力性质
C
FN dFN
A
F

FN
b.应力定义
dFN dA
A
思考为何没有切向力、切应力？
FN dA dA A
A
FN A
各个符号代表的意义？
20
拉压杆内最大的正应力：
21
图示支架，AB杆为圆截面杆，d=30mm，BC杆为正方形截面 杆， 其边长a=60mm，F=10KN，试求AB杆和BC杆横截面上的正应 力。
FNAB sin 300 F
A
d
FNAB cos 300 FNBC
FNAB
300
C
B
AB
FNAB 28.3MPa AAB
a
FNBC
1）截：欲求某一截面(横or斜)的内力，沿该截面将构件假想地截成两部分
2）取：取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分（1,2也可合起来称“截取” 3）代：用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下部分的作用力 4）平：建立留下部分的平衡条件，确定未知的内力（整体平衡---局部平衡）
？试分 析轴向 拉压杆 的截面 上内力 分量 结 论： 1.轴向拉压杆横截面上的内力定义为轴力,用FN 表示） 2.特征：作用线与杆的轴线重合
16
轴向拉压杆横截面上应力的计算 推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式
1、实验：
变形前
受力后
F F
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距增大。
纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。
3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截
面沿杆轴线作相对平移（横截面上应力均匀分布）
π
p
FR d Fsin
0
π
(2MPa)(200mm ) 40MPa 2(5mm)
26
拉(压)杆斜截面上的应力
n
FN
F

F
A cos
F
FS
α
F
X
FN
FS
F cos A A A
cos2

1 cos sin sin 2 A 2
DL L L
b.线应变ε : 受力物体变形时，一点处沿某一方向微小线段 的相对变形 每单位长度的伸长（或缩短）strain
当杆沿长度非均匀变形时
y
当杆沿长度均匀变形时(积分式)
C
O x
C A △x B
△δx

*纵向线应变
DL L
(无量纲)
A
z △x
B
D x d x x lim Dx0 Dx dx
34
例：图示直杆，其抗拉刚度为EA，试求杆件的轴向变 形△L，B点的位移δB和C点的位移δC
F A
F
B DLAB
C
FL EA
B
L
L
FL C B EA
36
L FN EA DL E A AL
DL
应力应变关系
在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。（本构关系）
① 直观反映轴力与截面位置变化关系；
② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
5、轴力图的要素：图名单位、坐标、数值大小、 标示正负
9
例
图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8
F、 FC = 4 F、 FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆
的轴力图。
O A FA FN1 A FA B FB B FB C FC C FC D FD D FD
解： 求OA段轴力FN1：设截面如图
F
X
0
FD FC FB FA FN1 0
FN1 2F
10
F 4F 8F 5F FN1 0
O
A
FA
B
FB B FB FN3
Hooke„s law 的另一种表示, 2、横向变形的计算指标
b1 b

Db b
△b=b1－b
横向线应变
横向总伸长
（横向变形系数）泊松比

37
图示结构，横梁AB是刚性杆，吊杆CD是等截面直杆，B点受荷 载P作用,试在下面两种情况下分别计算B点的位移δB。1、已经 测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆的抗拉刚度EA. 1. 已知ε D
§1 轴向拉伸与压缩概念与实例
一、轴向拉压的工程实例：
工程桁架 及其组合 结构 P53,2-4
1
二、轴向拉压的概念：
外力合力作用线与杆轴线重合。 （1）受力特点：
（2）变形特点：杆沿轴线方向（纵向）伸长或缩 F 短。(ps.注意横向的变形)
B
A C
F F F F
以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。
F
BC
FNBC 4.8MPa ABC
22
试求图示结构AB杆横截面上的正应力。已知F=30KN，A=400mm2
F 2a FN AB a 0
A
FNAB 2 F
FNAB 150MPa A
a
F D
FNAB B C
a
a
23
试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。已知：
C
FC C FC C FC FN4
D
FD D FD D FD D FD
11
求AB 段轴力：
FX 0
FN2
FN 2 FB FC FD 0
FN2= –3F，
F
F
求BC段轴力：
X
0 FN 3 FC FD 0
FN3= 5F，
求CD段轴力：
X
0
FN 4 FD 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱFN 1
FN 2
FN 1 0
1
FN 2 40kN
8
3、轴力图： 轴力沿轴线变化的图形（imp.内力图） 横坐标：横截面的位置 F 纵坐标：该截面上轴力的值
Y值是否需要每个截面都求算？ 技巧：截面变化时若选取部分外 力无变化，该部分轴力为常数 FN 思考一般途径：建立内力的函数 F