平面汇交力系的平衡条件
第二章--平面汇交力系
B
C
a
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向
有误，则应把受力图中力的指向改正过来
[力三角形见图] P
B
C
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向 有误，则应把受力图中力的指向改正过来 [力三角形见图]
力的多边形 自行封闭．
必要充分条件
设刚体上作用一平面汇交力系(图)。现按 力的多边形法则合成:
F4
F3
F1 F2
若第一个力的起点与最后一个力的终点恰好 互相连接而构成一个自行封闭的力多边形， 即表示力系的合力 R 等于零，则此力系为 平衡力系.
例 刚体上作用一平面汇交力系,五个力大小
相等,彼此夹72°角
cos RX
R
4170
0.834
5000
Y RX O
Rα
X
RY
RX = ∑FX = - 4170N
RY = ∑FY = - 2750N
R 5000N
由于RX和RX都是负值， 所以合力只应在第三象限 α = 33.5 °
2.2平面汇交力系的平衡条件 及应用
1 平衡的几何条件:
要使平面汇交力 系成为平衡力系，
②求分力在坐标轴上的代数和:
RX = ∑FX RY = ∑FY
③合力的大小和方向用 R, 角度 α, β 表示 Y
RY β R
α
RX
X
Y
RY β R
平面汇交力系的平衡条件及例题
• 平面汇交力系平衡的充分与必要条件，也 平面汇交力系平衡的充分与必要条件，
可解析地表达为： 可解析地表达为：力系中各力在两个坐标 轴上投影的代数和分别为零。 轴上投影的代数和分别为零。
FR = ∑பைடு நூலகம்Fix + ∑ Fiy = 0 i =1 i =1
A
B
30 0
C
300
D
W
A
y
B
300
C
30 0
D
x
FCA FCB F
' T
300 300
C
W
FT
∑F
x
=0
0 ' T 0
FCB + FCA cos 30 + F cos 30 = 0
∑F
y
=0
0 ' T 0
FCA sin 30 − F sin 30 − FT = 0
FCA = 300kN
FCB = 346.4kN
n n 2 2
∑F
i =1
n
xi
=0
∑F
i =1
n
yi
=0
平面汇交力系应用举例
• 例3-2 小滑轮C铰接在三脚架ABC上，绳索 小滑轮C铰接在三脚架ABC上，绳索
绕过滑轮，一端连接在绞车上，另一端悬 挂重为W=100kN的重物。不计各构件的自 挂重为W=100kN的重物。不计各构件的自 重和滑轮的尺寸。试求AC和BC所受的力。 重和滑轮的尺寸。试求AC和BC所受的力。
§3-1-3平面汇交力系的平衡条件及应用
• 平面汇交力系平衡的充分和必要条件是： 平面汇交力系平衡的充分和必要条件是：
平面汇交力系简析.
即：
Rx X1X2 X4 X
Ry Y1Y2 Y3Y4 Y
Rx X R y Y
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
合力的大小： 方向：
R Rx2 Ry2 X2 Y2
tg Ry
Rx
∴
tg1
Ry Rx
tg1
Y X
由 X , Y 正负号确定所在象限
作用点： 为该力系的汇交点
三、平面汇交力系的平衡方程 从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系
的合力为零。 即：
Rx X 0 Ry Y 0
R 0 Rx2 Ry2 0 为平衡的充要条件，也叫平衡方程
例：已知： F1=200N, F2=300N, F3=100N, F4=250N, 求
FA sin FC sin 45 F 0
FA 22.4 kN FC 28.3 kN
例题 已知 P = 20 kN，求平衡时杆AB 和 BC所受的力
A
解：
D
B
取节点 B 为研究对象，画受力图
600
AB 、BC 都是二力杆
300
C P
FBA
y
B
F2
60 0
30
x
0
FBC
F1
由平衡方程：
A
D
B
Fx 0
600
- FRA F1 cos 60 F2 cos30 0
300
Fy 0
C
P
FBA
y
B
F2
60 0
30
x
0
FBC
平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系的平衡条件可以根据力的合力和力矩的平衡来描述。
下面是平面汇交力系的平衡条件：
1.力的合力平衡条件：平面上的力系处于平衡状态时，所有力在x轴和y轴方向的合力均为零。
即：
ΣFx=0（所有力在x轴方向的合力为零）
ΣFy=0（所有力在y轴方向的合力为零）
2.力矩平衡条件：平面上的力系处于平衡状态时，所有力对于任意选定的旋转中心（或称为力矩中心）的力矩合为零。
即：ΣM=0（所有力对于力矩中心的力矩合为零）
在力矩平衡条件中，可以选择合适的力矩中心。
常见的选择是使得其中一些力的力臂为零，从而简化计算。
力臂是力在力矩中心到力的作用线的垂直距离。
通过同时应用力的合力平衡条件和力矩平衡条件，可以解决平面汇交力系的平衡问题。
需要注意的是，平衡条件只适用于静态平衡，即系统中力和物体的位置不发生变化。
1/ 1。
平面汇交力系合成与平衡的几何法
BA
BC
解得 F F 11.35kN
BA
BC
选压块C
F ix
0
FCB cosθ FCx 0
解得 F F cotθ Fl 11.25kN
2 Cx
2h
F iy
0
F CBsin FCy 0
解得 FCy 1.5kN
例2-6
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
O
Oy
Ox
y
x
M
O
F R
M
O
F i
M F OR
x F
i
iy
y F
i
ix
例2-1 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
求：此力系的合力。
解：用解析法
FRx F ix F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45 129.3N
F Ry
F iy
F sin 30 1
F 2
sin 60
F sin 45 3
F 4
sin 45
112.3N
解： CD为二力杆，取踏板
由杠杆平衡条件
F cos yB F sin xB FCD l 0
解得
FCD
F
cos
yB
l
第三章.平面力系的合成与平衡
各力首尾相接
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡
例4
已知：
系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。 解：AB、BC杆为二力杆， 取滑轮B（或点B），画受力图。
用解析法，建图示坐标系。
F
x
0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fy F cos F Fx Fy
Fx cos F
Fx
x
O
Fx
F Fx2 Fy2
cos
Fy F
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡 3）合力投影定理 平面汇交力系，由三个力组成的力多边形 合力投影定理建立了合力投影与各分力投影的关系
FRx Fix
当 x轴与 y 轴不是正交轴时 ：
F Fx Fy
力在坐标轴上的投影不等于力在这个轴上的分量。
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡 2、平面汇交力系的解析法 2）力沿坐标轴的分解 当
Fx Fx
x y
y
Fy Fy
B
Fy
Fx F cos
Fy
A
β α
矢量和
θ
P
FNA 11.4kN FNB 10kN
F
FNB
F
θ P FNA
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡 2、平面汇交力系的解析法 1）力在坐标轴上的投影 F力在 x 轴上的投影：
Fx F cosθ
Fy
Fx
F力在 y 轴上的投影：
Fy F cosβ
3 FR 2 FR1 F3 Fi i 1
平面汇交力系的平衡条件
F1
A
FR
B
F2
C
D F3
合力 FR 在x 轴上投影：
x a bdc
FRx ad ab bc dc
(b)
FRx F1x F2x F3x
推广到任意多个力F1、F2、 Fn 组成的平面共点力系，可
得：
FRx =F1x+F2x+…+Fnx=∑Fx
平面汇交力系
3．用解析法求平面汇交力系的合力
17.32kN
ΣFx=0 F N - FTcos 600=0
FNA
O W
FN= FT cos600 =(17.32×0.5)kN=8.66kN
平面汇交力系
思考题
1 同一个力在两个互相平行的轴上的投影有何关系？如 果两个力在同一轴上的投影相等，问这两个力的大小是否一 定相等？
2 平面汇交力系在任意两根轴上的投影的代数和分别等 于零，则力系必平衡，对吗？为什么？
物体的受力分析
例2-6 一圆球重15kN，用绳索将球挂于光滑墙上，绳与 墙之间的夹角α=300,如图2-13a所示，求墙对球的约束反力
及绳索对圆球的拉力F T。
A
解 取圆球为研究对象，设直角坐
标系如图，列平衡方程。
B
o
W
FTA
ΣFy=0 F Tsin 600600
kN 0.866
（3）量得代表合力矢的长度，则FR的实 际值为
FR ＝2700N FR 的方向可由力的多边形图直接量出， FR 与F1的夹角为71º31＇。
平面汇交力系
二、平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系的平衡的必要与充分的几何
条件是：力的多边形自行封闭，或各力矢的矢 量和等于零。
平面汇交力系
第二章 平面汇交力系一、内容提要本章讲述了研究平面汇交力系的合成和平衡条件的两种方法：几何法和解析法。
1.求平面汇交力系的合力 (1) 几何法求合力。
根据力多边形法则求合力，即力多边形缺口的封闭边代表合力的大小和方向。
F R =ΣF合力的作用线通过原力系各力的汇交点。
(2) 解析法求合力。
根据合力投影定理，利用力系中各分力在两个正交轴上的投影的代数和，来确定合力的大小和方向为()()2Y 2X 2RY 2X R F F F F F R ∑+∑=+=XY XRY tan F F F F R ∑∑==αα为合力F R 与x 轴所夹的锐角。
合力F R 的指向由ΣF Y 和ΣF X 的正负号来确定，合力的作用线通过原力系各力的汇交点。
2.平面汇交力系的平衡条件(1) 平衡的必要和充分条件：平面汇交力系的合力为零，即F R =ΣF =0(2) 平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。
(3) 平衡的解析条件：平面汇交力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
即ΣF X =0 ΣF Y =0通过这两个独立的平衡方程，可求解出两个未知量。
3.力在坐标轴上的投影为F X =±F cosαF Y =±F sinα式中α为力F 与坐标轴x 所夹的锐角。
二、典型例题解析例 简易起重机如图2-1a 所示。
B 、C 为铰支座，钢丝绳的一端缠绕在卷扬机的点D 上。
杆件AB 、AC 及滑轮的自重不计，滑轮的半径也不计。
试求杆件AB 、AC 所受的力。
（空13行） 图2-1知识点：平面汇交力系的平衡条件及应用。
解 （1）取铰A 为研究对象。
杆AB 、AC 均为二力杆，可设为拉力。
由于A 处为定滑轮，故钢丝绳两端的拉力相等，都等于物体的重量W = 20kN 。
不计滑轮半径，则铰A 的受力图如图2-1b 所示。
（2）几何法求解作闭合的力多边形。
在选定比例尺后，先画已知力F T D 和W ，考虑到实际情况，F N C 应该为压力，所以应向上，且与水平成60°角。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系的平衡条件是力矩平衡和力平衡。
在物理学中，力
矩可以简单地理解为力对物体产生转动的能力，而力平衡则是指在平
面中所有合力的合力矢量为零。
要了解平面汇交力系的平衡条件，我们首先需要了解力矩的概念。
力矩是指力在物体上产生转动效果的物理量。
当一个物体受到多个力
的作用时，每个力的力矩将相互叠加，力矩的大小就相当于力的大小
乘以力臂（力臂是力矢量所产生的垂直于力的作用线的距离）。
在平
面中，力矩的算法通常是力矢量的模乘以力臂的长度，这个结果也被
称为力矩的大小。
平面汇交力系的力矩平衡条件可以表示为：物体对于所有力矩的
合力矢量为零。
换句话说，就是所有力对物体所产生的转动效果平衡，物体将保持静止或者以匀速直线运动。
为了实现力矩平衡，物体上的力矩必须相互抵消。
这意味着如果
一个力的力矩是顺时针的，那么其对立的力必须具有逆时针的力矩。
只有当所有力的力矩均为零时，物体才能保持平衡。
这种抵消力矩的
方式，有时需要我们做些简单的几何分析或者代数计算。
另外一个平面汇交力系的平衡条件是力平衡。
力平衡要求物体的
所有合力矢量为零。
这意味着物体上所有力的合力要完全抵消掉没有
净力作用于物体，物体将保持静止或者以匀速直线运动。
为了实现力平衡，物体上的所有力必须平衡。
这意味着所有力的
合力必须为零。
如果合力不为零，那么物体将加速度运动。
所以，所
有力的合力为零是保持平衡的前提。
要分析平面汇交力系的力矩平衡和力平衡，我们需要考虑力的大小、方向和位置。
首先，我们需要将物体上的所有力绘制成力矢量，
并确定它们的大小和方向。
然后，我们可以计算每个力矢量的力矩，
并对所有力矩进行求和。
如果力矩合为零，那么我们就满足了力矩平
衡条件。
同时，我们还需要计算所有力的合力矢量，并判断是否为零。
如果合力为零，那么我们就满足了力平衡条件。
通过对平面汇交力系的平衡条件的分析，我们可以更好地理解物
体在平面上的稳定性和静止与运动之间的关系。
同时，了解这些平衡
条件也可以帮助我们解决一些实际问题，比如平衡天平、桥梁和建筑
结构等的设计与分析。
总的来说，平面汇交力系的平衡条件包括力矩平衡和力平衡。
力
矩平衡要求物体上所有力矩的合力为零，力平衡要求物体上所有力的
合力为零。
通过对力的大小、方向和位置的分析，我们可以判断物体
是否处于平衡状态。
这些平衡条件的理解和应用不仅具有指导意义，
而且对于物理学的学习和应用也具有重要的意义。