复变函数与积分变换课堂PPT第五章
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《复变函数》第5章
例: 对 f (z) z3 1.
f (1) 0, f (1) 3z 2 z 1 3 0
z 1 是 f (z)的一级零点.
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第7页
定理: z0 是 f (z)的m级极点
证:
f
(z)
(z
1 z0
)m
g
(z)
z0
是
f
1 的m级零点. (z)
f
复 变 函 数（第四版）
第五章 留 数
§1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分计算上的应用 *§4 对数留数与辐角原理
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
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§1 孤立奇点
1. 定 义
如果函数 f (z)在 zo处不解析, 但在 zo的某 一去心邻域 0 < | z－zo |<δ处处解析, 则称zo 为函数 f (z)的孤立奇点. 例：z 0 为 f (z) sin 1 的孤立奇点 .
5
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第4页
∴
z = 0 分别是 本性奇点.
sin z
z
,
sin z4
z
,
sin
1 z
的可去、3极、
(1) zo为 f(z)的可去奇点
相当于实函可去间断点
lim f (z)存在且有限
zz0
f (z)在zo点的某去心邻域内有界.
(2) zo为 f (z)的极点
例:
z
0
是
ez 1 z2
的一级极点.
z
1
是
(z 1)3 sin( z 1)
的二级零点.
南大复变函数与积分变换课件(PPT版)5.2 留数
lim
z 1
d z
5
( z sin z )
1 5!
lim ( cos z )
z 1
. 巧合?
(非也!)
注 (1) 此类函数求留数，可考虑利用洛朗展式。
(2) 若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，
而不一定非得使用下面即将介绍的留数定理。
16
§5.2 留数 第 三、留数定理 五 章 定理 设 f ( z ) 在区域 D 内除有限个孤立奇点 z1 , z2 , , zn 外 处处解析，在边界 C 上连续， 则 留 n 数 及 C f ( z ) d z 2π i Res [ f ( z ) , zk ] . k 1 其 应 用 证明 如图，将孤立奇点用含于 D 内且
13
§5.2 留数 第 五 章 留 数 及 其 应 用
解 方法一 利用洛朗展式求留数 将 f (z ) 在 z 0 的去心邻域展开， 得
f (z) 1 z
6
[ z (z 1 5! z
1 3! 1
z
3
1 5!
z
5
1 7!
z ) ]
7
1 3! z
3
7!
z ,
Res [ f ( z ) , z 0 ] lim ( z z 0 )
z z0
P(z) Q(z)
lim
z z0
P ( z0 ) P(z) . Q ( z ) Q ( z0 ) Q ( z 0 ) z z0
6
§5.2 留数 第 五 章 留 数 解 (1) z 0 是 f1 ( z ) 的可去奇 点， 及 Res [ f1 ( z ) , 0 ] 0 . 其 应 用 (2) z 0 和 z 1均为 f 2 ( z ) 的一阶极点，
复变函数与积分变换PPT_图文_图文
x y=-3
§1.4 复数域的几何模型---复球面
N
0
对复平面内任一 点z, 用直线将z 与N相连, 与球面 相交于P点, 则球 面上除N点外的 所有点和复平面 上的所有点有一 一对应的关系, 而N点本身可代 表无穷远点, 记 作.
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3
除了复数的平
面表示方法外,
加减法与平行四边形 法则的几何意义:
乘、除法的几何意义
:
,
,
,
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相 当于将 z2 的 模扩大 |z1| 倍 并旋转一个角
度Arg z1 .
0
1
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然 .
复变函数与积分变换PPT_图文_图文.ppt
引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为
。在当时，
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
解：
设 z = x + i y , 方程变为
y
O
x
-i
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直
复变函数与积分变换-PPT课件
i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
复变函数与积分变换(全套课件334P)
z 3 z 2 z 1 0根为i, 1, i
且z z z 1 ( z i)( z 1)( z i)
3 2
§1.2 复平面上的曲线和区域
一、复平面上的曲线方程 平面曲线有直角坐标方程 和参数方程
F ( x, y ) 0
x x(t ) 两种形式。 y y (t )
5 5 z 2 r2 cos i sin 6 6
3 1 r2 r2i 2 2
3 1 3 1 则z r1 2 r1i r2 2 r2i 2 2 2 2
例4
求方程
3 2
z z z 1 0 的根。并将
1 3 2 z 13 13 13
2 2
2 arg( z ) arctan 3
（3）
i 4i i i 4i i 1 3i,
10 25 10
| z | (1) 2 32 10 ,
(4)
arg( z ) arctan 3
17512ii????232357arg21argii????57re57imii???例2求下列复数的模与辐角例2求下列复数的模与辐角12i??3i231?34iii??25104ni?????????231解12231215argarctan63zz???????????1??22321131313z????????????????32arctanarg??z132133232323231iiiii??????????????23144102510iiiiiii????????103122????z3arctanarg???z3313argarctan3ii????模为141?z23arg??knz??23nkk????????满足的313cossin233niinnei????????????????3argarctan323ez????模为14例3求满足下列条件的复数z
复变积分第五章优秀课件
有向光滑曲线, t 增大的方向为正向. 因为 C 光滑,
y (z) z(t0)
. z0 O
所以 z(t)0. 对于
w f [ z ( t) ]( t ) ,
C
w ( t) f(z ) z ( t) 0 .
于是w=f (z)将z平面上有向 x
光滑曲线C 映射成w平面内过点 w0f(z0)的有向
平面上的像, 而称z0为映射w=f (z)下点w0在z平面 上的原像. 同时称G为映射w=f (z)下D在w平面上 的像, 称D为映射w=f (z)下G在z平面上的原像.
如果w=f (z)把 D中的不同点映射成G中的不 同点, 即如果 z 1 , z 2 都是D中的点, z1 z2, 那么有 f(z1)f(z2), 则称 w=f (z)是从D到G的双方单值 映射或一对一的映射.
y
z(t0)
p. C z(t0t)
p 0. z(t0 ) z 0
上点z0处切线的正向.
O
x
y
(1) C在点z0处切线正向与x 轴
z(t0)
C
正向之间的夹角是 Argz(t0). (2) 设z平面内的两条有向光 O
. z0
Argz(t0)
x
滑曲线 C1:zz1(t)和 C2:zz2(t)相交于z0 (t=t0)点.
并且 w 0 f [ z 1 ( t 0 ) ] f [ z 2 ( t 0 ) ] .因此
C 1 1 A r g f ( z 0 ) A r g w 1 ( t 0 ) A r g z 1 ( t 0 ) C 2 2 A r g f ( z 0 ) A r g w 2 ( t 0 ) A r g z 2 ( t 0 )
所以 A r g w 2 ( t 0 ) A r g w 1 ( t 0 ) A r g z 2 ( t 0 ) A r g z 1 ( t 0 ) .
y (z) z(t0)
. z0 O
所以 z(t)0. 对于
w f [ z ( t) ]( t ) ,
C
w ( t) f(z ) z ( t) 0 .
于是w=f (z)将z平面上有向 x
光滑曲线C 映射成w平面内过点 w0f(z0)的有向
平面上的像, 而称z0为映射w=f (z)下点w0在z平面 上的原像. 同时称G为映射w=f (z)下D在w平面上 的像, 称D为映射w=f (z)下G在z平面上的原像.
如果w=f (z)把 D中的不同点映射成G中的不 同点, 即如果 z 1 , z 2 都是D中的点, z1 z2, 那么有 f(z1)f(z2), 则称 w=f (z)是从D到G的双方单值 映射或一对一的映射.
y
z(t0)
p. C z(t0t)
p 0. z(t0 ) z 0
上点z0处切线的正向.
O
x
y
(1) C在点z0处切线正向与x 轴
z(t0)
C
正向之间的夹角是 Argz(t0). (2) 设z平面内的两条有向光 O
. z0
Argz(t0)
x
滑曲线 C1:zz1(t)和 C2:zz2(t)相交于z0 (t=t0)点.
并且 w 0 f [ z 1 ( t 0 ) ] f [ z 2 ( t 0 ) ] .因此
C 1 1 A r g f ( z 0 ) A r g w 1 ( t 0 ) A r g z 1 ( t 0 ) C 2 2 A r g f ( z 0 ) A r g w 2 ( t 0 ) A r g z 2 ( t 0 )
所以 A r g w 2 ( t 0 ) A r g w 1 ( t 0 ) A r g z 2 ( t 0 ) A r g z 1 ( t 0 ) .
复变函数与积分变换复数与复变函数PPT课件
将它们代入所给的直线方程ax+bx=c，有
化简得
记α=a+ib，β=2c，便得结论.
（3）方程|z-i|=|z+2i|表示到点i和-2i的距离相等的点z的轨迹，
即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线.
(4) 方程
表示一个圆周.
第31页/共75页
1.1.5无穷远点与扩充复平面 取一个与 相切于坐标原点O的球面S. 过O作与复平面相垂直的直线，该直线 与球面S交于另一点N，O和N分别称为 球面的南极和北极（图1.7）.
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1.1.1复数域 形如
1.1复数
的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚
部，记作x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称
为纯虚数；特别地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
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1.1.2复平面、复数的模与辐角 由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x,y)唯一确定，而有序实 数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应，因此可以用坐标 为(x,y)的点P来表示复数z=x+iy (图1.1)，此时x轴上的点与实数 对应，称x轴为实轴，y轴上的点（除原点外）与纯虚数对应，称y轴 为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面，或按照表示复数的字母 是z,w,…,而称为z平面、w平面，等等.
图1.5
第21页/共75页
例1.5设n为自然数，证明等式
证明令
，/共75页
1.1.4共轭复数 设复数z=x+iy，称复数x-iy为z的共轭复数，记为 于实轴对称的（图1.6）. 由定义，容易验证下列关系成立：
复变函数与积分变换课件
傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
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，则
显然
是二级极点，所以
是二级极点。
例 下列函数中，∞的奇点类型。
[解]
所以
是本性奇点。
由前面分析又知道，要确定 t = 0是不是
去奇点，极点或本性奇点，可以不必把 朗级数来考虑，只要分别看极限
的可
展开成洛
是否存在(有限
值)，为无穷大或即不存在又不为无穷大数就可以了。 由于
，对于无穷远点也有同样的确定方法，
即 z = 是 f (z) 的可去奇点, 极点或本性奇点, 完全看
极限 是否存在(有限值)，为无穷大或即不存在
又不是无穷大来决定。
当z=是 f (z)的可去奇点, 可以认为 f (z)在是解析 的，只要取 例如函数 。 在圆环域 内可展开成
它不含正幂项, 所以 是 f (z) 的可去奇点。 若取 f ()=1，则 f (z) 在 解析。
所以z=0是
的孤立奇点。 的可去奇点，m 级极点或
规定，如果 t = 0是
本性奇点，则称点z = 是 f (z)的可去奇点，m级极点 或本性奇点。由于 f (z)在R<|z|<+内解析，所以在此
圆环域内可以展开成洛朗级数, 即有
其中C为R<|z|<+内绕原点任何一条简单正向闭曲线。
因此， 到上式得到为
极点，其实是一级极点。因为
，初看似乎z=0是它的2级
其中
的z=0 解析，并且
. 类似地，z =0是
的2级极点而不是3级极点。
例 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出 它的级。
[解] (1)
显然
是三级极点，
是二级极点。
所以
是可去奇点。
例 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出 它的级。
[解] (3) 显然 又
所以不论 f (z)原来在z0是否有定义, 如果令 f (z0)=c0,
则在圆域
内就有
从而函数 f (z)在z0就成为解析的了. 由于这个原因, 所以
z0称为可去奇点。
例如，z = 0是
的可去奇点，因为这个函数在
z=0的去心领域内的洛朗级数
中不含负幂项。如果约定 在 z=0就成为解析的了。
在z=0的值为1(即c0 )，则
，并且 映射成
，则扩充 z 平面上每一个向无穷
无穷远点收敛的序列
与扩充 t 平面上向零收敛的序 相对应。反过来也
列对应。反过来也是这样。 是这样。 同时，
把扩充 z平面上 的去心领域 ，又
映射成扩充 t 平面上原点的去心领域
这样，可把在去心领域 内对
对 f (z)的研究化为在 在 内解析，
的研究。显然
的m级
其中g (z)在z0解析，且m级极点，则有 时，有
。所以当
函数 h (z)也在z0解析，且
。又由于
因此只要令
，则可得z0 是
的m级零点。
反过来，如果z0是
的m级零点，那么
这里
在z0解析，且
，由此，当
时，得
而 的m级极点。
在z0解析，并且
，所以z0是 f (z)
这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单 的方法。
又如函数
，含有正幂项，且z为最高正幂
项，所以为它的一级极点。 函数 sin z的展开式：
含有无穷多的正幂项，所以是它的本性奇点。
例2 函数
在扩充平面内有些什么
类型的奇点？如果是极点，指出它的级。
[解] 易知，函数 f (z)除使分母为零的点
外，在 由于 此这些点都是 内解析。 在 处均不为零，因 的三级
总可以找到一个趋向于z0 的数列, 当z沿这个数列趋向 于z0时, f (z)的值趋向于A。
例如, 给定复数 A=i, 可把它写成 ，可得 , 显然，当 。则由
时，
而
，所以，当z 沿
趋向于零时， f (z) 的值
趋向于i。
综上所述, 如果 z0为 f (z)的可去奇点，则
存在且有限；如果 z0为 f (z)的极点，则 如果z0为 f (z)的本性奇点，则 ；
2. 极点
如果在洛朗级数中只有有限多个 其中关于 的最高幂为 的负幂项, 且
, 即
则孤立奇点z0称为函数 f (z)的m级极点。上式也可写成
其中 在 内是解析的函数, 且 。
反过来, 当任何一个函数 f (z)能表示为(5.1.1)的形式,
且g(z0)0时, 则z0是 f (z)的m级极点。
如果z0为 f (z)的极点, 由(5.1.1)式, 就有 或写作
例如函数
都以z=0为孤立奇点。但不能认为
函数的奇点都是孤立的。例如 的一个奇点，此外 当n的绝对值逐渐增大时,
，z=0是它
也是它的奇点。
可任意接近 z = 0。
换句话说, 在z=0的不论怎样小的去心领域内总有 f (z) 的奇点存在。所以z=0不是孤立奇点。 把函数 f (z) 在它的孤立奇点 z0的去心邻域内展开 成洛朗级数。根据展开式的不同情况对孤立奇点进行 如下分类。
则z0为 f (z)的一级极
点，而
事实上，一级极点。因此
其中
在z0解析，
由此得
其中
在z0解析，且
。
故z0为f (z)的一级极点。
根据规则I，
而
所以
令
，即得规则III。 例1 计算积分 ，C为正向圆周|z|=2。 有两个一级极点
论过。所以当n>2时，
时， 也就是
。所以
的孤立奇点，
不是 f (z)的孤立奇点。
例 判定z=∞是下列函数的什么奇点？
[解] (1)
所以
是可去奇点。
所以
是本性奇点。
所以
是可去奇点。
§2 留数
1. 留数的定义及留数定理
2. 留数的计算规则
3. 在无穷远点的留数
1. 留数的定义及留数定理
如果函数 f (z)在z0的邻域内解析, 那末根据柯西－ 古萨基本定理 其中C为z0领域内任意一条简单闭曲线。 但是, 如果z0为 f (z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某
处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中
c1 ( z z0 )
1
项的系数即可。但如果知道奇点的类型,
对求留数可能更有利。如果z0是f (z)的可去奇点, 则 Res[ f (z), z0]=0, 因为此时f (z)在z0的展开式是泰勒展
开式。如果z0是本性奇点, 则没有太好的办法, 只好 将其按洛朗级数展开。如果z0是极点, 则有一些对求
若 f (z) 在z0 解析，则z0是 f (z) 的m 级零点的充要 条件是
事实上，如果 z0 是f (z)的m级零点，那么f (z)可表
成如下形式：
设
在z0的泰勒展开式为
其中
, 那么 f (z)在z0的泰勒展开式为
易证z0是 f (z)的m级极点的充要条件是前m项系数
, 这等价于
如z =1是 f (z) = z3 -1的零点，由于f '(1)=3z2|z=1=30, 从而知z=1是 f (z)的一级零点。
例1 函数 它的级。
有些什么奇点？如果是极点，指出
[解] 函数1/sin z的奇点显然是使sin z=0的点。这些
奇点是
或
。因为从 sin z＝0 得
，从而有
，所以
。显然它们是孤
立奇点。由于
所以
点。
都是sin z的一级零点, 也就是
的一级极
注意：在求函数的孤立奇点时，不能一看函数表面
形式急于作结论。像函数
1. 可去奇点
如果在洛朗级数中不含
点z0称为 f (z)的可去奇点。 这时, f (z)在z0的去心邻域内的洛朗级数实际上就 是一个普通的幂级数： 的负幂项，则孤立奇
因此, 这个幂级数的和函数 F (z)是在 z0解析的函数, 且 当 时, F (z)= f (z); 当z=z0时, F(z0)=c0。由于
在圆环域
内的洛朗级数可由得
如果在上面级数中 i) 不含负幂项, ii) 含有有限多的负幂项, 且 iii) 含有无穷多的负幂项, 则t = 0是 的 i) 可去奇点, ii) m级极点, iii) 本性奇点。 为最高幂,
因此，根据前面的规定，有： 如果在级数中，
i) 不含正幂项； ii) 含有限多的正幂项, 且zm为最高幂；
例如，对有理分式函数 它的三级极点， , z=1是
是它的一级极点。
3. 本性奇点
如果在洛朗级数中含有无穷多个 的负幂项, 则
孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点。
例如，函数 级数 以z=0为它的本性奇点。因为在
中含有无穷多个z的负幂项。 在本性奇点的邻域内, f (z)有以下性质(证明从略):
在本性奇点的邻域内, f (z)有以下性质(证明从略): 如果z0为函数 f (z)的本性奇点, 则对任意给定的复数 A,
顺便指出，由于
在z0解析且
因而它在z0
的邻域内不为零。这是因为 所以给定
在z0解析, 必在z0连续, 时，有
，必存在 ，当
，由此得
所以
在 z0 的去心邻域内不为零，即
不恒为零，只在z0等于零。也就是说，一个不恒为零的 解析函数的零点是孤立的。
定理 如果z0是 f (z)的m级极点，则z0就是 零点，反过来也成立。 [证] 如果z0是 f (z)的m级极点，则有
的一级零点，从而是
零点。所以这些点中除去1, -1, 2外都是 f (z)的三级极点。 因 －1是 f (z)的2级极点。
以1与-1为一级零点，所以1与
至于z=2，因为
所以z=2是 f (z)的可去奇点。 关于
，因为