第六章 振动与波

第六章 振动与波振动：来回往复，周期性的运动。

物理量随时间周期性变化，就称该物理量在振动。

机械振动（力学系统的振动）：钟摆；乐器的弦线或簧片；声带；晶体中的原子；核磁共振仪中的试样原子；宇宙。

电磁振动（电磁学系统的振动）：交流电路；微波炉中的电场与磁场；调谐电路。

波动：振动的传播机械波（声波，水波，地震波等）；电磁波 简谐振动的重要性：（1）涉及机械振动的大多数问题，在小幅度振动的情况下，可简化为简谐振动； （2）复杂的振动可以看成是由许多简谐振动合成的；（3）声学、光学、力学、电路、原子物理学都出现简谐振动的微分方程，简谐振动显示着许多物理系统的共同特征。

6.1 简谐振动的基本概念基本内容和要求：（1）掌握简谐振动的解析表示、特征量以及动力学描述；（2）掌握简谐振动几何表示（旋转矢量法），能熟练绘出振动图线和旋转矢量图。

一、简谐振动的运动学描述：解析表示与特征量基本模型：弹簧振子（简谐振子） 1 解析表示 )cos(0ϕω+=t A x2 特征量：A 为振幅，单位m ；ω为角频率，单位rad/s；T 为周期，单位ν为频率，单位0ϕω+t 为相位，单位rad；0ϕ为初相位，单位rad 3 速度与加速度)2cos()sin(00πϕωωϕωω++=+−==t A t A dt dx v )cos()cos(0202πϕωωϕωω++=+−==t A t A dtdv a 注：（1）A v ω=max ；（2）x a 2ω−= 4 振动曲线讨论：如何由振动曲线判断位移与速度？ 由振动曲线的斜率正负判断速度的方向； 由下一时刻的运动趋势判断速度的方向。

二、简谐振动的动力学描述kx F −=这里，k 为正常数（对弹簧来说，k 就是劲度系数）；x 为质点对平衡位置的位移（为平衡位置）；这样的力0=x F 称为线性回复力。

在线性回复力的作用下，质点作简谐振动由牛顿方程 kx dtm −=2 即 x m k dt x d −=22解得 )cos(0ϕω+=t A x0,ϕA 由运动的初始条件（即初速度、初位移）决定。

0000sin cos ϕωϕA v A x −==→00102020tan )(x v v x A ωϕω−=+=−讨论：（1）由能量守恒关系确定振幅A222020*********kx mv kx mv E +=+=（守恒） 在最大位移处，202002212121kx mv E kA +==解得 kA 0= 即 2020)(ωv x A += 此外，在平衡位置，02max 21E mv =，所以 A m E v ω==0max 2 （2）0ϕ象限的确定如果，则0,000<>v x 0ϕ在第一象限；如果，则0,000<<v x 0ϕ在第二象限；如果，则0,000><v x 0ϕ在第三象限；如果，则0,000>>v x 0ϕ在第四象限。

注意：0ϕ象限的确定是本节重点。

（3）如果一个粒子在势场221)(kx x V =中运动，则该粒子一定作简谐振动。

kx dxx dV F −=−=)(小结：振动周期决定于振动系统本身的性质；振幅决定于振动的能量；初相决定于对时间原点的选择。

例1 有N 个劲度系数分别为的轻质弹簧。

（1）将它们串联，求等效的劲度系数；（2）将它们并联，求等效的劲度系数。

N k k k ,...,,21解 （1）N N x k x k x k F −==−=−= (2211))1...11( (2)121N N k k k F x x x x +++−=+++= 即 x k k k F N 1 (111)21+++−=若记等效的劲度系数为K ，则N k k k K 1 (111)21+++= 或 Nk k k K 1...11121+++= （2）x k F x k F x k F N N −=−=−=,...,,2211x k k k F F F F N N )...(...2121+++−=+++=若记等效的劲度系数为K ，则N k k k K +++= (21)例 2 一劲度系数为k 的轻质弹簧，下面挂一质量为的物体。

以弹簧原长处为坐标原点，试求平衡位置，以及物体偏离平衡位置后的运动。

m 解 如图建立坐标系。

)(kmg x k mg kx F +−=−−= 物体以kmg x −=为平衡位置作简谐振动，角频率为mk =ω。

例3 水面上浮沉的木块。

试证明木块作简谐振动，并求振动周期。

设木块的质量为m ，在水面上静止时没入水中的高度为H ，水的密度为0ρ。

解 如图建立坐标系。

木块平衡时，gHS mg 0ρ=木块偏离平衡位置的位移为时，xgSx mgS x H g F 00)(ρρ−=++−=这里为木块截面积。

可见，S gS k 0ρ=g H gSHS k m T πρρππ22200===例4 如图，一质量为的子弹以速度射入静止的弹簧振子（质量为m 1v M ）。

假定碰撞是瞬时的。

以共同运动的时刻为0=t ，求简谐振动的角频率、振幅和初相位。

解 （1）mM k +=ω （2）m M mv v +=10。

因为22021)(21kA v m M =+，所以)(1m M k mv A += 或者，因为A v ω=0，而mM k +=ω，所以)(10m M k mv v A +==ω （3）)cos(0ϕω+=t A x0sin 0cos 0000<−===ϕωϕA v A x 20πϕ=⇒三、简谐振动实例1 单摆一根不能伸缩，长为l 的细绳，上端固定，下端系一个质量为的小球（质点）。

m 受力分析：如图，绳的张力与mg 的径向分力θcos mg 提供向心力；切向分力为θsin mg 。

设质点沿弧线的位移为，则x θl x =。

由切线方向的牛顿方程θsin 22mg dtx d m F t −== 注：分析上面的方程容易得到，加速度与质量无关；摆的周期与质量无关。

摆角很小时，lx =≈θθsin ，方程可写成 x l mg dt x d m −=22等效于一质量为，劲度系数为m lmg k =的弹簧振子。

所以，可以立即得到：lg =ω讨论：（1）单摆的周期与振幅无关。

（2）rad 08727.05max ==o θ，08716.05sin =o， 3!31sin θθθ−=。

（3）在o 5max =θ，上面的单摆周期公式，其精度为万分之五。

（4）应用：测量重力加速度。

2 物体在稳定平衡位置附近的运动设是稳定平衡点。

在0x x =0x x =附近，...)(21)()()(20220000+−+−+===x x dx u d x x dx du x U x U x x x x 在稳定平衡点，势能取极小值，即00==x x dx du ，0022>=x x dx u d 记k dx u d x x ==022，则200)(21)()(x x k x U x U −+= )()(0x x k dxx dU F −−=−= 所以，物体在稳定平衡点附近的小振动可以近似地看成简谐振动。

讨论：0)(000=⇔==x F dx du x x ，00022>⇔>=k dx u d x x 3 LC 谐振电路C Q U U Q C C C =⇒=,22dt Q d L dt di L L −=−=ε因为L C U ε=，所以C Q dtQ d L −=22与弹簧振子的运动方程kx dt x d m −=22作类比 dtdQ i dt dx v Q x C k L m =↔=↔↔↔,1, 立即得到 LC T π2=)cos(0max ϕω+=t Q Q0max ,ϕQ 由初始条件确定。

这里讨论： 对弹簧振子来说，222121kx mv E +=，在振动过程中，动能和势能相互转化，机械能守恒；对LC 谐振电路来说，C Q Li E 222121+=，在谐振过程中，磁场能和电场能相互转化，总的电磁能守恒。

四、简谐振动的运动学描述：旋转矢量表示与振动的相位作匀速圆周运动的质点在某一直径（取作轴）上的投影的运动就是简谐振动。

圆周运动的角速度就等于振动的角频率；圆周运动的半径就等于振动的振幅；初始时刻作圆周运动的质点的矢径与轴的夹角就是振动的初相。

x x （1）参考圆（2）旋转矢量：长度等于振幅；旋转角速度等于振动的角频率；与轴的夹角等于振动的相位。

x )cos()(0ϕω+==t A A x x r)sin()2cos()(00ϕωωπϕωω+−=++==t A t A v v x m r )cos()cos()(0202ϕωωπϕωω+−=++==t A t A a a x m r 讨论：（1）用相位表示简谐振动的质点运动状态 如果，则0,0<>v x ϕ在第一象限； 如果，则0,0<<v x ϕ在第二象限； 如果，则0,0><v x ϕ在第三象限； 如果，则0,0>>v x ϕ在第四象限。

（2）相位差)cos(101ϕω+=t A x ，)cos(202ϕω+=t A x 10201020)()(ϕϕϕωϕωϕ−=+−+=Δt t即两个同频率的简谐振动在任意时刻的相位差总对于其初相位差。

同相：πϕk 2±=Δ，,...2,1,0=k反相：πϕ)12(+±=Δk ，,...2,1,0=k 超前与落后例 一质点作简谐振动，振幅cm A 4=，角频率为12rad/s。

初始时刻cm x 20=，速度为正。

求：（1）振动表达式；（2）从初始位置回到平衡位置的最短时间。

解 （1）)cos(0ϕω+=t A x由已知条件，cm A 4=，s rad /12=ω。

作旋转矢量图，可得30πϕ−=。

所以 )312cos(04.0π−=t x （SI） （2）由旋转矢量图，πππω6523=+=Δt ，所以π725=Δt 秒。

例 一质点作简谐振动，周期为T 。

当它由平衡位置向轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间是多少？x 解 由旋转矢量图，在此过程中相位的变化为3π，所以需要的时间为6T 。

例 一质点作简谐振动，周期为T 。

以余弦函数表达振动时，初相位为零。

在20T t ≤≤的范围内，系统在哪些时刻动能和势能相等？提示：A x kA kx 2221)21(2122±=⇒×= 答案：81T t =，832T t = 例 弹簧振子。

m 4.0max =x ，，N 8.0max =F m/s 8.0max π=v 。

0=t 时，m 2.00=x ，。

求：（1）振动能量；（2）振动表达式。