成比例线段 2
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人教版九年级下册数学：第27章 总第2课时 27.1.2《成比例线段》
bd
(4)若四条线段满足;,则有ad=bc。
典例精析
【例1】.一张桌面的长a=1.25 m，宽b=0.75 m，
那么长与宽的比是多少？
a:b=5：3 或 a 5
b3
a.如果a=125 cm，b=75 cm，那么长与宽的比
是多少？
a:b=5：3
或a 5 b3
b.如果a=1250 mm，b=750 mm，那么长与宽的
★★★★课堂练习 1.如图所示的两个三角形相似吗？为什么？
相似，由已知条件可知它们的角分别 相等，边成比例.
合作探究 知识点3 相似多边形性质的应用
由相似多边形的性质可知，相似多边 形的对应角相等，对应边成比例。
典例精析
【例2】如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，
β的大小和EH的长度x.
总第2课时
情景 引入
合作 探究
课堂 练习
归纳 小结
达标 测试
学习目标
1
理解比例线段的概念。
2
会根据相似多边形的特征识别两
个多边形是否相似，并会运用其性质
进行有关的计算。
复习回顾
1.形状相同的图形叫做相似图形。 注意:相似图形的大小不一定相同;
全等图形是相似图形的特殊情况。 2.图形的相似具有传递性。 3.两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一 个图形放大或缩小得到。即:利用相似放大或缩小 图形。
DE= DF2 EF2 22 1.52 =2.5 ∵ AB BC AC
DE EF DF
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F=90° ∴△ABC与△DEF相似.
1 两个边数相同的多边形，如果它们的角对 应相等，边成比例，那么这两个多边形相似。
(4)若四条线段满足;,则有ad=bc。
典例精析
【例1】.一张桌面的长a=1.25 m，宽b=0.75 m，
那么长与宽的比是多少？
a:b=5：3 或 a 5
b3
a.如果a=125 cm，b=75 cm，那么长与宽的比
是多少？
a:b=5：3
或a 5 b3
b.如果a=1250 mm，b=750 mm，那么长与宽的
★★★★课堂练习 1.如图所示的两个三角形相似吗？为什么？
相似，由已知条件可知它们的角分别 相等，边成比例.
合作探究 知识点3 相似多边形性质的应用
由相似多边形的性质可知，相似多边 形的对应角相等，对应边成比例。
典例精析
【例2】如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，
β的大小和EH的长度x.
总第2课时
情景 引入
合作 探究
课堂 练习
归纳 小结
达标 测试
学习目标
1
理解比例线段的概念。
2
会根据相似多边形的特征识别两
个多边形是否相似，并会运用其性质
进行有关的计算。
复习回顾
1.形状相同的图形叫做相似图形。 注意:相似图形的大小不一定相同;
全等图形是相似图形的特殊情况。 2.图形的相似具有传递性。 3.两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一 个图形放大或缩小得到。即:利用相似放大或缩小 图形。
DE= DF2 EF2 22 1.52 =2.5 ∵ AB BC AC
DE EF DF
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F=90° ∴△ABC与△DEF相似.
1 两个边数相同的多边形，如果它们的角对 应相等，边成比例，那么这两个多边形相似。
23.1成比例线段(2)比例的基本性质
ace a c e （2）如果 b d f ，那么 b d f 与
等于什么？
a 相等吗？ b
与同伴进行交流。 设参数法,为“桥梁”，在解题中增设k，
又在解题中自行消失。
当题目中出现等比的形式时通常考虑这种方法.
a c e =k . 用“设k法”， 设 b d f
比例的等比性质.
交换比例的前后项
比例的合比性质：
尝试练习
1 .若
a b b _____
a 3 b 4 ，则
ab b
____
ab _____ a b
Ａ
D E C
AB AC 2. 已知：在△ABC 中， ＝ . DB EC AD AE 求证： ＝ ； DB EC
B
．
做一做
ac a c k ，那么 （1）如果 bd b d 与同伴进行交流。
a c b d
比例式
ad bc
等积式 外项之积等于内项之积
文字叙述
知识探索
a c 想 一 想 根据比例的基本性质，由 b d ，你还可以 得到哪些类似的结论呢？
比例式的几种形式
a b (1) c d
交换比例的内项
a c b d
d c （2） b a
Байду номын сангаас
交换比例的外项
b d (3) a c
比例线段（3）
教学目标
1.理解并掌握比例的性质。
2.运用比例的性质解决相关问题。
知识回顾
比例式中的概念：
比例前项
比例内项
a c b d
比例后项
a : b = c : d
比例外项
新知探究
比例的基本性质
等于什么？
a 相等吗？ b
与同伴进行交流。 设参数法,为“桥梁”，在解题中增设k，
又在解题中自行消失。
当题目中出现等比的形式时通常考虑这种方法.
a c e =k . 用“设k法”， 设 b d f
比例的等比性质.
交换比例的前后项
比例的合比性质：
尝试练习
1 .若
a b b _____
a 3 b 4 ，则
ab b
____
ab _____ a b
Ａ
D E C
AB AC 2. 已知：在△ABC 中， ＝ . DB EC AD AE 求证： ＝ ； DB EC
B
．
做一做
ac a c k ，那么 （1）如果 bd b d 与同伴进行交流。
a c b d
比例式
ad bc
等积式 外项之积等于内项之积
文字叙述
知识探索
a c 想 一 想 根据比例的基本性质，由 b d ，你还可以 得到哪些类似的结论呢？
比例式的几种形式
a b (1) c d
交换比例的内项
a c b d
d c （2） b a
Байду номын сангаас
交换比例的外项
b d (3) a c
比例线段（3）
教学目标
1.理解并掌握比例的性质。
2.运用比例的性质解决相关问题。
知识回顾
比例式中的概念：
比例前项
比例内项
a c b d
比例后项
a : b = c : d
比例外项
新知探究
比例的基本性质
比例线段和平行线分线段成比例定理
二、比例线段的例题和练习：
例2. 已知线段a=12cm，b=1dm，c=8cm，d=15cm. (1) 线段a、b、c、d是否是成比例的线段？ a、b、c、d不是成比例的线段. (2) 经过重新排列后，以上四条线段能否是成比例的线段？ 解：∵12×10=120, 15×8=120, ∴ ab=cd. ∴a、c、d、b或a、d、c、b是成比例的线段.
bd
bd
b
d
(3)黄金分割：A
CB
二、比例线段的例题和练习：
例1. 在1 : 500000的地图上，若A、B两市的距离是64cm， 则两个城市间的实际距离是多少千米？ 解：设A、B两市距离为xcm，则
64 = 1 . x 500000
∴x=64×500000=32000000(cm)=320(km). 答：两城市实际距离为320千米.
且 DE = CF = 2 . AB=20, CD=10. EA FB 3
求：EF.
D
C
E
F
N
A
M
B
五、练习题：
5. 已知，如图，在△OCE中，BD∥CE, AD∥BE.
O
求证：OB2=OA·OC.
A
B
D
C
E
在四条线段中如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比那么这四条线段叫作成比例线段
比例线段和 平行线分线段成比例定理
小店乡一初中
一、比例线段的主要知识点
1 两条线段的比：
(1) 定义： 同一单位度量的两条线段a、b，长度分别为m、n，
那么就写成 a : b = m : n 或 a = m .
bn
(2)前项、后项： a叫比的前项，b叫比的后项. 前后项交换，比值要交换. 如 a = 3，则 b = 2 .
比例线段和平行线分线段成比例定理
复习课
复习目标
1.熟练掌握成比例线段及有关概念。 2.熟练掌握比例的有关性质及其应用。 3.熟练掌握平行线分线段成比例定理 及其应用。
一、比例线段的主要知识点
1 两条线段的比：
(1) 定义： 同一单位度量的两条线段a、b，长度分别为m、n， 那么就写成 a m
a:b= m:n 或 b = n .
c 5k 5k 5 = = = . a + b + c 3k + 4k + 5k 12k 12
(2) 若a+b+c≠0,
Q a+ b a+ c b+ c a+b+a+c+b+c = = = k, \ = k = 2. c b a a+b+c
若a+b+c=0, 则a+b=－c.
\ a+ b - c = = k = - 1. c c
A
A. 1个.
B. 2个.
C. 3个.
D. 4个.
D
E
B
F
C
四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：
例2.已知：如图，若DE∥BC, D在AB上，E在AC上， AD : DB=2 : 3, BC=20. 求：DE的长. 解： Q
AD 2 = . DB 3 \
\
A
AD 2 = . AB 5
AD DE 2 = = . AB BC 5
D
E
Q DE // BC.
即
DE 2 = . 20 5
B
\ DE=8.
C
四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：
例3：已知：如图，在ABC中，AD是BC边上的 AF 1 AE 如果 求： 的值 FD 5 AC A
复习目标
1.熟练掌握成比例线段及有关概念。 2.熟练掌握比例的有关性质及其应用。 3.熟练掌握平行线分线段成比例定理 及其应用。
一、比例线段的主要知识点
1 两条线段的比：
(1) 定义： 同一单位度量的两条线段a、b，长度分别为m、n， 那么就写成 a m
a:b= m:n 或 b = n .
c 5k 5k 5 = = = . a + b + c 3k + 4k + 5k 12k 12
(2) 若a+b+c≠0,
Q a+ b a+ c b+ c a+b+a+c+b+c = = = k, \ = k = 2. c b a a+b+c
若a+b+c=0, 则a+b=－c.
\ a+ b - c = = k = - 1. c c
A
A. 1个.
B. 2个.
C. 3个.
D. 4个.
D
E
B
F
C
四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：
例2.已知：如图，若DE∥BC, D在AB上，E在AC上， AD : DB=2 : 3, BC=20. 求：DE的长. 解： Q
AD 2 = . DB 3 \
\
A
AD 2 = . AB 5
AD DE 2 = = . AB BC 5
D
E
Q DE // BC.
即
DE 2 = . 20 5
B
\ DE=8.
C
四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：
例3：已知：如图，在ABC中，AD是BC边上的 AF 1 AE 如果 求： 的值 FD 5 AC A
成比例线段二的教学反思
成比例线段二的教学反思教学反思是一种对教学过程进行深入思考和分析的方法，能够帮助教师发现问题、总结经验、改进教学方法，提高教学效果。
在进行教学反思时，我对于成比例线段二的教学也进行了反思和总结。
通过对教学过程的回顾与分析，我发现了一些问题，并结合实际情况提出了相应的改进措施。
首先，我发现在教学过程中，学生对成比例线段二的概念理解不够深入。
他们往往只是停留在一个浅层的认识上，缺乏对于成比例线段二的实际应用的了解。
因此，在今后的教学中，我将注重通过生活实例、图形等多种形式来引导学生深入理解成比例线段二的意义和应用，提高他们对该概念的认识。
其次，我发现学生在解题过程中容易出现错误。
对于成比例线段二的解题方法，他们往往只停留在机械记忆和运算上，缺乏对题意的思考和分析能力。
因此，在今后的教学中，我将加强对学生解题思路的培养，引导他们运用比例关系解题，培养他们的问题抽象和解决能力。
另外，我还发现学生在应用成比例线段二解决实际问题时存在困难。
他们往往无法将数学知识与实际问题相结合，缺乏对问题的解读和理解能力。
因此，在今后的教学中，我将注重教学活动的设计，提供更多的实际问题进行讨论和解决，培养学生的应用能力和综合运算能力。
此外，我还发现学生在成比例线段二的学习中缺乏足够的练习。
由于时间紧迫等原因，往往只能完成一部分基础练习，而无法进行拓展和巩固。
因此，在今后的教学中，我将加大练习的量和难度，让学生通过反复练习来巩固所学的知识，提高解题能力。
最后，我还发现教学中的互动环节不够充分。
学生与学生之间的交流和合作较少，教师与学生之间的互动不够频繁。
这样会导致学生对于问题的思考和解决能力得不到充分发挥。
因此，在今后的教学中，我将注重激发学生的学习兴趣，建立良好的学习氛围，鼓励学生积极参与课堂活动，提高他们的学习效果和能力。
通过对成比例线段二的教学反思，我意识到了自己在教学中的不足之处，并提出了相应的改进措施。
我将继续努力，通过不断地反思和改进，提高自己的教学水平，为学生提供更好的教育教学服务。
4.1 成比例线段 第2课时 等比性质
例题解析：
a 2 a b a -b (1)、已知 , 求 与 ； b 3 b b AB BC CA 3 (2)、在ABC 与DEF中，若 , DE EF FD 4 且ABC 的周长为18cm，求DEF的周长。
A
BE CF 如图，已知 = ， AB AC E AE AF 那么 AB = AC ， 理由： B BE CF AC CF AC –CF = = = AB AC AB BE AB –BE AC–CF AC AF AC = = AB–BE AB AE AB AB–BE≠0 AF AE AE AF = = . AC AB AB AC
么样的关系？在求解过程中，你有什么发现？
已知，a，b，c，d，e，f六个数。
a c a b cd (1)如果 , 那么 和 b d b d a b c d 成立吗？为什么？ b d
(2)
AB BC CD AD 如图， , , , HE EF FG HG
AB BC CD AD 的值相等吗？ HE EF FG HG
第三 章
图形的相似
第2课时 等比性质
1、成比例线段定义
2、比例的基本性质 3、若 3m = 2n
n 呢？ m
m ，你可以得到 n
的值吗？
(1)、如图已知
BD CE 1 ，你能求出 BD AD 与 CE AE AD AE 2 AD AE
AB AB AB BD AC CE有怎 的值吗？如果 , 那么 与 BC CE BD CE
的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？
已知，a，b，c，d，e，f六个数。
a c e (2)如果 (b d f 0), b d f ace a 那么 成立吗？为什么？ bd f b
人教版九年级下册第二十七章相似图形及成比例的线段
新知小结
求线段的长度比，先看单位是否统一，不统一的要 化为同一单位，再把数值进行化简化成最简整数比.
巩固新知
1 在比例尺为1:10 000 000的地图上，量的甲乙两地 的距离是30cm，求两地的实际距离. 解： 3000km.
2 在1 : 1 000 000的地图上，A，B两点之间的距离
是5 cm，则A，B两地的实际距离是( B )
【答案】C
3．观察下列各组图形，其中不．相．似．的是( A )
4．对于四条线段 a，b，c，d，如果其中两条线段的__比______(即 它们_长__度__的__比___)与另两条线段的__比____相等，如ab＝dc，我们 就说这四条线段成比例．
5．在比例尺为 1∶38 000 的城市交通地图上，某条道路的长为 5
a ：b = c ：d
们的形状不相同．图(6)“拉长”而不是整体放大变成
2 m，b＝8 cm，则a∶b＝________.
B中的
，它
D．所有的圆都相似
利用比例的性质求代数式值的方法：当一个题中
D．5
例2 若a＝0.2 m，b＝8 cm，则a∶b＝__5_∶__2___. 导引：a＝0.2 m＝20 cm，a∶b＝20∶8＝5∶2.
判断线段是否成比例，其基本方法是先排序，后求 比值，再看比值是否相等.
巩固新知
1 下列四组线段中，是成比例线段的是( C ) A．3 cm，4 cm，5 cm，6 cm B．4 cm，8 cm，3 cm，5 cm C．5 cm，15 cm，2 cm，6 cm D．8 cm，4 cm，1 cm，3 cm
巩固新知
1
(中考·东营)若 y 3 ，则 x y 的值为(
x4
x
袁盛策—4.1 成比例线段 (二)
4 4 DE EF FD = ( AB BC CA)= 18=24 （cm）， 3 3 即 DEF的周长为24cm.
课堂练习
2 a c 2 ac 1. 已知 (b d 0), 求 的值。 3 b d 3 bd
7 a 1 3a b 3.若 , 则 的值为 ____ . 8 b 4 2b
4. 已知 a c e 5 a 2c 3e ,则 b d f 7 b 2d 3 f
8 x y 17 x 2.若 ,则 _____ . 9 y 9 y
5 ______ 7 .
通过本节课的学习，你有什么感想和收获？
作业：
课本习题4.2
必做：第1题，第2题；
选择：第3题。
AB BC CA 3 解： , DE EF FD 4 AB BC CA AB 3 . DE EF FD DE 4 4( AB BC CA) 3(DE EF FD), 4 即 DE EF FD = ( AB BC CA). 3 又 ABC的周长为18cm,即AB BC CA=18cm，
温故知新
1、成比例线段定义
2、比例的基本性质 3、若 3m = 2n
n 呢？ m
m ，你可以得到 n
的值吗？
第四章 图形的相似
第1节 成比例线1.掌握等比性质； 2.能够灵活运用等比性质解决问题。
探究新知
AB BC CD AD 2 HE EF FG HG
比例的性质（等比性质）
a c m 如果 (b d n 0), b d n a c m a 那么 . b d n b
例题解析：
AB BC CA 3 在ABC与DEF中，已知 , DE EF FD 4 且ABC的周长为18cm，求DEF的周长。
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• （2）相似三角形的周长比等于相似比
• （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方
• （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角 平分线的比等于相似比
三角形的中位线的定义连接三角形两边中点的线段 叫做三角
形的中位线
A
三角形的中位线平
D
E
行于第三边，并且等
于它的一半。
B
C
想一想 ：一个三角形有几条中位线？
a b
c d
,
此结论为比例的基本性质
证明：设
a b
c d
k,
则
a
bk, c
dk
ad=bkd=bdk,bc=bdk,即ad=bc成立。
设ad=bc=k(k 0) ,
k
,a
k d
,b
k c
, a b
d k
c d
,即 a b
c d
c
例2，证明：（1）如果 a c 那, 么a b c d ;
bd b d
bd
天线段叫做成比例线段，简称比例线段。此 时也称这四条线段成比例。
例1.判断下列线段是否是成比例线段。 （1）a=4,b=6,c=5,d=10; （2）a=2,b= 5 ,c= 2 15 ,d=5 3
解：（1） a 4 2 , c 5 1 ,
b 6 3 d 10 2 a c ,
bd
线段a,b, c, d不是成比例线段。
（2） a 2 2 5 , c 2 15 2 5 ,
b 5 5 d 53 5
a c , bd
线段a, b, c, d是成比例线段。
对于成比例线段我们有下面的结论：
如果 a c , ，那么ad=bc, bd
如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，那么
（2）如果 a b
c d
那, 么a
a
b
c cd
.
证明：（1） a c
在等式b两边同d时加上1，
a 1 c 1,
b
d
a b c d . bd
（2） a c ad=bc, bd
在等式两边同加上ac,
ad+ac=bc+ac, ac-ad=ac-bc, a(c-d)=(a-b)c,
E
F
E
F
试一试
AB AB
2,
BC BC
2
得 AB BC AB BC
思考:如何应用二次方程的知识求出黄金比的数值?
生活中我们会碰到许多这样形状相同的． 大小不一定相同的图形， 在数学上，我们把具有相同形状的图形称为：
相似形
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线
段的长度的比与另两条线段的长度的比相等
，
，即简ab称=比dc 例，线那段么这四条线段叫做成比例线段
(1)比例基本性质
ac b=d
ab cd
ad=bc
ab b=c
b2=ac
合比性质： 等比性质：
a cab cd
a
bc
ed
m
b
a c de
m
a
c
a
b d f n bd f n bd b
• 相似三角形的判定
• （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的 三角形与原三角形相似。
• （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个 三角形相似。
• （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的 夹角相等，那么这两个三角形相似。
• （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对 应相等，那么这两个三角形相似。
• 相似三角形的性质
• （1）对应边的比相等，对应角相等
两边同时除以 a - bc - d
即 a c.
ab cd
想一想
1 a c a c
b d bd
2 a b b d
ac
3 a c 等等
ab cd
a,b, c, d都不导
小结： 1.成比例线段的定义 2.比例的基本性质
3条
相似三角形的应用：
• 1、利用三角形相似，可证明角相等； 线段成比例（或等积式）；
• 2、利用三角形相似，求线段的长等 • 3、利用三角形相似，可以解决一些不
能直接测量的物体的长度。如求河的 宽度、求建筑物的高度等。
概括：
像这样，对于四条线段a,b,c,d,如果其中 两条线段的长度的比等于另外两条线段的 比，如 a c （或a:b=c:d）,那么，这四
• （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方
• （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角 平分线的比等于相似比
三角形的中位线的定义连接三角形两边中点的线段 叫做三角
形的中位线
A
三角形的中位线平
D
E
行于第三边，并且等
于它的一半。
B
C
想一想 ：一个三角形有几条中位线？
a b
c d
,
此结论为比例的基本性质
证明：设
a b
c d
k,
则
a
bk, c
dk
ad=bkd=bdk,bc=bdk,即ad=bc成立。
设ad=bc=k(k 0) ,
k
,a
k d
,b
k c
, a b
d k
c d
,即 a b
c d
c
例2，证明：（1）如果 a c 那, 么a b c d ;
bd b d
bd
天线段叫做成比例线段，简称比例线段。此 时也称这四条线段成比例。
例1.判断下列线段是否是成比例线段。 （1）a=4,b=6,c=5,d=10; （2）a=2,b= 5 ,c= 2 15 ,d=5 3
解：（1） a 4 2 , c 5 1 ,
b 6 3 d 10 2 a c ,
bd
线段a,b, c, d不是成比例线段。
（2） a 2 2 5 , c 2 15 2 5 ,
b 5 5 d 53 5
a c , bd
线段a, b, c, d是成比例线段。
对于成比例线段我们有下面的结论：
如果 a c , ，那么ad=bc, bd
如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，那么
（2）如果 a b
c d
那, 么a
a
b
c cd
.
证明：（1） a c
在等式b两边同d时加上1，
a 1 c 1,
b
d
a b c d . bd
（2） a c ad=bc, bd
在等式两边同加上ac,
ad+ac=bc+ac, ac-ad=ac-bc, a(c-d)=(a-b)c,
E
F
E
F
试一试
AB AB
2,
BC BC
2
得 AB BC AB BC
思考:如何应用二次方程的知识求出黄金比的数值?
生活中我们会碰到许多这样形状相同的． 大小不一定相同的图形， 在数学上，我们把具有相同形状的图形称为：
相似形
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线
段的长度的比与另两条线段的长度的比相等
，
，即简ab称=比dc 例，线那段么这四条线段叫做成比例线段
(1)比例基本性质
ac b=d
ab cd
ad=bc
ab b=c
b2=ac
合比性质： 等比性质：
a cab cd
a
bc
ed
m
b
a c de
m
a
c
a
b d f n bd f n bd b
• 相似三角形的判定
• （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的 三角形与原三角形相似。
• （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个 三角形相似。
• （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的 夹角相等，那么这两个三角形相似。
• （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对 应相等，那么这两个三角形相似。
• 相似三角形的性质
• （1）对应边的比相等，对应角相等
两边同时除以 a - bc - d
即 a c.
ab cd
想一想
1 a c a c
b d bd
2 a b b d
ac
3 a c 等等
ab cd
a,b, c, d都不导
小结： 1.成比例线段的定义 2.比例的基本性质
3条
相似三角形的应用：
• 1、利用三角形相似，可证明角相等； 线段成比例（或等积式）；
• 2、利用三角形相似，求线段的长等 • 3、利用三角形相似，可以解决一些不
能直接测量的物体的长度。如求河的 宽度、求建筑物的高度等。
概括：
像这样，对于四条线段a,b,c,d,如果其中 两条线段的长度的比等于另外两条线段的 比，如 a c （或a:b=c:d）,那么，这四