动量守恒 四人船模型
动量守恒中四类模型和三大力学观点的综合应用(解析版)
动量守恒中四类模型和三大力学观点的综合应用特训目标特训内容目标1人船模型和类人船模型(1T-4T)目标2爆炸反冲类模型(5T-8T)目标3弹簧模型(9T-12T)目标4板块模型(13T-16T)目标5三大力学观点的综合应用(17T-20T)【特训典例】一、人船模型和类人船模型1“独竹漂”是一项独特的黔北民间绝技。
独竹漂高手们脚踩一根楠竹，漂行水上如履平地。
如图甲所示，在平静的湖面上，一位女子脚踩竹竿抵达岸边，此时女子静立于竹竿A点，一位摄影爱好者使用连拍模式拍下了该女子在竹竿上行走过程的系列照片，并从中选取了两张进行对比，其简化图如下。
经过测量发现，甲、乙两张照片中A、B两点的水平间距约为1cm，乙图中竹竿右端距离河岸约为1.8cm。
女子在照片上身高约为1.6cm。
已知竹竿的质量约为25kg，若不计水的阻力，则该女子的质量约为()A.45kgB.50kgC.55kgD.60kg【答案】A【详解】对人和竹竿组成的系统，可看成人船模型，所以m1x1=m2x2代入数据可得人的质量为m2=45kg 故选A。
2如图所示，小车静止在光滑水平面上，AB是小车内半圆弧轨道的水平直径，现将一质量为m的小球从距A点正上方R处由静止释放，小球由A点沿切线方向进入半圆轨道，已知半圆弧半径为R，小车质量是小球质量的k倍，不计一切摩擦，则下列说法正确的是()A.小球运动到小车的B点位置时，车与小球的速度不相同B.小球从小车A 位置运动到B 位置过程中，小车对小球先做正功后做负功C.小球从小车的B 点冲出后可上升到释放的初始高度，并能从小车A 点冲出到达释放的初始位置(相对于地)D.小球从开始下落至到达圆弧轨道的最低点过程，小车的位移大小为1k +1R 【答案】ACD【详解】AC ．因为系统水平方向的总动量保持为零，则小球由B 点离开小车时小车速度为零，小球竖直上抛，由机械能守恒可知小球能上升到与释放点等高的位置，返回后能从小车A 点冲出到达释放的初始位置(相对于地)，选项A C 正确；B ．小球从小车A 位置运动到B 位置过程中，小车先向左加速再向左减速，小球对小车先做正功再做负功，故小车对小球先做负功再做正功，选项B 错误；D ．小球从开始下落至到达圆弧轨道的最低点过程，由人船模型可得kmx 2=mx 1；x 1+x 2=R解得小球、小车的水平位移分别为x 1=k k +1R ；x 2=1k +1R 选项D 正确。
动量守恒定律的应用之“人船模型”
动量守恒定律的应用之“人船模型”1.模型的适用条件物体组成的系统动量守恒且系统中物体原来均处于静止状态，合动量为0.2.模型特点(1)遵从动量守恒定律，如图所示．(2)两物体的位移满足： m x 人t －M x 船t＝0 x 人＋x 船＝L即x 人＝M M ＋m L ，x 船＝m M ＋mL mv 人－Mv 船＝03.利用人船模型解题需注意两点(1)条件①系统的总动量守恒或某一方向上的动量守恒。
①构成系统的两物体原来静止，因相互作用而反向运动。
①x 1、x 2均为沿动量方向相对于同一参考系的位移。
(2)解题关键是画出草图确定初、末位置和各物体位移关系。
【题型1】质量为m 的人站在质量为M 、长为L 的静止小船的右端，小船的左端靠在岸边(如图所示)，当他向左走到船的左端时，船左端离岸的距离是（ ）A ．LB ．L m M +C ．ML m M +D ．mL m M+ 【题型2】气球质量200 kg 载有质量为50 kg 的人，静止在空中距地面20 m 高的地方，气球下悬一质量不计的绳子，此人想从气球上沿绳慢慢下滑至地面，为安全到达地面，则这根绳至少多长?【题型3】如图所示，小车(包括固定在小车上的杆)的质量为M ，质量为m 的小球通过长度为L 的轻绳与杆的顶端连接，开始时小车静止在光滑的水平面上．现把小球从与O 点等高的地方释放(小球不会与杆相撞)，小车向左运动的最大位移是( )A ．2LM M ＋mB ．2Lm M ＋mC ．ML M ＋mD ．mL M ＋m【题型4】如图所示，一辆质量为M ＝3 kg 的小车A 静止在光滑的水平面上，小车上有一质量为m ＝1 kg 的光滑小球B ，将一轻质弹簧压缩并锁定，此时弹簧的弹性势能为E p ＝6 J ，小球与小车右壁距离为L ，解除锁定，小球脱离弹簧后与小车右壁的油灰阻挡层碰撞并被粘住，求：(1)小球脱离弹簧时小球和小车各自的速度大小；(2)在整个过程中，小车移动的距离。
高中物理第08章动量守恒 动量守恒定律应用 四种常见模型
高中物理第08章动量守恒 动量守恒定律应用四种常见模型Lex Li01、动量守恒定律概述（1）动量守恒定律的五性：①条件性：满足系统条件或近似条件；②系统性：动量守恒是相对与系统的，对于一个物体无所谓守恒；③矢量性：表达式中涉及的都是矢量，需要首先选取正方向，分清各物体初、末动量的正、负。
④相对性：方程中的所有动量必须相对于同一参考系；⑤同时性：动量是状态量，动量守恒指对应每一时刻的总动量都和初时刻的总动量相等。
不同时刻的动量不能相加。
（2）应用动量守恒定律解题的步骤①对象（系统性）：分析题意，明确研究对象；②受力（条件性）：对各阶段所选系统内物体进行受力分析，判定能否应用动量守恒； ③过程（矢量性、相对性、同时性）：确定过程的始、末状态，写出初动量和末动量表达式；④方程：建立动量守恒方程求解。
02、常见模型（1）碰撞、爆炸：作用时间极短，内力远大于外力，系统动量守恒①弹性碰撞：系统动量守恒，机械能守恒．设质量m 1的物体以速度v 0与质量为m 2的在水平面上静止的物体发生弹性正碰，则： 动量守恒：221101v m v m v m += 动能不变：222211111011v m v m v m +=解得：121012m m v v m m −=+ 120122m v v m m =+②非弹性碰撞：部分机械能转化成物体的内能，系统损失了机械能两物体仍能分离.动量守恒用公式表示为：m 1v 1+m 2v 2= m 1v 1′+m 2v 2′机械能损失：22'2'21111112211222222()()E m v m v m v m v ∆=+−+ ③完全非弹性碰撞：碰撞后两物体粘在一起运动，此时动能损失最大，而动量守恒． 用公式表示为： m 1v 1+m 2v 2=(m 1+m 2)v机械能损失：222111112212()()E m v m v m m v ∆=+−+④爆炸：系统动量守恒，机械能增加例01 如图所示，光滑水平面上有A、B、C三个物块，其质量分别为m A＝2.0 kg，m B＝m C ＝1.0 kg，现用一轻弹簧将A、B两物块连接，并用力缓慢压缩弹簧使A、B两物块靠近，此过程外力做功108 J(弹簧仍处于弹性限度范围内)，然后同时释放，弹簧开始逐渐变长，当弹簧刚好恢复原长时，C恰好以4 m/s的速度迎面与B发生碰撞并瞬时粘连．求：（1）弹簧刚好恢复原长时(B与C碰撞前)，A和B物块速度的大小；（2）当弹簧第二次被压缩时，弹簧具有的最大弹性势能．针对训练01 如图所示，总质量为M的大小两物体，静止在光滑水平面上，质量为m的小物体和大物体间有压缩着的弹簧，另有质量为2m的物体以v0速度向右冲来，为了防止冲撞，大物体将小物体发射出去，小物体和冲来的物体碰撞后粘合在一起．小物体发射的速度至少应多大，才能使它们不再碰撞？（2）人船模型（平均动量守恒问题）：特点：初态时相互作用物体都处于静止状态，在物体发生相对运动的过程中，某一个方向的动量守恒（如水平方向动量守恒）．例02 质量为m的人站在质量为M，长为L的静止小船的右端，小船的左端靠在岸边。
动量守恒几种模型
一、人船模型 例1 在平静的湖面上停泊着一条长为L，质量为M的 在平静的湖面上停泊着一条长为L，质量为M 船，如果有一质各为多少？
二、子弹打木块模型 例2 如图4所示，质量为M的木块放在光滑的水平面上，质量 如图4所示，质量为M 为m的子弹以初速度 水平射向木块，设木块没有被射穿且 子弹受到的阻力f 子弹受到的阻力f恒定，求木块最终的速度。
1. 如图11所示，带有光滑的半径为R的圆弧轨道的滑块静止在光滑的水 如图11所示，带有光滑的半径为R 平面上，此滑块的质量为M，一个质量为m的小球静止从A 平面上，此滑块的质量为M，一个质量为m的小球静止从A点释放，当小 球从滑块B 球从滑块B处水平飞出时，求滑块的动能。
三、弹性球正碰模型
例3 已知A、B两个弹性小球，质量分别 为， 已知A B物体静止在光滑的平面上，A以初速度 与B 物体静止在光滑的平面上，A 物体发生正碰，两物体粘在一起，求两物体 的速度。
四、平射炮反冲模型 例4 光滑的水平面上静止一辆质量为M的炮车，当 光滑的水平面上静止一辆质量为M 炮车水平发射一枚质量为m 炮车水平发射一枚质量为m的炮弹，炮弹出的速度 为 ，求炮弹和炮车的动能各为多少？
“人船”模型及应用
“人船”模型及应用重庆市 垫江中学（408300） 张 雄“人船”模型，不仅是动量守恒问题中典型的物理模型，也是最重要的力学综合模型之一。
利用“人船”模型及其典型变形，通过类比和等效方法，可以使许多动量守恒问题的分析思路和解答步骤变得极为简捷，有时甚至一眼就看出结果。
一、“人船”模型原理——质心运动守恒 一个质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度之积，方向与质心速度方向一致。
所以，当系统不受外力或所受合外力为零时，质心的动量守恒——质心将保持原来的匀速直线运动状态或静止状态，即当0F =或0F =∑时0υ=或υ=恒量二、“人船”模型的基本公式和适用条件 如图1所示，长为L 、质量为M 的船停在静水中，一个质量为m 的人站立在船头。
设船的质心在O 处，距船头、船尾分别为1L 和2L 。
当人在船头时，人、船系统的质心在1O 处，距离O 为1l ；当人走到船尾时，人、船系统的质心在2O 处，距离O 为2l 。
若不计水的粘滞阻力，在人丛船头走到船尾的过程中，系统在水平方向不受外力作用，动量守恒，即水平方向的总动量始终为零——系统的质心位置不变。
所以，当人向右相对船移动距离L ，引起系统的质心向右移动（12l l +）时，船将向左移动同样的距离，即12l l l =+船根据人和船的质量与到质心距离之积相等，有111()m L l Ml -=222()m L l Ml -=将两式相加，可得1212()m m l l L L L M m M m +=+=++所以，当人对船的位移为L 时，船对地的位移为m l L M m=+船 ①人对地的位移为Ml L l L M m=-=+人船 ②若人相对船以水平初速度υ跳出，可以认为在极短的时间t 内，人相对于船的位移为L 。
根据①②式和速度的定义Ltυ=，所以船和人对地的速度分别为mM m υυ=+船 ③MM mυυ=+人 ④这就是“人船”模型的四个基本公式，其物理意义和适用条件如下1、人、船对地的位移与其相对位移和对方的质量之积成正比，与系统的总质量成反比，而与运动性质无关。
人船模型
人船模型在利用动量守恒定律解题的题型中有一种特殊的题型，那就是反冲。
这种题型可归结为“人船模型”问题，其特点是：整个系统由两个物体组成，开始系统处于静止状态，然后仅在内力作用下各自向相反的方向运动，用一句成语把这个过程概括为“一分为二”。
“一分为二”分的是两个相互作用物体的“相对位移”但并不是平分，除非两个物体的质量相同。
这样即使不画图也能分析出来。
例1.质量为m 的人站在船尾上，船的质量为M ，长为L ，整个静止在水面上（水的阻力不计），现在从船尾向船头走去，当人走到船头时，船移动的距离为多少？解析：（本题分的是船长L ）人在船上走动，无论人怎样走动（匀速、变速），选人和船为系统平均动量守恒。
m v 人=M 船vm t v M t v 船人=mS 人＝MS 船m(L －S 船)＝M S 船S 船＝Mm mL + 变式：质量为200Kg ，长为3.2m 的小船静止在水面上，船尾站着一个质量为70 Kg 的人，船头站着一个质量为50 Kg 的人，不计水的阻力，当两个人交换位置后，船的位移大小是多少？解析：两人交换位置相当于20 Kg 的人从船尾走到船头只不过船的质量不是200 Kg 而是300Kg以下解法同上，S 船＝M m mL +＝300202.320+⨯m=0.2m 例2.一个质量为M ，底面长为b 的三角形劈静止于光滑的水平桌面上，如图，有一质量为m 的小球由斜面顶部无初速滑到底部时，劈移动的距离为多少？S 人S 船S 人S 船 50Kg 70 Kg解析：球和劈组成系统在水平方向上动量守恒（本题分的是底边长m 球v =M 劈vmS 球=MS 劈m(b-S 劈)=MS 劈S 劈＝b Mm m + 例3.如图质量为m ，半径为R 的小球，放在半径为2R ，质量为2m 的大空心球内，大球开始静止在光滑水平面上，当小球从图示位置无初速地沿大球内壁滚到最低点时，大球移动的距离是多少？解析：小球和大球在水平面上动量守恒( m 小v =2m 大vmS 小=2mS 大S 小=2S 大R-S 大=2S 大S 大=31R 例4.如图所示，AB 为一光滑水平横杆，杆上套一质量为m 1 的小圆环，环上系一长为L 质量不计的细绳，绳的另一端拴一质量为m 2的小球，现将绳拉直，且与AB 平行，由此位置释放小球，当摆到与水平方向夹角为θ的位置时，求环移动距离为多少？解析：（分的是绳长L ） m 1S 环=M 2S 球m 1S 环＝M 2（L-Lcos θ-S 环）S 环＝212cos 1(m m L m +-）θ 劈球S 小+S 大 A B。
动量守恒的定律-人船模型
系统： 相互作用的几个物体
内力和外力： 内力：系统内个物体间的作用 外力：外界对系统的作用
人船模型
解题步骤：
动量守恒定律应用
(1)判断动量是否守恒（3个条件）
(2)确定正方向（一般以初速度的方向为正方向）
(3)相互作用前动量 m1v1+m2v2 (4)相互作用后动量 m1v1′+m2v2′ (5)列方程解答 m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′
学以致用
一题多练
变式2：载人气球原来静止在空中（如
图所示），质量为M，下面拖一条质量
不计的软梯，质量为m的人（可视为质
点）站在软梯上端距地面高度为Ｈ，若
人要沿轻绳梯返回地面，则绳梯的长度
h
L至少为多长？
根据动量守恒定律
mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=Mh
Ｈ
(M+m)H 绳的长度至少为 L=H+h=
M
地面
学以致用
变式3、一个质量为M,底面边长 为 b 的劈静止在光滑的水平面 上，见右图，有一质量为m的物 块由斜面顶部无初速滑到底部时， 劈移动的距离S2是多少？
２、物体相互作用前均静止
解题步骤：
(1)判断是否符合动量守恒条件 (2)确定正方向 (3)划草图，找位移关系（相对统一参考系） (4)列式求解
一题多练
m
M
S2
S1
b
劈和小物块组成的系统水平方向动量守恒 根据动量守恒定律
mS1=MS2
又由几何关系可知：S1+S2=b
s2
m
m M
b
变式4、如图所示，一滑块B静止在光 滑水平面上，其上一部分为半径是Ｒ 的1/4光滑圆轨道，此滑块总质量为 m2，一个质量为m1的小球A(可视为 质点)由静止从最高点释放，当小球 从最低点水平飞出时，小球和滑块对 地的位移S1,S2分别为多大？
动量守恒定律在“人船模型”的运用.doc
动量守恒定律在“人船模型”的运用动量守恒定律比牛顿运动定律的适用范围更广泛，是自然界的基本守恒规律之一，它既适用于宏观物体，也适用于微观粒子；既适用于低速运动物体，也适用于高速运动物体，因此，是高中物理的重点教学之一，也是高考的重要考点之一。
利用此定律只需考虑相互作用的物体作用前后动量变化的关系，从而省去了具体细节的讨论，使同学们解决一些力学问题时更简单、快捷。
“人船模型”问题是一种十分常见的题型，在研究过程当中，如果能恰当地应用动量守恒定律进行解题，会给同学们的解题带来意想不到的效果。
1.动量守恒定律及其两个推论：动量守恒定律：如果一个系统不受外力或所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变。
推论1：若系统的动量守恒，则系统任意一段时间内的平均动量也守恒推论2：若系统的动量守恒，则系统的质心将保持原来匀速直线运动或静止的状态不变2.人船模型“人船模型”是由人和船两个物体构成的系统。
选取人和船为研究对象，该系统在人和船相互作用下各自运动，由于忽略水的阻力，运动过程中该系统所受到的合外力为零，即人和船组成的系统在水平方向上动量始终是守恒的。
以下分别以“一人一船”、“二人一船”模型以及人船模型的简单变形进行讨论：（1）“一人一船”模型：如图1所示，静水面上停有质量m 2，长为L 的小船，质量为m 1的人从船头走到船尾，忽略水的阻力。
人从船头走到船尾的过程中，由水平方向动量守恒可得：02211=-v m v m 由于在整个过程动量都守恒，所以根据推论1有：0211=---v m v m同乘以时间t ，得：0211=---t v m t v m ， 即：2211s m s m =此为“一人一船”模型的动量守恒方程，且知人船之间的位移与质量成反比。
又由图知人船位移之和为L ，即：L s s =+21， 解得两物体位移分别为L m m m s 2121+=L m m m s 2112+= （2）“二人一船”模型如图2所示，小船c 停在静水面上，a 、b 两人从长为L 的小船上交换位置过程中，设船c 向左运动，同理可得动量守恒定律的方程： c c b b a a s m s m s m +=（3）“人船模型”的变形变形1：如图所示，质量为M 的气球下挂着长为L 的绳梯，一质量为m 的人站在绳梯的下端，人和气球静止在空中，现人从绳梯的下端往上爬到顶端时，人和气球相对于地面移动的距离？分析：由于开始人和气球组成的系统静止在空中，竖直方向系统所受外力之和为零，即竖直方向系统总动量守恒。
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动量守恒(四)——人船模型——两个原来静止的物体（人和船）发生相互作用时,不受其它外力,对这两个物体组成的系统来说,动量守恒,且任一时刻的总动量均为零,由动量守恒定律,有mv = MV （注意：几何关系）
基本题型：如图所示，长为L，质量为M的船停在静火中，一个质量为的人站在船头，若不计火的阻力，当人从船头走到船尾的过程中，船和人对地面的位移各是多少
则mv
2－Mv
1
＝0，
在人从船头走到船尾的过程中每一时刻系统的动量均守恒，故mv
2t－Mv
1
t＝0，即ms
2
－Ms
1＝0，而几何关系满足：s
1
＋s
2
＝L
变化1：某人在一只静止的小船上练习射击，船、人连同枪（不包括子弹）及靶的总质量为M，枪内有n颗子弹，每颗子弹的质量为m，枪口到靶的距离为L，子弹水平射出枪口相对于地的速度为v0，在发射后一发子弹时，前一发子弹已射入靶中，在射完n颗子弹时，小船后退的距离为多少
变化2：一个质量为M,底面边长为 b 的劈静止在光滑的水平面上，如图，有一质量为 m 的物块由斜面顶部无初速滑到底部时，劈移动的距离是多少
变化3：一只载人的热原来静止于空中，热气球本身的质量是M，人的质量是m，已知气球原来离地高H，若人想沿软梯着地，这软梯至少应为多长。
变化4：如图所示，质量为M，半径为R的光滑圆环静止在光滑水平面上，有一质量为 m 的
小滑块从与环心O等高处开始无初速下滑到达最低点时，圆环发生的位移为多少
变化5：如图所示，一质量为ml的半圆槽体A，A槽内外皆光滑，将A置于光滑水平面上，槽半径为R.现有一质量为m2的光滑小球B由静止沿槽顶滑下，设A和B均为弹性体，且不计空气阻力，求槽体A向一侧滑动的最大距离．
参考答案：
基本题型：s1=ML/(M+m) s2=mL/(M+m)
变化1：s2=nmL/(M+m)
变化2：s2=mb/(M+m)
变化3：L=（M+m）H/M
变化4：s2=mR/(M+m)
变化5：系统在水平方向上动量守恒,当小球运动到糟的最右端时,糟向左运动的最大距离设为s1,则m1s1=m2s2,
又因为s1＋s2=2R,所以s1=m
2R /(m1+m2)
2。