复变函数和断裂力学
(最新整理)复变函数
i z i ( x iy )
y ix
Reiz()3
zrcosirsin
=|z|[cos(Argz)isin(Argz)]
可化为复数的代数表示式.
2021/7/26
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5 曲线和平面图形的复数方程 引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程 （或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程 （或不等式）来确定它所表示的平面图形。
例1 用复数方程表示: y
4.哈尔滨工业大学建筑工程学院博士导师刘殿魁简介 _..
长期从事弹性波散射与动应力集中问题的研究,并首创分 析弹性波散射与动应力集中的复变函数与保角映射方法, 是经典弹性...《美国应用力学》杂志创刊50周年出版的 特刊中曾著文《固体中的弹性波》,评论:“刘殿魁等人首 创了用于处理特殊类型散射..
2021/7/26
o
x
3. 三角表示法
4. 指数表示法
由xy
r cos 得 r si n
再由 Eule公r 式:
ei cos isin得
zr(co is sin )
z rei
2021/7/26
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注意: 复数的各种表示法可以相互转化,以适应 不同问题的需要.
(1)已知复数的代数表示式,先求出复数的模和 辐角,即可化为复数的三角表示. (2)已知复数的三角表示式 ,利用
(最新整理)复变函数
2021/7/26
1
课程简介
课程名称 复 变 函 数
Complex Variables
教材 总学时 教师姓名
复变函数 36学时
李雪艳
2021/7/26
2
对 象 复变函数（自变量为复数的函数）
主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系，
断裂力学
K I K IC
KIC：断裂韧性，为材料常数
KI和KIC的关系就如同与s的关系。 KI的量刚[力][长度]-3/2，常用单位kg.mm-3/2
应力强度因子
应力强度因子
应力强度因子一般写为：
K I Y a
σ 为名义应力（裂纹位臵上按照无裂纹计算的应 力）； a 为裂纹度因子的计算方法：查手册法、应力 集中系数法、复变函数法、积分变换法、应力集 中系数法、有限元和边界元法。
裂纹扩展的能量分析
一、裂纹扩展的能量率
在裂纹扩展过程中，要消耗能量主要的有： 裂纹表面能：裂纹扩展，裂纹的表面积增加，而产生新表面就需要消耗 能量。如增加单侧表面单位面积所需的能量为g，在扩展过程中要形成上下两 个表面，故单位裂纹面积所需的能量共为2g 。 对非纯弹性材料来说，裂纹扩展前还要产生塑性变形，这也需要消耗能 量，如裂纹扩展单位面积为克服塑性变形所消耗的能量为Up（塑性变形能Up 往往要比裂纹表面能大3—6个数量级）。 总的来说，裂纹扩展单位面积所消耗的能量为：R 2g U P R 就表明裂纹要扩展的阻力，而裂纹要扩展,就必须有动力去克服这种阻 力，如设裂纹扩展单位面积，系统供给的动力为 G，则显然，只有在G≥R时， 裂纹才能扩展。 裂纹扩展所需要的动力，应由和外力有关系的系统提供。如整个系统的 能量用U表示（势能），裂纹扩展面积为dA，则裂纹扩展所需要的能量由整个 系统的势能下降来提供。 G dA dU
裂纹扩展的能量分析
一、裂纹扩展的能量释放率
据：
G dA dU
关于裂纹的扩展速度
按照裂纹扩展速度来分，断裂力学可依静止的裂纹、亚临界 裂纹扩展以及失稳扩展和止裂这三个领域来研究。 亚临界裂纹扩展和断裂后失稳扩展的主要区别，在于前者不 但扩展速度较慢，而且如果除去使裂纹扩展的因素 ( 例如卸 载)，则裂纹扩展可以立即停止，因而零构件仍然是安全的； 失稳扩展则不同，扩展速度往往高达每秒数百米以上，就是 立即卸载也不一定来得及防止最后的破坏。 在静止的裂纹方面，我们主要对裂纹问题作应力分析，即计 算表征裂端应力场强度的参量，例如计算象应力强度因子、 能量释放率这一类的力学参量。
第八章断裂力学习题及解
第八章 断裂力学习题及解习题1、已知I 型裂纹问题的应力函数为()()()z Z y z Z z I I I Im Re +=ϕ，其中()()z Z z Z I I ,分别为复变函数()z Z I 的二次积分和一次积分，试求出对应的应力分量。
解：令()()()y x iv y x u z Z I ,,+=，那么()udy v dx i v dy udx dz z Z CCC++-=⎰⎰⎰按C-R 条件有yux v y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,。
那么有如下关系式 y Zx Z Z ∂∂=∂∂='Im Re Re ， xZy Z Z ∂∂=∂∂-='Im Re Im ， 由应力函数可得应力()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂∂∂=+∂∂=∂∂=I I I I I 222I 2xx Z y Z y y Z y Z y Z y y σIm Im Re Im Re ϕ ()'Im Re Re Re Im Re Im I I I I I I I xx Z y Z Z yZ y Z Z y Z y -=+∂∂=++-∂∂=σ ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=+∂∂=∂∂=x Z y xZ x Z y Z x x σI I I I 222I 2yyIm Re Im Re ϕ得 ()'Im Re Im Re I I I I yy Z y Z Z y Z x+=+∂∂=σ ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂-∂∂-∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂-∂∂=∂∂∂-=I I I I I I 2xyZ y Z y y Z x Z y Z y x y x Im Im Re Im Re ϕτ ()'Re Re Im Re Im I I I I I xy Z y xZ y Z Z y Z x -=∂∂-=--∂∂=τ 习题2、如图8-1所示无限大板中含有一长度为2a 的中心贯穿裂纹，设I 型裂纹问题的应力函数为()()()z Z y z Z z I I I Im Re +=ϕ（双向拉伸），或为()()())(2Im Re 22y x A z Z y z Z z I I I --+=ϕ（单向拉伸）。
(完整版)断裂力学试题
一、简答题（本大题共5小题，每小题6分，总计30分）1、（1）数学分析法：复变函数法、积分变换；（2）近似计算法：边界配置法、有限元法；（3）实验标定法：柔度标定法；（4）实验应力分析法：光弹性法.2、假定：（1）裂纹初始扩展沿着周向正应力为最大的方向；（2）当这个方向上的周向正应力的最大值（）max达到临界时，裂纹开始扩展•S3、应变能密度:W S，其中S为应变能密度因子，表示裂纹尖端附近应力场r密度切的强弱程度。
4、当应力强度因子幅值小于某值时，裂纹不扩展，该值称为门槛值。
5、表观启裂韧度，条件启裂韧度，启裂韧度。
二、推导题（本大题10分）D-B模型为弹性化模型，带状塑性区为广大弹性区所包围，满足积分守恒的诸条件。
积分路径：塑性区边界。
AB 上：平行于x1，有dx2 0 , ds dx1 , T22007断裂力学考试试题B卷答案BD上：平行于捲，有dx20 , ds dx1 , T2u iJ (Wdx2 T L ds)s V s V S(V A三、计算题（本大题共1、利用叠加原理：微段K]ABT2 V D)3小题，每小题集中力qdx U2dx1%BDT2U£dx1X120分,dK]总计60分）a 2q . a0 (2 2.(a x ) dx 10分sin cos — a cos sin a2b 2b 2b 2b— cos — a sin a 2b 2b2b(_ 2 2)cos — 2b a 2 cos a si n a2b2b 2b 2ba)2la sin 1(豎)a cosK i2qJ — 0 赢T d 当整个表面受均布载荷时，6 a .2、边界条件是周期的：a.zy0, xy 0c.所有裂纹前端又Z 应为2b 的周期函数si2z皿2冷 采用新坐标： z aZ % a)J (sin 七严2陶)20 时，sin —— ——,cos —2b 2b 2bK i 2qsin 1(a a ) q a10分令 x acos 一 a 2 x 2 a cosb.在所有裂纹内部应力为零.y0,x a, a 2b x a2b 在区间内单个裂纹时Zz z 2 a 210分d(sin -2b［吃（加sin ( a)2ba sin2b .2 a . a」 --------- cos——sin 】2b 2b0时,2 2帥莎(a)] (s^a)22b cos asin a 2b2b2bK I1吧0 F_Zsin2b1 a . a ——cos——sin —2b2b 2b2b ta n—a2ba tan—2b 10分注意行为规范3、当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈服时的形状改变能密度，材料屈服，即：2 2 2 2(1 2 ) ( 2 3) ( 3 1 ) 2 s对于I型裂纹的应力公式：(X2y)2xy1Kl cos-[1 sin-]2 2 r 2 2遵考场10分纪程•律0(平面应力,薄板或厚板表面)K I22scos2[1 3sin2—]2 2--平面应力下，I型裂纹前端屈服区域的边界方10分r、简答题1.断裂力学中, (80 分)按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型？请画出这些类型裂纹的受力示意图。
复变函数在流体力学中的应用
复变函数在流体力学中的应用一、概述复变函数在流体力学中具有重要的应用。
它可以用来描述流体的运动，研究边界层的动态特性，分析稳定性，以及模拟流体的流动过程。
此外，复变函数还可以用来求解紊流问题，研究大尺度流动中湍流的影响，探究结构涡旋的形成机制，以及模拟流体的振荡运动。
复变函数的应用可以为流体力学研究提供更加精确的结果，对于研究者来说，它无疑是一种重要的研究工具。
二、复变函数在流体力学中的应用复变函数是一种数学技术，可用于分析复杂的函数和运算，在流体力学中也有广泛的应用。
它可以用来描述流体的流动规律、求解流体力学问题，以及研究流体的流变特性。
复变函数可以用来求解流体动力学方程，如拉格朗日方程、伽玛方程、拉普拉斯方程以及热传导方程等。
此外，复变函数还可以用来求解流体的流动参数，如流速、流量、压力和温度等，从而更好地控制流体的流动。
复变函数的应用不仅仅局限于流体力学，还可以用于其他领域，如热力学、电磁学等。
三、复变函数在湍流领域的应用复变函数是一种广泛应用于流体力学和湍流领域的数学工具，它可以有效地描述流体动力学特性，从而改善流体力学的研究和应用。
复变函数可以用来模拟流体中的湍流和湍流相关的现象，例如湍流湍流结构的形成、湍流结构的变化、湍流湍流结构的振荡等等。
此外，复变函数还可以用来研究和改善流体动力学中的流动结构，从而提高流体动力学技术的效率。
四、复变函数在空气动力学中的应用复变函数是一种常用的数学工具，它在流体力学和空气动力学中也有重要的应用。
流体力学中，复变函数可以用来解决关于流体运动的问题，比如流体的流动特性、流体的温度分布、流体的压力分布等。
而在空气动力学中，复变函数可以用来模拟飞行器的飞行特性，比如飞行器的机动性、空气动力特性等。
复变函数的应用不仅可以提高流体力学和空气动力学的研究，还可以改善飞行器的性能。
五、结论复变函数在流体力学中有着重要的应用，它可以帮助我们更好地理解流体的性质，并且可以用来研究流体运动的规律。
断裂力学习题
断裂力学习题一、问答题1、什么是裂纹？2、试述线弹性断裂力学的平面问题的解题思路。
3、断裂力学的任务是什么？4、试述可用于处理线弹性条件下裂纹体的断裂力学问题两种方法：5、试述I型裂纹双向拉伸问题中的边界条件，如何根据该边界条件确定一复变函数，并由此构成应力函数，最后写出问题的解。
6、什么是应力场强度因子K1？什么是材料的断裂韧度K1C？对比单向拉伸条件下的应力σ及断裂强度极限σb，，说明K1与K1C的区别与联系？7、在什么条件下应力强度因子K的计算可以用叠加原理8、试说明为什么裂纹顶端的塑性区尺寸平面应变状态比平面应力状态小？9、试说明应力松驰对裂纹顶端塑性区尺寸有何影响。
10、K准则可以解决哪些问题？11、何谓应力强度因子断裂准则？线弹性断裂力学的断裂准则与材料力学的强度条件有何不同？12、确定K的常用方法有哪些？13、什么叫裂纹扩展能量释放率？什么叫裂纹扩展阻力？14、从裂纹扩展过程中的能量变化关系说明裂纹处于不稳定平衡的条件是什么？15、什么是格里菲斯裂纹？试述格氏理论。
16、奥罗万是如何对格里菲斯理论进行修正的？17、裂纹对材料强度有何影响？18、裂纹按其力学特征可分为哪几类？试分别述其受力特征19、什么叫塑性功率？20什么是G准则？21、线弹性断裂力学的适用范围。
22、“小范围屈服”指的是什么情况？线弹性断裂力学的理论公式能否应用？如何应用？23、什么是Airry应力函数？什么是韦斯特加德（Westergaard）应力函数？写出Westergaard应力函数的形式，并证明其满足双调和方程。
24、裂纹按其几何特征可分为哪几类？25、判断下图所示几种力情况下，裂纹扩展的类型26、D-B 模型的适用条件是什么？27、什么叫裂纹的亚临界扩展？什么叫门槛值？28、什么叫腐蚀？什么叫应力腐蚀？什么叫腐蚀临界应力强度因子K ⅠSCC ？29、什么叫应力疲劳？什么叫应变腐蚀？两者的裂纹扩展速率表达式是否相同？为什么？30、什么叫腐蚀疲劳？31、试述金属材料疲劳破坏的特点 32、现有的防脆断设计方法可分为哪几种？33、什么是疲劳裂纹门槛值，哪些因素影响其值的大小?它有什么实用价值? 34、应力腐蚀裂纹扩展的特征？第二类椭圆积分Φ0的值受扭薄壁圆筒二、计算题：1、有一材料211/102m N E ⨯=，表面能密度m N /8=γ,外加拉应力27/107m N ⨯=σ。
《断裂力学》考试题含解析
二 K i',=dxJ(a 2-x 2)10分一、 简答题（本大题共5小题，每小题6分，总计30分）1、 （1）数学分析法：复变函数法、积分变换；（2）近似计算法：边界配置法、 有限元法；（3）实验应力分析法：光弹性法.（4）实验标定法：柔度标定法；2、 假定：（1）裂纹初始扩展沿着周向正应力；一、为最大的方向；（2）当这个方向上的周向正应力的最大值（；=）max 达到临界时,裂纹开始扩展•S3、 应变能密度:W，其中S 为应变能密度因子，表示裂纹尖端附近应力场r密度切的强弱程度。
4、 当应力强度因子幅值小于某值时，裂纹不扩展，该值称为门槛值。
5、 表观启裂韧度，条件启裂韧度，启裂韧度。
二、 推导题（本大题10分）D-B 模型为弹性化模型，带状塑性区为广大弹性区所包围，满足积分守恒的 诸条件。
积分路径：塑性区边界。
AB 上：平行于％，有dx 2 r O’ds r d %兀》s BD 上：平行于 ％，有 dx 2 = 0 , ds = d% , T 2 - sJ(WdX 2 -T 凹 ds) T 2 竺 dX !X-IAB rBDA ；「s VB =：；S (V A ' V D )三、计算题（本大题共3小题，每小题20分，总计60分）1、利用叠加原理：微段一集中力qdx — dKi = 2q ；a 2 dx 业（a-x 2）2007断裂力学考试试题 B 卷答案T 2 土 dx ,BD 2 :x,1SvZ 二.—(sin 2b -sin ( a) 2b 二（a ））2兀a 2 -(sin 2b )31 uJ-L u,cos = 12b2b JE JEJE it二 sin ——cos 一a cos 一 sin — a2b2b2bTt .. Tt二——cos ——a sin 2b 2b■ .2'- 22二[sin (a)] = () cos a 2b2b 2b—0 时，sin 2b sin =( a)二2bn a2b 仝 2b 2b - nn IT 2cos ——a sin ——a (sin — a)b 2b 2bb.在所有 裂纹 内部 应力 为零.y =0, -a ::: x ::: a, -a _ 2b ：：： x ：：： a _ 2b 在区间内C.所有裂纹前端；「y •匚 单个裂纹时Z - —^Z —Jz 2—a 2又Z 应为2b 的周期函数二 Z 二J 兀z 2 兀a 2 、(sin —)2- (sin —)2Y 2b 2b采用新坐标：『：=z - a令 x=acosv= \ a -x = acosv, dx 二 acosrdr 匚 K “ 2q. a ：n1(a1a )咤 d 一Yu '0 a cos 日当整个表面受均布载荷时，耳-；a. K i = 2q J^s in10分2、 边界条件是周期的：a. Z 、，二y 7 一；「.兀z 二sin b10分sin A (a /a)10分当V -0时,第3页 共3页一、简答题（80分）1•断裂力学中，按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型？请画出这些-： - 2 ■ ■ 2=[sin (a)] -(sin a) 2 cos asin a2b2b 2b 2b 2bZ -0 =.na二 sin 2b2“'： ：■. a 二acos ——sin ,2b 2b 2b二 sin -2b K I 二 lim 、尹Z =-=口0 Ji na 兀 a in ———cos 2b 2b 2b ■: a2b =匚二a 、，—tan —10分 3、当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈服时的形 状改变能密度，材料屈服，即：注 意 行 为 规 范2 2 2 2（匚1-匚2）（二2-匚3）（匚3-匚1）=2j对于I 型裂纹的应力公式：cr +cr J cr -cr nX丫 * xy二亠cos 邛一沐］2 2-2遵 守 考 场 纪律二3 =0（平面应力,薄板或厚板表面）r =cos 2[1 _3si n 2』]2 210分--平面应力下，I 型裂纹前端屈服区域的边界方 管导核字主领审签类型裂纹的受力示意图。
断裂力学——精选推荐
2 2Ї
4Ї
4Ї
x 4
2
4Ї x 2y 2
4Ї y 4
0
(1-9)
及具体问题的边界条件。复连通域还要满足位移单值条件。求得应力函数 Ї后，可依下
式计算各应力分量
x
2Ї， y 2
y
2Ї， x 2
xy
2Ї xy
(1-10)
式中 Ї称为 Airy 应力函数。不难直接验证，若 fi (i 1,2,3) 均是调和函数，即
断裂力学涉及内容很广，这里只介绍一些基础性的内容。中国有句古话：“吃一堑， 长一智”。吃一次亏，出来一门新学科。断裂力学可以说是人类吃了大亏，从总结惨痛 血的教训中产生的。生产推动了科学发展，科学反过来又促进生产以更高的速度向前发 展。在这个过程中，旧的问题不断解决，新的矛盾又不断产生。最初，人们为了提高材 料的强度防止脆断，制成了钢材等塑性材料。进一步提高塑性材料的强度是通过阻止屈 服（阻止位错运动）来实现的。再进一步提高强度就出现了新的矛盾，强度高了，韧度 却低了，构件常在应力不高，甚至低于屈服极限的情况下发生突然的脆性破坏。如焊接 铁桥的突然倒塌，焊接轮船的脆性破坏，各种球罐的突然爆炸等等，均不能用传统的建 立在连续性假设基础上的强度科学（如材料力学）来解释。随着生产的发展，大量采用 新材料（高强度钢、复合材料、塑料）新工艺，新的工作条件（高温、高速、高压、低 温）等，致使古典强度科学无法适应新的生产水平的需要。对低应力脆断事故进行大量 分析研究表明脆性断裂是由于宏观缺陷或裂纹的失稳扩展引起的。有时，在裂缝的平衡 状态达到失稳的临界状态以前还会出现缓慢的准静态亚临界扩展，最后达到临界状态使 裂纹高速传播引起最终断裂。这样，强度科学不仅要通过阻止屈服以达到高强度，而且 要通过阻止裂纹的扩展来达到高的断裂韧度。
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式中
KII
2
r
%II
，
u
KII
2
r
2
u%II
%%12II1II2
%1I2I
sin
2
2
cos
2
cos
sin
2
cos
2
cos
3 2
cos
2
1
sin
2
sin
3 2
3 2
,
u%1II u%2II
1 2
2
2
3sin
2
3 cos
2
sin 3 2
cos 3 2
Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题
在某些情况下，应力、应变式中的第二项也对 材料的断裂起明显影响，考虑前两项时的应力 场和位移场为：
KI
2
r
%I
+
T 1 1
+
KII
2
r
%II
，
u1
iu2
KI
2
r
2
u%1I iu%2I
iKII
2
r
2
u%1II iu%2II
i
z
1 8
T
z
1
4
T
z
第二项对应着刚体转动 和均
应力强度因子作为判定裂纹尖端应力场强度的物理参 量引入。 ——线弹性断裂力学的主要任务之一就是确定含裂纹 构件的应力强度因子。
线弹性断裂力学
计算应力强度因子的方法 解析法：复应力函数法、积分变换法、权函数法、、、
数值法：有限元法、有限体积法、、、 应力强度因子手册 应力强度因子的量纲：
力
长度
当第三步，计算能量释放率,由实功原理：平面应变:
GI
1
2
0
1 2
y
v π
y0 r
d
GI
1
0
KI
2π
4(1
E
2
)
K
I
2π
d
12
E
K
2 I
K与G之间有简单的换算关系
平面应力
GI
1
0
KI
2π
4(1
E
2
)
KI
2π
d
12
E
K
2 I
GI
K
2 I
E
KI EGI
KI
EG I
12
线弹性断裂力学
Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题
即：
C1ei C1ei C2ei 0
C1ei C1ei C2ei 0 该方程组有非零解得条件是:
C1ei C1ei C2ei 0
（当 0 时，裂尖位移奇异，当 0时，
代表刚体位移）
C1ei C1ei C2ei 0
cos 4 1, 即 n , n 1, 2,3L
线弹性裂尖场特点
1
② K场内的位移与 r 2 成线性比例关系。
③ 三种情况下的K场有相似的形式，分别由应
力强度因子
K I、KII
和
K
决定着其场的强度。
III
SIF取决于外加载荷，而且与构件几何、裂
纹尺寸有关，但是与坐标 r, 无关。在K场
范围内，应力和应变均正比于SIF，所以SIF
是裂纹尖端附近应力、应变场强度的表征， 是描述裂尖场强度的参数。
裂纹不扩展，安全 裂纹扩展，不安全
关于G~K的关系式：
以I型裂纹为例，OA段的两边作用有吸引（拉） 力，此时OA段的上下边之间没有相对位移， 且有
y y0
KI 2πx
y y0
(a)
o
a
A
r
r
(b)
a
v π,r = -
第二步，设想在长度内，的作用应力缓慢地减小 到零，则相应裂纹扩展了长度，位移，
3 2
线弹性断裂力学
例子
二维有限大板含孔边裂纹的应力强度因子（几何对称、 受力对称、各向同性材料）
KI kI a
KII k II a
线弹性断裂力学
用柔度法确定临界应变能释放率 GC
柔度：变形与载荷的比值 c
F
总应变能—柔度： 应变能释放率：
V
1 2
F
1 cF 2 2
Gc
V a
1 F2 2
部都满足Laplace方程，它们构成共轭的调和 函数。 如果知道一个调和函数，则可以由柯西－黎曼 方程求出与之共轭的调和函数。
III型反平面剪切问题
可见Ⅲ型裂纹的线弹性裂纹尖端场具有 r12奇异 性，且与K Ⅲ因子成正比。
KⅢ 称为Ⅲ型裂纹的应力强度因子，它是由外 加载、裂纹尺寸以及构形的几何决定的。
裂纹尖端处，应力和应变为无穷大，这种不真实的性质是由于 所采用的本构关系所决定的，，即认为材料能承受无限大的应 力，且应变与应力呈线性关系。另外，在上述的分析中，裂纹 假设成理想的尖裂纹，即裂纹尖端曲率为无穷大。实际上，裂 纹尖端不可避免地会出现塑性区，并且裂纹尖端地曲率是有限 的，但是在塑性区很小的情况下，在围绕裂尖的一个环状区域 内K场是适用的。
K I ——I型裂纹的应力强度因子
K
——II型裂纹的应力强度因子
II
K II—I — III型裂纹的应力强度因子
裂纹尖端的应力奇异性:
当r 0时，即在裂纹端点，应力分量趋向于无穷大。
应力场具有 的r奇12 异性。原因：裂纹尖端是几何上 的不连续点。
线弹性断裂力学
应力不适宜作为判断含裂纹材料承载能力的力学参 量——裂尖场应力具有奇异性，只要存在载荷，应力 就趋于无穷大。依照传统强度理论，含裂纹结构必定 破坏。
KIII lim r 0
2 r 32 0
III型反平面剪切问题
在有些情况下，有必要考虑应力应变公式中的 第二项，此时应力和位移场变为：
III 31
K III
2 r
%3II1I
0 31
,
III 32
K III
2 r
%3II2I
,
u3
K III
2r
sin
x1
0 31
.
2
线弹性力学的平面问题和 反平面剪切问题
平面问题的复变函数表示 应力组合与位移组合
Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题
平面问题 u u (x1, x2，) 应变分量为：
1 2 (u ,
u ,
)
线弹性本构关系为：
1
E
(
)
1
2
3
4
平衡方程为：
, 0
变形协调方程为：
, , 0
Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题
如果应力分量由Airy应力函数 x1 x2 表示，
Ⅰ型情况下的应力场和位移场表示为：
KI
2
r
%I
，
u
KI
2
r
2
u%I
式中：
%%12II12 %1I2
cos
2
1 1
sin sin
2
2
sin sin
sin
2
cos
3
2
3
2
3
2
,
u%1I u%2I
cos
cos
2
sin
2
Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题
Ⅱ型情况下的应力和位移场表示为：
设上述方程的解有以下的形式：
z C1z , z C2z
C1,C2为待定复常数 0为实常数
C1 A1 B1i
C2 A2 B2i
代入裂纹上下表面（ ）的应力自由边界条 件，可得：
22 i12 C1 r e 1 i(1) C1r e 1 i(1)
C1 1 r e 1 i(1) C2 r e 1 i(1) 0
➢研究内容
1、断裂力学分类 线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、微观断裂力学
2、裂纹的分类
3、断裂发生破坏的几个阶段与断裂力学应用
主要应力分量 xz , yz；
位移
u 0 , v 0 , w wx, y
III 型反平面剪切问题
复变函数方法在求解裂纹尖端时是相当有效的。 根据复变函数理论，任何解析函数的实部和虚
III型裂纹尖端附近的应 力场
x
K II
2
r
sin
2
2
cos
2
cos
3
2
y
KII sin cos cos 3 2 r 2 2 2
z
K II
2
r
sin
2
1
sin
2
sin
3
2
zy
KIII cos 2 r 2
zy
KIII sin 2 r 2
其中，KIII S y a
第二讲:线弹性断裂力学·
弹性裂纹尖端场 的特征展开(Williams,1957)
概述
裂纹可分为三种类型： I型——张开型 II型——剪切型 III型——撕开型(反平面剪切型)
三种裂纹的形式中，I 型裂纹最为常见，在工 程设计和分析中最重要。但在数学分析上，III 型裂纹比较简单。
断裂力学简介
解的一般形式表示为 :
2
1
3
z C11z 2 C12 z C13z 2 L ,
1
3
z C21z 2 C22 z C23z 2 L .
类似于Ⅲ型问题，裂纹前端的应力应变场由第
1项主导，其系数为:
KⅠ和KII分别为I、II型应力强度因子
C11
1
2
KⅠ iKⅡ
Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题
是Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型问题的线性叠加。
KI
lim
r 0