理论力学第五章 点的运动

第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法
5.2.3 用直角坐标表示点的加速度
与前述点的速度和点的位置的关系类 似，由于动点的加速度等于速度对时间的 一阶导数，所以加速度a在坐标轴上的投 影ax、 ay、 az分别等于速度v在坐标轴上的 x 投影vx、vy、vz对时间t的一阶导数，即
dv x d 2 x ax dt dt dv y d 2 y ay dt dt dv z d 2 z az dt dt
2 2 v vx vy r
可见动点速度的大小是常数。速度v与x轴正向夹角的余弦为 vx π cos( v , i ) sin t cos( t ) v 2 π 由此可知，动点速度的方向与x轴正向的夹角是 t 2 目录
第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法 动点的加速度在坐标轴上的投影为 a x r 2 cost a y r 2 sin t 因此加速度的大小为
5.2.1 用直角坐标表示点的运动方程
动点M在空间运动时它在某瞬时的位 置也可以用空间直角坐标系的坐标(x,y,z) 来表示（如图） ，(x,y,z)称为动点的位置 坐标，坐标值x,y,z都是时间t的单值连续函 x 数，即
x x(t ) y y (t ) z z (t )
r r (t )
上式称为动点M的矢量形式的运动方程。点运动时，位置矢量r的末 端所描绘的曲线即为动点的运动轨迹。 目录
第五章 点的运动\描述点运动的矢量表示法 M' 设动点在某瞬时t位于M，其位置矢量为r(t)， v* Δ r 在t+Δt瞬时动点位于M ，其位置矢量为r(t+Δt)。 r(t) 在Δt时间间隔内动点的运动轨迹为MM，位置 r(t+Δt) 矢量的改变Δr称为动点M的位移。 O 当Δt很小时可近似地用Δr表示在该时间间隔内动点走过的弧长 r * v 及运动方向， 称为动点在时间间隔Δt内的平均速度。 t r 当Δt趋于零时， 的极限称为动点在瞬时t的速度，即 t r dr v lim dt t 0 t 因此，动点的速度等于动点的位置矢量对时间的一阶导数。动 点的速度是矢量，它的方向是Δr的极限方向，即沿轨迹曲线在M点 的切线，并指向动点的运动方向。 速度的单位是m/s，有时也用km/h。 目录
第五章 点的运动\描述点运动的弧坐标表示法
dr τ ds 式中：—沿轨迹切向指向弧坐标正向的单位矢量。此外，
ds s ds lim v ，显然这是速度的代数值，当 0 时，s随时间t而 dt dt t 0 t ds 增大，v的指向与 相同；当 ＜ 0 时，s随时间t而减小，v的指向与 dt
z M r O z x y
y
这就是动点M的直角坐标运动方程。当函数x=x(t), y=y(t), z=z(t)已知 时，动点M在任一瞬时的位置就完全确定。从上式消去t，即得动点 的轨迹方程 F ( x, y, z ) 0 目录
第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法 当动点始终在同一平面内运动时，如取该平面为坐标平面Oxy， 则动点的运动方程为
目录
第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法
【解】 由于重物作直线运动，以地面上的 B为坐标原点沿铅垂方向建立坐标轴y。由图中 的几何关系，M点的运动方程为
y (v0t ) 2 (9 1) 2 8 t 2 82 8
M点的速度为
dy v dt t t 2 64
x x(t ) y y (t )
当动点始终沿一直线运动时，如取该直线为坐标轴Ox，则动点 的运动方程为
x x(t )
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第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法
5.2.2 用直角坐标表示点的速度
如图所示，若以O点为坐标原点建立 Oxyz直角坐标系，则动点的位置矢量r 可表示为
第二篇 运动学
第二篇 运动学
运动学的任务是研究如何描述物体的运动，由于物体的运动一 般是用其位置及位置随时间的变化规律来描述的，所以运动学只是 从几何的角度来研究物体的运动而不涉及引起和影响物体运动变化 的因素（作用于物体上的力和物体本身的质量等）。 学习运动学的目的一方面是为学习动力学作准备，另一方面运 动学的有关知识也往往直接应用于工程实际中对物体运动规律的分 析。
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第五章 点的运动\描述点运动的矢量表示法
5.1 描述点运动的矢量表示法
5.1.1 用矢量表示点的运动方程
点的运动通常是用某瞬时点所处的位置 M 来描述的。 为表示动点M在某瞬时的位置，可在参考 r( t ) 系上任选一固定点O，由O点到所研究的动点 M作一矢量r，动点M的位置就可以用该矢量 O 表示（如图）。 r称为动点M的位置矢量。 显然，在某瞬时只要已知矢量r，则动点M的位置可以完全确定。 当点运动时，其位置矢量r随时间而变化，是时间t的单值连续函数， 即
2 2 a ax ay r 2
y a O
v M
t
x
可见动点加速度的大小是常数。加速度a与x轴正向夹角的余弦为 a cos(a, i ) x cost cos(π t ) a 由此可知，动点加速度的方向与x轴正向的夹角是π+ωt，指向 圆心。
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第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法 【例5.2】 牵引车自B点沿水平面匀速开出, 速度v0=1m/s，通过 绕过A的定滑轮将重物M自地面提起，如图所示，若滑轮A距地面高 为9m，车上的牵引钩距地面高为1m, 求重物M的运动方程、速度和 加速度，以及重物由地面升到A处所需的时间。
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第五章 点的运动
第五章 点的运动
本章介绍描述点的运动的三种方法:矢量表示法、直角坐标表 示法、弧坐标表示法，及如何利用这三种方法建立点的运动方程 （用以描述点的位置随时间变化的规律）、求点的速度和加速度。
5.1 描述点运动的矢量表示法 5.2 描述点运动的直角坐标表示法 5.3 描述点运动的弧坐标表示法
z M k O r z
a
v x y
i
j y
上式表明，动点的加速度在各坐标轴上的投影分别等于动点相 应的位置坐标对时间t的二阶导数。 目录
第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法 加速度的大小及方向余弦为
2 2 2 d x d y d z 2 2 2 2 2 2 a ax a y az ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) dt dt dt ay ax az cosa , i cosa , j cosa , k a a a
s s(t )
上式称为动点M的弧坐标运动方程。显然，当函数s=s(t)已知时，任 意瞬时动点M在轨迹曲线上的位置就完全确定了。
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第五章 点的运动\描述点运动的弧坐标表示法
5.3.2 用弧坐标表示点的 速度
如图所示，设动点在某平面 O 内运动，其运动轨迹已知，沿该轨 r' 迹的运动方程为s=s(t), 在瞬时t， ( ＋) r 动点M的位置矢量为r，经过时间 s 间隔Δt，动点M沿已知轨迹运动到 r O' M M，其位置矢量为r，动点在Δt时 M' (－) s 间间隔内的位移为Δr，相应的弧坐 v 标增量为Δs。动点的速度为 dr dr ds dr ds v dt dt ds ds dt 当Δs →0时，Δr/Δs的大小趋于1，Δr/Δs 的方向总是趋于弧坐标的正 向（若Δs >0,Δr的方向趋于弧坐标的正向，Δr/Δs也趋于弧坐标的正 向；若Δs<0,由于Δr的方向趋于弧坐标的负向，故Δr/Δs 仍趋于弧坐 标的正向），且与轨迹相切，所以始终有 目录
M v' a*
v Δv v'
a
v 当Δt 趋于零时 ， 的极限称为动点在瞬时t的加速度，即 t 2
a lim
t 0
因此，动点的加速度等于动点的速度对时间的一阶导数，或等 于动点的位置矢量对时间的二阶导数。 加速度的单位是m/s2。
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第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法
5.2 描述点运动的直角坐标表示法
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第二篇 运动学
在研究物体运动时首先应明确两个问题。一个是关于运动的相 对性，描述物体运动时必须指出物体是相对另外哪个物体的运动， 另外那个物体称为该物体运动的参考体，固结于参考体上的坐标系 称为参考坐标系或参考系。今后若不特别说明，我们所说的物体的 运动都是相对于地面而言的，即参考系是固结在地面上的。另一个 是关于时间的两个概念，即瞬时和时间间隔，所谓瞬时是指某一具 体时刻，如第5秒，它与时间轴上的一点对应；所谓时间间隔是指 某一段时间，如第1秒至第5秒，其时间间隔是4秒，它与时间轴上 的一个区间对应。物体运动中的位置与瞬时相对应，位移与时间间 隔相对应。 运动学中研究的对象是点（或称动点）和刚体。这里的“点” 或是由物体抽象得来的或就是物体上某一具体的点。之所以不称其 为质点，是因为运动学只单纯研究点的运动问题，而不涉及其质量。
M点的加速度为
a
dv dt
t
64
2
64

3
当M点升到A处时，y =9m，代入运动方程 9 t 2 64 8 得 t=15 s 目录
第五章 点的运动\描述点运动的弧坐标表示法
5.3 描述点运动的弧坐标表示法
5.3.1 用弧坐标表示点的运动方程
s 若动点运动的轨迹曲线是已知的，为 (＋) 确定任意瞬时动点在轨迹曲线上的位置， 可在轨迹曲线上任选一点O作为坐标原点， O 以动点的轨迹曲线为坐标轴，并规定O点的 (－) 某一边为正方向，另一边为负方向，动点M的位置用由O点到动点 的弧长OM=s来表示，s称为动点M的弧坐标，并规定动点M在坐标 轴正向时弧坐标为正，在坐标轴负向时弧坐标为负，如图所示。当 动点M沿轨迹曲线运动时，动点M的弧坐标s将随时间t而变化，是时 间t的单值连续函数，即