2020版高考理科数学一轮复习习题：第五篇 数列(必修5) 第3节 等比数列_含解析

第3节等比数列
【选题明细表】
基础巩固(时间:30分钟)
1.在等比数列{a n}中,a1=,q=,a n=,则项数n为( C )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:由a n=a1·q n-1,得=×()n-1.所以n=5.故选C.
2.在等比数列{a n}中,a2a3a4=8,a7=8,则a1等于( A )
(A)1 (B)±1 (C)2 (D)±2
解析:由a2a3a4==8,得a3=2,所以a7=a3·q4=2q4=8,则q2=2,因此a1==1.
3.(2018·广东广州市一模)已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则{a n}前6项的和为( B )
(A)-20 (B)-18 (C)-16 (D)-14
解析:因为a1,a3,a4成等比数列,
所以=a1·a4,
所以(a1+4)2=a1(a1+6),解得a1=-8,
所以S6=6×(-8)+×2=-18,选B.
4.(2018·辽宁大连八中模拟)若记等比数列{a n}的前n项和为S n,若a1=2,S3=6,则S4等于( C )
(A)10或8 (B)-10
(C)-10或8 (D)-10或-8
解析:因为a1=2,S3=a1+a2+a3=6.
所以当q=1时,S4=S3+a4=S3+a1=8.
当q≠1时,
由等比数列求和公式,得
S3===6,
所以q2+q-2=0,
所以q=-2或q=1(舍去),
S4==-10.
选C.
5.设等比数列{a n}中,前n项和为S n,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于( A )
(A)(B)- (C) (D)
解析:因为a7+a8+a9=S9-S6,且公比不等于-1,在等比数列
中,S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,则8(S9-S6)=(-1)2,S9-S6=,即a7+a8+a9=.
6.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( B )
(A)1盏(B)3盏(C)5盏(D)9盏
解析:依题意可知,S7=381,q=2,
所以S7==381,
解得a1=3.故选B.
7.(2018·湖南省永州市一模)在等比数列{a n}中,已知a1=1,a4=8,若a3,a5分别为等差数列{b n}的第2项和第6项,则数列{b n}的前7项和为( B )
(A)49 (B)70 (C)98 (D)140
解析:在等比数列{a n}中,
因为a4=a1·q3,即8=1×q3,所以q=2,
所以a5=16,a3=4,
根据题意,等差数列{b n}中,
b2=4,b6=16,
因为b6=b2+4d,
所以16=4+4d,所以d=3,
所以b1=1,b7=19,
{b n}前7项和S7==70,选B.
8.在等比数列{a n}中,若a1a5=16,a4=8,则a6= .
解析:因为a1a5=16,所以=16,所以a3=±4.
又a4=8,所以q=±2.
所以a6=a4q2=8×4=32.
答案:32
9.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若S1+2S5=3S3,则{a n}的公比等于.
解析:由S1+2S5=3S3得2(S5-S3)=S3-S1,
所以2(a5+a4)=a3+a2,
所以=q2=,
因为{a n}的各项均为正数,
所以q>0,所以q=.
答案:
能力提升(时间:15分钟)
10.(2018·大庆一模)数列{a n}为正项递增等比数列,满足a2+a4=10,=16,则lo a1+lo a2+…+lo a10等于( D )
(A)-45 (B)45 (C)-90 (D)90
解析:因为{a n}为正项递增等比数列,
所以a n>a n-1>0,公比q>1.
因为a2+a4=10,①
且=16=a3·a3=a2·a4,②
由①②解得a2=2,a4=8.
又因为a4=a2·q2,得q=2或q=-2(舍去).
则得a5=16,a6=32,
所以lo a1+lo a2+…+lo a10=lo(a1a2…a10)=5lo(a5a6)=
5lo(16×32)=5×9lo2=45×2lo=90.故选D.
11.数列{a n}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+a n=3n-1,则+++…+等于( B )
(A)(3n-1)2(B)(9n-1)
(C)9n-1 (D)(3n-1)
解析:因为a1+a2+…+a n=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+a n-1=3n-1-1,
所以当n≥2时,a n=3n-3n-1=2·3n-1,
又n=1时,a1=2适合上式,所以a n=2·3n-1,
故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.
因此++…+==(9n-1).
12.在等比数列{a n}中,若a1=,a4=-4,则公比q= ;|a1|+
|a2|+…+|a n|= .
解析:设等比数列{a n}的公比为q,则a4=a1q3,代入数据解得q3=-8,所以
q=-2;等比数列{|a n|}的公比为|q|=2,则|a n|=×2n-1,所以|a1|+|a2|+
|a3|+…+|a n|=(1+2+22+…+2n-1)=(2n-1)=2n-1-.
答案:-2 2n-1-
13.(2017·福建漳州质检)设{a n}是由正数组成的等比数列,S n是{a n}的前n项和,已知a2a4=16,S3=28,则a1a2…a n最大时,n的值为.
解析:由等比数列的性质可得:a2a4==16,
解得a3=4,
则S3=a3(++1)=28,
++1=7,
(-2)(+3)=0,
由数列的公比为正数可得:=2,q=,
数列的通项公式为:a n=a3q n-3=25-n,
据此:a1a2…a n=24×23×…×25-n=,
a1a2…a n最大时,有最大值,据此可得n的值为4或5.
答案:4或5
14.已知数列{a n}的前n项和为S n,数列{b n}中,b1=a1,b n=a n-a n-1(n≥2),且a n+S n=n.
(1)设c n=a n-1,求证:{c n}是等比数列;
(2)求数列{b n}的通项公式.
(1)证明:因为a n+S n=n①,
所以a n+1+S n+1=n+1②.
②-①得a n+1-a n+a n+1=1,
所以2a n+1=a n+1,所以2(a n+1-1)=a n-1,
当n=1时,a1+S1=1,所以a1=,a1-1=-,
所以=,又c n=a n-1,
所以{c n}是首项为-,公比为的等比数列.
(2)解:由(1)可知c n=(-)·()n-1=-()n,
所以a n=c n+1=1-()n.
所以当n≥2时,b n=a n-a n-1=1-()n-[1-()n-1］=()n-1-()n=()n. 又b1=a1=也符合上式,所以b n=()n.。