第二讲 逻辑函数的两种标准形式
逻辑函数及其表示方法
C 0 1 0 1 0 1 0 1
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Y 0 0 0 1 0 1 1 1
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输出变量Y
为1表示通过， 为0表示没通过。
第四节 逻辑函数及其表示方法
2.逻辑函数式
三人表决电路真值表
把输入与输出之间的逻辑关系
A B 0 0 写成与、或、非等运算的组合式， 0 0 就得到了逻辑函数式。 0 1 0 1 根据电路功能的要求和与、或的逻辑定义， 1 0 三人表决电路的逻辑函数式为： 1 0 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5 6 7
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M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
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第四节 逻辑函数及其入变量的任何取值下必有一个最大项，
而且仅有一个最大项的值为0。 2. 全体最大项之积为0。 3. 任意两个最大项的和为1。 4. 只有一个变量不同的两个最大项的乘积， 等于各相同变量之和。
2.最大项
定义：在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和， 而且这几个变量均以原变量或反变量的形式在M中 出现一次， 则称M 为该组变量的最大项。
n变量的最大项应为2n个。
输入变量的每一组取值， 都使一个对应的最大项的值等于0。
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19
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第四节 逻辑函数及其表示方法
三变量最大项的编号表
最大项
使最大项为0的变量取值
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8
Y
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第四节 逻辑函数及其表示方法
4.各种表示方法间的互相转换
从真值表写出逻辑函数式
一般方法：
（1）找出真值表中使逻辑函数为1的那些输入变量 取值的组合。
（2）每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，
其中取值为 1 的写入原变量，
数字逻辑课程三套作业及答案
数字逻辑课程作业_A一、单选题。
1.(4分)如图x1-229（D）。
A. (A)B. (B)C. (C)D. (D)知识点：第五章解析第五章译码器2.(4分)如图x1-82（C）。
A. (A)B. (B)C. (C)D. (D)知识点：第二章解析第二章其他复合逻辑运算及描述3.(4分)N个触发器可以构成最大计数长度（进制数）为（D）的计数器。
A. NB. 2NC. N2次方D. 2N次方知识点：第九章解析第九章计数器4.(4分)n个触发器构成的扭环型计数器中，无效状态有（D）个。
A. A． nB.C. C．2n－1D. D．2n-2n知识点：第九章解析第九章集成计数器5.(4分)如图x1-293（A）。
A. (A)B. (B)C. (C)D. (D)知识点：第十一章解析第十一章数字系统概述6.(4分)如图x1-317（D）。
A. (A)B. (B)C. (C)D. (D)知识点：第二章解析第二章其他复合逻辑运算及描述7.(4分)EPROM是指（C）。
A. A、随机读写存储器B. B、只读存储器C. C、光可擦除电可编程只读存储器D. D、电可擦可编程只读存储器知识点：第十章解析第十章只读存储器8.(4分)如图x1-407（B）。
A. (A)B. (B)C. (C)D. (D)知识点：第十一章解析第十一章数字系统概述9.(4分)为实现将JK触发器转换为D触发器，应使（A）。
A. J=D,K=D非B. B. K=D,J=D非C. =K=DD. =K=D非知识点：第六章解析第六章各种触发器的比较10.(4分)一位8421BCD码计数器至少需要（B）个触发器。
A. 3B.C.D.知识点：第九章解析第九章计数器11.(4分)为把50Hz的正弦波变成周期性矩形波，应当选用（A）。
A. A、施密特触发器B. B、单稳态电路C. C、多谐振荡器D. D、译码器知识点：第六章解析第六章集成触发器12.(4分)下列描述不正确的是（A）。
逻辑函数表达式的标准形式
逻辑函数表达式的标准形式逻辑函数表达式的标准形式有标准“与-或”表达式和标准“或-与”表达式两种类型。
两种标准形式是建立在最小项和最大项概念的基础之上的。
1．最小项和最大项（1）最小项定义：如果一个具有n个变量的函数的“与项”包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现一次，且仅出现一次，则该“与项”被称为最小项。
有时又将最小项称为标准“与”项。
数目：n个变量可以构成2n个最小项。
例如，3个变量A、B、C可以构成、…、ABC共8个最小项。
简写：通常用mi表示最小项。
下标i的取值规则是：按照变量顺序将最小项中的原变量用1表示，反变量用0表示，由此得到一个二进制数，与该二进制数对应的十进制数即下标i的值。
例如，3变量A、B、C构成的最小项可用m5表示。
因为性质：最小项具有如下4条性质。
性质1：任意一个最小项，其相应变量有且仅有一种取值使这个最小项的值为1。
并且，最小项不同，使其值为1的变量取值不同。
性质2：相同变量构成的两个不同最小项相“与”为0。
因为任何一种变量取值都不可能使两个不同最小项同时为1，故相“与”为0。
即性质3：n个变量的全部最小项相“或”为1。
通常借用数学中的累加符号“Σ”，将其记为这是因为对于n个变量的任何一种取值，都有相应的一个最小项为1，因此，全部最小项相或必为1。
性质4：n个变量构成的最小项有n个相邻最小项。
相邻最小项是指除一个变量互为相反外，其余部分均相同的最小项。
例如，三变量最小项和ABC。
（2）最大项定义：如果一个具有n个变量的函数的“或”项包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现一次，且仅出现一次，则该“或”项被称为最大项。
有时又将最大项称为标准“或”项。
数目：n个变量可以构成2n 个最大项。
例如，3个变量A、B、C可构成A＋B＋C、共8个最大项。
简写：通常用Mi表示最大项。
下标i的取值规则是：按照变量顺序将最大项中的原变量用0表示，反变量用1表示，由此得到一个二进制数，与该二进制数对应的十进制数即下标i的值。
数字电路、圈卡诺图、最大项最小项
逻辑函数表达式的转换
最大项表达式 真值表中每一个对应函数值为0的输入变量实际上就是一个 函数包含的最大项，例如三变量ABC=111，函数F=0，就对应最 大项 M7。如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为0的那些 最大项取出相与，便是函数的最大项表达式。
逻辑函数表达式的转换
例 将函数 F(A, B,C) AC ABC 转换为最大项表达式。
AB C
0
1
00
01
11
10
1
0
0
1
0
1
1
0
ABC ABC BC
ABC ABC BC
逻辑函数化简—卡诺图化简
（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项， 可以合并为一项，并消去2个变量。
AB
C
00
01
11
10
ABC ABC ABC ABC
0
1
1
1
1 (AB AB AB AB)C
① 表达式中的与项最少； ② 在满足①的条件下，每个与项中的变量个数最少。
实现最简与-或式逻辑功能对应的电路所需要的与门最少，并 且与门总的输入引脚最少，因而电路的连线最少。
逻辑函数化简—代数化简
逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定 理和规则来化简逻辑函数。
（1）并项法
利用公式 AB AB A 将两个与项合并成一个与
逻辑函数化简—卡诺图化简
下图显示的是三变量（A、B、C）的卡诺图。格中标出相 应的最小项mi。
三变量的每个最小项有三个相邻的最小项，图中m2有三个 相邻最小项：m0、m3 、m6
AB
C
00 01 11 10
0 m0 m2 m6 m4 1 m1 m3 m7 m5
逻辑函数的三个规则和标准形式
A B C = m2
0
1
1
A B C = m3
1
0
0
A B C = m4
1
0
1
A B C = m5
1
1
0
A B C = m6
1
1
1
A B C = m7
① n 个变量的所有最小项（2n个）之和为1 ；
② 相同变量的任意两个最小项mi 和mj 之积为0（i≠j）； ③ n变量最小项有n 个相邻最小项。
数字电路与逻辑设计
数字电路与逻辑设计
第二章 逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
(2) 最大项表达式 全部由最大项相与而构成的或－与表达式称为最大项表达式，又称为标准或－与式， 或标准和之积式。
最大项表达式的书写形式：
对于逻辑函数：F A B C A B C A B C
可以简写成： 或写成：
F A, B, C M0×M1×M4 F A, B,C M 0，1，4
等式仍成立。 解：
原式左边＝A[B +(C +D )]＝AB +A(C +D ) ＝ AB +AC +AD 原式右边＝AB +A(C +D ) ＝ AB +AC +AD
所以等式仍然成立。
第二章 逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
２．反演规则
设F 是一个逻辑函数表达式，若将其中所有的与、或互换，“0”、“1”互换，原、 反变量互换，长非号（两个或两个以上变量上的非号）不变，这样可得F 的反函数。
第二章 逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
(2) 最小项表达式 全部由最小项相加而构成的与－或表达式称为最小项表达式，又称为标准与－
2.2逻辑函数及其描述方法
∏
0
2n −1
( fi + M
i
)
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2.2.7 非完全定义逻辑函数的描述 约束项和任意项的概念 交通灯状态表
R(红) 0 0 0 0 1 1 1 1 Y(黄) 0 0 1 1 0 0 1 1 G(绿) 0 1 0 1 0 1 0 1 Z 0 1 1 × 1 × 1 ×
东南大学信息科学与工程学院
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三人表决器电路的真值表
A B C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 F 0 0 0 1 0 1 1 1
F = ABC + ABC + ABC + ABC
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逻辑函数式→真值表 ： 将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑函数式求出函数 值，列成表 例：异或电路 F = AB+ AB 异或电路真值表
B1
& >=1
F = B8 + B4 B2 + B4 B1 B8 B4 + B8 B2 = 0
B4
F
&
B2
B8
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B4 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
B2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
B1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 × × × × ×
1 × 东南大学信息科学与工程学院
非完全定义逻辑函数的实现 方法：加约束条件 加约束条件：Σd(10,11,12,13,14,15) = 0
最小项和标准与或式
( A B C)(A B C)(A B C)
M 2M 3M 7 M (2,3,7)
a. 在将一个n变量的逻辑函数写成与或式（最小项之 和）后，若要写成或与式（最大项之和）时，其最大 项的编号是除了最小项编号外的号码，最小项与最大 项的总个数为2n；
b. 由i个最小项构成的与或式（最小项之和）逻辑函 数，其反函数可以用i个最大项的或与式（最大项之 和）表示，其编号与最小项编号相同。
5 1 0 1 ABC(m5) 6 1 1 0 ABC(m6 )
7 1 1 1 ABC(m7 )
表2.5.12 四变量
AB CD
mi
A B C D mi
0 0 0 0 ABCD(m0) 1 0 0 0 ABCD(m8) 0 0 0 1 ABCD(m1) 1 0 0 1 ABCD(m9) 0 0 1 0 ABCD(m2 ) 1 0 1 0 ABCD(m10) 0 0 1 1 ABCD(m3) 1 0 1 1 ABCD(m11) 0 1 0 0 ABCD(m4 ) 1 1 0 0 ABCD(m12) 0 1 0 1 ABCD(m5) 1 1 0 1 ABCD(m13) 0 1 1 0 ABCD(m6 ) 1 1 1 0 ABCD(m14) 0 1 1 1 ABCD(m7 ) 1 1 1 1 ABCD(m15)
b. 最小项的性质
①对于任一个最小项，仅 有一组变量取值使它的值 为“1”，而其它取值均使 它为“0”。或者说在输入 变量的任何取值下必有一 个最小项也仅有一个最小 项的值为“1”。
表2.5.10 二变量
十进 制数
A
B
mi
0 0 0 AB(m0)
1 0 1 AB(m1) 2 1 0 AB(m2)
3 1 1 AB(m3)
1.2 逻辑函数的标准型
任意一个最小项，只有一组变 任意一个最小项， 量取值（真值表中的一行） 量取值（真值表中的一行）使 得它的值为1； 得它的值为 ； 不同的最小项，使它的值为1 不同的最小项，使它的值为 的那一组变量取值也不同（ 的那一组变量取值也不同（看 其下标）； 其下标）； 对于变量的任一组取值， 对于变量的任一组取值，任意 两个不同最小项乘积为0； 两个不同最小项乘积为 ； 对于变量的任一组取值， 对于变量的任一组取值，全体 最小项之和为1； 最小项之和为 ； A B C
ABC
ABC ABC
AB ABCA A(B + C )
因此n个变量共有2 因此n个变量共有2n个最小项
1.2 逻辑函数的标准型 2、最小项的表示 以三变量为例， 以三变量为例，三个变量的所有最小项列表如下
m0 m1 0 1 0 0 0 0 0 0 m2 0 0 1 0 0 0 0 0 m3 0 0 0 1 0 0 0 0 m4 0 0 0 0 1 0 0 0 m5 0 0 0 0 0 1 0 0 m6 0 0 0 0 0 0 1 0 m7 0 0 0 0 0 0 0 1
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
= ( A+ B)(A+ B)C + AB = ABC + ABC + AB 乘以 C + C =1 F( A, B, C) = ABC + ABC + AB(C + C)
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ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
000 001 010 011 100 101 110 111
0
123456
7
m0
m1 m2 m3 m4
m5
m6 m7
4. 标准与或式：
Y F ( A ,B ,C ) AB AC
AB(C C ) AC( B B)
ABC ABC ABC ABC
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
( n 变量共有 2n 个最小项)
2. 最小项的性质：
ABC
000 001 010 011 100 101 110 111
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 01
标准与 或式
最小项
标准与或式就是最小项之和的形式
任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成， 都可以表示成为最小项之和的形式。
2.4.2 最大项和标准或与式
1. 最大项的概念： n个变量的最大项是n个变量的“或项”，其中每一 个变量都可以以原变量或反变量的形式出现一次， 用Mi表示。
Y F ( A ,B ) ( 2 变量共有 4 个最大项)
A BC M4
A BC M5
A B C M6
A B C M7
变量数相同、编号相同的最大项和最小项之间存在互 补关系，即：
mi Mi ， Mi mi
3. 标准或与式： 在一个或与式中，如果所有的或项均为最大项，则 称为这种表达式为最大项表达式，或称为标准或与 式、标准和之积表达式。
从真值表求标准或与式的方法：
(1) 任一最大项，只有一组对应变量取值使其值为 0 ；
(2)对任应意规两律个：最变大量项取的值和中为01；原变量 1 反变量
(A3)B全C体最大A项的B逻 辑C 乘 0恒为A0B；C (40)0n变1 量的每个最大项有n个1相0邻1 项
A 。
B
C
0
三变量表逻2辑.4. 3函三变数量的逻 辑最函大数的项最和小 项最与小最大项项
011 0 1
将Y再求100 1 0
101 1 0 110 0 1 111 0 1
m2 m3 m6 m7 M2 M3 M6 M7
标准或与式就是最大项 之积的形式
作业题:
P38 2-5（1） 2-6
十进制数 i A B C
0
00 0
1
00 1
2
01 0
3
01 1
4
10 0
5
10 1
6
11 0
7
11 1
最小项 mi AB C m0 AB C m1 ABC m2 ABC m3 ABC m4 ABC m5 ABC m6 ABC m7
最大项
Mi
A+B+C
M0
A B C M1
A B C M2
A B C M3
第二章 数字电路基础
§2.4 逻辑函数的两种标准形式
2.4 逻辑函数的两种标准形式
2.4.1 最小项和标准与或式 1. 最小项的概念：
最小项是包括所有变量的与项，每个变量均以原变 量或反变量的形式出现一次。
Y F ( A ,B ) ( 2 变量共有 4 个最小项)
AB AB AB AB
Y F ( A ,B ,C ) ( 3 变量共有 8 个最小项)
(1) 任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1 ； (2)对任应意规两律个：最变小量项取的值乘中积1为0原；变量 0 反变量
((43))A0n全变B0体1C量最的小每项个之A最B和C小为项11有；n个A1相B0邻1C项 。 ABC 1
3. 最小项的编号： 把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之 相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi 表示。 对应规律：原变量 1 反变量 0
A B A B A B AB ( 3 变量共有 8 个最大项)
( n 变量共有 2n 个最大项)
2. 最大项的性质：
ABC
A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 11 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 111 1 0 1 1 1 111 1 1 0 1 1 111 1 1 1 0 1 111 1 1 1 1 0 111 1 1 1 1 1 011 1 1 1 1 1 101 1 1 1 1 1 110
①先求出该函数的反函数 ②写出反函数的最小项表达式
③将反函数求反，利用mi与Mi的互补关系得到最 大项表达式。
例：已知Y的真值表如图所示，试写出Y的最小项和 最大项表达式。
解：Y的最小项表达式为： A B C Y Y
000 1 0
Y=∑m（0，1，4，5）
001 1 0
010 0 1
Y m2 m3 m6 m7