哥尼斯堡七桥问题与图论
七桥问题Seven Bridges Problem
七桥问题Seven Bridges Problem著名古典数学问题之一。
在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。
问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
有关图论研究的热点问题。
18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。
当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥。
这就是柯尼斯堡七桥问题。
L.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。
他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。
当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。
Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
后来推论出此种走法是不可能的。
他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。
所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成.欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。
欧拉七桥问题
欧拉图、哈密顿图与图论
我们看看一笔画问题牵扯着计算里的算法和可计算性欧拉问题放在七桥问题上则是能否可以不重复地走完七个桥，如何走的问题当然这只是一个例子，他代表的是一种思维方式，一门新的学课思想。那就是图论。这是就有人要问那么能一笔画的问题呢，在图论中一笔画的问题交给了图论里的另一个重要研究问题即是哈密顿图，哈密顿图则是给出我们最优过程或者最优解的一种抽象的研究方法。欧拉问题促进了图论的诞生而哈密顿图则是对图论的发展和补充。
解决问题
因此，欧位得出以下结论：
1.全是偶顶点的网络可以一笔画。
2.能一笔画的网络的奇顶点数必为0或2。
3.如果一个网络有两个奇顶点，它就可以一笔画，但最后不能回到原来的出发点，这时，必须从一个奇顶点出发，然后回到另一个奇顶点。用欧拉的发现去分析七桥问题，这张图上的A、B、C、D全是奇顶点，因此，不能一笔画，所以，游人一次走遍七桥是不可能的。
图论与计算机的关系
图论是一门古老的数学分支，它起源于游戏难题的研究，如1736年欧拉所解决的哥尼斯堡七桥问题，以及迷宫问题、博弈问题、棋盘上马的行走路线问题等。 同时，图论又是近年来发展迅速且应用广泛的一门新兴学科，已渗透到诸如语言学、物理学、化学、电讯工程、计算机科学以及数学的其它分支中，特别在计算机科学中，如形式语言、数据结构、分布式系统、操作系统等方面均扮演重要的角色。
小结
其实人类一直在探求万事万物之间的最根本联系，包括一切自然科学的来源哲学，哲学就是研究本源的问题，其实就是研究我们与本源的关系以及本源中各个元素之间的关系。图论就是一个研究事物抽象后所生成的类之间关系的一个相当高效的工具。
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图论
图：图是一种抽象的数据结构图论：它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。图论在数据结构、数据库、网络技术、程序设计等课程中都有广泛应用，成为计算机科学与应用技术中必不可少的一部分。而图论的研究起源于“哥尼斯堡城七桥问题”，欧拉成为图论的奠基人。
哥尼斯堡七桥问题与图论
1736年29《哥尼斯堡的七座桥》的论文，创了数学的一个新的分支—一、哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡在俄罗斯境内，现称为加里宁格勒.生和培养过许多伟大人物.格尔河，横贯城中，如图1所示.流，一条称为新河，一条主流，的商业中心.区、北区、东区和南区.桥，两支流上.这一别致的桥群，图1早在18世纪，散步中走过每座桥，发点？”走遍这七座桥共有A77=7!=验，谈何容易.那么在这5040而形成了著名的图2欧拉请他帮助解决这个他似乎看到其中.经过一年的研究，29岁的并于1736年向彼得堡科哥尼斯堡的七座桥》的论文.C（岛区）、A（南区）；七座桥看成这四个点、6、7七个数字表示，如图3所示.“一笔画”问题：否能一笔不.布勒格尔河模型蔡思明58遍历的路径称作欧拉路径（一个环或者一条链），如果路径闭合（一个圈），则称为欧拉回路.图论中的欧拉定理（一笔画定理）要分有向图（边有特定方向的图）与无向图（边没有特定方向的图）两种情况进行讨论.1.无向图的情况定理：连通无向图G有欧拉路径的充要条件为：G中奇度顶点（即与其相连的边数目为奇数的顶点）有0个或者2个.证明：必要性.如果图能够被一笔画成，那么对每个顶点，考虑路径中“进入”它的边数与“离开”它的边数（注意前提是无向图，所以我们不能称其为“入边”和“出边”）.很显然这两个值要么相同（说明该顶点度数为偶），要么相差1（说明该顶点度数为奇）.也就是说，如果欧拉路径不是回路，奇度顶点就有2个，即路径的起点和终点；如果是欧拉回路，起点与终点重合，则不存在奇度顶点.必要性得证.证明：充分性.如果图中没有奇度顶点，那么在G中随机取一个顶点v0出发，尝试构造一条回路c0.如果c0就是原路，则结束；如果不是，那么由于图是连通的，c0和图的剩余部分必然存在某公共顶点v1，从v2出发重复尝试构造回路，最终可将整张图分割为多个回路.由于两条相连的回路可以视为一条回路，所以该图必存在欧拉回路.如果图中有2个奇度顶点u和v，那么若是加一条边将u和v连接起来的话，就得到一个没有奇度顶点的连通图，由上文可知该图必存在欧拉回路，去掉这条新加的边，就是一条以u和v为起终点的欧拉路径.充分性得证.可知，哥尼斯堡七桥问题中的图有4个奇度顶点（1个度数为5，3个度数为3），所以不存在欧拉路径.2.有向图的情况定理：底图连通的有向图G有欧拉路径的充要条件为：G的所有顶点入度和出度都相等；或者只有两个顶点的入度和出度不相等，且其中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的入度与出度之差为1.显然，可以通过与无向图情况相似的思路来证明，过程略.当时的数学界起初并未对欧拉解决七桥问题的意义有足够的认识，甚至有些人仅仅当其为一个数学游戏.图论这一数学分支诞生后并未得到很好的发展，直到200年后的1936年，匈牙利数学家科尼希出版了《有限图与无限图理论》，此为图论的第一部专著，其总结了进200年来有关图论的成果，这是图论发展的第一座里程碑.此后，图论进入发展与突破的阶段，又经过了半个多世纪的发展，现已成为数学科学的一个独立的重要分支.图论原是组合数学中的一个重要课题.我们用点表示事物，用连接点的边表示事物间的联系，便可得到图论中的图.图论为研究任何一类离散事物的关系结构提供了一种框架.图论中的理论已应用于经济学、心理学、社会学、遗传学、运筹学、逻辑学、语言学计算机科学等诸多领域.由于现代科学尤其是大型计算机的迅猛发展，使得图论大有用武之地，无论是数学、物理、化学、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、经济乃至社会科学的众多问题，都可以运用图论方法予以解决.当然，图论也是计算机科学的基础学科之一.值得一提的是，欧拉对七桥问题的研究，后演变成多面体理论，得到了著名的欧拉公式V+F=E+2，欧拉公式是拓扑学的第一个定理.哥尼斯堡的七座桥如今只剩下三座，一条新的跨河大桥已经建成，它完全跨过河心岛——内福夫岛，导游们仍向游客讲述哥尼斯堡桥的故事，有的导游甚至仍称“七桥问题”没有被解决，留给游客以遐想.虽然七座哥尼斯堡桥成了历史，但是“七桥问题”留下的“遗产”不像这些桥那样容易破坏，欧拉卓越的解答方式被永载史册.60。
图论经典问题
图 论哥尼斯堡七桥问题：图论发源于18世纪普鲁士的哥尼斯堡。
普雷格河流经这个城市，河中有两个小岛，河上有七座桥，连接两岛及两岸。
如图所示，当时城里居民热衷于讨论这样一个问题：一个人能否走过这七座桥，且每座桥只经过一次，最后仍回到出发点。
将上面问题中的两座小岛以及两岸用点表示，七座桥用线（称为边）表示，得到下图：于是，上述问题也可叙述为：寻找从图中的任意一个点出发，经过所有的边一次且仅一次并回到出发点的路线。
注意：在上面的图中，我们只关心点之间是否有边相连，而不关心点的具体位置，边的形状以及长度。
一、基本概念：图：由若干个点和连接这些点中的某些“点对”的连线所组成的图形。
顶点：上图中的A ，Ｂ，Ｃ，D ．常用表示。
n 21 v , , v , v 边：两点间的连线。
记为（Ａ，Ｂ），（Ｂ，Ｃ）．常用表示。
m 21e , , e , e次：一个点所连的边数。
定点ｖ的次记为d(v)．图的常用记号：Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），其中，}{v V i =，}{e E i =子图：图Ｇ的部分点和部分边构成的图，成为其子图。
路：图Ｇ中的点边交错序列，若每条边都是其前后两点的关联边，则称该点边序列为图Ｇ的一条链。
圈（回路）：一条路中所含边点均不相同，且起点和终点是同一点，则称该路为圈（回路）。
有向图：，其中(,)G N A =12{,,,}k N n n n = 称为的顶点集合，A a 称为G 的弧集合。
G {(,)ij i j }n n ==若，则称为的前驱， 为n 的后继。
(,)ij i j a n n =i n j n j n i 赋权图（网络）：设是一个图，若对G 的每一条边（弧）都赋予一个实数，称为边的权，。
记为。
G (,,)G N E W =两个结论：１、图中所有顶点度数之和等于边数的二倍； ２、图中奇点个数必为偶数。
二、图的计算机存储：1. 关联矩阵简单图：，对应(,)G N E =N E ×阶矩阵()ik B b =10ik i k b ⎧=⎨⎩点与边关联否则简单有向图：，对应(,)G N A =N A ×阶矩阵()ik B b =110ik ik ik a i b a i ⎧⎪=−⎨⎪⎩弧以点为尾弧以点为头否则2. 邻接矩阵简单图：，对应(,)G N E =N N ×阶矩阵()ij A a =10ij i j a ⎧=⎨⎩点与点邻接否则简单有向图：，对应(,)G N A =N N ×阶矩阵()ij A a =10ij i ja ⎧=⎨⎩有弧从连向否则5v 34v01010110100101011110101000110111101065432166654321⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×v v v v v v A v v v v v v3. 权矩阵：简单图：，对应(,)G N E =N N ×阶矩阵()ij A a =ij ij i j a ω⎧=⎨∞⎩点与点邻接否则123456781234567802130654.5061002907250473080 v v v v v v v v v v v v v v v v 48∞∞∞∞⎡⎤⎢⎥∞∞∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞∞∞⎢⎥∞∞∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞∞⎢⎥∞∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞∞⎢⎥∞∞∞∞∞∞⎢⎥⎣⎦三、图的应用：例：如图，用点代表7个村庄，边上的权代表村庄之间的路长，现在要在这7个村庄中布电话线，如何布线，使材料最省？分析：需要将图中的边进行删减，使得最终留下的图仍然连通，并且使总的权值最小。
哥尼斯堡七桥问题
A
B
问题转化为：左图 中是否存在通过每 边一次且仅一次的 封闭路线。
S
欧拉的结论 欧拉证明：一个图中存在通过每边一次且仅一次回 到出发点的路线的充要条件是： 1)图是连通的，即任意两点可由图中的一些边连接 起来； 2)与图中每一顶点相连的边必须是偶数。 由此得出结论：七桥问题无解。 欧拉由七桥问题所引发的研究论文《有关位置的几 何问题的解法”》 （于1736年发表）是图论的 开篇之作，因此称欧拉为图论之父。
18世纪东普鲁士哥尼斯堡被普列戈尔河分为四块, 它们通过七座桥相互连接,如下图.当时该城的市民 热衷于这样一个游戏:“一个散步者怎样才能从某块 陆地出发，经每座桥一次且仅一次回到出发点？”
哥尼斯堡七桥问题
பைடு நூலகம்
七桥问题的分析
七桥问题看起来不难，很多人都想试一试，但没有 人找到答案 .后来有人写信告诉了当时的著名数学家 欧拉.千百人的失败使欧拉猜想,也许那样的走法根本 不可能.1836年,他证明了自己的猜想。 Euler把南北两岸和两个岛抽象成四个点,将连接这 些陆地的桥用连接相应两点的一条线来表示，这样哥 尼斯堡的七桥就转化为如下一个简图：
图论1：哥尼斯堡七桥问题的证明
图论1：哥尼斯堡七桥问题的证明图论1：哥尼斯堡七桥问题的证明很久很久以前，有个⼤名⿍⿍的地⽅，叫哥你是宝哥尼斯堡。
哥尼斯堡有⼀条河，河⾥有两座⼩岛，两座⼩岛和周边的陆地总共有七座桥连接起来。
这⾥风景优美，空⽓新鲜，以⾄于很多市民都喜欢来这边旅游观光。
Figure 1. 风景优美，空⽓新鲜的哥尼斯堡七桥【NOTE】红⾊⽅框表⽰桥，⿊⾊⽅框表⽰陆地。
慢慢的，乐于游玩的市民们就想到⼀个问题：有没有⼀种办法，可以从任意⼀个地⽅出发，然后恰巧每个桥只经过⼀次，观赏完所有风景之后⼜回到起点呢？市民们使⽤了各种⽅式：Figure 2. 这样的Figure 3. 这样的Figure 4. 这样的……但不管怎么样都做不到。
于是有⼈把这个问题写了封信，寄给了当时⼤名⿍⿍的数学家欧拉，致敬欧拉⼤师欧拉花了⼀年时间，最终证明了这个问题是⽆解的！那么怎么去证明这个问题⽆解嘞？欧拉⼤师先把地图模型简化成这样的⼆维模型：Figure 5. 风景优美，空⽓新鲜的哥尼斯堡七桥【NOTE】红⾊⽅框表⽰桥，⿊⾊⽅框表⽰陆地。
这地⽅漂亮极了。
于是简化成了四个点、七条边，如何证明⼀个图形，从任意⼀点出发，每条边仅经过⼀次，最终⼜回到起点呢？这个问题还是有点复杂，我们再对问题做⼀次简化，把七条边简化成⼀条，把四个点简化成⼀个点，那么得到如下模型：Figure 6. 简化版的陆地和桥这……这不就是⼀个圆嘛！！我们给图⾥的圆下⼀个定义：从⼀个点出发，经过若⼲条边和点之后，最终能够回到原点，整个经过的路径我们称之为圆。
所以，七桥问题其实等同于画圆问题！不管有⼏个顶点，也不管有⼏条边，从⼀点出发最终回到该点，本质上就是画圆。
所以对于上述证明问题，本质上就是求解能否在图形上构造出⼀个圆。
对“简化版的陆地和桥”做⼀层抽象，其实图中只具备两个元素：A岛：连接着X桥。
X桥：⾸尾两端都连接着A岛。
欧拉⼤师略加思索，得出⼀个结论，在最简单的情况下，从能够从A点画圆的充要条件为：A点必须具备⼀个出⼝，同时也必须具备⼀个⼊⼝。
图论
图论发展3个阶段:
1.1736年,哥尼斯堡七桥问题.
古老而又美丽的哥尼斯堡城濒临波罗的海,是著名的哲学家康德的出生地. 城中有一条普莱格尔河,河的两条支流在这里汇合,然后贯穿全城,流入大海.河水把城市分成4块,于是,人们建造了7座各具特色的桥,把哥尼斯堡城连成一体. 从任一个地方出发,经过7座桥中每座桥一次仅一次,再回到出发点.这就是著名的哥尼斯堡七桥问题.
欧拉解决这个问题, 诞生图论第一篇文章.
2.19世纪中叶-1936年,第二个阶段.
这一时期图论问题大量出现.如:地图染色的四色问题,周游世界游戏发展起来的哈密顿问题等等.
四色问题伦敦大学刚毕业学生费南西斯.古色利研究英国地图时提出的一个奇怪问题.
第一本图论专著<<限图与无限图的理论>>,柯尼希.
Kirchoff 电网络, Cayly用树的概念去研究有机化学的分子结构问题.
3.1936年---,许多离散性问题的出现大大促进了图论的发展.。
图论
重要性质：
若v0 v1 … vm 是图G中从v0到vm的最短路, 则 1≤k≤m, v0v1 … vk 必为G中从v0到vk的最短路. 即：最短路是一条路，且最短路的任一段也 是最短路. 求非负赋权图G中某一点到其它各点最短路， 一般用Dijkstra标号算法；求非负赋权图上任意 两点间的最短路，一般用Floyd算法.这两种算法 均适用于有向非负赋权图.
定义2 若将图G的每一条边e都对应一个实数 F (e), 则称F (e)为该边的权, 并称图G为赋权图(网 络), 记为G = (V, E , F ).
定义3 设G = (V, E)是一个图, v0, v1, …, vk∈V, 且1≤i≤k, vi-1vi∈E, 则称v0 v1 … vk是G的一条通路. 如果通路中没有相同的边, 则称此通路为道路. 始 点和终点相同的道路称为圈或回路. 如果通路中 既没有相同的边, 又没有相同的顶点, 则称此通路 为路径, 简称路.
图的矩阵表示 ⑴ 邻接矩阵 邻接矩阵表示了点与点之间的邻 接关系.一个n阶图G的邻接矩阵A = (aij )n×n , 其中
1, vij E; aij 0, vij E.
0 0 A 1 1
1 0 0 0
0 1 0 1
1 0 1 0
无向图G的邻接矩阵A是一个对称矩阵.
例 2 某城市要建立一个消防站， 为该 选址问题--中心问题 所属的七个区服务， 如图所示． 问应设在 个区，才能使它至最远区的路径最短．
（1）用 Floyd 算法求出距离矩阵 D=(d ij ) ．
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哥尼斯堡七桥问题与图论
大家公认，图论诞生于七桥问题。
出生于瑞士的伟大数学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）于1736年发表了论文《与位置几何有关的一个问题的解》，文中提出并解决了七桥问题，为图论的形成奠定了基础。
今天，图论已广泛应用在计算机学科、运筹学、控制论、信息论等学科中，成为对现实世界进行抽象的一个强有力的数学工具。
七桥问题是这样描述的：17世纪的东普鲁士有一座哥尼斯堡城（现在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸），城中有一座岛，普雷格尔河的两条支流环绕其旁，并将整个城市分成北区、东区、南区和岛区4个区域，全城共有七座桥将4个城区连接起来，图1是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。
于是，产生了一个有趣的数学难题：一个人是否能在一次步行中穿越全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次？
为了解决哥尼斯堡七桥问题，欧拉用A、B、C、D表示4个城区，用7条线表示7座桥，将哥尼斯堡七桥问题抽象为一个图模型，如图2所示，从而将哥尼斯堡七桥问题抽象为一个数学问题：求经过图中每条边一次且仅一次的回路，后来人们称之为欧拉回路。
欧拉论证了这样的回路是不存在的，并且将问题进行了一般化处理，即对于任意多的城区和任意多的桥，给出了是否存在欧拉回路的判定规则：
（1）如果通奇数桥的地方多于两个，则不存在欧拉回路；
（2）如果只有两个地方通奇数桥，可以从这两个地方之一出发，找到欧拉回路；
（3）如果没有一个地方通奇数桥，则无论从哪里出发，都能找到欧拉回路。