单摆-问题

单摆
单摆振动周期 振幅 环境 讨论
高中物理课本把悬挂小球的细线的伸缩量和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这种装置叫单摆，如图1所示。

单摆在振动过程中，回复力由重力在速度方向的分力提供。

当摆球运动到
任一点P 时重力沿速度方向的分力θsin 2mg G =，在
05<θ时，L x ≈
θsin ,回复力x L
mg
F -=，单摆做简谐 振动，振动周期表示为g
L
T π2=，跟振幅和摆球的 质量无关。

一、周期与振幅的关系
关于简谐振动的周期与振幅无关的结论，只是在一定条件下的近似，严格说来，其周期与振幅是有关的。

由牛顿第二定律可知，单摆的运动方程为 θθ
sin 22mg dt
d mL -= ①
即0sin 22=+θθL g
dt d ，当振幅很小时，摆角θ也很小，θθ≈sin ,方程由非线性振动
转化为线性振动，即022=+θθL g
dt
d ②
其解为)cos(0ϕωθθ+=t ，式中θ0为最大摆角（振幅），角频率L
g
=
ω，ϕ为初相位，符合简谐振动的特点，其周期为g
L
T π
ω
π
22==，在摆角θ小于50时，周期T 与振幅和摆球的质量无关。

值得指出的是，当摆角较大时，θθ≠sin ，由方程①知单摆做非线性振动，振动周期随振幅变化，周期T ’表示为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++⋅= 2sin 6492sin 41120402'
θθπ
g
L
T .
G
G 1图1
相对误差 2
sin 410
2'θη≈-=T T T . 当0θ取不同的值时，相对误差如下表所示：
显然，当005<θ时，相对误差小于1‰，单摆由非线性振动转化为线性振动，周期T 与振幅和摆球的质量无关，这就是单摆线性振动的等时性。

荷兰物理学家惠更斯正是利用了单摆的这种等时性发明了带摆的计时器，通过改变摆长可以很方便地调节摆的周期。

二、周期与地理位置的关系 常见的问题有两类：
1、把单摆由赤道移向两极时周期发生变化
由于越靠近两极，重力加速度越大，周期变小。

对于纬度相同或相近的不同地区，由于地质构造不同，重力加速度也存在着差别。

2、把一单摆分别置于半径为1R 、2R ，质量分别为1M 、2M 的两行星表面上，求振动周期之比。

从公式g
L
T π
2=中不难看出，周期的大小取决于行星表面的重力加速度，若忽略行星自转的影响，则有 2
2
222111,R m
GM mg R m GM mg ==
. 即
2121221)(M M R R g g ⋅=,所以周期之比 2
1
12211
21
222M M R R g g g L g L
T T
⋅
==
=π
π. 三、周期与高度的关系
例如，一单摆在地球表面的振动周期为0T ，把它移到h 米高处的周期是多少？ （设地球半径为R ）
设地球质量为M ，由牛顿第二定律，有 mg r
Mm
G
=2，
在地球表面上：2
0R GM
g =
离地面h 米高处：2
)(h R GM
g +=
则
000
,T R
h R T R h R g g T T +=+==即. 可见，当高度增加时，重力加速度变小，单摆的振动变慢，周期变长。

四、在运动系统中单摆的周期
1、在匀速运动系统（惯性系统）内
由于系统处于匀速直线运动状态，摆球的受力与系统静止时一样，所以单摆的周期不变，仍为 g
L
T π
2=. 2、在加速竖直升降的系统内
①当升降机匀加速上升或匀减速下降时，悬挂于其中的单摆相对于升降机静止时摆线的拉力)(a g m F +=，等效重力加速度 a g g +='， 单摆的周期 a g L g
L T +==ππ
22'
. ②当升降机匀减速上升或匀加速下降时，悬挂于其中的单摆相对于升降机静止时摆线的拉力)(a g m F -=，等效重力加速度a g g -='， 单摆的周期 a g L g
L T -==ππ
22'
. 当g a =时，单摆周期无穷大，即停振，因为此时重力全部用来产生向下的加速度a ，不存在单摆振动所必需的回复力。

当g a >时,摆球不会摆动，而是先向上撞击升降机顶板，后弹回，在竖直方向做往返直线运动，因与升降机顶板碰撞有机械能损失，故最后小球贴在升降机的顶板上。

3、在匀速运转的卫星内
在匀速运转的卫星内，摆球受到的万有引力全部充当了与卫星一起环绕行星运动所需的向心力，处于完全失重状态，所以单摆不会振动。

4、在水平加速运动的车厢内
如图2所示，若将单摆悬挂于水平向左做匀加速运动的车厢内，由于摆球除了受重力、拉力之外，还“受到”一个与加速度a 反向的惯性力ma f = 的作用，所以改变了其回复力，且使其平衡位置由O 变到了'O , 则 g
a
mg ma ==
θtan . 振动周期为2
22cos 2g a L g
L T +==πθ
π
.
接下来我们进行如下讨论：
①当加速度0=a 时，0=θ，周期 g
L T π
2=； ②当加速度越大时，θ越大，周期越小。

当 090=θ的极限情况下，摆球在水平方向“受到”的惯性作用力f = ma 》mg ,线性回复力不存在，所以摆球不再摆动。

③若车厢向左做减速运动，其结果不变，只是平衡位置O ’在O 的左侧。

5、在斜面上加速运动的车厢内
单摆悬挂在小车厢内，当小车沿倾角为θ的光滑斜面自由滑下时，单摆的周期
θ
π
cos 2g L
T = ，比小车静止时的周期要大。

五、光滑斜面上单摆的周期
如图3所示，单摆一端系在倾角为θ的斜面上，试分析其周期。

应该认识到，在摆角很小的情况下，摆球的振动 也是简谐振动，只是产生回复力效果的是 θsin mg 的
切向分力，振动周期为θ
πsin 2g L
T =. 六、电场中单摆的周期
将单摆放入电场强度为E 的匀强电场中，摆球的 带电量为q ，因为摆球除了受拉力和重力作用外，还
受到和重力在一条直线上的电场力qE F =的作用,所
a 图
2
E
图4（1）
qE
图3
以周期要发生变化。

1、若摆球带负电，则电场力和重力同向， 如图4（1）所示，单摆周期变小，为
m
qE g L
T +
=π
2 ，这类似于超重现象。

2、若摆球带正电，则电场力和重力反向， 如图4（2）所示，单摆周期变小，为 m
qE g L
T -
=π
2 .这类似于失重现象。

当mg qE =时，电场力和重力平衡，单摆停摆。

当mg qE >时，摆静止时等效重力加速度方向 向上，平衡位置与原来的平衡位置关于悬点对 称，如图4（3）所示，有如倒挂的摆钟。

七、磁场中单摆的周期
如图5所示，带电小球在竖直平面内做小角度摆动，当施加垂直于该竖直平面的匀强磁场时，由左手定则可判知，运动小球所受的洛仑兹力沿摆线方向（或反方向），与摆球振动的速度方向垂直，在最大摆角处速度为零， 洛仑兹力为零；若在最低点向上的洛仑兹力mg qvB ≤， 则单摆做简谐振动，周期 g
L
T π
2=； 若在最低点向上的洛仑兹力mg qvB >， 则摆球在摆动过程中某处将偏离原来的摆动
路径，单摆不做简谐振动，不能应用单摆周期公式求解。

当施加的磁场变化时，只要方向仍与摆球摆动的竖直平面垂直且满足在最低点
mg qvB ≤，单摆仍做简谐振动，周期 g
L T π
2=。

当施加的磁场与摆球摆动的竖直平面不垂直时，由于洛仑兹力作用使摆球摆动偏离
E
图4（2）
qE
× ×× B
× ××
图5
原竖直平面，单摆不做简谐振动，不能应用单摆周期公式求解。