七年级数学上册 中点及角平分线讲义 (新版)新人教版
2024年新人教版七年级数学上册 第六章 大单元整体设计 -(课件)
评价任务 1.借助生活实例 引入图形.2.认识 立体图形和平面 图形.3.通过练习 巩固
1.引入从不同方 向观察物体所得 到的平面图形和 展开图的概念.2. 学生动手操作.3. 总结常见立体图 形的展开图
课题
7．理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的 度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差．
8．理解余角、补角的概念，探索并掌握同角(或等角)的余角 相等、同角(或等角)的补角相等的性质．
教学目标 1.能从简单实物的外形中抽象出几何图形，理解立体图形和平
面图形的概念，会判断一个几何图形是立体图形还是平面 图形，能准确识别棱柱与棱锥. 2.从不同方向观察常见几何体及它们的组合体，并能画出从正 面、左面、上面三个方向看到的平面图形，能画出简单的 几何体的展开图. 3.认识点、线、面、体及它们之间的关系，能用它们解释生活 中的现象.
7.掌握比较角的大小的方法，能根据图形分析得出角的和、差 关系，并进行计算.
8.理解并掌握角的平分线、等分角的概念，能运用角的平分线 的概念解决问题，能进行角的乘除运算.
9.了解余角、补角的概念，能借助简单的推理，归纳出余角、 补角的性质，并能利用其解决相关问题.
课题
6.1.1 第1课时 立体图形与平 面图形
课时目标
达成目标
评价任务
6.1.2 点、线、面、 体
认识点、线、面、 知道点、线、面、 1.生活中的现象 体及它们之间的关 体是构成几何图形 引入.2.从静、动 系．区分平面和曲 的元素，能用它们 两个角度体会.3. 面、直线和曲线 解释生活中的现象 通过练习感受
6.Байду номын сангаас.1 直线、射线、 线段
七年级上册数学知识点思维导图+考点梳理【最新版】
七年级上册数学知识点思维导图+考点梳理有理数1.大于0的数叫做正数。
2.在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
3.整数和分数统称为有理数。
4.人们通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
5.在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。
6.一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
7. 由绝对值的定义可知:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
8.正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
9.两个负数，绝对值大的反而小。
10.有理数加法法则:(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。
(3)一个数同0相加，仍得这个数。
11.有理数的加法中，两个数相加，交换交换加数的位置，和不变。
12.有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
13.有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数。
14.有理数乘法法则:两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值向乘。
任何数同0相乘，都得0。
15.有理数中仍然有:乘积是1的两个数互为倒数。
16.一般的，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
17. 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
18. 一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
19.有理数除法法则:除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
20.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0。
21. 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在an 中，a叫做底数，n叫做指数。
22.根据有理数的乘法法则可以得出:负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。
人教版七年级数学上册4.3.2角的比较与运算一等奖优秀教学设计
人教版义务教育课程标准实验教科书七年级上册4.3.2角的比较与运算教学设计一、教材分析1、地位作用：角的比较，角的和与差，角平分线是本章重要的基础知识，也是后续学习图形与几何必备的知识基础。
在本节课中，除了让学生重点掌握以上的基础知识外，还应通过大量的识图和作图训练，来培养学生的图形感，同时，还应在解决问题的过程中注意学生推理语言和能力的培养，这也是教学的难点。
2、目标和目标解析：（1）、目标：1．理解两个角的和、差、倍、分的意义；2．掌握角平分线的概念；3．会比较角的大小，会用量角器画一个角等于已知角.（2）、目标解析：①、能从图形和数量关系两个角度认识角的大小，会用度量法和叠合法比较两个角的大小；能从几何图形和数量关系两方面认识角的和与差及角平分线，知道两个角的和、差仍然是一个角，知道角的和、差或等分的度数的计算；能结合角的大小、和与差、角平分线的直观图形，用文字语言和符号语言描述它们，反之，能将它们用符号语言或文字语言所表述的图形及关系，用图形直观表示出来。
②、在学习过程中，能在回忆线段的大小、和与差、中点内容的同时，想象本节课所要学习的内容，能对学习进程心中有数；能将对线段的大小、和与差、中点的研究方法和基本套路迁移到角的相关问题研究中，不断地提出问题、分析问题、解决问题。
3、教学重、难点教学重点：角的大小、角的和与差、角平分线的意义及数量关系；感受类比的思想。
教学难点：用图形语言、文字语言、符号语言综合描述角的大小、角的和与差关系及角平分线。
突破难点的方法：通过相关旧知的复习，按照猜想、推理的思维过程进行突破。
二、教学准备：多媒体课件、导学案、三角板或直尺、量角器、剪刀，透明或半透明纸。
三、教学过程教学内容与教师活动 学生活动 设计意图一、创设情景 引入课题 问题：这两把折扇中，哪一把形成的角度大？与折扇的大小有关系吗？（板书）课题学生观察图片，获得感性认识. 让学生知道，角的概念是从实物中抽象出来的，通过学生熟悉的事物，激发学生的学习兴趣。
04 几何图形初步(原卷版)-七年级数学寒假学习精编讲义(人教版)
人教版七年级数学寒假学习精编讲义温故知新篇04 几何图形初步知识点1：多姿多彩的图形1． 几何图形的分类要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果. 2．立体图形与平面图形的相互转化 （1）立体图形的平面展开图：把立体图形 就会得到平面图形，把平面图形 就会得到相应的立体图形，通过 能把立体图形和平面图形有机地结合起来．立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. ⎧⎨⎩平面图形：三角形、四边形、圆等.几何图形⎧⎨⎩要点诠释：①对一些常见立体图形的展开图要非常熟悉，例如正方体的 11种展开图，三棱柱，圆柱等的展开图；②不同的几何体展成不同的平面图形，同一几何体沿不同的棱剪开，可得到不同的平面图形，那么排除障碍的方法就是：联系实物，展开想象，建立“模型”，整体构想，动手实践. （2）从不同方向看：主（正）视图---------从正面看几何体的三视图 左视图-----从左（右）边看俯视图---------------从上面看要点诠释：①会判断 的三视图. ②能根据三视图描述基本几何体或实物原型. （3）几何体的构成元素及关系几何体是由 构成的. 交成点； 成线； ， 组成.知识点2：直线、射线、线段1. 直线，射线与线段的区别与联系2. 基本性质(1)直线的性质: ． (2)线段的性质: ． 要点诠释：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可 ② ，叫做两点间的距离. 3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用 ,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC 上截取AB=ａ，如下图：4．线段的比较与运算 （1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是 ；一种是 .（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC=AC ，或AC=a+b ；AD=AB-BD 。
（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：12AM MB AB ==要点诠释：①线段中点的等价表述：如上图，点M 在线段上，且有12AM AB =，则点M 为线段AB 的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P 均为线段AB 的四等分点.PNMBAAB PB NP MN AM 41==== 知识点3：角1．角的度量（1）角的定义：有 组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作 而形成的图形.(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用 表示，二是Cbba MBA表示，三是 表示.例如下图：要点诠释：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. （3）角度制及角度的换算1周角= °，1平角= °，1°= ′，1′= ″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 要点诠释：①度、分、秒的换算是 进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从 )时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即 )时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. （4）角的分类（5）画一个角等于已知角（1）借助三角尺能画出15°的 的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助 能画出给定度数的角. （3）用 法. 2．角的比较与运算（1）角的比较方法: ① ；② . （2）角的平分线：，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1=∠2=12∠AOB ，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等.∠β 锐角直角钝角平角 周角 范围0＜∠β＜90° ∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°3．角的互余互补关系余角补角（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 相等；相等.要点诠释：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.③只考虑数量关系，与位置无关．④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” .4．方位角以为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.要点诠释：（1）方位角还可以看成是将的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.（2）通常叫做东北方向，通常叫做西北方向通常叫做东南方向，通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.一．选择题1．（2021秋•朝阳区校级期末）下列尺规作图，能确定AD＝BD的是（）A．B．C．D．2．（2020秋•兴业县期末）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠BOA＝90°，则OB 的方位角是（）A．北偏西30°B．北偏西60°C．北偏东30°D．北偏东60°3．（2021秋•乌兰察布期末）如图所示，点M，N是线段AB上的两个点，且M是AB的中点，N是MB的中点，若AB＝a，NB＝b，下列结论：①AM＝a②AN＝a﹣b③MN＝a﹣b④MN ＝a．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2021秋•香坊区校级期中）下列说法：①两个分数相除，商一定大于被除数；②直径的长度是半径的2倍；③π是一个圆的周长与这个圆的直径的比值；④女生人数是男生人数的，则男生人数比女生人数多；⑤水结成冰，体积增加原来的；冰融化成水，水的体积是冰的．其中正确的有（）个．A．0 B．1 C．2 D．35．（2021秋•本溪期中）下列说法中正确的个数为（）（1）4a一定是偶数；（2）单项式的系数是，次数是3；（3）小数都是有理数；（4）多项式3x3﹣2xy2+25是五次三项式；（5）连接两点的线段叫做这两点的距离；（6）射线比直线小一半．A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2021秋•龙华区期中）用一平面去截下列几何体，其截面可能是三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2021秋•雁塔区校级期中）下列图形中，不是正方体表面展开图的是（）A．B．C．D．8．（2021•宁波模拟）如图，已知矩形AEPG的面积等于矩形GHCD的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道（）A．矩形AEFD与矩形PHCF的面积之差B．矩形ABHG与矩形PHCF的面积之差C．矩形AEFD与矩形PHCF的面积之和D．矩形ABHG与矩形PHCF的面积之和9．（2020秋•封开县期末）如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（）种车票．A．10 B．11 C．20 D．22 10．（2003•杭州）如图所示立方体中，过棱BB1和平面CD1垂直的平面有（）A．1个B．2个C．3个D．0个二．填空题11．（2021秋•农安县期末）如图所示，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB：∠AOD＝2：11，则∠AOB＝．12．（2020秋•北海期末）如图，已知线段AB＝16cm，M是AB的中点，P是线段MB上一点，N为PB的中点，NB＝3cm，则线段MP＝cm．13．（2021秋•克东县期末）如图，是小明同学在数学实践课上，所设计的正方体盒子的平面展开图，每个面上都有一个汉字，请你判断，正方体盒子上与“答”字相对的面上的字是．14．（2020秋•天元区期末）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，那么∠1的度数为．15．（2021秋•青羊区校级期中）已知∠AOB＝100°，射线OC在同平面内绕点O旋转，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，则∠EOF的度数为．16．（2021•胶州市一模）如图，一个正方体形状的木块，棱长为2米，若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，得到若干个大大小小的长方体木块，则所有这些长方体木块的表面积和是平方米．17．（2021春•东平县期末）如图，已知AB和CD的公共部分BD＝AB＝CD，线段AB，CD 的中点E，F之间的距离是10cm，则AB的长是．18．（2021春•奉化区校级期末）一副三角板AOB与COD如图1摆放，且∠A＝∠C＝90°，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，ON平分∠COB，OM平分∠AOD．当三角板COD绕O点顺时针旋转（从图1到图2）．设图1、图2中的∠NOM的度数分别为α，β，α+β＝度．19．（2020秋•海港区校级月考）有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图1，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干．若如图2放置时，测得液面高为；若如图3放置时，测得液面高为．则该玻璃密封容器的容积（圆柱体容积＝底面积×高）是．（结果保留π）20．（2013秋•成华区期末）如图，已知OB、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．①若∠BOC＝40°，∠MON＝80°，则∠AOD的度数为度；②若∠AOD＝x°，∠MON＝80°，则∠BOC的度数为度（用含x的代数式表示）．三．解答题（共10小题）21．（2021秋•富裕县期末）计算：（1）；（2）；（3）80°10'35″﹣15°28′25″×3．22．（2021秋•吉林期末）如图①，将一副常规直角三角尺的直角顶点叠放在一起，∠A＝60°，∠B＝45°．解答下列问题．（1）若∠DCE＝35°24'，则∠ACB＝；若∠ACB＝115°，则∠DCE＝；（2）当∠DCE＝α时，求∠ACB的度数，并直接写出∠DCE与∠ACB的关系；（3）在图①的基础上作射线BC，射线EC，射线DC，如图②，则与∠ECB互补的角有个．23．（2021秋•吉林期末）如图，在同一直线上，有A、B、C、D四点．已知DB＝AD、AC ＝CD，CD＝4cm，求线段AB的长．24．（2021秋•七星关区期末）如图①，已知线段AB＝18cm，CD＝2cm，线段CD在线段AB 上运动，E，F分别是AC，BD的中点．（1）若AC＝4cm，则EF＝cm；（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由．（3）a．我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，若∠AOB＝140°，∠COD＝40°，求∠EOF．b．由此，你猜想∠EOF，∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可）25．（2020秋•章丘区期末）乐乐对几何中角平分线部分的学习兴趣浓厚，请你和乐乐一起探究下面问题吧．已知∠AOB＝100°，射线OE、OF分别是∠AOC和∠COB的平分线．（1）如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝30°，求∠EOF的度数；（2）如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数；（3）若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC，均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数．（不写探究过程）26．（2021秋•平原县月考）按要求作图：如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D．①画射线CD，画直线AD；②取线段DC的中点E，连接AE并延长，与射线BC交于点M．③连接AC并延长至点O，使AC＝CO．27．（2021秋•南岗区校级期中）小亮家的这扇门，为了达到既美观又耐用．需要让装修公司装上形状如图所示的装饰条（也包括围成阴影部分的装饰条），装饰条的宽度忽略不计，其他部分都安装上玻璃，阴影部分是在玻璃上喷上彩色的油漆．（π＝3 单位：厘米）（1）求这扇木门所用装饰条的总长度是多少厘米？（2）求喷色部分的面积是多少平方厘米？（3）若这扇门安装的玻璃每平方米200元，涂色部分的油漆每平方米500元，装饰条每米150元，这扇门的安装费用为100元，小亮家安装这扇门共需要多少元？（结果保留整数）28．（2021秋•新华区校级期中）已知∠AOB＝90°，（1）如图1，OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠EOD＝64°，则∠BOC是°；（2）如图2，OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，若∠BOC＝40°，求∠EOD的度数（写推理过程）．（3）若OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，∠BOC＝α（0°＜α＜180°），则∠EOD的度数是（在稿纸上画图分析，直接填空）．29．（2020秋•江岸区期末）已知如图1，∠AOB＝40°．（1）若∠AOC＝∠BOC，则∠BOC＝；（2）如图2，∠AOC＝20°，OM为∠AOB内部的一条直线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；（3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．30．（2020秋•五华区期末）已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．。
人教版七年级数学上册 线段的中点和数轴上动点问题培优备考
人教版七年级数学上册数轴上的动点问题培优备考解题方法：1.总体来讲,解决数轴上的动点问题分为两步:(1)用未知数表示动点;(2)结合数轴,列方程.2.具体来讲,要注意以下几个问题:(1)表示动点:用未知数表示动点，常常把运动时间设为t,把握动点的出发点,运动方向和运动速度,这三个条件,例如:点A从表示1的点M出发,向右运动,速度是3个单位长度每秒,则动点A表示为:1 +3t; . 点B从表示-2的点N出发,向左运动,速度是2个单位长度每秒,则动点B表示为:-2-2t;(2)求中点:利用中点公式即可;(3)求距离:数轴上,表示两点的距离常常用右边的数减去左边的数,例如,上题动点A和B 之间的距离是:(1 +3t)-( -2-2t) =5t+3;(4)列方程:常见等量关系:一是行程中的相遇追及问题,二是线段间的和差倍分关系;(5)易错点:注意动点问题的分类讨论.例1：已知A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点。
如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2。
表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，是【B，A】的好点。
知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为－2，点N所表示的数为4。
(1)数_____________所表示的点是【M，N】的好点；(2)如图3，点A所表示的数为－20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止。
当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？例2：数轴上有两点A，B，点C，D分别从原点O与点B出发，沿BA方向同时向左运动．（1）如图，若点N为线段OB上一点，AB=16，ON=2，当点C，D分别运动到AO，BN的中点时，求CD的长；（2）若点C在线段OA上运动，点D在线段OB上运动，速度分别为每秒1cm，4cm，在点C，D运动的过程中，满足OD=4AC，若点M为直线AB上一点，且AM-BM=OM，求AB的值．OM例3: 如图,点A从原点出发沿数轴向左运动,同时,点B也从原点出发沿数轴向右运动,2 秒后,两点相距16个单位长度.已知点B的速度是点A的速度的3倍.(速度单位:单位长度/秒)(1)求出点A、B运动的速度,并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动2秒时的位置;(2)若A、B两点从(1)中标出的位置开始,仍以原来的速度同时沿数轴向左运动,经过几秒,点A、B之间相距4个单位长度?(3)若表示数0的点记为0,A、B两点分别从(1)中标出的位置同时沿数轴向左运动,经过多长时间,0B=20A.例4: 已知,如图A、B分别为数轴上的两点,A点对应的数为-10,B点对应的数为90.(1)请写出与AB两点距离相等的M点对应的数;(2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时,以3个单位/秒的速度向左运动,同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发,以2个单位/秒的速度向右运动,设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇,你知道对应的数是多少吗?(3)若当电子蚂蚁P从B点出发时,以3个单位/秒的速度向左运动,同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A点出发,以2个单位/秒的速度向右运动,经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴.上相距35个单位长度?例5: 如图,在数轴上A点表示数a,B点表示数b,AB表示A点和B点之间的距离,C是AB的中点,且a、b满足|a+3| +(b+3a)2=0.(1)求点C表示的数;(2)点P从A点以3个单位每秒向右运动,点Q同时从B点以2个单位每秒向左运动,若AP+BQ=2PQ,求时间t;(3)若点P从A向右运动,点M为AP中点,在P点到达点B之前:①的值不变;②2BM-BP的值不变,其中只有一个正确,请你找出正确的结论并求出其值.P A+P BP C学以致用练习:1.如图,已知A、B、C是数轴上三点,点C表示的数为6，BC=4，AB=12.(1)写出数轴.上点A、B表示的数;(2)动点P、Q分别从A、C同时出发,点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,M为AP的中点,点N在线段CQ上,且CQ,设运动时间为t(t>0)秒.CN=13①求数轴上点M、N表示的数(用含t的式子表示);②t为何值时,原点0恰为线段PQ的中点。
北师大版(2024新版)七年级数学上册第四章课件：第四章 基本的平面图形 小结与复习
第四章 基本的平面图形 小结与复习
知识梳理
基 本 平 面 图 形
直线 两点确定一条直线
线段 射线
两点之间线段最短 线段的中点 线段比较长短
角的定义
角
角平分线
角比较大小
尺规作图
知识梳理
基 本 平 面 图 形
多边形
定义 对角线 正多边形
定义
圆
弧 扇形
圆心角
知识回顾
伸
是否 可以 度量
不能 度量
不能 度量
表示方法
表示 方法
备注
作图 描述
射线 AB
A，B两点 以A为端点
有序，端 作射线
点在前
AB
直线
AB 或直 线BA 或直线
a
A，B两点
无序
过A,B两点 作直线AB
知识回顾
2.两点确定一条直线 经过两点有且只有一条直线．
二、比较线段的长度 1.线段的基本事实 两点之间的所有连线中，线段__最__短___． 简述为：两点之间，线段__最__短____ ．
基础巩固
4.下午2时15分到5时30分，时钟的时针转过的度数 为__9_7_.5_°_.
解析：时钟被分成12个大格，相当于把圆分成12等份， 每一等份等于30°. 分针转360°时，时针转一格，即30°. 从2时15分到5时30分，时针走了(3.5－0.25)格， 即30°×(3.5－0.25)＝97.5°.
知识回顾
4.角的度量 (1)角的度量单位是度、分、秒． (2)它们之间的关系是六十进制的，即1°＝60′，1′＝60″.
5.方向角 借助角表示方向，通常以正北或正南为基准，配以偏 西或偏东的角度来描述方向．
人教版 七年级(上)数学讲义 角的概念与大小比较 提高班 (含解析)
第9讲角的概念与大小比较知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初一，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，主要学习角的概念与大小比较，掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；能借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.知识梳理讲解用时：15分钟角的定义及其表示方法(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注；②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间．角的理解(1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．1.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．2.角度的换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.角度的换算(1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同； (2)角的度数的换算有两种方法：①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′， 1′＝60″；①由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″⎝ ⎛⎭⎪⎫＝160′，1′⎝ ⎛⎭⎪⎫＝160°，用除法．注意：度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．1.角的比较： （1）度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小． （2）叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小． 技巧 角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．2.角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．①几何意义：如图所示，①AOB与①BOC的和是①AOC，表示为①AOB＋①BOC＝①AOC；①AOC与①BOC的差为①AOB，表示为①AOC－①BOC＝①AOB.①代数意义：如已知①A＝23°17′，①B＝40°50′，①A＋①B就可以像代数加减法一样计算，即①A＋①B＝23°17′＋40°50′＝64°7′，①B－①A＝40°50′－23°17′＝17°33′.3.角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC是①AOB的平分线，则有①1＝①2＝12①AOB或①AOB＝2①1＝2①2.角的平分线的理解角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．课堂精讲精练【例题1】以点O为端点引3条射线时，共有个角，引4条射线时，共有个角，以点O为端点引n条射线时，共有个角（用含n的字母表示）．【答案】3、6、．【解析】解：以点O为端点引3条射线时，共有1+2=3个角；引4条射线时，共有1+2+3=6个角；以点O为端点引n条射线时，共有1+2+3+…+n﹣1=个角，故答案为：3、6、．讲解用时：5分钟解题思路：有公共顶点的n条射线，可构成n（n﹣1）个角，依据规律回答即可．教学建议：考查角的概念，掌握其规律是解题的关键．有公共顶点的n条射线，一共可构成n（n﹣1）个角．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习1.1】能用∠α、∠AOB、∠O三种方式表示同一个角的图形是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】解：A、因为顶点O处有四个角，所以这四个角均不能用∠O表示，故本选项错误；B、因为顶点O处只有一个角，所以这个角能用∠O、∠α及∠AOB表示，故本选项正确；C、因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用∠O表示，故本选项错误；D、因为∠O与∠α表示的不是同一个角，故本选项错误．故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：根据角的表示方法进行逐一分析，即角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．教学建议：熟知角的三种表示方法．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无35.42°=度分秒40°25′48″=．【答案】35，25，12；40.43°．【解析】解：35.42°=35度25分12秒40°25′48″=40°25.8′=40.43°，故答案为：35，25，12；40.43°．讲解用时：5分钟解题思路：：根据大单位化小单位乘以进率，小单位华大单位除以进率，可得答案．教学建议：要求学生熟练掌握度、分、秒的换算难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习2.1】0.15°=′″．【答案】9，0．【解析】解：解：0.15°=9′0″．故答案为：9，0．讲解用时：3分钟解题思路：根据大单位化小单位乘以进率，可得答案．教学建议：考查度分秒的换算，大单位化小单位是乘以进率60难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无计算：（1）48°39′+67°31′﹣21°17′；（2）23°53′×3﹣107°43′÷5．【答案】（1）94°53′；（2）50°6′24″．【解析】解：（1）48°39′+67°31′﹣21°17′=116°10′﹣21°17′=94°53′；（2）23°53′×3﹣107°43′÷5=71°39′﹣21°32′36″=50°6′24″．讲解用时：6分钟解题思路：（1）根据度分秒加法计算法则进行解答．（2）先进行度、分、秒的乘法计算，再从左往右依次计算．教学建议：要求学生熟练掌握度、分、秒的换算难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习3.1】计算15°23′×4的结果是（）A．60°92′B．60.92°C．60°32′D．61°32′【答案】D【解析】解：15°23′×4=60°92′=61°32′，故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：根据度分秒的乘法，先从小单位算起，满60时向上一单位近1，可得答案．教学建议：本题考查了度分秒的换算，度分秒的乘法，先从小单位算起，满60时向上一单位近1．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【例题4】如图，回答下列问题：（1）比较∠FOD与∠FOE的大小；（2）借助三角板比较∠DOE与∠BOF 的大小；（3）借助量角器比较∠AOE与∠DOF的大小．【答案】（1）FOD＜∠FOE；（2）∠DOE＞∠BOF；（3）∠AOE=∠DOF.【解析】解：（1）∵OD在∠FOE的内部，∴FOD＜∠FOE．（2）用含有45゜角的三角板比较，可得∠DOE＞45゜，∠BOF＜45゜，则∠DOE＞∠BOF．（3）用量角器度量得∠AOE=30゜，∠DOF=30゜，则∠AOE=∠DOF．讲解用时：6分钟解题思路：（1）根据OD边在∠FOE内部，即可得出∠FOD＜∠FOE．（2）用量角器量∠DOE大于45゜，∠DOF小于45゜，即可得出∠DOE＞∠DOF．（3）用量角器量出角的度数，再比较大小即可．教学建议：此题考查角的大小比较，会用量角器估算角的大小难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习4.1】已知O是直线AB上一点，OC是一条射线，则∠AOC与∠BOC的关系是（）A．∠AOC一定大于∠BOCB．∠AOC一定小于∠BOCC．∠AOC一定等于∠BOCD．∠AOC可能大于、等于或小于∠BOC【答案】D．【解析】解：如图所示，∴∠AOC可能会大于、小于、等于∠BOC．故选：D．讲解用时：5分钟解题思路：根据题意发现，此题没有图形，那么我们应该通过分类讨论的方法，画出图形，由OC不同的位置，即可判断．教学建议：角的比较大小，当题目中没有给出图形时，要考虑全面，分情况去讨论．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题5】18．如图，∠1=∠2=∠3=∠4．（1）那么OD是的角平分线，OE是是的角平分线，OC是的角平分线；（2）=4∠1，==3∠1；（3）∠BOD=∠BOC=∠AOB；（4）若∠BOE=30°，那么∠AOE=．【答案】（1）①AOB和①COE；①BOD；①AOD；（2）①AOB；①BOC；①AOE；（3）；；（4）90°．【解析】解：（1）OD是∠AOB和∠COE的角平分线，OE是∠BOD是的角平分线，OC是∠AOD的角平分线；（2）∠AOB=4∠1，∠BOC=∠AOE=3∠1；（3）∠BOD=∠BOC=∠AOB；（4）若∠BOE=30°，那么∠AOE=90°，讲解用时：6分钟解题思路：根据角平分线的定义、结合图形进行解答即可．教学建议：掌握角平分线是经过角的顶点把这个角分成相等的两个角的射线．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习5.1】如图，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，已知∠AOD=15°，则∠BOC=．【答案】30°．【解析】解：∵OD平分∠AOC，∠AOD=15°，∴∠AOC=2∠AOD=30°，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC=∠AOC=30°，故答案为：30°．讲解用时：4分钟解题思路：直接利用角平分线的性质分别分析得出答案．教学建议: 正确把握角平分线的定义是解题关键．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题6】已知∠A0B=90°，OM平分∠AOB，在∠AOB的外部由点O引出两条射线OC、OD，若∠COD=150°，∠COM：∠DOM=3：2，求∠COB的大小.【答案】81°或171°或45°或135°．【解析】解：作出图形，①射线OC和射线OB相邻∵∠COM：∠DOM=3：2，∠COD=150°，∴∠COM=126°，∵∠AOM=∠BOM=45°，∴∠BOC=126°﹣45°=81°，②射线OC和射线OA相邻，∵∠COM：∠DOM=3：2，∠COD=150°，∴∠COM=126°，∵∠AOM=∠BOM=45°，∴∠AOC=126°﹣45°=81°，∴∠BOC=81°+90°=171°．③∠AOB是在∠COD内部，∵∠COM：∠DOM=3：2，∠COD=150°，∴∠COM=90°，∵∠AOM=∠BOM=45°，∴∠AOC=45°或135°，讲解用时：10分钟解题思路：作出图形，根据题意可以求得∠COM的值，再分类讨论与OC相邻射线是OA还是OB，即可求得∠BOC的值；教学建议：考查平分线的性质，注意引导学生分类讨论.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无如图，已知∠AOB=α，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠A0A2，…，OA n平分∠A0A n﹣1，则∠AOA n的大小为．【答案】α【解析】解：∵∠AOB=α，OA1平分∠AOB，∴∠AOA1=∠AOB=，∵OA2平分∠AOA1，∴∠AOA2=∠AOA1=α，同理∠AOA3=∠AOB=α，∠AOA4═∠AOB=α，…，∠AOA n=α讲解用时：6分钟解题思路：根据角平分线定义，再归纳总结，求出答案．教学建议：本题主要考查学生的计算能力；找出规律是解决问题的关键．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无从点O引出三条射线OA，OB，OC，已知∠AOB=30°，在这三条射线中，当其中一条射线是另两条射线所组成角的平分线时，则∠AOC=【答案】15°或30°或60°．【解析】解：①当OC平分∠AOB时，∠AOC=∠AOB=15°；②当OA平分∠BOC时，∠AOC=∠AOB=30°；③当OB平分∠AOC时，∠AOC=2∠AOB=60°．故答案为：15°或30°或60°．讲解用时：8分钟解题思路：依据一条射线是另两条射线所组成角的平分线，分三种情况进行讨论，依据角平分线的定义，即可得到∠AOC的度数．教学建议：考查平分线的性质，注意引导学生分类讨论.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题7】如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？（2）如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；（3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．【答案】（1）45°；（2）∠MON=α；（3）∠MON=α．【解析】解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠AOC=90°+60°=150°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=75°，∠NOC=∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°．（2）如图2，∠MON=α，理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，∴∠AOC=α+60°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=α+30°，∠NOC=∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+30°）﹣30°=α．（3）如图3，∠MON=α，与β的大小无关．理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=α+β．∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC=∠AOC=（α+β），∠NOC=∠BOC=β，∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+β﹣β=α+β．∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+β）﹣β=α即∠MON=α．讲解用时：10分钟解题思路：（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可；（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可；（3）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可．教学建议：本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度数和得出∠MON=∠MOC﹣∠NOC．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无如图，∠AOB是直角，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．（1）当∠AOC=40°，∠MON= ；（2）当∠AOC=50°，∠MON= ；（3）当锐角∠AOC=α时，∠MON= ．【答案】（1）45°；（2）45°；（3）45°.【解析】解：（1）∠AOC=40°时，∠MON=∠MOC﹣∠CON=（∠BOC﹣∠AOC）=∠AOB=45°．（2）当∠AOC=50°，∠MON=45°．理由同（1）．（3）当∠AOC=α时，∠MON=45°．理由同（1）．讲解用时：6分钟解题思路：根据角平分线的定义可得∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（∠BOC﹣∠AOC）=∠AOB，依次均可求解．教学建议：本题主要考查角的比较与运算和角平分线的知识点，结合图形求得各个角的大小．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无如图∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB（1）若∠COD=18°，求∠AOB的度数；（2）请画出∠AOC的角平分线OE，试猜想∠DOE与∠AOC的数量关系，并说明理由．【答案】∠AOB=108°，∠DOE=∠AOC．【解析】解：（1）∵OD平分∠AOB，∴∠BOD=∠AOD，设∠BOD=∠AOD=x，则∠BOC=x+18°，∠AOC=x﹣18°，∵∠BOC=2∠AOC，∴x+18°=2（x﹣18°），解得x=54°，∴∠AOB=2x=108°，（2）结论：∠DOE=∠AOC．理由：设∠AOC=2y，则∠AOE=∠EOC=y，∠BOC=4y，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=3y，∴∠DOE=2y=∠AOE，∴∠DOE=∠AOC．讲解用时：8分钟解题思路：（1）设∠BOD=∠AOD=x，可得∠BOC=x+18°，∠AOC=x﹣18°，根据∠BOC=2∠AOC，构建方程即可解决问题；（2）结论：∠DOE=∠AOC．设∠AOC=2y，则∠AOE=∠EOC=y，∠BOC=4y，想办法用y表示∠DOE即可解决问题；教学建议：本题考查角的计算，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用未知数构建方程解决问题，属于中考常考题型．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习8.1】如图，已知∠AOB=40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3，OC与∠AOB 的平分线所成的角的度数为．【答案】4°或100°．【解析】解：（1）若OC在∠AOB内部，∵∠AOC：∠COB=2：3，∴设∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴2x+3x=40°，得x=8°，∴∠AOC=2x=2×8°=16°，∠COB=3x=3×8°=24°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=20°﹣16°=4°．（2）若OC在∠AOB外部，∵∠AOC：∠COB=2：3，∴设∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴3x﹣2x=40°，得x=40°，∴∠AOC=2x=2×40°=80°，∠COB=3x=3×40°=120°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．∴OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．讲解用时：8分钟解题思路：由于∠AOC：∠COB=2：3，∠AOB=40°，可以求得∠AOC的度数，OD 是角平分线，可以求得∠AOD的度数，∠COD=∠AOD﹣∠AOC．教学建议:本题考查了角的计算用到角平分线的性质，涉及到角的倍分关系时，一般通过设未知数，建立方程进行解决．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无课后作业【作业1】一个角的内部从顶点引出4条射线，则此时构成的角的个数有（）A．5个B．6个C．10个D．15个【答案】D．【解析】解：根据题意可知，角的顶点处有6条射线，共有5+4+3+2+1=15个角．故选D．讲解用时：5分钟难度： 2 适应场景：练习题例题来源：无【作业2】比较∠CAB与∠DAB时，把它们的顶点A和边AB重合，把∠CAB和∠DAB放在AB的同一侧，若∠CAB＞∠DAB，则（）A．AD落在∠CAB的内部B．AD落在∠CAB的外部C．AC和AD重合D．不能确定AD的位置【答案】A．【解析】解：比较∠CAB与∠DAB时，把它们的顶点A和边AB重合，把∠CAB和∠DAB 放在AB的同一侧，若∠CAB＞∠DAB，则AD落在∠CAB的内部．故选：A．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无【作业3】计算72°34′÷2+18°33′×4=．【答案】110°29′．【解析】解：72°34′÷2+18°33′×4=36°17′+74°12′=110°29′．故答案为：110°29′．讲解用时：5分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无【作业4】如图，已知∠AOB=α，∠COD=β，OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，则∠MON=（用含α，β的式子表示）．【答案】（α+β）．【解析】解：∵∠AOB=α，∠COD=β，∴∠AOD=∠COD+∠AOC=β+∠AOC，∠BOC=∠AOB+∠AOC=α+∠AOC，∴∠BOD=∠AOD+∠BOC﹣∠AOC=α+β+∠AOC．∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∴∠BON=∠BOC，∠DOM=∠AOD，∴∠MON=∠BOD﹣∠BON﹣∠DOM=α+β+∠AOC﹣∠BOC﹣∠AOD=α+β+∠AOC﹣（∠BOC+∠AOD）=α+β+∠AOC﹣（α+β+2∠AOC）=α+β+∠AOC﹣α﹣β﹣∠AOC=（α+β）．故答案为：（α+β）．讲解用时：8分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无【作业5】以∠AOB的顶点O为端点引射线OP，使∠AOP：∠BOP=3：2，若∠AOB=17°，∠AOP的度数为．【答案】10.2°或51°．【解析】解：如图1，当射线OP在∠AOB的内部时，设∠AOP=3x，则∠BOP=2x，∵∠AOB=∠AOP+∠BOP=5x=17°，解得：x=3.4°，则∠AOP=10.2°，如图2，当射线OP在∠AOB的外部时，设∠AOP=3x，则∠BOP=2x，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP，又∵∠AOB=17°，∴3x=17°+2x，解得：x=17°，则∠AOP=51°．故∠AOP的度数为10.2°或51°．故答案为：10.2°或51°．讲解用时：5分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无。
人教版七年级上册专题复习讲义第十二讲角的初步认识(一)(Word版无答案)
第十二讲角的初步认识（一）一、知识精讲1.角的定义角的定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
角的定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
2.角的大小比较（1）叠合法；（2）度量法3.余角和补角如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。
4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.二、典例解析【例1】（汉阳区期末）如图，在锐角∠A O B内部，画1条射线，可得3 个锐角画2条射线，可得6个锐角，画3条射线，可得10个锐角，……，按此规律，画9条不同射线，可得锐角个.【练1】如图，在∠A O B内部引出两条射线O C，O D，则图中小于平角的角共有（）个A.3B.4C.5D.6【练2】在∠A O B内部从O点引出n条射线，图中小于平角的角共有多少个？【练3】从O点引出n条射线，图中小于平角的角共有多少个？【例2】（武昌区期末）一个角的余角比它的补角的14大 15°，求这个角的度数.【练4】若∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB比∠BOC大18°，则∠AOB的度数是（）A.54°B.81°C.99°D162°【练5】如图，O是直线A B上一点，OC，OD，OE是三条射线，则图中互补的角共有（）对A.3B.3C.4D.5【例3】（东湖开发区）如图，直线AB、CD相交于点O，OM平分∠BOD，ON 平分∠BOC，∠1∶∠2＝7∶1，求∠BOD和∠AON的度数.【例4】（江岸区期末）如图，在同一平面内，O A⊥O B于O，射线O M平分∠A O B，从点O引射线O C，射线O N平分∠B O C（1）若∠B O C＝30°，请你补全图形，再计算∠M O N的度数（2）若O A与O B不垂直，∠A O B＝α，∠B O C＝β（0＜β＜α＜90°），其它条件不变，请你画出大致图形，并直接写出M O N的度数（3）结合上面的计算，观察并继续思考：在同一平面内，∠A O B＝α，∠ B O C＝β，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，你发现∠MON与∠AOC有怎样的数量关系？请你直接写出来.【例5】（东湖开发区期末）8 时 30 分，钟的时针与分针成（）的角.A.75°B.90°C.105°D.120°【练6】2点30分时，时钟与分钟所成的角为度.【例6】（江汉区期末）如图，直线S N与直线WE相交于点O，射线ON表示正北方向，射线OE表示正东方向．已知射线OB的方向是南偏东m°，射线OC的方向是北偏东n°，且m°的角与n°的角互余.（1）①若m＝60，则射线OC的方向是.②请直接写出图中所有与BOE互余的角及与BOE互补的角；（2）若射线O A是∠B O N的角平分线，求∠A O C的度数（用含有m的式子表示）三、课堂检测1.（黄陂区期末）如图，已知OD平分∠AOB，OE平分∠BOD，若∠AOC=32∠BOC，则COEBOE∠∠的值为（）A.12B.23C.35D.322.（洪山区期末）如图，O为直线AB上一点，∠DOC＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.(1)图中与∠COF互余的角有，与∠COF互补的角有.(2)如若52∠EOD =∠AOE ，∠EOD的度数为.3.（江岸区期末）如图，直线SN与直线WE相交于点O，射线ON表示正北方向，射线OE表示正东方向．已知射线OB的方向是南偏东m°，射线OC的方向是北偏东n°，且m°的角与n°的角互余.（1）①若m＝50，则射线OC的方向是②图中与∠BOE互余的角有与∠BOE互补的角有（2）若射线OA是∠BON的角平分线，则∠BOS与∠AOC是否存在确定的数量关系？如果存在，请写出你的结论以及计算过程；如果不存在，请说明理由.四、课后练习1.（江汉区期末）9时30分钟的时针与分针所成的角度是（） A.75°B.90°C.105°D.120°2.（青山区期末）如图，在观测站O测得渔船A、B的方向分别为北偏东50°、南偏西30°，为了减少相互干扰并取得较好的捕鱼效益，渔船C恰好位于∠A O B的平分线上，则渔船C相对观测站O的方向是（A.南偏东50°B.东偏西50°C.东南方D.不能确定3.如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=（））A.175° B.180°C.210°D.225°4.（青山区期末）如图，O是直线AC上一点，OB 是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠DOE＝60°，∠BOE ＝∠EOC，则下列四个结论正确的个数有（）① ∠BOD＝30°；② 射线OE平分∠AOC；③ 图中与∠BOE互余的角有 2 个；④ 图中互补的角有 6对A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5.（洪山区期末）已知：O为直线AB上一点，一个三角板COD的直角顶点放在点O上，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，当三角形COD绕O点旋转到如图所示时，下列结论不正确的是（）A.∠AOD－∠EOC＝90°B.∠AOC－∠BOD＝90°C.∠AOE－∠BOF＝45°D.∠EOF＝135°6.如图，已知O为直线A B上一点，OC平分∠BOE，OD⊥OC于点O，则与∠DOE互补的角是（）A.∠EOCB．∠AOCC.∠AOED．∠BOD7.如图，∠AOB=100°OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MNO=.8.图中的正五角星有条对称轴，图中与∠A的2 倍互补的角有个.9.如图，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB.（1）若∠A=60°，求∠O；（2）若∠A=100°，∠O是多少？若∠=120°，∠O又是多少？（3）若（1）、（2）你又发现了什么规律，当∠A 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？（提示：三角形的内角和等于180°）10.已知：∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中点及角平分线（讲义）
知识点睛
1.线段上的点把线段分成相等的两条线段，则这个点叫做线段的．
2.如图，若点C 为线段AB 的中点，则中点的六种表示是
．
A C B
3.从一个角的顶点引出一条，把这个角分成两个相等的角，
这条叫做这个角的平分线．
4.如图，若OC 为∠AOB 的平分线，则角平分线的六种表示是
．
A
C
O B 精讲精练
1.已知：如图，线段AB=10 cm，点C 是线段AB 的中点，求
AC 的长．
A C B
2.已知：如图，点C 是线段AB 的中点，AC=4 cm，求AB 的长．
C B
3.已知：如图，线段AB=10 cm，AD=6 cm，点C 是线段AD 的中点，求BC
的长．
A C D B
4.如图，线段AB=4，点O 是线段AB 上一点，点C，D 分别是线段OA，
OB 的中点，求CD 的长．
A C O D B
5.已知：如图，∠AOB=70°，OC 平分∠AOB，求∠AOC 的度数．
A
C
B
O
A N
6.
如图，已知 OC 平分∠AOB ，OD 平分∠AOC ，且∠COD =25°， 求∠AOB 的
度数．
A
D
C
O
B
7.
如图，∠AOB =90°，∠AOC =50°，OM 平分∠BOC ，ON 平分
∠AOC ，求∠MON 的度数．
B
M
C
8.如图，点O 为直线AB 上一点，∠AOC=50°，OD 平分∠AOC，
∠DOE=90°．
（1）求∠BOD 的度数；
（2）通过计算说明OE 是否平分∠BOC．
C E
D
A O B
【参考答案】
知识点睛
1.中点
2.AC=BC，BC=AC
AC 1
AB ，BC
1
AB 2 2
AB=2AC，AB=2BC
3.射线，射线
4.∠AOC=∠BOC，∠BOC=∠AOC，
∠AOC= 1
∠AOB，∠BOC=
1
∠AOB 2 2
∠AOB=2∠AOC，∠AOB=2∠BOC
精讲精练
1. 5 cm
2.8 cm
3.7 cm
4. 2
5. 35°
6. 100°
7. 45°
8. （1）155°；（2）平分，理由略欢迎您的下载，资料仅供参考！。