空间中点线面的位置关系测试题
点、直线、平面之间的位置关系测试题(含答案)
点、直线、平面之间的位置关系测试测试题(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．其中正确的命题是()A．①②B．②④C．①③D．②③答案：B2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是() A．平行B．相交C．平行或相交D．不相交解析：由棱台的定义知，各侧棱的延长线交于一点，所以选B.答案：B3．一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是()A．1个B．3个C．1个或3个D．1个或3个或4个解析：当A、B、C共线且与l平行或相交时，确定一个平面；当A、B、C共线且与l 异面时，可确定3个平面；当A、B、C三点不共线时，可确定4个平面．答案：D4．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是()A．三条交线为异面直线B．三条交线两两平行C．三条交线交于一点D．三条交线两两平行或交于一点答案：D5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是()A．5 B．8C．10 D．6解析：这些直角三角形是：△P AB，△P AD，△P AC，△BAC，△BAD，△CAD，△PBD，△PCD.共8个．答案：B6．下列命题正确的有()①若△ABC在平面α外，它的三条边所在直线分别交α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线．②若三条平行线a、b、c都与直线l相交，则这四条直线共面．③三条直线两两相交，则这三条直线共面．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：易知①与②正确，③不正确．答案：C7．若平面α⊥平面β，α∩β＝l，且点P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题是()A．过点P且垂直于α的直线平行于βB．过点P且垂直于l的直线在α内C．过点P且垂直于β的直线在α内D．过点P且垂直于l的平面垂直于β答案：B8．如右图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM()A．与AC、MN均垂直相交B．与AC垂直，与MN不垂直C．与MN垂直，与AC不垂直D．与AC、MN均不垂直解析：易证AC⊥面BB1D1D，OM⊂面BB1D1D，∴AC⊥OM.计算得OM2＋MN2＝ON2＝5，∴OM⊥MN.答案：A9．(2010·江西高考)如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是()A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③解析：将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，所得平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误，排除A，B，D.答案：C10．已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离相等，则正确的结论是() A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必不垂直于αC．平面ABC必与α相交D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内解析：排除A、B、C，故选D.答案：D11．(2009·广东高考)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④答案：D12．(2009·海南、宁夏高考)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝12，则下列结论错误的是()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A—BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等解析：易证AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥BE. ∵EF在直线B1D1上，易知B1D1∥面ABCD，∴EF∥面ABCD，V A－BEF＝13×12×12×1×22＝224.∴A、B、C选项都正确，由排除法即选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．已知A、B、C、D为空间四个点，且A、B、C、D不共面，则直线AB与CD的位置关系是________．解析：如图所示：由图知，AB与CD为异面直线．答案：异面14．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EH、FG相交于一点M，那么M一定在直线________上．答案：BD15．如下图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD 折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD 与CD 的关系为________． (2)∠BAC ＝________. 解析：(1)AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BD ⊥AD ，CD ⊥AD ，∴∠BDC 为二面角的平面角，∠BDC ＝90°， ∴BD ⊥DC .(2)设等腰直角三角形的直角边长为a ，则斜边长为2a . ∴BD ＝CD ＝22a . ∴折叠后BC ＝⎝⎛⎭⎫22a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝a . ∴折叠后△ABC 为等边三角形．∴∠BAC ＝60°. 答案：(1)BD ⊥CD (2)60°16．在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ，交CC ′于F ，则①四边形BFD ′E 一定是平行四边形． ②四边形BFD ′E 有可能是正方形．③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形． ④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D .以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号) 解析：如图所示：∵BE ＝FD ′，ED ′＝BF ，∴四边形BFD ′E 为平行四边形．∴①正确．②不正确(∠BFD ′不可能为直角)．③正确(其射影是正方形ABCD )．④正确．当E 、F 分别是AA ′、CC ′中点时正确．答案：①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如下图，已知ABCD 是矩形，E 是以CD 为直径的半圆周上一点，且面CDE ⊥面ABCD .求证：CE ⊥平面ADE . 证明：⎭⎪⎬⎪⎫面ABCD ⊥面CED ABCD 为矩形⎭⎪⎬⎪⎫⇒AD ⊥面CDE ⇒AD ⊥CE点E 在直径为CD 的半圆上⇒CE ⊥ED 又AD ∩ED ＝D⇒CE ⊥面ADE .18．(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形． 已知：如图，三棱锥S —ABC ，SC ∥截面EFGH ，AB ∥截面EFGH . 求证：截面EFGH 是平行四边形． 证明：∵SC ∥截面EFGH ，SC ⊄平面EFGH ，SC ⊂平面ASC ，且平面ASC ∩平面EFGH ＝GH ， ∴SC ∥GH .同理可证SC ∥EF ，∴GH ∥EF . 同理可证HE ∥GF .∴四边形EFGH 是平行四边形．19．(12分)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，如图．(1)求证：MN ∥面BB 1C 1C ； (2)求MN 的长．解：(1)证明：作NP ⊥AB 于P ，连接MP .NP ∥BC ，∴APAB＝ANAC＝A1MA1B，∴MP∥AA1∥BB1，∴面MPN∥面BB1C1C.MN⊂面MPN，∴MN∥面BB1C1C.(2)NPBC＝ANAC＝23a2a＝13，NP＝13a，同理MP＝23a.又MP∥BB1，∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN.在Rt△MPN中MN＝49a2＋19a2＝53a.20．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．解：(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ⊄平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB. 因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝12EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DP A中，AD＝5，DP＝1，sin∠DAP＝5 5，因此AD和平面ABE所成角的正弦值为5 5.21．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD 的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.证明：(1)在△ABD中，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，∴直线EF∥面ACD.(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，又∵BD ⊂平面BCD ， ∴平面EFC ⊥平面BCD .22．(12分)(2010·安徽文)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求四面体B —DEF 的体积．解：(1)证明：设AC 与BD 交于G ，则G 为AC 中点，连接EG ，GH ，由于H 为BC 中点，故GH 綊12AB .又∵EF 綊12AB ，∴EF 綊GH ，∴四边形EFHG 为平行四边形，∴EG ∥FH ，而EG ⊂平面EDB ，FH ⊄平面EDB ， ∴FH ∥平面EDB .(2)证明：由于四边形ABCD 为正方形，∴AB ⊥BC ， ∵EF ∥AB ，∴EF ⊥BC ，而EF ⊥FB ， ∴EF ⊥平面BFC ， ∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH .∵BF ＝FC ，H 为BC 中点，∴FH ⊥BC ， ∴FH ⊥平面ABCD ，∴FH ⊥AC ，∵FH ∥EG ，∴AC ⊥EG . ∵AC ⊥BD ，EG ∩BD ＝G ，∴AC ⊥平面EDB . (3)∵EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，∴BF ⊥平面CDEF ， ∴BF 是四面体B —DEF 的高， ∵BC ＝AB ＝2，∴BF ＝FC ＝ 2. ∴V B －DEF ＝13×12×1×2×2＝13.。
立体几何第二章空间点线面的位置关系单元测试题(含详细答案解析)
第二章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为错误!（)A．5B．4C．9D．1［答案] D［解析]由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．2．教室内有一直尺,无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线错误!()A．平行B．垂直C．相交D．异面[答案] B[解析］当直尺垂直于地面时，A不对；当直尺平行于地面时，C不对；当直尺位于地面上时,D不对．3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是错误!(）A．若α、β垂直于同一平面,则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行．．．与β平行的直线．．．,则在α内不存在D．若m、n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能［答案］ D［解析]A项,α、β可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误；C项，若m⊂α,α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误;D项,假设m、n垂直于同一平面，则必有m∥n,所以原命题正确，故D项正确．4．已知α、β是两个平面，直线l⊄α，l⊄β,若以①l⊥α;②l∥β；③α⊥β中两个为条件,另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有导学号 92180600（) A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①［答案] A［解析]因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α,所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β，即①③⇒②;因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n,又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③。
空间中点线面名校测试题大全
空间中点、线、面的位置关系一、 选择题:1、下列有关平面的说法正确的是（ ）A 一个平面长是10cm ，宽是5cmB 一个平面厚为1厘米C 平面是无限延展的D 一个平面一定是平行四边形2、已知点A 和直线a 及平面α，则：①αα∉⇒⊄∈A a a A , ② αα∈⇒⊂∈A a a A ,③αα∉⇒⊂∉A a a A , ④αα⊂⇒⊂∈A a a A ,其中说法正确的个数是（ ）A.0B.1C.2D.33、下列图形不一定是平面图形的是（ ）A 三角形B 四边形C 圆D 梯形4、三个平面将空间可分为互不相通的几部分（ ） A.4、6、7 B.3、4、6、7 C.4、6、7、8 D.4、6、85、共点的三条直线可确定几个平面 （ ）A.1B.2C.3D.1或36、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、1B 1C 1的中点， 则，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（ ）A 三角形B 四边形C 五边形D 六边形7．下面推理过程，错误的是（ ）（A ） αα∉⇒∈A l A l ,//（B ） ααα⊂⇒∈∈∈l B A l A ,,（C ） AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,, A Q B 1 RCB D P A 1C 1D 1 • • •（D ） βαβα=⇒∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,,8．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ）（A ） 1个或3个 （B ） 1个或4个（C ） 3个或4个 （D ） 1个、3个或4个9．以下命题正确的有（ ）（1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面；（2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线；（3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β；（4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。
（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个10．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ）（A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 1211．以下命题中为真命题的个数是（ ）（1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α；（2）若直线a 在平面α外，则a ∥α；（3）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a ∥α；（4）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。
空间点、直线、平面之间的位置关系测试题(含答案)
空间点、直线、平面之间的位置关系测试题一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）1. 已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（ ）A ．α∥βB ．α与β相交C ．α与β重合D ．α∥β或α与β相交2. 两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α⊂，则a 与平面α的关系是( )A.a ∥αB.a 与α相交C.a 与α不相交D.a α⊂3.对于命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有( )A. 1 个B. 2个C. 3个D. 4个4. 经过平面外两点与这个平面平行的平面 （ ）A ．只有一个B ．至少有一个C ．可能没有D ．有无数个5.过三棱柱111ABC A B C -的任意两条棱的中点作直线，其中与平面11ABB A 平行的直线共有（ ）A. 3条B. 4条C. 5条D. 6条6. a ，b 是两条异面直线，下列结论正确的是（ ）A.过不在a ，b 上的任一点P ，可作一个平面与a ，b 平行B.过不在a ，b 上的任一点P ，可作一条直线与a ，b 相交C.过不在a ，b 上的任一点P ，可作一条直线与a ，b 都平行D.过a 可以并且只可以作一平面与b 平行7.n m ,是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖8.如图1，正四面体ABCD 的棱长均为a ，且AD ⊥平面α于A ，点B ，C ，D 均在平面α外， 且在平面α同一侧，则点B 到平面α的距离是（ ）A ．2aB ．3aC ． 22aD 3a图1 图29.如图2，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，,2PA ABC PA AB ⊥=平面，则下列结论正确的是Ａ.PB AD ⊥ Ｂ.平面PAB PBC ⊥平面C. 直线BC ∥平面PAE Ｄ.PD ABC ︒直线与平面所成的角为4510.点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，则PA 与BD 所成角的度 数为 （ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11.已知二面角l αβ--的大小为50，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是025的直线的条数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5α A B CD12.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若侧棱的长小于底面的边长，则h d 的取值范围为(0,1)B ．若侧棱的长小于底面的边长，则h d 的取值范围为223(,) C ．若侧棱的长大于底面的边长，则h d的取值范围为23(,2) D ．若侧棱的长大于底面的边长，则h d 的取值范围为23(,)3+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图3，△ABC 和△DBC 所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,则AD 与平面BCD 所成的角为 .14.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A ，E ，C 的平面的位置关系是 .15.若一个n 面体有m 个面是直角三角形，则称这个n 面体的直度为m n，则在长方体ABCD —1111A B C D 中，四面体1A ABC -的直度为 .16.βα,表示平面，l 表示既不在α内也不在β内的直线，存在以下三个事实：①l ⊥α； ②l ∥β；③α⊥β.若以其中两个为条件，另一个为结论，构成命题，其中正确命题的个数为 个.三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.如图4，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 是棱BC 的中点．求证：(1)D C AD 1⊥；(2)1//A B 平面1ADC ．18. 如图5，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面 垂直，90BAC ∠=，M ，N 分别是11A B ，BC的中点．（1）证明：1AB AC ⊥；（2）判断直线MN 和平面11ACC A 的位置关系，并加以证明．A B B 1 C C 1A 1 M N CB A A BC D19. 如图6，在正方体1111D C B A ABCD -中，E ，F 分别为棱AD ，AB 的中点．(1)求证：平面11C CAA ⊥平面11D CB ；(2)如果1=AB ，一个动点从点F 出发在正方体的表面上依次经过棱1BB ,11C B ,11D C ,D D 1,DA 上的点，最终又回到点F ，指出整个路线长度的最小值并说明理由.20. 如图7，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为2a 的菱形，且 2SA SC a ==2SB SD a ==，点E 是SC 上的点，且(02).SE a λλ=<≤（1）求证：对任意的(0,2]λ∈，都有BD AE ⊥；（2）若SC ⊥平面BED ，求直线SA 与平面BED 所成角的大小.21.某厂根据市场需求开发折叠式小凳，如图8所示. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：① 凳子高度为30cm ，② 三根细钢管相交处的节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm 的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45，确定节点O 分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120的等腰三角形，腰长为24cm ，节点O分细钢管上下两段之比为2:3. 确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm ）22.如图9所示，在边长为12的正方形AA'A 1'A 1中，点B ，C 在线段AA'上，且AB ＝3，BC ＝4，作BB 1//AA 1，分别交A 1A 1'、AA 1'于点B 1，P ，作CC 1//AA 1，分别交A 1A 1'，AA 1'于点C 1，Q ，将该正方形沿BB 1，CC 1折叠，使得A'A 1'与AA 1重合，构成如图10所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1．（1）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，求证：AB⊥平面BCC 1B 1；（2）求平面APQ 将三棱柱ABC －A 1B 1C 1分成上、下两部分几何体的体积之比．A B C O 图9 A B C A' A 1 B 1 C 1 A 1' P Q 图A B CA 1B 1C 1P Q A D A 1 B 1 C 1 D 1E空间点、直线、平面之间的位置关系测试题一、选择题 1~6 DC BC D D 7~12 DAD C BC提示:3.对于①平行于同一直线的两个平面平行，反例为：把一支笔放在打开的课本之间；②是对的,③是错的；④是对的5.取1111,,,AC BC B C AC 中点,,,E F M N ，直线分别为,,,,,EF MN EN EM FM FN 都与平面11ABB A 平行.6.如图所示，在直线a 上任取一点P ，过P 作b ′∥b ，则a ∩b ′=P.那么a与b ′确定一个平面α.因为b ∥b ′，b ′⊂α，b ⊄α，所以b ∥α.所以过a 可以作一个平面α与b 平行.假设还可作一平面β与b 平行，则α∩β=a ，b ∥α，b ∥β，所以a ∥b.这与a 、b 异面相矛盾，即假设不成立.所以只有一个平面α.综上所述，过a 有且只有一个平面与b 平行.故选D.7. ,m n 均为直线，其中,m n 平行α，,m n 可以相交也可以异面，故A 不正确； m ⊥α，n ⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；选D8．取AD 的中点M ，易证AD ⊥平面BCM ，故平面BCM //平面α，平面BCM到平面α的距离为2a ，即为B 到平面α的距离. 9.因AD 与AB 不相互垂直，排除A ；作PB AG ⊥于G ，因平面⊥PAB 平面ABCDEF ，而AG 在平面ABCDEF 上的射影在AB 上，而AB 与BC 不相互垂直，故排除B ；由EF BC //，而EF 是平面PAE 的斜线，故排除C ，故选择D.10.将图形补成一个正方体如图，则PA 与BD 所成角等于BC′与BD所成角即∠DBC′．在等边三角形DBC′中，∠DBC′=60°，即PA 与BD所成角为60°．12.设底面边长为1，侧棱长为(0)λλ>，过1B 作1111,B H BD B G A B ⊥⊥.在11Rt BB D ∆中，21112,2B D B D λ==+，由三角形面积关系得11112122B D BB h B H B D λλ⋅===+ 设在正四棱柱中，由于1,BC AB BC BB ⊥⊥， 所以BC ⊥平面11AA B B ，于是1BC B G ⊥，所以1B G ⊥平面11A BCD ，故1B G 为点1B 到平面11A BCD 的距离，在11Rt A B B ∆中，又由三角形面积关系得1111211A B BB d B G A B λ⋅===+于是2222112122h d λλλ⋅+==⋅-++， 于是当1λ>，所以222123,1132λλ+><-<+，所以23(,2)3h d ∈ 二、填空题 13. 45° 14.BD 1∥平面AEC 15.1 16.2提示：13.作AO ⊥CB 的延长线，连接OD ，则OD 即为AD 在平面BCD 上的射影，因为AO =OD =23a ,所以∠ADO =45°. 14.连接AC ，BD 相交于一点O ，连接OE ，AE ，EC .因为四边形ABCD 为正方形，所以DO ＝BO .而DE ＝D 1E ，所以EO 为△DD 1B 的中位线， 所以EO ∥D 1B ,所以BD 1∥平面AEC . 15.本题主要考查空间的垂直关系，由图形得四面体ABC A -的每个面都是直角三角形，所以144==n m . 16.由①②⇒③、①③⇒②是正确命题，由②③不能得到①. 三、解答题17.证明:（1）因为三棱柱111C B A ABC -是正三棱柱，所以⊥C C 1平面ABC ， 又⊂AD 平面ABC ，所以AD C C ⊥1.又点D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，所以AD BC ⊥.因为1BC C C C =，所以⊥AD 平面11B BCC ，又因为1DC ⊂平面11B BCC ，所以D C AD 1⊥．(2)连接C A 1交1AC 于点E ，再连接DE ．因为四边形11ACC A 为矩形，所以E 为C A 1的中点，又因为D 为BC 的中点，所以1//ED A B . 又1A B ⊄平面1ADC ，ED ⊂平面1ADC ，所以1//A B 平面1ADC ．18.证明：(1)因为1CC ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，所以1CC ⊥AB ．由条件90BAC ∠=，即AC ⊥AB ，且1ACCC C =，所以AB ⊥平面11ACC A ． 又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1AB AC ⊥．（2）MN ∥平面11ACC A ，证明如下：设AC 的中点为D ，连接DN ，1A D ．因为D ，N 分别是AC ，BC 的中点，所以DN //=12AB ． 又1A M =1211A B ，11A B //=AB ，所以1A M //=DN ． 所以四边形1A DNM 是平行四边形．所以1A D ∥MN ．因为1A D ⊂平面11ACC A ，MN ⊄平面11ACC A ，所以MN ∥平面11ACC A ．C19.（1）证明:因为在正方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以 AA 1⊥B 1D 1.又因为在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，所以 B 1D 1⊥平面CAA 1C 1.又因为 B 1D 1⊂平面CB 1D 1，所以平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．(2)最小值为 .如图，将正方体六个面展开成平面图形，从图中F 到F ，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 上的中点，所求的最小值为 . 20解：（1）连结BD ，AC ，设BD 与AC 交于O. 由底面是菱形，得.BD AC ⊥ SB SD =，O 为BD 中点，.BD SO ∴⊥又AC SO O ⋂=，BD ∴⊥面SAC.又AE ⊂面SAC ，.BD AE ∴⊥（2）取SC 的中点F ，连结OF ，OE ，//.SA OF ∴OF ∴与平面EDB 所成的角就是SA 与平面EDB 所成的角.SC ⊥平面BED ，FE ∴⊥面BED ，E 为垂足，EOF ∴∠为所求角.在等腰CSB ∆中，2,SC BC a SB ===，得底边SB 上的高为.CH =SC BE SB CH ∴⋅=⋅，2BE ∴==.所以在1,,2Rt BES SE a ∆==中所以11.22EF a a a ∴=-=在Rt FEO ∆中，1,sin .2EFOF a EOF OF =∴∠==即直线SA 与平面BED 所成角为.6π21.解：（1）设△ABC 的重心为H ，连结OH . 由题意，得BH =设细钢管上下两段之比为λ.已知凳子高度为30. 则301OH λλ=+.因为节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.所以OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成的角，亦即45OBH ∠=. 30,13BH OH λλ==+因为所以，解得0.63λ=≈.即节点O 分细钢管上下两段的比值约为0.63.（2）设120,24B AB BC ∠===所以，AC =FF设△ABC 的重心为H ，则8,BH AH ==由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3，可知12OH =.设过点A B C ,,的细钢管分别为,,AA BB CC '''，则560.82AA CC OA ''====≈，536.12BB OB '===≈， 所以对应于A B C ,,三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ，36.1cm 和60.8cm . 22.（1）证明:在正方形AA'A 1'A 1中，因为A'C ＝AA'－AB －BC ＝5，所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面三角形ABC 的边AC ＝5． 因为AB ＝3，BC ＝4，所以AB 2＋BC 2＝AC 2．所以AB⊥BC．因为四边形AA'A 1'A 1为正方形，BB 1//AA 1，所以AB⊥BB 1．而BC∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AB⊥平面BCC 1B 1．(2)解：因为AB⊥平面BCC 1B 1，所以AB 为四棱锥A －BCQP 的高．因为四边形BCQP 为直角梯形，且BP ＝AB ＝3，CQ ＝AB ＋BC ＝7，所以梯形BCQP 的面积为S BCQP ＝12(BP ＋CQ)×BC＝20．所以四棱锥A －BCQP 的体积V A －BCQP ＝13S BCQP ×AB＝20．由(1)，知BB 1⊥AB，BB 1⊥BC，且AB∩BC＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ．所以BB 1⊥平面ABC ．所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直棱柱．所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ×BB 1＝72．故平面APQ 将三棱柱ABC －A 1B 1C 1分成上、下两部分的体积之比为72－2020＝135．。
空间点线面位置关系-测试题
空间点线面位置关系测试
1．思维辨析
(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.()
(2)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．()
(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.()
(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()
(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面．()
(6)没有公共点的两条直线是异面直线．()
2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c()
A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能3．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，则AB与A1C1所成的角为________，AA1与B1C所成的角为________．
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空间中点线面位置关系判断综合练习
空间中点线面位置关系----反馈练习一．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”1．平行于同一直线的两条直线平行......................................................................（）2．垂直于同一直线的两条直线平行......................................................................（）3．若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等..............（）4．垂直于两条异面直线的直线有且只有一条........................................................（）5．在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º.....................（）6．四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直...................（）7．两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行....................................（）8．平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变..............................（）9．四边相等且四个角也相等的四边形是正方形..................................................（）10．过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行..............................................（）11．过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行...............................................（）12．若直线l⊄α，则l不可能与平面α内无数条直线都相交.................................（）13．若直线l与平面α不平行，则l与α内任何一条直线都不平行.......................（）14．若直线平行平面，则直线平行平面内的任意直线..........................................（）二．选择题1．“a，b是异面直线”是指①a∩b=Φ且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊂平面β且a∩b=Φ③a⊂平面α，b⊄平面α④不存在平面α，能使a⊂α且b⊂α成立。
空间点线面间的位置关系综合练习
直线平面平行的判定及其性质（基础训练）1．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则下列命题中正确的是 （ ）A ．m l ⊥⇒βα//B ．m l //⇒⊥βαC ．αβ⊥⇒m l //D ．βα//⇒⊥m l答案：A2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ）A ．α、β都垂直于平面r.B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β.D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α, l ∥β，m ∥β.答案：D解析：因为l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α, l ∥β，m ∥β所以得α与β平行。
3．下列命题正确的是 （ ）A. 过平面外的一条直线只能作一平面与此平面垂直B. 平面α⊥平面β于l ，α∈A ，l PA ⊥，则β⊥PAC. 一直线与平面α的一条斜线垂直，则必与斜线的射影垂直D. a 、b 、c 是两两互相垂直的异面直线，d 为b 、c 的公垂线，则a ∥d答案：D4．在空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA ， E ∈AB,F ∈CD 且AE ：EB=CF ：FD= λ（0＜ λ ＜1 ＝ 设EF 与AC 、BD 所成的角分别是 α 、 β ，则 α+β= （ ）A.大于90°B.小于90°C.等于90°D.与 λ 的值有关 答案：C5．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不正确的是 （ ）A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αB ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β答案：D6．已知平面⋂α平面l =β,直线,α⊂m 且P l m =⋂则（ ） A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直C ．β内不一定存在直线与m 平行，且不存在直线与m 垂直D ．β内必存在直线与m 平行，但不存在直线与m 垂直答案：B7．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得a BD =，则三棱锥D —ABC 的体积为 （ ）A. 63aB. 123aC. 3123aD. 3122a 答案：D解析：取BD 的中点为O ，BD ⊥平面OAC，21122AOC S a ∆=⋅=，则2D A B C B A O C V V --==312a 。
空间点、直线、平面之间的位置关系测试题(含答案)
空间点、直线、平面之间的位置关系测试题(含答案)空间点、直线、平面之间的位置关系测试题1.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么正确的选项是（）A。
α∥βB。
α与β相交C。
α与β重合D。
α∥β或α与β相交2.两条直线a，b满足a∥b，b⊥平面α，则a与平面α的关系是()A。
a∥αB。
a与α相交C。
a与α不相交D。
a⊥α3.对于命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行。
其中正确的个数有(。
)A。
1个B。
2个C。
3个D。
4个4.经过平面外两点与这个平面平行的平面（）A。
只有一个B。
至少有一个C。
可能没有D。
有无数个5.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有（）A。
3条B。
4条C。
5条D。
6条6.a，b是两条异面直线，下列结论正确的是（）A。
过不在a，b上的任一点P，可作一个平面与a，b平行B。
过不在a，b上的任一点P，可作一条直线与a，b相交C。
过不在a，b上的任一点P，可作一条直线与a，b都平行D。
过a可以并且只可以作一平面与b平行7.m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A。
若m‖α，n‖α，则m‖nB。
若α⊥γ，β⊥γ，则α‖βC。
若m‖α，m‖β，则α‖βD。
XXX⊥α，n⊥α，则m‖n8.如图1，正四面体ABCD的棱长均为a，且AD⊥平面α于A，点B，C，D均在平面α外，且在平面α同一侧，则点B到平面α的距离是（）A。
a/2B。
a/3C。
a/23D。
2a/39.如图2，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是A。
PB⊥ADB。
平面PAB⊥平面PBCC。
直线BC∥平面PAED。
直线PD与平面ABC所成的角为45°10.点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）A。
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空间中点、线、面的位置关系
一、 选择题:
1．下面推理过程，错误的是（ ）
（A ） αα∉⇒∈A l A l ,//
（B ） ααα⊂⇒∈∈∈l B A l A ,,
（C ） AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,,
（D ） βαβα=⇒∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,,
2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ）
（A ） 1个或3个 （B ） 1个或4个
（C ） 3个或4个 （D ） 1个、3个或4个
3．以下命题正确的有（ ）
（1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面；
（2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线；
（3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β；
（4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。
（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个
4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ）
（A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12
5．以下命题中为真命题的个数是（ ）
（1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α；
（2）若直线a 在平面α外，则a ∥α；
（3）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a ∥α；
（4）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。
（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个
6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（ ）
（A ） 1条 （B ） 2条 （C ） 3条 （D ）1条或3条
7． 下列命题正确的是（ ）
Ａ．经过三点确定一个平面 Ｂ．经过一条直线和一个点确定一个平面 Ｃ．四边形确定一个平面 Ｄ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
8． 下列命题中正确的个数是（ ）
①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l α∥．
②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行． ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．
④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点．
9． 若直线a 不平行于平面α，且a α⊄，则下列结论成立的是（ ）
Ａ．α内的所有直线与a 异面 Ｂ．α内不存在与a 平行的直线 Ｃ．α内存在唯一的直线与a 平行 Ｄ．α内的直线与a 都相交
10． 三条直线相交于一点，可能确定的平面有（ ）
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．1个或3个
11．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ）
Ａ．异面直线 Ｂ．相交直线 Ｃ．不相交直线
Ｄ．不平行直线
12．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（ ）
Ａ．1条 Ｂ．2条
Ｃ．3条 Ｄ．1条或2条
13．在长方体1111ABCD A B C D -，底面是边长为2的正方形，高为4，
则点1A 到截面11AB D 的距离为( ) A ．
83 B ． 38
C ．43
D ． 34 14．直三棱柱111ABC A B C -中，各侧棱和底面的边长均为a ，点D 是1CC 上任意一点， 连接11,,,A B BD A D AD ，则三棱锥1A A BD -的体积为（ ）
A ．
361a B ．3123a C ．363a D ．3121a
二、 填空题：
1．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则O,C,D 三点的位置关系是 。
2．在空间中，
① 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。
② 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。
以上两个命题中为真命题的是 （把符合要求的命题序号填上）
3．已知，a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是
① 两条平行直线
② 两条互相垂直的直线
③ 同一条直线
④ 一条直线及其外一点
在上面结论中，正确结论的编号为 （写出所有正确结论的编号）。
4． 已知a ，b ，c 是三条直线，角a b ∥，且a 与c 的夹角为θ，那么b 与c 夹角为 ．
5． 已知两条相交直线a ，b ，a α平面∥则b 与α的位置关系是 ．
6．在空间四边形ABCD 中，N ，M 分别是BC ，AD 的中点，则2MN 与AB CD +的大小关系是 ．
三、 解答题：
1．已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。
2．如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别
是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．
求证：四边形EFGH 是平行四边形． ( 知识点：空间平行线的传递性 ;)
3． 如图，已知长方体ABCD A B C D ''''-中，23AB =，23AD =，2AA '=． （１）BC 和A C ''所成的角是多少度？
AA BC
A
D B C
D '
C ' B ' A ' A E B H G C F
D
4. 已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11D C ，11C B 的中点，AC BD P =，11A C EF Q =．求证：
（１）D ，B ，F ，E 四点共面； （２）若1A C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线．
5.、在长方体1111ABCD A B C D -中，点O ，1O 分别是四边形ABCD ，1111A B C D 的对角线的交点，点E ，F 分别是四边形11AA D D ，11BB C C 的对角线的交点，点G ，H 分别是四边形11A ABB ，11C CDD 的对角线的交点． 求证：1OEG O FH △≌△．。