牛顿与微积分的发展
牛顿在微积分发展中的作用
牛顿在微积分发展中的作用（王伟迪13124157 理科基础班）摘要：微积分的创立，被誉为是“人类精神的最高胜利”，是由常量数学向变量数学转变的一件具有划时代意义的大事。
16世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在许多数学家所做的大量准备工作的基础上，各自创立微积分。
本文主要论述了微积分的产生，微积分的发展，以及牛顿对微积分所做出的贡献。
关键词：牛顿微积分产生发展贡献一：微积分的产生微积分是微分学和积分学的总称。
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等，积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
如今，微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。
公元17世纪，在欧洲资本主义开始萌芽、科学和生产技术开始发展的情况下，航海、天文、力学、军事、生产等科学技术给数学提出了一系列迫切需要解决的问题。
从数学角度归纳起来主要集中在以下4个方面：第一类：变速运动求即时速度的问题。
第二类：求曲线的切线的问题。
第三类：求函数的最大值和最小值问题。
第四类：求曲线长、曲边梯形面积、不规则物体的体积、物体的重心、压强等问题。
许多著名的科学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，英国伟大的科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。
这引起了广泛的社会关注。
微积分的发展简史为：（1）微积分的概念（2）微积分的萌芽（3）微积分的发展（4）微积分的建立（5）微积分创立的历史意义。
二：牛顿对微积分的贡献牛顿（1642~1727），英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。
牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分。
在17世纪60年代的短短几年里牛顿成功地将他17世纪的前辈们发展出的关于切线和面积的所有材料统一并推广成为我们今天的微积分教科书中展示的神奇的解决问题的工具。
牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。
牛顿对近代数学的影响
牛顿对近代数学的影响近代数学在17世纪到18世纪得到了巨大的发展，其中牛顿的贡献是不可忽视的。
牛顿是一位杰出的数学家、物理学家和天文学家，他的研究成果对于数学的发展和应用起到了重要的推动作用。
本文将从牛顿对微积分和力学的贡献两个方面来探讨牛顿对近代数学的影响。
一、牛顿对微积分的贡献在微积分领域，牛顿是公认的奠基人之一。
他通过对物体运动和万有引力的研究，提出了微积分的基本概念和方法，为后来的数学家们提供了重要的研究工具。
1.1 牛顿的差分法牛顿发现，当变量的变化量趋于零时，可以通过差分法来近似地计算变量的增量。
他将变量的增量表示为Δx，通过取Δx趋近于零的极限，得到了微分的概念。
这一概念为微积分的发展奠定了基础。
1.2 牛顿的积分法牛顿的积分法是微积分的另一个重要组成部分。
他发现，通过对函数进行积分，可以得到函数的原函数。
这个发现被称为牛顿-莱布尼茨公式，它为微积分提供了一种非常重要的计算工具，使得数学家们能够更加方便地处理函数和曲线的性质。
1.3 牛顿的级数展开法牛顿还提出了级数展开的方法，通过将函数表示为一系列无穷级数的形式，可以用级数来逼近函数的值。
这种方法在计算和分析中被广泛应用，为微积分的研究提供了重要的数学工具。
二、牛顿对力学的贡献除了对微积分的贡献外，牛顿还对力学领域做出了重要的贡献。
他的力学理论被称为经典力学，对后来的科学家们产生了深远的影响。
2.1 牛顿的三大定律牛顿提出了三大力学定律，即牛顿运动定律。
这些定律描述了物体受力后的运动状态，成为力学研究的基础。
第一定律指出，物体在没有外力作用下将保持匀速直线运动或静止状态；第二定律指出，物体受到的力与其加速度成正比；第三定律指出，任何两个物体之间存在着相互作用力，且大小相等、方向相反。
2.2 牛顿的万有引力定律牛顿的万有引力定律是力学领域的又一重要贡献。
他通过研究行星运动和物体落体的现象，发现了万有引力的存在。
根据他的定律，任何两个物体之间都存在着引力，而这个引力与它们的质量和距离有关。
微积分的发展
微积分的发展微积分的产生是数学上的伟大创造。
它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。
如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。
比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。
”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。
为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。
他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。
1605 年 5 月20 日，在牛顿手写的一面文件中开始有“流数术”的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志。
微积分产生的背景
微积分的创立者是牛顿和莱布尼兹严格微积分的奠基者是柯西和威尔斯特拉斯关于微积分的故事，曾经一度迷惑着我，今天有幸弄清其中原委，以消心中疑云。
微积分的萌芽可以追溯到古代的希腊、中国和印度，酝酿于17世纪的欧洲。
1.牛顿和莱布尼兹创立了微积分1.1 牛顿的“流数术”牛顿(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭。
1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。
笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。
牛顿于1664年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展。
1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。
在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。
这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。
正是在这种意义下，牛顿创立了微积分。
牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度。
1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。
而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表。
1.2 莱布尼茨的微积分工作莱布尼茨(W.Leibniz,1646-1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育。
1672年至1676年，莱布尼茨作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作。
这四年成为莱布尼茨科学生涯的最宝贵时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础。
牛顿与微积分的故事
牛顿与微积分的故事1664-1665年冬天，也就是牛顿研究幂级数期间，一场可怕的瘟疫席卷了整个欧洲，黑死病（鼠疫）如同海浪一般从地中海一直蔓延到荷兰。
1665年夏天，剑桥大学出于防护的目的暂时关闭了校园，牛顿因此回到了他在林肯郡的家。
接下来的两年里，是牛顿发明的全盛期，除了微积分，他还发现了引力平方反比律并将其应用于月球，他发明了反射望远镜，通过实验证明白光是由彩虹的七种颜色组成。
那时的牛顿，还不到25岁。
1667年，在瘟疫渐渐平息后，牛顿回到剑桥大学继续他一个人的研究。
到1671年，他已经把微积分的各个部分统一成一个无缝整体。
他建立了幂级数法，利用关于运动的思想极大地改进了既有的切线理论，发现并证明了解决面积问题的基本定理，编制了曲线及其面积函数的表格，并将所有这些成果融合为一部精细调谐的系统性计算器。
在剑桥三一学院之外，牛顿名不见经传。
而这正是他希望的，他深居简出，猜疑心重，对批评意见极为敏感，讨厌和他人争论，尤其不喜欢被那些对数学一无所知的人激怒。
一代天才之所以如此谨小慎微，其缘由是他利用的是代数方法，而不是几何工具，从而可能会在逻辑方面遭到攻击。
在那个“无穷”概念尚且还是微积分原罪的时代，沃利斯的《无穷算术》曾被政治哲学家兼二流数学家托马斯·霍布斯严厉抨击，因为对代数的依赖，被诋毁为“符号的疥疮”，因为对无穷的使用，被斥责为“无耻的著作”。
学生时代的牛顿深受沃利斯著作的影响，由此，迫于外在压力因素，牛顿贬称自己的无穷法“不值得公开发表”，多年后又说“尽管似是而非的代数”非常适用于取得的新发现，但完全不适合编撰成书流传后世。
出于这些及其他原因，牛顿隐藏了他的研究成果，但他仍渴望因此获得认可。
1668年，尼古拉斯·墨卡托出版了一本关于对数的小书，这让牛顿感到既痛苦又烦恼，因为这本书中讲到的自然对数的无穷级数，他早在3年前就发现了。
被人抢先一步的震惊和失望，促使牛顿在1669年写了一本关于幂级数的小册子——《运用无穷多项方程的分析学》，只在少数几位值得信赖的追随者中间私下传阅，直到1711年出版。
微积分发展简史
费马在推导求面积的公式时，发现当 n 为 无穷大时，包含的 1/n 和 1/n2 项可以忽略不计。 卡瓦列里将上面讨论的面积看成无限多个他称 之为不可分量（牛顿称之为终结不可分量）的 总和。这个终结不可分量到底是什么？当时没 有人能将它说清楚。牛顿后来甚至重申他已经 放弃了终结不可分量，而卡瓦列里只是说，把 一块面积分割为越来越小的小矩形时，最终就 会得到终结不可分量，面积就是由这些终结不 可分量组成的。
终结不可分量后来发展为无穷小量。
这里的问题是，当把非均匀变化的问题 看成均匀变化时，能表示为两个量的积的形 式，则此时处理非均匀变化问题，可以采 用 ……？？？
用什么方法？我们以后再慢慢讲。 它是积分学的问题。
牛顿与莱布尼茨
实际上在牛顿与莱布尼茨作出他们的冲刺之 前，微积分的大量知识已经积累起来了。甚至在巴 罗的一本书里就能看到求切线的方法、两个函数的 积和商的微分定理、x 的幂的微分、求曲线的长度、 定积分中的变量代换、隐函数的微分定理等等。
费马研究的一个问题
假设一个小球正向地面落去，我们想知道下落后 第 4 秒时小球的速度（瞬时速度）。
如果我们考虑用小球下落中时间间隔来代替时 刻，用它在这一段时间间隔内下降的距离除以所用时 间，就得到这一间隔中小球的平均速度。我们可以计 算从第四秒起，间隔为 1/2 秒，1/4 秒，1/8 秒，…… 内的平均速度。显然，时间间隔越短，计算出来的平 均速度就越接近第四秒时的速度。这就是说，我们有 了一个方案：首先计算不同时间间隔内的平均速度， 然后研究当时间间隔越来越小时，它们会趋近于哪一 个数。这个数就是要求的小球在第四秒时第瞬时速 度。
费马推导的问题所在
费马一直没能证明他所做的这些，也 没有把这项工作非常深入地进行下去，但 他坚信最终可以得到一个合理的几何证明。 尽管如此，事实上我们必须承认他是微积 分学的创始人之一。
牛顿在数学方面的主要成就
牛顿在数学方面的主要成就
1. 发展了微积分：牛顿首次系统地研究了这一数学分支，并创立了微积分的基本原理。
他提出了微积分的核心概念，如极限、导数和积分，以及它们之间的关系，为后来的
数学家奠定了坚实的基础。
2. 总结了二项式定理：牛顿以自己的方式提出并证明了二项式定理，将其应用到了
代数学的各个领域。
这一定理在代数学中起到了重要的作用，为后来代数学的发展提供了
重要的基础。
3. 揭示了物体的运动规律：牛顿通过对物体运动的观察和实验研究，发现了物体运
动背后的规律。
他建立了质点运动规律、力学定律以及引力定律等经典力学的基本原理，
为后来的科学发展提供了重要的理论基础。
4. 提出了差分和积分的方法：为了解决计算机曲线和函数的问题，牛顿提出了差分
和积分的方法。
这些方法不仅为数学分析提供了解决问题的工具，也对后来的科学研究产
生了重大影响。
5. 开创了数学物理学：牛顿将力学和数学结合起来，开创了数学物理学的研究领域。
他利用数学方法解决物理问题，并成功预测了天体运动和行星轨道等自然现象，极大地推
动了数学和物理学的发展。
这些成就使得牛顿成为了数学史上的重要人物，他的工作不仅在当时引起了巨大的影响，也对后来数学和科学的发展产生了深远的影响。
牛顿微积分
牛顿微积分微积分不是牛顿发明的，他只是对微积分进行了发展。
从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是积分的思想早在古代就已经产生了。
公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想。
公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前~前）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线所得的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。
中国古代数学家也产生过积分学的萌芽思想，例如三国时期的刘徽，他对积分学的思想主要有两点：割圆术及求体积问题的设想。
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
牛顿微积分的特点牛顿微积分，确切的说，应该叫做牛顿-莱布尼兹微积分，它的最大特点，就是广泛运用哲学中的从有限到无限的思想，大量使用流数，就是变化率。
用微分和反微分（也就是积分）来解决运动，变化的问题。
另外其符号是莱布尼兹首创。
后来引用为一体。
总体来说。
微积分是17世纪由英国的牛顿(Newton)和德国的莱布尼茨(Leibniz)在前人成果的基础上创立起来的.在以后的两个世纪里，它以惊人的速度飞快地发展，在许多领域中得到了广泛的应用，取得了空前辉煌的成就.作为显示数学理论无比威力的例证之一是海王星的发现.年德国的威廉·赫歇尔通过观察，发现了天王星.年天文学家发现天王星的运行轨道的观测位置与理论计算位置不符，因而推测在天王星之外可能还有一颗未知的行星在影响它的运动.英国天文学家与几何学家亚当斯(和法国天文学家勒维利(LeVerrier)于，年先后按三体运动的推测，用严格的数学方法算出了这颗未知行星的运行轨道.年9月23日晚上在柏林天文台工作的加勒(Galle)，将望远镜指向秋夜的星空，对准了勒维利预报的方位，果然找到了这颗新的行星，这就是海王星.微积分之所以有如此神奇的力量，是因为通过这种方法，能找到“无限短”时间内物理运动规律的所谓“微分形式”，然后进行“积分”，从而合乎逻辑地得到适合于表示物体运动规律的函数关系.正如爱因斯坦所说：“微分定律的明晰概念是牛顿最伟大的理智成就之一”.从更一般的角度看：用微积分方法研究实际问题的过程大致是这样的，在自变量的无限小变化过程中，考察函数的对应变化，并通过确定变化趋势的数学过程，即所谓“极限过程”，找出函数所满足的“微分规律”，然后“积分”，从而找出函数关系.这里的关键就在于，如何在数学上理解并阐述清楚什么是“无限小变化”？什么是“极限过程”？牛顿及莱布尼茨等微积分的创立者，当时是用现实直观与数学理性相结合的方法，大胆而机智地解决了大量实际问题.他们的思想今天仍然在许多学科中被广泛使用.当然，这种方法有其不足之处，主要是作为一般的数学概念和方法，缺乏精确的数学描述，因而造成了一些混乱.在当时，牛顿也为其困惑，他想了许多方法来解决，终因受当时数学发展水平所限而没能完成.对于这种状况，18世纪的许多大数学家，如高斯(Gauss)，达朗贝尔(d’Alembert)等都意识到了这一问题的所在：微积分原理的严格理性基础，不能依赖于物理或几何的直观，而只能依靠自身合理的数学概念和方法.当时挪威数学家阿贝尔(明确地指出：“人们在今天的分析中无可争辩地发现了多得惊人的含混之处”，“最糟糕的是它还没有得到严格处理，高等分析中只有少数命题得到完全严格的证明.人们到处发现从特殊到一般的令人遗憾的推理方法”.正是在这种形势下，法国数学家柯西(Cauchy)在他年至年相继编写的几本教材：《分析教程第一编·代数分析》()、《微积分概要》()、《微积分在几何中的应用教程》()和《微分学教程》()中，首次成功地为微积分奠定了比较严格的基础，其中最核心的是给“极限”以比较精确的数学定义，使微积分从此走出了混乱的阶段.今天我们来回顾微积分发展的这两个阶段，对于牛顿的直观微积分与柯西的理性微积分，应该给两者一个全面的评述.首先，这两个阶段是微积分发展历史中的两个必然阶段，前者是后者的基础，后者是前者的发展.更为重要的是，这两个阶段的微积分从方法上讲各有其特点，两者不是互相否定的，而是互为补充的.从应用上讲，牛顿的方法易于理解，贴近实际，激发创意，生动而充满活力，所以为许多非数学的学者所喜爱与沿用.但存在的问题是缺乏严格的数学理论基础，导致一些重要概念上的混乱.柯西的理性微积分，基本上排除了混乱的概念，给微积分以完整的理论体系，为分析学科的发展奠定了坚实的理论基础.但另一方面，它也有用严格而形式的语言，掩盖牛顿方法的许多鲜活和源于实际的思想等问题，使学习者难以较快地理解极限的实质.这套严格的形式处理，对于初学者，有一种难以接受的感觉.。
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牛顿与微积分的发展牛顿（1642~1727），英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。
牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分。
传记作家理查德·威斯法说，伊萨克·牛顿是“塑造了人类才智诸领域的寥寥无几的超级天才之一，一个无法归结为我们用以理解同类的标准的人”，因为微积分仅仅是他对我们理解周围世界作出重大贡献的许多领域中的一个。
在17世纪60年代的短短几年里牛顿成功地将他17世纪的前辈们发展出的关于切线和面积的所有材料统一并推广成为我们今天的微积分教科书中展示的神奇的解决问题的工具。
牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。
牛顿在通过自学掌握了17世纪的全部成就后，从1664年后期到1666年后期花费了两年时间理出了他关于微积分的基本思想。
就数学思想的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。
他对微积分的研究大致可分三个阶段: 第一阶段是静态的无穷小量方法，象费尔马那样把变量看作是无穷小元素的集合; 第二阶段是变量流动生成法，认为变量是由点、线或面的连续运动产生的，因此他把变量称为“流”，变量的变化率称为“流数”; 第三阶段是牛顿称之为最初比和最后比的方法，这种方法又是牛顿对第一阶段无穷小量方法的彻底否定．第一阶段：1667年牛顿完成了他的第一篇微积分论文: 《运用无穷多次方程的分析学》，正式发表于1711年．这篇论文是牛顿第一阶段工作的具体体现．在这篇文章中他总结了前人各种求积方法．给出了求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，而且证明了: 求积运算是求变化率的逆过程．这就揭示了微积分的基本性质，即得到现在成为微积分学基本定理的牛顿——莱布尼茨公式．这篇文章是牛顿创立微积分的标志．但其中还有不少含混的地方．第二阶段：牛顿第二阶段的工作，主要体现在1671年的《流数法和无穷级数》中，在这篇论文中牛顿主要解决了两个问题:(1) 已知变量的关系y = f(x)，求它们流数比(牛顿用表示y的流数);(2) 已知一个含流数的方程，求变量之间的关系，这是问题(1)的逆问题，相当于求积分或解微分方程．当时牛顿把微积分叫做流数法，并明确指出流数法的普遍意义: 流数法“不仅可以用来做出任何曲线的切线，而且还可以用来处理其他关于曲度(即曲率)、面积、曲线的长度、重心等深奥的问题”．这个认识远远超过了费尔马等所有的前期微积分学者．牛顿的《流数法》写于1671年，直到1736年才发表。
在这部著作中，牛顿把一条曲线看作是由一个点的连续运动生成的。
依照这个概念，生成点的横坐标和纵坐标，一般是变动的量。
变动的量被称为流，流的变化度称为它的流数。
文中提出了微积分的基本问题：ⅰ设有两个或更多个物体A ，B ，C ，……在同一时刻内描画线段,,,z y x ……。
已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度,,,r q p ……的关系。
ⅱ已知表示线段x 和运动速度p 、q 之比q p的关系方程式，求另一线段y 。
对于这两个问题，牛顿都给出了解答，而对于问题ⅱ的解法实际上是问题ⅰ的解的逆运算。
特别重要的是，《流数简论》中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理”。
当然，《流数简论》中对微积分基本定理的论述还不能算了现代意义下的严格证明。
牛顿在后来的著作中对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明。
在牛顿以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积。
虽然面积计算与求切线问题的互逆关系以往也曾被少数人在特殊场合模糊地指出，但牛顿却能以足够的敏锐与能力将这种互逆关系明确地作为一般规律提示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础。
在《流数简论》的其余部分，牛顿将他建立的统一算法应用于求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等16类问题，展示了他的算法的极大的普遍性与系统性。
《流数简论》标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的。
从1667年到1693年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，先后写成了三篇微积分论文，分别是：《运用无限多项方程的分析》，简称《分析学》，完成于1669年；《流数法与无穷级数》，简称《流数法》，完成于1671年；《曲线求积术》，简称《求积术》，完成于1691年。
这三篇论文反映了牛顿微积分学说的发展过程，并且可以看到牛顿对于微积分先后给出了不同的解释。
第一篇论文《分析学》是牛顿为了维护自己在无穷级数方面的优先权而作。
《分析学》利用无穷级数来计算流数、积分以及解方程等，因此《分析学》体现了牛顿的微积分与无穷级数紧密结合的特点。
关于微积分，《分析学》一开始就叙述了计算曲线)(x f y =下面积的法则。
设有n m ax y =表示的曲线，牛顿论证所求面积为n n m x nm na z )(++=。
牛顿在论证中取x 而不是时间t 的无限小增量“瞬”为ο，以ο+x 代x ，y z ο+代z ，则n n m x nm na y z )()(+++=+οο。
用二项式定理展示后以ο除两边，略去ο的项，即得n m axy =。
反过来就知曲线n m ax y =下的面积是n n m x n m na z ++=。
牛顿接着给出了另一条法则：若y 值是若干项之和，那么所求面积就是由其中每一项得到的面积之和，这相当于逐项积分定理。
由上述可知，牛顿《分析学》以无限小增量“瞬”为基本概念，但却回避了《流数简论》中的运动学背景而将“瞬”看成是静止的无限小量，有时直截了当令其为零。
第二篇论文《流数法》可以看作是1666年《流数简论》的直接发展。
《流数法》开始于他在给莱布尼茨第二封信中仅用密码作过暗示的问题，也是他认为是微积分两个基本方面的问题：“1.连续地给出距离的长度（就是说，在任何时间的），求任何指定时间的运动的速度。
2.连续地给出运动的速度，求在任何指定时间走过的距离。
”对牛顿说来，微积分的基本思想是同运动有关的。
一个方程中的所有变量都被看作是——至少是隐含地——依赖于时间的距离。
当然，这一思想不是牛顿首创造的，但他使得运动的思想成为主导思想：“我把量看成好像是当运动的物体绘出轨迹时由连续增加的距离产生的。
”牛顿实际上把时间的稳定增加本身看作是一条公理，因为他没有定义时间。
他作过定义的是流数的概念：依赖于时间的量x （称为流变）的流数•x 是x 在生成运动中增加的速度。
在这一早期著作中，牛顿没有试图给对速度作进一步的定义，牛顿相信连续变化着的运动的概念是完全直觉的。
《流数法》的第二个问题是给定速度求距离，牛顿在他的研究中很早就意识到该问题等价于根据曲线的方程求曲线下的面积。
为了用有限方程求曲线面积（即求曲线下的面积），人们需要一张积分表。
他的表中的第一项是那个简单的曲线1-=n ax y 下的面积是n x na ，但其余就复杂得多。
在这个牛顿的表的一小段摘录中，右边的函数z 表示左边的函数y 下的面积：.)3132(2,,))(51152(2,,)(32,,)/(,)(122/3122/3121n n nn n n n n n n n nnn n cx b x c b nc a z cx b ax y cx b x c b nc a z cx b ax y cx b nc a z cx b ax y cx b x nb a z cx b ax y ++-=+=++-=+=+=+=+=+=---- 同现代的积分表相比，人们注意到牛顿的表没有列出超越函数，没有正弦、余弦甚至没有对数。
尽管牛顿知道这些函数的幂级数，他从未将它们与代数函数同等看待。
他没有通过将正弦、余弦和对数同多项式和其它的代数表达式结合起来的方式处理过它们。
但是，牛顿确实将他的表扩展到了那些其积分在今天要用超越函数来表示的函数，他将这些积分表示为由某些圆锥曲线围成的面积，这些面积可以用幂级数的技巧来计算。
但是他的表对一些曲线是无法给出答案的，即那些用几何方法定义的曲线，例如旋轮线。
牛顿的《流数法》中还有许多其它内容，包括相当于现代的代换法则的技巧、分部积分法以及求弧长的方法。
因此，这一从未发表过的著作实际上包含了任何现代微积分教程最初几章里所有重要的思想，但缺少的一个思想是极限的思想。
第三阶段：牛顿微积分工作的第三阶段，主要体现在他的《曲线求积数》中，这篇论文是牛顿最成熟的微积分著述。
这篇文章写于1676年(却在1704年才发表)．之前提到的无限小量的“o” 既不是有限的，也不正巧是零。
它正如十八世纪时被人们所批评的那样，似乎是一个“逝去的量的鬼魂”，一会儿出现了，一会儿又消失。
这都给理解牛顿的方法带来很大的困难。
他自己也指出：“在数学中，最微小的误差也不能忽略。
……在这里，我认为数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的”。
在此基础上定义了流数概念之后，牛顿写道：“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比。
确切地说，它们构成增量的最初比”。
牛顿接着借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比。
当时导数的概念已被明确提出，而且把研究对象由两个变量构成的方程，转向关于一个变量的函数;引入了最初比(即函数的改变量对于自变量改变量之比)和最后比(即改变量消失之后的比)的概念．为了求“最后比”而让改变量消失(其实是取极限之意思，但牛顿当时还不明确)，由此得到一系列的求导公式和求导法则，奠定了微分学的基础．参考文献：【1】数学史通论，李文林，邹建成，胥鸣伟译,高等教育出版社,2004.【2】Carl Boyer, The History of the Calculus and its Conceptual Development (New York: Dover, 1959), Chapter V.【3】简明数学史，张荣芹，哈尔滨出版社,2000.。