垂直平分线与角平分线典型题练习题新选
线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案
线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案一、选择题（本大题共7小题，共21.0分）1.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪()A. 三条角平分线的交点处B. 三条中线的交点处C. 三条高的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处2.下列说法错误的是()A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴B. 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴C. 等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴D. 等腰三角形一个内角的平分线所在的直线是它的对称轴3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE垂直平分BC，AD=3，则AC的长为()A. 9B. 5C. 4D. 3√34.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE的度数为()A. 68°B. 62°C. 66°D. 56°5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥AC于点E，若BC=2m+6，DE=m+3，则△BCD的面积为()A. 2m2−18B. 2m2+12m+18C. m2+9D. m2+6m+96.如图，P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论：①PM=PN；②AM=AN；③△APM≌△APN；④∠PAN+∠APM=90°．其中正确结论的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 6二、解答题（本大题共10小题，共80.0分）8.直线OA，OB表示两条相互交叉的公路，点M，N表示两个蔬菜种植基地．现要建一个蔬菜批发市场P，要求它到两条公路的距离相等，且到两个蔬菜基地的距离也相等，请用尺规作图说明市场的位置．9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.已知AB=10cm，求△DEB的周长．10.如图，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF，试判断BD和CD的数量关系，并说明理由．11.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．奶站应建在什么地方才能使A，B到它的距离相等？12.A，B，C这3个村庄的位置如图所示，每两个村庄之间有公路相连，村民希望共同投资建一个货运中转站，使中转站的位置到3个村庄的距离相等．请你利用尺规作图确定中转站的位置．13.如图，四边形ABCD为矩形台球桌面，现有一白球M和黑球N，应怎样去打白球M，才能使白球M撞击桌边AB后反弹击中黑球N？请你画出白球M经过的路线．14.如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE.试说明MD=ME．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3.∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠B度数．(2)求DE的长．16.如图，已知∠ABC，射线BC上一点D.求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等(保留作图痕迹，但不要求写作法)．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E．(2)在(1)作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE=______．答案和解析1.【答案】A【解析】[分析]本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知是三角形三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．[详解]解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应建在三角形草坪的三条角平分线的交点处．故选A．2.【答案】D【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质，属于基础题，解题的关键是了解对称轴是一条直线，难度不大．根据等腰三角形性质分别判断后即可确定正确的选项．[详解]解：A.等腰三角形底边上的高所在的直线是对称轴，正确；B.等腰三角形底边上的中线所在的直线是对称轴，正确；C.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，正确；D.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，如果这个内角是底角，不一定是它的对称轴，错误．故选D．3.【答案】A【解析】[分析]根据角平分线性质得出AD=DE，证明Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，得BE=AB，由DE 是BC的垂直平分线，得BC=2AB，所以∠C=30°，可得CD的长，从而得AC的长．本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．[详解]解：∵BD是角平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD=3，在Rt△ADB和Rt△EDB中，∵{AD=DEBD=BD，∴Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，∴BE=AB，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴BC=2AB，∴∠C=30°，∴CD=2DE=6，∴AC=CD+AD=6+3=9，故选：A．4.【答案】A【解析】[分析]根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DAB=∠B，同理可得，∠EAC=∠C，结合图形计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．[详解]解：∠B+∠C=180°−∠BAC=56°，∵AB的垂直平分线交BC于D，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B，∵AC的垂直平分线交BC于E，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，∴∠DAE=∠BAC−(∠DAB+∠EAC)=124°−56°=68°．故选A．5.【答案】D【解析】[分析]过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形面积公式列式，然后根据多项式乘多项式法则进行计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出BC边上的高线是解题的关键．[详解]解：如图，过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，∴DE=DF，∴△BCD的面积=12·BC·DF=12(2m+6)(m+3)=m2+6m+9．故选D．6.【答案】A【解析】[分析]利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质分析得出答案．此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出△APM≌△APN 是解题关键．[详解]解：∵P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，∴∠MAP=∠NAP，∠AMP=∠ANP=90°，PM=PN，故①正确在△APM和△APN中{∠MAP=∠NAP ∠AMP=∠ANP AP=AP,∴△APM≌△APN(AAS)，故③正确，∴AM=AN，故②正确，∠APM=∠APN，∵∠PAN+∠APN=90°，∴∠PAN+∠APM=90°，故④正确，综上所述：正确的有4个．故选A．7.【答案】A【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△ABD和△ACD的面积相等是正确解答本题的关键．由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，△ABD和△ACD的面积相等，再根据点E、F，依此即可求解．是AD的三等分点，可得△BEF的面积为△ACD的面积的13[详解]解：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，S△ABC=12，BC，S△ABD=6，∴BD=CD=12∵点E、F是AD的三等分点，AD，∴EF=13S△BEF=1S△ABD=2．2故选A．8.【答案】解：如图：P为所求做的点．【解析】本题考查了基本作图，理解角的平分线以及线段的垂直平分线的作图是关键．连接MN，先画出∠AOB的角平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．9.【答案】解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE．又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌△RtAED．∴AE=AC，∴△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10cm．【解析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质，角平分线的性质等有关知识，由题意根据AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，得到CD=DE，然后利用全等三角形的判定及性质得到AE=AC，最后利用三角形的周长公式进行求解即可．10.【答案】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°．在△BED和△DFC中，DE=DF，∠E=∠DFC，BE=CF，∴△BED≌△DFC(SAS)，∴BD=CD．【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即对应边、对应角相等)是解题的关键．由角平分线的性质可得DE=DF，再结合条件可证明Rt△BED≌Rt△CFD，即可求得BE=CF.11.【答案】解：连接AB，作AB的垂直平分线，与街道的交点为P，点P即为所求作的点．【解析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知此点P在AB的垂直平分线上即可解答，12.【答案】解：如图，【解析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．利用线段垂直平分线的性质进而得出AB，AC的垂直平分线进而得出交点，得出M即可．13.【答案】解：如图所示，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．【解析】此题考查了轴对称作图，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．14.【答案】证明：△ABC中，∵AB=AC，∴∠DBM=∠ECM．∵M是BC的中点，∴BM=CM．在△BDM和△CEM中，，∴△BDM≌△CEM(SAS)，∴MD=ME．【解析】本题主要考察等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质.根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．15.【答案】解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB．∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠B=30°；(2)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，BD，∴CD=DE=12∵BC=3，∴CD=DE=1．【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟悉掌握是关键．(1)由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°；(2)根据角平分线的性质即可得到结论．16.【答案】解：如图，△PBD即为所求作的三角形【解析】【分析】本题考查尺规作图.根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质作图即可.作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．【解答】解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，∴点P在∠ABC的平分线上，∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB=PD，∴点P在线段BD的垂直平分线上，∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点．17.【答案】解：(1)如图所示；(2)解：∵DC是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE//BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，设DE=CE=x，则AE=6−x，∴x4=6−x6，解得：x=125，即DE=125，故答案为：12．5【解析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．(1)以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；(2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE//BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．。
线段的垂直平分线和角平分线专题练习
线段的垂直平分线和角平分线专题练习一．选择题1. 等腰三角形的一个角等于20°, 则它的另外两个角等于:( )A.20°、140°B.20°、140°或80°、80°C.80°、80°D.20°、80°2．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A ．三条中线的交点B ．三条高的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条角平分线的交点.3. 已知，Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为（ ）A ．18B ．16C ．14D ．124. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A(2，－2)，P 点在y 轴上，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点有 ( )A ．2个 D ．3个 C ．4个 D ．5个5. 如图，点D 在△ABC 的边BC 上，且BC=BD+AD ，则点D 在（ ）的垂直平分线上 A ．AB B ．AC C ．BC D ．不能确定6．如图，在下列三角形中，若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )A ．(1)(2)(3)B ．(1)(2)(4)C. (2)(3)(4) D ．(1)(3)(4)7. 等腰三角形的底角为35°，两腰垂直平分线交于点P ，则A ．点P 在三角形内B ．点P 在三角形底边上C ．点P 在三角形外D ．点P 的位置与三角形的边长有关8. 如图，直线123,,l l l 表示三条互相交叉的公路，现要修建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有（ ）A. 一处B. 两处C. 三处D. 四处9. 等腰三角形中, AB 长是BC 长2倍, 三角形的周长是40, 则AB 的长为( ) A.20 B.16 C.20或16 D.18 10．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，若AB = 10cm ，则△DBE 的周长等于( )A ．10cmB ．8cmC ．6cmD ．9cm二. 填空题1．已知等腰三角形的两边长是1cm 和2cm ，则这个等腰三角形的周长为_______cm ．2．三角形三内角的度数之比为1∶2∶3，最大边的长是8cm ，则最小边的长是_______cm ．3．等腰三角形的底边长为6cm ，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分(1)36︒C B A(2)45︒C B A 108︒(4)CB A (3)90︒C BA E D CBA （10)之差是3cm ，那么这个等腰三角形的腰长是_______．4. 如图，已知OQ 平分∠AOB ，且PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，根据角平分线的性质，则有___________；反之如果PM=PN ，且___________，那么OP 平分∠AOB. 5.在△ABC 中,AB=AC, ∠B=560,AB 的垂直平分线交AC 于N,则∠NBC= 6.等腰三角形中有一个角为520，则它的一条腰上的高与底边的夹角为___________.7. △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB 的中垂线交BC 于D ，BD ＝10 cm ，则CD __________．8.已知在△ABC 中，MD 垂直平分AB 于M ，交BC 于D ，NE 垂直平分AC 于N ，交BC 于E ，若∠BAC ＝130°，则∠DAE ＝_______9.△ABC 中，∠C = 90°，角平分线AD 分对边BD ：DC = 2：3，BC=15 cm ，D 到AB 的距离是 cm 。
垂直平分线与角平分线典型题
垂直平分线与角平分线典型题----d542b8a4-6ead-11ec-9974-7cb59b590d7d线段的垂直平分线与角平分线1.如图1所示△ ABC，BC=8cm，AB的垂直平分线在点D处与AB相交，相交边AC在点E处。
如果△ BCE等于18cm，AC的长度等于（）a.6cmb。
8厘米2．如图3，在△abc中，∠c=90，ad平分∠bac，de⊥ab于e，则下列结论：①ad平分∠cde；②∠bac=∠bde；③de平分∠adb；④be+ac=ab。
其中正确的有3.已知1）如图所示，ab=AC=14cm，ab的垂直平分线在点D处与ab相交，在点E处与AC相交。
如果△ EBC是24厘米，然后是BC=2)如图，ab=ac=14cm,ab的垂直平分线交ab于点d，交ac于点e，如果bc=8cm，那么△ebc的周长是3）如图所示，ab=AC，ab的垂直平分线在点D处与ab相交，在点E处与AC相交。
如果∠ 那么a=28度∠ EBC是b4.在△ ABC，ab=AC，由ab的垂直平分线与边缘AC所在的直线相交形成的锐角为50°，以及底角的大小∠ B的△ ABC是。
5．已知线段ab外两点p、q，且pa=pb，qa=qb，则直线pq与线段ab的关系是_________．6．∠aob的平分线上一点m，m到oa的距离为1.5cm，则m到ob的距离为_________.7.如图所示，在△ 美国广播公司，∠ C=90°，ad是角平分线，de⊥ AB在E中，de=3厘米，BD=5厘米，然后BC=1厘米。
8.如图所示△ 美国广播公司，∠ ACB=90°，被平分∠ 美国广播公司⊥ D中的AB，如果AC=3cm，那么AE+de等于（）ceec?c．10cmd．12cm阿德卡问题4ba问题5db一10.在△abc中，ab=ac，ab的垂直平分线与ac所在直线相交所得的锐角为40°，则底角b的大小为________________。
垂直平分线与角平分线典型题
线段的垂直平分线与角平分线（1）知识要点详解K线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质宦理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，己知直线m与线段AB垂直相交于点D,H AD=BD,若点C在直线m上，则AC=BC.定理的作用:证明两条线段阳等（2）线段关于它的垂直平分线对称.课堂笔词：2、线段垂宜平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直半分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.走理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线定理的数学表示：如图2,已知直线m与线段AB垂直相交丁•点D, J1AD=BD,若AC=BC,则点C在直线m上.课堂笔记I:3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点,井且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3,若直线i、j,k分别是AABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线i 相交于一点0, H OA=OB=OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形期用三用程,则左二辿垂真平分线的交点在三用形内邹;若二用形星真用三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;若三角形星钝角三角形,则它aa垂直平赠的交点在三角形外部•反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角D・12cm文档收集于互联网，已重新整理排版word版本可编辑•欢迎下载支持. 形三边垂直半分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题:例1如图1,在Z\ABC中，BC=8cm, AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E, ABCE的周长等于18cm,则AC的长等于（）A. 6cm B・ 8cm C・ 10cm课堂笔记：针对性练习:已知：1）如图，AB=AC=14cm.AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果AEBC的周长是24cm,那么BC= ______________2）如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果BC=8cm,那么Z\EBC的周长是________________3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果ZA=28 度，那么ZEBC是_______ 例 2.已妬：AB=AC, DB=DC, E 是AD 上一点，求证：BE=CE a课堂笔记针对性练习:已知：在AABC中，ON是AB的垂直平分线QA=OC 求证：点O在BC的垂直平分线例3. ^EAABC中，AB=AC, AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50° , zfABC的底角ZB的大小为___________________ .课堂笔记针对性练习:1. _______________ 在AABC中，AB=AC. AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，贝lj 底角B的大小为__ o例4、如图8,已知AD是厶期。
角平分线与垂直平分线经典例题
沪教版八年级第一学期角平分线角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
角平分线的判定： 到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
例1．如图，在ABC △中，90C ∠=，AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．例2．如图，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D .(1) 若∠BAC =30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系，说明你的理由; (2) 若AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 的度数.3、考点深入练习例3：如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG 。
求证：（1）AD=AG ，（2）AD 与AG 的位置关系如何。
BPABCD GHFEDCBA例4：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（8分）（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE图1 图2例5:△DAC, △EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N.求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN为等边三角形（4）MN∥BCC B垂直平分线的性质与判定强化练习1如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于 （ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm2题2如图，在Rt ABC △中，90ACB D E ∠=，，分别为AC AB ，的中点，连DE CE ，． 下列结论中不一定正确的是 （ ） A ．ED BC ∥B ．ED AC ⊥C ．ACE BCE ∠=∠D ．AE CE =3、△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等于 （ ） A.37.5° B.67.5° C.37.5°或67.5° D.无法确定4、线段的垂直平分线上的点_____________________________________．5、到一条线段的两个端点的距离相等的点，______________________．6、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC=5cm ，则AB+BD+AD= cm ；AB+BD+DC= cm ；△ABC 的周长是 cm 。
角平分线与垂直平分线期末专项训练题
角平分线与垂直平分线期末专项训练题一、选择题（共23小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB．若BC＝8，AB＝10，则点D到AB 的距离是（）A．3B．4C．5D．62．为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（）A．△ABC三条高线的交点处B．△ABC三条中线的交点处C．△ABC三条角平分线的交点处D．△ABC三边垂直平分线的交点处3．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线．则下列结论错误的是（）A．BF＝CF B．∠BAF＝∠CAFC．∠B+∠BAD＝90°D．S△ABC＝2S△ABF4．如图，用一把长方形直尺的一边压住射线OB，再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线OA，两把直尺的另一边交于点P，则射线OP就是∠AOB角平分线的依据是（）A．等腰三角形中线、角平分线、高线三线合一B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三顶点的距离相等D．在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上5．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分线交于点O，AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为18cm2，则△BOC的面积为（）cm2．D．108 A．27B．54C．2726．如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，若PD＝6，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是（）A．PE＝6B．PE＞6C．PE≤6D．PE≥67．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD ＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（）A．16B．20C．40D．808．三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．三角形的三条角平分线的交点处B．三角形的三条中线的交点处C．三角形的三条高的交点处D．以上位置都不对9．如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长不可能是（）A．4B．5C．6D．710．如图，在直角三角形ABC中，AD为斜边上的高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（）A．BF＝CF B．∠C＝∠BADC．∠BAE＝∠CAE D．S△ABE＝S△ACF11．如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（）A．4：3：2B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：512．如图：已知∠ABC＝∠ACB＝50°，BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，其中点D、C、E在同一条直线上，以下结论：错误的是（）A．∠DCP＝65°B．∠BDC＝40°C．∠DBE＝85°D．∠E＝50°13．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE的长（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm14．如图，在△ABC中，AB＝3BC，BD平分∠ABC交AC于点D，若△ABD的面积为S1，△BCD的面积为S2，则关于S1与S2之间的数量关系，下列说法正确的是（）A．S1＝4S2B．S1＝3S2C．S1＝2S2D．S1＝S215．某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）A．仅有一处B．有四处C．有七处D．有无数处16．如图，已知△ABC的周长是36cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）A．48cm2B．54cm2C．60cm2D．66cm217．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为（）A ．8B ．7C ．10D ．918．如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 的面积是20cm 2，AB ＝15cm ，AC ＝5cm ，则DF 的长为（ ）A ．10cmB ．5cmC ．4cmD ．2cm19．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ．下列四个结论：①∠BOC ＝90°+12∠A ，②∠EBO =12∠AEF ，③∠DOC +∠OCB ＝90°，④设OD ＝m ，AE +AF ＝n ，则S △AEF =mn 2．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．如图，BD 平分∠ABC ，DE 垂直BC 于点E ，AB ＝6，DE ＝3，则△ABD 的面积为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1021．如图，BD 为∠ABC 的角平分线，DE ⊥BC 于点E ，DE ＝6，∠A ＝30°，则AD 的长为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．1622．如图，OP 平分∠AOB ，点E 为OA 上一点，OE ＝4，点P 到OB 的距离是2，则△POE 的面积为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．723．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠BCD ，AD 过点P ，且与AB 垂直，若BP ＝5，CP ＝12，则AD 的长为（ ）A．12B．13C．6013D．12013二、填空题（共11小题）24．下列语句表示的图形是（只填序号）①过点O的三条直线与另条一直线分别相交于点B、C、D三点：．②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD：．③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点：．25．定义：利用的直尺和作图，简称为尺规作图．26．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，若△ABC的面积为28，AB＝8，BC＝6，则DE的长为．27．如图，已知△ABC的周长是13，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且△ABC的面积为13，则OD长为．28．如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，且EF⊥BC，垂足为点F，DE＝4，则EF的值为．29．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠F AG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．以上说法正确的是．30．如图，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点，只需添加，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线．31．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，AC＝4，则△ADC的面积为．32．如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，过点D作DE⊥BC 于点E．已知DE＝1，△ABC的周长为14，则△ABC的面积为．33．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，AB＝17cm，∠CAB与∠CBA 的角平分线相交于点O，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，则线段OD的长为cm．34．如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝．三、解答题（共13小题）35．如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是（0，﹣4），AB的长是12，求△ABD的面积．36．如图，△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，OH⊥BC垂足为H．（1）求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数；（2）求证：∠BOD＝∠COH．37．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B，AE ＝3，AD＝5，求AB的长．38．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝12，BC＝8．（1）求△CBD与△ABD的面积之比；（2）若△ABC的面积为50，求DE的长．39．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“倍分线”．（1）如图1，若∠AOB＝60°，射线OC绕点O从OB位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转t秒，且0≤t≤12．①当t＝2秒时，OC∠AOB的“倍分线”；（填“是”或“不是”）②若射线OA是∠BOC的“倍分线”，求t的值；（2）如图2，射线AF绕点A从AB位置开始逆时针旋转α，同时射线BG绕点B从BA 的位置开始顺时针旋转β，且0＜β＜α＜180°，两条射线相交于点C．CD、CE分别是△ABC的高和角平线，是否存在CE是∠BCD的“倍分线”的情况？若存在，请求出α与β应满足的数量关系；若不存在，请说明理由．40．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，AE＝AF，那么AD是∠BAC的平分线吗？请补充完成下列说明过程并在括号内填注依据．解：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），∴∠4＝90°，∠5＝90°（）．∴∠4＝∠5（等量代换）．∴AD∥EG（）．∴∠1＝∠E（），∠2＝（两直线平行，内错角相等）．又∵（已知），∴∠3＝∠E（）．∴∠1＝∠2（）．∴AD平分∠BAC（）．41．如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D，E，F．（1）OD与OE是否相等．请说明理由；（2）若△ABC的周长是30，且OF＝3，求△ABC的面积．42．已知：如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝4，求△ABD 的面积．43．在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一动点，ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F．（1）如图1，点M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是，并证明；（2）如图2，点M为边CA延长线上一点，则BD、MF的位置关系是，并证明；（3）如图3，点M为边AC延长线上一点，补全图形，并直接写出BD、MF的位置关系是．44．把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的Rt △ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由．45．阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①﹣④，虚线部分表示折痕）．从图中可知，小明画平行线的依据有哪些？填一填．想法一：如图④，由图②中的折叠可知，PE⊥AB，由图③中的折叠可知，PE⊥CD，则AB∥CD，依据是．想法二：如图④，由图②中的折叠可知，∠1＝90°，由图③中的折叠可知∠2＝90°，则∠1＝∠2，所以AB∥CD，依据是．解决问题：如图⑤，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠1．求证：AD平分∠BAC．46．如图，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，AB⊥BC于B，∠1+∠2＝90°．求证：DC⊥BC．47．如图（1），三角形ABC中，BD是∠ABC的角平分线．（1）若∠A＝80°，∠ABC＝58°，则∠ADB＝°．（2）若AB＝6，设△ABD和△CBD的面积分别为S1和S2，已知S1S2=23，则BC的长为．（3）如图（2），∠ACE是△ABC的一个外角，CF平分∠ACE，BD的延长线与CF相交于点F，CG平分∠ACB，交BD于点H，连接AF，设∠BAC＝α，求∠BHC与∠HFC的度数（用含α的式子表示）．。
线段垂直平分线与角平分线练习题
线段垂直平分线与角平分线练习题线段的垂直平分线和角的平分线是三角形中常见的概念。
下面是一些与此相关的选择题。
1.在三角形ABC中，AD平分∠CAE，∠B=30°，∠CAD=65°，则∠ACD等于（）A。
50° B。
65° C。
80° D。
95°2.在三角形ABD中，AD=4，AB=3，AC平分∠BAD，则S△A。
3:4 B。
4:3 C。
16:19 D。
不能确定3.在三角形ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥XXX于E，则下列结论正确的有（）A。
2个 B。
3个 C。
4个 D。
1个4.在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的大小关系是（）A。
PD>PC B。
PD<PC C。
PD=PC D。
无法判断除了选择题，还有以下问题：5.在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是什么？6.已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状是什么？7.在三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于E，F在BC上，并且BF=AB，则下列四个结论正确的有（）A。
①②③④ B。
①③ C。
②④ D。
②③④8.在直角三角形ABC中，AC=4㎝，AB=7㎝，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，则EB的长度是多少？A。
3㎝ B。
4㎝ C。
5㎝ D。
不能确定9.XXX的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几个？A。
1 B。
2 C。
3 D。
410.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的什么？A。
三条中线的交点 B。
三条高的交点线段的垂直平分线和角的平分线是三角形中常见的概念。
以下是与此相关的选择题和问题。
1.在三角形ABC中，AD平分∠CAE，∠B=30°，∠CAD=65°，求∠ACD的度数。
垂直平分线与角平分线(习题及答案).
垂直平分线与角平分线（习题）➢复习巩固1.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点2.如图，在△ABC 中，AF 平分∠BAC，AC 的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C 的度数为．第2 题图第3 题图3.如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点E，若S△ABC=6，AB=4，AC=3，则线段DE 的长为．4.如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD．求证：OP 是CD 的垂直平分线．5.如图，点P 为锐角∠ABC 内一点，点M 在边BA 上，点N 在边BC 上，且PM=PN，∠BMP+∠BNP=180°．求证：BP 平分∠ABC．16.如图，点D 在边AC 上，∠ABD+∠ABC =180°，CE 平分∠ACB 交AB 于点E，连接DE．求证：DE 平分∠ADB．7.如图，在△ABC 中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①作∠BAC 的平分线AM 交BC 于点D；②作边AB 的垂直平分线EF，EF 与AM 相交于点P；③连接PB，PC．若∠ABC=70°，则∠BPC 的度数为．8.如图，已知△ABC（AC＜BC），求作：（不写作法，保留作图痕迹）（1）BC 边上的高；（2）在BC 上确定一点P，使PA+PC=BC．9.如图，已知线段a，利用尺规求作以a 为底、以2a 为高的等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹）10.如图，有三幢公寓楼分别建在点A，点B，点C 处，AB，AC，BC 是连接三幢公寓楼的三条道路，要修建一超市P，按照设计要求，超市要在△ABC 的内部，且到A，C 的距离必须相等，到两条道路AC，AB 的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市P 的位置．（不写作法，保留作图痕迹）【参考答案】➢复习巩固1. D2. 24°3. 12 74.证明略；提示：先证Rt△POC≌Rt△POD（HL），得到OC=OD，由“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”求证5.证明略；提示：过点P 分别作PD⊥AB 于D，PE⊥BC 于E，先证△PMD≌△PNE（AAS），得到PD=PE，再由“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”求证6.证明略；提示：过点E 分别作EF⊥AC 于F，EH⊥BD 于H，EG⊥BC 于G，证EF=EG=EH，求证7. 80°8.作图略提示：（1）过直线外一点作已知直线的垂线；（2）作线段AB 的垂直平分线9.作图略10.作图略提示：作线段AC 的垂直平分线和∠CAB 的角平分线；。
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线段的垂直平分线与角平分线（1）
经典例题：
例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）
A ．6cm
B ．8cm
C ．10cm
D ．12cm
针对性练习：
已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ，
那么BC=
2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC
的周长是 3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC
是
例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。
针对性练习：
已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC,求证：点O 在BC 的垂直平分线.
例3. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。
针对性练习：
1. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B 的大小为________________。
例4、如图8，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠C ＝2∠B ，
求证：BD ＝AC ＋CD.
O B A C N
B
课堂练习：
1.如图，AC=AD，BC=BD，则（）
A.CD垂直平分AD
B.AB垂直平分CD
C.CD平分∠ACB
D.以上结论均不对
2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，
那么，这个三角形是（）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
3.下列命题中正确的命题有（）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm
5.已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥B C.
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM.
课后作业：
1. 如图7，在△ABC中，AC＝23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACE的周长为50，求BC边的长.
2. 已知：如图所示，∠ACB，∠ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一点，求证：CP=DP。
图7E
D
A
C
B
线段的垂直平分线与角平分线（2）
经典例题：
例1已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P 为∠A 内一点，PB=PC ， PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 。
求证：PE=PF
针对性练习：
已知： PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 平分线，它们交于P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ，求证：BP 为∠MBN 的平分线。
例2、如图10，已知在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，E 为BC 中点，连接AE 、DE ，DE 平分∠ADC ，求证：AE 平分∠BAD.
针对性练习：
如图所示，AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：DE=DF 。
例3、如图11-1，已知在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，且∠BAD 与∠BCD 互补， 求证：AD ＝CD.
图10
E
E
B
D
A C F
课堂练习：
1. △ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为________________。
2. 如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于______________。
A B
O
E
C D
３已知：如图，∠B=∠C=900，DM平分∠ADC， AM平分∠DAB 。
求证：M B=MC
课后作业：
1.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD. 求证：AD平分∠BAC.
E
D A
，，表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路2. 如图所示，直线l l l
123
的距离相等，则可供选择的地址有（）
A. 一处
B. 二处
C. 三处
D. 四处
l3l1
l2
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