六年级奥数培优 几何图形教案之容斥原理问题
小学五六年级奥数学竞赛第5讲计数原理之容斥原理
计数原理之容斥原理【加油站】计数问题的最高原则是什么？不重不漏A B1．先包含——重叠部分计算了2次，A B多加了1次；2．再排除——A B A BA∩B1．先包含：A＋B＋C2．再排除：A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C，重叠部分A∩B∩C重叠了3次，但是在进行A＋B＋C－A∩BC∩A B∩CA∩B∩C－B∩C－A∩C计算时都被减掉了。
3．再包含：A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C。
A B减去。
【例1】(★★) 【例3】(★★★)在一群小朋友中，有12人看过动画片《樱桃小丸子》，有21人看过动画片《喜羊羊与灰太狼》，并且有8人两部动画片都看过。
请问：只看过其中一部动画片的小朋友有多少人？一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出______段.【例2】(★★★)【例4】(★★★★)某科室有12人，其中6人会英语，5人会俄语，5人会日语，3人既会英语又会俄语，2人既会俄语又会日语，2人既会英语又会日语，1人三种语言全会.只会1种外语的人比1种外语也不会的人多______ 个. 2016盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1、2、……2016.将编号为2的倍数的灯各拉一下，再将编号为3的倍数的灯各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯各拉一下，最后亮着的灯有______盏.1【例5】(★★★)【例6】(★★★★★)森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种.爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜.如果三种食物都爱吃的小白兔有5只，那么这群小白兔一共有多少只？在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了40盆，丙浇了50盆，丁浇了70盆，①恰好被4个人浇过的花最多是多少？最少是多少？②恰好被3个人浇过的花最多是多少？最少是多少？③恰好被2个人浇过的花最多是多少？最少是多少？④恰好被1个人浇过的花最多是多少？最少是多少？【例7】(★★★★)已知三角形ABC是直角三角形，AC＝4厘米，BC＝2厘米，求阴影部分的面积．(π取3.14)B 本讲总结必会工具：韦恩图，线段图，方程，高斯记号重要应用：数论，几何C重点例题：例2，例3，例5，例6 A2。
小学奥数容斥原理
小学奥数容斥原理
小学奥数中的容斥原理是一种经典的数学方法，它常常用于解决有关组合计数的问题。
容斥原理可以帮助我们计算两个集合的交集、并集以及差集的元素个数。
具体来说，容斥原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素个数，我们可以先计算每个集合的元素个数，然后减去这两个集合的交集的元素个数。
这样可以避免重复计算。
例如，假设我们有两个集合A和B，集合A中有3个元素，集合B中有4个元素。
如果我们想计算这两个集合的并集的元素个数，根据容斥原理，我们应该先计算集合A的元素个数，再计算集合B的元素个数，然后减去集合A和集合B的交集的元素个数。
另外，容斥原理也可以用于计算三个集合的并集、四个集合的并集，以及更多集合的并集，只需要依次计算每个集合的元素个数，并根据公式依次加减交集的元素个数。
需要注意的是，在应用容斥原理时，我们需要确保计算交集和并集时没有重复计算的情况发生。
这需要我们对问题进行仔细分析和思考，以保证计算结果的正确性。
总之，容斥原理是一种解决组合计数问题的有力工具，在小学奥数中有着重要的应用，通过灵活运用容斥原理，我们可以更快、更准确地解决各类问题。
小学奥数容斥原理教案
小学奥数容斥原理教课设计【篇一：四年级奥数讲义：容斥原理 (1)】四年级数学讲义奥数：容斥原理 (1)教课目的： 1、理解容斥原理，会绘图剖析此中关系，正确的找出答案。
2、培育学生的逻辑思想和数学思虑能力。
3、培育学生优异的书写习惯。
一、教课连接二、教课内容〔一〕知识介绍容斥问题波及到一个重要原理——包括与清除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数局部有重复包括时，为了不重复计数，应从它们的和中清除重复局部。
容斥原理：对 n 个事物，假如采纳不一样的分类标准，按性质 a 分类与性质 b 分类〔如图〕，那么拥有性质 a 或性质 b 的事物的个数=na ＋nb －nab 。
〔二〕例题精讲 nanb例 1、一个班有 48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！〞有 37 人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！〞有 42 人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？〞没有人举手。
求这个班语文、数学作业都达成的人数。
【思路导航】达成语文作业的有 37 人，达成数学作业的有 42 人，一共有 37＋42=79 人，多于全班人数。
这是由于语文、数学作业都达成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都达成的有： 79－48=31 人。
例 2、某班有 36 个同学在一项测试中，答对第一题的有 25 人，答对第二题的有 23 人，两题都答对的有 15 人。
问多少个同学两题都答得不对？【剖析与解答】答对第一题的有 25 人，两题都答对的有 15 人，能够求出只答对第一题的有 25－15=10 人。
又答对第二题的有23 人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就获得起码有一题答对的人数： 10＋23=33 人。
所以，两题都答得不对的有 36－33=3 人。
例 3、某班有 56 人，参加语文比赛的有 28 人，参加数学比赛的有27 人，假如两科都没有参加的有 25 人，那么同时参加语文、数学两科比赛的有多少人？【剖析与解答】要求两科比赛同时参加的人数，应先求出起码参加一科比赛的人数： 56－25=31 人，再求两科比赛同时参加的人数：28＋27－31=24 人。
小学奥数 容斥原理之数论问题
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．7-7-4 容斥原理之数论问题在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ A B【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【巩固】 在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【巩固】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【例 2】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【例 3】 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【例 4】 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 个．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】西城实验【例 5】 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。
奥数讲义：容斥原理((生)
容斥原理教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。
2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。
3、培养学生良好的书写习惯。
一、教学内容（一）知识介绍容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab 。
（二）例题精讲 例1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？Nab NbNa例4、1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？例5、光明小学举办学生书法展览。
学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？二、教学练习1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？3、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？4、在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？5、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。
六年级上册秋季奥数培优讲义——6-03-组合图形(二)3-讲义-学生
第3讲组合图形求面积（二）【学习目标】1、复习圆的面积计算；2、熟练掌握组合图形的面积计算。
【知识梳理】1、容斥法：利用容斥原理求解图形面积；2、分组法：把要求的图形平均分组，然后进行计算；3、拆分法：把不规则图形拆分成几个规则的可以直接计算的图形；4、差不变：两个图形同时加上或者减去同一部分，差不变。
【典例精析】【例1】如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=10cm，A为扇形AEF的圆心且阴影部分①与②面积相等，求扇形所在圆的面积。
【趁热打铁-1】如图，以直角三角形的直角边长20厘米为直径画一个半圆，阴影部分①的面积比②的面积小16平方厘米，求BC的长。
(π取3.14)【例2】如图所示，圆的周长为12.56cm,A,C两点把圆周分成相等的两段弧，阴影部分①的面积与阴影部分②的面积相等。
求平行四边形ABCD 的面积。
【趁热打铁-2】如图所示，圆的半径OA=OB=5cm,AC=CD=8cm,AC 垂直于CD,BC=6cm 。
求IV III II I S S S S -++。
【例3】如图所示，两圆的半径都是2厘米，且图中两个阴影部分的面积相等，长方形21O ABO 的面积是_____平方厘米。
【趁热打铁-3】如图，两个半径相等的圈A 和圆B 相交三角形DBC 是等腰直角三角形，面积是100平方厘米，四边形ABCD 是平行四边形。
图中阴影部分的面积是_______平方厘米。
【例4】如图、两个小圆和三个小半圆的半径都是1. 求阴影那分的面积。
(π取3) 【趁热打铁-4】如图每个小圆的面积都是7平方厘米，则阴影部分的面积是。
【例5】如图,三个圆的半径都是2cm,则阴影部分的面积____cm2 。
【趁热打铁-5】下图中大圆的直径是10厘米，四个小圆完全相同，阴影部分的面积是。
【例6】如图，长方形的宽正好是大扇形半径的一半，求阴影部分的面积。
（单位：厘米）【趁热打铁-6】图中正方形的边长是6厘米，求阴影部分的面积。
小学奥数(3)容斥原理PPT课件
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例题1 能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？ 1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。
解析： 等号左端共有9个数参加加、减运算，其中有5个奇数，4个偶数。5个奇数的和或差仍是 奇数，4个偶数的和或差仍是偶数，因为“奇数+偶数=奇数”，所以题目的要求做不到。
五（2）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛，每张试卷有50道试题。评分标准是：答对一道 给3分，不答的题，每道给1分，答错一道扣1分。试问：这部分学生得分的总和能不能确定是 奇数还是偶数？ 分析与解：本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的，所以应从每个人得分的情况入手分析。 因为每道题无论答对、不答或答错，得分或扣分都是奇数，共有50道题，50个奇数相加减，结 果是偶数，所以每个人的得分都是偶数。因为任意个偶数之和是偶数，所以这部分学生的总分 必是偶数。
并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多 少人？
分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”
称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是 满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学” 称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。
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例题 木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7 个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色 相同，则最少要取出多少个球？
解：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小球 的数目必须大于3，故至少取出4个小球才能符合要求。
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Hale Waihona Puke 将400本书分给若干个同学，每人都不超过11张， 至少有多少名同学分到的卡片的张数相同。
小学奥数-容斥问题
小学奥数-容斥问题
一、学习目标理解并掌握容斥问题
二、重点难点考点分析
容斥问题涉及到一个重要原理包含和排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数局部有重复包含时，为了不重复的计数，应从他们的和中减到重复局部。
三、概念解析
容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类标准，按照性质1和性质2分类，那么具有性质1或者性质2的事物个数等于性质1加上性质2 减去他们的共同性质。
四、课后作业
1、某班其中考试语文得优的人数为25,数学得优的人数为21,两门功课都得优的人数为10,问共有多少人？
2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题
的有23人，两题都答对的有15人，问，多少个同学两题都答的不对？
3、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样
都不会的有4人。
问两样都会的有多少人？。
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六年级奥数培优 几何图形教案
第二课时 “容斥问题”的原理
不规则图形面积的求法-----“容斥问题”的原理
例题1：如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
针对性训练：
1、 如图所示，△ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
2、 如图所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8厘米，高
为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。
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减去
a
考点归纳
例题2：在图中，正方形的边长是8厘米，求图中阴影部分的面积。
针对性训练：
1、求下图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
2、求下图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
例题2：
下图正方形ABCD边长是10厘米,长方形EFGH的长为8厘米,宽为5厘
米.阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是多少平方厘米？
针对性训练：
1、下图圆的半径为 5厘米, 正方形边长是4厘米.两阴影部分的面积差是多少平
方厘米？
2、下图长方形ABCD边长与正方形EFGH的阴影部分面积差是10平方厘米，且
它们的高相等。求AB与EF的差为多少？
1：一块正方形的草地，边长为4米，在两个相对的角上各有一棵树，树上各拴一只羊，绳
子长3米，问两只羊都能吃到草的草地面积有 平方米。
自我检测
2：如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC长10厘米，BC长5厘米。以AC、BC为直
径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。
3：求下图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
4、下图两阴影部分的面积差是25平方厘米？圆的半径和正方形的边长都为整数，
π取3, 探究半径和边长可能的取值？