高等数学无穷级数第一节 常数项级数的概念和性质教学教案
111第十一章无穷级数第一节常数项级数的概念与性质
第十一章 无穷级数第一节 常数项级数的概念与性质教学目标：1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念.2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数收敛和发散的条件. 课时安排：2课时重点：1、 掌握级数收敛的充要和必要条件； 2、 掌握收敛级数的性质； 难点：级数概念及其敛散性 教学法：讲授法一、问题的引出：1、用正多边形的面积逼近园的面积；①.S ≈6A ②.S ≈＋612A A S ≈＋61224....A A A ++S ≈⨯1621limi nni A -=å二、常数项无穷级数定义1、定义: 设1u ，2u ，. . . 是常数列, 算式简称为级数 。
记为1nN u∞=∑，称为一般项或通项。
2、部分和与部分数列. ①部分和：前几项的和②部分和数列：()③ 1n n n u s s -=-④n n nn 1u lim S ¥==å3、敛散定义（充要条件）①设1nN u∞=∑若lim n n S →∞∃，称1n N u ∞=∑收敛，否则称发散。
（判别敛散的方法）。
②若收敛，如何求和。
（收敛，求和的方法）（求数列的极限） 1lim n n n n S S u ¥==å@4、例子.n n n 1n1u n S n 1¥=+å=例 . 设前项部分的和为问：①.收敛否？ ………………………………………………（收敛） ②.若收敛，和为多少？ ……………………………（ 1 ） ③.写出（求出）该级数.()()n 1n n n 1n n 1n 1n 11S u S S nn n+11u n n 1--ゥ==-=\=-=\=+邋例 2. 判别 ()n 11n n 1¥=+å 是否收敛，若收敛，求和。
(用定义)。
()n1111 S ...1223n n 1=+++创+解：）. ()()()111111...223n n 1=-+-++-+1n =1n 1n 1-=++2）.. 收敛。
高数 第十一章 无穷级数第一讲 常数项级数的概念与性质
第九章 无穷级数第一讲 常数项级数的概念与性质授课题目（章节）：§11.1 常数项级数的概念与性质 教学目的与要求：1.理解常数项级数收敛、发散及其收敛级数和的概念；2.掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；3.掌握几何级数的收敛性及求和公式。
教学重点与难点：重点：收敛和发散的定义难点：根据定义判定级数的敛散性；收敛的必要条件。
讲授内容：无穷级数是深入研究函数所不可缺少的一个重要工具，这一章先讨论常数项级数，然后讨论函数项级数，着重讨论如何将函数展开成幂级数的问题。
§11.1 常数项级数的概念与性质解决实际中的很多问题往往有一个近似到精确的过程，在这种过程中，会遇到由有限个数量相加到无穷多个数量相加的问题，例如计算半径为R 的圆的面积A 。
一、问题的提出引例：求圆的面积A 圆内接正六边形的面积1a圆内接正十二边形的面积12a a + 圆内接正二十四边形的面积123a a a ++ ……圆内接正32n ⨯边形的面积12n a a a +++12n A a a a ≈+++12n n a a a A →∞+++→， 称和式12n a a a ++++为无穷级数。
二、常数项级数的概念 定义1 数列12,,,n u u u 构成的和式12n u u u ++++称为常数项无穷级数，简称级数，记为1nn u∞=∑，n u 称为一般项。
定义2 由级数1nn u∞=∑得：12n n s u u u =+++，称n s 为级数1n n u ∞=∑的第n 次部分和；无穷数列12,,,ns s s 称为级数1nn u∞=∑的部分和数列，记为{}n s 。
定义3 若lim n n s s →∞=，则称级数1nn u∞=∑收敛，和为s ，记为1nn us ∞==∑；若lim n n s →∞不存在，则称级数1nn u∞=∑发散。
例1 判定几何级数2(0,n a aq aq aq a q +++++≠为公比）的收敛性。
第一部分常数项级数的概念与质教学课件
即 lim n
Sn
S，则称级数收敛，此时称S为该级数的和，
记为
S u1 u2 un
如果部分和数列的极限不存在，则称级数发散。
定义3：当级数
un
n 1
收敛时，其部分和Sn是级
数的和S的近似值，它们的差
rn S Sn un1 un2
称为级数的余项。
例1 判断几何级数（等比级数） aqn 的敛散性
n 1
(un vn ) un vn
n1
n1
n1
性质2 如果级数 un 收敛，则对任意常数C，
n 1
级数 Cun也收敛，且有 Cun C u限项，不改变其 敛散性。
性质4 在收敛级数的项中任意加括号后所得级 数仍收敛，且与原级数的和相同。
Sn a a a na (n ) 此时级数发散。
当 q 1 时
Sn
a a
(1)n a
a, 0，
n为 奇 数 n为 偶 数
当 n 时，Sn的极限不存在，故级数发散。
综上，几何级数 aqn当| q | 1时收敛，其和为
a
n0
1 q ；当| q | 1时，级数发散。
例2
判断级数 n 1
1 n(n
1)
的敛散性。
解：由于
1 n(n 1)
1 n
1, n 1
因此部分和
11
1
Sn
1 2
23
n(n 1)
(1 1 ) (1 1) ( 1 1 ) 1 1
2 23
n n1
n 1
从而
lim
n
Sn
lim (1
n
1) n 1
1,
所以级数收敛于1。
常数项级数的基本概念和性质学习教案
去掉前 k 项, 证
新级数
un
n1
n
和为
n ukl Skn Sk
l 1
同敛散，
的部分
有限项不影响 级数的敛散性
故新旧级
数敛散性相同.
收敛时, 其和
σ S Sk .
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性质
收敛级数(jíshù)加括弧后
所成的级数仍收敛于
(xìngz
hì)4 原级数(jíshù)的和.
(1)
un与 cun 敛散性相同(xiānɡtónɡ)
n1
n1
(2) 收敛级数(jíshù)可以逐项相加，
（c 0）；
(3) 级数 (4) 收敛级数加括弧后
有限项,
仍收敛于原级数的和.
不影响其敛散性.
(5) 级数收敛的
: 一般项的极限为零
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0,
不存在 ,
因此级数发散.
a
qn
n0
等比 级数
结论：
等比级数
时收敛,
q 1
时发散 .
q 1
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例2
判别(pànbié)级数
的敛散性.
解
部分(bùf en)和
ln
n
1
n1 n
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
拆项相消
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) ln(n 1) ln n
…
1 9
1
1246
1 16
1 16
1, 2
23 8 项
第七课 无穷级数2010-12-2(讲稿1)
第五课 无穷级数第一节 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念1.无穷级数：无穷数列{}(1,2,3,)n u n =的各项和∑∞=1n nu＝ +++++n u u u u 321,简称级数.n u —— 一般项.2. 1lim limnn kn n k S uS →∞→∞===∑,级数∑∞=1n n u 收敛.S ——∑∞=1n n u 的和, 且有1nn uS ∞==∑.如果}{n S 没有极限, 则称级数∑∞=1n n u 发散.例1 判别无穷级数++⋅++⋅+⋅)1(1321211n n 的敛散性. 解: 由于 )1(1+=n n u n ,111+-=n n 所以 12n n S u u u =+++1111111()()()1122311n n n =-+-++-=-++, 又因 1)111(lim lim =+-=∞→∞→n S n n n , 故级数 ∑∞=1n n u 收敛, 且 1)1(11=+⋅∑∞=n n n .提问 ：判断下列级数的敛散性 1）111n n n∞=++∑：111n u n n n n ==+-++， 11()n S n n =+-→∞→∞ 级数发散.2）11ln n n n ∞=+∑：1ln ln(1)ln1()n n n u S n n n +=⇒=+-→∞→∞ 级数发散.二、几类特殊级数（结论当定理使用） （1）调和级数∑∞=11n n 发散. (注意0lim =∞→n n u ) （2） 讨论等比级数(几何级数)∑∞=0n naq)0(≠a 当1q <时收敛.（3）连续复利(时时刻刻在计息 )若以连续复利率r 计息，将一笔P 元的人民币从现在起存银行，t 年后的价值（将来值）为 rt B Pe =若t 年后得到B 元的人民币，则现在需要存入银行的金额（现值）为 rt P Be -= 二、无穷级数的基本性质 【性质1】∑∞=1n nu收敛⇔对任意的非负整数m ,有∑∞+=1m n nu收敛.(若级数收敛，则其每一个余项级数收敛，即级数中去掉或添加有限多 项后不改变级数的敛散性.) 【性质2】1nn uλ∞=∑与1nn u∞=∑具有相同的敛散性(λ为非零常数).例如1112n n ∞==∑，但 1552nn ∞=-=-∑. 【性质3】若∑∞=1n nu与∑∞=1n nv分别收敛于S 与T , 则1()nn n uv ∞=±∑收敛，且 1()n n n u v S T ∞=±=±∑.1111111111,()232232n n n n n n n ∞∞∞=====⇒-=∑∑∑.注意：∑∞=1n nu与∑∞=1n nv同时收敛时，1()nn n uv ∞=±∑一定收敛.∑∞=1n nu与∑∞=1n nv有一个发散时，1()nn n uv ∞=±∑一定发散.【性质4】若1nn u∞=∑收敛且S un n=∑∞=1,则将级数的项任意添加括号后所成的级数1nn σ∞=∑收敛且S n n=∑∞=1σ. 反之不然.（添加括号后所成的级数的部分和数列是原级数部分和数列的子列，而数列收敛时其子列必收敛.） 反之不然.例如 ++++=+-++-+-000)11()11()11( 收 敛,但 +-++-+-111111 却是发散的！【推论】若添加括号后所成的级数发散，原级数必发散. 【性质5】若∑∞=1n nu收敛, 则0lim =∞→n n u . 反之不然.(级数收敛的必要而非充分条件)例如11lnn n n ∞=+∑：1ln ln(1)ln1()n n n u S n n n +=⇒=+-→∞→∞ 级数发散.但1lim lim lnln10n n n n u n →∞→∞+===. 又如：级数11n n∞=∑发散，但是1lim lim 0n n n u n →∞→∞==.提问：(87.2 是非题) 若级数∑∞=1n na与∑∞=1n nb均发散,则级数∑∞=+1)(n n nb a必发散.答 (非).例如∑∞=11n n 和∑∞=-1)1(n n 都发散,但0)11(1=-∑∞=n n n却是收敛的.提问：判断下列级数的敛散性:(1) +++++n 001.0001.0001.0001.03 解 =n u n001.0,而∞→∞→=n n n u lim lim 01001.0≠=n , 该级数发散.(2) ++++++)27181()9141()3121(提示： ++++=∑∞=n n n u 218141211是公比为21收敛的几何级数,+++++=∑∞=nn n v 3127191311是公比为31收敛的几何级数，所以原数收敛.且111112313()1121322n n n u v --∞--=+=+=+=--∑. (3) 级数1(1)21n n nn ∞=-⋅+∑发散，因为(1)lim lim 021n n n n n u n →∞→∞-⋅=≠+.例2(98.6) 设有两条抛物线n nx y 12+=和11)1(2+++=n x n y ,记它们交点的横坐标的绝对值为n a ,(1)求两条抛物线所围成的平面图形的面积n S ;(2)求级数∑∞=1n nna S 的和. 解 由n nx y 12+=和11)1(2+++=n x n y 得)1(1+=n n a n ,由于图形关于y 轴对称,则d 220112[(1)]1na n S nx n x x n n =+-+-+⎰d 2012[](1)na x x n n =-+⎰413(1)(1)n n n n =++因此 414113131()()n n S a n n n n ==-++,所以 34)])1(11(34[lim lim 11=+-==∞→=∞→∞=∑∑n a S a S n nk kk n n n n .特别注意：由0lim =∞→n n u 不能得出∑∞=1n nu收敛的结论.第二节 正项级数的审敛法一、正项级数（各项0≥n u ）的∑∞=1n nu，及其审敛法1.【定理1】(基本定理): 正项级数∑∞=1n nu收敛⇔}{n S 有界. 且此时S S n ≤说明：因0≥n u ,于是11--≥+=n n n n S u S S ,可见}{n S 单调递增. （注意：单调有界数列收敛） 2.【定理2】(比较判别法): 设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv均为正项级数, 且n n v u ≤, ,2,1=n ,则(1)∑∞=1n nv收敛⇒∑∞=1n nu收敛; (2)∑∞=1n nu发散⇒∑∞=1n nv发散.结论：-p 级数∑∞=11n pn收敛 ⇔ 1>p .（此结论当定理使用） 例3 判断下列级数的敛性散. (1)2111n nn ∞=++∑ 提示：因为221111(1)1n n n u n n n ++=>=+++⇒2111n nn∞=++∑是发散的. （2）1()21nn n n ∞=+∑.提示：1()2122n nn n n n n u v n n ⎛⎫⎛⎫=<== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⇒1()21n n n n ∞=+∑收敛. (3)33221(11)n n n ∞=+--∑.提示：331110n n n u n n u ∞==+--≥⇒∑为正项级数.又333333222211111n n u n n v n n n n=+--=≤≤=++-+⇒ 33221(11)n n n ∞=+--∑收敛.（4）22211(2)(3)n n n n ∞=+++∑. 提示：2222222111(2)(3)(1)n n n n u v n n n n n ++=<==+++⇒原级数收敛.例4 设40tan n n a xdx π=⎰.（1）求211(n n n a a n ∞+=+∑）的值.（2）证明当0λ>（常数）时，级数1nn a n λ∞=∑收敛.（1）解 244201tan (tan 1)tan tan 1n n n n a a x x dx xd x n ππ++=+==+⎰⎰ 所以211111(lim(1)1(1)1n n n n n a a n n n n ∞∞+→∞==+=-=++∑∑）= （2）证明 因为 4tan 0n n a xdx π=>⎰21110(1)n n n a a a n n n n nλλλλ+++≤≤=<+， 且0λ>时，111n n λ∞++∑收敛，故原级数收敛.例5 讨论级数11(0)1nn a a ∞=>+∑的敛散性. 解：1）1a >时由111n n n u a a =<+且11nn a∞=∑收敛可得原级数收敛. 2）1a =时由1112n n u a ==+且112n ∞=∑发散可得原级数发散.3）01a <<时由1112n n u a =>+且112n ∞=∑发散可得原级数发散. 结论：当通项较容易通过不等式的放缩而找到已知敛散性的级数的通项 时，可以选择比较判别法.利用比较判别法需要对调和级数、几何级数、 P －级数的敛散性非常熟悉.3.【定理3】(比较判别法的极限形式): 设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均为正项级数,若l v u nnn =∞→lim，则(1)当0l <<+∞时,∑∞=1n nv与∑∞=1n nu有相同的敛散性； (2)当0l =时,若∑∞=1n n v收敛,则∑∞=1n nu也收敛； (3)当l =+∞时,若∑∞=1n nv发散,则∑∞=1n nu也发散.注意：利用比较的极限形式时常需用到极限的等价无穷小概念，0x →时， ~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1x x x x x x x e +-211cos ~2x x -，11n x x n+-，1ln (01xa x a a a ->≠且）例6 （1）判别级数∑∞=+12)11ln(n n 的敛散性.解: 2122021ln(1)1ln(1)lim ln(1)limlim 11t n n n t t n n tn=→∞→∞→+++=====, 且 211n n∞=∑是收敛的p -级数（2p =）⇒ 级数∑∞=+12)11ln(n n 收敛. )12(>=p .（2）判别级数∑∞=11sinn n的敛散性. （3）讨论级数11nn nn∞=∑的敛散性.解：令11,n n n u v n n n ==，则 1lim lim 1n n n n n u v n →∞→∞==且11n n∞=∑发散 ⇒正项级数11n n n n ∞=∑发散.例7 判定级数21(0)1nnn a a a ∞=>+∑的敛散性. 解 （1）当1a =时，211112n nn n a a ∞∞===+∑∑发散. （2）当1a >时，令1n n v a =，22lim lim 11nn n n n nu a v a ρ→∞→∞===<+∞+1n n v ∞=∑收敛（101q a <=<），所以原级数211nnn a a ∞=+∑收敛. 另解：令 2211n n n n n n n a a u v a a a ==≤==+,1nn v ∞=∑收敛（101q a <=<），所以原级数 211nnn a a ∞=+∑ 收敛. （3）当01a <<时，令n n v a =，21limlim 11n nn n nu v a ρ→∞→∞===<+∞+1n n v ∞=∑收敛（01q a <=<），所以原级数211nnn a a ∞=+∑收敛. 另解：令 211n n nn n n a a u a v a =≤==+,1n n v ∞=∑收敛（01q a <=<）， 所以 原级数211nnn a a ∞=+∑收敛.综上所述1a =时211n n n a a ∞=+∑发散，1a ≠时211nnn a a∞=+∑收敛. 【结论】：当n →∞时，级数的通项能与常用的等价无穷小挂钩，此时考虑用比较判别法的极限形式进行判定.但必须给出通项比值的极限（与 无穷大比较）以及已知级数的敛散性.4．【定理4】(比值判别法,达朗贝尔判别法D Alembert '): 设∑∞=1n n u 为正项级数,若ρ=+∞→nn n u u 1lim,则(1)1<ρ时, 级数∑∞=1n nu收敛；(2) 1>ρ或+∞=ρ时, 级数∑∞=1n nu发散；(3)1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.例8（1）(88.3) 讨论级数∑∞=++11)!1(n n nn 的敛散性. 解 由1112(2)!2lim lim lim()(1)(1)!11n n n n n n n nu n n n n u n n n n ++++→∞→∞→∞++=⋅=⋅++++ 112lim 11()n n n n n n →∞++=⋅++1e 1)1()11(1lim <=+⋅+=∞→n n nn n 知原级数收敛.（2）讨论级数1nn n n ∞=∑！的敛散性.解 令11,lim lim(1)1n n n n n n n u n u e n u n ρ+→∞→∞===+=>由于！，1nn n n ∞=∑！发散. (3) 判断级数 12!()nn n n ∞=∑的敛散性.解 令2!nn u n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由比值判别法知112(1)!221lim lim lim 112(1)!n n n n n n n n n u n u e n n n ρ++→∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故级数 12!()n n n n ∞=∑收敛.(4)∑∞=13sin2n nn π解 该级数的一般项nnn u 3sin2π=，且 11sin sin 3333n n n n n ππππ→∞＋＋时，～，～ 所以 11112sin233lim lim 2lim 132sin 33n n n n n n n n n nnu u ππππ++++→∞→∞→∞⋅===<⋅,故 原级数收敛.【结论】：对于不便用比较与比较的极限形式完成敛散性判别的级数，应考虑比值判别法，它的特点是用自身的相邻两项的后一项与前相邻 一项比值极限判定.但注意极限与1比较大小.但必须注意：比值判 别法对p -级数失效. 5．【定理5】(根式（柯西）判别法): 设∑∞=1n nu为正项级数, 若ρ=∞→nn n u lim ，则(1)1<ρ时, 级数∑∞=1n n u 收敛；(2)1>ρ或+∞=ρ时,级数∑∞=1n nu发散；(3)1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.【结论】：对通项的指数为与n 次幂相关的级数可以考虑用根植判别法.例9 判别下列级数的敛散性（1）211(1)3n n n n ∞=+∑ 解 令21(1)3nn n n u +=，因为21(1)lim lim 133n nn n n n n e n u →∞→∞+==<， 所以 级数 211(1)3n n n n ∞=+∑收敛. （2）1()21nn n n ∞=+∑解 令()21nn n u n =+，因为1lim lim ()lim 121212n n n n n n n n n u n n →∞→∞→∞===<++， 所以 级数 1()21nn n n ∞=+∑收敛.（3）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-121121)1(n n n nn . 解 由于121121||>→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=en u nn n , 所以级数发散.例10 设(1,2,)n n n u c v n ≤≤=，并且级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，证明 级数1nn c∞=∑收敛.证明 设,(1,2,)n n n n n n w v u t v c n =-=-=则0n n t w ≤≤即级数1nn w∞=∑与1nn t∞=∑都是正项级数.∵ 级数1nn u∞=∑与1nn v∞=∑都收敛，∴级数1nn w∞=∑收敛，从而由正项级数比较判别法知级数1nn t∞=∑也收敛；故 111nnnn n n c v t ∞∞∞====-∑∑∑收敛.第三节 任意项级数的绝对收敛与条件收敛一、交错级数 形如11(1)n n n u ∞-=-∑＝ +-++-+--n n u u u u u 14321)1( 或1(1)n n n u∞=-∑＝+-++-+-n n u u u u )1(321的级数称为交错级数.其中 0>n u , （ ,2,1=n ）. 【定理1】(莱布尼茨定理): 设11(1)n n n u ∞-=-∑为交错级数, 若满足(1) 1n n u u +≥,（ ,2,1=n ）； (2) 0lim =∞→n n u , 则∑∞=--11)1(n n n u 收敛, 且级数和1u S ≤,其余项n r 的绝对值1||+≤n n u r . 二、绝对收敛与条件收敛 【定理2】 若∑∞=1||n nu收敛 ，则 ∑∞=1n n u 收敛. （ 反之不然.）【定义】(1)若∑∞=1||n nu收敛；则 级数∑∞=1n n u 收敛且绝对收敛.(2)级数∑∞=1n nu收敛，但∑∞=1||n nu发散, 则∑∞=1n n u 收敛且条件收敛.例如: 级数∑∞=--1211)1(n n n 绝对收敛, 而级数∑∞=--111)1(n n n 条件收敛. 2．【定理3】:如果任意项级数121nn n uu u u ∞==++++∑满足条件 nn n u u 1lim +∞→=ρ 或 n n n u ||lim ∞→=ρ ,则 (1) 若1<ρ,级数∑∞=1n n u收敛，且绝对收敛. (2) 若1>ρ,级数∑∞=1n nu发散.例11 判断下列级数的敛散性 （1）∑∞=+12)1(sin n n na提示：222sin 11(1)(1)na n n n ≤<++⇒原级数收敛且绝对收敛. (2) 211(1)(21)nn n ∞=--∑ 提示：222111(21)[(1)]n u n n n n ==≤-+-⇒原级数收敛且绝对收敛.（3）111(1)s 13n n n in n π-∞+=-+∑ 提示：1sin13n n n u π++=，11lim 1(sin ~)311n n nu n u n n ππ+→∞=<→∞++时 ⇒1n n u ∞=∑收敛⇒原级数绝对收敛.（更为简单的方法是什么？）(4)21sin 2nn n nx ∞=⋅∑：211211sin ,lim lim 12222n n n n n n n n n n n v n n n u nx u v v n ++→∞→∞+=⋅⇒<==⋅=<12n n n ∞=⇒⇒∑收敛正项级数1n n u ∞=∑收敛⇒21sin 2n n nnx ∞=⋅∑收敛. 例12 (88.3) 设级数 ∑∞=12n na与∑∞=12n n b均收敛,求证（1）∑∞=1n nn ba 绝对收敛.（2）21()nn n ab ∞=+∑收敛.（3）1n n a n∞=∑收敛.证 （1） 因为)(2122n n n n b a b a +≤,而级数∑∞=12n n a 与∑∞=12n n b 均收敛,所以 )(21212n n n b a ∑∞=+收敛,由正项级数的比较判别法知∑∞=1n n n b a 收敛,故∑∞=1n nn ba 收敛且绝对收敛.（2）因为级数∑∞=12n na与∑∞=12n nb均收敛,又由（1）知∑∞=1n nn ba 收敛，又由222()2n n nn n n a b ab a b +=++ 得2221111()2nn n n n n n n n n ab a b a b ∞∞∞∞====+=++∑∑∑∑收敛.（3）由于 221110()2n n n a a a n n n <=⋅≤+， 级数 ∑∞=12n n a 与211n n ∞=∑ 均收敛 ⇒ 22111()2n n a n ∞=+∑收敛.再由正项级数的比较法得 级数1nn a n∞=∑收敛 .提问（1）(94.3) 设常数0>λ,而级数∑∞=12n na收敛,则级数∑∞=+-12)1(n n nn a λ（ ）(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与λ有关 分析：因为22222221111(1)[()][]22n nnn n a a a a n n n n λλλ-=≤+<++++,而由题设知∑∞=12n n a 收敛,又211n n ∞=∑ 也收敛, 则原级数收敛且绝对收敛.答 (C).（2）(03.4) 设,,2,1,2,2 =-=+=n a a q a a p nn n n n n 则下列命题 正确的是 （ ）(A)若∑∞=1n na 条件收敛,则∑∞=1n np 与∑∞=1n nq 都收敛 (B)若∑∞=1n n a 绝对收敛,则∑∞=1n n p 与∑∞=1n nq 都收敛(C)若∑∞=1n n a条件收敛,则∑∞=1n n p与∑∞=1n nq 的敛散性都不定. (D)若∑∞=1n na绝对收敛,则∑∞=1n n p与∑∞=1n nq的敛散性都不定. 说明：若∑∞=1n na绝对收敛,则∑∞=1n na，∑∞=1n na都收敛,所以∑∞=1n np，∑∞=1n nq都收敛.答案 (B)（3）(96.3) 下述各选项正确的是（ ） (A)若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛 .(B)若∑∞=1n nn vu 收敛,则∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛 .(C)若正项级数∑∞=1n n u 发散,则nu n 1≥. (D)若级数∑∞=1n nu收敛,且)2,1( =≥n v u n n ,则级数∑∞=1n nv也收敛.答 由于)(22)(022222n n n n n n n n v u v u v u v u +≤++=+≤,并由题 设知∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则)(2212n n nv u∑∞=+收敛,从而∑∞=+12)(n n n v u收敛.答案 (A). （4）(91.3) 设),2,1(10 =<≤n na n ,则下列级数中肯定收敛的是 (A)∑∞=1n n a (B)∑∞=-1)1(n nna (C)∑∞=1n n a (D)∑∞=-12)1(n n n a 答 (D).由n a n 10<≤知2210n a n <≤,而∑∞=121n n收敛,则∑∞=12n n a 收敛,所以∑∞=-12)1(n n na 收敛,故选(D)（5） (06.4) 若级数∑∞=1n na收敛,则级数( )(A)∑∞=1n na收敛 (B)∑∞=-1)1(n n na 收敛(C)∑∞=+11n n n a a 收敛 (D)∑∞=++112n n n a a 收敛 答 (D).因为由∑∞=1n n a 收敛可知∑∞=+11n n a 收敛,所以∑∞=++112n n n a a 收敛.（6）(04.4) 设有下列命题: 1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛,则∑∞=1n n u 收敛；2) 若∑∞=1n n u 收敛,则∑∞=+11000n n u 收敛；3) 若1lim 1>+∞→n n n u u ,则∑∞=1n n u 发散；4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛,则∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1)(2) (B) (2)(3) (C) (3)(4)(D) (1)(4)答 如nn u )1(-=,0)(1212=+∑∞=-n n n u u收敛⇒(1)错误; (2)正确;1lim1>+∞→nn n u u n u ⇒不趋向于零(n → ∞)⇒(3)正确; n v n u n n 1,1-==⇒0)(1=+∑∞=n n n v u 收敛⇒ (4)错误.故选(B).（7）(05.4) 设,,2,1,0 =>n a n 若∑∞=1n na发散,∑∞=-1)1(n n na 收敛,则下列结论正确的是（ ）(A)∑∞=-112n n a收敛,∑∞=12n na发散 (B)∑∞=12n na收敛,∑∞=-112n n a发散(C)∑∞=-+1212)(n n n a a收敛 (D)∑∞=--1222)(n n n a a 收敛答令∑∞=1n n a =∑∞=11n n ,则∑∞=-1)1(n n n a =∑∞=-11)1(n n n ,由此知只有(D)是正确的. （利用莱布尼兹判别法作且注意∑∞=-1)1(n n na 条件收敛）。
高等数学第十章 无穷级数教案
第1次课的教学整体安排n a +越大，则近似程度越好。
如果内接正多边形的边数无限增加，即n a +的极限就是所要求的圆面积。
这时和数中的项数无限增多，于是出现了无穷多个数依次相加得式子。
将上面面积问题抽象出来，就得到无穷级数的一般概念。
,,n u ，那末表达式3n u u ++++（常数项）级数，记为1nn u∞=∑，即n u ++， 一般项或通项．上述级数的定义只是一个形式上的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个相加呢？联系到我们可以从有限项的和出发，观察它们的变化趋势，由此来理解无穷多个数n u + ，时，级数的部分和就构成一个新的数列：，1n n s u u u =++，根据这部分和数列有没有极限，我们引进无穷级数（1-1）的收敛与发散的概念。
n u ++，发散，这时级数（1-1）没有和是级数和s 的近似n k u ++++发散；级数发散，但(11)(1-+-在级数中去掉、加上或改变有限项，不改变级数的敛散性n收敛，则对这个级数的各项间任意加括号所得的级数112111)()()k k n n n n n u u u u u -+++++++++++(1-4)仍收敛，且其和不变。
）性质4推论：如果加括号后所成的数列发散，那么原来级数也发散。
）收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛．例如，级数 (11)(11)-+-+收敛于零，但级数1n++但是它是发散的。
（这是一个常用级数，能否既表示级数又表示级数的和？n u ++。
不论级数收敛还表示，当且仅当级数收敛时，记号1nn u∞=∑才表示这级数的1,2,），这种级数称为n u ++，由于0n u ，其部分和=1k u ∑ （1,2,n =）2,)，即正项级数1n n u ∞=∑的部分和数列增加数列，于是有下列两种可能情形：2,)，故10=≤∑n k k u 的部分和数列有界，由定理1知级数。
1n u∞=∑收敛。
．根据极限定义，存在正整数)，且级数1 (1,2,)n n n b +=，因此即根据正项级数1nn b∞=∑收敛，11a b ≤，于是2,)，又级数1na∞=∑收敛。
十无穷数常数项数的概念与性质
第十一章 无穷级数第一节 常数项级数的概念与性质教学目标：1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念.2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数收敛和发散的条件. 课时安排：2课时重点：1、 掌握级数收敛的充要和必要条件； 2、 掌握收敛级数的性质； 难点：级数概念及其敛散性 教学法：讲授法一、问题的引出：1、用正多边形的面积逼近园的面积；①.S ≈6A ②.S ≈＋612A A S ≈＋61224....A A A ++S ≈⨯1621limi nn i A -=å二、常数项无穷级数定义1、定义: 设1u ，2u ，. . . 是常数列, 算式简称为级数 。
记为1nN u∞=∑，称为一般项或通项。
2、部分和与部分数列. ①部分和：前几项的和②部分和数列：()③1n n n u s s -=-④n n n n 1u lim S ¥==å3、敛散定义（充要条件）①设1nN u∞=∑若lim n n S →∞∃，称1n N u ∞=∑收敛，否则称发散。
（判别敛散的方法）。
②若收敛，如何求和。
（收敛，求和的方法）（求数列的极限） 1lim n n n n S S u ¥==å@4、例子.n n n 1n1u n S n 1¥=+å=例 . 设前项部分的和为问：①.收敛否？ ………………………………………………（收敛） ②.若收敛，和为多少？ ……………………………（ 1 ） ③.写出（求出）该级数.()()n 1n n n 1n n 1n 1n 11S u S S nn n+11u n n 1--ゥ==-=\=-=\=+邋例 2. 判别 ()n 11n n 1¥=+å 是否收敛，若收敛，求和。
(用定义)。
()n1111 S ...1223n n 1=+++创+解：）. ()()()111111...223n n 1=-+-++-+ 1n=1n 1n 1-=++2）.. 收敛。
《高等数学(下)》—教学教案第八章常数项级数的概念与性质
第八章 常数项级数的概念与性质授课序号01)，将数列){}n u 中的各项用加号连接的形式n u ++常数项无穷级数，简称级数，记为1nn u∞=∑，其中是求和记号，称为下标变量，第对数列123,,,,n u u u u ，取它的前1nn i i u u =+=∑，n 项之和）.若级数的部分和数列{}n S()0n aq a ++≠()1++1n n +⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n 的敛散性. 11n++ 的和.授课序号02n u ++，其中()n u 为任意实数，那么该级数叫做∑∞=1||nu也收敛，则称级数n 绝对收敛；2,)，则有)； 则交错级数收敛，且收敛和1s u ≤.nu收敛，则任意项级数);11(1)n n-+-+是收敛的.114n nn -⋅的敛散性.授课序号03()()1n n n u x u x ∞=++=∑()01nn u x ∞=∑就是常数项级数. 的收敛点，收敛点的全体组成的数集称为()u x ∞∑的收敛域()0nn a x x +-+nn a x∞=∑，因此不失一般性，我们仅讨论这个形，则幂级数称为一个常数项级数a ∞∑n n a x ++，n n b x ++22,)R R -，其和函数分别为11(,),x R R ∈-0110(),(,).n n n n a b a b a b x x R R -+++++∈-（和函数的连续性）设幂级数0nn n a x∞=∑的收敛域为区间I ，则它的和函数授课序号04,cos ,sin ,nx nx该三角函数系中的任何不同的两个函数的乘积的在[]π,π-上的积分等于零.1,2,n =就叫做的傅里叶级数.1,2,，，即只含有正弦项的傅里叶级数；，余弦级数，即只含有常数项及余弦项的傅里叶级数Dirichlet）充分条件），1,2,.的周期函数，它在。
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例2 下列各式均为函数项级数
( 1 )n 1 x n 1 1 x x 2 ( 1 )n 1 x n 1 , xR.
n 1
a nxna 0 a 1 x a 2x2 a nxn , | x|1.
n 0
sinn x six n si2 x n sinn x , xR.
当公比 | r | > 1 时, nl im Snnl im a(1 1 rrn).
当公比 r =1时, n l iS m nn l in m a .
当公比 r = 1时, Sn=
a, n为奇数 0, n为偶数 , 故nl im Sn不存. 在
综上所述,
当公比 | r | < 1 时, 等比级数收敛；
定理
若级数 u n
n 1
收敛,
则必有 nl imun 0.
证
设 un S,
n1
则nl im SnS.
n l iu m n n l i(S m n S n 1 )
n l im S nn l im S n 1
SS0
例5
判别级 (1数 )n1
n
的敛.散性
n1
n1
解 由于
nl im |un|nl im (n 1) n 11n1,
1121212
1
3 2
S2k
1k 2
?
由数学归纳法, 得
S 2k
1 k， 2
k = 0, 1, 2,
而
kl im1
k 2
故 lim n
Sn
不存在,
即调和级数发散.
三.无穷级数的基本性质
1. 性质 1
若 c 0 为常数, 则 u n 与 cu n
n 1
n 1
有相同的敛散性, 且 cun cun.
n1
n1
问题
3. 性质 3
在一个级数的前面加上或者去掉 有限项后, 所得到的新的级数与原级 数的敛散性相同.
但对收敛级数来说, 它的和将改变.
证 设级数 u n 的部分和为 Sn , 去掉级数的前
nl im un 0, 故该级数发散.
证明调和级数是发散的:
例6
1111 1 .
n1n 2 3 n
证 调和级数的部分和有：
S1
11， 0 2
S2
S21
1 1， 2
S4S22
11 21 31 4
1
1 2
1 2
1
2 2
，
S8
S23
11111111
2345678
11 21 31 41 51 67 18 1
(u nvn) u n vnS 1S2
n 1
n 1 n 1
例7
因为等比级数
1
与
1
n12n
n13n
收敛 ,
所以级数
1 n12n
31n
也收.敛
一个收敛级数与 一个发散级数的和是 收敛的还是发散的？
是发散的
问题
两个发散的级数 之和是收敛的还是发 散的？
不一定
看看 (1)n 与 (1)n1之.和
unu1u2 un
n1
为一个无穷级数, 简称为级数. 称 un 为级数的一般项或通项.
例1 下列各式均为常数项级数
n 121n1 21 4 21n ;
n12n;
n1
( 1 )n 1 1 1 1 1 ( 1 )n 1 ;
n 1
co ns c1 oc so 2 sco n s.
n1
n1
证
n
u n 的部分和为 S n u k，
n 1
k 1
n
n
cu n 的部分和为 Sn cuk c uk cSn,
n 1
k1
k1
故 n l iS m n n l ic m n S c n l iS m n
即
u n 与 cu n 同时收敛或同时发散,
n 1
n 1
且有 cun cun.
( u 1 u 2 u n ) ( v 1 v 2 v n ) S1n S2n
故 ln i S m n ln i( S m 1 n S 2 n)n l iS 1 m n n l iS m 2 n S 1 S 2
即 级数 (un vn) 收敛, 且
n1
n 1
例3
讨论等比级数 ar n 1 的敛散性.
n 1
解 等比级数的部分和为：
n
Sn ark1
k1
a arn1 r
1 r
a (1 r n ) 1 r
当公比 | r | < 1 时, nl im Snnl im a(1 1 rrn)1 a r ,
此时等比级数收敛, 其和为： S a 。 1 r
n1
n1
2. 性质 2
若un与vn收,敛 其和S 分 1和 S别 2, 为
n1
n1
则级(数 unvn)也收 , 且 敛
n1
(unvn)S1S2 un vn.
n1
n1
n1
证
(un vn ) 的部分和为：
n1
n
Sn (uk vk) ( u 1 v 1 ) ( u 2 v 2 ) ( u n v n ) k1
ห้องสมุดไป่ตู้
12 1
1 2n1
1 1 1 13 35 57
而 nl im Snnl im 1 212n1112
故
1
1
n1(2n1)(2n1) 2
即该级数收敛, 其和为 S 1 . 2
111 1 1 1 33 55 7 (2 n 1 )2 ( n 1 ) 2
二. 级数收敛的必要条件
n 1
2. 级数的敛散性定义
无穷级数 u n 的前 n 项之和：
n 1
n
Sn uk u1u2 un, k1
称为级数的部分和.
若 lni mSn S 存在, 则称级数 u n n 1
S 称为级数的和： un S .
n 1
收敛.
若
lim
n
Sn
不存在 ( 包括为 ) ,
则称级数 u n 发散.
当公比 | r | 1 时, 等比级数发散.
例4
讨论级数
1
的敛散性.
n1(2n1)(2n1)
解 (2n 1 )12 (n1 )1 2 2n 1 12n 1 1
S n 1 2 1 1 3 1 2 1 3 1 5 1 2 1 5 7 1 1 2 2 n 1 1 2 n 1 1
第八章 无穷级数
常数项级数的概念和性质 常数项级数敛散性判别法 函数项级数 函数展开为幂级数 函数展开为傅里叶级数
结束
第一节 常数项级数的概念和性质
一. 无穷级数的概念 二. 级数收敛的必要条件 三. 无穷级数的基本性质
一.无穷级数的概念
1.无穷级数的定义
设有数列 {un}: u1 , u2 , …, un , … 则称表达式