部分根轨迹例题
根轨迹例题——精选推荐
根轨迹例题题4-1 求下列各环传递函数所对应的负反馈系统根轨迹。
（1）2(2)()23g K K s W s s s +=++解1）起点：两个开环极点1211p p -=-+-=--。
终点：系统有一个 2 z -=-开环零点。
2）实轴上根轨迹区间为 (2]-∞-，。
3）渐近线计算由公式()()1118012 0,1,2,n mj i j i k n m p z n m μϕμσ==⎧+==⎪-⎪⎪⎨-⎪⎪-=-⎪-⎩∑∑ 求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为180(12)18021μϕ+==-22021k σ--=-=- 4）求分离点，会合点 由'()()'()()0D s N s N s D s -=得223(2)(22)0s s s s ++-++=整理得2410s s ++=解得12s =--22s =-+。
由于实轴上的根轨迹在()2-∞，区间内，所以分离点应为12 3.7s =-≈-。
5）出射角计算由111180n m sc j i j i ββα-==⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑得()11809054.7144.7sc β=--=同理，2144.7sc β=- 。
根轨迹如图4-1所示。
图4-1 题4-1(1) 根轨迹图（2）)22)(2()(2+++=s s s s K s W gK解1） 起点：系统四个开环极点为12340,2,1,1p p p j p j -=-=--=---=-+；终点：四个无限零点。
2） 渐近线计算由公式()()1118012 0,1,2,n mj i j i k n m p z n m μϕμσ==⎧+==⎪-⎪⎪⎨-⎪⎪-=-⎪-⎩∑∑求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为180(12)451354o μϕ+==±± 、21114k σ+-=-=-＋ 3） 分离点，会合点计算'()()'()()0D s N s N s D s -=整理得 3 (1)0s += 解得1,2,3 1s =- 4） 出射角计算由111180n m sc j i j i ββα-==⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑得()1180901354590sc β=-++=-同理，290sc β=+ 。
根轨迹绘制习题及答案
根轨迹绘制习题及答案根轨迹绘制习题及答案根轨迹是控制系统理论中的重要概念，它可以帮助我们分析和评估系统的稳定性和动态响应。
在学习根轨迹绘制的过程中，练习习题是必不可少的。
本文将为大家提供一些根轨迹绘制的习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 习题一：考虑一个开环传递函数为G(s) = K/(s^2 + 2s + 1)的系统，请绘制其根轨迹，并分析系统的稳定性。
解答一：首先，我们需要确定系统的极点和零点。
对于给定的传递函数G(s)，我们可以将其分解为G(s) = K/(s+1)^2的形式，其中极点为-1，零点为无穷远处。
接下来，我们可以根据根轨迹的特性来绘制图形。
根轨迹是极点随着增加K的值而移动的轨迹。
当K趋近于无穷大时，根轨迹会趋近于极点的位置。
根据根轨迹的性质，我们可以得出以下结论：- 当K为正实数时，根轨迹从零点开始，逐渐向极点移动。
- 当K为负实数时，根轨迹从极点开始，逐渐向零点移动。
- 当K为纯虚数时，根轨迹会绕过零点和极点，形成一个闭合的曲线。
因此，在本例中，当K为正实数时，根轨迹从零点开始，逐渐向极点-1移动。
系统的稳定性取决于根轨迹是否穿过虚轴。
根据根轨迹的绘制，我们可以发现根轨迹没有穿过虚轴，因此系统是稳定的。
2. 习题二：考虑一个开环传递函数为G(s) = K/(s^2 + 3s + 2)的系统，请绘制其根轨迹，并分析系统的稳定性。
解答二：首先，我们需要确定系统的极点和零点。
对于给定的传递函数G(s)，我们可以将其分解为G(s) = K/(s+1)(s+2)的形式，其中极点为-1和-2，零点为无穷远处。
接下来，我们可以根据根轨迹的特性来绘制图形。
根轨迹是极点随着增加K的值而移动的轨迹。
当K趋近于无穷大时，根轨迹会趋近于极点的位置。
根据根轨迹的性质，我们可以得出以下结论：- 当K为正实数时，根轨迹从零点开始，逐渐向极点移动。
- 当K为负实数时，根轨迹从极点开始，逐渐向零点移动。
根轨迹示例之一：根轨迹规则
（2）若已知闭环系统的一个极点为
s1 1 ，试确定闭环传递函数。
解：闭环传递函数
( s )
K ( s 1)( s 5) ； ( s 2)2 ( s 5) 5K ( s 1)
K 值可根据给定的闭环极点 s1 1 应 用幅值条件求出：K=0.4 法二：直接在闭环特征方程中代入 s=-1
p 90 ， p 90 ， p 270 ， p 270
1 2 3 4
根轨迹的分离点由前求得为
d 1 。
根轨迹与虚轴的交点为 s 0 ， K * =10 作反馈极性为正时的根轨迹如图 5-2 所示。 由图 5-1 知，反馈极性为负时，使系统闭环稳定的 K * 范围为 0,16.25 ;由图 5-2 知，反馈极性为正时，使系统闭环稳定的 K * 范围为 0,10 。因此反馈极性未 知时，使系统闭环稳定的 K * 范围为 0,10 。
s d 2,3
故 d 2 , 为常规根轨迹的复分离点。 3
根轨迹与虚轴的交点 s1 , 2 j1 . 8 7 。概略绘制系统反馈极性为负时的根轨迹 1 如图 5-1 所示。 （2） 反馈极性为正时：作零度根轨迹， 实轴上的根轨迹区间为 (, ) ， 根轨迹有四条渐近线，且 a 1 ； a 0 ,90 ,180 , 270 。 根轨迹的起始角为
根轨迹示例－1――由根轨迹规则画根轨迹
1． 系统的开环传递函数为
G( s) H ( 3)(s 2 2s 2)
并列出详细步骤。 （提示：分离点用试差法求近似值） 。 解：实轴上的根轨迹区间为[－3, 0]; 渐近线与实轴的交点与角度分别为：
p
p1,2 1 j 2,
根轨迹示例之二：广义根轨迹(简版)
根轨迹示例－2（广义根轨迹）2009年五、（15分/150分）图5所示控制系统期望闭环极点2±。
(1) 试确定相应的K 、T 值；（2）对求出的T 值画出根轨迹，确定使系统稳定的K 值范围以及临界状态时的振荡频率。
解：（1）K=14， 12T =−（2）对12T =−开环传递函数：1(1)22()()(3)2(3)s K s G s H s K s s s s −+−==−++ 画根轨迹因为K 前面有负号，故当K 从0→∞，需要按0o 根轨迹规则作根轨迹 ⇒6,6K ω==图5 题五控制系统方块图5．（15分）单位负反馈系统的开环传递函数为24()(1)s a G s s s +=+ （1）试绘制参数a 由0→∞变化的闭环根轨迹；（2）求出系统处于临界单调衰减时以乘积形式表示的闭环传递函数。
解：（1）~3220.25()44(0.5)a aG s s s s s s ⇒==+++等效开环传递函数根轨迹如图所示。
（2）1,216S ⇒=−临界单调衰减即分离点处1,216322220.2510.074(0.5)s-0.250.25()0.250.666()/40.074(1)()()/44(0.17)(0.67)1(1)S aa s s s s s a a s a s s s s s a s s s s σσσφ=−=⇒=+∴=+++⇒××−=⇒=−+++∴==+++++Q 2由幅值条件：第三个闭环极点位于实轴111（）(s+)666此时，也可以用到根轨迹中的第九条“守恒规则”（因为n-w>=2）5． （20%）已知反馈控制系统的开环传递函数为*22()()(22)(25)K G s H s s s s s =++++ *0K > 但反馈极性未知，欲保证闭环系统稳定，试确定根轨迹增益*K 的范围。
解：若反馈极性为负时，使系统闭环稳定的*K 范围为(,)a b ，而反馈极性为正时，使系统闭环稳定的*K 范围为(,)c d ，则选择*(,)K e f ∈，而(,)e f 为(,)a b 和(,)c d 的公共区间，即可保证系统闭环稳定。
根轨迹例题
求得分离点为： （6）根轨迹的起始角：
s 15
因为开环有一对共轭复数极点，需求 p3、 4 处的根轨迹起始角。
p (2k 1) ( p3 zi ) ( p3 p j )
3
m
n
i 1
j 1 j 3
系统的大致根轨迹如图：
确定K值范围：与分离点s1相应的
K g s . s 1. s 4 s0.46 0.88
K K g 4 0.22
因此，若使系统在阶跃响应下为衰减振荡型，K的取值 范围应为 0.22 K 5 。
例2：已知控制系统前向通道和反馈通道传递函数分别为：
实部为零 虚部为零
5 6 ＝ 3
k 1391
（rad/s ）
k K 3.47 400
根据以上结果画出概略的根轨迹图。
例1：已知系统的开环传递函数为： K G( s) H ( s) s( s 1)(0.25s 1) （1）绘制系统的根轨迹图； （2）为使系统的阶跃响应呈现衰减形式，试确定K值范围。 解： 系统的开环传递函数为
K [例]开环传递函数为 Gk (s) s(0.05s 1)(0.05s 2 0.2s 1) ，试绘制系
统的根轨迹。
解：将开环传递函数写成绘制根轨迹的标准形式
k Gk ( s) s( s 20)(s 2 4s 20) (k 400K )
开环有四个极点：
p1 0 p2 20 p3、 4 2 4 j
Kg 4K G( s) H ( s) s( s 1)(s 4) s( s 1)(s 4)
其中
K g 4K
根轨迹法 例题和习题
s j
代入上方程，令
Re( D( j )) 4 8 2 2K 0
Im(
D(
j
))
(6
K
)
5 3
0
解得：
K
0 0
1.61
第4章 根轨迹分析法
(1948年美国Evans伊文思 提出)
4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制根轨迹的基本方法 4.3 广义根轨迹 4.4 用根轨迹法分析系统性能 4.5 MATLAB用于根轨迹分析
红河学院自动化系
自动控制原理
法则 1 根轨迹的起点和终点
法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
s( s 10 j10 )( s 10 j10 )
解 ⑴ G( s )
K*( s 2 )
( s 1 j2 )( s 1 j2 )
根轨迹绘制如下：在s平面上标注零极点
① 实轴上的根轨迹： ,2
② 分离点与汇合点：
1 1 1 d 1 j2 d 1 j2 d 2
解之得： d 4.23
从实轴上最右端的开环零、极点算起，奇数开环零、 极点到偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。
定理: 若系统有2个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在根轨迹， 则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。
红河学院自动化系
自动控制原理
n
m
pi zi
法则4 渐近线： 渐近线交点
a
i 1
j 1
nm
K*1ຫໍສະໝຸດ 1 j 3 1 1 j 3 2 1 j 3 4
解出 ： K* 12
红河学院自动化系
K K* 3 82
自动控4制-4原已理知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。
根轨迹法习题答案
根轨迹法习题答案根轨迹法习题答案根轨迹法是控制工程中常用的一种分析和设计控制系统的方法。
通过绘制系统的根轨迹图，可以直观地了解系统的稳定性和动态响应特性。
在学习根轨迹法的过程中，习题是非常重要的一部分。
下面将给出一些常见的根轨迹法习题及其详细解答。
1. 问题描述：考虑一个开环传递函数为G(s) = K(s+1)/(s^2+2s+2)的控制系统，求解当K取何值时，系统的闭环极点位于左半平面。
解答：根据根轨迹法的基本原理，当系统的闭环极点位于左半平面时，根轨迹必须通过左半平面的点。
因此，我们只需要找到根轨迹与虚轴交点的位置即可。
首先，我们可以计算系统的开环零点和极点。
系统的零点为s+1=0，即s=-1；系统的极点为s^2+2s+2=0，解得s=-1±j。
接下来，我们绘制根轨迹图。
首先，我们将系统的零点和极点标记在复平面上。
由于根轨迹是一条连续的曲线，我们可以通过绘制一系列的点来近似表示根轨迹的形状。
根据根轨迹法的规则，根轨迹从极点出发，向零点靠近。
我们可以选择一些特定的点来绘制根轨迹。
例如，我们可以选择s=-1-2j，s=-1-4j，s=-1-6j等点。
通过计算这些点对应的传递函数的幅角和幅值，我们可以得到根轨迹的大致形状。
根据计算，当K取较小的正值时，根轨迹将通过左半平面的点，而当K取较大的正值时，根轨迹将通过右半平面的点。
因此，当K为正值且介于两者之间时，系统的闭环极点将位于左半平面。
2. 问题描述：考虑一个开环传递函数为G(s) = K(s+2)/(s^2+3s+2)的控制系统，求解当K取何值时，系统的闭环极点位于虚轴上。
解答：根据根轨迹法的原理，当系统的闭环极点位于虚轴上时，根轨迹必须通过虚轴上的点。
因此，我们需要找到根轨迹与虚轴交点的位置。
首先，计算系统的开环零点和极点。
系统的零点为s+2=0，即s=-2；系统的极点为s^2+3s+2=0，解得s=-1，s=-2。
接下来，我们绘制根轨迹图。
根轨迹绘制例题
Im 4
2 三重 极点 -4 -2 0 -2 Re
-6.65 -6
-4
2．当－∞≤kg≤0时，绘制0o等相角根轨迹。
实轴上的根轨迹区间为：[-3，-1]和[0，+∞) 渐近线：开环极点数-开环零点数=1，则该根轨迹有一条 渐进线。渐进线的倾角为： 2k 0 nm 分离（会合）点：计算方法如1。s=-6.65不在根轨迹上， 应该舍去。 s=-1.35是会合点。
实轴上的根轨迹区间为： [-4，0]
根轨迹的渐近线：开环极点与开 环零点的数目相同，该根轨迹没有 渐进线。
z2
-4
p1
Im
116.57 1 Re 0
1
2
-3 -2 实轴上根轨迹
z1
-1
1
p2
-1
分离（会合）点：令 s4 kgs ' 2 1 N( s )2 s4 N (s )s 4 s 2 s 2 s2 2 ' D ( s ) s 2 s 2 D ( s )2 s 2 2 ' ' 代入方程 N 有： ( s ) D ( s ) N ( s ) D ( s ) 0 s 2 s 4 0
根轨迹与虚轴的交点：
2 1 k ) s ( 2 4 k ) s 2 0 系统的闭环特征方程为： ( g g
劳斯阵列如下： s2 1 kg 2
s1 2 4k g 0 s0 2 0 由于kg≥0，劳斯阵列中没有全为零的行。所以，根 轨迹与虚轴没有交点。根轨迹如下：
Im 1 -1.24 -4 -3 -2 -1 0 -1 Re
2 三重 极点 -4 -2 0 -2 Re
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a
即
( 2 k 1) 30
( k 0,1,2)
a＝60 ， 180 ， 300
③实轴上的根轨迹区间是（－∞，－4），（－1，0） ④求根轨迹分离点
d D(s) d [ ] [ s ( s 1)( s 4)] 3s 2 10 s 4 0 ds N ( s ) ds
D ( s ) ( s 5)( s 2 4 s 4) 5 K ( s 1)
得：
K 4
0 K 4
所以闭环系统稳定的K范围是
（2）闭环传递函数
(s)
G (s) 1 G (s) H (s) K ( s 1)( s 5) ( s 5)( s 2) 2 5 K ( s 1)
前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质）， 这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下： 标注开环极点“ ”和零点 “ ○ 确定实轴上的根迹区间； ”；
画出n-m条渐进线。其与实轴的交点和倾角分别为：
p z
j
i
nm
;
( 2 k 1) nm
, k 0,1,2,3...
5s 2 K g 0
5s 2 20 0 s j j 2
求交点也可用如下方法：
2 2 令 s j 代入方程得： K g 5 j ( 4 ) 0
解得
4 2 0 2 2 K g 5 0 K g 20
计算会合点和分离点：
由N ' (s)D(s) - N(s)D ' (s) 0求解
注意：
后两步可能不存在；
在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。
例1：已知系统的开环传递函数为：
G (s) H (s) K s ( s 1)( 0.25 s 1)
（1）绘制系统的根轨迹图； （2）为使系统的阶跃响应呈现衰减形式，试确定K值范围。 解： 系统的开环传递函数为
( 取 k 0)
根据根轨迹关于实轴对称的特点，可知极点p4＝－1－j的出射 角为26.6°。
当s1=－1时，由特征方程 D ( s1 ) 0 ，可得
K 1 0 .4
代入闭环传递函数
(s)
0.4( s 1)( s 5) ( s 5)( s 2) 2( s 1)
2
0.4( s 1)( s 5) ( s 1)( s 2 8 s 18 )
例3：已知系统的开环传递函数为：
G (s) H (s) K ( s 2) s ( s 3)( s 2 2 s 2)
试绘制系统的根轨迹。 解：①系统n=4，m=1，其开环零、极点为：
z 2, p1 0, p 2 3, p3、 1 j 4
根轨迹共有四条分支，其中一条分支终止于零点－2，其余三 条分支趋向于无穷远。 ②实轴上的根轨迹位于区间（－2，0），（－∞，－3）。 ③渐近线的倾角：
p 2 , 3 2
5 K ( s 1) ( s 5)( s 2) 2
①开环零、极点
z1 1 , p1 5 , ( n 3, m 1)
②实轴根轨迹 ③渐近线
(5,1)
5 2 2 1 3 1
5
( 2 k 1) 3 1
2
④分离点
d D(s) 0 s 3 3s 2 9 s 22 0 ds N ( s )
s1 2 ,
s2 3.854 ,
s3 2.854 ( 舍去 )
可作出根轨迹如图：
若使闭环系统稳定，则闭环特征根必须位于左半S平面，故将 s=0代入特征方程
a
( 2 k 1) nm ( 2 k 1) 4 1 60 ,180 ( k 1,0,1)
渐近线与实轴的交点：
p z
j
i
nm
0 3 1 j 1 j 2 4 1
1
④根轨迹的一条分支起始于极点p1=0，沿负实轴终止于零点 z=-2；一条分支起始于极点p2＝－3，沿负实轴趋向－∞；其 余的两条分支起始于共轭复极点p3、4＝－1±j，沿渐近线趋向 无穷远处。 ⑤求根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程为： s 4 5 s 3 8 s 2 (6 K ) s 2 K 0
系统的大致根轨迹如图：
确定K值范围：与分离点s1相应的
K g s . s 1 . s 4 s 0 .46 0.88
K K g 4 0.22
因此，若使系统在阶跃响应下为衰减振荡型，K的取值 范围应为 0.22 K 5 。
例2：已知控制系统前向通道和反馈通道传递函数分别为：
即
27 s 2 70 0 s j1.61
解得与虚轴交点为 ⑥求p3、4起点的出射角
p ( 2 k 1) ( p3 z i ) ( p3 p j )
3
m
n
i 1
j 1 j 3
( 2 k 1) ( p3 2 ) p3 ( p3 3) ( p3 1 j ) ( 2 k 1) 45 135 26 .6 90 26 .6
G (s)
K g 4K
Kg s ( s 1)( s 4)
其中
①开环极点0，－1，－4，它们是三条根轨迹起点。系统无有 限开环零点，故根轨迹将趋向于无穷远点。 ②根轨迹的渐近线： a 1 4 0 1.67
G (s) K ( s 1) s 4s 4
2
,
H (s)
5 s5
（1）绘制系统的根轨迹，确定使闭环系统稳定的K值范围。 （2）若已知系统闭环极点s1=－1，试确定系统的闭环传递函数。 解：（1）
G (s) H (s) 5 K ( s 1) ( s 5)( s 2 4 s 4)
s1 0.46 s2 2.87
由③知s2不在根轨迹上，故s1是根轨迹的分离点。 ⑤求根轨迹与虚轴的交点
闭环特征方程为：
s3 劳斯阵列为： s2 s1 s
0
s 3 5s 2 4 s K g 0
1 5 20 K g 5 Kg
4 Kg 0 0
第一列出现零，即Kg＝20时系统处于临界稳定，其对应的临 界开环增益为K＝Kg/4＝5。 相应的辅助方程为 即 与虚轴的交点为：
计算极点处的出射角和零点处入射角：
出射角 ( 2 k 1) 从其他极点到该极点的 矢量幅角 ） （ （ 从各个零点到该极点的 矢量幅角 ） 入射角 ( 2 k 1) 从各个极点到该零点的 （ （ 从其他零点到该零点的 矢量幅角 ） 矢量幅角 ）
计算根轨迹和虚轴的交点；
劳斯阵列为：
s4 s3 s2 s1 s
0
1 5 40 ( 6 K ) 5 6 K 50 K 34 K 2K
8 6 K 2K 0 0
2K 0 0 0 0
系统处于临界状态时，由s1行首列为零得
6 K 50 K 34 K 0
解得： 辅助方程
K 7.03
40 (6 K ) 5 s 2 2K 0