匀变速直线运动的几个推论及其证明
_匀变速直线运动规律的几个重要推论
匀变速直线运动规律的几个重要推论重难点解析：1. 匀变速直线运动的三个重要推论的推导过程：（1）在连续相等的时间（t）内的位移之差为一恒定值，即（又称匀变速直线运动的判别式）。
推证：设物体以初速、加速度a做匀加速直线运动，自计时起时间t内的位移①在第2个t内的位移②由①②两式得连续相等时间内的位移差为即。
进一步推证可得（2）某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度。
即推证：由①知经的瞬时速度②由①得，代入②中，得即（3）某段位移内中间位置的瞬时速度V S/2与这段位移的初、末速度与的关系为推证：由速度位移公式①知②由①得，代入②得得说明：匀变速直线运动中某段位移中点的瞬时速度大于该段时间中点的瞬时速度。
【典型例题】问题1、平均速度公式推论的应用：［考题1］有一做匀加速直线运动的质点，它在连续相等的时间间隔内，所通过的位移分别是24m和64m，每一个时间间隔为4s，求质点的初速度和加速度。
［解析］解法一：用常规方法来解。
据题意知，物体在AB段的位移为，在BC段的位移为（如图所示），从A到B和从B到C质点运动时间均为4s，要求a和，由位移公式有：将代入以上两式，可得：解法二：用平均速度求解，先求出在AB、CD两段位移内的平均速度：物体运动到B点时是中间时刻，由于匀变速直线运动在一段时间的中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，则又有：，所以，故解法三：利用匀变速直线运动的规律，，由题意得：再由匀变速直线运动的位移公式：可求出变式1：做匀加速直线运动的质点，连续经过A、B、C三点，已知AB＝BC，且已知质点在AB段的平均速度为3m/s，在BC段的平均速度为6m/s，则质点在B点时速度为（）A. 4m/sB. 4.5m/sC. 5m/sD. 5.5m/s答案：C变式2：一物体做匀减速直线运动，初速度为12m/s,加速度为2m/s2,该物体在某1s内的位移是6cm，此后它运动多少米速度为零？答案：6.25m问题2、Δs=aT 2推论的应用问题：［考题2］从斜面上某一位置，每隔0.1s释放一颗小球，在连续释放几颗后，对在斜面上滚动的小球拍下照片，如图所示，测得，，试求（1）小球的加速度；（2）拍摄时B球的速度；（3）拍摄时；（4）A球上面滚动的小球还有几颗？解析：释放后小球都做匀加速直线运动，相邻两球的时间间隔均为0.1s，可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置。
(完整版)匀变速直线运动的推论及推理
罗老师总结匀变速直线运动常用公式 （附匀变速直线运动的推论及推理过程）一、基本公式速度公式 at v v t +=0 当00=v 时，at v t = 位移公式 2021at t v s += 221at s = 二、几个常用的推论1．位移推导公式 2022v v as t -=， t v v s t20+=2．平均速度v 、中间时刻的瞬时速度2/t v 、中间位置的瞬时速度2/s v 为：0/22t t v v xv v t +===， 22202/t s v v v += 3．做匀变速直线运动的物体，在各个连续相等的时间T 内的位移分别是s 1、s 2、s 3…s n ，则Δs ＝s 2－s 1＝s 3－s 2＝…＝s n －s n-1＝aT 2．4．V 0=0的匀加速直线运动中的几个常用的比例公式（1）等分运动时间，以T 为单位时间．①１T 末，２T 末，3T 末…，n T 末的速度之比v 1：v 2：v 3：…：v n =1：2：3…：n②1T 内、2T 内、3T 内…n T 内通过的位移之比s 1：s 2：s 3：…：s n =1：4：9…：n 2③第1个T 内、第2个T 内、第3个T 内…、第n 个T 内通过的位移之比s Ⅰ：s Ⅱ：s Ⅲ：…：s N =1：3：5…：（2n —1）④第1个T 内、第2个T 内、第3个T 内…、第n 个T 内的平均速度之比v Ⅰ：v Ⅱ：v Ⅲ：…：v N =1：3：5…：（2n —1） （2）等分位移，以x 为位移单位． ①通过1x 、2x 、3x …、n x 所需时间之比t 1：t 2：t 3：…：t n =1：3:2…：n②通过第1个x 、第2个x 、第3个x 、…第n 个x 所需时间之比t Ⅰ：t Ⅱ：t Ⅲ：…：t N =1：:23:12--…：1--n n③1x 末，2x 末，3x 末…，n x 末的速度之比v 1：v 2：v 3：…：v n =1：3:2…：n对匀变速直线运动公式作进一步的推论，是掌握基础知识、训练思维、提高能力的一个重要途径，掌握运用的这些推论是解决一些特殊问题的重要手段。
匀变速直线运动推论及其应用
匀变速直线运动的三个常用推论
3.做匀变速直线运动的物体，某段位移的中间位 置的瞬时速度等于初、末速度的方均根，
Vx
2
V02 V 2 2
v0 x/2 vx/2
x/2 V
【推导】根据速度位移公式有Vx/22v02=2a•x/2；V2-vx/22=2a•x/2 联立解得即可。
v/m·s
-1
v
a
注意：中间位置的瞬时速度不
等于该段位移内的平均速度。可
v0
以证明，无论匀加速还是匀减速， 0
都有
Vt Vx
2
2
at
v0 t/2 t t/s
C．前3s内的位移是6m D．3s末的速度是3 m/s
V(m/s) 3m/s
答案：B
t/s
0123
应用
【例4】一人从雪坡上匀加速下滑，依次通过a、b、c三面
标志旗。已知ab=6m，bc=10m，人通过ab和bc所用的
时间均为2s，则人通过a、b、c三面标志旗时的速度va、
vb、vc分别为（ ）
A. 2m/s，3m/s，4m/s
【例1】做匀加速直线运动的列车出站时，车头经过站台
时的速度为1m/s，车尾经过站台时的速度为7m/s，则车
身的中部经过站台的速度为（ ）
A、3.5m/s
B、4.0m/s
C、5.0m/s
基本公式练习
1.已知:v0、v、a，求:t=? 2.已知:v0、v、a，求:x =? 3.已知:v0、a、t ，求:x=? 4.已知: t 、v、x，求:v0=? 5.已知:v0、v、x，求:a=? 6.已知:v、t、x， 求:v0=? 7.已知:v0、a、x，求:v=?
高一物理匀变速直线运动规律推论
匀变速直线运动推论公式：
1、任意两个连续相等时间间隔T内，位移之差 是常数，即△x=x2-x1=aT2。
拓展:△xMN=xM-xN=(M-N)aT2
的色泽和质感。蘑菇王子：“哇！看来玩这玩意儿并不复杂，只要略知一二，再加点花样翻新一下就可以弄出来蒙世骗人混饭吃了……知知爵士：“嗯嗯，关键是活学活用 善于创新！本人搞装潢的专业可是经过著名领袖亲传的．”蘑菇王子：“哈哈，学知识就需要你这种的革新态度！”知知爵士：“嗯嗯，谢谢学长鼓励，我真的感到无比自
例2、已知一物体做匀变速直线运动，加速度为 a，试证明在任意一段时间t内的平均速度等于该 段时间中点t/2时刻的瞬时速度。
证明：设物体在匀变速直线运动中，任意一段
时间t的初速度为v0，位t的为时t时移位间为移内vxxxv0t12a2t 中间时刻t/2的速度 联上得v间的均度2t立两内平速为以式v0vtv01212aatt
分别是x1和x2。
由运动学知识：
x1v0T12a2x2v1T12a2Tv10aTT
两个连续相等的时间T内的位移之差：
x x2 x1 (v1 v0 )T aT 2 因为T是个恒量，小车加速度也是恒量，因此 △x也是个恒量。
即:只要物体做匀变速直线运动，它在任意两 个连续相等的时间内的位移之差等于一个 .
匀变速直线运动 规律推论
1、速度公式： v＝v0+at
2、位移 公式：
xv0t12a2t
3、位移 与速度关
v2v022ax
4、平均 速度：
v系12：(v0v)xt
例1、证明：物体做匀变速直线运动，在任意两 个连续相等的时间内的位移之差等于一个常数。
证明：设加速度为a，经过任意一点A的速度为
v0，从A点开始经两个连续相等的时间T的位移
匀变速直线运动6个推论推导过程
匀变速直线运动6个推论推导过程一、推论一：速度 - 位移公式v^2-v_0^2=2ax1. 推导依据。
- 匀变速直线运动的速度公式v = v_0+at，位移公式x=v_0t+(1)/(2)at^2。
2. 推导过程。
- 由v = v_0+at可得t=frac{v - v_0}{a}。
- 将t=frac{v - v_0}{a}代入位移公式x = v_0t+(1)/(2)at^2中，得到：- x=v_0frac{v - v_0}{a}+(1)/(2)a(frac{v - v_0}{a})^2。
- 展开式子：x=frac{v_0v - v_0^2}{a}+(1)/(2)frac{(v - v_0)^2}{a}。
- 进一步化简：ax=v_0v - v_0^2+(1)/(2)(v^2-2vv_0+v_0^2)。
- ax = v_0v - v_0^2+(1)/(2)v^2-vv_0+(1)/(2)v_0^2。
- 整理可得v^2-v_0^2=2ax。
二、推论二：平均速度公式¯v=frac{v_0+v}{2}（适用于匀变速直线运动）1. 推导依据。
- 位移公式x = v_0t+(1)/(2)at^2，速度公式v = v_0+at，平均速度定义¯v=(x)/(t)。
2. 推导过程。
- 由位移公式x = v_0t+(1)/(2)at^2。
- 又因为v = v_0+at，则t=frac{v - v_0}{a}。
- 将t=frac{v - v_0}{a}代入位移公式得x=v_0frac{v - v_0}{a}+(1)/(2)a(frac{v - v_0}{a})^2。
- 平均速度¯v=(x)/(t)，t=frac{v - v_0}{a}，则¯v=frac{v_0frac{v -v_0}{a}+(1)/(2)a(frac{v - v_0}{a})^2}{frac{v - v_0}{a}}。
匀变速直线运动规律常见推论及推理过程
匀变速直线运动规律常见推论及推理过程本文对匀变速直线运动的常见推论、以及相关推理过程进行归纳总结，结合相关示意图将推理过程详细呈现给读者，适合高一学生学习参考。
匀变速直线运动基本公式如下： at v v +=02021at t v x +=()t v v x +=021ax v v 2202=-常用推论： 一．适用于任意匀变速直线运动的推论1． 某段匀变速直线运动中间时刻瞬时速度与该过程的平均速度相等，且都等于初、末速度和的一半，即：()v v t x v v t +===02212． 任意匀变速直线运动相邻相等时间间隔内的位移之差都相等，都等于2aT ，即：212312aT x x x x x x x n n =-==-=-=∆-拓展结论：x m −x n =(m −n)aT 23． 某段匀变速直线运动中间位置的瞬时速度：22202v v v x +=二． 仅适用于初速度为零的匀加速直线运动的推论1． 从开始运动起，前1个T 末、前2个T 末、前3个T 末……前n 个T 末的瞬时速度之比为：n v v v v n ::3:2:1::::321 =；2． 从开始运动起，前1个T 内、前2个T 内、前3个T 内……前n 个T 内的位移之比为：2222321::3:2:1::::n x x x x n =；3． 从开始运动起，第1个T 内、第2个T 内、第3个T 内……第n 个T 内的位移之比为：x Ⅰ:x Ⅱ:x Ⅲ: … :x N =1:3:5: … : (2n-1)；4． 从开始运动起，前1个x 末、前2个x 末、前3个x 末……前n 个x 末的瞬时速度之比为：n v v v v n ::3:2:1::::321 =；5． 从开始运动起，第1个x 内、第2个x 内、第3个x 内……第n 个x 内所用时间之比为)1(::)23(:)12(:1::::321----=n n t t t t n 。
匀变速直线运动的公式和推论
匀变速直线运动的公式和推论1.位移公式：位移是指物体从起点到终点的位置变化量，用Δx表示，单位是米(m)。
在匀变速直线运动中，位移可以用位移公式计算：Δx = v0t + 1/2at^2其中，v0是运动物体的初速度，单位是米每秒(m/s)，t是运动的时间，单位是秒(s)，a是运动的加速度，单位是米每秒的平方(m/s^2)。
2.速度公式：速度是指物体的位移与时间的比值，用v表示，单位是米每秒(m/s)。
在匀变速直线运动中，速度可以由速度公式得到：v = v0 + at其中，v0是运动物体的初速度，t是运动的时间，a是运动的加速度。
3.位移-时间关系推论：根据位移公式，可以推导出位移与时间的关系。
当加速度a恒定时，位移Δx与时间t的关系为：Δx = v0t + 1/2at^2Δx可以写成位移的平均速度v的形式，即Δx = vt。
将此代入位移公式中，得到：vt = v0t + 1/2at^2整理得到：v=v0+(1/2)at这个推论表明，位移与时间的关系是一个二次函数。
当运动开始时，v0为0，此时位移与时间的关系为：Δx=1/2at^2这个公式描述了匀变速直线运动的加速阶段。
4.速度-时间关系推论：根据速度公式，可以推导出速度与时间的关系。
同样地，当加速度a恒定时，速度v与时间t的关系为：v = v0 + at将位移公式中的v代入，得到：vt = v0 + at整理得到：v = v0 + at这个推论表明，速度与时间的关系是线性的。
当运动开始时，v0为0，此时速度与时间的关系为：v = at这个公式描述了匀变速直线运动的加速阶段。
5.时间-位移关系推论：通过速度-时间关系可以推导出时间与位移的关系。
忽略负号，由速度公式可得：t=(v-v0)/a将位移公式中的v代入，得到：t = (Δx - v0t)/((1/2)at)化简得：t = (2Δx - v0t)/at整理得：t=2Δx/v-v0/a这个推论表明，时间与位移的关系是一个一个二次函数。
匀变速直线运动推论(用)
(变式训练）一物体做匀减速直线运动，3.5秒后停 下来，则第1秒内，第2秒内，第3秒内的位移之比 3:2:1 为_________ 。
巩固练习： 1、一质点做从静止开始做匀加速直线运动，则质点 在第一个2s，第二个2s和第5s内的三段位移之比为 4:12:9 。 ________
2、一颗子弹沿水平方向射来， 恰穿透固定在水平面上
A.3.5 m B.3 m C.2 m D.1 m
例题：一物体做初速为零的匀加速直线运动。 （1）1T末、2T末、3T末……瞬时速度 之比 求：
解：由速度公式
v v0 at at
v1 aT
v2 a 2T
v3 a 3T
v1 : v2 : v3 : : vn 1: 2 : 3 : : n
解法二：逆向思维，用推论．
解法三：逆向思维，看作初速为0的逆过程
解法四：图像法作出质点的速度-来自间图像质点第7s 内的位移大小为阴影部分小三角形面积：
小结： 1．逆向思维在物理解题中很有用．有些物 理问题，若用常规的正向思维方法去思考， 往往不易求解，若采用逆向思维去反面推敲 ，则可使问题得到简明的解答； 2．熟悉推论并能灵活应用它们，即能开拓 解题的思路，又能简化解题过程； 3．图像法解题的特点是直观，有些问题借 助图像只需简单的计算就能求解； 4．一题多解能训练大家的发散思维，对能 力有较高的要求．
三块相同的木板，设子弹穿过木板时的加速度恒定，则 子弹穿过三块木板所用的时间之比为________。
V0 A B C
3.火车紧急刹车后经7s停止，设火车匀减速直线运动， 它在最后1s内的位移是2m，则火车在刹车过程中通过的 位移和开始刹车时的速度各是多少？ 答案：98m 28m/s
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匀变速直线运动的几个推论及其证明
一、任意初速度做匀变速直线运动
1、某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度： v v t =2/。
证明：由at t v v t +=0可知，经2
t
后的瞬时速度为： at v t a v v t 2
1
2002/+=+= 而 0v v at t -= v v v v v v v t t t =-=-+
=2
)(21
0002/ 既：2
02/1t
v v v v +=
= 2、某段位移内中间位置的瞬时速度v 中与这段位移的初、末速度的关系为：2
2
20t v v v +=中点
证明：
根据 as v v t 22
02=- 则 (1)22202s a v v ⋅=-中点
(2)2
22
2s a v v t ⋅=-中点
两式相等有：2
2202中点
中点v v v v t -=- 则有：2
2
2
0t v v v +=
中点 3、任意两个连续相等的时间间隔（T ）内位移之差为一恒量，即
21aT S S S S S S N N =-⋯⋯=-=--II III I II
证明：
设物体以初速度 v0、加速度a 做匀变速直线运动，则自计时起时间T 内的位移2
012
1aT T v s +
=， 前2T 时间内位移2s 为2020222)2(2
1
2aT T v T a T v s +=+
=， 故第二个T 内的位移S Ⅱ为：2012II aT 2
3T v s s s +
=-= 连续相等的相同内的位移差220202
1
23aT aT T v T T v s s s I II =--+=-=∆。
即2aT s =∆
二、 对于初速为零的匀加速直线运动，有如下特殊规律：
1、 1T 末，2T 末，3T 末，……瞬时速度的比为：n v v v v n ::3:2:1:::321⋯=⋯
证明：
12
323t n v at v aT
v aT v aT v naT
=====
2、 1T 内，2T 内，3T 内，……位移比为2321::9:4:1:::n S S S S n ⋯=⋯
证明
22
1222
322
12121
421
921
2N s at s aT s a T s a T s an T =
====
3、 第一个T 内，第二个T 内，第三个T 内，…，位移的比为：
)12(::5:3:1::::-⋯=⋯n S S S S n III II I 证明：
2
22222
23322222212)12(21)1(2125212212321212
1aT
n aT T aT n aT T v s aT
aT aT aT T v s aT aT aT aT T v s aT s n n -=+⋅-=+==+=+==+=+
==
故)12(::5:3:1::::321-⋯=⋯n S S S S n
4、从静止开始通过连续相等的位移所用的时间的比：
()()()
1:23:12:1::::321--
⋯--=⋯n n t t t t n
证明：
由2
2
1at s =
，有： ()
a
s
a s a s t a s t 212222 ,221-=-⨯== ()
a
s a
s
a s t 22322323-=⨯-⨯=
()
a
s
n n a
s
n a ns t n 21
)1(22--
=-⨯-⨯= 故：
()()()
1:23:12:
1::::321--
⋯--=⋯n n t t t t n。