3-1二维随机向量的分布1
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chap3-1 随机向量的联合分布和边缘分布
1
（2） P｛-1<X<1, -1<Y<1｝ 1 1 f ( x, y )dxdy
dx e y dy (1 e 2 )(1 e 1 ).
0 1
（3） P{ X Y 1}
1 1 x
2e ( 2 x y )dy dx 1 2e 1 e2 0 0
f ( x) 0
f ( x, y )dxdy 1
f ( x)dx 1
不难得出，对连续型r.v(X,Y)，其 概率密度与分布函数的关系如下：
F ( x, y )
x
y
f (u, v)dudv
若 f (x, y)在（ x, y ）点连续，则有
F ( x, y ) f ( x, y ) xy
m j 1
pnj
p
i 1
n
im
1
二维随机变量（X,Y） 连续型 X和Y 的联合密度函数
一维随机变量X 连续型 X的密度函数
f ( x , y) P{( x, y) A} f ( x, y )dxdy
Ax )dx
a
b
f ( x, y ) 0
一般，对离散型 r.v ( X,Y )，
X和Y 的联合概率分布为
P( X xi , Y y j ) pij, i, j 1,2,
则(X,Y)关于X的边缘概率分布为
P( X xi ) pi pij , i 1,2,
j
(X,Y)关于Y 的边缘概率分布为
P(Y y j ) p j pij ,
二维分布函数的性质 1. x,y R1 有 0≤F(x,y)≤1,
（2） P｛-1<X<1, -1<Y<1｝ 1 1 f ( x, y )dxdy
dx e y dy (1 e 2 )(1 e 1 ).
0 1
（3） P{ X Y 1}
1 1 x
2e ( 2 x y )dy dx 1 2e 1 e2 0 0
f ( x) 0
f ( x, y )dxdy 1
f ( x)dx 1
不难得出，对连续型r.v(X,Y)，其 概率密度与分布函数的关系如下：
F ( x, y )
x
y
f (u, v)dudv
若 f (x, y)在（ x, y ）点连续，则有
F ( x, y ) f ( x, y ) xy
m j 1
pnj
p
i 1
n
im
1
二维随机变量（X,Y） 连续型 X和Y 的联合密度函数
一维随机变量X 连续型 X的密度函数
f ( x , y) P{( x, y) A} f ( x, y )dxdy
Ax )dx
a
b
f ( x, y ) 0
一般，对离散型 r.v ( X,Y )，
X和Y 的联合概率分布为
P( X xi , Y y j ) pij, i, j 1,2,
则(X,Y)关于X的边缘概率分布为
P( X xi ) pi pij , i 1,2,
j
(X,Y)关于Y 的边缘概率分布为
P(Y y j ) p j pij ,
二维分布函数的性质 1. x,y R1 有 0≤F(x,y)≤1,
《概率论》二维随机变量及其分布函数的定义、基本性质
定义3-1 n个随机变量X1，X2，…，X n构成的整体X=(X1，X2，…，X n)称为一个n维随机变量或n维随机向量，X i称为X的第i(i=1，2，…，n)个分量.
定义3-2 设(x，Y)为一个二维随机变量，记
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}，-∞<z<+∞，-∞<y<+∞，< p="" style="padding: 0px; list-style: none;">
称二元函数F(x，y)为X与y的联合分布函数或称为(X，Y)的分布函数.
(X，Y)的两个分量X与y各自的分布函数分别称为二维随机变量(X，Y)关于X与关于y的边缘分布函数，记为F X(x)与F Y(y).
边缘分布函数可由联合分布函数来确定，事实上，一元函数
几何上，若把(X，Y)看成平面上随机点的坐标，则分布函数F(x，y)在(x，y)处的函数值就是随机点(X，Y)落在以(x，y)为顶点、位于该点左下方的无穷矩形D内的概率.
分布函数F(x，y)具有下列性质：
(1)F(x，y)是变量x(或y)的不减函数.
(2)0≤F(x，y)≤l，
对任意固定的y，F(-∞，y)=0
对任意固定的x，F(x，-∞)=0;
F(-∞, -∞)=0，F(+∞，+∞)=1. (3)F(x，y)关于x和关于y均右连续，即F(x,y)=F(x+0,y);F(x，y)=F(x,y+0). (4)对任意固定的x1<x2，y1<y2
F(x2 ,y2)-F(x2,yl)-F(xl，y1)+F(x1+yl)≥0.。
3-1 离散型随机变量联合分布列和边际分布列
解 {Xi,Yj}的取值情: 况 i1 是 ,2,3,4,
j取不大i的 于正整. 且数由乘法公式得 P {X i,Yj} P { Y jX i} P { X i} 1 1 ,
i4 i1,2,3,4, j i.
于是(X,Y)的分布律为
X Y
1
1
1
4
2
0
3
0
4
0
2 34
4
2
25
5
2
5
例6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续 求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数， 分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律 与边缘分布律。 解：(X,Y)的取值有如下四种情况：(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)
（2）不放回摸球情况
1
8 4 4 4 2 4 1 4 4
27 9 9 9 9 9 27 9 9
2
8 2 4 2 2 2 1 2 2 27 9 9 9 9 9 27 9 9
3
8 1 27 27
4 1 27 27
1 27
pi•
8 27
4
2
1
9 9 27
1
(1) 与(2) 有相同的边缘分布, 但它们 的联合分布却不同.
L
y2
Px1, y2 Px2, y2
L
Pxm, y2
L
L
yn
L
L Px1,yn L
L Px2,yn L
LL
L
L Pxm,yn L
LL
L
2.3.联合分布的性质
1pij Pxi,yj 0;
2 P ij P xi,yj1
j取不大i的 于正整. 且数由乘法公式得 P {X i,Yj} P { Y jX i} P { X i} 1 1 ,
i4 i1,2,3,4, j i.
于是(X,Y)的分布律为
X Y
1
1
1
4
2
0
3
0
4
0
2 34
4
2
25
5
2
5
例6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续 求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数， 分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律 与边缘分布律。 解：(X,Y)的取值有如下四种情况：(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)
（2）不放回摸球情况
1
8 4 4 4 2 4 1 4 4
27 9 9 9 9 9 27 9 9
2
8 2 4 2 2 2 1 2 2 27 9 9 9 9 9 27 9 9
3
8 1 27 27
4 1 27 27
1 27
pi•
8 27
4
2
1
9 9 27
1
(1) 与(2) 有相同的边缘分布, 但它们 的联合分布却不同.
L
y2
Px1, y2 Px2, y2
L
Pxm, y2
L
L
yn
L
L Px1,yn L
L Px2,yn L
LL
L
L Pxm,yn L
LL
L
2.3.联合分布的性质
1pij Pxi,yj 0;
2 P ij P xi,yj1
3.1随机向量的分布
若 i j 5，有 PX i， Y j 0
若i j 5，
有 PX i， Y j
C50 5
C15C25C10
i j 5i j
得X， Y 的联合分布律及 X、Y 的边缘分布律为
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例 3（续）
§2 边缘分布
Y X
0 1 2 3 4 5 p j
0
0.0001 0.0015 0.0059 0.0097 0.0064 0.0014 0.025
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§1 随机向量的分布
按定义，概率密度 f (x , y ) 具有以下性质：
10 f (x, y) 0 ;
20
f (x, y)dxdy F(,) 1;
30 若f (x, y)在点(x, y)连续，则有 2F (x, y) f (x, y). xy
Fx， y pij xi x， y j y
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§1 随机向量的分布
二维连续型随机变量
对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如 果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有：
yx
F(x, y)
f (u,v)dudv,
则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y ) 称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。
解：
由题意知，{X=i，Y=j}的取值情况是：i=1,2,3,4，且是 等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法公式求 得 ( X,Y ) 的分布律。
P{X i,Y j} P{Y j | X i}P{X i} 1 • 1 , i4
其中i 1,2,3,4, j i.
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若i j 5，
有 PX i， Y j
C50 5
C15C25C10
i j 5i j
得X， Y 的联合分布律及 X、Y 的边缘分布律为
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例 3（续）
§2 边缘分布
Y X
0 1 2 3 4 5 p j
0
0.0001 0.0015 0.0059 0.0097 0.0064 0.0014 0.025
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§1 随机向量的分布
按定义，概率密度 f (x , y ) 具有以下性质：
10 f (x, y) 0 ;
20
f (x, y)dxdy F(,) 1;
30 若f (x, y)在点(x, y)连续，则有 2F (x, y) f (x, y). xy
Fx， y pij xi x， y j y
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§1 随机向量的分布
二维连续型随机变量
对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如 果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有：
yx
F(x, y)
f (u,v)dudv,
则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y ) 称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。
解：
由题意知，{X=i，Y=j}的取值情况是：i=1,2,3,4，且是 等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法公式求 得 ( X,Y ) 的分布律。
P{X i,Y j} P{Y j | X i}P{X i} 1 • 1 , i4
其中i 1,2,3,4, j i.
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3-1概率论
G
例5 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度
2 x y , x0 , y0 , ke f ( x, y ) , 其它. 0
试求： ⑴ 常数 k 的值； ⑵ 分布函数 F ( x, y) ; ⑶ 概率 P{Y X }; ⑷ 概率 P{X Y 1};
得
A( B 2 )(C 2 ) 1, A( B )(C ) 0, 2 2 A( B 2 )(C 2 ) 0.
则
A 2 , B , C 2 2 P{ X 3, Y 4} F (3, 4)
pij P{( X , Y ) (i, j )} P{( X i) (Y j )}
独立性
i 3
P{ X i} P{Y j}
i 3 i j 3 j 3 j
C 0.6 0.4 C 0.7 0.3
① P{ X Y } P00 P 11 P 22 P 33 ? ② P{ X Y } P 10 P 20 P 21 P 30 P 31 P 32 ? ③ P{ X 1 Y } P01 P 12 P 23 ?
p12 P{ X 1, Y 2}
1 P{ X 1}P{Y 1| X 1} 0 0 4
1 2 1 P{ X 1}P{Y 2 | X 1} 4/ 4 1/ 3 1/12 , p21 2 / 4 1/ 3 1/ 6
2 F ( x, y ) f ( x, y ) ③ 若 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 连续，则有 xy
④ P{( X , Y ) ( x, y)} 0 ,即连续型随机变量在某点的 概率为0。 ⑤ P{( X ,Y ) G} f ( x, y)dxdy , G表示xoy平面上的区域, 落在此区域上的概率相当于以 G为底,以曲面z f ( x, y) 为顶的曲顶柱体体积。
例5 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度
2 x y , x0 , y0 , ke f ( x, y ) , 其它. 0
试求： ⑴ 常数 k 的值； ⑵ 分布函数 F ( x, y) ; ⑶ 概率 P{Y X }; ⑷ 概率 P{X Y 1};
得
A( B 2 )(C 2 ) 1, A( B )(C ) 0, 2 2 A( B 2 )(C 2 ) 0.
则
A 2 , B , C 2 2 P{ X 3, Y 4} F (3, 4)
pij P{( X , Y ) (i, j )} P{( X i) (Y j )}
独立性
i 3
P{ X i} P{Y j}
i 3 i j 3 j 3 j
C 0.6 0.4 C 0.7 0.3
① P{ X Y } P00 P 11 P 22 P 33 ? ② P{ X Y } P 10 P 20 P 21 P 30 P 31 P 32 ? ③ P{ X 1 Y } P01 P 12 P 23 ?
p12 P{ X 1, Y 2}
1 P{ X 1}P{Y 1| X 1} 0 0 4
1 2 1 P{ X 1}P{Y 2 | X 1} 4/ 4 1/ 3 1/12 , p21 2 / 4 1/ 3 1/ 6
2 F ( x, y ) f ( x, y ) ③ 若 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 连续，则有 xy
④ P{( X , Y ) ( x, y)} 0 ,即连续型随机变量在某点的 概率为0。 ⑤ P{( X ,Y ) G} f ( x, y)dxdy , G表示xoy平面上的区域, 落在此区域上的概率相当于以 G为底,以曲面z f ( x, y) 为顶的曲顶柱体体积。
二维随机向量的分布
2019/1/6 14
X
Y
0 1 2 3
0 0 0 1/ 8 0 3/ 8 0 0 0 3/ 8 0 0 0 0 0 1/ 8
0
X
Y
1 3
1
2
3
01 / 8 1 3/ 8 0 2 3/ 8 0 3 01/ 8
0
2019/1/6
15
三、连续型随机向量的联合密度函数
定义3
对于二维随即向量(X,Y)的分布函数 F( x, y)，如果存在一个非负可积函数f (x, y) x y 使得对于 x , y R ,有 F ( x ,y ) u , v ) dud f(
F ( y ) P ( Y y ) F ( ,y ) P ( X , Y y ) Y
2019/1/6 21
例7 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为
x y x y xy 1 e e e , x 0 , y 0 F ( x , y ) 0 , 其它 称此分布为二维指数分布,其中参数 0 .
0 第二次取到白球 Y 1 第二次取到黑球
试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的 联合分布律。
2019/1/6 11
离散型二维随机向量联合概率分布确定方法: 1. 找出随机变量X和Y的所有取值结果,得 到(X,Y)的所 有取值数对; 2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数 值对的概率; 3. 列出联合概率分布表.
2019/1/6
25
例9 设(X,Y)的联合概率分布表为:
X Y -1 0 1 p.j 0 0.05 0.1 0.1 0.25 1 0.1 0.2 0.2 0.5 2 0.1 0.1 0.05 0.25
X
Y
0 1 2 3
0 0 0 1/ 8 0 3/ 8 0 0 0 3/ 8 0 0 0 0 0 1/ 8
0
X
Y
1 3
1
2
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01 / 8 1 3/ 8 0 2 3/ 8 0 3 01/ 8
0
2019/1/6
15
三、连续型随机向量的联合密度函数
定义3
对于二维随即向量(X,Y)的分布函数 F( x, y)，如果存在一个非负可积函数f (x, y) x y 使得对于 x , y R ,有 F ( x ,y ) u , v ) dud f(
F ( y ) P ( Y y ) F ( ,y ) P ( X , Y y ) Y
2019/1/6 21
例7 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为
x y x y xy 1 e e e , x 0 , y 0 F ( x , y ) 0 , 其它 称此分布为二维指数分布,其中参数 0 .
0 第二次取到白球 Y 1 第二次取到黑球
试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的 联合分布律。
2019/1/6 11
离散型二维随机向量联合概率分布确定方法: 1. 找出随机变量X和Y的所有取值结果,得 到(X,Y)的所 有取值数对; 2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数 值对的概率; 3. 列出联合概率分布表.
2019/1/6
25
例9 设(X,Y)的联合概率分布表为:
X Y -1 0 1 p.j 0 0.05 0.1 0.1 0.25 1 0.1 0.2 0.2 0.5 2 0.1 0.1 0.05 0.25
《概率论与数理统计》课件3-1二维随机变量及其联合分布
P{a X b} = F(b) − F(a) + P{X = a}
二维随机变量联合分布函数
F(x,y) = P{X x,Y y}
(1) 有界性 0 F(x,y) 1，且有F(− ,y) = lim F(x,y) = 0
x→−
F(x，− ) = lim F(x,y) = 0 F(− ，− ) = lim F(x,y) = 0 ，
1
F(
) 1 F( y) 0 F(x ) 0
F ( , ) A(B )(C ) 1
2
2
F ( , y) A(B )(C arctan y) 0 2
F ( x,
) A( B arctan x) ( C
)0
2
A
F (x, y) y).
1
2
,
B
1
2 (2
C.
2
arctan x)( 2
arctan
(2) P 0 X , 0 Y 1 F( ,1) F(0,1) F( , 0) F(0, 0) ．
则〈
l
0，
它
P 恳1 < X 共 2,3 < Y 共 5}
x > 0, y > 0 其
= F(2,5) − F(1,5) − F(1,3) + F(2,3)
A) V
B) 根
A
B
提交
1 F(x, y) A(B arctan x)(C arctan y).
1
A, B,C 2 P 0 X , 0 Y 1
A.
B.
C.
D.
A
C
B
D
提交
1. F(x, y) P{X x,Y y}.
2.
二维随机变量联合分布函数
F(x,y) = P{X x,Y y}
(1) 有界性 0 F(x,y) 1，且有F(− ,y) = lim F(x,y) = 0
x→−
F(x，− ) = lim F(x,y) = 0 F(− ，− ) = lim F(x,y) = 0 ，
1
F(
) 1 F( y) 0 F(x ) 0
F ( , ) A(B )(C ) 1
2
2
F ( , y) A(B )(C arctan y) 0 2
F ( x,
) A( B arctan x) ( C
)0
2
A
F (x, y) y).
1
2
,
B
1
2 (2
C.
2
arctan x)( 2
arctan
(2) P 0 X , 0 Y 1 F( ,1) F(0,1) F( , 0) F(0, 0) ．
则〈
l
0，
它
P 恳1 < X 共 2,3 < Y 共 5}
x > 0, y > 0 其
= F(2,5) − F(1,5) − F(1,3) + F(2,3)
A) V
B) 根
A
B
提交
1 F(x, y) A(B arctan x)(C arctan y).
1
A, B,C 2 P 0 X , 0 Y 1
A.
B.
C.
D.
A
C
B
D
提交
1. F(x, y) P{X x,Y y}.
2.
概率论与数理统计§3.1 二维随机变量及其函数;§3.2 二维随机变量的分布
2. 性质
(1) f ( x , y ) 0.
( 2)
f ( x, y ) d x d y F (, ) 1.
( 3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域, 点 ( X ,Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
2F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 f ( x, y) . xy
P X a, Y c P (a X , c Y )
1 F (, c ) F (a, ) F (a, c )
(+,c)
x
例2. 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数
x y F ( x, y ) A B arctan C arctan 2 2 x , y
F ( x, y)
x yy pij , x
i j
其中和式是对一切满足xi x , y j y 的 i , j 求和.
例如，在例4中
1 1 F (1, 2) P{ X 1, Y 2} p11 p12 0 . 3 3
3.2.3 二维连续型随机变量 1.定义
其中A , B , C 为常数. (1) 确定A , B , C ；
(2) 求P (X > 2).
解 (1) F (, ) A B C 1 2 2 y F (, y ) A B C arctan 0 2 2 x F ( x, ) A B arctan C 0 2 2 1 B ,C , A 2 . 2 2 1 x y (2) F ( x, y ) 2 ( arctan )( arctan ) 2 2 2 2
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i, j =1,2, …
pij 0,i, j 1,2,
pij 1
ij
一维随机变量X 离散型
X的概率函数
P(Xxk)pk,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
pk1
k
2020/6/18
10
例2 袋中有5只球，其中2只白球，3只黑球，
取球两次，每次取一个球,定义下列随机变量：
0 第一次取到白球 X 1 第一次取到黑球
的概率意义：
F(x, y)是随机点 (X,Y) O
落在以 (x, y) 为顶点的左
X
下方的无穷矩形的概率.
2020/6/18
图1
4
2)设 x1x2,y1y2
则 P ( x 1 X x 2 ,y 1 Y y 2 )
F(x2,y2) F(x2,y1)F(x1,y2）F(x1,y1)
Y
(x1, y2)
(x2, y2)
2020/6/18
(x1, y1)
O
(x2, y1)
X
5
3) 联合分布函数F(x,y)的基本性质：
（1） F(x,y)关于x与y是单调增函数.即，固定y,
x 1 ,x 2 R , x 1 x 2 ,有 F (x 1,y)F (x 2,y) 固定x, y 1,y2 R ,y 1y2,有 F (x ,y1)F (x ,y2)
为随机向量（X，Y）的联合概率分布律。
2020/6/18
8
离散型随机向量的联合分布律
Y X
y1
y 2
ym
x1
p11 p12
p1m
x2
p21 p22
p2m
xn
p n 1
pn2
p nm
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二维随机变量（X,Y） 离散型 联合分布
X和Y 的联合概率函数
P (X xi,Yyj)pij,
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例3 设随机变量Y服从标准正态分布N(0,1)，
令 Xi 10
Yi Yi
(i1,2)
求(X1, X2)的联合概率分布。
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13
例4 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三 次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出 现次数与反面出现次数之差的绝对值，求
(X,Y)的概率函数 .
P(X=3, Y=0)=1/8 P(X=3, Y=i)=0, i=1,2,3
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14
XY 0 1 2 3
0 0 0 0 1/8 1 0 3/8 0 0 2 03/8 0 0
3 0 0 0 1/8
XY 1 3
0 01/ 8 1 3/8 0 2 3/8 0 3 01/ 8
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随机变量整体的统计规律性,我们引入联合分布
函数的概念.
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3
定义1 设(X，Y)为二维随机向量, 对于任意x，
y，二元函数F (x ,y ) P (X x ,Y y )
称为(X，Y)的分布函数,或称为X与Y的联合
分布函数. [注] 1)联合分布函数
Y
(x, y)
F (x ,y ) P (X x ,Y y )
问此F(x,y)是否是某个二维随机向量(X,Y)的分
布函数?
解: 由于 P ( 1 X 2 , 1 Y 2 )
F ( 2 , 2 ) F ( 1 , 2 ) F ( 2 , 1 ) F ( 1 , 1 )
1 1 1 0 1 0
所以F(x,y)不是某个二维随机向量(X,Y)的分
第三章 随机向量
二维随机向量的分布 随机向量的数字特征 二维正态分布 大数定律与中心极限定理 n维随机向量
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1
从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广. 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
0 第二次取到白球 Y 1 第二次取到黑球 试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的 联合分布律。
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11
离散型二维随机向量联合概率分布确定方法:
1. 找出随机变量X和Y的所有取值结果,得 到(X,Y)的所 有取值数对;
2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数 值对的概率; 3. 列出联合概率分布表.
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2
§3.1 二维随机变量的分布 一、二维随机向量及其联合分布
设X,Y是定义在同一个样本空间 上的随机
变量，则称由它们构成的二维向量(X,Y)为二维 随机向量。
二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X,Y各自的性
质有关,而且还依赖于它们之间的相互关系,因此 必须把它们作为一个整体来研究.为了描述二维
15
三、连续型随机向量的联合密度函数
定义3 对于二维随即向量(X,Y)的分布函数
F(x, y)，如果存在一个非负可积函数f (x, y)
使得对于x,yR,有 F(x,y) x
y
f(u,v)dud
称(X,Y)是一个二维连续型随机向量，称
f(x,y)为连续型二维随机向量(X,Y)的联合密
度函数，记作(X8
7
二、离散型随机向量的联合分布律
定义2 如果二维随机向量的每一个分量X和Y 都是离散型随机变量，则称(X，Y)为离散 型随机向量。若 (X，Y)的所有可能值为
(xi , yj ) , i1,2,;j1,2, 称 P ( X x i,Y y j) p i,i j 1 ,2 , ; j 1 ,2 ,
[注] ① f (x, y)的基本性质：
(1)f(x,y)0
(2)
f(x,y)dx d1y
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解：X所有可能取值为0,1,2,3;Y所有可能取值为 0,1,2,3.
P(X=0, Y=0)=0 P(X=0, Y=i)=0, i=1,2,
P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8 P(X=1, Y=0)=0 P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8
P(X=1, Y=i)=0, i=2,3; P(X=2, Y=0)=0 P(X=2, Y=1)=3/8 P(X=2, Y=i)=0
（ 2 ） 0F (x,y)1;
（3） 固定x,有F(x, )0;固定y,有 F(, y)0;
F( , )0，F( , )1， 但 F(, y)1, F(x,) 1.
（4）F(x,y)在间断点(x,y)上分别关于x 和 y 右连续.
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例1 已知二元函数
1 xy0 F(x,y)0 xy0
pij 0,i, j 1,2,
pij 1
ij
一维随机变量X 离散型
X的概率函数
P(Xxk)pk,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
pk1
k
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例2 袋中有5只球，其中2只白球，3只黑球，
取球两次，每次取一个球,定义下列随机变量：
0 第一次取到白球 X 1 第一次取到黑球
的概率意义：
F(x, y)是随机点 (X,Y) O
落在以 (x, y) 为顶点的左
X
下方的无穷矩形的概率.
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图1
4
2)设 x1x2,y1y2
则 P ( x 1 X x 2 ,y 1 Y y 2 )
F(x2,y2) F(x2,y1)F(x1,y2）F(x1,y1)
Y
(x1, y2)
(x2, y2)
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(x1, y1)
O
(x2, y1)
X
5
3) 联合分布函数F(x,y)的基本性质：
（1） F(x,y)关于x与y是单调增函数.即，固定y,
x 1 ,x 2 R , x 1 x 2 ,有 F (x 1,y)F (x 2,y) 固定x, y 1,y2 R ,y 1y2,有 F (x ,y1)F (x ,y2)
为随机向量（X，Y）的联合概率分布律。
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离散型随机向量的联合分布律
Y X
y1
y 2
ym
x1
p11 p12
p1m
x2
p21 p22
p2m
xn
p n 1
pn2
p nm
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二维随机变量（X,Y） 离散型 联合分布
X和Y 的联合概率函数
P (X xi,Yyj)pij,
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例3 设随机变量Y服从标准正态分布N(0,1)，
令 Xi 10
Yi Yi
(i1,2)
求(X1, X2)的联合概率分布。
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例4 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三 次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出 现次数与反面出现次数之差的绝对值，求
(X,Y)的概率函数 .
P(X=3, Y=0)=1/8 P(X=3, Y=i)=0, i=1,2,3
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XY 0 1 2 3
0 0 0 0 1/8 1 0 3/8 0 0 2 03/8 0 0
3 0 0 0 1/8
XY 1 3
0 01/ 8 1 3/8 0 2 3/8 0 3 01/ 8
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随机变量整体的统计规律性,我们引入联合分布
函数的概念.
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定义1 设(X，Y)为二维随机向量, 对于任意x，
y，二元函数F (x ,y ) P (X x ,Y y )
称为(X，Y)的分布函数,或称为X与Y的联合
分布函数. [注] 1)联合分布函数
Y
(x, y)
F (x ,y ) P (X x ,Y y )
问此F(x,y)是否是某个二维随机向量(X,Y)的分
布函数?
解: 由于 P ( 1 X 2 , 1 Y 2 )
F ( 2 , 2 ) F ( 1 , 2 ) F ( 2 , 1 ) F ( 1 , 1 )
1 1 1 0 1 0
所以F(x,y)不是某个二维随机向量(X,Y)的分
第三章 随机向量
二维随机向量的分布 随机向量的数字特征 二维正态分布 大数定律与中心极限定理 n维随机向量
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从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广. 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
0 第二次取到白球 Y 1 第二次取到黑球 试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的 联合分布律。
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离散型二维随机向量联合概率分布确定方法:
1. 找出随机变量X和Y的所有取值结果,得 到(X,Y)的所 有取值数对;
2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数 值对的概率; 3. 列出联合概率分布表.
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§3.1 二维随机变量的分布 一、二维随机向量及其联合分布
设X,Y是定义在同一个样本空间 上的随机
变量，则称由它们构成的二维向量(X,Y)为二维 随机向量。
二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X,Y各自的性
质有关,而且还依赖于它们之间的相互关系,因此 必须把它们作为一个整体来研究.为了描述二维
15
三、连续型随机向量的联合密度函数
定义3 对于二维随即向量(X,Y)的分布函数
F(x, y)，如果存在一个非负可积函数f (x, y)
使得对于x,yR,有 F(x,y) x
y
f(u,v)dud
称(X,Y)是一个二维连续型随机向量，称
f(x,y)为连续型二维随机向量(X,Y)的联合密
度函数，记作(X8
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二、离散型随机向量的联合分布律
定义2 如果二维随机向量的每一个分量X和Y 都是离散型随机变量，则称(X，Y)为离散 型随机向量。若 (X，Y)的所有可能值为
(xi , yj ) , i1,2,;j1,2, 称 P ( X x i,Y y j) p i,i j 1 ,2 , ; j 1 ,2 ,
[注] ① f (x, y)的基本性质：
(1)f(x,y)0
(2)
f(x,y)dx d1y
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解：X所有可能取值为0,1,2,3;Y所有可能取值为 0,1,2,3.
P(X=0, Y=0)=0 P(X=0, Y=i)=0, i=1,2,
P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8 P(X=1, Y=0)=0 P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8
P(X=1, Y=i)=0, i=2,3; P(X=2, Y=0)=0 P(X=2, Y=1)=3/8 P(X=2, Y=i)=0
（ 2 ） 0F (x,y)1;
（3） 固定x,有F(x, )0;固定y,有 F(, y)0;
F( , )0，F( , )1， 但 F(, y)1, F(x,) 1.
（4）F(x,y)在间断点(x,y)上分别关于x 和 y 右连续.
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例1 已知二元函数
1 xy0 F(x,y)0 xy0