初中数学试题中隐含条件的隐含形式

初中数学试题中隐含条件的隐含形式 江苏省海安县李堡镇初级中学(226631)
数学试题中的隐含条件,是指数学题目中那些不易察觉,但又直接影响解题思路甚至解答结果的已知条件.许多学生在解题时,往往极易忽视它,出现错解误证,甚至解不出来的现象.如能明确隐含条件的隐含形式,那么对正确揭示隐含条件,解答含有隐含条件的题目,将大有帮助,本文拟谈谈初中数学试题中常见的隐含条件的隐含形式,
一、 隐含在题中涉及的数学概念中
例1 已知132
=-a a ,132
=-b b ,并且b a ≠,那么
22b
a
a b +=______. 分析 直接求a 、b 过程冗长,且为无理数运算.而把已知条件132
=-a a ,132
=-b b 变成形为0132
=--a a ,0132
=--b b 后,根据一元二次方程的定义,不难发现a 、b 是方程
0132=--x x 的两相异实根这一隐含条件,则由一元二次方程根与系数的关系得3=+b a ,1-=ab .因此22b a a b +=2233b a b a +=2
2)
(]3))[((ab ab b a b a -++=1)
33(32+=36. 二、 隐含在问题的存在性中
例2 等腰三角形两边长分别为5cm 、11cm,则它的周长是______ cm.
分析 由三角形的存在性知,三角形任两边之和必大于第三边是本题的隐含条件,忽略了这一点,就会得出“21或27”的错误结果.本题的正确答案是27.
三、 隐含在公式、定理、性质中 例3 已知0≠abc ,并且
p b a
c a c b c b a =+=+=+,那么直线p px y +=一定通过( ). (A)第一、二象限 (B)第二、三象限 (C)第三、四象限 (D)第一、四象限. 分析 由等比性质得2)
(2=++++=
c
b a
c b a p ,则直线22+=x y 过一、二、三象限.此解的隐含
条件是0≠++c b a .又由0≠abc 知0≠a ,0≠b ,0≠c .因此还应考虑0=++c b a 的情形,此
时a c b -=+,1-=-=
a
a
p ,则直线1--=x y 过二、三、四象限.故应选(B). 四、 隐含在关键词、句中
例 4 已知a 为整数,方程0)12(2
2=+-+a x a x 的两实根为1x 、2x ,则
21x x -=________.
分析 “两实根为1x 、2x ”隐含着方程0)12(2
2
=+-+a x a x 的判别式
04)12(22≥--=∆a a .即4
1
≤
a .又a 为整数,则2,1,0--=a ,….设21x x -=m ,两边平方
得221212m x x x x =-+,由根与系数的关系得a x x 2121-=+,2
21a
x x =.则
222)21(m a a =--,2221m a a =+-∴,则)0(1>=m m .即
21x x -=1.
五、 隐含在数值特征中
例5 已知)(0)()(5)(5b a a c c b b a ≠=-+-+-.求
2
)()
)((b a a c b c ---的值.
分析 直接求有一定难度,注意到隐含条件2
)5(5=,所以题设条件在形式上与一元二次方
程的一般形式类似,显然5是方程0)()()(2
=-+-+-a c x c b x b a 的一个根,且由方程的系数
和为零可知1是它的另一个根这一隐含条件,从而有b a b c --=+15,b
a a
c --=⨯15.∴原式=555)15(+=+.
六、 隐含在结构特征中
例6 a 、b 、c 为互不相等实数,若0))((4)(2
=----c b b a a c .求证:c a b +=2.
分析 题设条件中隐含着具有042
=-ac b 的结构形式,因此可联想到构造一个一元二次方程来证明.
证明 设方程0)()()(2
=-+-+-c b x a c x b a (*) 由题设知,方程的判别式∆=0.
∴方程有两相等的实根,即21x x =.
又方程(*)的系数和0=-+-+-c b a c b a . 故1=x 为方程(*)的根.
121=--=
∴b
a c
b x x ,即b a
c b -=-. c a b +=∴2
七、 隐含在求解过程中
例7 已知方程0152
=++x x 的两根为α、β,求
α
β
βα+
的值. 分析 由1,5=-=+αββα知方程的两实根为负数,因此题中隐含条件是0,0<<βα.∴
原式=
5=+-=-+-αβαβ
β
αβαβααβ. 八、 隐含在问题的结论中
例8 已知0)1()1()1(,33
33=-+-+-=++z y x z y x .求证: x 、y 、z 中至少有一个等
于1.
分析 转化结论,它隐含着0)1)(1)(1(=---z y x 的条件.联想到
))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++,只要把a 、b 、c 分别换成
)1(-x 、)1(-y 、)1(-z ,由已知条件0)1()1()1(,3333=-+-+-=++z y x z y x 即可得0)1)(1)(1(=---z y x .
九、 隐含在图像图表中
例9 已知二次函数c bx ax y ++=2
的图像如图1所示,则下列6个代数式ab 、ac 、
c b a ++、c b a +-、b a +2、b a -2中,其值为正的式子的个数为( )
(A) 2个 (B) 3个 (C) 4个 (D)4个以上
分析 本题只有一个特定位置的抛物线.观察这一特定位置,
图2
隐含了抛物线的一些特点,包括开口向下、与y 轴交点在x 轴的下方、顶点横坐标大于0且小于1、
1=x 时0>y ;1-=x 时0<y 等等,简解:易知0,0<<c a ,故0>ac ;1=x 时,0>y ,即
0>++c b a ;1-=x 时0<y ,即0<+-c b a ;120<-
<a
b
,即02<+b a ;由0<a 知0>b ,从而02,0<-<b a ab ,归纳得值为正的式子有2 个,故选(A).
十、 隐含在图形的特征和特殊性中
例10 如图2,在ABC Rt ∆中,0
90=∠BAC ,2==AC AB ,以
AB 为直径的圆交BC 于D ,求图中阴影部分的面积.
分析 等腰直角三角形是一个特殊的三角形,具有许多特殊性.连结AD 后,弓形BmD 与弓形AnD 全等.这一隐含条件就显露出来了,所以阴影部分的面积等于ABC Rt ∆面积的一半,即1.
十一、 隐含在实际意义中
例11 某工厂现有一个长方形的储料场,面积为100平方米,它的一边靠墙(墙可用长度最大为13米,这一边不埋篱笆),已知篱笆的总长为30米.
(1) 求此储料场的长和宽;
(2) 若所用的竹篱笆长度不变,要使储料场的面积为最大,储料场的长和宽各为多少米?最大面积为多大?
分析 本题等量关系明显,列方程及函数解析式均较简单.若设储料场的长为x 米,则宽为
230x -米, (1)据题意可列方程为x ·
100230=-x ;(2)x s =·(2
30x
-s 为面积).但题中“墙可用的长度最大为13米”这一实际意义隐含x 的取值范围,即130≤<x .因此在解(1)、(2)时,均要考虑x 的取值范围.解略.。