初中数学总复习专题18 简单的不定方程、方程组
初中七年级数学知识点专题讲解与练习18---简单的不定方程、方程组(培优版)
入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的 9 倍，这样的两位数有( )个．
A．1 B．4 C．10 D．超过 10
9．李林在银行兑换了一张面额为 l00 元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的 元与角、分数字看倒置了(例如，把 12．34 元看成了 34．12 元)，并按着错的数字支付，
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对．
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．
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【例 2】电影票有 10 元，15 元，20 元三种票价，班长用 500 元买了 30 张电影票，其 中票价为 20 元的比票价为 10 元的多( )．
A．20 张 B．15 张 C．10 张 D．5 张 (“希望杯”邀请赛试题)
A．32 千米 B．37 千米 C．55 千米 D．90 千米
7．给出下列判断：
x = −3t
①不定方程 2x + 3y = 0 的整数解可表示为
( t 为整数)．
y = 2t
②不定方程 2x + 4 y = 5 无整数解．
③不定方程 2x + 3y = 1无整数解．
其中正确的判断是( )．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．小英在邮局买了 10 元的邮票，其中面值 0.10 元的邮票不少于 2 枚，面值 O.20 元的
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邮票不少于 5 枚，面值 0.50 元的邮票不少于 3 枚，面值 2 元的邮票不少于 1 枚，则小
英最少买了(
)枚邮票．
A．17 B．18 C．19 D．20
(“五羊杯”邀请赛试题)
9．小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装 12 颗，每个小盒子装 5 颗，若弹子
初中数学《不定方程与不定方程组》讲义及练习
1.利用整除及奇偶性解不定方程2.不定方程的试值技巧3.学会解不定方程的经典例题一、知识点说明历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。
3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）模块一、利用整除性质解不定方程【例 1】 求方程 2x －3y ＝8的整数解【解析】 方法一：由原方程，易得 2x ＝8＋3y ，x ＝4＋32y ，因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，并且，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的例题精讲知识精讲教学目标2-2-3不定方程与不定方程组解可表为：342x k y k⎧=+⎪⎨⎪=⎩，其中k 为任意数．说明 由y 取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．方法二：根据奇偶性知道2x 是偶数，8为偶数，所以若想2x －3y ＝8成立，y 必为偶数，当y ＝0，x ＝4；当y ＝2，x ＝7；当y ＝4，x ＝10……，本题有无穷多个解。
七年级奥数：简单的不定方程、方程组
七年级奥数：简单的不定方程、方程组阅读与思考如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能惟一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)．对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能惟一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型：1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数；2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解．解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式估值、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．例题与求解例1 满足1998的整数对(m ,n )共有_________对．(全国初中数学联赛试题)解题思路 由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解解．例2 以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式，a 、b 、c 、d 、e 、f 各代表一个数(不一定相同)，则以a +b +c +d = ( )．(“五羊杯”邀请赛试题)(A )27 (B )24 (C )30 (D )无法确定解题思路 视、为整体，将多元问题转化为解二元一次不定方程．a b c d e f× 4———————e f a b c d例3 求方程的正整数解． (“希望杯”数学邀请赛试题)解题思路 易知x 、y 、z 都大于1，不妨设1<x ≤y ≤z ，，将复杂三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出结果．22221997(01998)m n m n +=+<<<abcd ef 11156x y z ++=111x y z≥≥例4 某乡水电站发电了，电费规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度9分钱收费；如果超过24度，超出的部分按每度2角收费．已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9角6分(用电按整度计算)，问甲、乙两家各交了多少电费?(北京市“迎春杯”竞赛题)解题思路 甲、乙两家用电度数情况有多种可能，在分析甲、乙两家用电情况的基础上，将问题转化为解不定方程．例5 甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试题难题多还是容易题多?(多的比少的)多几道题?(第十二届江苏省竞赛题)解题思路 100道数学题有三类：难题、容易题、两人都解出的题，题中可供利用的等量关系只有两个，显然，将三元一次不定方程组转化为解二元一次不定方程是解本例的基本思路．能力训练A 级1．若，则ab ＝_________． 2．已知4x --3y --6z =0，x +2y -7z =0(xyz ≠0),则的值等于________． 3．某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和，那么他的年龄是______岁.(第九届“希望杯”邀请赛试题)4．设方程的整数解为________．5．x ，y 都是质数，则方程x +y =1999共有( )．(北京市竞赛题)(A )1组解 (B )2组解 (C )3组解 (D )4组解6．方程1990x －1989y ＝1991的一组正整数解是( )．(A )x ＝12785，y ＝12768 (B )x ＝13827，y ＝12623(C )x ＝11936，y ＝11941 (D )x ＝12785，y ＝127707．一个两位数，交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来数的倍，则这样的两位数有( )．(A )1个 (B )2个 (C )4个 (D )无穷多个8．小英在邮局买了10元邮票，其中面值０.10元的邮票不少于2枚，面值0.20元的邮票不少于5枚，面值0.50元的邮票不少于3枚，面值2元的邮票不少于1枚，则小英最少买了( )枚邮票．(“五羊杯”邀请赛试题)(A )17 (B )18 (C )19 (D )209．小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，若弹子共有2254404a b a b +-++=22222223657x y z x y z ++++221993x y -=,,||αβαβ=则7499颗所用大小盒子多于10个，问这两种盒子各有多少个?10．是否存在整数m ，n 满足m ，若存在，请求出全部整数对(ｍ，ｎ)值；若不存在，请说明理由．11．已知长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，求长方形的面积．(“希望杯”邀请赛试题) B 级1．如果ａ、ｂ、c 满足ａ+2b +2c —2ab —2bc —6c ＋9＝0，那么(ａ＋bc )＝______．(“祖冲之杯”邀请试题)2．已知ｘ，ｙ为正偶数，且ｘy ＋ｘy ＝96，则ｘ＋y ＝______．3．一个四位数，用16除余13，用125除余122，则满足条件的最小的四位数是______．4．购买十种货物：A 、A 、A 、…Ａ，如果在这十种中购买的件数依次是1，3，4，5，6，7，8，9，10，11件，共需人民币1992元；如果购买的件数依次是1，5，7，9，11，13，15，17，19，21件，共需人民币3000元，那么在这十种货物中各买一件时，共需人民币______．(北京市“迎春杯”竞赛题)5．若正整数ｘ、ｙ满足ｘ—72＝y ，则这样的正整数对(ｘ，y )的个数是( )．(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个6．有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需( )元．(A )6元 (B )8元 (C )9元 (D )10元7．在方程组,x ,y ,z 是不相等的整数，那么此方程组的解的组数为( )．(第九届“希望杯”邀请赛试题)(A )6 (B )3 (C )多于6 (D )少于38．一个两位数中间插人一个一位数(包括0)，就变成一个三位数，有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的9倍，这样的两位数有( )个．(A )1 (B )4 (C )10 (D )超过109．李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上元与角．分数字看倒置了(例如，把12．34元看成了34．12元)，并按着错的数字支付，李林将其款花去3．80元之后，发现其余款恰为支票面额的两倍，于是急忙到银行将多领的款额退回，问李林应退回的款额是多少元?(“五羊杯”邀请赛试题)10．某人乘坐的车在公路上匀速行驶，从他看到的某个里程碑上的数是一个两位数时起，一小时后他看到的里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过一小时，他看到的里程碑上的数又恰好是第一次看到的两位数之间添上一个零的三位数，问这三块里 程碑上的数各是多少?(“勤奋杯”竞赛杯)11．某新建储油罐装满油后发现底部匀速向外漏油，为完全并减少损失，需将油抽干后进行222003n =+222222*********⎩⎨⎧-=++=++360333z y x z y x维修．现有同样功率的小型抽油泵若干台，若5台一起抽需10小时抽干，7台一起抽需8小时抽干．要在3小时内将油罐抽干，至少需要多少台抽油泵一起抽?(“五羊杯”竞赛题)。
不定方程及方程组
不定方程（组）及应用【知识点拨】不定方程式数论中的一个古老的分支，我国对不定方程的研究已有数千年的历史，“百鸡问题”、“中国剩余定理”等一直流传至今。
当方程的个数比方程中未知数的个数少的时候，我们就称这样的方程（或方程组）为不定方程（或不定方程组）。
为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也成为丢番图方程，之所以把它们叫不定方程，是因为他们的解不确定（不唯一）。
一般情况下，如果不加以限制，不定方程的解有无限个，如果考虑到题中的一些条件所限制的范围后，它只能有几个解，甚至无解，解答这类方程，必须对题中明显或者隐蔽的条件加以推理，才能正确求解。
【典型例题】例1、求不定方程5x + 9y=104的整数解【巩固训练】1、在不定方程89 —7a=4b中，a、b均为自然数，求此不定方程的解。
{ 5 %+6y - z=20例2、求三元一次不定方程组 3 % - y+4 z=12的正整数解。
【巩固训练】{ 7 x+9 j+11 z = 681、求不定方程组 2 x + j=10 的正整数解。
例3、甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支，问张明用6角钱恰好买两种铅笔共多少支？【巩固训练】装水瓶的盒子有大小两种，大的能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。
问需要大小盒子各多少个？例4、某地按下列规定收取电费：每月用电不超过50度，每度收4角5分，如果超过50度，超过部分每度收8角，今年七月，甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？（电的度数按整数算）【巩固训练】1、某乡水电站发电了，电费规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度电9角收费; 如果超过24度，超过部分按每度电2元收费，已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9 元6角钱，甲乙两家各交多少电费？（电的度数按整数算）例5、把1000拆成两个自然数的和，一个是7的倍数并且要使这个数尽可能大，一个是11的倍数，并且使这个数尽可能的小，这两个数分别是多少？【巩固训练】1、把1000拆成两个自然数的和，一个是11的倍数，并且使这个数尽可能大，一个是9 的倍数，并且使这个数尽可能小。
中考数学18题不定方程
不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是解往往有无穷多个，不能唯一确定。
对于不定方程（组），我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上限制条件后，解就可以确定。
解不定方程（组），没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因式分解、配方、利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等。
分离整系数法：1268012612801601280166++=++++=++n n n n n n n n 穷举法（complete search ）：根据题目的部分条件确定答案的大致范围，并在此范围内对所有可能的情况逐一验证，知道全部情况验证完毕。
1、一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？2、（重庆一中2019级九下入学测试18题）2019春节期间，为提倡文明、环保祭祖，某烟花销售商拟今年不再销售烟花爆竹，改为销售鲜花。
经过市场调查，发现有甲、乙、丙、丁四种鲜花组合比较受顾客的喜爱，于是制定了进货方案。
其中甲、丙的进货量相同，乙、丁的进货量相同。
甲与丁单价相同，甲、乙与丙、丁的单价和均为88元/束。
且甲、乙的进货总价比丙、丁的进货总价多800元。
由于年末资金周转紧张，所以临时决定只购进甲、乙两种组合，甲、乙的进货量与原方案相同，且进货量总数不超过500束，则该销售商最多需要准备___________元进货资金。
3、（巴蜀中学初2019级九上期末18题）某水果销售商在年末准备购进一批水果进行销售，经过市场调查，发现芒果、车厘子、奇异果和火龙果比较受顾客喜爱，于是制定了进货方案。
其中芒果、车厘子的进货量与奇异果、火龙果的进货量分别相同，而芒果、车厘子的单价与火龙果、奇异果的单价分别相同，已知芒果和车厘子的单价和为每千克180元，且芒果和车厘子的进货总价奇异果和火龙果的进货总价多863元。
中考数学复习指导：不定方程的求解方法与技巧
不定方程的求解方法与技巧所谓不定方程是指方程的个数少于未知量的个数，且未知量又受某些限制（如为整数、正整数等）的一类方程，在初中数学竞赛中，不定方程问题是一类综合性较强的问题，对于此类问题，如能仔细分析，掌握题目的一般规律，找出其隐含条件，或根据其自身特点和已学过的知识，灵活运用一些方法，就能迎刃而解．以下介绍几种常用的方法：一、分解因式降次法降次是解方程常用的方法，在处理某些不定方程中，可利用因式分解化成型如(ax＋b)（cx＋d）＝0的方程，再利用因式的性质，帮助找到隐含的条件，求得一些未知参数的关系式．例1 求方程1117x y+=的正整数解．例2若△ABC的三条边a，b，c满足关系式a4＋b2c2－a2c2－b4＝0，则△ABC的形状是什么？综上，△ABC 为等腰三角形或直角三角形．二、配方法配方法是数学很常用的方法，在某些不定方程中，通过配方后，再利用非负数的性质，帮助找出隐含的条件，解决一些代数式的求值问题．例3 若x 2＋y 2＋54＝2x ＋y ，那么x y ＋y x ＝． 解 由题意，得例4 求不定方程3x 2－4xy ＋3y 2＝35的全部整数解．三、整体代入法应用整体代人法解决求值问题，能简化运算．在某些不定方程中，把不定方程中的某个式子当作一个“整体”，并把“整体”代入求值，往往可以提高解题效率，简化解题过程．例5 若x＋y＝1，则x4＋6x3y一2x2y＋10x2y2－2xy2＋6xy3＋y4的值等于( )分析此题由x＋y＝1求出x（或y）后，再代入求值繁难可想而知，若是由题意把所求的式子整理成有关并＋y的式子，再利用“整体代入”的思想求值，就可简化运算．四、选取主元法在不定方程中，我们可以选取一个未知数作为“主元”，其余的未知数为“辅助元”，利用解的存在性达到降元的目的．例6 求满足方程x2＋y2＝2(x＋y)＋xy的所有正整数解．分析此不定方程，可以选取未知数x作为主元，y作为辅助元．五、整式分离法在不定方程中将某一个未知数的整式从中分离出来，再由题意求出符合题意的解．例7 求不定方程6xy＋4x－9y－7＝0的所有整数解．解不定方程变形为六、不等式分析法对不定方程利用不等式的逼近方法，逼出某一未知数的范围，再加以讨论，求出符合题意的解．例8 求不定方程x2－2xy＋14y2＝217的所有正整数解．解不定方程整理得。
中考数学知识点方程与方程组考前复习
中考数学知识点方程与方程组考前复习聪明出于勤奋，天才在于积累。
我们要振作精神，下苦功学习。
小编准备了中考数学知识点方程与方程组，希望能帮助到大家。
一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
②等式两边同时加上或减去或乘以或除以(不为0)一个代数式，所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。
一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程1)一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数(即抛物线)了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。
那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与_轴的交点。
也就是该方程的解了2）一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式(-b/2a,4ac-b2/4a)，这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解(1)配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。
在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根_1={-b+[b2-4ac)]}/2a，_2={-b-[b2-4ac)]}/2a3）解一元二次方程的步骤：(1)配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4）韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为_1+_2=-b/a,_1_2=c/a。
不定方程与不定方程组
不定方程与不定方程组【知识要点】如果一个方程（组）中的方程的个数少于未知数的个数，我们称之为不定方程（组）。
不定方程（组）的解是不确定的，一般情况下，不定方程（组）总有无穷多个（组）解。
但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解有三种可能：（1）有无穷多个解；（2）有限组解；（3）无解。
对整系数的不定方程（组），我们主要求它的整数解。
常用到的有关定理如下：定理1 一次不定方程c by ax =+（0,0>>b a ），若（a ，b ）=1>d ，且d |c ，则该方程无整数解。
定理 2 一次不定方程()0,0>>=+b a c by ax ，若（a 、b ）=1≥d ，且d c ，则该方程有整数解。
其通解为： ()为整数t aty y bt x x ⎩⎨⎧-=+=︒︒︒x 、︒y 为方程的一个特解。
定理3 若（︒x 、︒y ）是方程1=+by ax ，（a 、b ）=1的特解，则（︒cx 、︒cy ）是方程c by ax =+的一个特解，其中（a ，b ）=d ，d |c 。
我国对不定方程（组）的研究有几千年的历史，“鸡兔同笼”、“百鸡问题”流传至今。
可见不定方程（组）的研究是数论中长盛不衰的课题。
三星级题：1．求方程31611=+y x 的整数解。
2．（1998年“希望杯”培训题）求方程863=+y x 的整数解。
3．3x+y=24的非负整数解有 组。
4．方程17x-24y=6的正整数解中最小的一个y 是 。
5．某基建队要安装一条55米长的管道，现有3米和5米长的钢管各10根，如果要尽可能地使用5米长的钢管，施工中共用 根钢管。
6．用3元5角买了10分、20分、50分的三种邮票共18枚，其中10分邮 票的总价与20分邮票的总价相同，则50分邮票共买了 枚。
7．方程x+y=5的非负整数解有（ ）。
（A ）4个 （B ）5个 （C ）6个 （D ）7个四星级题：1．设x 、y 是两个不同的正整数，且5211=+yx，试求y x +的值。
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专题18 简单的不定方程、方程组
阅读与思考
如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)．
对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能唯一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型： 1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数；
2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．
二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解．
解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．
例题与求解
【例1】满足222219981997m n +=+ (0＜m ＜n ＜1 998)的整数对(m ，n )共有_______对． (全国初中数学联赛试题)
解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．
【例2】电影票有10元，15元，20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多( )．
A ．20张
B ．15张
C ．10张
D ．5张
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路：设购买10元，15元，20元的电影票分别为x ，y ，z 张．根据题意列方程组，整体求出的z －x 值．
【例3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14 405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16 970，求此人家中的电话号码．
(湖北省武汉市竞赛试题)
解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手．
【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子?
(重庆市竞赛试题)
解题思路：无论怎样取，盒子里的棋子数不变。
恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解． 【例5】 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每 人有31个核桃，三组的核桃总数是365个．问：三个小组共有多少名同学?
(海峡两岸友谊赛试题)
解题思路：根据题意，列出三元一次不定方程，从运用放缩法求取值范围入手．
【例6】某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐22人，就会余下1人；如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车．
问：原先租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量不多于32人)
解题思路：设原先租客车x 辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐k 人，根据题意列出方程求解，注意排除不符合题设条件的解．
能力训练
A 级
1．若225
4404
a b a b +-++
=，则ab ＝__________． 2．已知4360x y z --=，270x y z +-= (xyz ≠0)，则222
222
23657x y z x y z
++++的值等于________． 3．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和，那么他的年龄是_________岁．
(“希望杯”邀请赛试题) 4．已知a ，b ，c 为整数，且2006a b +=，2005c a -=．若a ＜b ，则a b c ++的最大值为_____．
(全国初中数学竞赛试题) 5．x ，y 都是质数，则方程1999x y +=共有( )． A ．1组解 B ．2组解 C ．3组解 D ．4组解
(北京市竞赛试题)
6．如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔 4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开 始．每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在 19千米处同时设置这两种标志，问下一个同时设 置这两种标志的地点的千米数 是( )．
A ．32千米
B ．37千米
C ．55千米
D ．90千米 7．给出下列判断：
①不定方程230x y +=的整数解可表示为32x t
y t =-⎧⎨=⎩
(t 为整数)．
②不定方程245x y +=无整数解． ③不定方程231x y +=无整数解．
其中正确的判断是( )．
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
8．小英在邮局买了10元的邮票，其中面值0.10元的邮票不少于2枚，面值O.20元的邮票不少于5枚，面值0.50元的邮票不少于3枚，面值2元的邮票不少于1枚，则小英最少买了( )枚邮票． A ．17 B ．18 C ．19 D ．20
9．小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，若弹子共有99颗，所用大小盒子多于10个，问这两种盒子各有多少个?
10．中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?
(出自中国数学家张丘建的著作《算经》)
11．已知长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，求长方形的面积．
(“希望杯”邀请赛试题) 12．已知k 是满足19102010k p p 的整数，并且使二元一次方程组547
45x y x y k
-=⎧⎨+=⎩有整数解．问：这样
的整数k 有多少个？
（“华罗庚金杯”竞赛试题）
B 级
1．如果a ，b ，c 满足2222222690a b c ab bc c ++---+=，那么()2
a bc +＝__________．
(“祖冲之杯”邀请试题)
2．已知x ，y 为正偶数，且2
2
96x y xy +=，则2
2
x y +＝_________． 3．一个四位数与它的四个数字之和等于1 991．这个四位数是__________．
(重庆市竞赛试题)
4．城市数学邀请赛共设金、银、铜三种奖牌，组委会把这些奖牌分别装在五个盒中，每个盒中只装一种奖牌．每个盒中装奖牌枚数依次是3，6，9，14，18．现在知道其中银牌只有一盒，而且铜牌枚数是金牌枚数的2倍．则有金牌_____枚，银牌______枚，铜牌_____枚．
5．若正整数x ，y 满足2
2
72x y -=，则这样的正整数对(x ，y )的个数是( )．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．有甲、乙、丙3种商品，单价均为整数，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙l 件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需( )元．
A ．6元
B ．8元
C ．9元
D ．10元
7．在方程组333
36
x y z x y z ++=⎧⎨++=-⎩中，x ，y ，z 是不相等的整数，那么此方程组的解的组数为( )． A ．6 B ．3 C ．多于6 D ．少于3
(“希望杯”邀请赛试题)
8．一个两位数中间插入一个一位数(包括0)，就变成一个三位数，有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的9倍，这样的两位数有( )个． A ．1 B ．4 C ．10 D ．超过10
9．李林在银行兑换了一张面额为l00元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如，把12．34元看成了34．12元)，并按着错的数字支付，李林将其款花去3．50元之后，发现其余款恰为支票面额的两倍，于是急忙到银行将多领的款额退回，问：李林应退回的款额是多少元?
10．某人乘坐的车在公路上匀速行驶，从他看到的某个里程碑上的数是一个两位数时起，一小时后他看到的里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过一小时。
他看到的里程碑上的数又恰好是第一次看到的两位数之间添上一个零的三位数，问这三块里程碑上的数各是多少?
(“勤奋杯”竞赛试题)
11．已知四位数abcd 满足3333110a b c d c d ++++=+，求这样的四位数．
(“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题)
12．求方程
1115
6
x y z ++=的正整数解． (“希望杯”邀请赛试题)。