中国矿业大学(北京)2020年高等数学(下)期中测试

高等数学A2综合练习题

（时间：120分钟，满分：100分）

一、填空题（1-9题每题3分，第10题每空2分，共31分）

1

、已知,2,2

a b == 则22||||a b a b ⨯+⋅= __________。

2、已知方程)()(')(''x f y x q y x p y =++有三个特解x x x e e y e y x y +===2321,,，则该方程的通解为_____________。

3、平面曲线2290x z y ⎧+=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所生成的曲面方程为

____。

4、设12(sin cos )x y e c x c x =+为某个二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为______________。

5、过点(1,2,1)-且与向量1(1,2,3)s =-- 及2(0,1,1)s =-- 平行的平面方程为________________。

6、00lim x y →→=______。

7、设2sin()(1)arctan y z y xy y x e -=--+，则10

x y z

x ==∂=∂______________。8、设2sin(923)23x y z x y z +-=+-，试求z z x y

∂∂+∂∂=__________________。9、设1(0,1)y z x x x +=>≠，则dz =______________。

10、设22(,)2f x y x y =+，则(1,1)grad f =_____，沿梯度方向的方向导数(1,1)

f

l ∂∂=_______。

二、（9分）求微分方程3699x y y y e '''-+=+的通解。

三、（10分）求过点0(1,2,1)M -且与直线21:

211

x y z L +-==--垂直相交的直线方程。

四、（8分）设sin cos u u x e u v y e u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求,.u v x x ∂∂∂∂。

五、（8分）求曲线231x t y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩

上一点处的切线方程，且此切线与平面24x y z ++=平行。

六、（10分）设),(2y

xe y x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求y x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂2,,.七、（12分）设2222322222,0(,)()0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=⎨+⎪+=⎩

，证明),(y x f 在点)0,0(处连续且偏导数存在，但不可微分。

八、（12分）在椭球面2

22

14z x y ++=第一卦限部分上求一点M ，使得椭球面在该点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小。